高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三上学期期末考试数学理试题分类汇编程序框图与复数

一、程序框图

1、（滨州市高三上学期期末）执行如图所示的程序框图.设当箭头a指向①处时，输出的S的值为m，当箭头a指向②处时，输出的S的值为n，则m n

+=.

2、（德州市高三上学期期末）当m=8时，执行如图所示的程序框

图，输出的S值为

3、（济南市高三上学期期末）执行右图的程序框图，则输出的

S=_________

4、（胶州市高三上学期期末）执行如图所示的程序框图，则输出S的值

为.

5、（临沂市高三上学期期末）如图给出的是计算1111

2462014

+++???+的值的程序框图，其中判

断框内应填入的是_______.

6、（青岛市高三上学期期末）阅读右侧的算法框图，输出的结果S 的值为 A.

B.0

C.3

D.3-

7、（威海市高三上学期期末）执行右边的程序框图，若输出

511

256

S =

，则输入p= A.6 B.7

C.8

D.9

）

参考答案

1、14

2、3

3、25

4、1112

5、2014i ≤？

6、B

7、C

二、复数

1、（滨州市高三上学期期末）复数21i

z i

+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限

2、（德州市高三上学期期末）已知复数1z i =-，则221

z z

z --=

A ．

2i B ．2i - C ．2i D ．2i -

3、（济南市高三上学期期末）若()12z i i +=+（i 是虚数单位），则z =

322

i + B.

322

i -

C.322

i -

D.322

i -

+ 4、（胶州市高三上学期期末）已知复数11i

z i

-=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数是 A. i B. 1+i C. -i D.1i -

5、（临沂市高三上学期期末）复数2i

z i

+=的共轭复数是 A.2i + B.2i - C.12i + D.12i -

6、（青岛市高三上学期期末）若复数31a i

-+（,a R i ∈为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为

A.3

B.3-

C.0

D.3

7、（威海市高三上学期期末）i 是虚数单位，复数21i

i z

=-+，则z 的共轭复数是

A.1i -+

B.1i -+

C.1i +

D.1i --

参考答案

1、A

2、D

3、B

4、A

5、C

6、A

7、C

高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(10)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.（5分）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）

A.30

B.20

C.15

D.10

2.（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）

A.{﹣1，0，1，2}

B.{﹣2，﹣1，0，1}

C.{0，1}

D.{﹣1，0}

3.（5分）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）

A.向左平行移动个单位长度

B.向右平行移动个单位长度

C.向左平行移动1个单位长度

D.向右平行移动1个单位长度

4.（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）

A.＞

B.＜

C.＞

D.＜

5.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）

A.0

B.1

C.2

D.3

6.（5分）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）

A.192种

B.216种

C.240种

D.288种

7.（5分）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）

A.﹣2

B.﹣1

C.1

D.2

8.（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）

A.[，1]

B.[，1]

C.[，]

D.[，1]

9.（5分）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）.现有下列命题：

①f（﹣x）=﹣f（x）；

②f（）=2f（x）

③|f（x）|≥2|x|

其中的所有正确命题的序号是（）

A.①②③

B.②③

C.①③

D.①②

10.（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，

?=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）

A.2

B.3

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分

11.（5分）复数=.

12.（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）=.

13.（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于m.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数

据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）

14.（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）.则|PA|?|PB|的最大值是.

15.（5分）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M].例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B.现有如下命题：

①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“?b∈R，?a∈D，f（a）=b”；

②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；

③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）?B.

④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B.

其中的真命题有.（写出所有真命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.（12分）已知函数f（x）=sin（3x+）.

（1）求f（x）的单调递增区间；

（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值.

17.（12分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.

（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；

（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？

（3）玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.

18.（12分）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB

的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.

（1）证明：P是线段BC的中点；

（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值.

19.（12分）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）.

（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和Tn.

20.（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.

①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；

②当最小时，求点T的坐标.

21.（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数.

（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；

（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围.

高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(10)

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.（5分）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）

A.30

B.20

C.15

D.10

【分析】利用二项展开式的通项公式求出（1+x）6的第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2的系数.然后求解即可.

【解答】解：（1+x）6展开式中通项Tr+1=C6rxr，

令r=2可得，T3=C62x2=15x2，

∴（1+x）6展开式中x2项的系数为15，

在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为：15.

故选：C.

【点评】本题考查二项展开式的通项的简单直接应用.牢记公式是基础，计算准确是关键.

2.（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）

A.{﹣1，0，1，2}

B.{﹣2，﹣1，0，1}

C.{0，1}

D.{﹣1，0}

【分析】计算集合A中x的取值范围，再由交集的概念，计算可得.

【解答】解：A={x|﹣1≤x≤2}，B=Z，

∴A∩B={﹣1，0，1，2}.

故选：A.

【点评】本题属于容易题，集合知识是高中部分的基础知识，也是基础工具，高考中涉及到对集合的基本考查题，一般都比较容易，且会在选择题的前几题，考生只要够细心，一般都能拿到分.

3.（5分）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）

A.向左平行移动个单位长度

B.向右平行移动个单位长度

C.向左平行移动1个单位长度

D.向右平行移动1个单位长度

【分析】根据 y=sin（2x+1）=sin2（x+），利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得

【解答】解：∵y=sin（2x+1）=sin2（x+），∴把y=sin2x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，

即可得到函数y=sin（2x+1）的图象，

故选：A.

【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题.

4.（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）

A.＞

B.＜

C.＞

D.＜

【分析】利用特例法，判断选项即可.

【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，

则，，∴A、B不正确；

，=﹣，

∴C不正确，D正确.

解法二：

∵c＜d＜0，

∴﹣c＞﹣d＞0，

∵a＞b＞0，

∴﹣ac＞﹣bd，

∴，

∴.

故选：D.

【点评】本题考查不等式比较大小，特值法有效，导数计算正确.

5.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为

A.0

B.1

C.2

D.3

【分析】算法的功能是求可行域内，目标函数S=2x+y的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，得出最大值.

【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值，

画出可行域如图：

当时，S=2x+y的值最大，且最大值为2.

故选：C.

【点评】本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.

6.（5分）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）

A.192种

B.216种

C.240种

D.288种

【分析】分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论.

【解答】解：最左端排甲，共有=120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96种，

根据加法原理可得，共有120+96=216种.

故选：B.

【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题.

7.（5分）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）

A.﹣2

B.﹣1

C.1

D.2

【分析】由已知求出向量的坐标，再根据与的夹角等于与的夹角，代入夹角公式，构造关于m的方程，解方程可得答案.

【解答】解：∵向量=（1，2），=（4，2），

∴=m+=（m+4，2m+2），

又∵与的夹角等于与的夹角，

∴=，

解得m=2，

故选：D.

【点评】本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，难度中档.

8.（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）

A.[，1]

B.[，1]

C.[，]

D.[，1]

【分析】由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪.再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出.

【解答】解：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪.

不妨取AB=2.

在Rt△AOA1中，==.

sin∠C1OA1=sin（π﹣2∠AOA1）=sin2∠AOA1=2sin∠AOA1cos∠AOA1=，

=1.

∴sinα的取值范围是.

故选：B.

【点评】本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题.

9.（5分）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）.现有下列命题：

①f（﹣x）=﹣f（x）；

②f（）=2f（x）

③|f（x）|≥2|x|

其中的所有正确命题的序号是（）

A.①②③

B.②③

C.①③

D.①②

【分析】根据已知中函数的解析式，结合对数的运算性质，分别判断三个结论的真假，最后综合判断结果，可得答案.

【解答】解：∵f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1），

∴f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣f（x），即①正确；

f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln（）﹣ln（）=ln （）=ln[（）2]=2ln（）=2[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=2f（x），故②正

确；

当x∈[0，1）时，|f（x）|≥2|x|?f（x）﹣2x≥0，令g（x）=f（x）﹣2x=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）﹣2x（x∈[0，1））

∵g′（x）=+﹣2=≥0，∴g（x）在[0，1）单调递增，g（x）=f（x）﹣2x≥g （0）=0，

又f（x）≥2x，又f（x）与y=2x为奇函数，所以|f（x）|≥2|x|成立，故③正确；

故正确的命题有①②③，

故选：A.

【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了对数的运算性质，代入法求函数的解析式等知识点，难度中档.

10.（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，

?=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）

A.2

B.3

【分析】可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及?=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题.

【解答】解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），

直线AB与x轴的交点为M（m，0），

由?y2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1?y2=﹣m，

∵?=2，∴x1?x2+y1?y2=2，

结合及，得，

∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1?y2=﹣2，故m=2.

不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又，

∴S△ABO+S△AFO═×2×（y1﹣y2）+×y1，

当且仅当，即时，取“=”号，

∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选B.

【点评】求解本题时，应考虑以下几个要点：

1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式.

2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高.

3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分

11.（5分）复数= ﹣2i .

【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数，可得结果.

【解答】解：复数===﹣2i，

故答案为：﹣2i.

【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题.

12.（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）= 1 .

【分析】由函数的周期性f（x+2）=f（x），将求f（）的值转化成求f（）的值.

【解答】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数，

∴=1.

故答案为：1.

【点评】本题属于容易题，是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要计算正确，往往都能把握住，在高考中，属于“送分题”.

13.（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于 60 m.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）

【分析】过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，分别在Rt△ACD、Rt△ABD中利用三角函数的定义，算出CD、BD的长，从而可得BC，即为河流在B、C两地的宽度.

【解答】解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，

则Rt△ACD中，∠C=30°，AD=46m，

AB=，根据正弦定理，，

得BC===60m.

故答案为：60m.

【点评】本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题.

14.（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）.则|PA|?|PB|的最大值是 5 .

【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|?|PB|的最大值.

【解答】解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），

动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），

注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，

则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.

故|PA|?|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）

故答案为：5

【点评】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出.直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题.

①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“?b∈R，?a∈D，f（a）=b”；

②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；

③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）?B.

④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B.

其中的真命题有①③④.（写出所有真命题的序号）

【分析】根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利用导数研究命题④中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论.

【解答】解：（1）对于命题①，若对任意的b∈R，都?a∈D使得f（a）=b，则f（x）的值域必为R.反之，f（x）的值域为R，则对任意的b∈R，都?a∈D使得f（a）=b，故①是真命题；

（2）对于命题②，若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[﹣M，M].

∴﹣M≤f（x）≤M.例如：函数f（x）满足﹣2＜f（x）＜5，则有﹣5≤f（x）≤5，此时，f （x）无最大值，无最小值，故②是假命题；

（3）对于命题③，若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）值域为R，f（x）∈（﹣∞，+∞），并且存在一个正数M，使得﹣M≤g（x）≤M.故f （x）+g（x）∈（﹣∞，+∞）.

则f（x）+g（x）?B，故③是真命题；

（4）对于命题④，∵﹣≤≤，

当a＞0或a＜0时，aln（x+2）∈（﹣∞，+∞），f（x）均无最大值，若要使f（x）有最大值，则a=0，此时f（x）=，f（x）∈B，故④是真命题.

故答案为①③④.

【点评】本题考查了函数值域的概念、基本不等式、充要条件，还考查了新定义概念的应用和极限思想.本题计算量较大，也有一定的思维难度，属于难题.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.（12分）已知函数f（x）=sin（3x+）.

（1）求f（x）的单调递增区间；

（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值.

【分析】（1）令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间. （2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，可得sin（α+）=cos（α+）cos2α，化简可得（cosα﹣sinα）2=.再由α是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，从而求得cosα﹣sinα 的值.

【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（3x+），令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈Z，求得﹣≤x≤+，故函数的增区间为[﹣，+]，k∈Z. （2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，∴sin（α+）=cos（α+）cos2α，即sin（α+）=cos（α+）（cos2α﹣sin2α），

∴sinαcos+cosαsin=（cosαcos﹣sinαsin）（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）

即（sinα+cosα）=?（cosα﹣sinα）2（cosα+sinα），

又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，

当sinα+cosα=0时，tanα=﹣1，sinα=，cosα=﹣，此时cosα﹣sinα=﹣.

当sinα+cosα≠0时，此时cosα﹣sinα=﹣.

综上所述：cosα﹣sinα=﹣或﹣.

【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题.

（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；

（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？

（3）玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.

【分析】（1）设每盘游戏获得的分数为X，求出对应的概率，即可求X的分布列；

（2）求出有一盘出现音乐的概率，独立重复试验的概率公式即可得到结论.

（3）计算出随机变量的期望，根据统计与概率的知识进行分析即可.

【解答】解：（1）X可能取值有﹣200，10，20，100.

则P（X=﹣200）=，

P（X=10）==

P（X=20）==，

P（X=100）==，

故分布列为：

X ﹣200 10 20 100

由（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是p=+=，

则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣.

由（1）知，每盘游戏获得的分数为X的数学期望是E（X）=（﹣200）×+10×+20××100=﹣=.

这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少.

【点评】本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力.

18.（12分）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB 的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.

（1）证明：P是线段BC的中点；

（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值.

【分析】（1）用线面垂直的性质和反证法推出结论，

（2）先建空间直角坐标系，再求平面的法向量，即可求出二面角A﹣NP﹣M的余弦值. 【解答】解：（1）由三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥A﹣BCD中：平面ABD⊥平面CBD，AB=AD=BD=CD=CB=2

设O为BD的中点，连接OA，OC

于是OA⊥BD，OC⊥BD 所以BD⊥平面OAC?BD⊥AC

因为M，N分别为线段AD，AB的中点，所以MN∥BD，MN⊥NP，故BD⊥NP

假设P不是线段BC的中点，则直线NP与直线AC是平面ABC内相交直线

从而BD⊥平面ABC，这与∠DBC=60°矛盾，所以P为线段BC的中点

（2）以O为坐标原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则A（0，0，），M（，O，），N（，0，），P（，，0）

于是，，

设平面ANP和平面NPM的法向量分别为和

由，则，设z1=1，则

由，则，设z2=1，则

cos===