数学-高一-2011—2012高考数学真题汇编必修4第三章三角恒等变换
必修4第三章三角恒等变换
1.（2012·安徽高考卷·T18·5分）在平面直角坐标系中，点O （0，0），点(
)6,8P ，将向量
OP 绕点O 按逆时针方向旋转
34
π
后得向量OQ ，则点Q 的坐标是（ ） （A ）()72,2-- （B ）()72,2- (C) ()46,2-- (D) ()
46,2- 【答案】A
【解析】三角求值和定义.设POx α∠=，因为()6,8P ，所以4
tan =
3
α，可得431
tan tan
3134tan =34471tan tan 143
π
απαπα-+??+== ???-?+
，验证可知只有当Q 点坐标为()
72,2--时满足条件，故答案为A ；
法二：估算.设POx α∠=，因为()6,8P ，所以4tan =
3α，可得<43
ππ
α<，313<
412πππα<+
，所以点Q 在第三象限，排除B ，D 选项，又30tan <234πα?
?
<+- ??
?
，故答案为A.
【技巧点拨】本题快速求解的办法是直接估测出角34
π
α+
的范围，再利用三角函数定义加以排除. 2.（2012·安徽高考卷·T4·5分）把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是
【答案】B
【解析】把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：
y 1＝cos x ＋1，向左平移1个单位长度得：y 2＝cos(x —1)＋1，再向下平移1个单位长度得：y 3＝cos(x —1)．令x ＝0，得：y 3＞0；x ＝
12
π
+，得：y 3＝0；观察即得答案．
【点评】本题主要考察三角函数的图象变化，三角变换是三角函数图象内容的一个重要的考点
3.（2011年辽宁）设sin 1+=
4
3πθ（），则sin 2θ= （A ）79-
（B ）19-
（C ）19 （D ）7
9
【答案】A
4.（2011年福建）若tan α=3，则2
sin 2cos a α
的值等于
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
【答案】D
5.（2011年全国新课标）设函数()sin()cos()
f x x x ω?ω?=+++(0,||)
2π
ω?><
的最小
正周期为π，且()()f x f x -=则
（A ）()y f x =在
(0,)2π单调递减 （B ）()y f x =在3(,)
44ππ单调递减 （C ）()y f x =在
(0,)2π单调递增 （D ）()y f x =在3(,)
44ππ单调递增 【答案】A
6.（2011年上海）函数sin()cos()
26y x x ππ
=+-的最大值为 。
【答案】24+
7.（2012·江苏高考卷·T11·5分）设α为锐角，若4cos 65απ?
?+= ??
?，则)122sin(πα+的值
为 ． 【答案】
50
2
17
【解析】根据4cos 65απ??+= ??
?，2571251621)6(cos 2)32cos(2
=
-?=-+=+παπα， 因为0)3
2cos( π
α+
，所以
25242571)32sin(2
=??
?
??-=+π
α，因为
50
2
174
sin
)3
2cos(4
cos
)3
2sin(]4
)3
2sin[()12
2sin(=
+
-+
=-
+
=+
π
π
απ
π
απ
π
απ
α. 【点评】本题重点考查两角和与差的三角公式、角的灵活拆分、二倍角公式的运用.在求解三角函数值时，要注意角的取值情况，切勿出现增根情况.本题属于中档题，运算量较大，难度稍高.
8.（2012·安徽高考卷·T16·12分）
设函数2()cos(2)sin 24
f x x x π
=
++. （I ）求函数()f x 的最小正周期；
（II ）设函数()g x 对任意x R ∈，有()()2g x g x π
+
=，且当[0,]2
x π
∈时，
1
()()2
g x f x =
-，求函数()g x 在[,0]π-上的解析式. 【解题指导】本题考察两角和与差的三角函数公式，二倍角公式，三角函数的周期性，求分段函数解析式等基础知识，考查分类讨论思想和运算求解能力.
【解析】2111
())sin cos 2sin 2(1cos 2)4222
f x x x x x x π=
++=-+- 11
sin 222
x =
-. （1）函数()f x 的最小正周期22
T π
π=
=. （2）当[0,]2x π∈时，11
()()sin 222
g x f x x =-=，
当[,0]2x π
∈-
时，()[0,]22x ππ+∈ 11
()()sin 2()sin 22222g x g x x x ππ=+=+=-， 当[,)2x ππ∈--时，()[0,)2x ππ+∈ 11
()()sin 2()sin 222
g x g x x x ππ=+=+=.
得：函数()g x 在[,0]π-上的解析式为1
sin 2(0),22
()1sin 2().22
x x g x x x πππ?--≤≤??=??-≤
【高考把脉】三角类解答题在高考中是送分题，主要考查方式有三种：一是以考查三角函数
的图象和性质为主，三角恒等变换是一个主要工具；二是三角形这一背景下的三角恒等变换，正、余弦定理和三角公式是工具；三是考查解三角形的文字应用题，正、余弦定理是解决问题的主要工具．以上三种形式的考查往往命题者都是利用向量语言来叙述题目中的条件部分.安徽高考卷2008年考查了类型一，近五年只有2009年考查了类型二，2010年考查了类型三，2011年没有单独考察三角解答题，今年又重新考查类型一.考生在备考时要注意这几个特征．
9.（2012·四川高考卷·T18·12分）
函数2
()6cos
33(0)2
x
f x x ωωω=+->在一个
周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B 、C 为图象与x 轴的交点，且ABC ?为正三角形。
（Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的值域；
（Ⅱ）若083()5f x =
，且0102
(,)33
x ∈-，求0(1)f x +的值。 [解析]（Ⅰ）由已知可得：2()6cos 33(0)2
x f x x ωωω=-> =3cosωx+)3
sin(32sin 3π
ωω+=x x
又由于正三角形ABC 的高为23，则BC=4 所以，函数4
82824)(π
ωω
π
=
==?=，得，即
的周期T x f
所以，函数]32,32[)(-的值域为x f 。 （Ⅱ）因为，由53
8)(0=
x f （Ⅰ）有 ，538)3
4
(
sin 32)(0
0=
+
=π
πx x f 5
4
)34(sin 0=+ππx 即 由x 0)2,2()34x (323100π
πππ-∈+-
∈），得，（ 所以，5
3
)54(1)34(
cos 20
=-=+
π
πx 即 故=+)1(0x f =+
+
)344(
sin 320
π
π
πx ]4)34(
sin[320
π
π
π+
+
x
)
2
2532254(324
sin
)34cos(4cos )34([sin 3200?+?=+++=π
πππππx x
5
6
7=
[点评]本题主要考查三角函数的图像与性质同三角函数的关系、两角和的正（余）弦公式、二倍角公式等基础知识，考查运算能力，考查树形结合、转化等数学思想. 10.（2011年北京）
已知函数()4cos sin()1
6f x x x π
=+-。
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期：
（Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ??
-?
???上的最大值和最小值。
解：（Ⅰ）因为
1
)6
sin(cos 4)(-+
=π
x x x f
1)cos 21
sin 23(
cos 4-+=x x x
1
cos 22sin 32-+=x x
x x 2cos 2sin 3+=
)
62sin(2π
+
=x
所以)(x f 的最小正周期为π
（Ⅱ）因为
.326
26
,4
6
π
π
π
π
π
≤
+
≤-
≤
≤-
x x 所以
于是，当
6,2
6
2π
π
π
=
=
+
x x 即时，)(x f 取得最大值2；
当
)(,6,66
2x f x x 时即π
π
π
-=-
=+
取得最小值—1.
11.（2011年广东）已知函数1()2sin(),.
36f x x x R π
=-∈
（1）求
5(
)
4f π
的值；
（2）设
106,0,,(3),(32),
22135f a f ππαββπ??
∈+=+=????
求cos()αβ+的值．
解：（1）
515(
)2sin()4346f πππ=?-
2sin
4
π
=-=；
（2）10132sin 32sin ,132326f πππααα???
???=+=?+-= ? ? ???????
61(32)2sin (32)2sin 2cos ,5362f ππβπβπβ
β???
?=
+=?+-=+= ? ?????
53
sin ,cos ,135αβ∴=
=
12cos ,
13α∴===
4sin ,
5β===
故
3125456
cos()cos cos sin sin .
51313565αβαβαβ+=+=?-?= 12.（2011年四川）
已知函数73
()sin()cos(),44f x x x x R
ππ=++-∈
（1）求()f x 的最小正周期和最小值；
（2）已知
44cos(
),cos(),(0
)552a πββααβ-=
+=-<<≤，求证：2[()]20f β-=
解析：
7733()sin cos cos sin cos cos sin sin 4444
2sin()
4f x x x x x x x x πππππ
=+++=-=-
max 2,()2
T f x π∴==
（2）
4cos()cos cos sin sin (1)54cos()cos cos sin sin (2)
5
cos cos 0
0cos 02
2
βααβαββααβαβαβπ
π
αβββ-=+=
+=-=-=<<≤
?=?=
2()(())20f f ββ∴=-=
13.（2011年天津）
已知函数
()tan(2),
4f x x π
=+ （Ⅰ）求()f x 的定义域与最小正周期；
（II ）设
0,4
πα??
∈ ?
?
?，若()2cos 2,2f α
α=求α的大小．
本小题主要考查两角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦、
余弦公式，正切函数的性质等基础知识，考查基本运算能力.满分13分.
（I ）解：由
2,4
2
x k k Z
π
π
π+
≠
+∈，
得
,8
2k x k Z π
π
≠
+
∈.
所以()f x 的定义域为
{|,}8
2k x R x k Z π
π
∈≠
+
∈
()f x 的最小正周期为.
2π
（II ）解：由()2cos 2,
2a
f a =
得tan()2cos 2,
4a a π
+=
22sin()
42(cos sin ),cos()
4a a a a π
π+=-+
整理得sin cos 2(cos sin )(cos sin ).
cos sin a a
a a a a a a +=+-- 因为
(0,)
4a π
∈，所以sin cos 0.a a +≠ 因此
211(cos sin ),sin 2.
22a a a -==即 由(0,)4a π∈，得
2(0,)
2a π
∈. 所以
2,.
6
12a a π
π
=
=
即
14.（2011年重庆）
设a R ∈，()()2cos sin cos cos 2f x x a x x x π??=-+- ???满足()
03f f π??-= ???，求函数
()f x 在11[,]
424ππ
上的最大值和最小值.
解：
22
()sin cos cos sin f x a x x x x =-+
sin 2cos 2.2a
x x =
-
由1
()(0)1,3222a f f a π-=-?+=-=得解得
因此
()2cos 22sin(2).
6f x x x x π
=-=- 当[,],2[,],()
43632x x f x πππππ
∈-∈时为增函数，
当113[,],2[,],()
324624x x f x πππππ∈-∈时为减函数，
所以11()[,]() 2.
443f x f πππ=在上的最大值为
又因为11()()424f f ππ==
故11()[,]424f x ππ在
上的最小值为11()24f π=
15.（2012年高考北京）已知函数(sin cos )sin 2()sin x x x
f x x
-=
.
(1)求()f x 的定义域及最小正周期; (2)求()f x 的单调递增区间.
【考点定位】本题考醒三角函数知识,此类型题在平时练习时练得较多,考生应该觉得非常容易入手.
解:(sin cos )sin 2()sin x x x f x x -=
=(sin cos )2sin cos sin x x x x
x
-=2(sin cos )cos x x x -=
sin 21cos2x x --
)14
x π
-
-,{|,}x x k k Z π≠∈
(1) 原函数的定义域为{|,}x x k k Z π≠∈,最小正周期为π; (2)原函数的单调递增区间为[,)8
k k k Z π
ππ-
+∈,3(,
]8
k k k Z π
ππ+∈. 16.（2012
年高考安徽）设函数2()cos(2)sin 24
f x x x π
=
++ (I)求函数()f x 的最小正周期;
(II)设函数()g x 对任意x R ∈,有()()2g x g x π
+=,且当[0,]2x π∈时, 1
()()2
g x f x =-,求函数()g x 在[,0]π-上的解析式. 【解析】
2111()cos(2)sin cos 2sin 2(1cos 2)24222f x x x x x x π=
++=-+-11
sin 222
x =- (I)函数()f x 的最小正周期22
T π
π=
= (2)当[0,]2x π∈时,11
()()sin 222
g x f x x =-=
当[,0]2x π
∈-
时,()[0,]22x ππ+∈ 11
()()sin 2()sin 22222g x g x x x ππ=+=+=- 当[,)2x ππ∈--时,()[0,)2x ππ+∈ 11
()()sin 2()sin 222
g x g x x x ππ=+=+=
得:函数()g x 在[,0]π-上的解析式为1
sin 2(0)22
()1sin 2()22
x x g x x x πππ?--≤≤??=??-≤