人教版九年级数学上册24.1.1《圆》圆的有关性质同步测试及答案【精】
人教版九年级数学上学期(第一学期)第24章《圆的基本性质》同步练习及答案(1).docx
24.1 圆（第二课时）------ 垂径定理知识点1、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的。
2、推论：平分弦（不是直径）的直径，并且平分弦所对的。
【特别注意：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用；2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的垂线；3、垂径定理常用作计算，在半径r、弦a、弦心d、和拱高h中已知两个可求另外两个】一、选择题1.如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是（）A．B．C．D．2.如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（）．A.2B.3C.4D.53.在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD,AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 和CD 的距离是（ ）． A.7cm B.1cm C.7cm 或4cm D.7cm 或1cm4.如图，AB 是⊙O 的弦，半径OA ＝2，∠AOB ＝120°，则弦AB 的长是（ ）．B （A ）22 （B ）32 （C ）5 （D ）53BOA5.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不成立的是（ ） A ．CM=DM B ． CB DB C ．∠ACD=∠ADCD ．OM=MD6．如图，在半径为5的⊙O 中，AB 、CD 是互相垂直的两条弦，垂足为P ，且AB=CD=8，则OP 的长为（ ） A ．3B ．4C ．32D ．42·AO MB7．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，已知CD=12，BE=2，则⊙O 的直径为（ ） A ．8 B ．10 C ．16 D ．208、如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB 宽为8cm ，水面最深地方的高度为2cm ，则该输水管的半径为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm二、填空题1.如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC ，垂足为D ，已知OD=5，则弦AC= ．2、如图AB 是⊙O 的直径，∠BAC=42°，点D 是弦AC 的中点，则∠DOC 的度数是 度．3、如图，M 是CD 的中点，EM ⊥CD ，若CD=4，EM=8，则所在圆的半径为 ．A·B C OD4、如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为．Θ与x轴交于O,A 5、如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，PΘ的半径为13，则点P的坐标为____________.两点，点A的坐标为（6,0），P6．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB，垂足为E，已知CD=6，AE=1，则⊙0的半径为．7．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB=23，0C=1，则半径OB的长为．BA CEDOF 8.如图，⊙O 的半径为5，P 为圆内一点，P 到圆心O 的距离为4，则过P 点的弦长的最小值是 ．OP9.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的AB ︵），点O 是这段弧的圆心，C 是AB ︵上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，AB ＝300m ，CD ＝50m ，则这段弯路的半径是 m.D10.如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为cm ．三、解答题1．如图，AB 和CD 是⊙O 的弦，且AB=CD ， E 、F 分别为弦AB 、CD 的中点， 证明：OE=OF 。
人教版九年级数学上册24.1 圆的基本性质(1) 同步练习 含答案
第二十四章圆24.1 圆（第一课时）知识点1、圆的定义：⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫，线段OA叫做。
⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合【特别注意】：1、在一个圆中，圆心决定圆的，半径决定圆的。
2、直径是圆中的弦，弦不一定是直径。
2、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的叫做弦。
弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、、三类。
3、圆的对称性：⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴，的直线都是它的对称轴。
⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是。
一、选择题1．下列命题正确的有（）①弦是圆上任意两点之间的部分②半径是弦③直径是最长的弦④弧是半圆，半圆是弧A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为（A.38B.52C.76D.1043.如图，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是（A.25°B.40°C.30°D.50°4．一个点到圆上的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则圆的半径是（）.A.2.5cm或6.5 cmB.2.5cmC.6.5cmD.5cm或13cm5．如图，已知在⊙O中，AB、CD为直径，则AD与BC的关系是（）.A.AD=BCB.AD∥BCC.AD∥BC且AD=BCD.不能确定6．如图，已知AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上,∠C=15°,则∠BOC 的度数为( )A ．15°B ． 30°C ． 45°D ．60°二、填空题1.⊙O 的半径为2cm ，则它的弦长d cm 的取值范围是 .2．⊙O 中若弦AB 等于⊙O 的半径，则△AOB 的形状是 .3．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，点D 是BC 的中点，若AC =10cm ，则OD = cm.4．如图4，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB ，CD 的延长线交于E ，若AB=2DE ， ∠E=18°，∠C=______,∠AOC=________；5． P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最长弦长为_______，最短弦长为________；三、解答题1.在Rt △ABC 中，∠C=90°,BC=3cm,AC=4cm,D 为AB 的中点，E 为AC 的中点，以B 为圆心，BC 为半径作⊙B ，A 、C 、D 、E 与⊙B 的位置关系如何？BDO CABA2、如图，M,N为线段AB上的两个三等分点，点A、B在⊙O上，求证：∠OMN=∠ONM。
人教版九年级数学上册 24.1.1 圆 同步练习题(含答案)
人教版九年级数学上册第24章 24.1.1 圆 同步练习题一、选择题1．下列条件中，能确定唯一一个圆的是(C)A ．以点O 为圆心B ．以2 cm 长为半径C ．以点O 为圆心，5 cm 长为半径D ．半径为2 cm ，且经过点A 2．已知⊙O 中最长的弦为8 cm ，则⊙O 的半径为(B)A ．2 cmB ．4 cmC ．8 cmD ．16 cm 3．下列命题中正确的有(A)①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径相等的两个圆是等圆；④弧是半圆，半圆是弧；⑤长度相等的两条弧是等弧．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图所示，以坐标原点O 为圆心的圆与y 轴交于点A ，B ，且OA ＝1，则点B 的坐标是(B)A ．(0，1)B ．(0，－1)C ．(1，0)D ．(－1，0) 5．如图所示，MN 为⊙O 的弦，∠N ＝52°，则∠MON 的度数为(C)A ．38°B ．52°C ．76°D ．104°6.如图所示，AB ，MN 是⊙O 中两条互相垂直的直径，点P 在AM ︵上，且不与点A ，M 重合，过点P 作AB ，MN 的垂线，垂足分别是D ，C.当点P 在AM ︵上移动时，矩形PCOD 的形状、大小随之变化，则PC 2＋PD 2的值(C)A ．逐渐变大B ．逐渐变小C ．不变D ．不能确定二、填空题7．到点O 的距离等于8 cm 的点的集合是以点O 为圆心，以8cm 长为半径的圆． 8．如图，在⊙O 中，弦有AC ，AB ，直径是AB ，优弧有ABC ︵，CAB ︵，劣弧有AC ︵，BC ︵．9．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝20°，以点C 为圆心、CB 为半径的圆交AB 于点D ，则∠ACD ＝50°．10．已知A ，B 是半径为6的圆上的两个不同的点，则弦长AB 的取值范围是0<AB ≤12． 11．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝1，以边AC 上一点O 为圆心，OA为半径的⊙O 经过点B ，则⊙O 312.如图，AB是⊙O的直径，D是圆上的一点，∠DOB＝75°，DC交BA的延长线于点E，交圆于点C，且CE＝AO，则∠E＝25°．13.如图，点D，E在△ABC的边BC，AB上，过A，C，D三点的圆的圆心为点E，以点D为圆心的圆过点B，E.如果∠A＝57°，那么∠B＝22°．14.如图所示，将半径为1的⊙A向右平移2个单位长度至⊙B，两圆相交于C，D两点，则CD＝2．15．如图，C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上一点，且CO⊥AB，在OC两侧分别作矩形OGHI和正方形ODEF，且点I，F在OC上，点H，E在半圆上，可证：IG＝FD.小云发现连接图中已知点得到两条线段，便可证明IG＝FD.请回答：小云所作的两条线段分别是OH和OE．16．如图，正方形ABCD和正方形CEFG，点A，F在半圆O上，B，C，E在半圆O的直径上，AB＝5，FE＝4，则OA三、解答题17.矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O .求证：A ，B ，C ，D 四个点在以点O 为圆心的同一个圆上．证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ，AC ＝BD .∴OA ＝OC ＝OB ＝OD .∴A ，B ，C ，D 四个点在以点O 为圆心，OA 为半径的圆上(如图)．18．如图，AB ，AC 为⊙O 的弦，连接CO ，BO 并延长，分别交弦AB ，AC 于点E ，F ，∠B ＝∠C.求证：CE ＝BF.证明：∵OB ，OC 是⊙O 的半径， ∴OB ＝OC.又∵∠B ＝∠C ，∠BOE ＝∠COF ， ∴△EOB ≌△FOC(ASA)． ∴OE ＝OF.∴OE ＋OC ＝OF ＋OB ，即CE ＝BF.19．如图所示，AB 是⊙O 的弦，半径OC ，OD 分别交AB 于点E ，F ，且AE ＝BF ，请写出线段OE 与OF 的数量关系，并给予证明．解：OE ＝OF. 证明：连接OA ，OB. ∵OA ，OB 是⊙O 的半径， ∴OA ＝OB. ∴∠OAB ＝∠OBA. 又∵AE ＝BF ，∴△OAE ≌△OBF(SAS)． ∴OE ＝OF.20．如图，BD ，CE 是△ABC 的高，M 为BC 的中点．试说明点B ，C ，D ，E 在以点M 为圆心的同一个圆上．证明：连接ME ，MD.∵BD ，CE 分别是△ABC 的高，M 为BC 的中点， ∴ME ＝MD ＝MC ＝MB ＝12BC.∴点B ，C ，D ，E 在以点M 为圆心的同一个圆上．。
人教版九年级数学上24.1圆的有关性质同步检测试卷含答案
（）
A．14° B．28° C．56° D．84° 3．如图，⊙O 的直径 CD 过弦 EF 的中点 G，∠DCF=20°，则∠EOD 等于（ ）
A．10° B．20° C．40° D．80° 4．如图，已知点 C，D 是半圆 上的三等分点，连接 AC，BC，CD，OD，BC 和 OD 相交于点 E．则下列结论： ①∠CBA=30°，②OD⊥BC，③OE= AC，④四边形 AODC 是菱形． 正确的个数是（ ）
24．如图，P 是⊙O 外一点，A、B、C 是⊙O 上的三点，∠AOB=60°，PA、PB 分别交 N 两点，则∠APB 的范围是______．
于 M、
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A．AD=AB B．∠BOC=2∠D C．∠D+∠BOC=90° D．∠D=∠B
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14．如图，在⊙O 中，∠CBO=45°，∠CAO=15°，则∠AOB 的度数是（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30° 15．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠OCB=40°，则∠A 的度数是（ ）
A． B．2 C．2 D．4 11．如图，在⊙O 中，已知∠OAB=22.5°，则∠C 的度数为（ ）
A．135° B．122.5° C．115.5° D．112.5° 12．如图，已知⊙O 是△ABD 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD=58°，则∠ BCD 等于（ ）
A．116° B．32° C．58° D．64° 13．如图，在⊙O 中，直径 CD⊥弦 AB，则下列结论中正确的是（ ）
圆的有关性质
一、选择题（共 16 小题） 1．如图，△ABC 内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD 为⊙O 的直径，AD=6，那么 AB 的值 为（ ）
2021-2022学年人教版九年级数学上册《24-1圆的有关性质》同步练习题(附答案)
2021-2022学年人教版九年级数学上册《24.1圆的有关性质》同步练习题（附答案）1．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（）A．60°B．50°C．40°D．20°2．如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的半径为5，BC＝8，则AB的长为（）A．8B．10C．D．3．如图，在⊙O内有折线OABC，点B、C在圆上，点A在⊙O内，其中OA＝4cm，BC＝10cm，∠A＝∠B＝60°，则AB的长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm4．如图，⊙O的半径为1，点A是半圆上的一个三等分点，点B是弧的中点，P是直径MN上的一个动点，则P A+PB的最小值为（）A．1B．C．D．5．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x 的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A．4B．C．D．6．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是的中点，BD交OC于点E，∠AOC ＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝．7．如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O的半径是．8．如图．点P为弦AB上的一点，连接OP，过点P作PC⊥OP，PC交⊙O于C．若AP＝8，PB＝2，则PC的长是．9．如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB＝AD，点E在CD的延长线上，且DE＝BC，连接AE，若AE＝4，则四边形ABCD的面积为．10．如图，点A，B，C在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，OD⊥AB于点E，交⊙O 于点D，则∠BAD＝度．11．如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD＝3，AB＝8，PM＝l，则l的最大值是．12．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（20，0），点B的坐标是（16，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为．13．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为．14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果∠A＝15°，弦CD＝4，那么AB的长是．15．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，动点M在弦AB上运动（可运动至A和B），设OM ＝x，则x的取值范围是．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为．17．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC＝2，则OF的长为．18．如图，经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧上一点，则∠ACB＝．19．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，弦PQ∥AB交弦CD于点M，BE＝18，CD＝PQ＝24，则OM的长为．20．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD、OD 相交于点E、F．（1）求证：点D为的中点；（2）若CB＝6，AB＝10，求DF的长；（3）若⊙O的半径为5，∠DOA＝80°，点P是线段AB上任意一点，试求出PC+PD 的最小值．21．如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．（1）求证：△BFG≌△CDG；（2）若AD＝BE＝2，求BF的长．22．已知P是⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点A、B（不与P，Q重合），连接AP、BP．若∠APQ＝∠BPQ．（1）如图1，当∠APQ＝45°，AP＝1，BP＝2时，求⊙O的半径；（2）如图2，连接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上（不与P、M重合），连接ON、OP，若∠NOP+2∠OPN＝90°，探究直线AB与ON的位置关系，并证明．23．如图，在平面直角坐标系中，以点M（0，）为圆心，以长为半径作⊙M交x 轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，连接AM并延长交⊙M于P点，连接PC交x轴于E．（1）求点C、P的坐标；（2）求证：BE＝2OE．24．如图，BC是半⊙O的直径，点P是半圆弧的中点，点A是弧BP的中点，AD⊥BC于D，连接AB、PB、AC，BP分别与AD、AC相交于点E、F．（1）求证：AE＝BE；（2）判断BE与EF是否相等吗，并说明理由；（3）小李通过操作发现CF＝2AB，请问小李的发现是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请写出CF与AB正确的关系式．参考答案1．解：连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∵∠BCD＝40°，∴∠A＝∠BCD＝40°，∴∠ABD＝90°﹣40°＝50°．故选：B．2．解：连接OB，∵AO⊥BC，AO过O，BC＝8，∴BD＝CD＝4，∠BDO＝90°，由勾股定理得：OD＝＝＝3，∴AD＝OA+OD＝5+3＝8，在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB＝＝4，故选：D．3．解：延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E，设AB的长为xcm，∵∠A＝∠B＝60°，∴∠ADB＝60°；∴△ADB为等边三角形；∴BD＝AD＝AB＝x；∵OA＝4cm，BC＝10cm，∴BE＝5cm，DE＝（x﹣5）cm，OD＝（x﹣4）cm，又∵∠ADB＝60°，∴DE＝OD，∴x﹣5＝（x﹣4），解得：x＝6．故选：B．4．解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OB，AA′．∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，∴∠A′ON＝∠AON＝60°，P A＝P A′，∵点B是弧的中点，∴∠BON＝30°，∴∠A′OB＝∠A′ON+∠BON＝90°，又∵OA＝OA′＝1，∴A′B＝．∴P A+PB＝P A′+PB＝A′B＝．故选：C．5．解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，如图，∵⊙P的圆心坐标是（3，a），∴OC＝3，PC＝a，把x＝3代入y＝x得y＝3，∴D点坐标为（3，3），∴CD＝3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴AE＝BE＝AB＝×4＝2，在Rt△PBE中，PB＝3，∴PE＝，∴PD＝PE＝，∴a＝3+．故选：B．6．解：连接OB．∵＝，∴∠AOB＝∠BOC＝50°，∴∠BDC＝∠BOC＝25°，∵∠OED＝∠ECD+∠CDB，∠ECD＝35°，∴∠OED＝60°，故答案为60°．7．解：连接BC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∴∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，∵∠A＝30°，∴AC＝2CH＝2，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∴AC＝BC＝2，AB＝2BC，∴BC＝2，AB＝4，∴OA＝2，即⊙O的半径是2；故答案为：2．8．解：延长CP交圆于一点D，∵PC⊥OP，∴PC＝PD（垂径定理），∴PC2＝P A•PB，∵AP＝8，PB＝2，∴PC2＝2×8，解得：PC＝4．故答案为：4．9．解：如图，连接AC，BD．∵∠BCD＝90°，∴BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∵∠ADE+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADE，∵AB＝AD，BC＝DE，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠BAC＝∠DAE，AC＝AE＝4，S△ABC＝S△ADE，∴∠CAE＝∠BAD＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ACE＝×4×4＝8．故答案为8．10．解：∵四边形OABC是平行四边形，OC＝OA，∴OA＝AB，∵OD⊥AB，OD过O，∴AE＝BE，＝，即OA＝2AE，∴∠AOD＝30°，∴和的度数是30°∴∠BAD＝15°，故答案为：15．11．解：方法一、延长CP交⊙O于K，连接DK，则PM＝DK，当DK过O时，DK最大值为8，PM＝DK＝4，方法二、连接CO，MO，∵∠CPO＝∠CMO＝90°，∴C，M，O，P，四点共圆，且CO为直径（E为圆心），连接PM，则PM为⊙E的一条弦，当PM为半径时PM最大，所以PM＝CO＝4时PM最大．即PM max＝4，故答案为：4．12．解：∵四边形OCDB是平行四边形，B（16，0），∴CD∥OA，CD＝OB＝16，过点M作MF⊥CD于点F，则CF＝CD＝8，过点C作CE⊥OA于点E，∵MN⊥CD，CD∥OB，∴MN⊥OB，∴∠CNM＝∠EMN＝90°，又∵∠OEM＝90°，∴四边形CEMN是矩形，∵A（20，0），∴OE＝OM﹣ME＝OM﹣CF＝10﹣8＝2．连接MC，则MC＝OA＝10，∴在Rt△CMF中，由勾股定理得MF＝＝6∴点C的坐标为（2，6）故答案为：（2，6）．13．解：连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示：在CB的垂直平分线上找到一点D，CD═DB＝DA＝＝，所以D是过A，B，C三点的圆的圆心，即D的坐标为（﹣1，﹣2），故答案为：（﹣1，﹣2），14．解：∵∠A＝15°，∴∠COB＝30°，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，弦CD＝4，∴CE＝2，∠OEC＝90°∵∠COE＝30°，∴OC＝2CE＝4，∴AB＝2OC＝8，故答案为：815．解：当M与A（B）重合时，OM＝x＝5；当OM垂直于AB时，可得出M为AB的中点，连接OA，在Rt△AOM中，OA＝5，AM＝AB＝4，根据勾股定理得：OM＝x＝＝3，则x的范围为3≤x≤5．故答案为：3≤x≤516．解：过点C作CE⊥AD于点E，则AE＝DE，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CE，∴CE＝＝，∴AE＝＝，∴AD＝2AE＝，故答案为．17．解：∵OD⊥AC，AC＝2，∴AD＝CD＝1，∵OD⊥AC，EF⊥AB，∴∠ADO＝∠OFE＝90°，∵OE∥AC，∴∠DOE＝∠ADO＝90°，∴∠DAO+∠DOA＝90°，∠DOA+∠EOF＝90°，∴∠DAO＝∠EOF，在△ADO和△OFE中，，∴△ADO≌△OFE（AAS），∴OF＝AD＝1，故答案为：1．18．解：∵∠AOB＝90°，∴∠ACB＝∠AOB＝90°．故答案为：90°．19．解：作OF⊥PQ于F，连接OP，∴PF＝PQ＝12，∵CD⊥AB，PQ∥AB，∴CD⊥PQ，∴四边形MEOF为矩形，∵CD＝PQ，OF⊥PQ，CD⊥AB，∴OE＝OF，∴四边形MEOF为正方形，设半径为x，则OF＝OE＝18﹣x，在直角△OPF中，x2＝122+（18﹣x）2，解得x＝13，则MF＝OF＝OE＝5，∴OM＝5．故答案为：5．20．（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OD∥BC，∴∠OF A＝90°，∴OF⊥AC，∴＝，即点D为的中点；（2）解：∵OF⊥AC，∴AF＝CF，而OA＝OB，∴OF为△ACB的中位线，∴OF＝BC＝3，∴DF＝OD﹣OF＝5﹣3＝2；（3）解：作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图，∵PC＝PC′，∴PD+PC＝PD+PC′＝DC′，∴此时PC+PD的值最小，∵＝，∴∠COD＝∠AOD＝80°，∴∠BOC＝20°，∵点C和点C′关于AB对称，∴∠C′OB＝20°，∴∠DOC′＝120°，作OH⊥DC′于H，如图，则∠ODH＝30°，则C′H＝DH，在Rt△OHD中，OH＝OD＝，∴DH＝OH＝，∴DC′＝2DH＝5，∴PC+PD的最小值为5．21．证明：（1）∵C是的中点，∴，∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，∴，∴，∴CD＝BF，在△BFG和△CDG中，∵，∴△BFG≌△CDG（AAS）；（2）解法一：如图，连接OF，设⊙O的半径为r，Rt△ADB中，BD2＝AB2﹣AD2，即BD2＝（2r）2﹣22，Rt△OEF中，OF2＝OE2+EF2，即EF2＝r2﹣（r﹣2）2，∵，∴，∴BD＝CF，∴BD2＝CF2＝（2EF）2＝4EF2，即（2r）2﹣22＝4[r2﹣（r﹣2）2]，解得：r＝1（舍）或3，∴BF2＝EF2+BE2＝32﹣（3﹣2）2+22＝12，∴BF＝2；解法二：如图，过C作CH⊥AD于H，连接AC、BC，∵，∴∠HAC＝∠BAC，∵CE⊥AB，∴CH＝CE，∵AC＝AC，∴Rt△AHC≌Rt△AEC（HL），∴AE＝AH，∵CH＝CE，CD＝CB，∴Rt△CDH≌Rt△CBE（HL），∴DH＝BE＝2，∴AE＝AH＝2+2＝4，∴AB＝4+2＝6，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠BEC＝90°，∵∠EBC＝∠ABC，∴BC2＝AB•BE＝6×2＝12，∴BF＝BC＝2．解法三：如图，连接OC，交BD于H，∵C是的中点，∴OC⊥BD，∴DH＝BH，∵OA＝OB，∴OH＝AD＝1，∵OC＝OB，∠COE＝∠BOH，∠OHB＝∠OEC＝90°，∴△COE≌△BOH（AAS），∴OH＝OE＝1，∴CE＝EF＝＝2，∴BF＝＝＝2．22．解：（1）连接AB，∵∠APQ＝∠BPQ＝45°，∴∠APB＝∠APQ+BPQ＝90°，∴AB是⊙O的直径，∴AB＝＝＝3，∴⊙O的半径为；（2）AB∥ON，证明：连接OA、OB、OQ，∵∠APQ＝∠BPQ，∴＝，∴∠AOQ＝∠BOQ，∵OA＝OB，∴OQ⊥AB，∵OP＝OQ，∴∠OPN＝∠OQP，∵∠OPN+∠OQP+∠PON+∠NOQ＝180°，∴2∠OPN+∠PON+∠NOQ＝180°，∵∠NOP+2∠OPN＝90°，∴∠NOQ＝90°，∴NO⊥OQ，∴AB∥ON．23．（1）解：连接PB，∵P A是圆M的直径，∴∠PBA＝90°，∴AO＝OB＝3，又∵MO⊥AB，∴PB∥MO，∴PB＝2OM＝，∴P点坐标为（3，），在直角三角形ABP中，AB＝6，PB＝2，根据勾股定理得：AP＝4，所以圆的半径MC＝2，又OM＝，所以OC＝MC﹣OM＝，则C（0，）．（2）证明：连接AC．∵AM＝MC＝2，AO＝3，OC＝，∴AM＝MC＝AC＝2，∴△AMC为等边三角形，又∵AP为圆M的直径，得∠ACP＝90°，得∠OCE＝30°，∴OE＝1，BE＝2，∴BE＝2OE．24．解：（1）如图1，连接AP，∵BC是半⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵AD⊥BC于D，∴∠ADB＝90°，∴∠ACB+∠ABC＝∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠ACB＝∠BAD，∵点A是弧BP的中点，∴∠P＝∠ACB＝∠ABP，∴∠ABE＝∠BAE，∴AE＝BE；（2）BE＝EF，理由是：∵BC是直径，AD⊥BC，∴∠BAC＝∠ADC＝90°，∴∠BAD＝∠ACB，∵A为弧BP中点，∴∠ABP＝∠ACB，∴∠BAD＝∠ABP，∴BE＝AE，∠F AD＝∠AFB，∴EF＝AE，∴BE＝EF；（3）小李的发现是正确的，理由是：如图2，延长BA、CP，两线交于G，∵P为半圆弧的中点，A是弧BP的中点，∴∠PCF＝∠GBP，∠CPF＝∠BPG＝90°，BP＝PC，在△PCF和△PBG中，，∴△PCF≌△PBG（ASA），∴CF＝BG，∵BC为直径，∴∠BAC＝90°，∵A为弧BP中点，∴∠GCA＝∠BCA，在△BAC和△GAC中，，∴△BAC≌△GAC（ASA），∴AG＝AB＝BG，∴CF＝2AB．。
人教版九年级数学上册24.1 圆的基本性质同步练习含答案【推荐】
第二十四章圆24.1 圆（第一课时）知识点1、圆的定义：⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫，线段OA 叫做。
⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合【特别注意】：1、在一个圆中，圆心决定圆的，半径决定圆的。
2、直径是圆中的弦，弦不一定是直径。
2、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的叫做弦。
弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、、三类。
3、圆的对称性：⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴，的直线都是它的对称轴。
⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是。
一、选择题1．下列命题正确的有（）①弦是圆上任意两点之间的部分②半径是弦③直径是最长的弦④弧是半圆，半圆是弧A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为（）A.38°B.52°C.76°D.104°3.如图，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C 的度数是（）A.25°B.40°C.30°D.50°4．一个点到圆上的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则圆的半径是（）.A.2.5cm或6.5 cmB.2.5cmC.6.5cmD.5cm或13cm5．如图，已知在⊙O中，AB、CD为直径，则AD与BC的关系是（）.B.AD∥BCC.AD∥BC且AD=BCD.不能确定BCDO6．如图，已知AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上,∠C=15°,则∠BOC 的度数为( )A ．15°B ． 30°C ． 45°D ．60°二、填空题1.⊙O 的半径为2cm ，则它的弦长d cm 的取值范围是.2．⊙O 中若弦AB 等于⊙O 的半径，则△AOB 的形状是 .3．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，点D 是BC 的中点，若AC =10cm ，则OD = cm.4．如图4，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB ，CD 的延长线交于E ，若AB=2DE ，∠E=18°，∠C=______,∠AOC=________；5． P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最长弦长为_______，最短弦长为________；三、解答题1.在Rt △ABC 中，∠C=90°,BC=3cm,AC=4cm,D 为AB 的中点，E 为AC 的中点，以B 为圆心，BC 为半径作⊙B ，A 、C 、D 、E 与⊙B 的位置关系如何？DC BA2、如图， M,N 为线段AB 上的两个三等分点，点A 、B 在⊙O 上，BDO CAABCO求证：∠OMN=∠ONM。
人教版九年级数学上册24.1 圆的基本性质同步练习含答案【精选】
第二十四章圆24.1 圆（第一课时）知识点1、圆的定义：⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫，线段OA 叫做。
⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合【特别注意】：1、在一个圆中，圆心决定圆的，半径决定圆的。
2、直径是圆中的弦，弦不一定是直径。
2、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的叫做弦。
弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、、三类。
3、圆的对称性：⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴，的直线都是它的对称轴。
⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是。
一、选择题1．下列命题正确的有（）①弦是圆上任意两点之间的部分②半径是弦③直径是最长的弦④弧是半圆，半圆是弧A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为（）A.38°B.52°C.76°D.104°3.如图，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C 的度数是（）A.25°B.40°C.30°D.50°4．一个点到圆上的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则圆的半径是（）.A.2.5cm或6.5 cmB.2.5cmC.6.5cmD.5cm或13cm5．如图，已知在⊙O中，AB、CD为直径，则AD与BC的关系是（）.B.AD∥BCC.AD∥BC且AD=BCD.不能确定BCDO6．如图，已知AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上,∠C=15°,则∠BOC 的度数为( )A ．15°B ． 30°C ． 45°D ．60°二、填空题1.⊙O 的半径为2cm ，则它的弦长d cm 的取值范围是.2．⊙O 中若弦AB 等于⊙O 的半径，则△AOB 的形状是 .3．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，点D 是BC 的中点，若AC =10cm ，则OD = cm.4．如图4，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB ，CD 的延长线交于E ，若AB=2DE ，∠E=18°，∠C=______,∠AOC=________；5． P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最长弦长为_______，最短弦长为________；三、解答题1.在Rt △ABC 中，∠C=90°,BC=3cm,AC=4cm,D 为AB 的中点，E 为AC 的中点，以B 为圆心，BC 为半径作⊙B ，A 、C 、D 、E 与⊙B 的位置关系如何？DC BA2、如图， M,N 为线段AB 上的两个三等分点，点A 、B 在⊙O 上，BDO CAABCO求证：∠OMN=∠ONM。
人教版九年级数学上册24.1 圆的基本性质同步练习带答案【编辑】
24.1 圆（第二课时 ）------ 垂径定理知识点1、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的 。
2、推论：平分弦（不是直径）的直径 ，并且平分弦所对的 。
【特别注意：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用；2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的垂线；3、垂径定理常用作计算，在半径r 、弦a 、弦心d 、和拱高h 中已知两个可求另外两个】 一、选择题1.如图，在⊙O 中，OC ⊥弦AB 于点C ，AB=4，OC=1，则OB 的长是（ ）A ．B ．C ．D ．2.如图，⊙O 的半径为5，弦AB =8，M 是弦AB 上的动点，则OM 不可能为（ ）． A.2 B.3 C.4 D.53.在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ,AB =6cm ，CD =8cm ，则AB 和CD 的距离是（ ）． A.7cm B.1cm C.7cm 或4cm D.7cm 或1cm4.如图，AB 是⊙O 的弦，半径OA ＝2，∠AOB ＝120°，则弦AB 的长是（ ）．B （A ）22 （B ）32 （C ）5 （D ）53 BOA5.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不成立的是（ ）A ．CM=DMB ． »»CBDB C ．∠ACD=∠ADC D ．OM=MD6．如图，在半径为5的⊙O 中，AB 、CD 是互相垂直的两条弦，垂足为P ，且AB=CD=8，则OP 的长为（ ）·AO MBA ．3B ．4C ．32 D ．427．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，已知CD=12，BE=2，则⊙O 的直径为（ ） A ．8 B ．10 C ．16 D ．208、如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB 宽为8cm ，水面最深地方的高度为2cm ，则该输水管的半径为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm 二、填空题1.如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC ，垂足为D ，已知OD =5，则弦AC = ．2、如图AB 是⊙O 的直径，∠BAC=42°，点D 是弦AC 的中点，则∠DOC 的度数是 度．3、如图，M 是CD 的中点，EM ⊥CD ，若CD=4，EM=8，则所在圆的半径为 ．4、如图，在⊙O 中，弦AB 垂直平分半径OC ，垂足为D ，若⊙O 的半径为2，则弦AB 的长为 ．A· C OD5、如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点P 在第一象限，P Θ与x 轴交于O,A 两点，点A 的坐标为（6,0），P Θ的半径为13，则点P 的坐标为 ____________.6．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 为⊙O 的一条弦，CD ⊥AB ，垂足为E ，已知CD=6，AE=1，则⊙0的半径为 ．7．如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于C ．若AB=23，0C=1，则半径OB 的长为 ．8.如图，⊙O 的半径为5，P 为圆内一点，P 到圆心O 的距离为4，则过P 点的弦长的最小值是 ．OP9.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的AB ︵），点O 是这段弧的圆心，C 是AB ︵上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，AB ＝300m ，CD ＝50m ，则这段弯路的半径是 m.D10.如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为 cm ．BACEDOFBOEDCA三、解答题1．如图，AB和CD是⊙O的弦，且AB=CD， E、F分别为弦AB、CD的中点，证明：OE=OF。
九年级数学上册 第二十四章 圆 24.1 圆的有关性质 24.1.1 圆同步检测(含解析)(新版)新
24.1.1 圆测试时间:25分钟一、选择题1.(2018贵州黔东南州期中)如图,在☉O中,弦的条数是( )A.2B.3C.4D.以上均不正确2.如图所示,点M是☉O上的任意一点,下列结论:①以M为端点的弦只有一条;②以M为端点的半径只有一条;③以M为端点的直径只有一条;④以M为端点的弧只有一条.其中,正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3.如图,矩形PAOB在扇形OMN内,顶点P在弧MN上,且不与M,N重合,当P点在弧MN上移动时,矩形PAOB的形状、大小随之变化,则PA2+PB2的值( )A.变大B.变小C.不变D.不能确定二、填空题4.如图,在Rt△ABC中,以点C为圆心,BC为半径的圆交AB于点D,交AC于点E,∠BCD=40°,则∠A=.5.如图,在平面直角坐标系中,动点P在以O为圆心,10为半径的圆上运动,整数点P有个.三、解答题2 26.如图,已知AB 是☉O 的直径,C 为AB 延长线上的一点,CE 交☉O 于点D,且CD=OA.求证:∠C=∠AOE.7.已知:如图,AB 是☉O 的直径,AC 是☉O 的弦,AB=2,∠BAC=30°.在图中作弦AD,使AD=1,并求∠DAC 的度数.24.1.1 圆一、选择题1.答案 C 在☉O 中,有弦AB 、弦DB 、弦CB 、弦CD,共4条弦.故选C.2.答案 B 以M 为端点的弦有无数条,所以①错误;②正确;③正确;以M 为端点的弧有无数条,所以④错误.故选B.3.答案 C 连接OP.在Rt△PAB 中,AB 2=PA 2+PB 2, 又∵矩形PAOB 中,OP=AB,∴PA 2+PB 2=AB 2=OP 2.故选C.二、填空题 4.答案 20°解析 ∵CB=CD,∴∠B=∠CDB.∵∠B+∠CDB+∠BCD=180°,∠BCD=40°,∴∠B=×(180°-∠BCD)=×(180°-40°)=70°. ∵∠ACB=90°,3∴∠A=90°-∠B=20°. 5.答案 12 解析设点P(x,y),由题意知x 2+y 2=100,则方程的整数解是x=6,y=8;x=8,y=6;x=10,y=0;x=6,y=-8;x=8,y=-6;x=0,y=-10;x=-6,y=-8;x=-8,y=-6;x=-10,y=0;x=-6,y=8;x=-8,y=6;x=0,y=10.所以整数点P的坐标可以是(6,8),(8,6),(10,0),(6,-8),(8,-6),(0,-10),(-6,-8),(-8,-6),(-10,0),(-6,8),(-8,6),(0,10).所以,这样的整数点有12个. 三、解答题6.证明 如图,连接OD,∵OD=OA,CD=OA,∴OD=CD, ∴∠COD=∠C.∵∠ODE 是△OCD 的外角, ∴∠ODE=∠COD+∠C=2∠C. ∵OD=OE,∴∠CEO=∠ODE=2∠C.∵∠AOE 是△OCE 的外角,∴∠AOE=∠C+∠CEO=3∠C.∴∠C=∠AOE.7.解析 以A 为圆心,1为半径画弧,与☉O 的交点即为点D,再连接AD. 本题有两种情况,图中点D 与点D'均符合题意.连接OD,OD'. ∵AB 是☉O 的直径,AB=2, ∴OA=OD=1. ∵AD=1, ∴OA=OD=AD,∴△AOD 是等边三角形, ∴∠OAD=60°.当AD 与AC 在直径AB 的同侧时, ∠DAC=60°-30°=30°; 当AD 与AC 在直径AB 的异侧时, ∠D'AC=60°+30°=90°.综上所述:∠DAC 的度数为30°或90°.。
人教版九年级数学上册第二十四章圆24.1圆的有关性质同步练习(附答案)
24.1 圆的有关性质一．选择题（共20小题）1．（•安顺）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（）A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm2．（•张家界）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE=（）A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm3．（•临安区）如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC=（）A．B．C．D．4．（•乐山）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（）A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸5．（•济宁）如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是（）A．50° B．60° C．80° D．100°6．（•聊城）如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是（）A．25° B．27.5°C．30° D．35°7．（•南充）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC=32°，则∠B的度数是（）A．58° B．60° C．64° D．68°8．（•铜仁市）如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（）A．55° B．110°C．120°D．125°9．（•菏泽）如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是（）A．64° B．58° C．32° D．26°10．（•张家界）如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO=30°，则∠BOC 的度数是（）A．30° B．45° C．55° D．60°11．（•哈尔滨）如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，∠A=42°，∠APD=77°，则∠B的大小是（）A．43° B．35° C．34° D．44°12．（•潍坊）点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为（）A．或2B．或2C．或2D．或213．（•黔西南州）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB=8，OC=5，则CD的长是（）A．3 B．2.5 C．2 D．114．（•乐山）如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=0.25米，BD=1.5米，且AB、CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是（）A．2米B．2.5米C．2.4米D．2.1米15．（•金华）如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（）A．10cm B．16cm C．24cm D．26cm16．（•泸州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB=8，AE=1，则弦CD的长是（）A．B．2C．6 D．817．（•黔南州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为5cm，则圆心O到弦CD的距离为（）A． cm B．3cm C．3cm D．6cm18．（•牡丹江）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为（）A．3 B．2.5 C．4 D．3.519．（•赤峰）如图，⊙O的半径为1，分别以⊙O的直径AB上的两个四等分点O1，O2为圆心，为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（）A．πB．πC．πD．2π20．（•巴彦淖尔）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB=40°，则∠ABD与∠AOD 分别等于（）A．40°，80°B．50°，100°C．50°，80°D．40°，100°二．填空题（共10小题）21．（•孝感）已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，则弦AB和CD之间的距离是cm．22．（•曲靖）如图：四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=n°，则∠DCE= °．23．（•金华）如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC=60cm．沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1=30cm，∠B1D1C1=120°．（1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为cm．（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为cm．24．（•梧州）如图，已知在⊙O中，半径OA=，弦AB=2，∠BAD=18°，OD与AB交于点C，则∠ACO= 度．25．（•烟台）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为．26．（•雅安）⊙O的直径为10，弦AB=6，P是弦AB上一动点，则OP的取值范围是．27．（•湘西州）如图所示，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，垂足为E，已知AB=6，OE=4，则直径CD=28．（•常州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为弧BD的中点，若∠DAB=40°，则∠ABC= ．29．（•湘潭）如图，在⊙O 中，已知∠AOB=120°，则∠ACB= ．30．（•安顺）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE= ．三．解答题（共5小题）31．（•宜昌）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．32．（•牡丹江）如图，在⊙O中， =，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：AD=BE．33．（•济南）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD=25°，求∠BAD的度数．34．（•福州）如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为中点，连接BM，CM．（1）求证：BM=CM；（2）当⊙O的半径为2时，求的长．35．（•宁夏）已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．（1）求证：AB=AC；（2）若AB=4，BC=2，求CD的长．参考答案一．选择题（共20小题）1．C．2．A．3．A．4．C．5．D．6．D．7．A．8．D．9．D．10．D．11．B．12．D．13．C．14．B．15．C．16．B．17．A．18．C．19．B．20．B．二．填空题（共10小题）21．2或14．22．n23．30，10﹣10，24．81．25．（﹣1，﹣2），26．4≤OP≤5．27．10．28．70°．29．60°30．4﹣．三．解答题（共5小题）31．（1）证明：∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴AE⊥BC，∵AB=AC，∴BE=CE，∵AE=EF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵AC=AB，∴四边形ABFC是菱形．（2）设CD=x．连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB=∠BDC=90°，∴AB2﹣AD2=CB2﹣CD2，∴（7+x）2﹣72=42﹣x2，解得x=1或﹣8（舍弃）∴AC=8，BD==，∴S菱形ABFC=8．∴S半圆=•π•42=8π．32．证明：连接OC，∵=，∴∠AOC=∠BOC．∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，∴∠CDO=∠CEO=90°在△COD与△COE中，∵，∴△COD≌△COE（AAS），∴OD=OE，∵AO=BO，∴AD=BE．33．解：∵AB为⊙O直径∴∠ADB=90°∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD=25°∴∠B=25°∴∠BAD=90°﹣∠B=65°．34．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∴=，∵M为中点，∴=，∴+=+，即=，∴BM=CM；（2）解：∵⊙O的半径为2，∴⊙O的周长为4π，∵===，∴=+=，∴的长=××4π=×4π=π．35．（1）证明：∵ED=EC，∴∠EDC=∠C，∵∠EDC=∠B，（∵∠EDC+∠ADE=180°，∠B+∠ADE=180°，∴∠EDC=∠B）∴∠B=∠C，∴AB=AC；（2）方法一：解：连接AE，∵AB为直径，∴AE⊥BC，由（1）知AB=AC，∴BE=CE=BC=，∵△CDE∽△CBA，∴，∴CE•CB=CD•CA，AC=AB=4，∴•2=4CD，∴CD=．方法二：解：连接BD，∵AB为直径，∴BD⊥AC，设CD=a，由（1）知AC=AB=4，则AD=4﹣a，在Rt△ABD中，由勾股定理可得：BD2=AB2﹣AD2=42﹣（4﹣a）2在Rt△CBD中，由勾股定理可得：BD2=BC2﹣CD2=（2）2﹣a2∴42﹣（4﹣a）2=（2）2﹣a2整理得：a=，即：CD=．。
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圆
24.1__圆的有关性质__
24．1.1 圆 [见B本P36]
1．下列命题正确的有( C )
(1)半圆是弧；
(2)弦是圆上两点之间的部分；
(3)半径是弦；
(4)直径是最长的弦；
(5)在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】 (1)弧是圆上任意两点间的部分；任意一条直径的两个端点在圆上把圆分成两条弧，每一
条弧叫做半圆，因此(1)是正确的命题．(2)弦是连接圆上任意两点的线段，不是圆上两点之间的部
分，因此(2)是错误的命题．(3)半径是连接圆心与圆上任意一点的线段，不是弦．因此(3)是假命题．(4)
直径是过圆心的弦，也是最长的弦．如图所示，AB是⊙O的直径，CD是任意一条不过圆心的弦，
连接OC，OD，在△OCD中，OC＋OD>CD，而AB＝OC＋OD，则AB>CD，因此直径是最长的弦．(5)
圆心为O，半径为r的圆可以看成由所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形，因此(5)正
确．所以(1)，(4)，(5)正确，选C.
2．如图24－1－1所示，⊙O中点A，O，D以及点B，O，C分别在同一直线上，图中弦的条数为
( A )
A．2 B．3 C．4 D．5
图24－1－1
图24－1－2
图24－1－3
3．如图24－1－2，P是⊙O内的一点，P到⊙O的最小距离为4 cm，最大距离为9 cm，则该⊙O
的直径为( C )
A．6.5 cm B．2.5 cm C．13 cm D．不可求
【解析】 过O，P作直径AB，则AB＝PA＋PB＝4＋9＝13(cm)，故选C.
4．图24－1－3中，__AC__是⊙O的直径；弦有__AB，BC，AC__；劣弧有__AB︵，BC︵__；优弧有
__BAC︵，BCA︵__．
5．如图24－1－4所示，已知∠AOB＝60°，则△AOB是__等边__三角形．
图24－1－4
图24－1－5
6．如图24－1－5，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO＝22°， 则∠COB的度数等于__44°
__．
【解析】 ∵OA＝OC，∴∠A＝∠C＝22°，
∴∠BOC＝∠A＋∠C＝22°×2＝44°.
7．如图24－1－6，以O为圆心的两个同心圆⊙O，大圆O的半径OC，OD分别交小圆O于A，B
两点，求证：AB∥CD.
证明：∵OA＝OB，OC＝OD，
∴∠OAB＝12(180°－∠O)＝∠C，∴AB∥CD.
图24－1－6
图24－1－7
8．如图24－1－7，在⊙O中，D，E分别为半径OA，OB上的点，且AD＝BE，点C为弧AB上
一点，连接CD，CE，CO，∠AOC＝∠BOC.求证：CD＝CE.
证明：∵OA＝OB，AD＝BE，∴OA－AD＝OB－BE，即OD＝OE.
在△ODC和△OEC中，OD＝OE，∠DOC＝∠EOC，OC＝OC，
∴△ODC≌△OEC，∴CD＝CE.
9．如图24－1－8所示，已知⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM，
OP以及⊙O上，并且∠POM＝45°，则AB的长为__5__．
【解析】 连接OA，构造Rt△OAB，利用勾股定理，求出AB的长．设正方形ABCD的边长为x，
则AB＝BC＝CD＝x，又∠POM＝45°，∠DCO＝90°，
∴∠ODC＝∠POM＝45°，∴DC＝OC＝x，∴OB＝2x.在Rt△OAB中，AB2＋OB2＝OA2，OA＝12MN
＝5，即x2＋(2x)2＝52，∴x＝5.
图24－1－8
图24－1－9
10．如图24－1－9，AB，AC为⊙O的弦，连接CO，BO并延长分别交弦AB，AC于点E，F，∠
B＝∠C.求证：CE＝BF.
证明：∵OB，OC是⊙O的半径，∴OB＝OC.
又∵∠B＝∠C，∠BOE＝∠COF，
∴△EOB≌△FOC，∴OE＝OF，∴CE＝BF.
11．如图24－1－10，半圆O的直径AB＝8，半径OC⊥AB，D为弧AC上一点，DE⊥OC，DF⊥
OA，垂足分别为E，F，求EF的长．
图24－1－10
解：连接OD.
∵OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥OA，
∴∠AOC＝∠DEO＝∠DFO＝90°，
∴四边形DEOF是矩形，∴EF＝OD.
∵OD＝OA，∴EF＝OA＝4.
12．如图24－1－11，AB，CD是⊙O的直径，DF，BE是⊙O的弦，且弦DF＝BE.求证：∠B＝∠D.
图24－1－11
【解析】 连接OF，OE，证明△DOF≌△BOE.
证明：如图，连接OE，OF.在△DOF和△BOE中，
OF＝OE，
OD＝OB，
DF＝BE，
∴△DOF≌△BOE(SSS)．
∴∠B＝∠D.
13．如图24－1－12所示，已知CD是⊙O的直径，∠EOD＝51°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，
求∠A的度数．
图24－1－12
【解析】 已知∠EOD＝51°，与未知∠A构成了内、外角关系，而∠E也未知，且AB＝OC这一
条件不能直接使用，因此想到同圆的半径相等，需连接半径OB，从而得到OB＝AB.
解：如图所示，连接OB.∵AB＝OC，OB＝OC，
∴AB＝OB，
∴∠A＝∠1.
又∵OB＝OE，
∴∠E＝∠2＝∠1＋∠A＝2∠A，
∴∠DOE＝∠E＋∠A＝3∠A.而∠DOE＝51°，
∴3∠A＝51°，
∴∠A＝17°.