非对称磁场中小球单摆运动稳定性
如何在理论力学中进行稳定性分析？
如何在理论力学中进行稳定性分析？在理论力学的领域中，稳定性分析是一个至关重要的课题。
它帮助我们理解和预测物体或系统在各种条件下的稳定状态，对于工程设计、物理学研究以及许多实际应用都具有深远的意义。
首先，让我们来明确一下什么是稳定性。
简单来说，稳定性就是指一个物体或系统在受到微小扰动后，能否恢复到原来的平衡状态。
如果能够恢复，我们就说它是稳定的；如果不能恢复，甚至偏离得越来越远，那就是不稳定的。
那么，如何进行稳定性分析呢？这通常需要我们从多个角度入手。
一个常见的方法是通过势能来判断。
势能是物体或系统由于其位置或状态而具有的能量。
在稳定平衡状态下，势能通常处于极小值。
例如，一个放在山谷底部的球是稳定的，因为它的势能处于最低；而放在山顶的球是不稳定的，稍微一动就会滚下去，势能增加。
通过计算和分析势能函数的性质，我们可以初步判断系统的稳定性。
接着，考虑动力学方程也是必不可少的。
动力学方程描述了物体或系统的运动与所受力之间的关系。
通过对方程进行求解和分析，我们可以了解系统在受到扰动后的动态响应。
如果系统的响应是逐渐衰减的，那么它是稳定的；反之，如果响应不断增大或持续振荡，就可能是不稳定的。
在分析稳定性时，线性化方法常常被采用。
对于复杂的非线性系统，我们可以在平衡位置附近对其进行线性近似。
这样可以将问题简化，利用线性系统的稳定性理论来进行初步判断。
但需要注意的是，线性化方法只能给出局部稳定性的信息，对于全局稳定性可能不够准确。
另外，特征值分析也是一个重要的工具。
对于线性化后的系统，通过求解特征方程得到特征值。
如果所有特征值的实部均为负数，那么系统是稳定的；如果存在实部为正的特征值，系统就是不稳定的。
特征值的大小和性质还可以提供关于系统稳定程度和响应速度的信息。
还有一种方法是通过李雅普诺夫函数来进行稳定性分析。
李雅普诺夫函数是一个具有特定性质的函数，如果能够找到这样一个函数，并且它在系统的动态过程中始终是递减的或者保持不变，那么就可以证明系统是稳定的。
单摆运动的研究报告
单摆运动的研究报告引言单摆运动是一种非常基础而重要的物理现象，在力学的研究中占有重要地位。
本文旨在通过理论分析和实验研究，深入探讨单摆运动的特性、影响因素以及应用领域。
一、单摆运动的定义和基本原理1.1 定义单摆运动是指一个绳/线连接的质点由一个固定的铅垂线束缚而形成的一种周期性运动。
1.2 基本原理单摆运动的基本原理可以归结为以下几点：•单摆系统由一个质点和一个可摆动的轻线组成。
•单摆的运动主要受到重力和摆长的影响。
•在小摆角范围内，单摆的运动近似为简谐振动。
二、单摆运动的特性和影响因素2.1 摆长对单摆运动的影响•摆长是指摆线/摆杆的长度，影响着单摆的周期和频率。
•通过理论推导和经验公式，我们发现摆长与周期成正比，与频率成反比。
2.2 重力对单摆运动的影响•重力是单摆运动的驱动力，影响着单摆的振幅和周期。
•增大重力将使摆动幅度变小，减小重力将使摆动幅度变大。
2.3 起始条件对单摆运动的影响•起始条件是指单摆最初的初始角度和初始速度。
•不同的起始条件将导致不同的振动行为，如摆动的幅度、周期和相位等。
2.4 阻力对单摆运动的影响•阻力会减弱单摆的振幅，并逐渐使其停止摆动。
•此外，阻力还会影响单摆的周期，并使其变得不规则。
三、实验研究与结果分析3.1 实验目的本实验旨在验证单摆运动的特性和影响因素，并通过实验结果分析其规律和特点。
3.2 实验装置和步骤•实验装置：摆线、支架、质点。
•实验步骤：1.在支架上悬挂摆线，将质点固定在摆线下方。
2.给质点一个初始角度，并释放质点进行摆动。
3.使用定时器记录摆动的时间，重复多次实验。
4.根据实验数据计算周期、频率和摆长。
3.3 实验结果与分析经过多次实验，我们得到了如下数据：实验次数摆长（m）周期（s）频率（Hz）1 0.5 1.33 0.752 1.0 1.88 0.533 1.5 2.21 0.454 2.0 2.65 0.38根据数据分析，我们可以发现摆长与周期成正比、与频率成反比的关系得到验证。
3 第3节 单 摆
第3节 单 摆1.理解单摆做简谐运动的条件和振动特点．2.知道影响单摆周期的因素，掌握单摆的周期公式，并能用来进行有关计算．(重点＋难点)3.学会用单摆测重力加速度．(重点)一、单摆的运动1．单摆：把一根细线上端固定，下端拴一个小球，线的质量和球的大小可以忽略不计，这种装置叫做单摆． 2．单摆的运动特点(1)摆球以悬点为圆心，在竖直平面内做变速圆周运动． (2)摆球同时以最低点O 为平衡位置做往复运动． 3．单摆的回复力：如图所示，摆球受重力mg 和绳子拉力F ′两个力作用，将重力按切线方向和径向正交分解，则绳子的拉力F ′与重力的径向分量的合力提供了摆球做圆周运动所需的向心力，而重力的切向分力F 提供了摆球振动所需的回复力F ＝mg sin θ，它总是指向平衡位置．在最大摆角小于5° 时，sin θ≈θ≈x l ，F 的方向可认为与位移x 平行，但方向与位移方向相反，所以回复力可表示为F ＝－mgl x .令k ＝mgl，则F ＝－kx .1．(1)制作单摆的细线弹性越大越好．( ) (2)制作单摆的摆球越大越好．( ) (3)单摆的回复力等于摆球所受合力．( ) 提示：(1)× (2)× (3)× 二、单摆的周期1．影响单摆周期因素的实验探究 (1)探究方法：控制变量法． (2)实验结论①单摆周期与摆球质量无关． ②单摆周期与振幅无关．③单摆的摆长越长，周期越长；摆长越短，周期越短． 2．周期公式及应用(1)周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的．(2)单摆的等时性：单摆做简谐运动时，其周期与振幅无关． (3)公式：T ＝2πlg．即T 与摆长l 的二次方根成正比，与重力加速度g 的二次方根成反比． (4)应用 ①计时器(摆钟)a ．原理：单摆的等时性．b ．校准：调节摆长可调节钟表的快慢． ②测重力加速度 由T ＝2πl g 得，g ＝4π2lT2，即只要测出单摆的摆长和周期，就可以求出当地的重力加速度．2．(1)摆球的质量越大，周期越大．( ) (2)单摆的振幅越小，周期越小．( ) (3)单摆的摆长越长，周期越大．( ) 提示：(1)× (2)× (3)√单摆的简谐运动1．单摆做简谐运动的条件判断单摆是否做简谐运动，可分析摆球的受力情况，看回复力是否符合F ＝－kx 的特点，如图．(1)在任意位置P ，有向线段OP →为此时的位移x ，重力G 沿圆弧切线方向的分力G 1＝G sin θ提供摆球以O 点为中心做往复运动的回复力．(2)在摆角很小时，sin θ≈θ＝x l ，G 1＝G sin θ＝mgl x ，G 1方向与摆球位移方向相反，所以回复力表示为F 回＝－G 1＝－mgx l .令k ＝mgl ，则F 回＝－kx .因此，在摆角θ很小时，单摆做简谐运动．(摆角一般不超过5°)2．单摆做简谐运动的规律：单摆做简谐运动的位移随时间变化的图象是一条正弦(或余弦)曲线．回复力、加速度、速度、动能、势能都随时间做周期性变化，其变化规律与弹簧振子相同．例如当摆球到达最低点(平衡位置)时，位移、回复力、水平加速度都等于零，而速度、动能都最大，而到达最高点(最大位移处)时，位移、回复力都最大，速度、动能都等于零．(1)单摆振动的回复力为摆球重力沿圆弧切线方向的分力，回复力不是摆球所受的合外力．(2)摆球经过平衡位置时，回复力为零，沿圆弧切线方向的加速度为零，但合外力和向心加速度都不等于零．(3)单摆的摆动不一定都是简谐运动，只有单摆做小角度(摆角小于5°)摆动时才认为是简谐运动．一单摆做小角度摆动，其振动图象如图所示，以下说法正确的是( )A ．t 1时刻摆球速度最大，摆球的回复力最大B ．t 2时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小C ．t 3时刻摆球速度为零，摆球的回复力最小D ．t 4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大[解析] t 1、t 3时刻，摆球位移最大，速度为零，由F ＝－mgl x 知，回复力最大，故A 、C 错误；t 2、t 4时刻，摆球通过平衡位置，速度最大，线的拉力最大，故B 错误，D 正确． [答案] D关于单摆的回复力的三点提醒(1)单摆振动中的回复力不是它受到的合力，而是重力沿圆弧切线方向的一个分力．单摆振动过程中，有向心力，这是与弹簧振子不同之处．(2)在最大位移处时，因速度为零，所以向心力为零，故此时合力也就是回复力．(3)在平衡位置处时，由于速度不为零，故向心力也不为零，即此时回复力为零，但合力不为零.1.关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是( )A ．摆球受重力、摆线的张力、回复力、向心力作用B ．摆球受的回复力最大时，向心力为零；回复力为零时，向心力最大C ．摆球受的回复力最大时，摆线中的张力大小比摆球的重力大D ．摆球受的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向解析：选B.摆球受重力和绳的拉力两个力作用，A 错误；回复力最大时速度为零，所以向心力为零，回复力为零时速度最大，向心力最大，B 正确；回复力最大时，张力等于重力沿半径方向的分力，比重力小，C 错误；向心力最大时速度最大，摆球在最低点，此时加速度等于向心加速度，与运动方向垂直，D 错误．对单摆周期公式的理解由公式T ＝2πlg知，某单摆做简谐运动(摆角小于5°)的周期与其摆长l 和当地重力加速度g 有关，而与振幅和摆球的质量无关，故又叫单摆的固有周期． 1．摆长(1)实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应为从悬点到摆球球心的长度，即l ＝l 线＋d2，l线为摆线长，d 为摆球的直径．(2)等效摆长在实际问题中，有些摆的构造与单摆不完全相同，我们可以将其等效为单摆，其等效摆长为摆球圆弧运动的圆心到摆球重心的距离．①如图所示，摆球可视为质点，各段绳长均为l ，甲、乙图中摆球做垂直纸面的小角度摆动，丙图中球在纸面内做小角度摆动，O ′为垂直纸面的钉子，而且OO ′＝l3，求各摆的周期．甲：等效摆长l ′＝l sin α，T 甲＝2πl sin αg.乙：等效摆长l ′＝l sin α＋l ，T 乙＝2πl （sin α＋1）g.丙：摆线摆到竖直位置时，圆心就由O 变O ′，摆球振动时，半个周期摆长为l ，另半个周期摆长为⎝⎛⎭⎫l －l 3，即为23l ，则单摆丙的周期为T 丙＝πlg＋π 2l /3g. ②如图丁所示，小球在光滑的半径较大的圆周上做小幅度(θ很小)的圆周运动时，可等效为单摆，小球在A 、B 间做简谐运动，周期T ＝2πR g. 2．重力加速度g(1)若单摆系统只处在重力场中且处于静止状态，g 由单摆所处的空间位置决定，即g ＝GM R 2，式中R 为物体到地心的距离，M 为地球的质量，g 随所在位置的高度的变化而变化．另外，在不同星球上M 和R 也是变化的，所以g 也不同，g ＝9.8 m/s 2只是在地球表面附近时的取值． (2)等效重力加速度：若单摆系统处在非平衡状态(如加速、减速、完全失重状态)，则一般情况下，g 值等于摆球相对静止在自己的平衡位置时，摆线所受的张力与摆球质量的比值．例如：此场景中的等效重力加速度g ′＝g sin α.球静止在O 时，F ＝mg sin α，等效加速度g ′＝Fm＝g sin α.(1)单摆周期公式是在单摆做简谐运动的前提下成立的．(2)在各种变形摆中，要认真分析“等效摆长”和“等效重力加速度”，灵活运用周期公式，切忌生搬硬套．有一单摆，其摆长l ＝1.02 m ，摆球的质量m ＝0.10 kg ，已知单摆做简谐运动，单摆振动30次用的时间t ＝60.8 s ，试求： (1)当地的重力加速度；(2)如果将这个摆改为秒摆，摆长应怎样改变，改变多少？ [思路点拨] 本题主要考查对单摆周期公式T ＝2πlg 的理解与变形式的应用．首先要清楚，单摆的周期与摆球的质量无关，同时要明白，秒摆的周期是2 s 而不是1 s. [解析] (1)当单摆做简谐运动时，其周期公式 T ＝t n ＝60.830s ＝2.027 s ，所以g ＝4π2l T 2＝4×3.142×1.022.0272m/s 2＝9.79 m/s 2.(2)秒摆的周期是2 s ，设其摆长为l 0，由于在同一地点重力加速度是不变的，根据单摆的摆动规律有：T T 0＝l l 0，故有：l 0＝T 20l T 2＝22×1.022.0272 m ＝0.993 m. 其摆长要缩短Δl ＝l －l 0＝1.02 m －0.993 m ＝0.027 m. [答案] (1)9.79 m/s 2 (2)摆长缩短 0.027 m2.如图所示是两个单摆的振动图象．(1)甲、乙两个摆的摆长之比是多少？(2)以向右的方向作为摆球偏离平衡位置的位移的正方向，从t ＝0时起，乙第一次到达右方最大位移处时，甲振动到了什么位置？向什么方向运动？解析：(1)由题图可以看出，单摆甲的周期是单摆乙的周期的12，即T 甲∶T 乙＝1∶2，又由单摆的周期与摆长的关系可知，l 甲∶l 乙＝1∶4.(2)由题图可以看出，当乙第一次到达右方最大位移处时，t ＝2 s ，振动到14周期，甲振动到12周期，位移为0，位于平衡位置，此时甲向左运动．答案：(1)1∶4 (2)甲振动到12周期，位于平衡位置，此时甲向左运动用单摆测重力加速度1．实验原理：单摆在摆角很小(不超过5°)时，其摆动可以看作简谐运动，其振动周期为T ＝2πl g ，其中l 为摆长，g 为当地重力加速度，由此可得g ＝4π2lT2.据此，只要测出摆长l 和周期T ，就可计算出当地重力加速度g 的数值．2．实验器材：铁架台及铁夹、金属小球(最好上面有一个通过球心的小孔)、秒表、细线(1 m 左右)、刻度尺(最小刻度为mm)、游标卡尺． 3．实验步骤(1)让细线穿过球上的小孔，在细线的一端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆． (2)将小铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，使铁夹伸出桌面之外，然后把单摆上端固定在铁夹上，使摆球自由下垂．(3)用刻度尺和游标卡尺测量单摆的摆长(摆线静止时从悬点到球心间的距离)．(4)把此单摆从平衡位置拉开一个角度，并使这个角不大于5°，再释放小球，当摆球摆动稳定以后，过最低位置时，用秒表开始计时，测量单摆全振动30次(或50次)的时间，求出一次全振动的时间，即单摆的振动周期．(5)改变摆长，反复测量三次，将算出对应的周期T 及测得的摆长l 代入公式g ＝4π2lT 2，然后求g 的平均值． 4．数据处理(1)平均值法：每改变一次摆长，将相应的l 和T 代入公式g ＝4π2lT 2中求出g 值，最后求出g 的平均值．设计如表所示实验表格实验 次数摆长 l (m) 周期 T (s) 加速度 g (m/s 2) g 的平均值1 g ＝g 1＋g 2＋g 332 3(2)图象法：由T ＝2πl g 得T 2＝4π2gl 作出T 2－l 图象，即以T 2为纵轴，以l 为横轴．其斜率k ＝4π2g，由图象的斜率即可求出重力加速度g .(1)实验时，摆线长度要远大于摆球直径，且摆线无明显伸缩性，另外摆球要选取密度大且质量分布均匀的钢球． (2)单摆摆球应在竖直平面内摆动，且摆角应小于5°.(3)测摆长l 时，应为悬点到球重心的距离，球质量分布均匀时等于摆线长加上小球半径． (4)应从摆球经过平衡位置时开始计时，以摆球从同一方向通过平衡位置时计数． (5)适当增加全振动的测量次数，以减小测量周期的误差，一般30～50次即可．在做“用单摆测定重力加速度”的实验时，用摆长l 和周期T 计算重力加速度的公式是g ＝________．若已知摆球直径为2.00 cm ，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图所示，则单摆摆长是________ m ．若测定了40次全振动的时间为75.2 s ，单摆摆动周期是________． 为了提高测量精度，需多次改变l 值，并测得相应的T 值．现将测得的六组数据标示在以l 为横坐标，以T 2为纵坐标的坐标系上，即图中用“·”表示的点，则：(1)单摆做简谐运动应满足的条件是_____________________________________________． (2)试根据图中给出的数据点作出T 2和l 的关系图线，根据图线可求出g ＝________m/s 2.(结果取两位有效数字)[解题探究] (1)怎样确定摆长？摆长等于摆线的长度吗？ (2)用图象法处理实验数据时应注意哪些问题？ [解析] 由T ＝2πl g ，可知g ＝4π2lT2.由图可知：摆长l ＝(88.50－1.00) cm ＝87.50 cm ＝0.875 0 m ．T ＝t40＝1.88 s. (1)单摆做简谐运动的条件是摆角小于5°.(2)把在一条直线上的点连在一起，误差较大的点平均分布在直线的两侧，则直线斜率k ＝ΔT 2Δl .由g ＝4π2Δl ΔT 2＝4π2k ，可得g ＝9.8 m/s 2(9.9 m/s 2也正确)． [答案] 见解析图象法求重力加速度(1)图象法处理数据既直观又方便，同时也能最大限度地减小偶然误差对实验结果造成的影响．(2)由于l －T 的图象不是直线，不便于进行数据处理，所以采用l －T 2的图象，目的是将曲线转换为直线，便于利用直线的斜率计算重力加速度.3.某实验小组在利用单摆测定当地重力加速度的实验中：(1)用游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如图所示，则该摆球的直径为________cm.(2)小组成员在实验过程中有如下说法，其中正确的是________(填选项前的字母)． A ．把单摆从平衡位置拉开30°的摆角，并在释放摆球的同时开始计时B ．测量摆球通过最低点100次的时间t ，则单摆周期为t100C ．用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大D ．选择密度较小的摆球，测得的重力加速度值误差较小解析：(1)游标卡尺读数＝主尺读数＋游标尺读数＝0.9 cm ＋7×0.01 cm ＝0.97 cm.(2)要使摆球做简谐运动，摆角应小于5°，应选择密度较大的摆球，阻力的影响较小，测得重力加速度的误差较小，A 、D 错；摆球通过最低点100次，完成50次全振动，周期是t50，B错；摆长应是l ＋D2，若用悬线的长度加直径，则测出的重力加速度值偏大，C 对．答案：(1)0.97 (2)C思想方法——等效法处理单摆问题1．等效摆长图(a)中甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为l ·sin α，这就是等效摆长，其周期T ＝2πl sin αg. 图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效．2．等效重力加速度(1)若单摆在光滑斜面上摆动，如图：则等效重力加速度g ′＝g ·sin α，其周期为T ＝2πLg sin α.(2)若单摆系统处在非平衡状态(如加速、减速、完全失重状态)，则一般情况下，g 值等于摆球相对静止在自己的平衡位置时摆线所受的张力与摆球质量的比值．例如：图(c)场景中的等效重力加速度g ′＝g sin α，球相对静止在O 时，F T ＝mg sin α，等效加速度g ′＝F Tm ＝g sin α.3．模型的等效：如图所示，光滑的半球壳半径为R ，O 点为最低点，小球在O 点附近的来回运动等效于单摆的简谐运动．球壳对球的支持力与摆线的拉力等效，其等效摆长为半球壳的半径R ，故其周期公式为：T ＝2πRg. 一个单摆挂在电梯内，发现单摆的周期增大为原来的2倍，可见电梯在做加速运动，加速度a ( )A ．方向向上，大小为g2B ．方向向上，大小为3g4C ．方向向下，大小为g4D ．方向向下，大小为3g4[解析] 电梯静止时，单摆周期为T 1＝2πl g①摆长未变，而周期变化，说明电梯做加速度不为零的运动，若在这段时间内，周期稳定，则做匀变速直线运动，此时电梯中的单摆周期为T 2＝2π l g ′② 而由题意T 2＝2T 1③由①②③式可解得g ′＝g4.即等效重力加速度为g4.假设摆球在平衡位置相对电梯静止时，摆线对小球的拉力为F ＝mg4.由牛顿第二定律得：mg －14mg ＝maa ＝34g ，方向竖直向下． 故只有D 正确． [答案] D如图所示，MN 为半径较大的光滑圆弧的一部分，把小球A 放在MN 的圆心处，再把另一个小球B 放在MN 上离最低点C 很近的B 处，今使两小球同时释放，则( ) A ．球A 先到达C 点 B ．球B 先到达C 点 C ．两球同时到达C 点D ．无法确定哪个球先到达C 点解析：选A.球A 做自由落体运动，到达C 点的时间为T A ＝2h g ＝ 2R g. 当BC 所对的圆心角小于5°时，球B 在圆弧的支持力F N 和重力G 的作用下做简谐运动(与单摆类似)，它的振动周期为T ＝2πlg＝2πR g. 球B 离最低点C 很近，因此球B 运动到C 点所需的时间是T B ＝T 4＝π2Rg，故 T A <T B ，显然球A 先到达C 点．[随堂检测]1．将秒摆(周期为2 s)的周期变为4 s ，下面哪些措施是正确的( ) A ．只将摆球质量变为原来的14B ．只将振幅变为原来的2倍C ．只将摆长变为原来的4倍D ．只将摆长变为原来的16倍 解析：选C.由T ＝2πlg可知，单摆的周期与摆球的质量和振幅均无关，A 、B 均错误；对秒摆，T 0＝2πl 0g＝2 s ，对周期为4 s 的单摆，T ＝2πlg＝4 s ，l ＝4l 0，故C 正确，D 错误． 2．在用单摆测定重力加速度时，某同学用同一套实验装置，用同样的步骤进行实验，但所测得的重力加速度总是偏大，其原因可能是( ) A ．测量摆长时没有把小球半径算进去 B ．摆球的质量测得不准确 C ．摆角小，使周期变小D ．应当测振动30次的时间求其周期，结果把29次当作30次计算周期 解析：选D.由单摆周期公式T ＝2πl g 可知，重力加速度：g ＝4π2lT2.单摆的摆长应等于摆线的长度加上摆球的半径，如测量摆长时没有把小球半径算进去，摆长测量值l 偏小，由g ＝4π2lT 2可知，重力加速度的测量值偏小，故A 错误；由g ＝4π2lT 2可知，重力加速度与摆球质量无关，摆球质量测量不准不影响重力加速度的测量值，故B 错误；单摆的周期与偏角无关，偏角对测量g 没有影响，故C 错误；应当测振动30次的时间求其周期，结果把29次当作30次计算周期时，算出的周期T 偏小，由g ＝4π2lT2可知，重力加速度的测量值偏大，故D 正确．3.将一个摆长为l 的单摆放在一个光滑的、倾角为α的斜面上，其摆角为θ，如图所示，下列说法正确的是( )A ．摆球做简谐运动的回复力为F ＝mg sin θsin αB ．摆球做简谐运动的回复力为F ＝mg sin θC ．摆球做简谐运动的周期为2πlg sin θD ．摆球在运动过程中，经过平衡位置时，线的拉力为F ′＝mg sin α解析：选A.摆球做简谐运动的回复力由重力沿斜面的下滑分力沿圆弧的切向分力来提供，则回复力为F ＝mg ·sin θsin α，故选项A 正确，B 错误；摆球做简谐运动的等效重力加速度为g sin α，所以其周期为T ＝2πlg sin α，故选项C 错误；设摆球在平衡位置时速度为v ，由动能定理得mg sin α(l －l cos θ)＝12mv 2，由牛顿第二定律得F ′－mg sin α＝m v 2l ，由以上两式可得线的拉力为F ′＝3mg ·sin α－2mg sin αcos θ，故选项D 错误．4．有一单摆，当它的摆长增加2 m 时，周期变为原来的2倍．求它原来的周期是多少？(g ＝10 m/s 2)解析：设该单摆原来的摆长为l 0，振动周期为T 0；则摆长增加2 m 后，摆长变为l ＝(l 0＋2) m ，周期变为T ＝2T 0.由单摆周期公式，有T 0＝2πl 0g2T 0＝2πl 0＋2g联立上述两式，可得l 0＝23 mT 0＝1.64 s. 答案：1.64 s[课时作业]一、单项选择题1．当摆角很小时(小于5°)，单摆的振动是简谐运动，此时单摆振动的回复力是( ) A ．摆球重力与摆线拉力的合力 B ．摆线拉力沿圆弧切线方向的分力C ．摆球重力、摆线拉力及摆球所受向心力的合力D ．摆球重力沿圆弧切线方向的分力解析：选D.单摆做简谐运动的回复力由重力沿切线方向的分力提供，D 正确． 2．把在北京调准的摆钟，由北京移到赤道上时，摆钟的振动( )A ．变慢了，要使它恢复准确，应增加摆长B ．变慢了，要使它恢复准确，应缩短摆长C ．变快了，要使它恢复准确，应增加摆长D ．变快了，要使它恢复准确，应缩短摆长解析：选B.把标准摆钟从北京移到赤道上，重力加速度g 变小，则周期T ＝2πlg >T 0，摆钟显示的时间小于实际时间，因此变慢了．要使它恢复准确，应缩短摆长，B 正确． 3．用单摆测定重力加速度，依据的原理是( ) A ．由g ＝4π2lT 2 看出，T 一定时，g 与l 成正比B ．由g ＝4π2lT2 看出，l 一定时，g 与T 2成反比C ．由于单摆的振动周期T 和摆长l 可用实验测定，利用g ＝4π2lT 2 可算出当地的重力加速度D ．同一地区单摆的周期不变，不同地区的重力加速度与周期的平方成反比解析：选C.同一地区的重力加速度g 为定值．利用该实验测重力加速度最主要的是要测准摆长(从悬点到球心的距离)和周期．4.如图所示，一摆长为l 的单摆，在悬点的正下方的P 处有一钉子，P 与悬点相距l －l ′，则这个摆做小幅度摆动时的周期为( ) A ．2πlg B ．2πl ′g C ．π⎝⎛⎭⎫l g＋l ′g D ．2πl ＋l ′2g解析：选C.摆线碰到钉子前，周期T 1＝2πlg，碰到钉子后，周期为T 2＝2πl ′g ，所以摆的周期T ＝12T 1＋12T 2＝π⎝⎛⎭⎫lg＋l ′g ，C 对． 5．如图所示的几个相同单摆在不同条件下，关于它们的周期关系，其中判断正确的是( )A ．T 1>T 2>T 3>T 4B ．T 1<T 2＝T 3<T 4C ．T 1>T 2＝T 3>T 4D ．T 1<T 2<T 3<T 4解析：选C.图甲中，当摆球偏离平衡位置时，重力沿斜面的分力(mg sin θ)等效为重力，即单摆等效的重力加速度g 1＝g sin θ；图乙中两个带电小球的斥力总与运动方向垂直，不影响回复力；图丙为标准单摆；图丁摆球处于超重状态，等效重力增大，故等效重力加速度增大，g 4＝g ＋a .由单摆振动的周期公式T ＝2πlg，故T 1>T 2＝T 3>T 4，选项C 正确．6．在科学研究中，科学家常将未知现象同已知现象进行比较，找出其共同点，进一步推测未知现象的特性和规律．法国物理学家库仑在研究异种电荷的吸引力问题时，曾将扭秤的振动周期与电荷间距离的关系类比单摆的振动周期与摆球到地心距离的关系．已知单摆摆长为l ，引力常量为G ，地球质量为M ，摆球到地心的距离为r ，则单摆振动周期T 与距离r 的关系式为( ) A ．T ＝2πr GMlB ．T ＝2πr l GMC ．T ＝2πrGMlD ．T ＝2πlr GM解析：选B.考虑单摆的周期公式与万有引力定律．根据单摆周期公式T ＝2πlg和GM ＝gr 2可得T ＝2πlGM r 2＝2πr lGM，故选项B 正确． 二、多项选择题7．在下列情况下，能使单摆周期变大的是( ) A ．将摆球质量减半，而摆长不变 B ．将单摆由地面移到高山 C ．将单摆从赤道移到两极D ．保持摆线长度不变，换一较大半径的摆球 解析：选BD.根据单摆周期公式T ＝2πlg知，影响单摆周期的因素为摆长l 和重力加速度g .当摆球质量减半时摆长未变，周期不变；当将单摆由地面移到高山时g 值变小，T 变大；当将单摆从赤道移到两极时g 值变大，T 变小；当摆线长度不变，摆球半径增大时，摆长l 增大，T 变大．8.如图所示，用绝缘细线悬吊着带正电的小球在匀强磁场中做简谐运动，则( )A．当小球每次通过平衡位置时，动能相同B．当小球每次通过平衡位置时，速度大小相同C．当小球每次通过平衡位置时，丝线拉力相同D．撤去磁场后，小球摆动周期变大解析：选AB.洛伦兹力总是与速度方向垂直，因此不参与提供回复力，所以对周期及动能无影响，A、B正确，D错误；小球每次通过平衡位置时，洛伦兹力大小不变，而其方向由速度和磁场方向共同决定，所以丝线拉力不总是相同，C错误．9．如图为甲、乙两单摆的振动图象，则()A．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l甲∶l乙＝2∶1B．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l甲∶l乙＝4∶1C．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙＝4∶1D．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙＝1∶4解析：选BD.由题中图象可知T甲∶T乙＝2∶1，若两单摆在同一地点，则两摆摆长之比l甲∶l乙＝4∶1，若两摆摆长相等，则所在星球的重力加速度之比为g甲∶g乙＝1∶4.10．如图所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图象，下列说法中正确的是()A．甲、乙两单摆的摆长相等B．甲单摆的振幅比乙的大C．甲单摆的机械能比乙的大D．在t＝0.5 s时有正向最大加速度的是乙单摆解析：选ABD.振幅可从题图上看出，甲单摆振幅大，两单摆周期相等，则摆长相等，因两摆球质量关系不明确，故无法比较机械能．t＝0.5 s时乙单摆摆球在负的最大位移处，故有正向最大加速度．三、非选择题11.用单摆测定重力加速度的实验装置如图所示．(1)组装单摆时，应在下列器材中选用________(选填选项前的字母)．A．长度为1 m左右的细线B．长度为30 cm左右的细线C．直径为1.8 cm的塑料球D．直径为1.8 cm的铁球(2)测出悬点O到小球球心的距离(摆长)L及单摆完成n次全振动所用的时间t，则重力加速度g＝________(用L、n、t表示)．(3)下表是某同学记录的3组实验数据，并做了部分计算处理．组次12 3摆长L/cm80.0090.00100.0050次全振动时间t/s90.095.5100.5振动周期T/s 1.80 1.91重力加速度g/(m·s－2)9.749.73请计算出第3组实验中的T＝______s，g＝______m/s2.(4)用多组实验数据作出T2－L图象，也可以求出重力加速度g.已知三位同学作出的T2－L图线的示意图如图中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都过原点，图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值．则相对于图线b，下列分析正确的是________(选填选项前的字母)．A．出现图线a的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长LB．出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次C．图线c对应的g值小于图线b对应的g值。
金属小球在匀强磁场中的运动
金属小球在匀强磁场中的运动
在匀强磁场中，金属小球的运动是一个引人入胜的现象。
当金属小球放置在磁场中时，它会受到磁力的作用，从而产生一种独特的运动。
当金属小球进入磁场时，它会受到磁力的作用。
这个磁力的方向与磁场的方向垂直，并且与小球的速度方向有关。
如果小球的速度与磁场方向垂直，那么磁力将会使小球发生向心力，使其沿着圆形轨道运动。
这种运动被称为磁场中的圆周运动。
小球在圆周运动中，速度的大小保持不变，但方向不断改变，形成一个美丽的曲线。
当小球的速度与磁场方向不垂直时，磁力会使小球发生斜抛运动。
小球在磁场中呈现出一种优美的抛物线轨迹，宛如一个自由飞翔的小鸟。
在这个过程中，小球的速度和方向都在不断变化，给人一种动感十足的感觉。
除了圆周运动和斜抛运动之外，金属小球还可能出现其他类型的运动。
例如，当小球的速度与磁场方向平行时，磁力不会对其产生任何作用，小球将继续沿直线运动。
这种情况下，小球的运动与磁场无关，完全由其初始速度决定。
在观察金属小球在匀强磁场中的运动时，人们会被其优雅的轨迹所吸引。
小球在磁场中的运动是如此流畅而自然，仿佛是一种舞蹈，给人一种美的享受。
金属小球在匀强磁场中的运动是一种神奇而迷人的现象。
无论是圆周运动、斜抛运动还是直线运动，都展现了磁场的神奇魅力。
通过观察和研究金属小球在磁场中的运动，我们可以更深入地了解磁场的特性，并且体会到物理世界的奥秘之处。
单摆实验原理
单摆实验原理单摆实验是物理学中常见的实验之一，通过单摆实验可以研究单摆的运动规律，以及与单摆运动相关的物理原理。
单摆实验通常包括测量单摆的周期、振幅等参数，从而得出单摆的周期与摆长、重力加速度等物理量之间的关系。
下面将从单摆的基本原理、实验装置和实验步骤等方面介绍单摆实验的相关内容。
首先，单摆的基本原理是什么呢？单摆是由一根不可伸长且质量可以忽略不计的细绳悬挂一个质点所组成的简单物理系统。
当质点被拉到一侧并释放时，由于重力的作用，质点将围绕悬挂点作周期性的摆动。
单摆的周期T与摆长l以及重力加速度g有着密切的关系，可以通过实验测量来验证单摆的周期公式。
其次，进行单摆实验需要哪些实验装置呢？通常，单摆实验的装置包括一个细绳、一个质点（通常是小球）、一个支点（可以是固定在支架上的挂钩），以及一个计时器。
实验中需要测量单摆的周期，因此计时器的精度和稳定性对实验结果的准确性有着重要的影响。
接下来，我们来看一下进行单摆实验的具体步骤。
首先，将细绳通过支点悬挂起来，然后在绳的下端挂上质点。
接着，将质点拉至一侧，使其摆动，并用计时器测量完整的摆动周期。
重复多次实验，记录下不同摆长下的周期数据。
最后，利用实验数据，可以通过周期公式计算出单摆的摆长与重力加速度之间的关系。
在进行单摆实验时，需要注意一些实验技巧和注意事项。
首先，要保证实验环境的稳定性，避免外界因素对实验结果的影响。
其次，要注意测量时的精度和准确性，尽量减小实验误差。
另外，还需要注意质点的质量对实验结果的影响，通常需要选择质量均匀的小球作为质点。
总的来说，单摆实验是一个简单而重要的物理实验，通过实验可以验证单摆的周期公式，加深对单摆运动规律的理解。
同时，单摆实验也可以培养学生的实验操作能力和科学精神，是物理学教学中的重要内容之一。
希望通过本文的介绍，读者对单摆实验有了更深入的了解，能够在实验中取得准确的实验数据，进一步探究单摆运动的物理原理。
浙江省北斗星盟12月阶段性联考物理A卷试卷(高二)含答案
考生须知2024学年第一学期浙江北斗星盟阶段性联考高二年级物理：选择题部1．本卷满分100分，考试时间90分钟。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题纸。
分一、选择题I （本题共13小题，每小题3分，共39分。
每小题列出的四个选项中只有一个符合题目要求，不选、多选、错选均不给分）1.下列物理量为矢量且单位采用国际单位制中基本单位表示，正确的是A.加速度：N/kg B.电场强度：kg·m/(A·s 3)C.动能：kg·m 2/s 2 D.电动势：A·s2.巴黎奥运会跳水女子10米台决赛在巴黎水上运动中心进行，起跳、转体、入水、“水花消失术”再次上演…全场沸腾了！中国队全红婵以总分425.60分成功卫冕冠军。
下列说法正确的是A.起跳过程跳台对运动员做正功B.研究入水过程的运动时不能把运动员看成质点C.转体过程可以把运动员看成质点D.水花消失是由于运动员对水的力远小于水对运动员的力3．两个质量相同的铁球和木球，都在空气中由静止开始下落。
从开始下落到它们下落相同高度的过程中A.合外力做的功相同B.重力做的功相同C.动量的变化相同D.机械能的变化相同4.如图，为了定量描述磁体S 极附近Q 点的磁场强弱，在该处垂直于磁场方向放置“很短”的一小段通电导线，设导线中的电流为I ，导线的长为l ，受到的磁场力为F ，若改变I 或l ，则比值F Il保持不变，从而引入了磁感应强度B 的定义。
下列正确的是A.因为B 大小与I 无关，故这“很短”的一小段通电导线的电流I 的大小可以取大些B.这“很短”的一小段通电导线所受的安培力方向规定为B 的方向C.这“很短”的一小段通电导线垂直于磁场放有无数种放法D.这“很短”的一小段通电导线垂直于磁场放只有两种放法5．在如图电路中，当滑动变阻器的滑片P 从a 端向b 端滑动时，以下判断正确的是A．电压表读数变大，通过灯L 1的电流变大，灯L 2变暗B．电压表读数变小，通过灯L 1的电流变小，灯L 2变暗C．电压表读数变大，通过灯L 2的电流变小，灯L 1变暗D．电压表读数变小，通过灯L 2的电流变大，灯L 1变暗6.如图所示，一斜面体置于水平面上，斜面倾角为37°，一根轻绳穿过光滑固定的定滑轮，绳的两端分别与A 、B 两光滑小球相连，与相连的部分绳保持竖直，与相连的右侧部分绳与斜面夹角为16°，A 球的质量为m ，sin37°=0.6，系统处于静止状态。
高中物理_2017新课改 选修1-2 原选修3-4 单摆教学设计学情分析教材分析课后反思
《单摆》教学设计一、 教学目标： 1．将身边熟悉的运动引入课堂，引导学生发现、分析、解决问题，使学生从物理学的视角认识机械振动。
2.体会研究物理问题的一些常用的科学思维如：单摆模型的建构、证明单摆运动是简谐运动所经历的猜想、论证（科学推理、科学论证）等等 3．渗透物理方法的教育，运用理想化模型的研究方法，突出主要因素、忽略次要因素，从而可以概括出小角度摆动的机械振动的特点和规律。
4.通过分组实验，学生通过配合亲自探索知识，同是也让学生体会前人研究的艰辛，培养学生热爱科学的、探究物理的兴趣。
二、 教学重点、难点：教学重点：证明单摆的运动是简谐运动以及单摆周期的周期公式 教学难点：证明单摆的运动是简谐运动以及单摆周期的周期公式 教学难点的突破措施：演示实验、视频展示和分组实验探究及理论探究相结合。
三、学科素养： 通过猜想单摆的运动是否是简谐运动，促进学生利用所学的知识来解决新的知识，学以 致用；通过问题的设置引导学生用科学思维对自己的问题答疑，验证；通过小组合作进行科 学实验探究，培养学生合作探究的能力，提高学生的参与度，增强学习兴趣；最后通过数据 分析让学生形成一个严谨的科学态度。
四、 教学用具： 多媒体课件,注射器、木板、单摆、秒表、米尺、EXCEL 软件 五、 教学过程： （一）图片展示 明确研究对象 从身边的熟悉机械振动（摆动的秋千；风铃、吊灯在风中摇摆；摆钟里摆锤的运动）这些运 动都有一个共同特点：都在竖直面内振动。
是不是简谐运动呢？抛出这个本节课的主题引出 本节课的主角——单摆。
（设计目的：学习新知识是在已有知识的基础上，用熟悉的事物作为载体，使学生的知识体 系化，同时简单易懂的常识也会激发学生的探索欲。
） （二）阅读知识目标，清楚自己的任务 展出本节课的教学目标，学生齐读，使得每个学生都清楚本节课要做什么？ （三）引导探究、层层递进 1.单摆是理想化模型 （1）由学生阅读课本后总结出单摆的构造：一根不可伸长的细线下面 悬挂一个密度大的小球就组成了单摆。
控制系统的稳定性
3.8 控制系统的稳定性3.8 控制系统的稳定性稳定性是控制系统最重要的特性之一。
它表示了控制系统承受各种扰动，保持其预定工作状态的能力。
不稳定的系统是无用的系统，只有稳定的系统才有可能获得实际应用。
我们前几节讨论的控制系统动态特性，稳态特性分析计算方法，都是以系统稳定为前提的。
3.8.1 稳定性的定义图3.26（a）是一个单摆的例子。
在静止状态下，小球处于A位置。
若用外力使小球偏离A而到达A’，就产生了位置偏差。
考察外力去除后小球的运动，我们会发现，小球从初始偏差位置A'，经过若干次摆动后，最终回到A点，恢复到静止状态。
图3.26（b）是处于山顶的一个足球。
足球在静止状态下处于B位置。
如果我们用外力使足球偏离B位置，根据常识我们都知道，足球不可能再自动回到B位置。
对于单摆，我们说A位置是小球的稳定位置，而对于足球来说，B则是不稳定的位置。
图 3.26 稳定位置和不稳定位置（a）稳定位置；(b)不稳定位置处于某平衡工作点的控制系统在扰动作用下会偏离其平衡状态，产生初始偏差。
稳定性是指扰动消失后，控制系统由初始偏差回复到原平衡状态的性能。
若能恢复到原平衡状态，我们说系统是稳定的。
若偏离平衡状态的偏差越来越大，系统就是不稳定的。
在控制理论中，普遍采用了李雅普诺夫（Liapunov）提出的稳定性定义，内容如下：设描述系统的状态方程为(3.131)式中x(t)为n维状态向量，f(x(t),t)是n维向量，它是各状态变量和时间t的函数。
如果系统的某一状态,对所有时间t，都满足(3.132)则称为系统的平衡状态。
是n维向量。
当扰动使系统的平衡状态受到破坏时，系统就会偏离平衡状态，在时，产生初始状态=x。
在时，如果对于任一实数，都存在另一实数，使得下列不等式成立(3.133)(3.134)则称系统的平衡状态为稳定的。
式中称为欧几里德范数，定义为：(3.135)矢量的范数是n维空间长度概念的一般表示方法。