(天津版)高考数学分项版解析专题05平面向量文【含答案】
2020年高考数学试题分项版—平面向量(解析版)
2020年高考数学试题分项版——平面向量（解析版）一、选择题1．(2020·全国Ⅲ理，6)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉等于( )A ．－3135B ．－1935 C.1735 D.1935答案 D解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝25－12＋36＝49， ∴|a ＋b |＝7，∴cos 〈a ，a ＋b 〉＝a ·(a ＋b )|a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b |a ||a ＋b |＝25－65×7＝1935. 2．(2020·新高考全国Ⅰ，7)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP →·AB →的取值范围是( )A ．(－2,6)B ．(－6,2)C ．(－2,4)D ．(－4,6) 答案 A解析 如图，取A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (3，3)，F (－1，3)． 设P (x ，y )，则AP →＝(x ，y )，AB →＝(2,0)，且－1<x <3. 所以AP →·AB →＝(x ，y )·(2,0)＝2x ∈(－2,6)．3．(2020·新高考全国Ⅱ，3)若D 为△ABC 的边AB 的中点，则CB →等于( ) A ．2CD →－CA → B ．2CA →－CD → C ．2CD →＋CA → D ．2CA →＋CD →答案 A解析 如图所示，∵D 为△ABC 的边AB 的中点， ∴CA →＋CB →＝2CD →， ∴CB →＝2CD →－CA →.4．(2020·全国Ⅱ文，5)已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是( )A ．a ＋2bB ．2a ＋bC ．a －2bD ．2a －b 答案 D解析 由题意得|a |＝|b |＝1，设a ，b 的夹角为θ＝60°， 故a ·b ＝|a ||b |cos θ＝12.对A 项，(a ＋2b )·b ＝a ·b ＋2b 2＝12＋2＝52≠0；对B 项，(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2＝2×12＋1＝2≠0；对C 项，(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝12－2＝－32≠0；对D 项，(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2×12－1＝0.5．(2020·全国Ⅲ文，6)在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若AC →·BC →＝1，则点C 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线 答案 A解析 建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，设点A ，B 的坐标分别为(－a,0)，(a,0)，点C 为(x ，y )， 则AC →＝(x ＋a ，y )，BC →＝(x －a ，y )， 所以AC →·BC →＝(x －a )(x ＋a )＋y ·y ＝x 2＋y 2－a 2＝1， 整理得x 2＋y 2＝a 2＋1. 因此点C 的轨迹为圆．二、填空题1．(2020·全国Ⅰ理，14)设a ，b 为单位向量，且|a ＋b |＝1，则|a －b |＝________. 答案3解析 将|a ＋b |＝1两边平方，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝1. ∵a 2＝b 2＝1，∴1＋2a ·b ＋1＝1，即2a ·b ＝－1. ∴|a －b |＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2 ＝1－(－1)＋1＝ 3.2．(2020·全国Ⅱ理，13)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝________. 答案22解析 由题意知(k a －b )·a ＝0，即k a 2－b ·a ＝0. 因为a ，b 为单位向量，且夹角为45°， 所以k ×12－1×1×22＝0，解得k ＝22. 3．(2020·北京，13)已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP →＝12(AB →＋AC →)，则|PD →|＝________；PB →·PD →＝________. 答案5 －1解析 建立如图所示的平面直角坐标系，∵AP →＝12(AB →＋AC →)，∴P 为BC 的中点．∴点P 的坐标为(2,1)，点D 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(2,0)， ∴|PD →|＝5，PB →＝(0，－1)，PD →＝(－2,1)， ∴PB →·PD →＝－1.4.(2020·天津，15)如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD →·AB →＝－32，则实数λ的值为________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →·DN →的最小值为________．答案 16 132解析 因为AD →＝λBC →，所以AD ∥BC ，则∠BAD ＝120°， 所以AD →·AB →＝|AD →|·|AB →|·cos 120°＝－32，解得|AD →|＝1.因为AD →，BC →同向，且BC ＝6， 所以AD →＝16BC →，即λ＝16.在四边形ABCD 中，作AO ⊥BC 于点O ， 则BO ＝AB ·cos 60°＝32，AO ＝AB ·sin 60°＝332.以O 为坐标原点，以BC 和AO 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系．如图，设M (a,0)，不妨设点N 在点M 右侧， 则N (a ＋1,0)，且－32≤a ≤72.又D ⎝⎛⎭⎫1，332，所以DM →＝⎝⎛⎭⎫a －1，－332，DN →＝⎝⎛⎭⎫a ，－332，所以DM →·DN →＝a 2－a ＋274＝⎝⎛⎭⎫a －122＋132. 所以当a ＝12时，DM →·DN →取得最小值132.5.(2020·江苏，13)在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，∠BAC ＝90°，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP ＝9，若P A →＝mPB →＋⎝⎛⎭⎫32－m PC →(m 为常数)，则CD 的长度是________．答案185或0解析 方法一 ∵AB ＝4，AC ＝3，∠BAC ＝90°， ∴BC ＝5.由向量系数m ＋⎝⎛⎭⎫32－m ＝32为常数，结合等和线定理可知|P A →||PD →|＝321. 故PD ＝23P A ＝6，AD ＝P A －PD ＝3＝AC ，当D 与C 重合时，CD ＝0；当D 与C 不重合时，得∠ACD ＝∠ADC ， ∴∠CAD ＝π－2∠ACD .在△ABC 中，cos ∠ACB ＝AC BC ＝35.在△ADC 中，由正弦定理得CD sin ∠CAD ＝ADsin ∠ACD，∴CD ＝sin (π－2∠ACD )sin ∠ACD ·AD ＝sin 2∠ACDsin ∠ACD ·AD＝2cos ∠ACD ·AD ＝2×35×3＝185.综上，CD ＝185或0.方法二 如图，以点A 为坐标原点，AB ，AC 所在的直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则C (0,3)，B (4,0)，AC →＝(0,3)，CB →＝(4，－3)．∵P A →＝mPB →＋⎝⎛⎭⎫32－m PC →＝32PC →＋m (PB →－PC →)＝32(P A →＋AC →)＋mCB →＝32P A →＋32AC →＋mCB →， ∴－12P A →＝32(0,3)＋m (4，－3)＝⎝⎛⎭⎫4m ，92－3m ， ∴P A →＝(－8m,6m －9)．∵|P A →|＝9，∴64m 2＋(6m －9)2＝81， ∴m ＝2725或m ＝0，当m ＝2725时，P A →＝⎝⎛⎭⎫－21625，－6325， ∴P ⎝⎛⎭⎫21625，6325，∴k P A ＝63216＝724.由⎩⎨⎧y ＝724x ，x 4＋y3＝1，解得⎩⎨⎧x ＝7225，y ＝2125，∴D ⎝⎛⎭⎫7225，2125， ∴CD ＝⎝⎛⎭⎫0－72252＋⎝⎛⎭⎫3－21252＝8 100252＝9025＝185. 当m ＝0时，P A →＝(0，－9)， ∴P (0,9)，此时C 与D 重合，CD ＝0. 综上，CD ＝185或0.6．(2020·浙江，17)已知平面单位向量e 1，e 2满足|2e 1－e 2|≤2，设a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1＋e 2，向量a ，b 的夹角为θ，则cos 2θ的最小值是________． 答案2829解析 设e 1＝(1,0)，e 2＝(x ，y )， 则a ＝(x ＋1，y )，b ＝(x ＋3，y )． 由2e 1－e 2＝(2－x ，－y )， 故|2e 1－e 2|＝(2－x )2＋y 2≤2， 得(x －2)2＋y 2≤2.又有x 2＋y 2＝1，得(x －2)2＋1－x 2≤2， 化简，得4x ≥3，即x ≥34，因此34≤x ≤1.cos 2θ＝⎝⎛⎭⎫a ·b |a |·|b |2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x ＋1)(x ＋3)＋y 2(x ＋1)2＋y 2(x ＋3)2＋y 22 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋42x ＋26x ＋102＝4(x ＋1)2(x ＋1)(3x ＋5) ＝4(x ＋1)3x ＋5＝43(3x ＋5)－833x ＋5 ＝43－833x ＋5，当x ＝34时，cos 2θ有最小值，为4⎝⎛⎭⎫34＋13×34＋5＝2829.7．(2020·全国Ⅰ文，14)设向量a ＝(1，－1)，b ＝(m ＋1,2m －4)，若a ⊥b ，则m ＝________. 答案 5解析 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0.又a ＝(1，－1)，b ＝(m ＋1,2m －4)，∴1×(m ＋1)＋(－1)×(2m －4)＝0，解得m ＝5.。
通用版专卷(新课标Ⅱ版)高考数学分项汇编 专题05 平面向量(含解析)理
专题05 平面向量一．基础题组1. 【2012全国，理6】△ABC 中，AB 边的高为CD ．若CB ＝a ，CA ＝b ，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则AD ＝( )A ．1133-a b B ．2233-a b C ．3355-a b D ．4455-a b 【答案】D2. 【2015高考新课标2，理13】设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________．【答案】12 【解析】因为向量a b λ+与2a b +平行，所以2a b k a b λ+=+（），则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=． 【考点定位】向量共线．二．能力题组1. 【2014新课标，理3】设向量a,b 满足，则a ⋅b = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5【答案】A2. 【2010全国2，理8】△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若CB＝a，CA＝b，|a|＝1，|b|＝2，则CD等于( )A. 13a＋23b B.23a＋13bC. 35a＋45b D.45a＋35b【答案】：B3. 【2005全国3，理14】已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k===-，且A、B、C三点共线，则k= .【答案】2 3 -【解析】由平面向量共线定理的推论可知：(1)OB tOA t OC=+-，可得：4=kt-k(1-t)，5=12t+10(1-t)，解得：52t=-，23k=-.三．拔高题组1. 【2005全国2，理8】已知点A，(0,0)B，C．设BAC∠的一平分线AE与BC相交于E，那么有BC CEl=，其中l等于（）(A) 2 (B) 12(C) 3- (D)13-【答案】C【解析】2. 【2013课标全国Ⅱ，理13】已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE BD⋅＝__________. 【答案】：2。
2020高考数学分项汇编专项05平面向量(含解析)文
(备战2020)（北京版）高考数学分项汇编专项05 平面向量（含解析）文1. 【2018高考北京文第2题】向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ，如果//c d ，那么 A、1k 且c 与d 同向 B 、1k 且c 与d 反向 C 、1k 且c 与d 同向 D 、1k且c 与d 反向【答案】 D2. 【2018高考北京文第4题】假设a ，b 是非零向量，且a ⊥b ，|a |≠｜b |，那么函数f (x )＝(xa ＋b )·（xb－a )是( ) A 、一次函数且是奇函数 B 、一次函数但不是奇函数C 、二次函数且是偶函数D 、二次函数但不是偶函数【答案】 A 3. 【2019高考北京文第3题】向量2,4a ，1,1b ，那么2a b 〔〕 A.5,7 B.5,9 C.3,7 D.3,9【答案】 A考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.4. 【2005高考北京文第4题】假设||1,||2,a b c a b ，且c a ，那么向量a 与b 的夹角为( )〔A 〕30°〔B 〕60° 〔C 〕120°〔D 〕150°5. 【2007高考北京文第11题】向量2411a b ，，，==．假设向量()ba b +，那么实数的值是．6. 【2006高考北京文第12题】向量a =(cos α,s in α),b =(cos β,sin β),且a ≠±b ,那么a +b 与a -b 的夹角的大小是 .7. 【2006高考北京文第9题】假设三点A (2,2),B (a,0),C (0,4)共线,那么a 的值等于 .【答案】48. 【2018高考北京文第11题】向量(3,1),(01),(,3)a b c k 。
假设2a b 与c ，共线，那么k =.【答案】19. 【2019高考北京文第13题】正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，那么DE CB 的值为________，DE DC 的最大值为________．【答案】 1 110．【2018高考北京文第11题】向量a 与b 的夹角为120，且4a b ，那么a b 的值为．【答案】811. 【2019高考北京，文6】设a ，b 是非零向量，〝a b a b 〞是〝//a b 〞的〔〕A 、充分而不必要条件 B 、必要而不充分条件C 、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件【答案】 A【解析】||||cos ,a b a b a b ，由得cos ,1a b ，即,0a b ，//a b .而当//a b 时，,a b还可能是，此时||||a b a b ，故〝a b a b 〞是〝//a b 〞的充分而不必要条件，应选A. 【考点定位】充分必要条件、向量共线.。
专题05-1平面向量第一季 高考数学压轴题必刷题(解析版)
x
4
, 2 4
4
，所以
{ 2
4
k
k 1
，
k Z ，解得 k 1 4
k 5（ k Z ）， 28
4
因为 0 1，当 k 0 时，
1 5 ，当 k 1 时，
4
8
0
1 8
，所以
0,
1 8
1 4
,
5 8
，故选
D．
17．设 a1, a2 , a3, a4 R ，且 a1a4 a2a3 1，
则
，
，
，
，
则
，
，
，
则
（当且仅当
即
故 的最小值为 .
时取“=”）.
14．已知非零向量 满足 取值范围为（ ）
ABC D 【答案】B
，若函数
在 R 上存在极值，则 和 夹角的
10
【解析】 设 和 的夹角为
∵
在 上存在极值
∴
有两个不同的实根，即
∵
∴
，即
∵
∴ 故选 B
15．已知向量 与 的夹角为 ，
，
围是（ ）
【解析】
由
在
中，
C．
， ，
D．
，
,若点 在线段 (端点
1
在 上，
,
，
，
，可得
，
，
即
的取值范围是
3．点
是函数
范围是（ ）
A．
B．
【答案】B
，故选 C. 图象上的点，已知点
C．
D．
， 为坐标原点，则
的取值
4．在 中，
，
值时，
（）
2021年高考数学分项汇编 专题5 平面向量(含解析)文
2021年高考数学分项汇编专题5 平面向量（含解析）文一．基础题组
1.【xx四川，文3】设平面向量，则( )
（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）
【答案】：A
【考点】：此题重点考察向量加减、数乘的坐标运算；
【突破】：准确应用向量的坐标运算公式是解题的关键；
2.【xx四川，文6】设点是线段的中点，点在直线外，，，则（）
（A）8 （B）4 （C）2 （D）1
【答案】C
【命题意图】本题主要考查平面向量的基本运算.
3.【2011四川，文7】如图，正六边形ABCDEF中，（）
（A）0（B）
（C）（D）
【答案】D
4.【xx四川，文12】如图，在平行四边形中，对角线与交于点，，则____________.
5.【xx四川，文14】平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则 .
【答案】 2.
【考点定位】向量的夹角及向量的坐标运算.
二．能力题组
1.【xx四川，文8】设为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为( )
A. B. C. D.
【答案】
2.【xx四川，文7】设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（）
A、 B、 C、 D、且
l23713 5CA1 岡23267 5AE3 嫣
24884 6134 愴w27563 6BAB 殫 36855 8FF7 迷r735515 8ABB 誻e 25053 61DD 懝。
专题05.平面向量(2005—2014十年高考理科数学新课标2教师版)
※知识点※1 等量代换
所以 CD b 2CD a ， 所以 CD (b 2a) 0
※知识点※1 去分母 ※知识点※1 移项；2 提取公因式
1 2 1 2 2 2 2 4 1 2 A 选项 因为 CD a b ，所以 ( a b) (b 2a) 0 a b a b b a 0 3 3 3 3 3 3 3 3
C
4 AD AB 5
4 (CB CA) 5 4 4 a b 5 5
A
※知识点※1 共线定理
D
B
※知识点※1 向量的减法；2 向量的分解
二．能力题组 1 【2014 新课标，理 3】设向量 a, b 满足 | a b | 10 ， | a b | 6 ，则 a b ( A1 【答案】A 【曹亚云·解析】 | a b | 10 a 2a b b 10 ，※知识点※1 模长公式；2 完全平方和公式
CD a ， | CD |
，剩余部分读者自行解答 ，剩余部分读者自行解答 ，剩余部分读者自行解答
CD b CD CB CD CA ， cos CD, CB 2 | CD | | CD | | CB | | CD | | CA |
※Байду номын сангаас识点※1 夹角公式
所以
CD b CD a ， 2 | CD | | CD |
| b | 2 ，则 CD （
）
1 2 （A） a b 3 3 【答案】B；
2 1 （B） a b 3 3
3 4 （C） a b 5 5
4 3 （D） a b 5 5
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【曹亚云·解析 1】特例法（特殊图形法） 在 Rt ABC 中，设 | a | 1 ， | b | 2 ， B 90 ，则 C 60 ， AB 3 在 Rt CBD 中， BD BC tan 30
2020高考数学分项汇编 专项05 平面向量(含解析)文
(备战2020)（北京版）高考数学分项汇编 专项05 平面向量（含解析）文1. 【2018高考北京文第2题】向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-，如果//c d ，那么A 、1k =且c 与d 同向B 、1k =且c 与d 反向C 、1k =-且c 与d 同向D 、1k =-且c 与d 反向【答案】D2. 【2018高考北京文第4题】假设a ，b 是非零向量，且a ⊥b ，|a |≠|b |，那么函数f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )是( )A 、一次函数且是奇函数B 、一次函数但不是奇函数C 、二次函数且是偶函数D 、二次函数但不是偶函数【答案】A3. 【2019高考北京文第3题】向量()2,4a =，()1,1b =-，那么2a b -=〔 〕A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9【答案】A考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.4. 【2005高考北京文第4题】假设||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，那么向量a 与b 的夹角为( )〔A 〕30° 〔B 〕60° 〔C 〕120° 〔D 〕150°5. 【2007高考北京文第11题】向量2411a b ()()，，，==．假设向量()b a b λ⊥+，那么实数λ的值是 ．6. 【2006高考北京文第12题】向量a =(cos α,s in α),b =(cos β,sin β),且a ≠±b ,那么a +b 与a -b 的夹角的大小是 .7. 【2006高考北京文第9题】假设三点A (2,2),B (a,0),C (0,4)共线,那么a 的值等于 .【答案】48. 【2018高考北京文第11题】向量(3,1),(01),(,3)a b c k ==-=。
假设2a b -与c ，共线，那么k =.【答案】19. 【2019高考北京文第13题】正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，那么DE CB ⋅的值为________，DE DC ⋅的最大值为________．【答案】1 110．【2018高考北京文第11题】向量a 与b 的夹角为120，且4==a b ，那么a b 的值为 ．【答案】8-11. 【2019高考北京，文6】设a ，b 是非零向量，〝a b a b ⋅=〞是〝//a b 〞的〔 〕A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件【答案】A【解析】||||cos ,a b a b a b ∙=∙<>，由得cos ,1a b <>=，即,0a b <>=，//a b .而当//a b 时，,a b <>还可能是π，此时||||a b a b ∙=-，故〝a b a b ⋅=〞是〝//a b 〞的充分而不必要条件，应选A.【考点定位】充分必要条件、向量共线.。
高考数学分项版解析 专题05 平面向量 文4
【十年高考】（浙江专版）高考数学分项版解析 专题05 平面向量 文一．基础题组1. 【2012年.浙江卷.文7】设a ，b 是两个非零向量，( )A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥bB ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b | 【答案】C【解析】 由|a ＋b |＝|a |－|b |两边平方可得，|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝|a |2－2|a ||b |＋|b |2，即a ·b ＝－|a ||b |，所以cos 〈a ，b 〉＝－1，即a 与b 反向，根据向量共线定理，知存在实数λ，使得b ＝λa ．2.【2012年.浙江卷.文15】在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB AC ⋅=u u u r u u u r__________．【答案】-16 【解析】AB u u u r ·AC uuu r ＝(AM u u u u r ＋MB u u u r )·(AM u u u u r ＋MC u u u u r )＝2AM uuuu r ＋AM u u u u r ·MC u u u u r ＋AM u u u u r ·MB u u u r＋MB u u u r ·MC u u u u r ＝|AM u u u u r |2＋(MB u u u r ＋MC u u u u r )·AM u u u u r ＋|MB u u u r ||MC u u uu r |cosπ＝9－25＝－16．3. 【2011年.浙江卷.文15】若平面向量αu v ，βu v 满足|αu v |=1，|βu v |≤1，且以向量αu v ，βu v为邻边的平行四边形的面积为12，则αu v 与βu v 的夹角θ的取值范围是 。
专题05 平面向量 高考理科数学名校好题分项版汇编
1 专题02 平面向量 一、 选择题 1．【2019届山东省德州市上学期期中】设D为△ABC所在平面内一点，，则（ ）
A．＝﹣2+3 B．＝3﹣2 C．＝﹣3+4 D．＝4﹣3 【答案】A 【解析】， ，，故选A. 2．【2019届山东省烟台市期中】在△ABC中，，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若
，则λ•μ=（ ） A． B． C． D．
【答案】B 【解析】如图，∵，O为AD的中点，∴= ==，∴，则λ•μ=，故选B．
3．【2019届湖南衡阳一中期中】如图，的一内角，,,边上的中垂线交、
分别于、两点，则值为
A． B． C． D．
【答案】C 2
4．【2019届吉林省长春外国语学校期末】已知向量,，若与共线,则实数的值是
（ ） A．-2 B．2 C．-4 D．4 【答案】B 【解析】，且与共线，∴（2+x）•0﹣2•（2﹣x）＝0，∴x＝2，故选B．-网 5．【2019届辽宁大连一中期中】已知向量与的夹角为， ，则 （ ）
A． B．2 C． D．4 【答案】B 【解析】因为所以,, ,故选B. 6．【2019河南濮阳一中期中】已知向量在向量方向上的投影为，向量在向量方向上的投影为，且
，则（ ） A． B．4 C．2 D．12 【答案】C 【解析】设的夹角为，向量在向量方向上的投影为，且，所以得，因为向量在向量方向上的投影为，所以， ，，故选C. 7．【2019届甘肃省张掖市一联考】已知单位向量的夹角为，且，若向量，则 3
（ ） A．9 B．10 C．3 D．
【答案】C
【解析】向量夹角，由可得，向量为单位向量即,可得，则，故选C. 8．【2019届福建南平一中期中】在中，点满足，过点的直线与，所在直线分别交于
点，，若，，则的最小值为（ ） A．3 B．4 C． D．
【答案】A 【解析】， 三点共线，
则 当且仅当即时等号成立.故选A.
9．【2019届福建省漳州市期末】已知且则向量在方向上的投影为（ ）
最新高考数学 专题05 平面向量(解析版)
【金识源】（3年高考2年模拟1年原创）最新2013版高考数学专题05 平面向量（解析版）【考点定位】2014考纲解读和近几年考点分布考纲原文：（1）平面向量的实际背景及基本概念：①了解向量的实际背景.②理解平面向量的概念及向量相等的含义.③理解向量的几何表示.（2）向量的线性运算①掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.②掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义.③了解向量线性运算的性质及其几何意义.（3）平面向量的基本定理及坐标表示①了解平面向量的基本定理及其意义.②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. ④理解用坐标表示的平面向量共线的条件.（4）平面向量的数量积①理解平面向量数量积的含义及其物理意义②了解平面向量的数量积与向量投影的关系.③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. ④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.（5）向量的应用①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.考纲解读：要掌握平面向量的概念与性质（共线、模、夹角、垂直等）；在选择填空中要重视平面向量的几何运算,也要重视坐标运算（有时要自己建系）；要注意三角形的重心、垂心的向量判断；在其它知识如解析几何中要注意平面向量的工具作用（如平行、垂直可转化向量的关系求解）。
近几年考点分布平面向量在高考试题中，主要考查有关的基础知识，突出向量的工具作用．平面向量的考查要求：第一，主要考查平面向量的性质和运算法则，以及基本运算技能，考查学生掌握平面向量的和、差、数乘和数量积的运算法则，理解其直观的几何意义，并能正确地进行运算；第二，考察向量的坐标表示，及坐标形势下的向量的线性运算；第三，经常和函数、曲线、数列等知识结合，考察综合运用知识能力．在近几年的高考中，每年都有两道题目．其中小题以填空题或选择题形式出现，考查了向量的性质和运算法则，数乘、数量积、共线问题与轨迹问题．大题则以向量形式为条件，综合考查了函数、三角、数列、曲线等问题【考点pk 】名师考点透析考点一、向量的概念、向量的基本定理【名师点睛】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。
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1
第五章 平面向量
一．基础题组
1.【2005天津，文12】已知2,4ab，a和b的夹角为3，以a，b为邻边作平行四
边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度
为 ．
【答案】12
【解析】222||||||2||||cos416224cos123cababC
2.【2006天津，文12】设向量a与b的夹角为,且(3,3),2(1,1),aba则
cos
。
【答案】31010
3.【2007天津，文15】在ABC△中，2AB，3AC，D是边BC的中点，则
ADBC
．
【答案】52
【解析】解：根据向量的加减法法则有：
此时
2
故答案为：
4.【2008天津，文14】已知平面向量(2,4)a，(1,2)b．若()caabb，则
||c
_____________．
【答案】82
【解析】因为(2,4)6(1,2)(8,8)c，所以||82c．
5.【2009天津，文15】若等边△ABC的边长为32,平面内一点M满足CACBCM3261,
则MBMA_______________________.
【答案】－2
解法一:由于CACBCM3261,那么
CBCACACBCACMCAMA6131)3261(
,
CBCACACBCBCMCBMB6532)3261(
,
则有
CBCACBCACBCACBCAMBMA18736592)6532()6131(
22
260cos)32()32(187)32(365)32(922222
.
解法二:本题如果采用建立直角坐标系,运用向量数量积的坐标运算较为简单,建立如图所示
的直角坐标系,根据题设条件即可知
A(0,3),B(3,0),M(0,2),∴)1,0(MA,)2,3(MB.∴2MBMA.
3
6.【2011天津，文14】
1.【2012天津，文8】在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2．设点P，Q满足AP＝
λAB，AQ＝(1－λ)AC，λ∈R．若2BQCP，则λ＝( )
A．13 B．23 C．43 D．2
【答案】B
7.【2013天津，文12】在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若
AC
·BE＝1，则AB的长为__________．
【答案】12
【解析】取平面的一组基底{AB，AD}，则
4
AC
＝AB＋AD，BE＝BC＋CE＝12AB＋AD，
AC
·BE＝(AB＋AD)·12ABAD＝12|AB|2＋|AD|2＋12AB·AD＝
12|AB|2＋14|AB|＋1＝1，解方程得|AB|＝1
2
(舍去|AB|＝0)，所以线段AB的长
为12.
二．能力题组
1.【2014天津，文13】已知菱形ABCD的边长为2，120BAD，点E，F分别在边
BC、DC
上，
3BCBE，DCDF
.若1,AEAF，则的值为________.
【答案】2
【解析】
试题分析：
建立如图所示直角坐标系，则12313(1,0),(0,3),(1,0),(0,3),(,),(,3)33ABCDEF，
D
C B A
x y o
5
由1AEAF得：42313(,)(1,3)1,2.33
考点：向量坐标表示
2. 【2015高考天津，文13】在等腰梯形ABCD中,已知
ABDC
,2,1,60,ABBCABC 点E和点F分别在线段BC和CD上,且
21
,,36BEBCDFDC
则AEAF的值为 ．
【答案】2918
【解析】在等腰梯形ABCD中,由ABDC,2,1,60,ABBCABC得
12ADBC,1ABAD,1
2
DCAB
,所以AEAFABBEADDF
2
2121111129
131231218331818ABBCADABABADBCADABBCAB
.【考点定位】平面向量的数量积.
三．拔高题组
1.【2010天津，文9】如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC＝3BD，|AD|＝1，则AC·
AD
＝( )
A．23 B.32
C.33 D.3
【答案】D
【解析】 设|BD|＝x，则|BC|＝3x，
()ACADABBCADBCAD
＝|BC|·|AD|·cos∠ADB＝3x·1·1x＝
3
.
2. 【2016高考天津文数】已知△ABC是边长为1的等边三角形，点ED,分别是边
BCAB,
6
的中点，连接DE并延长到点F，使得EFDE2，则AFBC的值为
（A）85 （B）81 （C）41 （D）
8
11
【答案】B
【考点】向量数量积
【名师点睛】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量
数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向
量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为
“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算完全
代数化，将数与形紧密结合起来．