反比例函数在实际生活中的运用

反比例函数在实际生活中的运用

反比例函数和其它函数一样，在我们的日常生活中有着广泛的应用.那么如何才能正确在利用反比例函数的关系来解决实际问题呢？具体地说应从以下两个方面入手：

一、正确地探求两个变量之间的关系

和利用其它函数解决实际问题一样，要利用反比例函数的关系解决实际问题，只要求能够正确地探求两个变量之间的关系.探索反比例函数中的两个变量之间的关系同样和列方程解应用题一样，即弄清题意和题目中的数量关系，找到能够表示应用题全部含义的一个相等的关系，根据这个相等的数量关系式，列出所需的代数式，从而列出两个变量之间的关系式.常见的表示数量之间的关系有以下几种情形：

（1）和、差、倍、分问题，即两数和=较大的数+较小的数，较大的数=较小的数×倍数±增（或减）数.

（2）行程类问题，即路程=速度×时间.

（3）工程类问题，即工作量=工作效率×工作时间.

（4）浓度类问题，即溶质质量＝溶液质量×浓度.

（5）分配类问题，即调配前后总量不变，调配后双方有新的倍比关系.

（6）等积类问题，即变形前后的质量（或体积）不变.

（7）数字类问题，即有若个位上数字为a ，十位上的数字为b ，百位上的数字为c ，则这三位数可表示为100c +10b +a ，等等.

（8）经济类问题，即利息＝本金×利率×期数；本息和＝本金+利息＝本金+本金×利率×期数；税后利息＝本金×利率×期数×（1－利息税率）；商品的利润＝商品的售价－商品的进价；商品的利润率＝商品进价

商品的利润×100％. （9）增长（或降低）率问题，即实际生产数＝计划数×［1+增长率（或－减少率）］，增长率＝计划数

增长数×100％. （10）图形类问题，即根据图形的特征，结合规范图形的周长公式、面积公式、体积公式等等.

二、注意典型习题的训练和巩固

为了能帮助同学们正确地利用反比例函数来解决实际问题，现归类说明如下：

（一）在行程类问题中的应用

例1 小华的爸爸早晨骑自行车带小华到15千米的镇外去赶集，回来时让小华乘公共汽车，用的时间少了．假设两人经过的路程一样，而且自行车和汽车的速度在行驶过程中都不变，爸爸要小华找出从家里到镇上的时间和乘坐不同交通工具的速度之间的关系．

简析 设小华乘坐交通工具的速度是v 千米/时，从家里到镇上的时间是t 小时．因为在匀速运动中，时间＝路程÷速度，所以v

t 15=，从这个关系式中发现:路程一定时，时间t 就是速度v 的反比例函数．即速度增大了，时间变小；速度减小了，时间增大．自变量v 的取值是v ＞0．

（二）在平面图形中的应用

例2在□ABCD 中,AB =4cm,BC =1cm,E 是CD 边上一动点,AE 、BC 的延长线交于点F ,设DE =x (cm),BF =y (cm).求y 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围.

简析 四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥CF ,即

AD DE CF CG

=，所以114x y x =--，则4y x =，此时自变量x 的取值范围是0< x <4. （三）在立体图形中的应用

例3一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是y 厘米，宽是5厘米，高是x 厘米．

（1）写出用高表示长的函数关系式；

（2）写出自变量x 的取值范围；

简析 （1）因为100＝5xy ,所以x y 20=

．（2）由于长方体的棱长是正值，所以x ＞0．

（四）在物理学上的应用

例4一定质量的氧气,它的密度ρ(kg/m 3)是它的体积V ( m 3) 的反比例函数,

当V =10m 3时, ρ=1.43kg/m 3. （1）求ρ与V 的函数关系式；（2）求当V =2m 3时求氧气的密度ρ.

简析 （1）设ρ=k v ,当V =10m 3时, ρ=1.43kg/m 3,所以1.43=

10k ,即k =14.3,所以ρ与V 的函数关系式是ρ=14.3V ；（2）当V =2m 3时, ρ=14.32

=7.15(kg/m 3),所以当V =2m 3时,氧气的密度为7.15(kg/m 3).

（五）日常生活中的问题

例5 你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y (m)是面条的粗细(横截面积)s (mm 2)的反比例函数，其图像如图所示.

（1）写出y 与s 的函数关系式；

（2）求当面条粗1.6mm 2时，面条的总长度是多少米？

简析（1）依题意，结合图像，不妨设反比例函数的解析式为y ＝

k s （k ≠0，s ≥0），由于图像经过点（4，32），则有32＝

4k ，所以k ＝128，即y 与s 的函数关系式为y ＝

128s （s ≥0），（2）当面条粗s ＝1.6mm 2时，面条的总长度是y ＝80(mm)＝0.8(m).