2014高考数学复习步步为赢专题五第一讲
2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[1，2）B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]2．（5分）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数4．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A ．B．3C ．m D．3m5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A ．B ．C ．D ．6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A ．B ．C．D．7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A ．B ．C ．D．8．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=9．（5分）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p310．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A ．B．3C ．D．211．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A ．（1，+∞）B ．（2，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）D ．（﹣∞，﹣2）12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A ．6B ．6C ．4D ．4二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（x ﹣y ）（x +y ）8的展开式中x 2y 7的系数为．（用数字填写答案）14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．15．（5分）已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若=（+），则与的夹角为．16．（5分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a=2且（2+b ）（sinA ﹣sinB ）=（c ﹣b ）sinC ，则△ABC 面积的最大值为．三、解答题17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，a n ≠0，a n a n +1=λS n ﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：a n +2﹣a n =λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s 2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N （μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s 2．（i ）利用该正态分布，求P （187.8＜Z ＜212.2）；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i ）的结果，求EX ．附：≈12.2．若Z ～N （μ，σ2）则P （μ﹣σ＜Z ＜μ+σ）=0.6826，P （μ﹣2σ＜Z ＜μ+2σ）=0.9544．19．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，AB ⊥B 1C ．（Ⅰ）证明：AC=AB 1；（Ⅱ）若AC ⊥AB 1，∠CBB 1=60°，AB=BC ，求二面角A ﹣A 1B 1﹣C 1的余弦值．20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E ：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF 的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．21．（12分）设函数f（x）=ae x lnx +，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C ：+=1，直线l ：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．选修4-5：不等式选讲24．若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分）1．【考点】集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0，解得：x≥3或x≤﹣1，即A=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∵B=[﹣2，2），∴A∩B=[﹣2，﹣1]．故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．【考点】复数的运算．【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．【解答】解：==﹣（1+i）=﹣1﹣i，故选：D．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．【考点】函数奇偶性的性质与判断．【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），f（﹣x）•g（﹣x）=﹣f（x）•g（x），故函数是奇函数，故A错误，|f（﹣x）|•g（﹣x）=|f（x）|•g（x）为偶函数，故B错误，f（﹣x）•|g（﹣x）|=﹣f（x）•|g（x）|是奇函数，故C正确．|f（﹣x）•g（﹣x）|=|f（x）•g（x）|为偶函数，故D错误，故选：C．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．4．【考点】双曲线的性质．【分析】双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．【解答】解：双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为，∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0，∴点F到C 的一条渐近线的距离为=．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题．5．【考点】等可能事件和等可能事件的概率．【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．【解答】解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，∴所求概率为=．故选：D．【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．6．【考点】抽象函数及其应用．【分析】在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择．【解答】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|=|cosx|•|sinx|=|sin2x|，其周期为T=，最大值为，最小值为0，故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用．7．【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M的值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环M=1+=，a=2，b=，n=2；第二次循环M=2+=，a=，b=，n=3；第三次循环M=+=，a=，b=，n=4．不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=．故选：D．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．8．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）=cosα，则答案可求．【解答】解：由tanα=，得：，即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）=cosα=sin （），∵α∈（0，），β∈（0，），∴当时，sin（α﹣β）=sin （）=cosα成立．故选：C．【点评】本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题．9．【考点】命题的真假判断与应用；7A：二元一次不等式的几何意义．【分析】作出不等式组的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可．【解答】解：作出图形如下：由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域，p1：区域D在x+2y≥﹣2区域的上方，故：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；p2：在直线x+2y=2的右上方和区域D重叠的区域内，∃（x，y）∈D，x+2y≥2，故p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2正确；p3：由图知，区域D有部分在直线x+2y=3的上方，因此p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3错误；p4：x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误；综上所述，p1、p2正确；故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于难题．10．【考点】抛物线的性质．【分析】求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，∵=4，∴|PQ|=3d，∴不妨设直线PF 的斜率为﹣=﹣2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），与y2=8x联立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3，故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．11．【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】由题意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；而当x=时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f （）=﹣3•+1＞0；故a＜﹣2；综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；故选：D．【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点的判定的应用，属于基础题．12．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】画出图形，结合三视图的数据求出棱长，推出结果即可．【解答】解：几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C到BD的中点的距离为：4，∴．AC==6，AD=4，显然AC最长．长为6．故选：B．【点评】本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力．二、填空题（共4小题，每小题5分）13．﹣20．【考点】二项式定理．【分析】由题意依次求出（x+y）8中xy7，x2y6，项的系数，求和即可．【解答】解：（x+y）8的展开式中，含xy7的系数是：8．含x2y6的系数是28，∴（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为：8﹣28=﹣20．故答案为：﹣20【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．14．A．【考点】进行简单的合情推理．【分析】可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A．故答案为：A．【点评】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．15．90°．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论．【解答】解：在圆中若=（+），即2=+，即+的和向量是过A，O的直径，则以AB，AC为邻边的四边形是矩形，则⊥，即与的夹角为90°，故答案为：90°【点评】本题主要考查平面向量的夹角的计算，利用圆直径的性质是解决本题的关键，比较基础．16．．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】由正弦定理化简已知可得2a﹣b2=c2﹣bc，结合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求bc ≤4，再利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC⇒（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c⇒2a﹣2b+ab﹣b2=c2﹣bc，又因为：a=2，所以：，△ABC 面积，而b2+c2﹣a2=bc⇒b2+c2﹣bc=a2⇒b2+c2﹣bc=4⇒bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．三、解答题17．【解答】（Ⅰ）证明：∵a n a n+1=λS n﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1，∴a n+1（a n+2﹣a n）=λa n+1∵a n+1≠0，∴a n+2﹣a n=λ．（Ⅱ）解：假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d．则λ=a n+2﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，∴．∴，，∴λS n=1+=，根据{a n }为等差数列的充要条件是，解得λ=4．此时可得，a n=2n﹣1．因此存在λ=4，使得{a n}为等差数列．【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题．18．【解答】解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为：=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826；（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，依题意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26．【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力．19．【解答】解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1，（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1两两垂直，以O 为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y 轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC，∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则，可取=（1，，），同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，﹣，），∴cos ＜，＞==，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为【点评】本题考查空间向量法解决立体几何问题，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．20．【解答】解：（Ⅰ）设F（c，0），由条件知，得又，所以a=2，b2=a2﹣c2=1，故E 的方程．…．（5分）（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，从而又点O到直线PQ 的距离，所以△OPQ的面积=，设，则t＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…（12分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．21．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=+，由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e x lnx +，∵f（x）＞1，∴e x lnx+＞1，∴lnx ＞﹣，∴f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x ﹣，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g （）=﹣．设函数h（x）=xe﹣x ﹣，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣．综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．【点评】本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．选修4-1：几何证明选讲22．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D=∠CBE，∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上，∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE，∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由（Ⅰ）知，∠D=∠E，∴△ADE为等边三角形．【点评】本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C ：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲线C 的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l ：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l 的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）=﹣1时，|PA |取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|PA |取得最小值，最小值为．【点评】本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．选修4-5：不等式选讲24．【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+=，∴=+≥2，∴ab≥2，当且仅当a=b=时取等号．∵a3+b3≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，∴a3+b3的最小值为4．关注公众号：麦田笔墨获取更多干货第11页（共11页）（Ⅱ）∵2a +3b ≥2=2，当且仅当2a=3b 时，取等号．而由（1）可知，2≥2=4＞6，故不存在a ，b ，使得2a +3b=6成立．【点评】本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．。
【数学】2014-2018年高考数学(理)五年真题分类第一章 集合与常用逻辑用语
第一章 集合与常用逻辑用语考点1 集合1．（2018全国Ⅰ，2）已知集合，则( )A ．B ．． ．1B 解不等得以，以以得，故选B.2．2018全国Ⅱ，2）已知集合，则A 中素的个数为(A ．9B ．8 ． D ．42.A ，当，y =−1,0,1；当时，；时y =−1,0,1；所以共有9个，选A.3．（2018全国Ⅲ，1）已知集合，，则A ∩B =( )A ．{0}B ．{1}C ．{1 ， 2}D ．{0 ， 1 ， 2}3.C 由集合A 得,所以A ∩B ={1,2}，故选C.4．（2018天津，1）设全集为R ，集合，，则 )A ．B ．C ．D ．.B 由题意可得：，结合交集的定义得：.5．（2018浙江，1）已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则∁U A=( )A ．∅B ．{1，3}C ．{2，4，5}D ．{1，2，3，4，5}5.C 因为全集U ={1,2,3,4,5}，A ={1,3}，所以根据补集的定义得∁U A ={2,4,5},故选C.6．（2018北京，1）已知集合A ={(x ||x |<2)},B ={−2,0,1,2},则A ∩B =( )A ．{0,1}B ．{−1,0,1}C ．{−2,0,1,2}D ．{−1,0,1,2}6.A 因此∩B ={−2,0,1,2}∩(−2,2)={0,1}，选A.7．（2018北京，8）设集合则(A ．对意实数a ，B ．对任意实数a ，（2,1）∉AC ．当且仅当a <0时,（2,1）∉AD ．当且仅当a ≤32 时,（2,1）∉A7.D 若(2,1)∈A ，则a >32且a ≥0，即若(2,1)∈A ，则a >32，此命题的逆否命题为：若a ≤32，则有(2,1)∉A，故选D.8.（2017﹒全国Ⅰ，1）已知集合A={|＜1}，B={|3＜1}，则（）A.A∩B={|＜0}B.A∪B=RC.A∪B={|＞1}D.A∩B=∅8. A ∵集合A={|＜1}，B={|3＜1}={|＜0}，∴A∩B={|＜0}，故A正确，D错误；A∪B={|＜1}，故B和C都错误．故选A．9.（2017﹒新课标Ⅱ,2）设集合A={1，2，4}，B={|2﹣4+m=0}．若A∩B={1}，则B=（）A.{1，﹣3}B.{1，0}C.{1，3}D.{1，5}9.C 集合A={1，2，4}，B={|2﹣4+m=0}．若A∩B={1}，则1∈A且1∈B，可得1﹣4+m=0，解得m=3，即有B={|2﹣4+3=0}={1，3}．故选C．10.（2017﹒新课标Ⅲ,1）已知集合A={（，y）|2+y2=1}，B={（，y）|y=}，则A∩B中元素的个数为（）A.3B.2C.1D.010. B 由，解得：或，∴A∩B的元素的个数是2个，故选B．11.（2017﹒山东,1）设函数y= 的定义域为A，函数y=ln（1﹣）的定义域为B，则A∩B=（）A.（1，2）B.（1，2]C.（﹣2，1）D.[﹣2，1）11.D 由4﹣2≥0，解得：﹣2≤≤2，则函数y= 的定义域[﹣2，2]，由对数函数的定义域可知：1﹣＞0，解得：＜1，则函数y=ln（1﹣）的定义域（﹣∞，1），则A∩B=[﹣2，1），故选D．12.（2017·天津,1）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={∈R|﹣1≤≤5}，则（A∪B）∩C=（）A.{2}B.{1，2，4}C.{1，2，4，5}D.{∈R|﹣1≤≤5}12. B ∵A={1，2，6}，B={2，4}，∴A∪B={1，2，4，6}，又C={∈R|﹣1≤≤5}，∴（A∪B）∩C={1，2，4}．故选B．13.（2017•浙江,1）已知集合P={|﹣1＜＜1}，Q={|0＜＜2}，那么P∪Q=（）A.（﹣1，2）B.（0，1）C.（﹣1，0）D.（1，2）13. A 集合P={|﹣1＜＜1}，Q={|0＜＜2}，那么P∪Q={|﹣1＜＜2}=（﹣1，2）．故选A.14.（2017•北京,1）若集合A={|﹣2＜＜1}，B={|＜﹣1或＞3}，则A∩B=（）A.{|﹣2＜＜﹣1}B.{|﹣2＜＜3}C.{|﹣1＜＜1}D.{|1＜＜3}14.A ∵集合A={|﹣2＜＜1}，B={|＜﹣1或＞3}，∴A∩B={|﹣2＜＜﹣1}故选A.15.(2016·全国Ⅰ,1)设集合A＝{|2－4＋3<0},B＝{|2－3>0},则A∩B＝()A.⎝⎛⎭⎫－3，－32B.⎝⎛⎭⎫－3，32C.⎝⎛⎭⎫1，32D.⎝⎛⎭⎫32，3 15.D [由A ＝{|2－4＋3<0}＝{|1<<3},B ＝{|2－3>0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >32,得A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪32<x <3＝⎝⎛⎭⎫32，3,故选D.]16.(2016·全国Ⅱ,2)已知集合A ＝{1,2,3},B ＝{|(＋1)(－2)<0,∈},则A ∪B ＝( )A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{－1,0,1,2,3}16.C [由(＋1)(－2)<0解得集合B ＝{|－1<<2},又因为∈,所以B ＝{0,1},因为A ＝{1,2,3},所以A ∪B ＝{0,1,2,3},故选C.]17.(2016·全国Ⅲ,1)设集合S ＝{|(－2)(－3)≥0},T ＝{|＞0},则S ∩T ＝( )A.[2,3]B.(－∞,2]∪[3,＋∞)C.[3,＋∞)D.(0,2]∪[3,＋∞)17.D[S ＝{|≥3或≤2},T ＝{|＞0},则S ∩T ＝(0,2]∪[3,＋∞).]18.(2016·北京,1)已知集合A ＝{|||＜2},B ＝{－1,0,1,2,3},则A ∩B ＝( )A.{0,1}B.{0,1,2}C.{－1,0,1}D.{－1,0,1,2}18.C [A ＝{|||＜2}＝{|-2＜＜2},所以A ∩B ＝{|-2＜＜2}∩{-1,0,1,2,3}＝{-1,0,1}.]19.(2016·山东,2)设集合A ＝{y |y ＝2,∈R },B ＝{|2－1<0},则A ∪B ＝( )A.(－1,1)B.(0,1)C.(－1,＋∞)D.(0,＋∞)19.C [∵A ＝{y |y >0},B ＝{|－1<<1},∴A ∪B ＝(－1,＋∞),故选C.]20.(2016·四川,1)设集合A ＝{|－2≤≤2},为整数集,则集合A ∩中元素的个数是( )A.3B.4C.5D.620.C [由题可知,A ∩＝{－2,－1,0,1,2},则A ∩中的元素的个数为5.选C.]21.(2015·重庆,1)已知集合A ＝{1,2,3},B ＝{2,3},则( )A ．A ＝B B ．A ∩B ＝∅C ．A ≠⊂BD ．B ≠⊂A 21.D [由于2∈A ,2∈B ,3∈A ,3∈B ,1∈A ,1∉B ,故A ,B ,C 均错,D 是正确的,选D.]22.(2015·天津,1)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8},集合A ＝{2,3,5,6},集合B ＝{1,3,4,6,7},则集合A ∩∁U B ＝( )A ．{2,5}B ．{3,6}C ．{2,5,6}D ．{2,3,5,6,8}22.A[由题意知,∁U B＝{2,5,8},则A∩∁U B＝{2,5},选A.]23.(2015·福建,1)若集合A＝{i,i2,i3,i4}(i是虚数单位),B＝{1,－1},则A∩B等于() A．{－1} B．{1} C．{1,－1} D．∅23.C[集合A＝{i－1,1,－i},B＝{1,－1},A∩B＝{1,－1},故选C.]24.(2015·广东,1)若集合M＝{|(＋4)(＋1)＝0},N＝{|(－4)(－1)＝0},则M∩N＝() A．{1,4} B．{－1,－4} C．{0} D．∅24.A [因为M＝{|(＋4)(＋1)＝0}＝{－4,－1},N＝{|(－4)·(－1)＝0}＝{1,4},所以M∩N＝∅,故选A.]25.(2015·四川,1)设集合A＝{|(＋1)(－2)＜0},集合B＝{|1＜＜3},则A∪B＝()A．{|－1＜＜3} B．{|－1＜＜1} C．{|1＜＜2} D．{|2＜＜3}25.A [∵A＝{|－1＜＜2},B＝{|1＜＜3},∴A∪B＝{|－1＜＜3}．]26.(2015·新课标全国Ⅱ,1)已知集合A＝{－2,－1,0,1,2},B＝{|(－1)(＋2)＜0},则A∩B＝() A．{－1,0} B．{0,1} C．{－1,0,1} D．{0,1,2}26.A [由A＝{－2,－1,0,1,2},B＝{|(－1)(＋2)＜0}＝{|－2＜＜1},得A∩B＝{-1,0},故选A.]27.(2015·山东,1)已知集合A＝{|2－4＋3<0},B＝{|2<<4},则A∩B＝()A．(1,3) B．(1,4) C．(2,3) D．(2,4)27.C[∵A＝{|2－4＋3＜0}＝{|(－1)(－3)}＝{|1＜＜3},B＝{|2＜＜4},∴A∩B＝{|2＜＜3}＝(2,3).]28.(2015·浙江,1)已知集合P＝{|2－2≥0},Q＝{|1＜≤2},则(∁R P)∩Q＝()A．[0,1) B．(0,2] C．(1,2) D．[1,2]28.C[∵P＝{|≥2或≤0},∁R P＝{|0＜＜2},∴(∁R P)∩Q＝{|1＜＜2},故选C.]29.(2015·陕西,1)设集合M＝{|2＝},N＝{|lg ≤0},则M∪N＝()A．[0,1] B．(0,1] C．[0,1) D．(－∞,1]29.A[由题意得M＝{0,1},N＝(0,1],故M∪N＝[0,1],故选A.]30.(2015·湖北,9)已知集合A＝{(,y)|2＋y2≤1,,y∈},B＝{(,y)|||≤2,|y|≤2,,y∈},定义集合A⊕B＝{(1x ＋2x ,1y ＋2y )|(1x ,1y )∈A ,(2x ,2y )∈B },则A ⊕B 中元素的个数为( )A ．77B ．49C ．45D ．3030.C [如图,集合A 表示如图所示的所有圆点“”,集合B 表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”,集合A ⊕B 显然是集合{(,y )|||≤3,|y |≤3,,y ∈}中除去四个点{(-3,-3),(-3,3),(3,-3),(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点),即集合A ⊕B 表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”,共45个．故A ⊕B 中元素的个数为45.故选C.]31.(2014·北京,1)已知集合A ＝{|2－2＝0},B ＝{0,1,2},则A ∩B ＝( )A ．{0}B ．{0,1}C ．{0,2}D ．{0,1,2}31.C [∵A ＝{|2－2＝0}＝{0,2},∴A ∩B ＝{0,2},故选C.]32.(2014·新课标全国Ⅱ,1)设集合M ＝{0,1,2},N ＝{|2－3＋2≤0},则M ∩N ＝( )A ．{1}B ．{2}C ．{0,1}D ．{1,2}32.D [N ＝{|2－3＋2≤0}＝{|1≤≤2},又M ＝{0,1,2},所以M ∩N ＝{1,2}.]33．(2014·新课标全国Ⅰ,1)已知集合A ＝{|2－2－3≥0},B ＝{|－2≤<2},则A ∩B ＝() A ．[-2,-1] B ．[-1,2) C ．[-1,1] D ．[1,2)33.A [A ＝{|≤-1,或≥3},故A ∩B ＝[-2,-1],选A.]34.(2014·四川,1)已知集合A ＝{|2－－2≤0},集合B 为整数集,则A ∩B ＝( )A ．{-1,0,1,2}B ．{-2,-1,0,1}C ．{0,1}D ．{-1,0}34.A [因为A ＝{|-1≤≤2},B ＝,故A ∩B ＝{-1,0,1,2}．]35.(2014·辽宁,1)已知全集U ＝R ,A ＝{|≤0},B ＝{|≥1},则集合∁U (A ∪B )＝( )A ．{|≥0}B ．{|≤1}C ．{|0≤≤1}D ．{|0<<1}35.D [A ∪B ＝{|≤0或≥1},所以∁U (A ∪B )＝{|0<<1}．]36.(2014·大纲全国,2)设集合M ＝{|2－3－4<0},N ＝{|0≤≤5},则M ∩N ＝( )A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[－1,0)D ．(－1,0]36.B[由题意可得M＝{|－1<<4},所以M∩N＝{|0≤<4},故选B.]37．（2018江苏，1）已知集合A={0,1,2,8}，B={−1,1,6,8}，那么A∩B=________．37.{1，8} 由题设和交集的定义可知：A∩B={1,8}.38.（2017•江苏,1）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为________．38.1 ∵集合A={1，2}，B={a，a2+3}．A∩B={1}，∴a=1或a2+3=1，解得a=1．39.(2015·江苏,1)已知集合A＝{1,2,3},B＝{2,4,5},则集合A∪B中元素的个数为________．39.5[∵A＝{1,2,3},B＝{2,4,5},∴A∪B＝{1,2,3,4,5}．故A∪B中元素的个数为5.]40.(2014·重庆,11)设全集U＝{n∈N|1≤n≤10},A＝{1,2,3,5,8},B＝{1,3,5,7,9},则(∁U A)∩B＝________.40.{7,9}[依题意得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},∁U A＝{4,6,7,9,10},(∁U A)∩B＝{7,9}.]考点2 命题及其关系、充要条件1．（2018天津，4）设，则“”是“”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件1.A 绝对值不等式⇔⇔，由⇔.据此可知是的充分而不必要条件.本题选择A选项. 2．（2018浙江，6）已知直线m，n和平面α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2.D 直线，平面，且，若，当时，，当时不能得出结论，故充分性不成立；若，过作一个平面，若时，则有，否则不成立，故必要性也不成立．由上证知“”是“”的既不充分也不必要条件，故选D．3．（2018北京，6）设a，b均为单位向量，则“”是“a⊥b”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3.C|a−3b|=|3a+b|⇔|a−3b|2=|3a+b|2⇔a2−6a⋅b+9b2=9a2+6a⋅b+b2，因为a，b均为单位向量，所以a2−6a⋅b+9b2=9a2+6a⋅b+b2⇔a⋅b=0⇔a⊥b，即“|a−3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的充分必要条件.选C.4.（2017•山东,3）已知命题p：∀＞0，ln（+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（）A. p∧qB. p∧￢qC. ￢p∧qD. ￢p∧￢q4. B 命题p：∀＞0，ln（+1）＞0，则命题p为真命题，则￢p为假命题；取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，则命题q是假命题，则￢q是真命题．∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题．5.（2017·天津,4）设θ∈R，则“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.A |θ﹣|＜⇔﹣＜θ﹣＜⇔0＜θ＜，sinθ＜⇔﹣+2π＜θ＜+2π，∈，则（0，）⊂[﹣+2π，+2π]，∈，可得“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的充分不必要条件．6.(2016·山东，6)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.A [若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交,那么直线a 和直线b可能平行或异面或相交，故选A.]7.(2016·北京，4)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.D[若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为菱形，a＋b，a－b表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，所以“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件.]8.(2015·湖南，2)设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.C [由A ∩B ＝A 可知，A ⊆B ；反过A ⊆B ，则A ∩B ＝A ，故选C.]9.(2015·陕西，6)“sin α＝cos α”是“cos2α＝0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.A [∵sin α＝cos α⇒cos 2α＝cos2α－sin2α＝0；cos 2α＝0⇔cos α＝±sin α⇒sin α＝cos α，故选A.]10.(2015·安徽，3)设p ：1<<2，q ：2>1，则p 是q 成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.A [当1<<2时，2<2<4，∴p ⇒q ；但由2>1，得>0，∴q ⇒/p ，故选A.]11.(2015·重庆，4)“＞1”是“12log (2)x +＜0”的( )A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件11.B [由＞1⇒＋2＞3⇒12log (2)x +＜0，12log (2)x +＜0⇒＋2＞1⇒＞－1，故“＞1”是“12log (2)x +＜0”成立的充分不必要条件.因此选B.]12.(2015·北京，4)设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.“m ∥β”是“α∥β”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件12.B [m ⊂α，m ∥β⇒/α∥β，但m ⊂α，α∥β⇒m ∥β，∴m ∥β是α∥β的必要而不充分条件.]13.(2015·福建，7)若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m ”是“l ∥α”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件13.B [m 垂直于平面α，当l ⊂α时，也满足l ⊥m ，但直线l 与平面α不平行，∴充分性不成立，反之，l ∥α，一定有l ⊥m ，必要性成立.故选B.]14.(2015·天津，4) 设∈R ，则“|－2|＜1”是“2＋－2＞0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14.A [由|－2|＜1得，1＜＜3，由2＋－2＞0，得＜－2或＞1，而1＜＜3⇒＜－2或＞1，而＜－2或＞1⇒/ 1＜＜3，所以，“|－2|＜1”是“2＋－2＞0”的充分而不必要条件，选A.]15.(2015·四川，8)设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a ＞3b ＞3”是“log a 3＜log b 3”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件15. B [若3a ＞3b ＞3，则a ＞b ＞1，从而有log a 3＜log b 3成立；若log a 3＜log b 3，不一定有a ＞b ＞1，比如a ＝13，b ＝3，选B.] 16.(2014·浙江，2)已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件16. A [当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ，反之，若(a ＋b i)2＝2i ，则有a ＝b ＝－1或 a ＝b ＝1，因此选A.]17.(2014·北京，5)设{a n }是公比为q 的等比数列.则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件17.D [当数列{a n }的首项a 1<0时，若q >1，则数列{a n }是递减数列；当数列{a n }的首项a 1<0时，要使数列{a n }为递增数列，则0<q <1，所以“q >1”是“数列{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选D.]18.(2014·福建，6)直线l ：y ＝＋1与圆O ：2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“＝1”是“△OAB的面积为12”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件18.A [若＝1，则直线l ：y ＝＋1与圆相交于(0，1)，(－1，0)两点，所以△OAB 的面积 OAB s ∆＝12×1×1＝12，所以“＝1”⇒“△OAB 的面积为12”；若△OAB 的面积为12，则＝±1，所以“△OAB 的面积为12”⇒“＝1”，所以“＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分而不必要条件，故选A.]19.(2014·辽宁，5)设a ，b ，c 是非零向量.已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( )A.p ∨qB.p ∧qC.(p )∧(q )D.p ∨(q )19.A [若a ＝A 1A →，b ＝AB →，c ＝B 1B →，则a ·c ≠0，命题p 为假命题；显然命题q 为真命题，所以p ∨q 为真命题.故选A.]20.(2014·重庆，6)已知命题p ：对任意∈R ，总有2>0；q ：“>1”是“>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A.p ∧qB.p ∧qC.p ∧qD.p ∧q20.D [依题意，命题p 是真命题.由>2⇒>1，而>1 >2，因此“>1”是“>2”的必要不充分条件，故命题q 是假命题，则q 是真命题，p ∧q 是真命题，选D.]21.(2014·陕西，8)原命题为“若1，2互为共轭复数，则|1|＝|2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A.真，假，真B.假，假，真C.真，真，假D.假，假，假21.B [因为原命题为真，所以它的逆否命题为真；若|1|＝|2|，当1＝1，2＝－1时，这两个复数不是共轭复数，所以原命题的逆命题是假的，故否命题也是假的.故选B.]22.(2014·全国Ⅱ卷)函数f ()在＝0x 处导数存在.若p ：f ′(0x )＝0，q ：＝0x 是f ()的极值点，则( )A.p 是q 的充分必要条件B.p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C.p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D.p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件22.C[函数在＝0处有导数且导数为0,①x ＝x 0未必是函数的极值点,还要看函数在这一点左右两边的导数的符号,若符号一致,则不是极值点；反之,若＝0为函数的极值点，则函数在＝0处的导数一定为0,所以②p 是q 的必要不充分条件.]23．（2018北京，13）能说明“若f （）>f （0）对任意的∈（0，2］都成立，则f （）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．23.y =sin （答案不唯一） 令，则（）>f （0对任意的∈0，2］都成立，但f （）在［0，2］上不是增函数.又如，令f （）=sin ，则f （0）=0，f （）>f （0）对任意的∈（0，2］都成立，但f （）在［0，2］上不是增函数.24.（2017•北京,13）能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a+b ＞c”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为________．24.﹣1，﹣2，﹣3 设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a+b ＞c ”是假命题，则若a ＞b ＞c ，则a+b ≤c ”是真命题，可设a ，b ，c 的值依次﹣1，﹣2，﹣3，（答案不唯一），考点三 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.(2016·浙江，4)命题“∀∈R ，∃n ∈N*，使得n≥2x ”的否定形式是( )A.∀∈R ，∃n ∈N*，使得n ＜2xB.∀∈R ，∀n ∈N*，使得n ＜2xC.∃∈R ，∃n ∈N*，使得n ＜2xD.∃∈R ，∀n ∈N*，使得n ＜2x1.D [原命题是全称命题，条件为∀∈R ，结论为∃n ∈N*，使得n≥2，其否定形式为特称命题，条件中改量词，并否定结论，只有D 选项符合.]2.(2015·浙江，4)命题“∀n ∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( )A.∀n ∈N*，f(n)∉N*且f(n)＞nB.∀n ∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞nC.∃0n ∈N*，f(0n )∉N*且f(0n )＞0nD.∃0n ∈N*，f(0n )∉N*或f(0n )＞0n2.D [由全称命题与特称命题之间的互化关系知选D.]3.(2015·新课标全国Ⅰ，3)设命题p ：∃n ∈N ，2n >n 2，则p 为( )A.∀n ∈N ，2n >n 2B.∃n ∈N ，2n ≤n 2C.∀n ∈N ，2n ≤n 2D.∃n ∈N ，2n ＝n 23.C [将命题p 的量词“∃”改为“∀”，“2n >2n ”改为“2n ≤2n ”.]4.(2014·湖南，5)已知命题p ：若>y ，则－<－y ；命题q ：若>y ，则2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(q )；④(p )∨q 中，真命题是( )A.①③B.①④C.②③D.②④4.C [由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题， ②p ∨q 为真命题，③q 为真命题，则p ∧(q )为真命题，④p 为假命题，则(p )∨q 为假命题，所以选C.]5.(2015·山东12)若“∀∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan ≤m”是真命题，则实数m 的最小值为________. 5.1 [∵函数y ＝tan 在⎣⎡⎦⎤0，π4上是增函数，∴m ax y ＝tan π4＝1.依题意，m ≥m ax y ，即m≥1.∴m 的最小值为1.]。
【数学】2014-2018年高考数学(理)五年真题分类第一章 集合与常用逻辑用语
第一章 集合与常用逻辑用语考点1 集合1．（2018全国Ⅰ，2）已知集合，则( )A ．B ．． ．1B 解不等得以，以以得，故选B.2．2018全国Ⅱ，2）已知集合，则A 中素的个数为(A ．9B ．8 ． D ．42.A ，当，y =−1,0,1；当时，；时y =−1,0,1；所以共有9个，选A.3．（2018全国Ⅲ，1）已知集合，，则A ∩B =( )A ．{0}B ．{1}C ．{1 ， 2}D ．{0 ， 1 ， 2}3.C 由集合A 得,所以A ∩B ={1,2}，故选C.4．（2018天津，1）设全集为R ，集合，，则 )A ．B ．C ．D ．.B 由题意可得：，结合交集的定义得：.5．（2018浙江，1）已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则∁U A=( )A ．∅B ．{1，3}C ．{2，4，5}D ．{1，2，3，4，5}5.C 因为全集U ={1,2,3,4,5}，A ={1,3}，所以根据补集的定义得∁U A ={2,4,5},故选C.6．（2018北京，1）已知集合A ={(x ||x |<2)},B ={−2,0,1,2},则A ∩B =( )A ．{0,1}B ．{−1,0,1}C ．{−2,0,1,2}D ．{−1,0,1,2}6.A 因此∩B ={−2,0,1,2}∩(−2,2)={0,1}，选A.7．（2018北京，8）设集合则(A ．对意实数a ，B ．对任意实数a ，（2,1）∉AC ．当且仅当a <0时,（2,1）∉AD ．当且仅当a ≤32 时,（2,1）∉A7.D 若(2,1)∈A ，则a >32且a ≥0，即若(2,1)∈A ，则a >32，此命题的逆否命题为：若a ≤32，则有(2,1)∉A，故选D.8.（2017﹒全国Ⅰ，1）已知集合A={|＜1}，B={|3＜1}，则（）A.A∩B={|＜0}B.A∪B=RC.A∪B={|＞1}D.A∩B=∅8. A ∵集合A={|＜1}，B={|3＜1}={|＜0}，∴A∩B={|＜0}，故A正确，D错误；A∪B={|＜1}，故B和C都错误．故选A．9.（2017﹒新课标Ⅱ,2）设集合A={1，2，4}，B={|2﹣4+m=0}．若A∩B={1}，则B=（）A.{1，﹣3}B.{1，0}C.{1，3}D.{1，5}9.C 集合A={1，2，4}，B={|2﹣4+m=0}．若A∩B={1}，则1∈A且1∈B，可得1﹣4+m=0，解得m=3，即有B={|2﹣4+3=0}={1，3}．故选C．10.（2017﹒新课标Ⅲ,1）已知集合A={（，y）|2+y2=1}，B={（，y）|y=}，则A∩B中元素的个数为（）A.3B.2C.1D.010. B 由，解得：或，∴A∩B的元素的个数是2个，故选B．11.（2017﹒山东,1）设函数y= 的定义域为A，函数y=ln（1﹣）的定义域为B，则A∩B=（）A.（1，2）B.（1，2]C.（﹣2，1）D.[﹣2，1）11.D 由4﹣2≥0，解得：﹣2≤≤2，则函数y= 的定义域[﹣2，2]，由对数函数的定义域可知：1﹣＞0，解得：＜1，则函数y=ln（1﹣）的定义域（﹣∞，1），则A∩B=[﹣2，1），故选D．12.（2017·天津,1）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={∈R|﹣1≤≤5}，则（A∪B）∩C=（）A.{2}B.{1，2，4}C.{1，2，4，5}D.{∈R|﹣1≤≤5}12. B ∵A={1，2，6}，B={2，4}，∴A∪B={1，2，4，6}，又C={∈R|﹣1≤≤5}，∴（A∪B）∩C={1，2，4}．故选B．13.（2017•浙江,1）已知集合P={|﹣1＜＜1}，Q={|0＜＜2}，那么P∪Q=（）A.（﹣1，2）B.（0，1）C.（﹣1，0）D.（1，2）13. A 集合P={|﹣1＜＜1}，Q={|0＜＜2}，那么P∪Q={|﹣1＜＜2}=（﹣1，2）．故选A.14.（2017•北京,1）若集合A={|﹣2＜＜1}，B={|＜﹣1或＞3}，则A∩B=（）A.{|﹣2＜＜﹣1}B.{|﹣2＜＜3}C.{|﹣1＜＜1}D.{|1＜＜3}14.A ∵集合A={|﹣2＜＜1}，B={|＜﹣1或＞3}，∴A∩B={|﹣2＜＜﹣1}故选A.15.(2016·全国Ⅰ,1)设集合A＝{|2－4＋3<0},B＝{|2－3>0},则A∩B＝()A.⎝⎛⎭⎫－3，－32B.⎝⎛⎭⎫－3，32C.⎝⎛⎭⎫1，32D.⎝⎛⎭⎫32，3 15.D [由A ＝{|2－4＋3<0}＝{|1<<3},B ＝{|2－3>0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >32,得A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪32<x <3＝⎝⎛⎭⎫32，3,故选D.]16.(2016·全国Ⅱ,2)已知集合A ＝{1,2,3},B ＝{|(＋1)(－2)<0,∈},则A ∪B ＝( )A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{－1,0,1,2,3}16.C [由(＋1)(－2)<0解得集合B ＝{|－1<<2},又因为∈,所以B ＝{0,1},因为A ＝{1,2,3},所以A ∪B ＝{0,1,2,3},故选C.]17.(2016·全国Ⅲ,1)设集合S ＝{|(－2)(－3)≥0},T ＝{|＞0},则S ∩T ＝( )A.[2,3]B.(－∞,2]∪[3,＋∞)C.[3,＋∞)D.(0,2]∪[3,＋∞)17.D[S ＝{|≥3或≤2},T ＝{|＞0},则S ∩T ＝(0,2]∪[3,＋∞).]18.(2016·北京,1)已知集合A ＝{|||＜2},B ＝{－1,0,1,2,3},则A ∩B ＝( )A.{0,1}B.{0,1,2}C.{－1,0,1}D.{－1,0,1,2}18.C [A ＝{|||＜2}＝{|-2＜＜2},所以A ∩B ＝{|-2＜＜2}∩{-1,0,1,2,3}＝{-1,0,1}.]19.(2016·山东,2)设集合A ＝{y |y ＝2,∈R },B ＝{|2－1<0},则A ∪B ＝( )A.(－1,1)B.(0,1)C.(－1,＋∞)D.(0,＋∞)19.C [∵A ＝{y |y >0},B ＝{|－1<<1},∴A ∪B ＝(－1,＋∞),故选C.]20.(2016·四川,1)设集合A ＝{|－2≤≤2},为整数集,则集合A ∩中元素的个数是( )A.3B.4C.5D.620.C [由题可知,A ∩＝{－2,－1,0,1,2},则A ∩中的元素的个数为5.选C.]21.(2015·重庆,1)已知集合A ＝{1,2,3},B ＝{2,3},则( )A ．A ＝B B ．A ∩B ＝∅C ．A ≠⊂BD ．B ≠⊂A 21.D [由于2∈A ,2∈B ,3∈A ,3∈B ,1∈A ,1∉B ,故A ,B ,C 均错,D 是正确的,选D.]22.(2015·天津,1)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8},集合A ＝{2,3,5,6},集合B ＝{1,3,4,6,7},则集合A ∩∁U B ＝( )A ．{2,5}B ．{3,6}C ．{2,5,6}D ．{2,3,5,6,8}22.A [由题意知,∁U B ＝{2,5,8},则A ∩∁U B ＝{2,5},选A.]23.(2015·福建,1)若集合A ＝{i,i 2,i 3,i 4}(i 是虚数单位),B ＝{1,－1},则A ∩B 等于( )A ．{－1}B ．{1}C ．{1,－1}D ．∅23.C [集合A ＝{i －1,1,－i},B ＝{1,－1},A ∩B ＝{1,－1},故选C.]24.(2015·广东,1)若集合M ＝{|(＋4)(＋1)＝0},N ＝{|(－4)(－1)＝0},则M ∩N ＝( )A ．{1,4}B ．{－1,－4}C ．{0}D ．∅24.A [因为M ＝{|(＋4)(＋1)＝0}＝{－4,－1},N ＝{|(－4)·(－1)＝0}＝{1,4},所以M ∩N ＝∅,故选A.]25.(2015·四川,1)设集合A ＝{|(＋1)(－2)＜0},集合B ＝{|1＜＜3},则A ∪B ＝( )A ．{|－1＜＜3}B ．{|－1＜＜1}C ．{|1＜＜2}D ．{|2＜＜3}25.A [∵A ＝{|－1＜＜2},B ＝{|1＜＜3},∴A ∪B ＝{|－1＜＜3}．]26.(2015·新课标全国Ⅱ,1)已知集合A ＝{－2,－1,0,1,2},B ＝{|(－1)(＋2)＜0},则A ∩B ＝( )A ．{－1,0}B ．{0,1}C ．{－1,0,1}D ．{0,1,2}26.A [由A ＝{－2,－1,0,1,2},B ＝{|(－1)(＋2)＜0}＝{|－2＜＜1},得A ∩B ＝{-1,0},故选A.]27.(2015·山东,1)已知集合A ＝{|2－4＋3<0},B ＝{|2<<4},则A ∩B ＝( )A ．(1,3)B ．(1,4)C ．(2,3)D ．(2,4)27.C [∵A ＝{|2－4＋3＜0}＝{|(－1)(－3)}＝{|1＜＜3},B ＝{|2＜＜4},∴A ∩B ＝{|2＜＜3}＝(2,3).]28.(2015·浙江,1)已知集合P ＝{|2－2≥0},Q ＝{|1＜≤2},则(∁R P )∩Q ＝( )A ．[0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．[1,2]28.C [∵P ＝{|≥2或≤0},∁R P ＝{|0＜＜2},∴(∁R P )∩Q ＝{|1＜＜2},故选C.]29.(2015·陕西,1)设集合M ＝{|2＝},N ＝{|lg ≤0},则M ∪N ＝ ( )A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(－∞,1]29.A [由题意得M ＝{0,1},N ＝(0,1],故M ∪N ＝[0,1],故选A.]30.(2015·湖北,9)已知集合A ＝{(,y )|2＋y 2≤1,,y ∈},B ＝{(,y )|||≤2,|y |≤2,,y ∈},定义集合A ⊕B ＝{(1x ＋2x ,1y ＋2y )|(1x ,1y )∈A ,(2x ,2y )∈B },则A ⊕B 中元素的个数为( )A．77 B．49 C．45 D．3030.C[如图,集合A表示如图所示的所有圆点“”,集合B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”,集合A⊕B显然是集合{(,y)|||≤3,|y|≤3,,y∈}中除去四个点{(-3,-3),(-3,3),(3,-3),(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点),即集合A⊕B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”,共45个．故A⊕B中元素的个数为45.故选C.]31.(2014·北京,1)已知集合A＝{|2－2＝0},B＝{0,1,2},则A∩B＝()A．{0} B．{0,1} C．{0,2} D．{0,1,2}31.C[∵A＝{|2－2＝0}＝{0,2},∴A∩B＝{0,2},故选C.]32.(2014·新课标全国Ⅱ,1)设集合M＝{0,1,2},N＝{|2－3＋2≤0},则M∩N＝() A．{1} B．{2} C．{0,1} D．{1,2}32.D[N＝{|2－3＋2≤0}＝{|1≤≤2},又M＝{0,1,2},所以M∩N＝{1,2}.]33．(2014·新课标全国Ⅰ,1)已知集合A＝{|2－2－3≥0},B＝{|－2≤<2},则A∩B＝() A．[-2,-1] B．[-1,2) C．[-1,1] D．[1,2)33.A[A＝{|≤-1,或≥3},故A∩B＝[-2,-1],选A.]34.(2014·四川,1)已知集合A＝{|2－－2≤0},集合B为整数集,则A∩B＝()A．{-1,0,1,2} B．{-2,-1,0,1} C．{0,1} D．{-1,0}34.A[因为A＝{|-1≤≤2},B＝,故A∩B＝{-1,0,1,2}．]35.(2014·辽宁,1)已知全集U＝R,A＝{|≤0},B＝{|≥1},则集合∁U(A∪B)＝()A．{|≥0} B．{|≤1} C．{|0≤≤1} D．{|0<<1}35.D[A∪B＝{|≤0或≥1},所以∁U(A∪B)＝{|0<<1}．]36.(2014·大纲全国,2)设集合M＝{|2－3－4<0},N＝{|0≤≤5},则M∩N＝()A．(0,4] B．[0,4) C．[－1,0) D．(－1,0]36.B[由题意可得M＝{|－1<<4},所以M∩N＝{|0≤<4},故选B.]37．（2018江苏，1）已知集合A={0,1,2,8}，B={−1,1,6,8}，那么A∩B=________．37.{1，8} 由题设和交集的定义可知：A∩B={1,8}.38.（2017•江苏,1）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为________．38.1 ∵集合A={1，2}，B={a，a2+3}．A∩B={1}，∴a=1或a2+3=1，解得a=1．39.(2015·江苏,1)已知集合A＝{1,2,3},B＝{2,4,5},则集合A∪B中元素的个数为________．39.5[∵A＝{1,2,3},B＝{2,4,5},∴A∪B＝{1,2,3,4,5}．故A∪B中元素的个数为5.]40.(2014·重庆,11)设全集U＝{n∈N|1≤n≤10},A＝{1,2,3,5,8},B＝{1,3,5,7,9},则(∁U A)∩B＝________.40.{7,9}[依题意得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},∁U A＝{4,6,7,9,10},(∁U A)∩B＝{7,9}.]考点2 命题及其关系、充要条件1．（2018天津，4）设，则“”是“”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件1.A 绝对值不等式⇔⇔，由⇔.据此可知是的充分而不必要条件.本题选择A选项. 2．（2018浙江，6）已知直线m，n和平面α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2.D 直线，平面，且，若，当时，，当时不能得出结论，故充分性不成立；若，过作一个平面，若时，则有，否则不成立，故必要性也不成立．由上证知“”是“”的既不充分也不必要条件，故选D．3．（2018北京，6）设a，b均为单位向量，则“”是“a⊥b”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3.C|a−3b|=|3a+b|⇔|a−3b|2=|3a+b|2⇔a2−6a⋅b+9b2=9a2+6a⋅b+b2，因为a，b均为单位向量，所以a2−6a⋅b+9b2=9a2+6a⋅b+b2⇔a⋅b=0⇔a⊥b，即“|a−3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的充分必要条件.选C.4.（2017•山东,3）已知命题p：∀＞0，ln（+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（）A. p∧qB. p∧￢qC. ￢p∧qD. ￢p∧￢q4. B 命题p：∀＞0，ln（+1）＞0，则命题p为真命题，则￢p为假命题；取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，则命题q是假命题，则￢q是真命题．∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题．5.（2017·天津,4）设θ∈R，则“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.A |θ﹣|＜⇔﹣＜θ﹣＜⇔0＜θ＜，sinθ＜⇔﹣+2π＜θ＜+2π，∈，则（0，）⊂[﹣+2π，+2π]，∈，可得“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的充分不必要条件．6.(2016·山东，6)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.A [若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交,那么直线a 和直线b可能平行或异面或相交，故选A.]7.(2016·北京，4)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.D[若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为菱形，a＋b，a－b表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，所以“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件.]8.(2015·湖南，2)设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.C[由A∩B＝A可知，A⊆B；反过A⊆B，则A∩B＝A，故选C.]9.(2015·陕西，6)“sin α＝cos α”是“cos2α＝0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.A [∵sin α＝cos α⇒cos 2α＝cos2α－sin2α＝0；cos 2α＝0⇔cos α＝±sin α⇒sin α＝cos α，故选A.]10.(2015·安徽，3)设p ：1<<2，q ：2>1，则p 是q 成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.A [当1<<2时，2<2<4，∴p ⇒q ；但由2>1，得>0，∴q ⇒/p ，故选A.]11.(2015·重庆，4)“＞1”是“12log (2)x +＜0”的( )A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件11.B [由＞1⇒＋2＞3⇒12log (2)x +＜0，12log (2)x +＜0⇒＋2＞1⇒＞－1，故“＞1”是“12log (2)x +＜0”成立的充分不必要条件.因此选B.]12.(2015·北京，4)设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.“m ∥β”是“α∥β”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件12.B [m ⊂α，m ∥β⇒/α∥β，但m ⊂α，α∥β⇒m ∥β，∴m ∥β是α∥β的必要而不充分条件.]13.(2015·福建，7)若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m ”是“l ∥α”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件13.B [m 垂直于平面α，当l ⊂α时，也满足l ⊥m ，但直线l 与平面α不平行，∴充分性不成立，反之，l ∥α，一定有l ⊥m ，必要性成立.故选B.]14.(2015·天津，4) 设∈R ，则“|－2|＜1”是“2＋－2＞0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14.A [由|－2|＜1得，1＜＜3，由2＋－2＞0，得＜－2或＞1，而1＜＜3⇒＜－2或＞1，而＜－2或＞1⇒/ 1＜＜3，所以，“|－2|＜1”是“2＋－2＞0”的充分而不必要条件，选A.]15.(2015·四川，8)设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a ＞3b ＞3”是“log a 3＜log b 3”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件15. B [若3a ＞3b ＞3，则a ＞b ＞1，从而有log a 3＜log b 3成立；若log a 3＜log b 3，不一定有a ＞b ＞1，比如a ＝13，b ＝3，选B.] 16.(2014·浙江，2)已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件16. A [当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ，反之，若(a ＋b i)2＝2i ，则有a ＝b ＝－1或 a ＝b ＝1，因此选A.]17.(2014·北京，5)设{a n }是公比为q 的等比数列.则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件17.D [当数列{a n }的首项a 1<0时，若q >1，则数列{a n }是递减数列；当数列{a n }的首项a 1<0时，要使数列{a n }为递增数列，则0<q <1，所以“q >1”是“数列{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选D.]18.(2014·福建，6)直线l ：y ＝＋1与圆O ：2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“＝1”是“△OAB的面积为12”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件18.A [若＝1，则直线l ：y ＝＋1与圆相交于(0，1)，(－1，0)两点，所以△OAB 的面积 OAB s ∆＝12×1×1＝12，所以“＝1”⇒“△OAB 的面积为12”；若△OAB 的面积为12，则＝±1，所以“△OAB 的面积为12”⇒“＝1”，所以“＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分而不必要条件，故选A.]19.(2014·辽宁，5)设a ，b ，c 是非零向量.已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( )A.p ∨qB.p ∧qC.(p )∧(q )D.p ∨(q )19.A [若a ＝A 1A →，b ＝AB →，c ＝B 1B →，则a ·c ≠0，命题p 为假命题；显然命题q 为真命题，所以p ∨q 为真命题.故选A.]20.(2014·重庆，6)已知命题p ：对任意∈R ，总有2>0；q ：“>1”是“>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A.p ∧qB.p ∧qC.p ∧qD.p ∧q20.D [依题意，命题p 是真命题.由>2⇒>1，而>1 >2，因此“>1”是“>2”的必要不充分条件，故命题q 是假命题，则q 是真命题，p ∧q 是真命题，选D.]21.(2014·陕西，8)原命题为“若1，2互为共轭复数，则|1|＝|2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A.真，假，真B.假，假，真C.真，真，假D.假，假，假21.B [因为原命题为真，所以它的逆否命题为真；若|1|＝|2|，当1＝1，2＝－1时，这两个复数不是共轭复数，所以原命题的逆命题是假的，故否命题也是假的.故选B.]22.(2014·全国Ⅱ卷)函数f ()在＝0x 处导数存在.若p ：f ′(0x )＝0，q ：＝0x 是f ()的极值点，则( )A.p 是q 的充分必要条件B.p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C.p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D.p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件22.C[函数在＝0处有导数且导数为0,①x ＝x 0未必是函数的极值点,还要看函数在这一点左右两边的导数的符号,若符号一致,则不是极值点；反之,若＝0为函数的极值点，则函数在＝0处的导数一定为0,所以②p 是q 的必要不充分条件.]23．（2018北京，13）能说明“若f （）>f （0）对任意的∈（0，2］都成立，则f （）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．23.y =sin （答案不唯一） 令，则（）>f （0对任意的∈0，2］都成立，但f （）在［0，2］上不是增函数.又如，令f （）=sin ，则f （0）=0，f （）>f （0）对任意的∈（0，2］都成立，但f （）在［0，2］上不是增函数.24.（2017•北京,13）能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a+b ＞c”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为________．24.﹣1，﹣2，﹣3 设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a+b ＞c ”是假命题，则若a ＞b ＞c ，则a+b ≤c ”是真命题，可设a ，b ，c 的值依次﹣1，﹣2，﹣3，（答案不唯一），考点三 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.(2016·浙江，4)命题“∀∈R ，∃n ∈N*，使得n≥2x ”的否定形式是( )A.∀∈R ，∃n ∈N*，使得n ＜2xB.∀∈R ，∀n ∈N*，使得n ＜2xC.∃∈R ，∃n ∈N*，使得n ＜2xD.∃∈R ，∀n ∈N*，使得n ＜2x1.D [原命题是全称命题，条件为∀∈R ，结论为∃n ∈N*，使得n≥2，其否定形式为特称命题，条件中改量词，并否定结论，只有D 选项符合.]2.(2015·浙江，4)命题“∀n ∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( )A.∀n ∈N*，f(n)∉N*且f(n)＞nB.∀n ∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞nC.∃0n ∈N*，f(0n )∉N*且f(0n )＞0nD.∃0n ∈N*，f(0n )∉N*或f(0n )＞0n2.D [由全称命题与特称命题之间的互化关系知选D.]3.(2015·新课标全国Ⅰ，3)设命题p ：∃n ∈N ，2n >n 2，则p 为( )A.∀n ∈N ，2n >n 2B.∃n ∈N ，2n ≤n 2C.∀n ∈N ，2n ≤n 2D.∃n ∈N ，2n ＝n 23.C [将命题p 的量词“∃”改为“∀”，“2n >2n ”改为“2n ≤2n ”.]4.(2014·湖南，5)已知命题p ：若>y ，则－<－y ；命题q ：若>y ，则2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(q )；④(p )∨q 中，真命题是( )A.①③B.①④C.②③D.②④4.C [由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题， ②p ∨q 为真命题，③q 为真命题，则p ∧(q )为真命题，④p 为假命题，则(p )∨q 为假命题，所以选C.]5.(2015·山东12)若“∀∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan ≤m”是真命题，则实数m 的最小值为________. 5.1 [∵函数y ＝tan 在⎣⎡⎦⎤0，π4上是增函数，∴m ax y ＝tan π4＝1.依题意，m ≥m ax y ，即m≥1.∴m 的最小值为1.]。
【步步高 通用(理)】2014届高三《考前三个月》专题复习篇【配套课件】专题一 第三讲
PF PF1 7 1 ∴ ＝2.综上知， ＝ 或2. PF PF2 2 2
题型与方法
第三讲
反思归纳
(1)本题中直角顶点的位置不定，影响边长关系，
需按直角顶点不同的位置进行讨论. (2)涉及几何问题时，由于几何元素的形状、位置变化的不确 定性，需要根据图形的特征进行分类讨论.
审题破题
直角三角形关键是确定直角顶点，由 |PF1 |>|PF2 |
知，只需分∠PF2F1 和∠F1PF2 分别为直角两种情况即可.
解 若∠PF2F1＝90° ，
2 2 2 则 PF1 ＝|PF2 | ＋F1F2 ， 又∵ PF1＋PF2 ＝6，F1F2＝2 5，
4 2 当 m<2－2m，又 m< ，即 m< 时，ymax＝2－2m. 3 3
题型与方法
第三讲
4 ⅱ若 4－3m<0，即 m> 时，二次函数 y 的图象开口向下，又 3 1 它的对称轴方程 x＝ <0， 所以函数 y 在[0,1]上是减函数， 4－3m 于是 ymax＝f(0)＝m.
由①、②可知，这个函数的最大值为 2 2－2m，m<3， ymax＝ m，m≥2. 3
真题感悟
1 1 1 a ∴－ ＋a1＋a－ ＋a <－ 1＋ ， 2 2 2 2
1 1 5 ∴a－2＋a－2＋a<－4a. 1 1 5 ∵－1<a<0，∴ －2＋a －2＋a >－4， 1 2 1 2 5 5 ∴－－2＋a >－4，∴－2＋a <4，
则当
x∈ 0，
2014届高考数学一轮复习(配最新高考 模拟)第五章平面向量单元测试 理
2014届高考数学（理）一轮复习单元测试第五章平面向量一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1 ．【山东省诸城市2013届高三12月月考理】若向量(1,2),(4,)a x b y =-=相互垂直，则93x y +的最小值为A ．6B ．C ．D ．122、.【北京市海淀区2013届高三上学期期末理】向量(3,4),(,2)x ==a b , 若||⋅=a b a ,则实数x 的值为A.1-B.12-C.13- D.1 3、（2013年高考湖北理）已知点()1,1A -.()1,2B .()2,1C --.()3,4D ,则向量AB 在CD 方向上的投影为 （ ）A B C ．D ． 4、【北京市石景山区2013届高三上学期期末理】AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC AD 则===（ ） A ．(2,4) B ．(3,7) C ．(1,1)D ．(1,1)--5.【贵州省遵义四中2013届高三第四次月考理】已知向量(2,1)a =r ，(1,)b k =r，且a r 与b r 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是（ ）（A ）()2,-+∞（B ）11(2,)(,)22-+∞ （C ）(,2)-∞- （D ）(2,2)-6.【山东省青岛一中2013届高三1月调研理】已知两点(1,0),(1A B O 为坐标原点，点C在第二象限，且120=∠AOC ，设2,(),OC OA OB λλλ=-+∈R 则等于 A ．1-B ．２C ．1D ．2-7、若20AB BC AB ⋅+=，则ABC ∆必定是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形8、（2013高考湖南理）已知,a b 是单位向量,0a b =.若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是（ ）A ．⎤⎦B ．⎤⎦C ．1⎡⎤⎣⎦D ．1⎡⎤⎣⎦9.如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么=EF（A ）1122AB AD + （B ）1122AB AD -- （C ）1122AB AD -+（D ）1122AB AD -10、（广东省广州市2013届高三4月综合测试（二））对于任意向量a 、b 、c ,下列命题中正确的是（ ） A ．=a b a b B ．+=+a b a bC ．()()=a b c a b cD ．2=a a a11、（2013年考安徽数学理）在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点,A B 满足2,OA OB OA OB ===则点集{}|,1,,P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是 （）A ．B ．C ．D ．12 ．（2013年高考重庆数学理）在平面上,12AB AB ⊥,121OB OB ==,12AP AB AB =+.若12OP <,则OA 的取值范围是 （ ） A．⎛⎝⎦B ．⎝⎦C ．⎝D ．⎝二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）））已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD =_______.14．（2013年上海市春季高考）已知向量(1 )a k =，,(9 6)b k =-，.若//a b ,则实数 k =__________15、【天津市新华中学2013届高三第三次月考理】 已知向量,a b 夹角为45︒，且1,210a a b =-=；则b =___ ___.16．【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅= ．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17、(本小题满分10分) 【北京北师特学校2013届高三第二次月考 理】已知(1,2)a =,)2,3(-=,当k 为何值时，ka +与3a -平行？平行时它们是同向还是反向？18、(本小题满分12分) （江苏泰州市2013届高三期末）已知向量a=(cos λθ,cos(10)λθ-),b=(sin(10)λθ-,sin λθ),,R λθ∈ (1)求22a b +的值 （2）若a b ⊥，求θ （3）20πθ=，求证：a b19、(本小题满分12分) （2013届闸北区二模）已知)sin ,(cos θθ=和)cos ,sin 2(θθ-=b ，)2,(ππθ∈，且528||=+，求θsin 与⎪⎭⎫⎝⎛+82cos πθ的值． 20、(本小题满分12分) （上海市浦东区2013年高考二模）已知向量()1,1,m =向量n 与向量m 的夹角为34π,且1m n ⋅=-. (1)求向量n ;(2)若向量n 与(1,0)q =共线,向量22cos ,cos 2C p A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中A 、C 为ABC ∆的内角,且A 、B 、C 依次成等差数列,求n p +的取值范围.21．(本小题满分12分) 【 山东省滨州市滨城区一中2013届高三11月质检数学理】 在边长为1的等边三角形ABC 中，设−→−−→−=BD BC 2,−→−−→−=CE CA 3 (1)用向量−→−−→−AC AB ,作为基底表示向量−→−BE （2）求−→−−→−∙BE AD22．(本小题满分12分)【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考 理】已知定点(1,0)A 和定直线1x =-上的两个动点E 、F ，满足AF AE ⊥，动点P 满足OP FO OA EP //,//（其中o 为坐标原点）.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点(0,2)B 的直线l 与（1）中轨迹C 相交于两个不同的点M 、N ，若0<⋅AN AM ，求直线l 的斜率的取值范围.参考答案 1、【答案】A【解析】因为a b ⊥，所以0a b =，即4(1)20x y -+=，所以22x y +=。
2014年高考全程复习构想高三文科数学一轮复习课时训练选修4-5不等式选讲4-5-1
答案：A
5．设集合A＝{x||x－a|＜1，x∈R}，B＝{x||x－b|＞2，x∈R}．若A⊆B，则实数a，b必满足()
A．|a＋b|≤3 B．|a＋b|≥3
C．|a－b|≤3 D．|a－b|≥3
答案：D
6．已知命题p：∀x∈R，|x＋2|＋|x－1|≥m，命题q：∃x∈R，x2－2mx＋m2＋m－3＝0，那么，“命题p为真命题”是“命题q为真命题”的()
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
二、填空题
7．不等式|x＋1|＋|2x－4|＞6的解集为__________．
答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)
8．不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)＞a对于一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是__________．
一、选择题
1．函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值为()
A．2B. C．4D．6
答案：A
2．已知a＞0，b＞0且 ＋ ＝1，则a＋2b的最小值为()
A．7＋2 B．2
C．7＋2 D．14
答案：A
3．不等式 ＞a的解集为M，且2∉M，则a的取值范围为()
A. B. C. D.
答案：B
4．已知a＞0，ab＝1，则 的最小值是()
12．已知对任意非零实数m，不等式|2m－1|＋|1－m|≥|m|(|x－1|－|2x＋3|)恒成立，求实数x的取值范围．
解析：由题 ＝1，
∴只需|x－1|－|2x＋3|≤1，
(1)当x≤－ 时，原式1－x＋2x＋3≤1，即x≤－3，∴x≤－3.
(2)当－ ＜x＜1时，原式1－x－2x－3≤1，即x≥－1，∴－1≤x＜1.
2014年高考浙江理科数学试题及答案(word解析版)
2014年普通高等學校招生全國統一考試（浙江卷）數學（理科）第Ⅰ卷（選擇題 共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出の四個選項中，只有一項符合題目要求． （1）【2014年浙江，理1，5分】設全集{|2}U x N x =∈≥，集合2{|5}A x N x =∈≥，則U A =ð（ ）（A ）∅ （B ）{2} （C ）{5} （D ）{2,5} 【答案】B【解析】2{|5}{|A x N x x N x =∈≥=∈，{|2{2}U C A x N x =∈≤=，故選B ． 【點評】本題主要考查全集、補集の定義，求集合の補集，屬於基礎題． （2）【2014年浙江，理2，5分】已知i 是虛數單位，,a b R ∈，則“1a b ==”是“2(i)2i a b +=”の（ ）（A ）充分不必要條件 （B ）必要不充分條件 （C ）充分必要條件 （D ）既不充分也不必要條件 【答案】A【解析】當1a b ==時，22(i)(1i)2i a b +=+=，反之，2(i)2i a b +=，即222i 2i a b ab -+=，則22022a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩ 或11a b =-⎧⎨=-⎩，故選A ．【點評】本題考查の知識點是充要條件の定義，複數の運算，難度不大，屬於基礎題．（3）【2014年浙江，理3，5分】某幾何體の三視圖（單位：cm ）如圖所示，則此幾何體の表面積是（ ） （A ）902cm （B ）1292cm （C ）1322cm （D ）1382cm【答案】D【解析】由三視圖可知直觀圖左邊一個橫放の三棱柱右側一個長方體，故幾何體の表面積為：1246234363334352341382S =⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯=，故選D ．【點評】本題考查了由三視圖求幾何體の表面積，根據三視圖判斷幾何體の形狀及數據所對應の幾何量是解題の關鍵．（4）【2014年浙江，理4，5分】為了得到函數sin 3cos3y x x =+の圖像，可以將函數y x の圖像（ ）（A ）向右平移4π個單位 （B ）向左平移4π個單位 （C ）向右平移12π個單位 （D ）向左平移12π個單位【答案】C【解析】sin3cos3))]412y x x x x ππ=+=+=+，而2s i n (32y x x π=+)]6x π+，由3()3()612x x ππ+→+，即12x x π→-，故只需將y x の圖象向右平移12π個單位，故選C ．【點評】本題考查兩角和與差の三角函數以及三角函數の平移變換の應用，基本知識の考查． （5）【2014年浙江，理5，5分】在64(1)(1)x y ++の展開式中,記m n x y 項の系數(,)f m n ，則(3,0)(2,1)(1,2)f f f f +++=（ ） （A ）45 （B ）60 （C ）120 （D ）210 【答案】C 【解析】令x y =，由題意知(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)f f f f +++即為10(1)x +展開式中3x の系數，故(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)f f f f +++=710120C =，故選C ．【點評】本題考查二項式定理系數の性質，二項式定理の應用，考查計算能力． （6）【2014年浙江，理6，5分】已知函數32()f x x ax bx c =+++ ，且0(1)(2)(3)3f f f <-=-=-≤（ ） （A ）3c ≤ （B ）36c <≤ （C ）69c <≤ （D ）9c >【答案】C【解析】由(1)(2)(3)f f f -=-=-得184212793a b c a b c a b c a b c -+-+=-+-+⎧⎨-+-+=-+-+⎩，解得611a b =⎧⎨=⎩，所以32()611f x x x x c =+++，由0(1)3f <-≤，得016113c <-+-+≤，即69c <≤，故選C ．【點評】本題考查方程組の解法及不等式の解法，屬於基礎題． （7）【2014年浙江，理7，5分】在同一直角坐標系中，函數()(0)a f x x x =≥，()log a g x x =の圖像可能是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】D【解析】函數()(0)a f x x x =≥，()log a g x x =分別の冪函數與對數函數答案A 中沒有冪函數の圖像, 不符合；答案B 中，()(0)a f x x x =≥中1a >，()log a g x x =中01a <<，不符合；答案C 中，()(0)a f x x x =≥中01a <<，()log a g x x =中1a >，不符合；答案D 中，()(0)a f x x x =≥中01a <<，()log a g x x =中01a <<，符合，故選D ．【點評】本題考查の知識點是函數の圖象，熟練掌握對數函數和冪函數の圖象和性質，是解答の關鍵．（8）【2014年浙江，理8，5分】記,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，y,min{,}x,x yx y x y ≥⎧=⎨<⎩，設,a b 為平面向量，則（ ）（A ）min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤ （B ）min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥ （C ）2222max{||,||}||||a b a b a b +-≤+ （D ）2222max{||,||}||||a b a b a b +-≥+【答案】D【解析】由向量運算の平行四邊形法可知min{||,||}a b a b +-與min{||,||}a b の大小不確定，平行四邊形法可知max{||,||}a b a b +-所對の角大於或等於90︒ ，由餘弦定理知2222max{||,||}||||a b a b a b +-≥+，（或22222222||||2(||||)max{||,||}||||22a b a b a b a b a b a b ++-++-≥==+），故選D ．【點評】本題在處理時要結合著向量加減法の幾何意義，將a ，b ，a b +，a b -放在同一個平行四邊形中進行比較判斷，在具體解題時，本題采用了排除法，對錯誤選項進行舉反例說明，這是高考中做選擇題の常用方法，也不失為一種快速有效の方法，在高考選擇題の處理上，未必每一題都要寫出具體解答步驟，針對選擇題の特點，有時“排除法”，“確定法”，“特殊值”代入法等也許是一種更快速，更有效の方法．（9）【2014年浙江，理9，5分】已知甲盒中僅有1個球且為紅球，乙盒中有m 個紅球和n 個籃球(3,3)m n ≥≥，從乙盒中隨機抽取(1,2)i i =個球放入甲盒中．（a ）放入i 個球後，甲盒中含有紅球の個數記為(1,2)i i ξ=； （b ）放入i 個球後，從甲盒中取1個球是紅球の概率記為(1,2)i p i =．則（ ）（A ）1212,()()p p E E ξξ><（B ）1212,()()p p E E ξξ<>（C ）1212,()()p p E E ξξ>>（D ）1212,()()p p E E ξξ<< 【答案】A【解析】解法一：11222()m n m np m n m n m n +=+⨯=+++ ，211222221233n m n m m n m n m nC C C C p C C C +++=++=223323()(1)m m mn n n m n m n -++-++-，∴1222()m n p p m n +-=+－223323()(1)m m mn n n m n m n -++-++-=5(1)06()(1)mn n n m n m n +->++-，故12p p >． 又∵1(1)n P m n ξ==+，1(2)m P m n ξ==+，∴12()12n m m nE m n m n m nξ+=⨯+⨯=+++，又222(1)(1)()(1)n m n C n n P C m n m n ξ+-===++-，11222(2)()(1)n m m n C C mnP C m n m n ξ+===++-，222(m 1)(3)()(1)m m n C m P C m n m n ξ+-===++- ∴2(1)2(1)()123()(1)()(1)()(1)n n mn m m E m n m n m n m n m n m n ξ--=⨯+⨯+⨯++-++-++-=22334()(1)m n m n mn m n m n +--+++-21()()E E ξξ-=22334()(1)m n m n mn m n m n +--+++-－2m nm n ++=(1)0()(1)m m mn m n m n -+>++-，所以21()()E E ξξ>，故選A ． 解法二：在解法一中取3m n ==，計算後再比較，故選A ．【點評】正確理解()1,2i i ξ=の含義是解決本題の關鍵．此題也可以采用特殊值法，不妨令3m n ==，也可以很快求解．（10）【2014年浙江，理10，5分】設函數21()f x x =，22()2()f x x x =-，31()|sin 2|3f x x π=，99i ia =，0,1,2i =，,99，記10219998|()()||()()||()()|k k k k k k k I f a f a f a f a f a f a =-+-++-，1,2,3k =，則（ ） （A ）123I I I << （B ）213I I I << （C ）132I I I << （D ）321I I I << 【答案】B【解析】解法一：由22112199999999i i i --⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2111352991199()199999999999999I ⨯-=++++==，由2211199(21)22||999999999999i i i i i ----⎛⎫⎛⎫--+=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2150(980)98100221992999999I +=⨯⨯⨯=<⨯， 3110219998(|sin(2)||sin(2)||sin(2)||sin(2)||sin(2)||sin(2)|)3999999999999I ππππππ=-+-++-=12574[2sin(2)2sin(2)]139999ππ->，故213I I I <<，故選B ． 解法二：估算法：k I の幾何意義為將區間[0,1]等分為99個小區間，每個小區間の端點の函數值之差の絕對值之和．如圖為將函數21()f x x =の區間[0,1]等分為4個小區間の情形，因1()f x 在[0,1]上遞增，此時110213243|()()||()()||()()||()()|I f a f a f a f a f a f a f a f a =-+-+-+- =11223344A H A H A H A H +++(1)(0)f f =-1=，同理對題中給出の1I ，同樣有11I =；而2I 略小於1212⨯=，3I 略小於14433⨯=，所以估算得213I I I <<，故選B ．【點評】本題主要考查了函數の性質，關鍵是求出這三個數與1の關系，屬於難題．第Ⅱ卷（非選擇題 共100分）二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分．（11）【2014年浙江，理11，5分】若某程序框圖如圖所示，當輸入50時，則該程序運算後輸出の結果是 ． 【答案】6【解析】第一次運行結果1,2S i ==；第二次運行結果4,3S i ==；第三次運行結果11,4S i ==；第四次運行結果26,5S i ==；第五次運行結果57,6S i ==；此時5750S =>，∴輸出6i =．【點評】本題考查了直到型循環結構の程序框圖，根據框圖の流程模擬運行程序是解答此類問題の常用方法．（12）【2014年浙江，理12，5分】隨機變量ξの取值為0,1,2，若1(0)5P ξ==，()1E ξ=，則()D ξ= ． 【答案】25 【解析】設1ξ=時の概率為p ，ξの分布列為： 由11()012(1)155E p p ξ=⨯+⨯+⨯--= ，解得35p =ξの分布列為即為故2221312()(01)(11)(21)5555E ξ=-⨯+-⨯+-⨯=．【點評】本題綜合考查了分布列の性質以及期望、方差の計算公式．（13）【2014年浙江，理13，5分】當實數,x y 滿足240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩時，14ax y ≤+≤恒成立，則實數a の取值範圍是 __．【答案】3[1,]2【解析】解法一：作出不等式組240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩所表示の區域如圖，由14ax y ≤+≤恒成立，故3(1,0),(2,1),(1,)2A B C ，三點坐標代入14ax y ≤+≤，均成立得1412143142a a a ⎧⎪≤≤⎪≤+≤⎨⎪⎪≤+≤⎩解得312a ≤≤ ，∴實數a の取值範圍是3[1,]2．解法二：作出不等式組240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩所表示の區域如圖，由14ax y ≤+≤得，由圖分析可知，0a ≥且在(1,0)A 點取得最小值，在(2,1)B 取得最大值，故1214a a ≥⎧⎨+≤⎩，得312a ≤≤，故實數a の取值範圍是3[1,]2．【點評】本題考查線性規劃，考查了數形結合の解題思想方法，考查了數學轉化思想方法，訓練了不等式組得解法，是中檔題．（14）【2014年浙江，理14，5分】在8張獎券中有一、二、三等獎各1張，其餘5張無獎．將這8張獎券分配給4個人，每人2張，不同の獲獎情況有 種（用數字作答）． 【答案】60【解析】解法一：不同の獲獎分兩種，一是有一人獲兩張獎券，一人獲一張獎券，共有223436C A =， 二是有三人各獲得一張獎券，共有3424A =，因此不同の獲獎情況共有362460+=種． 解法二：將一、二、三等獎各1張分給4個人有3464=種分法，其中三張獎券都分給一個人の有4種分法， 因此不同の獲獎情況共有64460-=種．【點評】本題考查排列、組合及簡單計數問題，考查學生の計算能力，屬於基礎題．（15）【2014年浙江，理15，5分】設函數22,0(),0x x x f x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩若(())2f f a ≤，則實數a の取值範圍是 ．【答案】(-∞．【解析】由題意2()0()()2f a f a f a <⎧⎨+≤⎩或2()0()2f a f a ≥⎧⎨-≤⎩，解得()2f a ≥-∴當202a a a <⎧⎨+≥-⎩或202a a ≥⎧⎨-≥-⎩，解得a【點評】本題主要考查分段函數の應用，其它不等式の解法，體現了數形結合の數學思想，屬於中檔題．（16）【2014年浙江，理16，5分】設直線30x y m -+=(0m ≠) 與雙曲線22221x y a b-=（0,0a b >>）兩條漸近線分別交於點A ，B ．若點(,0)P m 滿足||||PA PB =，則該雙曲線の離心率是 ．【解析】解法一：由雙曲線の方程可知，它の漸近線方程為b y x a =和by x a =-，分別與直線l ： 30x y m -+= 聯立方程組，解得，(,)33am bm A a b a b ----，(,)33am bmB a b a b -++，設AB 中點為Q ，由||||PA PB = 得，則3333(,)22am am bm bma b a b a b a b Q ---++-+-+，即2222223(,)99a m b m Q a b a b ----，PQ 與已知直線垂直，∴1PQ l k k =-，即222222319139b m a b a m m a b --=----， 即得2228a b =，即22228()a c a =-，即2254c a =，所以c e a ==．解法二：不妨設1a =，漸近線方程為222201x y b -=即2220b x y -=，由222030b x y x y m ⎧-=⎨-+=⎩消去x ，得2222(91)60b y b my b m --+=，設AB 中點為00(,)Q x y ，由韋達定理得：202391b m y b =-……① ，又003x y m =-，由1P Q l k k =-得00113y x m =--，即得0011323y y m =--得035y m =代入①得2233915b m m b =-， 得214b =，所以22215144c a b =+=+=，所以c =，得c e c a ===．【點評】本題考查雙曲線の離心率，考查直線の位置關系，考查學生の計算能力，屬於中檔題． （17）【2014年浙江，理17，5分】如圖，某人在垂直於水平地面ABC の牆面前の點A 處進行射擊訓練．已知點A 到牆面の距離為AB ，某目標點P 沿牆面上の射擊線CM 移動，此人為了准確瞄准目標點P ，需計算由點A 觀察點P の仰角θの大小．若15AB m =，25AC m =，30∠︒，則tan θの最大值是 （仰角θ為直線AP 與平面ABC 所成角）．2320225x x -+2320032250-+''，設B P 2320225x x ++22545204<=355339=，2320225x x -+2320225x x -+20)，23225'(x)(225)f x ++454=- 時20時'0y <203445225(++ 15201225AB BC AC ==，20tan 30DB BC ︒=203533DB ===【點評】屬於中檔題． 三、解答題：本大題共5題，共72分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．（18解：（即A B +=，所以C =．（2c 得A C <，從而3cos A =，，所以，ABC ∆（19）【2014年浙江，理19，14分】已知數列{}n a 和{}n b 滿足123(2)(*)n b n a a a a n N =∈．若{}n a 為等比數列，且1322,6a b b ==+．（1）求n a 與n b ；（2）設11(*)n n n c n N a b =-∈．記數列{}n c の前n 項和為n S ．（ⅰ）求n S ；（ⅱ）求正整數k ，使得對任意*n N ∈均有S S ≥．解：（1(2)(3(2)n a a =N ）． （2n c ++=111(22n n ++-1(12n ++--=1112n n -+20>，3c 55(51)12+<，4n S ≥，故【點評】本題考查了等比數列通項公式、求和公式，還考查了分組求和法、裂項求和法和猜想證明の思想，證明可以用二項式定理，還可以用數學歸納法．本題計算量較大，思維層次高，要求學生有較高の分析問題解決問題の能力．本題屬於難題．（20）【2014年浙江，理20，15分】如圖，在四棱錐A BCDE -中，平面ABC ⊥平面BCDE ，90CDE BED ∠=∠=︒，2AB CD ==，1DE BE ==，AC =（1）證明：DE ⊥平面ACD ；（解：（1（2BF GF=の原點，分別以射線DE所示．由題意知各點坐標如下：(0,2,0)，(0,2,Aの法向量為111(,m x y=222(,,)n x y z=，可算得：(0,2)AD=-，(1,2,AE=-，(1,1,0)DB=，由ADm AE=⎨=⎪⎩，即1111122020y zx y⎧--=⎪⎨-=⎪⎩，可取(0,1,m=-，由n ADn BD⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2222220y zx y⎧--=⎪⎨+=⎪⎩可取(0,n=-，於是|||cos,|||||3m nm nm n⋅<>===⋅⋅運算求解能力．（21）【2014年浙江，理21，15分】如圖，設橢圓C:22221(0)x ya ba b+=>>動直線l與橢圓C 只有一個公共點P，且點P在第一象限．（1）已知直線lの斜率為k，用,,a b k表示點Pの坐標；（2）若過原點Oの直線1l與l垂直，證明：點P到直線1lの距離の最大值為a b-．解：（1''1P l k =-，得,b （2幾何の基本思想方法、基本不等式應用等綜合解題能力．（22）【2014年浙江，理22，14分】已知函數()33()f x x x a a R =+-∈．（1）若()f x 在[]1,1-上の最大值和最小值分別記為(),()M a m a ，求()()M a m a -； （2）設,b R ∈若()24f x b +≤⎡⎤對[]1,1x ∈-恒成立，求3a b +の取值範圍．解：（1（2。
2014高考数学(文)名师指导提能专训5：三角恒等变换、解三角形及其应用(含解题思路)
提能专训（五)三角恒等变换、解三角形及其应用一、选择题1．（2013·安徽淮北模拟)已知错误!＝错误!，则tan α＋错误!＝( ）A．－8 B．8C。
错误!D．－错误!答案：A 解题思路:∵错误!＝错误!＝cos α－sin α＝错误!，∴1－2sin αcos α＝错误!，即sin αcos α＝－错误!.则tan α＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＝错误!＝－8.故选A。
2．在△ABC中,若tan A tan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值为( ）A．－错误!B。
错误!C。
错误!D．－错误!答案：B 解题思路：由tan A tan B＝tan A＋tan B＋1，可得tan A＋tan BA＋B)＝－1，又因为A＋B∈(0，π)，1－tan A·tan B＝－1，即tan（所以A＋B＝错误!,则C＝错误!，cos C＝错误!.3．已知曲线y＝2sin错误!cos错误!与直线y＝错误!相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为P1，P2，P3，…，则|错误!|等于（）A．π B．2πC．3π D．4π答案：B 命题立意：本题考查三角恒等变换及向量的坐标运算，难度较小．解题思路：由于f（x）＝2sin2错误!＝2×错误!＝1＋sin 2x，据题意，令1＋sin 2x＝错误!，解得2x＝2kπ－错误!或2x＝2kπ－错误!(k∈Z)，即x ＝kπ－错误!或x＝kπ－错误!(k∈Z），故P1错误!，P5错误!，因此|错误!｜＝错误!＝2π.4．在△ABC中,角A，B，C所对的边分别为a，b，c,S表示△ABC的面积，若a cos B＋b cos A＝c sin C，S＝错误!(b2＋c2－a2），则∠B等于（）A．90° B．60°C．45° D．30°答案：C 解题思路：由正弦定理和已知条件知sin A cos B＋sin B cos A＝sin2C，即sin（A＋B)＝sin2C，∴sin C＝1,C＝错误!，从而S ＝错误!ab＝错误!（b2＋c2－a2)＝错误!（b2＋b2)，解得a＝b，因此∠B＝45°.5．（2013·银川一中二模）已知错误!＝k,0＜θ＜错误!，则sin错误!的值（）A．随着k的增大而增大B．有时随着k的增大而增大，有时随着k的增大而减小C．随着k的增大而减小D．是一个与k无关的常数答案：A 解题思路:k＝错误!＝错误!＝2sin θcos θ＝sin 2θ，因为0＜θ＜错误!，所以sin错误!＝－错误!＝－错误!＝－错误!为增函数，所以sin错误!的值随着k的增大而增大．6．在△ABC中,角A，B,C的对边分别为a,b，c，已知4sin2错误!－cos 2C＝错误!，且a＋b＝5，c＝错误!,则△ABC的面积为（)A.错误!B.错误!C。
2014年高考数学二轮复习第1部分专题第3《讲推与证明》课件
1．类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似 性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质， 得出一个明确的结论．
2．常见的类比的知识点： (1)平面几何中的有关定义、定理、性质、公式可以类比 到空间，在学习中要注意通过类比去发现、探索新问题．通 过类比得到的结论不一定正确．因此需要对结论加以证明． (2)等差数列与等比数列之间的类比 等差数列→用减法定义→性质用加法表述(若 m，n，p， q∈N*，且 m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq)； 等比数列→用除法定义→性质用乘法表述(若 m，n，p， q∈N*，且 m＋n＝p＋q，则 am·an＝ap·aq)． (3)椭圆与圆、椭圆与双曲线的定义与性质间的类比． (4)实数运算律与向量的运算律．
等式是解题的关键，再利用多项式恒等列方程组证明．
2．对充分必要条件的证明应分两步完成：一是证充分
性；二是证必要性．
3．在证明与数列有关的命题时，要充分利用等差、等
比数列的性质，及求和方法．
变式训练3
已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an＋1＝
2 3
an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整 数．
1)n＋1n2＋2 n. 【答案】
(－1)n＋1n2＋2 n
(2013·金华模拟)在 Rt△ABC 中，CA⊥CB，斜边 AB 上的高为 h1，则h112＝C1A2＋C1B2；类比此性质，如图 3－3 －1，在四面体 P—ABC 中，若 PA，PB，PC 两两垂直，底面 ABC 上的高为 h，则得到的正确结论为________．
【答案】 1＋212＋312＋412＋512＋612＜161
2014届高考数学总复习 课时提升作业(一) 第一章 第一节 文
课时提升作业(一)一、选择题1.已知集合A={0,1},B={-1,0,a+3},且A⊆B,则a等于( )(A)1 (B)0 (C)-2 (D)-32.已知集合A={x∈N|0≤x≤5},AB={1,3,5},则集合B=( )(A){2,4} (B){0,2,4} (C){0,1,3} (D){2,3,4}3.(2013·某某模拟)已知U=R,A={x|x>0},B={x|x≤-1},则(A∩U B)∪(B∩UA)=( )(A)∅(B){x|x≤0}(C){x|x>-1} (D){x|x>0或x≤-1}4.(2013·某某模拟)已知集合M={x|≤2x≤4},N={x|x-k>0},若M∩N=∅,则k的取值X围是( )(A)[2,+∞) (B)(2,+∞)(C)(-∞,-1) (D)(-∞,-1]5.(2013·亳州模拟)已知M={x|y=x2-1},N={y|y=x2-1},则M∩N=( )(A)∅(B)R (C)M (D)N6.(2013·某某模拟)已知集合A={x|y=},B={y|y=},则A∩B=( )(A)[2,+∞) (B)[2,3)∪(3,+∞)(C)(1,+∞) (D)[1,3)∪(3,+∞)7.(2013·某某模拟)设全集U=R,A={x|y=},B={y|y=2x,x∈R},则(RA)∩B=( )(A){x|x<0} (B){x|0<x≤1}(C){x|1<x≤2} (D){x|x>2}8.(2013·某某模拟)已知函数f(x)=lgx的定义域为M,函数y=的定义域为N,则M∩N=( )(A)(0,1) (B)(2,+∞)(C)(0,+∞) (D)(0,1)∪(2,+∞)9.设全集U={-3,-2,-1,0,1,2,3},集合E={x|x2-3x+2=0,x∈R},F={x|cos=0,x∈R},则(UE)∩F=( )(A){-3,-1,0,3} (B){-3,-1,3}(C){-3,-1,1,3} (D){-3,3}10.已知集合A={x|x2+x+1=0},若A∩R=∅,则实数m的取值X围是( )(A)m<4 (B)m>4(C)0≤m<4 (D)0≤m≤4二、填空题11.已知集合A={x∈N|∈N},则集合A的所有子集是.12.已知A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},B≠∅,且B⊆A,则m的取值X围是.13.已知集合A={x|x2-2x-3>0},B={x|x2+ax+b≤0},若A∪B=R,A∩B={x|3<x≤4},则a+b的值等于.14.(能力挑战题)设S为复数集C的非空子集.若对任意x,y∈S,都有x+y,x-y,xy∈S,则称S为封闭集.下列命题:①集合S={a+bi|a,b为整数,i为虚数单位}为封闭集;②若S为封闭集,则一定有0∈S;③封闭集一定是无限集;④若S为封闭集,则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集.其中真命题有(写出所有真命题的序号).三、解答题15.(能力挑战题)设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0},A)∩B=∅,求m的值.若(U答案解析1.【解析】选C.根据A⊆B,则只能是a+3=1,即a=-2.2.【解析】选B.集合A={0,1,2,3,4,5},所以B={0,2,4}.B={x|x>0}.3.【解析】选D.∵A∩UA={x|x≤-1}.B∩U∴(A∩U B)∪(B∩UA)={x|x>0或x≤-1}.4.【解析】选A.集合M=[-1,2],集合N=(k,+∞),M∩N=∅,只要k≥2.5.【解析】选D.集合M=(-∞,+∞),集合N=[-1,+∞),所以M∩N=N.6.【解析】选B.集合A=[2,+∞),集合B=(-∞,3)∪(3,+∞).所以A∩B=[2,3)∪(3,+∞).7.【解析】选D.集合A={x|0≤x≤2},B={y|y>0},R A={x|x<0或x>2},所以(RA)∩B={x|x>2}.8.【解析】选D.由已知得M=(0,+∞),N=(-∞,1)∪(2,+∞),所以M∩N=(0,1)∪(2,+∞).9.【解析】选B.E={1,2},UE={-3,-2,-1,0,3},F={…,-7,-5,-3,-1,1,3,5,7,…},所以(UE)∩F={-3,-1,3}.10.【解析】选C.本题的实质是:在有意义的前提下,方程x2+x+1=0没有实数根.故m≥0且()2-4<0,即0≤m<4.11.【解析】由题意可知6-x是8的正约数,所以6-x可以是1,2,4,8;相应的x可为5,4,2,即A={2,4,5}. ∴A的所有子集为∅,{2},{4},{5},{2,4},{2,5},{4,5},{2,4,5}.答案:∅,{2},{4},{5},{2,4},{2,5},{4,5},{2,4,5}12.【解析】由题设知解之得,2≤m≤3.答案:[2,3]13.【解析】A={x|x<-1或x>3},∵A∪B=R,A∩B={x|3<x≤4},∴B={x|-1≤x≤4},∴a=-(-1+4)=-3,b=(-1)×4=-4,∴a+b=-7.答案:-714.【解析】设x=a1+b1i,y=a2+b2i,a1,b1,a2,b2为整数,则x+y=(a1+a2)+(b1+b2)i,x-y=(a1-a2)+(b1-b2)i,xy=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i,由于a1,b1,a2,b2为整数,故a1±a2,b1±b2,a1a2-b1b2,a1b2+a2b1都是整数,所以x+y,x-y,xy∈S,故集合S={a+bi|a,b为整数,i为虚数单位}为封闭集,①是真命题;若S是封闭集,且x=y∈S,则根据封闭集的定义,x-y=x-x=0∈S,故命题②正确;集合S={0},显然是封闭集,故封闭集不一定是无限集,命题③不正确;集合S={0}⊆{0,1}=T⊆C,容易验证集合T不是封闭集,故命题④不是真命题.答案:①②【方法技巧】集合新定义问题的解题技巧解答这种新定义的题目关键就是抓住新定义的本质,紧扣新定义进行推理论证,本题中就是根据封闭集满足其集合中的任意两个元素的和、差、积还是这个集合中的元素.判断一个元素是不是集合中的元素,就看这个元素是否符合集合中代表元素的特征.15.【解析】方法一:A={-2,-1},A)∩B=∅得B⊆A,由(U∵方程x2+(m+1)x+m=0的判别式:Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,∴B≠∅,∴B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}.①若B={-1},则m=1;②若B={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4且m=(-2)·(-2)=4,这两式不能同时成立,∴B≠{-2};③若B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3且m=(-1)·(-2)=2,由这两式得m=2.经检验知m=1和m=2符合条件.∴m=1或2.方法二:本题集合B中的方程的根是x1=-1,x2=-m.当-m≠-1时集合B={-1,-m},此时只能A=B,即m=2;当-m=-1时集合B={-1},此时集合B是集合A的真子集,也符合要求.∴m=1或2.【变式备选】设A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},其中x∈R,如果A∩B=B,某某数a的取值X围.【解析】由A∩B=B得B⊆A,而A={-4,0},Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8,当Δ=8a+8<0,即a<-1时,B=∅,符合B⊆A;当Δ=8a+8=0,即a=-1时,B={0},符合B⊆A;当Δ=8a+8>0,即a>-1时,B中有两个元素,而B⊆A={-4,0};∴B={-4,0}得a=1.∴a=1或a≤-1.。
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专题五 立体几何 第一讲 空间几何体
1．棱柱、棱锥 (1)棱柱的性质 侧棱都相等，侧面是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面与对角面是矩形． (2)正棱锥的性质 侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形，斜高相等；棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形；某侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形；侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形． 2．三视图 (1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高； (2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样． 3．几何体的切接问题 (1)解决球的内接长方体、正方体、正四棱柱等问题的关键是把握球的直径即棱柱的体对角线长． (2)柱、锥的内切球找准切点位置，化归为平面几何 问题． 4．柱体、锥体、台体和球的表面积与体积(不要求记忆) (1)表面积公式 ①圆柱的表面积S＝2πr(r＋l)； ②圆锥的表面积S＝πr(r＋l)； ③圆台的表面积S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)； ④球的表面积S＝4πR2. (2)体积公式 ①柱体的体积V＝Sh； ②锥体的体积V＝13Sh；
③台体的体积V＝13(S′＋SS′＋S)h； ④球的体积V＝43πR3. 1．(2013·广东)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )
A．4B.143 C.163D．6 答案B 解析由三视图知四棱台的直观图为
由棱台的体积公式得：V＝13(2×2＋1×1＋2×2×1×1)×2＝143.
2．(2013·四川)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )
答案D 解析由三视图可知上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选D. 3．(2013·江西)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方 体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝ ( ) A．8B．9C．10D．11 答案A 解析取CD的中点H，连接EH，HF.在四面体CDEF中，CD⊥EH，CD⊥FH，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，所以正方体的左、右两个侧面与EF平行，其余4个平面与EF相交，即n＝4.又因为CE与AB在同一平面内，所以CE与正方体下底面共面，与上底面平行，与其余四个面相交，即m＝4，所以m＋n＝4＋4＝8. 4．(2013·新课全国Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)， (1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为( )
答案A 解析根据已知条件作出图形：四面体C1－A1DB，标出各个点的坐标如图(1)所示，可以看出正视图为正方形，如图(2)所示．故选A.
5．(2013·福建)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组 合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________． 答案12π 解析由三视图知，该几何体为正方体和球组成的组合体，正方体的对角线为球的直径．所以2R＝23，即R＝3，球的表面积为S＝4πR2＝12π. 题型一空间几何体的三视图 例1 (1)(2012·广东)某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )
A．12πB．45πC．57πD．81π (2)(2012·陕西)将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的侧视图为( )
审题破题根据三视图先确定原几何体的直观图和形状，然后再解题． 答案(1)C (2)B 解析(1)由三视图知该几何体是由圆柱、圆锥两几何体组合而成，直观图如图所示． 圆锥的底面半径为3，高为4，圆柱的底面半径为3，高为5，
∴V＝V圆锥＋V圆柱＝13Sh1＋Sh2＝13×π×32×4＋π×32×5＝57π. (2)还原正方体后，将D1
，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线．
D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线． 反思归纳将三视图还原成直观图是解答该类问题的关键，其解题技巧是对常见简单几何体及其组合体的三视图，特别是正方体、长方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等几何体的三视图分别是什么图形，数量关系有什么特点等都应该熟练掌握，会画出其直观图，然后由三视图验证．
变式训练1若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是________cm3. 答案18 解析由几何体的三视图可知，该几何体由两个直四棱柱构成，其直观图如图所示．上底面直四棱柱的长是3cm，宽是3cm，高是1cm，故其体积为
9cm3，下底面直四棱柱的高是3cm，长是1cm，宽是3cm，其体积为9cm3.故该几何体的体积为V＝18cm3
.
题型二空间几何体的表面积和体积 例2如图所示，已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点，求四棱锥C1—B1EDF的体积．
审题破题本题可从两个思路解题： 思路一：先求出四棱锥C1—B1EDF的高及其底面积，再利用棱锥的体积公式求出其体积；
思路二：先将四棱锥C1—B1EDF化为两个三棱锥B1—C1EF与D—C1EF，再求四棱锥
C1—B1EDF的体积． 解方法一连接A1C1，B1D1交于点O1，连接B1D，过O1
作
O1H⊥B1D于H.∵EF∥A1C1，EF⊂平面B1EDF且A1C1⊄平面 B1EDF，∴A1C1∥平面B1EDF. ∴C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离． ∵平面B1D1D⊥平面B1EDF， ∴O1H⊥平面B1EDF，即O1H为棱锥的高． ∵△B1O1H∽△B1DD1，∴O1H＝B1O1·DD1B1D＝66a. ∴VC1—B1EDF＝13S四边形B1EDF·O1H＝13·12·EF·B1D·O1H＝13·12·2a·3a·66a＝16a3. 方法二连接EF，B1D. 设B1到平面C1EF的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2，则h1＋h2＝B1D1＝2a. 由题意得，VC
1—B1EDF＝VB1—C1EF＋VD—C1EF ＝13·S△C1EF·(h1＋h2)＝16a3.
反思归纳 (1)求规则几何体的体积，关键是确定底面和高，要注意多角度、多方位地观察，选择恰当的底面和高，使计算简便．
(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为几个规则几何体，再进一步求解．
变式训练2 (1)(2013·湖南)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于( ) A．1B.2C.2－12D.2＋12 答案C 解析由俯视图知正方体的底面水平放置，其正视图为矩形，以正方体的高为一边长，另
一边长最小为1，最大为2，面积范围应为[1，2]，不可能等于2－12.
(2)(2012·江苏)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝ AD＝3cm，AA1＝2cm，则四棱锥A－BB1D1D的体积为 ________cm3. 答案6 解析关键是求出四棱锥A－BB1D1D的高． 连接AC交BD于O，在长方体中，
∵AB＝AD＝3，∴BD＝32且AC⊥BD. 又∵BB1⊥底面ABCD，∴BB1⊥AC.
又DB∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D1D，
∴AO为四棱锥A－BB1D1D的高且AO＝12BD＝322. ∵S矩形BB1D1D＝BD×BB1
＝32×2＝62，
∴VA－BB1D1D＝13S矩形BB1D1D·AO ＝13×62×322＝6(cm3
)．
题型三多面体与球的有关问题 例3 (1)已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝3，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S—ABC的体积为( ) A．33B．23C.3D．1 (2)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A．πa2B.73πa2C.113πa2D．5πa2
审题破题 (1)SC是直径，是本题突破点，由此可得∠SAC，∠SBC为直角．(2)确定球的位置，寻找图中的直角三角形，通过直角三角形求球的直径． 答案(1)C (2)B 解析(1)如图，过A作AD垂直SC于D，连接BD. 由于SC是球的直径，所以∠SAC＝∠SBC＝90°，又∠ASC＝∠BSC＝30°，又SC为公共边， 所以△SAC≌△SBC. 由于AD⊥SC，所以BD⊥SC. 由此得SC⊥平面ABD. 所以VS—ABC＝VS—ABD＋VC—ABD＝13S△ABD·SC.
由于在Rt△SAC中，∠ASC＝30°，SC＝4， 所以AC＝2，SA＝23，由于AD＝SA·CASC＝3. 同理在Rt△BSC中也有BD＝SB·CBSC＝3. 又AB＝3，所以△ABD为正三角形， 所以VS—ABC＝13S△ABD·SC＝13×12×(3)2·sin60°×4＝3，所以选C.
(2)由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a. 如图，设O、O1分别为下、上底面中心，且球心O2为O1O的中点，又
AD＝32a，AO＝33a，OO2
＝a2，设球的半径为R，
则R2＝AO22＝13a2＋14a2＝712a2.
∴S球＝4πR2＝4π×712a2＝73πa2. 反思归纳 (1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系． (2)若球面上四点P、A、B、C构成的线段PA、PB、PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，则4R2＝a2＋b2＋c2，把有关元素“补形”成为一个球内接长方体(或其他图形)，从而显示出球的数量特征，这种方法是一种常用的好方法．
变式训练3 (1)(2012·课标全国)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为( ) A.26B.36C.23D.22
答案A 解析由于三棱锥S－ABC与三棱锥O－ABC底面都是△ABC，O是SC的中点，因此三棱锥S－ABC的高是三棱锥O－ABC高的2倍，所以三棱锥S－ABC的体积也是三棱锥
O－ABC体积的2倍．