高三数学高考《排列组合二项式》专题学案组合
第3课时 组合
1.一般地说,从n 个不同元素中,任取m(m ≤n)个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.
2.排列与组合的共同点,就是都要“从n 个不同元素中,任取m 个元素”,而不同点就是前者要“按一定的顺序成一列”,而后者却是“不论怎样的顺序并成一组”.
从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数,用符号C m
n 表示.
组合数公式c m n
== 在求具体的组合数时,常用上面的公式,分子由连续m 个自然数之积,最大的数为n ,最小的数是(1)n m -+,分母是!m ,如果进行抽象的证明时,一般常用下面的公式c m n
=,它的分子是!n ,分母是!m 与()n m -!的积. 3.组合数性质:
①m n m n n C C -=
②111m m m n n n C C C ---=+
③11m m n n n C C m
--= ④1111123()m m m m m n n n n n m C C C C C m n --------=+++
+≤ ⑤m r n r m r n r r n m r
r n m r m n C C C C C C C C C ------++++=011110... 例1. 某培训班有学生15名,其中正副班长各一名,先选派5名学生参加某种课外活动.
(1)如果班长和副班长必须在内有多少种选派法.
(2)如果班长和副班长有且只有1人在内有多少种派法.
(3)如果班长和副班长都不在内有多少种派法.
(4)如果班长和副班长至少有1人在内,有多少种派法.
解;(1)22C 313C =286 (2)12C 413C =1430 (3)513C =1287
(4)515C -5
13C =1716
变式训练1:从4名男生和3名女生中选4人参加某个座谈会,若这4个人中必须既有男生又有女生,则不同的选法有( )
A .140
B .120
C .35
D .34
解:D
例2. 从4名男生和3名女生中选出3人,分别从事三项不同的工作,若这3人中至少有1名女生,则选派方案共有( )
A 、108种
B 、186种 C.216种 D 、270种
解:没有女生的选法有C 34
, 至少有1名女生的选法有313437=-C C 种, 所以选派方案总共有:31×A 3
3=186种。 故选B.
变式训练2:从5位男教师和4位女教师中选出3位教师派到3个班担任班主任(每班一位班主任),要求这3位班主任中男女教师都要有,则不同的选派方案共有 ()
A .210种
B .420种
C .630种
D .840种
解:B
例3.(1) 把10本相同的书分给编号1,2,3的阅览室,要求每个阅览室分得的书数不大于其编号数,则不同的分法有多少种?
(2) 以平行六面体ABCD —A1B1C1D21的任意三个点为顶点作三角形,从中随机取出两个三角形,则这两个三角形不共面情况有多少种?
(3) 一次文艺演出中需要给舞台上方安装一排完全相同的彩灯15只,现以不同的亮灯方式来增加舞台效果,设计者按照每次亮灯时恰好有6只是关的,且相邻的灯不能同时关掉,两端的灯必须要亮的要求进行设计,求有多少不同的亮灯方式?
解:(1)先在编号为1,2,3的阅览室中依次放入0,1,2本书,再用隔板法分配剩下的书
有26C =15种,(2)平行六面体中能构成三角形个数38C =56为任取两个有256C 种情况,其中共
面的有1224C ,因而不共面的有256C —1224C 种 (3)282858==C C
变式训练3:马路上有编号为1,2,3,4…..10的十盏路灯,为节约用电,又不影响照明可以把其中的三盏关掉,但不能关掉相邻的两盏,也不能关掉两端的路灯,则满足条件的关灯方法种数有_______种.
解:20 用插排法,把七盏亮灯排成一排,七盏亮灯之间有6个间隔,再将三盏不亮的灯插
入其中的3个间隔,一种插法对应一种关灯的方法,故有2036=C 种关灯方法.
例4. 四面体的顶点和各棱中点共有10个点,
(1) 在其中取4个共面的点,共有多少种不同的取法?
(2) 在其中取4个不共面的点,共有多少种不同的取法.
解:(1)四个点共面的取法可分三类.第一类:再同一个面上取,共有44
6C 个面;第二类:在一条棱上取三点,再在它所对的棱上取中点,共有6个面;第三类:在六条棱的六个中点中取,取两对对棱的4个中点,共有23C =3个面.故有69种.
(2)用间接法.共69410-C =141个面.
变式训练4:在1,2,3…100这100个数中任选不同的两个数,求满足下列条件时各有多少种不同的取法.
(1) 其和是3的倍数
(2) 其差是3的倍数(大数减小数).
(3) 相加,共有多少个不同的和.
(4) 相乘,使其积为7的倍数.
解:(1) 1650 (2) 1617 (3) 197 (4)1295
1.解有关组合应用问题时,首先要判断这个问题是不是组合问题.区别组合问题和排列问题的唯一标准是“顺序”.需要考虑顺序的是排列问题不需要考虑顺序的的才是组合问题.2.要注意准确理解“有且仅有” “至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义.
3.组合问题的一般可抽象为“选派”模型来处理.另外有的问题也可用框图结合对应思想来处理。
4.避免重复和遗漏.
1.1720251403C C C C ++++
2.r r C C -++1710110的不同值有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3.组合数C r n (n >r ≥1,n ,r ∈Z )恒等于( )
A.r +1n +1C r -1n -1B .(n +1)(r +1)C r -1n -1C .nr C r -1n -1D.n r
C r -1n -1 4.(1)计算C 98100+C 199200;
(2)求20C 5n +5=4(n +4)C n -1n +3+15A 2n +3中n 的值.
5.现有8名青年,其中有5名能胜任英语翻译工作;有4名青年能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任),现在要从中挑选5名青年承担一项任务,其中3名从事英语翻译工作,2名从事德语翻译工作,则有多少种不同的选法?
6.马路上有编号为1,2,3,4…..10的十盏路灯,为节约用电,又不影响照明可以把其中的三盏关掉,但不能关掉相邻的两盏,也不能关掉两端的路灯,则满足条件的关灯方法种数有_______种.
7.甲、乙、丙三人值周,从周一至周六,每人值两天,但甲不值周一,乙不值周六,问可以排出多少种不同的值周表 ?
8.从6双不同手套中,任取4只,
(1)恰有1双配对的取法是多少?
(2)没有1双配对的取法是多少?
(3)至少有1双配对的取法是多少?
9.某城市有4条东西街道和6条南北的街道,街道之间的间距相同,如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进,则从M 到N 有多少种不同的走法?