应用题的数量关系及其教学

应用题的数量关系及其教学

小学数学课程标准对小学数学应用题作了较大的改革，对于克服原来应用题存在的诸多弊端，培养学生从数学的角度提出问题，发展应用意识，形成解决问题的策略，发展实践能力与创新精神起了积极的作用。但在最近几年的实践中，许多教师对教材中应用题的数量关系教学要求不太明确展开了讨论。笔者通过学习、研究，对数量关系的有关问题进行了思考，下面从三个方面与同行交流，祈求大家批评指正。

一、数量关系是数量之间的本质联系。

应用题的数量关系就是从一类共同规律的数学问题中总结出来的某些数量之间的本质联系，并以数量关系式表示这种联系。小学数学中的数量关系主要涉及两个层面，一个是基本数量关系；另一个是常用的数量关系。

基本数量关系一般是根据四则运算的意义分为四类：部分数与总数关系，两数相差关系，每份数、份数与总数关系，倍数关系，其中再分加法两种、减法三种、乘法两种、除法四种共十一种，并用相应的数量关系式表示，以此列出十一种简单应用题的名称。苏教版小学数学教材，根据学生认知水平，将这十一种基本数量关系分散在一、二年级各册，结合加、减、乘、除的意义中进行教学。具体安排如下表：

表中的十一种数量关系构成了现实世界的数学模型，不仅成为思考解答简单应用题的依据，而且是解答复合应用题的依据，因为在解答复合应用题时，每一步都离不开这种关系，无论应用题的内容怎样千变万化，但是在加、减、乘、除的运算过程中，每一步的关系都不会离开上述关系的某一种。以后随着年级的升高，教学“求一个数是另一个数的几分之几”、“求一个数的几分之几是多少”和“比的前项：比的后项=比值”等数量关系式，实质上也是从其中有关的关系式上延伸拓展而来的，所以这十一种数量关系大家习惯上称基本的数量关系，在小学应用题教学中有着十分重要的地位。

学生在运用运算意义和基本数量关系解决生产、生活中实际问题的基础上，对周围生活中的一些数量关系积累了一些感性的认识，教师可以适当地引导他们再抽象概括一些具体的数量关系式，大家习惯上称这种数量关系为“常见的数量关系”。例如：原有数量与增加数量、现有数量之间的关系；原有数量与用去数量、剩下数量之间的关系；单价与数量、总价之间的关系；工作效率与工作时间、工作总量之间的关系；速度与时间、路程的关系等等。

上述各种数量关系是小学学习的重要基础，而且是升入高一级学校以后，学习数学、物理、化学中更多更复杂的数量关系的重要基础。

二、数量关系是应用题教学的核心。

数量关系为什么成为应用题教学的核心，可以从以下四个方面来理解：

1.数量关系是应用题的重要结构之一。应用题是数学表述与客观存在的中介，是去掉无关因素而只保留了数量关系的现实。所以，一道完整的应用题，都由两个基本部分组成：一是事理，说的是怎么回事及其情节的发展变化；二是至少具备两个已知条件和一个问题。事理和数量关系交织在一起的，而且是不可分割的，但其中的数量关系是运用数学知识分析和解决生产、生活中具体问题中特有的而且必须具备的，好像人的骨架一样支撑着人体。现在新教材的呈现形式变了，应用题的名称也变了，但应用题的结构没有变；根据已知条件解决问题的本质属性没有变；依据数量关系确定解题思路和方法没有变，所以，数量关系是应用题结构中不可缺少的。

2.数量关系是解答应用题的关键。正确解答应用题的思路和方法，一般包括三个要素：一是思考的目标；二是比较熟悉的数量关系；三是有序的推理步骤与方法。其中熟悉基本的数量关系是关键。因为数量关系是应用题解答的重要模型之一，如果数量关系熟悉了，就能根据题中已知的两个数量，可以求出第三个数量；如果根据要求的数量，就必须知道另外两个数量。即使比较复杂的两、三步应用题，可以灵活运用题中的条件进行有效组合，可以逐步获得解题的途径与方法。学生在中低年级这个基础牢固了，又为以后判断正、反比例和方程中寻找等量关系式作了厚实的铺垫。

3.抓数量关系是应用题教学的优良传统。历次课程改革的经验证明：改革不是废弃传统，不是对原有的全盘否定，也不是完全重砌炉灶，而是在已有经验基础上的继承与创新、发展与完善。抓应用题中的数量关系，是不知多少代数学教师和专家经过长期实践和研究的结晶，绝对不能削弱，更不能取消。大家可以回顾新教材实验的历史，从正、反两方面的经验也教育了我们。同样是面对教材的呈现形式，很难从整体上把握数量关系的教学要求，但处理方式不同，其效果迥然不同。有些人在教学中“淡化”，“边缘化”；有些人适时渗透，有序概括，强化训练，却学生在分析推理、解题策略、数学思维水平等方面都有明显的差距。因此，最近几年，数学教师对注重数量关系

教学的呼声越来越高，既反映了应用题教学的内在要求，更突出地反映了大家继承优良传统，注重数量关系教学的强烈愿望。

4.数量关系是人们生活工作的必需。数量关系来源于生活，反过来又是为人们认识事物、分析事物，解决生产、生活中的实际问题服务的，而且随着科学技术的进步，各行各业都离不开基本的数量关系，并把数量关系作为考核人才的重要标准之一。例如，最近几年全国在招收公务员的笔试中，“数量关系”作为必考内容之一，而且所占权重也不小。考查数量关系的内容有数与运算、空间图形、推理等，其中不少题是小学数学中的思考题，如速算题，用绳子测井深、较复杂的分数工程问题、鸡兔同笼问题等。

三、数量关系是应用题教学的主线。

数量关系的教学从什么时候开始?怎么进行教学？是每个数学教师值得研究和关注的问题。从大量的教学实践证明，数量关系的教学不是从中、高年级开始的，实际上是从一年级数的“分”与“合”和运算的意义教学就开始，是在大量的解决实际问题的漫长过程中逐步构建的，数学教学一直沿着数量关系这根线进行着。针对目前数量关系教学的现状，应注意以下四点：

1.注意构建数量关系的阶段性。儿童少年的认知规律是由浅入深、由易到难，由具体到抽象。学生数量关系的构建，是在教师有意识的启发引导下，经历渗透、感知、体验、积累和抽象概括的过程。在这个过程中教师要选择适当的时机进行抽象概括，达到水到渠成的效果。如果概括的时机未到，造成死记硬背，机械照搬，不会运用；如果时机已到，不去归纳总结，老是停留在原有水平，认识不能得到升华。因此，应在学生理解运算意义并运用意义解决大量的实际问题过程中，选择适当时机有意识地进行分段概括。一般来说，低年级结合运算意义的教学，以基本数量关系为主；中年级以常用数量关系为主；高年级以灵活运用各种数量关系为主。对某一种具体数量关系，

也有一个构建的过程。例如，“每份数×份数=总数”的数量关系的建立，一般经过了以下五个过程：

一是渗透孕伏，在“2＋2＋2=6”等相同加数的计算中，教师有意识地说出3个2相加得6.

二是运算意义。3个2相加，用乘法算式表示“3×2=6”.

三是初步概括。每本书元数×本数=总共元数。

四是基本数量关系。每份数×份数=总价。

五是常见数量关系。单价×数量=总价

其实，教材中也有不少练习题，为我们提供了归纳、概括数量关系的时机。例如，一年级上册有道题：

教师可以引导学生结合表格，联系生活概括出“原有数量－借出数量＝还剩数量”的关系式。又如在二年级下册涉及到购物问题中求总价，三年级上册求总价和单价的问题，可以从中概括“单价×数量＝总价”、“总价÷数量＝单价”的数量关系式。这样让学生经历从感性到理性、从具体到抽象的认知过程，逐步学会把生活情境、运算意义、运算方法与基本数量关系联系起来，对数量关系的理解更深刻，在学习和生活中迁移性更强，为后续学习打下更坚实的基础。

2.强化传统的分析数量关系方法。分析应用题的数量关系，就是分析已知量与已知量之间、已知量与未知量之间的关系。大量的教学实践证明，分析应用题的数量关系，除了运用运算意义、基本数量关系和关键语句等方法之外，综合法、分析法和作图法等是分析数量关系、解决两、三步应用题的基本而又有效的方法。当代数学教师应继承优良传统，努力让学生理解和应用。所谓综合法，就是从已知条件出发，逐步推出要解决的问题。所谓分析法，是从问题出发，找出解决问题的两个必要条件，然后看这两个条件中，哪个是已知的，哪个是未知的，对这个未知条件，再去找能解决它的两个条件，直到这些条件都从题目中已知的条件中找到为止。一般来说，综合法适合于低学段，分析法适合于高学段，但实际运用中往往灵活地结合起来的。在运用这些方法的过程中，培养学生寻找中间问题的能力是关键。对此，在课改前的教材中有些思维训练方式是可以借鉴的。一是把画线段图作为帮助学生理解数量关系的重要辅助手段。老教材情境图少，线段图多，新教材情境图多，线段图少，教学中应让学生根据题意和题中表示数量关系的词句学会画线段图。二是补充分析数量关系的专项训练。根据条件补问题，根据问题补条件，把一步计算的应用题改为两步计算的应用题和自编应用题等，帮助学生熟悉常用数量之间的关系并建立数量关系的对应感，让学生能从已知的两个数量中判断出可以求到什么数量用什么方法；也可以从问题中，可以想到必须具备什么已知条件，用什么方法计算，从而形成正确的解题思路和方法。

3.理解和运用特殊策略。关于特殊策略的内容在原来教材中很少出现，即使有也安排在思考题中，作为选学内容，或者在数学课外读物中，作为奥数辅导之用。苏教版新教材从第二学段起，每册都编写了“解决问题的策略”单元，能让学生理解和运用枚举、列表、假设、转化等特殊策略，进行数学思想方法的教学，丰富学生的解题思路和方法，逐步培养学生解决问题的策略意识和运用策略的自觉性。在特殊策略的教学过程中应注意以下三点：

第一，分析题中的数量关系仍然是关键。特殊策略的教学不是原来有些人印象中的解题公式的教学，实际上还是抓住题中的数量关系进行解题思路和方法的教学。

第二、注重常用方法与特殊策略的相互配合。策略教学的实践表明，特殊策略是常用策略的延伸与拓展，在常用策略与特殊策略的运用中不是相互割裂的，而是相互联系、相互依存、相互结合、相互促进的，在解决问题的过程中是在新老策略的共同作用下完成的。

第三、特殊策略的教学要有个“度”。这个“度”就是深浅要适当，要因材施教，分层要求。从人教版的教学用书中得知，特殊策略不作为考核评价的内容。笔者认为这是非常合理，而且符合实际的，因为现行教材中，一个策略一般只编排一个例题，而练习题的坡度较大，有的题数量关系复杂，有些学生还不一定全理解，有的为了应付考试，一二再、再二三的进行练习、复习，加重了学业负担。因此，特殊策略的教学要教好，但对不同水平的学生应有不同的要求，让其各得其所。

4.在说理训练中促进学生灵活运用数量关系。

理性是数学的根本，数学教学的过程是一个讲理的过程。因为说理是培养学生语言表达能力、逻辑思维能力和灵活运用数量关系能力的重要途径，也是衡量学生数学素质高低的重要标准之一。教师不仅要让学生知道怎么做，还要让学生知道为什么这样做，这已成为数学教师的共识。

学生说理的内容一般包括解题的思路、方法及其依据，以及解题的收获、体会等。学生说理的形成，一般为个人独立思考先试着说，在小组、全班学生面前说，人家说了再评价、补充等。教师在指导学生说理方法的过程中应注意以下三点：

第一、要保持教路、学路与说理思路的一致性。教师在教学应用题中，应注重运用数量关系进行分析推理的严谨性，形成一个比较规范的话语系统，让学生正确理解解题思路和方法，从而获得比较清晰的说理思路。例如，在一步计算应用题教学中，分析数量关系时，应注意两个转化：第一个转化是把实际问题转化成数学问题；第二个转化是将数学问题转化成式子。又如在两步以上应用题教学中，应根据“综合法”、“分析法”的思路，有根有据地说出先算什么，后算什么，以培养学生思维的条理性、严密性。

第二、抓住学生思维的盲点重点说。随着学生年齡的增长，知识经验和生活经验的不断丰富，解决问题的思维更加宽广，方法更加多样。但有些方法不一定被大家所理解，成为思维的盲点，教师应引导学生说深说透。例如，有些题往往可以一题多解或多题一解，对其中有些个性化的解法，有些学生学生不一定理解。教师应让这些学生讲清每种方法的思维过程、算式的每一步所表示的意义，使大家把解题思路与数量关系、运算意义等数学知识从纵向、横向沟通起来，让学生以结网成块的方式储存起来，既减少记忆负担，更重要的培养了思维的广阔性与灵活性。

第三、把数量关系与数学思想融合起来。数学思想是人们对数学知识与方法的本质认识。数学思想蕴含在数学知识和方法中，并通过方法呈现出来。在日常教学中，数学思想往往被大家所忽视，即使有些老师讲了，但学生在说解题思路和方法中反映得不够充分。在小学数学教学中应该有意识地渗透数学思想，应让学生在说理等过程中外显出来，促进学生数学素质的提高。例如，有关分数的应用题，千变万化，但万变不离其宗，只要根据数量关系找到了具体数量与分率相对应，就找到了解决问题的钥匙。如果教师在教学中经常引导学生把分析数量关系与对应思想结合起来说解题的思路和方法，就能使学生感到解题的思路更加开阔、策略更丰富，原来认为枯燥的数学散发出了理性之美，从而对数学产生了内在的兴趣。

数学思想方法是学生终身受用的知识，在小学数学中渗透数学思想的内容是比较多的，别的不说，就对应思想的有：在数量关系式中的两个量与第三个量对应；求平均数中总数量与总份数对应；在求面积中底与高相对应；数轴上的点与具体的数相对应等。

总之，新课程理念下应用题的教学，关键仍然是让学生分析数量关系，确定解题思路，获得解题方法。数学教师在教学中注重数量关系的感知、体验、总结、提炼并适当地灵活运用，可以有效地提高学生的数学素质，为以后的学习、生活和工作打下坚实的基础。

浅议新课改背景下数量关系的学习

[摘要]随着新一轮课程改革的实施，“数学生活化”的口号越来越响亮。但在实际的教学实践中，有些老师在教材丰富的画面下迷失了方向，过分强调了“生活化”，教学目的就停留在解决课本涉及的具体问题上，完全否定了传统应用题教学中的数量关系，造成了应用题的教学较“散”，学生解决数学问题的能力下降（较九义教材的同年级），甚至对基本的数量关系都不能掌握运用，这也是违背课改初衷的。

[关键词]解决问题生活化数学化数量关系

“数学是对客观世界数量关系和空间关系的一种抽象。”学习数量关系仍然是“解决问题”的关键，应该让“生活化”的数学问题上升为一种数学模型，将数学思想应用于现实生活中，真正解决学生身

边的实际问题，让数学真正成为“人们生活、劳动和学习必不可少的工具。”

一、用数学化的语言表述生活问题

在数学学习过程中，教师应该充分利用学生的认知规律、已有的生活经验和数学的实际，让学生到生活中“找”数学，“想”数学，真切感受“生活中处处有数学。”如课题的导入、例题的呈现、练习的设计等应结合学生生活实际，重视学生已有的生活经验，寻找解决问题所需要的信息数据，让学生探索解决问题的方法。

新教材解决问题的呈现方式紧贴生活、图文并茂、趣味性强，符合学生的年龄特点。如一年级教材中，一道加减混合运算，题目以图的形式呈现：左边一幅图为一池塘里有6只鸭，岸上向着池塘方向有3只鸭；右边一幅，池塘里有5只鸭，背着池塘有4只鸭。让学生列式。题的本意是6+3-4=5，但多数学生一脸的茫然，无从下手。或者乱列一通：9+9=18，6+5=11等。但如果让学生用语言描述：池塘里原来有6只鸭，又来了3只；后来走了4只鸭，现在还有多少只鸭？这样列式就容易多了。

因此，用数学语言对生活情境和主题图进行表述就显得很重要了。此外，当学生完成解题后，让他们说说自己的解题思路，这也是展示学生思维过程的重要方式，能促进学生的思维从直观感知上升到数学理解。

二、在生活化的数学问题中提炼数量关系

新课程解决实际问题并不是不讲数量关系。新课程标准明确提

出：“探索并理解简单的数量关系”“应使学生经历从实际问题中抽象出数量关系，并运用所学知识解决问题的过程。”这就告诉我们，数学应用题的教学不能没有数量关系，而数量关系就是一种数学模式，数学问题的解决过程就是用“不变的数学思想和方法解决不断变换”的数学问题，形成源于生活而高于生活的数学模型。

其实，新课改并没有忽视数量关系的教学，只是摒弃了死记硬背，更加注重学生在解决问题过程中的理解和感悟，重视了学生在解决问题过程中的策略选择，强调学生通过大量的实物插图加深对数量关系的理解。

三、反思总结，经历“学”数量关系的过程

“数量关系”始终是解决问题的核心，我们应该把人为模式化的训练变为无声的渗透。把数量关系放到教学的每个环节中，改变教与学的呈现方式，变老师“教”数量关系为学生“学”数量关系。新课程理念下的“应用题”教学，对数量关系的阐述，已经不再需要相当规范的表述了。尤其是对低年级学生而言，能够结合具体情境和自身经验描述出解决问题的思考过程就可以了。不需要像以前那样机械地告诉学生“每份数×份数=总数，较大数-较小数=相差数”等这样的过死定论。但“路程、速度、时间”“工作量、工作效率、工作时间”“总价、单价、数量”等数量相互间的关系应该让学生自己在学习过程归纳概括。

数学作为一门基础而又非常重要的学科，教学内容中有许多的定义、公式、解题技巧和思想方法。这不但要靠“教”，更主要的是要

使学生会“学”，在学的过程中使学生由被动接受变为主动探索。教学中，不能过于强调对数学概念、法则、性质、公式的灌输与记忆，应重视对这些知识的产生、发展、形成和应用过程的揭示和探究，数学教学的本质应是“数学思维活动过程”的教学。要让学生在原有知识和经验的基础上，在主动参与中，通过操作和实践，由外部活动逐渐内化，完成知识的发展过程和“获取”过程。同时，要告诉学生，求出问题的答案不是问题解决的终结，还应对解决问题的过程和结果进行反思和评价，要回顾策略产生的过程，揭示问题的实质，逐渐地引导学生从无序、单向思维向有序、多向思维发展，使学生既长知识，又长智慧。

因此，解决问题的教学应从改变教师的教学方式入手，重视应用题结构的训练及数量关系的提示。课改理念指导下的解决问题学习过程：先解决生活中的实际问题，在解决过程中感悟数量关系，再用数量关系去解决问题生活中更多的问题。让学生经历“提出问题——分析问题——解决问题——反思总结”的学习过程。如二年级下册关于时间的计算，在学生通过多次合作探究学习后，给学生的一定的时间，让他们反思和总结在计算时间时的一般规律：经过时间=结束时间-开始时间。当然，不一定要用这么规范的语言，要让学生自己总结，用自己的语言表述，只要合理正确就行。通过反思总结，充分感受一些基本的数量关系与数学知识在解决问题中的应用，感受不同解题方法的区别，感受数学问题解决方法的多样性，有利于学生掌握解决问题的一些基本策略和方法，提高数学思想运用能力。

四、适当的分类学习有助于问题的解决

将较“散”的解决问题相对集中，适当的分类教学有助于学生对解决问题策略的掌握。教材解决问题内容的“散”不代表教学的“散”。新课改要求我们“用”教材，而不是“教”教材。教师完全可以根据自己班上的学生情况和自己的教学特点创造性地使用教材，将教材内容进行整合利用，既可以将较难的问题分解，也可以将有关联的问题放在一起研究，即适当的分类。如将行程问题中的求路程、求速度、求时间的问题放在一起让学生集中研究，让学生进一步明确路程、速度、时间三者的关系；把相遇问题、追击问题、火车问题等适当集中，让学生对比探究，找到内在的联系和区别，找到解决的办法，使学生能形成一条清晰的思路。当然，要考虑学生的接收能力和个体差异，不要求人人都会，强调在解决问题中的感悟，即强调“过程”，在鼓励解决方法的创造性和解决问题策略多样性的同时，让学生领会哪一种策略是最有效的、最合理的，不应该一味地纵容学生不合理的“奇思妙想”。

新课程改革倡导教材的活用，鼓励课程的自我开发和课程的生成，但毕竟多数一线教师，尤其是农村教师的业务能力和素养是有限的，要实现这一目标有较大的困难。所以，教材的编写应该给教师更多的选择空间，同时，加强教学参考书的“参考”功能和指导功能，如建议老师如何整合教材，如何进行练习题的选择和开发，如何实现例题的拓展和延伸，对开放性题目和争议性的命题进行指导等。

总之，数学问题的解决，是数学学习的归宿。要充分挖掘生活中

的数学，让学生获得自主探索、合作学习的体验，尝试到学习数学的乐趣，感受到数学的价值。更重要的是，让学生在感受数学与生活紧密联系的同时，学习数学的思想和方法，获得解决问题的策略和办法，不断地提高数学素养，这就是新课程改革对我们的希望！

一、问题缘起

学龄前儿童凭借不多的生活经验已经能够解决贴近他们生活的简单实际问题，但是，当儿童成为学生之后，有些原本能够解决的问题，反而显得困难重重。究其原因，是“数学化”的进程不够通畅。

荷兰著名数学家、数学教育家弗赖登塔尔认为，“数学化”就是“把生活世界引向符号世界”，进而“在符号世界里，符号的生成、重塑和被使用”。小学阶段的“数学化”，就是从生活世界中的量，抽象为数概念，再运用数量关系解决实际问题。这一进程是学生学习数学最为关键的一步。

二、量的基本性质

在日常生活中，我们接触到各种事物，并注意到它的长短、大小、多少、轻重、快慢等，这些特征就是量。学生认识和掌握数概念就是认识和掌握数与量之间的关系，所以，在教儿童认识数之前，一定要

让儿童认识和熟悉量，重点掌握量的可比性、守恒性和可分性。

量的可比性是指同类量之间可以进行比较，做出某量较多、某量较少或某些量同样多的判断。量的可比性是量的最基本的性质。儿童是怎样认识这一基本性质的呢？大家知道，一岁左右的孩子在挑选食品时，排除外观包装形态等方面的因素，会不假思索地选择多的、大的。这就是所谓的量感在起作用，量感是人们对量的差别的感觉，是人们认识量的可比性的先决条件。可以毫不夸张地说：量感是人们建立数概念乃至整个数学大厦的基石，没有量感就没有数学。

儿童的量感在生活情境中得到强化，并逐步建立长、短、多、少、同样多等概念。我们可以把长短不一的两根小棒呈现在儿童面前，让儿童取出长的一根，并指出剩下的一根是短的。进一步可以把更多的小棒呈现在儿童面前，要求儿童取出最长的和最短的一根，并在剩下的木棒中继续取出最长的和最短的。适当的时候可以要求儿童找出同样长的两根小棒。这样通过反复操作，就能逐步形成长、短、同样长的概念并知道长、短的相对意义。

“一一对应”是建立多、少、同样多概念最为有效的方法。如乘坐汽车时，可以向儿童提问：是人比座位多，还是座位比人多？当有座位空时，座位多；当有人站着无座位空时，人多；当每个人都有座而且无座位空时，人与座位同样多。我们也可以提供操作情境，如让儿童把茶杯盖上杯盖，然后比较茶杯与杯盖的多少。当儿童有了初步的多、少、同样多的概念后，可以让儿童把一些物体按大小次序排列起来，或者把长短不一的小棒按长短次序排列起来，以加深对量的

可比性的理解。

建立了多、少、同样多的概念后，认识量的守恒性才有可能。所谓量的守恒性，即量的多少不因空间或时间的改变而改变，也不因形态、颜色的改变而改变。首先要对数量较少的物体进行观察比较。如把一双筷子分开放，有没有变多，横着放是否比竖着放长一些？然后逐步增加物体的数量并改变物体的形态让儿童判断。如一把筷子捆在一起，然后散开，是否同样多？也可以将这把筷子明天取出来，看是否与今天同样多。这种训练要经常变换形式做，并结合量的可分性进行。

量的可分性，是指一个量作为整体可以分为若干个部分，其中每部分都小于整体，各部分合起来还是这个整体。我们可以将一副棋子分成很少的几堆，也可以分成较多的几堆。但不管怎样分，任何一堆总比一副棋子少。如果我们把分开的棋子合起来，还是一副棋子，又重新回到了量的守恒性。

儿童认识并熟悉量的可分性、守恒性和可分性，一般应当在学龄前完成，为入学后建立数概念做好准备。这个准备如果不充分，学生对数的认识只能是表面的、形式的和计算的，无法在头脑中真正形成数概念，势必会影响到数量关系地建立。

三、数概念的形成

数概念是儿童入学后必须掌握的第一个数学概念。概念的形成是一个抽象概括的过程。例如“3”这个数就是从3个苹果、3张桌子、3个玩具等凡是代表3个物体的许许多多具体实物中抽象出来的概

念，它是精确的、抽象的量。学生理解、掌握并不是一件容易的事。纵观人类数概念的形成历史，早期的数概念是极端具体的。如英国有一个民族的语言，有好几种不同的数字：一种用于走兽和扁平的物体，一种用于时间和圆形的物体；一种是用于数人的；一种是用于树木和长形物体的等。不知过了多少年，人们才发现了一对飞鸟和两天同是数“2”的例子。可见，具体的东西总是在抽象的东西之先。我们至今也保持着这种具体的数。如“5”用一只手表示。学生数概念的形成过程只不过是人类数概念建立过程的一个缩影，这是不可违背的规律。

学生对数的认识是建立在数表象基础上的。根据学生思维的特点，我们应找到一个物化了的数表象，如5个苹果、5颗棋子、一只手5个指头，这三个集合的势（或称作基数）都是5。这种集合为“一般等价集合”，它的势，就反映了量的基本属性，而去除了那些与量的基本属性无关的物理的、化学的、生命的形式。可以选择一般等价集中一个集合作为代表，来指明这一类集合的元素个数。如以上所说的集合中，许多民族都用一只手来表示“5”。学生的掰指计数，就是找到了一个物化了的数表象，把要数的物体与手指“一一对应”。在学生数概念形成过程中，与量感对应的数觉起到非常重要的作用。所谓数觉，就是不经过计数，立即知道物体的数目。有资料表明，人的数觉很少能超过四的。

通过计数的训练，对自然数一、二、三、四、五、六、七……的表象，即符号1、2、3、4、5、6、7……就不会感到是一个空洞无物

的，而是一个有丰富内容的音、形、义集于一体的数词。至于更大的数，则可以通过数的加法来实现。

在形成数表象的同时，量的基本性质映射到数概念中来。量的可比性，从5只苹果比3只苹果多，变换为5比3大，实现了数的可比性，造成了数的群体结构，即数有大小顺序。自然数列中，相邻两个数相差1，每一个自然数后面都有一个而且只有一个后继数，使加法成为可能。数的守恒性不只局限于通过计数来验证，而要知道为什么改变量的分布状态总数不变。数的可分性，造成了数的个体结构，即可以分解组合。比如8可以分成3和5，3和5都比8小，3和5合起来是8。

全面总结数量关系必考题型和常用公式及速答技巧（推荐）

。

写在前面的话：

数字推理是行测中很多人眼里的“难题”，面对题目时有人因为惧怕而格外重视，也有人因为不会做而彻底放弃。我自己同样很怕做数字推理题。想过放弃，

也想过题海战术，不过最后发现这两种方法都有不切实际的地方。放

弃，显然是不可能的。因为不可能保证其他部分都做对，来补回放弃的这些分数。题海，也不科学。行测、申论，再加上法律加试，这么多类型中，数字推理只是一小部分了。把大部分精力放在小部分题目上，只能是弊大于利了。所以我最终选择的是：掌握最基本的，保证基础题目不丢分。放弃有难度的，保证学习和做题有效率。当然，这种方法只适合我这样对数字没什么感觉的人了，如果你学有余力，完全可以精益求精。

（注：答案部分设置了隐藏需要大家回复查看，目的是给大家一个自己思考的过程）

常见且易被忽视的数列：

1、质数列：（质数—只有1和其本身两个约数）2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43……

例1、1，1，2，3，4，7，（）

A、4

B、6

C、10

D、12

答案解析选B 两两相加组成质数列

例2、3，7，22，45，（）

A、58

B、73

C、94

D、116

答案解析：选

D 2^2-1 3^2-2 5^2-3 7^2-4 (11^2-5)

2、合数列：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20……

这2个数列大家很容易忽视，论坛里好多帖子实际上就是因为忘记这2个数列所以才不会做。请大家注意。

众所周知，行测考试做题时间很关键。要做好行测尤其是数列部分是需要技巧的，这没人不同意吧。但是大家往往忽视了基本功。为什么有些人一看到数列题就很快得出答案呢？我个人觉得是因为他们对数字的敏感。这里面有天赋的成分，但我相信刻苦训练也是可以锻炼出这种敏感的。所以熟练掌握各种基本数列很重要。就拿指数数列来说吧，要求必须熟记1—10的平方、立方，2、3、4、5的N次方。只有这样，你才能在看到9时立刻想到9=3平方或9=2立方+1。对这几个数字，必须是熟记。5的立方算谁不会算？可是数列题不是叫你算5的立方是多少的，当4、28、16、126这样的数列放在你面前时，忽增忽减看似毫无规律，你还会想到这里有5的立方吗？所以必须熟记。熟到不能再熟。以下是我看过论坛上的一些题目之后，把大家最爱问的、经常不会做的题目整理在一起，总结的数列常见方法。

分组法：相邻项为一组，各组规律相同。或差为常数、或和为常数。例1：4，3，1，12，9，3，17，5

A12 B13 C14 D15

答案：（A）

例2、4.5，3.5，2.8，5.2，4.4，3.6，5.7

A．2.3 B．3.3 C．4.3 D．5.3

答案:（ A)

拆分相加（乘）法

把一个多位数每个位上的数字分别相加或相乘（目前还没见过相减相除的）得到一个新数，再看规律。