数项级数敛散性判别法(总结)

华北水利水电学院

数项级数敛散性判别法。（总结）

课程名称：高等数学（下）

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2012年5月18日

摘要：在学习数项级数的时候，对于单一的方法所出的例题，大家都知道用何种方法去解决。但是等到所有的方法学完之后，再给出题目，大家似乎一头雾水，不知道用哪一种方法。有些同学甚至挨个拭每一种方法，虽然也可行。但是对于同一个级数，用不同的方法判断敛散性的难易程度不同，如果选用合适的方式，可以到到事半功倍的效果，但是如果悬选择了错误的方法，可能费了九牛二虎之力之后，得出的结果还是错误的。所以我们有必要总结一下判断敛散性的方法，了解它们的特性，才能更好地运用它们。

关键词：数项级数，敛散性，判断，方法。

英文题目

Abstract:Single out examples to learn a number of series,we all know which way to go.But wait until all of the methods after completing their studies are given topics,everyone seems confused and do not know what kind of way. Some students even one by one swab of each method, although it is also feasible.But for one series,using different methods to determine the convergence and divergence of the degree of difficulty, if the appropriate choice of the way to a multiplier effect,but if the hanging has chosen the wrong way,may have spent nine cattle tigers after the power, the result is wrong.So we need to sum up to determine the convergence and divergence,and to understand their characteristics,in order to make better use of them.

Key words:A number of series,convergence and divergence of judgment.

引言：以下介绍书中所提到的判断数项级数敛散性的定理，并通过一些例题，讲解它们各自的适用范围。并总结出判断敛散性的一般思维过程。

以下介绍相关定义及定理

一、常数项级数的概念 定义：无穷多常数项累加求和

...............4321++++=∑a a a a a

n

常见的几类重要的常数项级数

正项级数：级数中所有项均大于等于零。 交错级数：级数中的项正负相间的级数。 等比级数

∑=++++++n n aq aq aq aq aq a (32)

调和级数

P--级数

在以下的判别中这几类级数将会有重要的运用

二、相关定理

定理一：如果0

lim ≠∞

→n n a ，则可判断该级数一定不收敛。

111123n

+++

++11n n

∞

==∑1111123p p p p n

+++++11p

n n

∞

==∑

定理二、等比级数判别法：)

0(1

1

≠∑∞

=-a ar

n n

当1

定理三、--p 级数判别法：)0(1

1>∑∞

=p n n p

(1)当10≤

p 时，级数收敛

注：调和级数是特出的p 级数，这时p=1。

定理四、设∑n u 与∑n v 是两个正项级数，若

当n n v u ≤且级数∑n v 收敛时，级数∑n u 也收敛； 当n n u v ≤且级数∑n v 发散时，级数∑n u 也发散；

定理五、（极限形式）若∑n u

为正项级数，且lim q

u u n n =+1

则

(1)当1

(2)当1>q 时，或+∞=q 时，级数∑n u 发散；

注：当1=q 时，）比式判别法不能对级数的敛散性作出判断，

因为它可能是收敛的，也可能是发散的.例如，级数∑21n 与∑

n 1

，它

们的比式极限都是1lim

1=+∞→n n n u u 但∑21n 是收敛的，而∑n 1是发散的.

注：对于定理四和定理五当判断一个级数的敛散性时，需要构造一个级数，这个构造的过程就要求我们对一些常用的有特殊性质的级数有所了解。例如：调和级数，等比级数，p 级数。比较法虽然简单，但是需要构造新级数，所以比较麻烦。以下介绍一种方法用于自身比较。

定理六、（极限形式）若

∑n

u 为正项级数，且1

lim =∞

→n n n u 则

(1)当1l 时，级数发散

注：当1=l 时，根式不能对级数的敛散性作出判断例如，

级数∑21n 与∑n 1，二者都有1lim =∞n n

n u ，但∑21n 是收敛的，而∑n 1

是发散的.但∑21n 是收敛的，而∑n

1

是发散的.

定理七、 若交错级数n

n n u ∑∞

=--1

1

)

1(满足：

（1）),2,1(1 =≥+n u u n n ； （2）

lim =+∞

→n n u ．

则交错级数收敛

绝对收敛与条件收敛

对于一般项级数,21 ++++n u u u 其各项为任意实数，若级数

∑∞

=1

n n

u

各项的绝对值所构成的正项级数

∑∞

=1

n n

u

收敛，则称级数

∑∞

=1

n n

u

绝对

收敛；若级数∑∞

=1

n n

u

收敛，而级数

∑∞

=1

n n

u

发散，则称级数

∑∞

=1

n n

u

条件收敛．易

知21

1

1)

1(n n n ∑∞

=--是绝对收敛级数，而n n n 1)1(11∑∞

=--是条件收敛级数．

定理八、 若

∑∞

=1

n n

u

收敛，则

∑∞

=1

n n

u

必收敛．

对于有些特殊级数，既不是正项级数也不是交错级数，可以通过取绝对值，转换为正项级数后，再利用定理八，进行判断。 以下介绍一种通过积分判断的方法。此方法的特点是利用非负函数的