第七章 假设检验(F检验与卡方检验)

F分布表
• 左列是分母的自由度，最上一行是分子自由度， 表中间的两行分别是概率为0.05和0.01时对应的F 值。 • 如F0.05(2,9)
分母 的自 由度 df2 分子 的自 由度 df1
概率 0.05
练习
• • • • F0.05(10,10) F0.01(10,10) F0.01(5,10) F0.05(10,5)
• (4)设X~ 2(n)，则2分布的期望值E(X)=n，D(X)=2n • (5) 2分布是连续型分布，但有些离散型的分布也近似于 2分布。
2分布表
• 在附表6中，表的左列是自由度，最上一行是概率值， 即不同自由度时，某2值以上的概率，表中间所列数 值为不同自由度及概率下的2值。
2 df k 1 3 1 2， 0.05， 0 .05 （2） 5.99 2 2 0 5 . 99 1.22 .05 （2）
所以该校高中应届毕业生健康状况好、中、差的人数比率是1 : 2 : 1。
• 例子：某校高中应届毕业生180人(男生90人，女生 90人)，参加高考的结果如下表所示，问高考录取 名额是否具有性别差异？
F分布
2 2 如果 1 2 ，则F
S12
2 S2
~ F (n1 1, n2 1)
1 则 F
2 S2 2 S1
~ F（n2 1, n1 1 ）
F分布的特点
• (1)F分布是一个正偏态分布，它的分布曲线随分子、分母 的自由度不同而不同，随df1与df2的增加而渐趋于正态分 布。 • (2)F值总为正值。 • (3)当分子自由度为1，分母自由度为任意值时，F值与分母 自由度相同概率的t值(双侧概率)的平方相等。 • 如，F0.05(1,20)=4.35，F0.01(1,20)=8.10 t0.05/2(20)=2.083，t0.01/2(20)=2.845
• • 若自由度df=1，α=0.900，查2分布表可知P(2>0.02)=0.900 记20.900(1)=0.02
• 如df=5， α=0.05，查2分布表20.05(5)=？ • 如df=5， α=0.01，查2分布表20.01(5)=？ • 如df=10， α=0.05，查2分布表20.05(10)=？ p{2 > 2 tα(n)}= α
• F检验
– 方差齐性检验 – 两个独立样本的方差齐性检验
• F检验
– – – – – 提出待检验的假设H0和H1 S12 确定并计算统计量 F S 2 2 根据df1和df2值，对给定的显著性水平α 建立拒绝虚无假设的规则 作出统计决策
• 将检验统计量的值与拒绝规则所指定的临界值相比 较，确定是否拒绝虚无假设
性别 男生 女生 合计 录取人数 10（9） 8（9） 18 未录取人数 80（81） 82（81） 162 合计 90 90 180
i 1 • 则2服从自由度为n的2(n)分布，记为 2～2(n)。
xi2
2
n
2的特点
• (1) 2是一个正偏态分布，n越大，曲线越趋于对称(趋于 正态分布),n越小，曲线越不对称。 • (2) 2值都是正值。
• (3)若X1，X2，…，Xm相互独立，且Xi~ 2(ni)，i=1,2,…,m，则 X=X1+X2+Xm~ 2(n)，其中n=n1+n2+…+nm。
2分布表
• 如df=20， α=0.5，查2分布表20.5(20)=？ • 如df=20， α=0.05，查2分布表20.05(20)=？ • 如df=20， α=0.005，查2分布表20.005(20)=？
• 2分布在统计分析中应用于计数数据的假设检 验以及样本方差与总体方差差异是否显著的检 验。
X / n1 F Y / n2
若从两个相互独立的正 态总体中，随机抽取两 个独立样本, 分别求出 两个相应总体方差的估 计值，这两个总体方差 估计值的比值称为F比值 2 S1 即F 2 S2 F比值的抽样分布称为F分布
• F比值称为F统计量 • F统计量有两个自由度
– 分子自由度df1=n1-1 – 分母自由度df2=n2-1
对平均数差异的显著性检验的理论前提是假设两 个总体的方差是相同，或至少没有显著性差异。 Z检验和t检验 对两个总体的方差是否有显著性差异所进行的检 验称为方差齐性检验，即必须进行F检验。
F分布
• 若有两个服从正态分布的总体N1(μ1，σ1),N2(μ2，σ2)。检 验σ1和σ2是否有显著性差异？ • 在方差分析中，需要检验某个因素是否对指标有显著 的作用时需要F分布来解决。 • 设有两个总体X，Y，已知X~2(n1)，Y~2(n2)，并且 X与Y相互独立，则称随机变量F，所服从的分布为第 一自由度为n1，第二自由度为n2的F分布，记为F~F (n1,n2)。
例子：
• 全区统考中，全体学生的总方差为182，而 某校51名学生成绩的方差为122，问该校学 生成绩的方差与全区方差有无显著差异？ （取＝0.05）
2 n 1 S 2 n 1 解： 2 ~ 2 2 51 1 12 2 2
0
18 2 2 0 50 71 . 4 , .025 0.975 50 32.4
2 2 0 ，因此全市的方差和该校的方差有显著差异 .975
22.22
源自文库
• χ2检验
– χ2检验是对样本的频数分布所来自的总体分别 是否服从某种理论分布或某种假设分布所作的 假设检验。 – χ2检验适用于计数资料的检验
• 性别、人数、喜欢程度
– χ2检验是实得次数与理论次数偏离程度的差异 显著性检验。
S12
0.05, 查表得F0.05(9， 8) 3.39
(4)统计决断：F 3.74 F0.05(9， 8) 3.39 所以两校这次考试成绩离散程度有显著性差异。
卡方分布2
• 卡方分布是从正态分布中衍生出来的一类分布。 • 设X~N(0,1)，x1,x2,x3,…,xn是来自总体X的样本，则 x12+x22+x32+…+xn2所服从的概率分布就称为自由度 为n的卡方分布，即2。 • x1,x2,x3,…,xn相互独立且与X同分布，即这n个随机变 量独立且均服从标准正态分布N(0,1)。 • 则x12+x22+x32+…+xn2即n个相互独立且均服从标准正 态分布的随机变量的平方和
样本方差与总体方差的差异检验
样本方差和总体方差的比值服从自由度为 n 1的 分布，即
2

2
n 1S

2 0 2 2 2 1 2
2
~ n 1
2 2 2 1 2 2
当 2或 当
2 2
时S 与 差异显著,
2 2 0 2 0
2时S 与 差异不显著

2

( fe fo ) fe
f e为理论次数 f o为实得次数
• 例子：从某校高中应届毕业生中抽54进行体检， 健康状况属于良好的有15人，中等有23人，差的 有16人，问该校高中应届毕业生健康状况好、中 、差的人数比率是否是1:2:1？（α=0.05）
(1)建立假设H 0：健康状况好、中、差人数比率为1： 2： 1 (2)计算理论频数和 2 1 f e1 54 13 .5 4 2 f e 2 54 27 4 1 f e3 54 13 .5 4 (15 13 .5) 2 (23 27 ) 2 (16 13 .5) 2 2 1.22 13 .5 27 13 .5 (3)判断
• 例子：一次英语考试后，从两个学校分别随机抽 取试卷数量n1=10，n2=9，求得的样本修正方差 即总体方差估计值为S12=236，S22=63.36。问两校 这次考试离散程度是否有显著差异？（α=0.05）
解答
2 (1)假设离散程度无显著性差异，即H 0 : 12 2
236 (2)计算统计量F 2 3.74 S 2 63.36 (3)df 1 n1 1 10 1 9 df 2 n2 1 9 1 8