山东省烟台市2019-2020学年度第一学期期末考试高二数学试题(含答案和解析)
烟台市2019-2020学年数学高二第二学期期末检测试题含解析
烟台市2019-2020学年数学高二第二学期期末检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点(1,3)P -，则它的极坐标是（ ）A ．2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．42,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,3π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．42,3π⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】 由22,tan yx y xρθ=+=计算即可。
【详解】在相应的极坐标系下821(3)2ρ=+-=，由于点P 位于第四象限，且极角满足tan 3yxθ==-，所以3πθ=-.故选C. 【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于简单题。
2．在一次调查中，根据所得数据绘制成如图所示的等高条形图，则（ ）A ．两个分类变量关系较强B ．两个分类变量关系较弱C ．两个分类变量无关系 ^D ．两个分类变量关系难以判断 【答案】A 【解析】分析：利用等高条形图中两个分类变量所占比重进行推理即可.详解：从等高条形图中可以看出2，在1x 中1y 的比重明显大于2x 中1y 的比重，所以两个分类变量的关系较强. 故选A点睛：等高条形图，可以粗略的判断两个分类变量是否有关系，但是这种判断无法精确的给出所得结论的可靠程度，考查识图用图的能力.3．4(2)x +的展开式中，3x 的系数为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】D 【解析】 【分析】由题意得到二项展开式的通项，进而可得出结果. 【详解】因为4(2)x +的展开式的第1r +项为4142-+=r r r r T C x ，令3x =，则3334428==T C x x ，所以3x 的系数为8. 故选D 【点睛】本题主要考查求指定项的系数问题，熟记二项式定理即可，属于常考题型.4．焦点为06（，）且与双曲线2212x y -=有相同的渐近线的双曲线方程是 A ．2211224y x -=B ．2212412y x -=C ．2212412x y -=D ．2211224x y -=【答案】A 【解析】 【分析】根据题目要求解的双曲线与双曲线2212x y -=有相同的渐近线，且焦点在y 轴上可知，设双曲线的方程为()2202x y λλ-=>，将方程化成标准形式，根据双曲线的性质222+=a b c ，求解出λ的值，即可求出答案． 【详解】由题意知，设双曲线的方程为()2202x y λλ-=>，化简得()22102y x λλλ-=>．236λλ∴+=解得12λ=．所以双曲线的方程为2211224y x -=，故答案选A ．【点睛】本题主要考查了共渐近线的双曲线方程求解问题,共渐近线的双曲线系方程与双曲线22221x y a b-=有相同渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a bλλ-=≠，若0λ>，则双曲线的焦点在x 轴上，若0λ<，则双曲线的焦点在y 轴上．5．设复数z 满足()1i z i +=，则z 的共轭复数z =（ ） A ．1122i + B ．1122i - C ．1122-+i D ．1122i -- 【答案】B 【解析】 【分析】 算出z ，即可得z . 【详解】由()1i z i +=得，11122i z i i ==++，所以1122z i =-. 故选：B 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，共轭复数的概念，考查了学生基本运算能力和对基本概念的理解.6．设椭圆()2222:10,0x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点()()0,0E t t b <<.已知动点P 在椭圆上,且点2,,P E F 不共线,若2PEF ∆的周长的最小值为4b ,则椭圆C 的离心率为（ ）A B ．2C ．12D 【答案】A 【解析】分析：利用椭圆定义2PEF ∆的周长为12PE 2a PF EF +-+，结合三点共线时，1PE PF -的最小值为1EF -，再利用对称性，可得椭圆的离心率.详解：2PEF ∆的周长为2212PE PE 2PF EF a PF EF ++=+-+21212a PE 2a 2a 4b EF PF EF EF =++-≥+-==，∴213e 1142c b a a ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭故选：A点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e 的取值范围)． 7．在平面直角坐标系中，由坐标轴和曲线3cos 02y x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭所围成的图形的面积为（ ） A ．2 B ．52C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦函数图象的对称性可得203cos xdx S π=⎰，求出积分值即可得结果.【详解】根据余弦函数图象的对称性可得()2203cos 3sin 3103S xdx xππ===-=⎰，故选C.【点睛】本题主要考查定积分的求法，考查数学转化思想方法，属于基础题．8．已知函数()()212,042ln 3,4x x x f x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨⎪->⎩，若方程()f x m =有三个实数根123,,x x x ，且123x x x <<，则312x x x -的取值范围为 （ ） A ．[)52ln 2,4-B ．)252ln 2,1e ⎡--⎣C ．)242ln 2,1e ⎡+-⎣ D ．[)3ln 2,52ln 2-+【答案】B 【解析】 【分析】先将方程()f x m =有三个实数根，转化为()y f x =与y m =的图象交点问题，得到m 的范围，再用m 表示()31232,0,2mx x x e m m -=+-∈，令()()32,0,2mg m e m m =+-∈，利用导数法求()g m 的取值范围即可.【详解】已知函数()()212,042ln 3,4x x x f x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨⎪->⎩，其图象如图所示：因为方程()f x m =有三个实数根， 所以02m <<， 令2122x x m -+=， 得122x x m =， 令()ln 3x m -=，所以33mx e =+，所以()31232,0,2mx x x e m m -=+-∈，令()()32,0,2mg m e m m =+-∈，所以()2mg m e '=-，令()20mg m e '=-=，得ln 2m =，当0ln 2m <<时，()0g m '<，当n 22l m <<时，()0g m '>， 所以当ln 2m =时，()g m 取得极小值52ln 2-. 又()()204,21g g e ==-，所以()g m 的取值范围是：2[52ln 2,1)e --.即312x x x -的取值范围为2[52ln 2,1)e --. 故选：B 【点睛】本题主要考查函数与方程，导数与函数的单调性、极值最值，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于难题.9．已知复数511i z i-=+，则z 的虚部是（ ）A ．1B ．1-C ．i -D ．i【答案】B 【解析】 【分析】将z 利用复数代数形式的乘除运算化简即可得到答案. 【详解】由题意，()()()251111111i i iz i i i i i ---====-+++-， 所以z 的虚部是1-. 故选：B 【点睛】本题主要考查复数的基本概念和复数代数形式的乘除运算，属于基础题.10．已知O 为坐标原点，双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>上有,A B 两点满足OA OB ⊥，且点O 到直线AB 的距离为c ，则双曲线的离心率为（ ）A ．12B C ．12+ D 【答案】A 【解析】 【分析】讨论直线AB 的斜率是否存在：当斜率不存在时，易得直线AB 的方程，根据OA OB ⊥及点O 到直线AB距离即可求得a b c 、、的关系，进而求得离心率；当斜率存在时，设出直线方程，联立双曲线方程，结合OA OB ⊥及点到直线距离即可求得离心率。
2019-2020年高二下学期期末考试数学(理)试题 含答案
2019-2020年高二下学期期末考试数学(理)试题 含答案命题教师：张金荣一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合A ＝{x |y ＝lg(2x －x 2)}，B ＝{y |y ＝2x ，x >0}，R 是实数集，则(∁R B )∩A 等于( )A ．[0,1]B ．(0,1]C ．(－∞，0]D ．以上都不对2．函数f(x)=ln(x-2)-的零点所在的大致区间是（ ）A ．（1,2） B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5)3．函数f(x)=的定义域为（ ）A ． B. C. D.4．设a ＝60.7，b ＝0.76，c ＝log 0.76，则a ，b ，c 的大小关系为 ( )A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．a ＜c ＜b5．以下说法错误的是( )A ．命题“若x 2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2-3x+2≠0”B ．“x=1”是“x 2-3x+2=0”的充分不必要条件C ．若p ∧q 为假命题,则p,q 均为假命题D ．若命题p:∃x 0∈R,使得+x 0+1<0,则﹁p:∀x ∈R,则x 2+x+1≥06．函数y=lg|x |x 的图象在致是（ ）7．偶函数y=f （x ）在x ∈时，f （x ）=x-1，则f(x －1)＜0的解集是( )A ．{x|-1＜x ＜0B ．{x|x ＜0或1＜x ＜2C ．{x|0＜x ＜2D ．{x|1＜x ＜28．函数f(x)= 满足对任意成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．9．若不等式x 2+ax+1≥0对于一切x(0,)恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．a≥0B ．a≥-2C ．a≥-D ．a≥-310．已知函数f (x )＝的值域为[0，＋∞)，则它的定义域可以是（ ）A ．(0,1]B ．(0,1)C ．(－∞，1]D ．(－∞，0]11．已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，() A ．f (－25)<f (11)<f (80) B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)12．已知a >0且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )<12，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0，12]∪[2，＋∞) B ．[14，1)∪(1,4] C ．[12，1)∪(1,2] D ．(0，14]∪[4，＋∞) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f(x)=ax 2+bx+3a+b 是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a+b= .14．已知函数f(x)是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x-1)<f()的x 的取值范围为__________15．定义：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝|log 0.5x |的定义域为[a ，b ]，值域为[0,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值为________．16．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时f (x )＝(12)1－x ，则 ①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )＝(12)x －3. 其中所有正确命题的序号是________．三、解答题(共70分)17．(12分)给定两个命题：：对任意实数都有恒成立；：关于的方程有实数根；如果P ∨q 为真，P ∧q 为假，求实数的取值范围．18．（12分）对定义在实数集上的函数f (x )，若存在实数x 0，使得f (x 0)＝x 0，那么称x 0为函数f (x )的一个不动点．(1)已知函数f (x )＝ax 2＋bx －b (a ≠0)有不动点(1,1)、(－3，－3)，求a 、b ；(2)若对于任意实数b ，函数f (x )＝ax 2＋bx －b (a ≠0)总有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围．19．(12分)已知f (x )为定义在[－1,1]上的奇函数，当x ∈[－1,0]时，函数解析式f (x )＝14x －a 2x (a ∈R)． (1)写出f (x )在[0,1]上的解析式；(2)求f (x )在[0,1]上的最大值．20．(12分)C D E AB P 经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t (天)的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t (件)，价格近似满足f (t )＝20－12|t －10|(元)． (1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．21．(12分)已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x ，g (x )在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲．如图，在正ΔABC 中，点D 、E 分别在边BC, AC 上,且,，AD ，BE 相交于点P.求证：(I) 四点P 、D 、C 、E 共 圆；(II) AP ⊥CP 。
烟台市名校2019-2020学年数学高二第二学期期末检测试题含解析
烟台市名校2019-2020学年数学高二第二学期期末检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．6(x展开式中常数项为( ) A ．160-B ．160C ．240-D ．2402．已知定义在R 上的连续奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0x >时，()()0f x f x x'+>，则使得()()()2213310xf x x f x +-->成立的x 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．()11,1,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,15⎛⎫⎪⎝⎭D ．(),1-∞3．已知复数2i3iz =-,则z 的共轭复数z =() A ．13i 55-- B ．13i 55-+ C ．1355i + D ．13i 55- 4． “干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。
“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅…癸酉，甲戌、乙亥、丙子…癸未，甲申、乙酉、丙戌…癸巳，…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽。
2019年是“干支纪年法”中的己亥年，那么2026年是“干支纪年法”中的 A ．甲辰年B ．乙巳年C ．丙午年D ．丁未年5．将1000名学生的编号如下：0001，0002，0003，…，1000，若从中抽取50个学生，用系统抽样的方法从第一部分0001，0002，…，0020中抽取的号码为0015时，抽取的第40个号码为（ ） A ．0795B ．0780C ．0810D ．08156．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是（ ） A ．18B ．24C ．30D ．367．极坐标系内,点1,2π⎛⎫⎪⎝⎭到直线cos 2ρθ=的距离是( ) A ．1B ．2C ．3D ．48．若如下框图所给的程序运行结果为35S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是（ ）A ．7?k =B ．6?k ≤C ．6?k <D ．6?k >9．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且124F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（ ） A ．12B ．22C ．1D 210．若22,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭是极坐标系中的一点，则8552,,2,,2,,2,3333Q R M N ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭四个点中与点P 重合的点有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．设函数23()ln 2f x x ax =-+，则“22e a <”是“()0f x =有4个不同的实数根”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件12．已知集合{}1,2A =，{}1,3,B m =，若{}1,2,3,4A B =，则m 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．在61()x x-的展开式中的常数项为_______.14．命题“如果3x y +>，那么1x >且2y >”的逆否命题是______．15．()()2221z m m i m R =-+-∈，其共轭复数z 对应复平面内的点在第二象限，则实数m 的范围是____．16．若()()521x a x ++的展开式的各项系数之和为96，则该展开式中5x 的系数为______.（用数字填写答案）三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数()ln f x x a x =-，a R ∈（）. （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程； （2）设1()a g x x+=-，若不等式()()f x g x >对任意[]1e x ∈，恒成立，求a 的取值范围.18．函数f(x)对任意的m ，n R ∈，都有()()()1f m n f m f n +=+-，并且0x >时，恒有()1f x > (1)求证：f(x)在R 上是增函数(2)若(6)4f =，解不等式2(4)2f a a +-<19．（6分）已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆E 过点()0,3C ，离心率为12. （1）求椭圆E 的方程；（2）设过定点02T （，）的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A B 、，且·0OA OB >，求直线l 的斜率k 的取值范围；20．（6分）已知数列{}n a 满足11a =，122n n n a a +=-+.（Ⅰ）证明：数列{}2nn a +是等差数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S .21．（6分）某园林基地培育了一种新观赏植物，经过了一年的生长发育，技术人员从中抽取了部分植株的高度(单位:厘米)作为样本(样本容量为n )进行统计，按[)[)[)50,60,60,70,70,80[)[]80,90,90,100分组做出频率分布直方图，并作出样本高度的茎叶图(图中仅列出了高度在[)[]50,60,90,100的数据).（1）求样本容量n 和频率分布直方图中的,x y（2）在选取的样本中,从高度在80厘米以上(含80厘米)的植株中随机抽取3株,设随机变量X 表示所抽取的3株高度在 [)80,90 内的株数,求随机变量X 的分布列及数学期望.22．（8分）已知矩阵1101M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.（1）求直线31yx 在M 对应的变换作用下所得的曲线方程；（2）求矩阵M 的特征值与特征向量.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】 【分析】 求出6(x展开式的通项公式，然后进行化简，最后让x 的指数为零，最后求出常数项.【详解】 解:36622166(2)(2)r r r rrr rr TC xxC x---+=-=-，令4r =得展开式中常数项为446(2)240C -=，故选D.【点睛】本题考查了求二项式展开式中常数项问题，运用二项式展开式的通项公式是解题的关键. 2．C 【解析】 【分析】根据0x >时()()0f x f x x'+>可得：()()0xf x f x '+>；令()()g x xf x =可得函数在()0,∞+上单调递增；利用奇偶性的定义可证得()g x 为偶函数，则()g x 在(),0-∞上单调递减；将已知不等式变为()()231g x g x >-，根据单调性可得自变量的大小关系，解不等式求得结果.【详解】当0x >时，()()0f x f x x'+> ()()0xf x f x '∴+>令()()g x xf x =，则()g x 在()0,∞+上单调递增()f x 为奇函数 ()()()()g x xf x xf x g x ∴-=--== ()g x ∴为偶函数则()g x 在(),0-∞上单调递减()()()2213310xf x x f x ∴+-->等价于()()231g x g x >-可得：231x x >-，解得：115x << 本题正确选项：C 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用问题，关键是能够构造函数，根据导函数的符号确定所构造函数的单调性，并且根据奇偶性的定义得到所构造函数的奇偶性，从而将函数值的大小关系转变为自变量之间的比较. 3．A 【解析】对复数z进行化简，然后得到z，再求出共轭复数z. 【详解】因为2i3iz=-，所以()22313955i iz ii+==-+-，所以z的共轭复数1355 z i =--故选A项.【点睛】本题考查复数的四则运算，共轭复数的概念，属于简单题.4．C【解析】【分析】按照题中规则依次从年列举到年，可得出答案。
2019-2020学年度山东省烟台市第一学期期末学业水平诊断高三数学(含答案)
2019-2020学年度第一学期期末学业水平诊断高三数学参考答案一、单项选择题1.C2.D3.C4.A5.C6. D7.B8.A二、多项选择题9.AC 10.AC 11.ABD 12.ABC三、填空题13. 34π 14. 0.1 15. 16. 52π，4π四、解答题17.解：若选①：由正弦定理得 ()()()a b a b c b c +-=-， ………………………………2分即222b c a bc +-=， 所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===， ……………………………………4分 因为(0,)A π∈，所以3A π=. …………………………………………6分 又2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，a =6bc +=，所以4bc =， …………………………………………8分所以11sin 4sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯= ……………………………10分 若选 ②：由正弦定理得 sin sin sin cos()6A B B A π=+. …………………………2分因为0B π<<，所以sin 0B ≠，sin cos()6A A π=+，化简得1sin cos sin 22A A A =-， ………………………………………4分即tan A =0A π<<，所以6A π=. …………………………6分 又因为2222cos 6a b c bc π=+-，所以22bc =，即24bc =- ……………8分所以111sin (246222ABC S bc A ∆==⨯-⨯=- ………………10分 若选 ③：由正弦定理得 sin sinsin sin 2B C B A B +=， ……………………………2分 因为0B π<<，所以sin 0B ≠， 所以sin sin 2B C A +=，又因为B C A π+=-， 所以cos 2sin cos 222A A A =， ………………………………………………4分 因为0A π<<，022A π<<，所以cos 02A ≠， ∴1sin 22A =，26A π=，所以3A π=. ……………………………6分 又2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，a =6bc +=，所以4bc =， ………………………………………8分所以11sin 4sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯= …………………………10分 18.解：（1）因为2(1)n n S n a =+，*n ∈N ，所以112(2)n n S n a ++=+，*n ∈N .两式相减得112(2)(1)n n n a n a n a ++=+-+，整理得 1(1)n n na n a +=+，. ………………………………………………2分 即11n n a a n n +=+，*n ∈N ，所以{}n a n为常数列. 所以121n a a n ==， ………………………………………4分 所以 2n a n =. …………………………………………………5分（2）(1)2=(21)4n a n n n b a n =--. ……………………………………………6分所以 12314+34+54++(21)4n n T n =⨯⨯⨯-L231414+34++(23)4(21)4n n n T n n +=⨯⨯-⋅+-⋅L . ……7分两式相减得： 23134+2(4+4++4)(21)4n n n T n +-=⨯--⋅L ， …………………9分 2+114434+2(21)414n n n T n +--=⨯--⋅-， …………………11分 化简得 120(65)4+99n n n T +-=. ……………………………………12分19.解：（1）连接BD 交AC 于点F ,连接EF .因为//AD BC ，所以AFD ∆与BCF ∆相似. 所以2BF BC FD AD==. ………………………………………………1分 又=2BE BF ES FD=，所以//EF SD . ……………………………………2分 因为EF ⊂平面ACE ，SD ⊄平面ACE ，所以直线//SD 平面ACE . ……………………………………4分（2）平面SCD ⊥平面ABCD ，平面SCD I 平面ABCD CD =，BC ⊂平面ABCD ，BC CD ⊥，所以BC ⊥平面SCD . …………………………………5分以C 为坐标原点，,CD CB u u u r u u u r 所在的方向分别为y 轴、z 轴的正方向，与,CD CB u u u r u u u r 均垂直的方向作为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -. ……6分则(0,0,0)C ，(1,1,0)S ，(0,2,2)A ，224(,,)333E ， (0,2,2)CA =u u u r ，(1,1,0)CS =u u u r ，224(,,)333CE =. ………7分 设平面SAC 的一个法向量为(,,)x y z =m ，则 00CA CS ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r g u u u r gm m ，即00y z x y +=⎧⎨+=⎩, 不妨令1z =，得1x =，1y =-，于是(1,1,1)=-m . …………………9分设平面EAC 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则00CA CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r g u u u r gn n ，即020y z x y z +=⎧⎨++=⎩, 不妨令1z =，得1x =-，1y =-，于是(1,1,1)=--m . …………………11分设二面角S AC E --的平面角的大小为θ，则1cos 3θ==g m n m n . 所以二面角S AC E --的余弦值为13. ……………………………………12分 20.解：（1）设1F 为椭圆的左焦点，连接1F B ，由椭圆的对称性可知，1AF F B =， 所以128AF BF BF BF a +=+==，所以4a =， …………………2分又2c e a ==，222a b c =+，解得2b =，c =. ………………4分 所以椭圆的标准方程为221164x y +=. ……………………………………5分（2）设点1122(,),(,)A x y B x y ，则11(3,)QA x y =-u u u r ，22(3,)QB x y =-u u u r ，……6分 联立221164x y k x y =⎧+=⎪⎨⎪⎩，得22(41)160k x +-=， 所以120x x += ，1221641x x k -=+， ……………………………………8分 因为AQB ∠为锐角，所以0QA QB >u u u r u u u r g . ……………………………………9分 所以1212(3)(3)QA QB x x y y =--+u u u r u u u r g12121293()x x x x y y =-+++2121293()(1)x x k x x =-+++ ……………………………10分2216(1)9041k k +=->+， 解得10k >或10k <-. ……………………………………12分 21．解：（1）设3条生产线中出现故障的条数为X ， 则1(3,)3X B :. ……………………………………………………2分 因此112312124(1)()()=33279P X C ===. ……………………………………4分 （2）①当1n =时，设该企业每月的实际获利为1Y 万元. 若0X =，则1123135Y =⨯-=；若1X =，则1122+81131Y =⨯⨯-=；若2X =，则1121+81+01119Y =⨯⨯⨯-=；若3X =，则1120+81+0217Y =⨯⨯⨯-=； ……………………6分 又0033128(0)()()3327P X C ===，2213126(2)()()3327P X C ===， 3303121(3)()()3327P X C ===， ………………8分 此时，实际获利1Y 的均值1812617733531197=2727272727EY =⨯+⨯+⨯+⨯ ………………9分 ②当2n =时，设该企业每月的实际获利为2Y 万元.若0X =，则2123234Y =⨯-=；若1X =，则2122+81230Y =⨯⨯-=；若2X =，则2121+82226Y =⨯⨯-=；若3X =，则2120+82+01214Y =⨯⨯⨯-=； ………………………11分28126180234302614=2727272727EY =⨯+⨯+⨯+⨯因为12EY EY <.于是以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在1n =与2n =之中选其一，应选用2n =. ………………………………………………12分22. 解：（1）函数()f x 的定义域为{|0}x x >.()2113'()ln ()222f x x a x x ax a x x =-+-⋅+-， ………………1分 ()(ln 1)x a x =--令()0f x '=，得x a =或e x =. ………………………………………… 2分因为0e a <<，当0x a <<或e x >时，()'0f x >，()f x 单调递增；当e a x <<时，()'0f x <，()f x 单调递减.所以()f x 的增区间为()0,a ，()e,+∞，减区间为()e ,a . …………………………………………………………………4分（2）取=min{1,2}a δ，则当(0,)x δ∈时，102x a -<，ln 0x <，3204a x ->， 13()()ln (2)024f x x x a x x a x =-+->； 又因为0e a <<，由（1）可知()f x 在(0,)a 上单增，因此,当(0,]x a ∈，恒()0f x >，即()f x 在(0,]a 上无零点. …………………………5分下面讨论x a >的情况： ①当e 04a <<时，因为()f x 在(,e)a 单减，(e,)+∞单增，且()0f a >，e (e)e()04f a =-<，241(e )=e 04f >， 根据零点存在定理，()f x 有两个不同的零点. ……………………6分 ②当e =4a 时，由()f x 在(,e)a 单减，(e,)+∞单增，且(e)0f =， 此时()f x 有唯一零点e . ……………………………………7分 ③若e e 4a <<，由()f x 在(,e)a 单减，(e,)+∞单增，e ()(e)e()04f x f a ≥=->， 此时()f x 无零点. ……………………………………………8分 综上，若e 04a <<，()f x 有两个不同的零点；若e =4a ，()f x 有唯一零点e ；若e e 4a <<，()f x 无零点.（3）证明：由（2）知，e 04a <<，且12e a x x <<<. 构造函数2e ()()()F xf x f x=-，(,e)x a ∈. ………………………………9分则()F x '=4232e e ()(ln 1)()(ln 1)x a x a x x x----- 43243e e (ln 1)x ax ax x x -+-=-. ……………………………………10分 令4324()e e g x x ax ax =-+-，(,e)x a ∈.因为当(,e)x a ∈时，22e 0x ax +->,22e 0x -<，所以43242222()e e =(e )(e )<0g x x ax ax x ax x =-+-+--又ln 1lne 10x -<-=，所以()0F x '>恒成立，即()F x 在(,)a e 单增.于是当e a x <<时，()(e)0F x F <=，即 2e ()()f x f x <. ………………11分 因为1(,e)x a ∈，所211e ()()f x f x <， 又12()()f x f x =，所以221e ()()f x f x <， 因为2e x >，221e e e ex >=，且()f x 在(e,)+∞单增， 所以由221e ()()f x f x <，可得221e x x <，即212e x x <. ………………………12分。
山东省烟台市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题(含答案解析)
山东省烟台市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习山东省烟台市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题（含答案解析）1 若复数z满足（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案解析】 B【分析】利用已知化简复数，可得在复平面内对应的点以及所在的象限．【详解】，则在复平面内对应的点位于第二象限故选：B【点睛】本题考查复数的运算，考查复数的定义，属于基础题．2 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面向上”，设事件B =“第二枚硬币正面向上”，则（）A. 事件A与B互为对立事件B. 件A与B为互斥事件C. 事件A与事件B相等D. 事件A与B相互独立【答案解析】 D【分析】事件发生与否与事件无关，事件发生与否与事件无关，从而事件与事件相互独立．【详解】解：抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面向上”，设事件“第二枚硬币正面向上”，事件发生与否与事件无关，事件发生与否与事件无关，事件与事件相互独立．故选：．【点睛】本题考查两个事件的相互关系的判断，考查互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．3 为了解疫情防控延迟开学期间全区中小学线上教学的主要开展形式，某课题组面向各学校开展了一次随机调查，并绘制得到如下统计图，则采用“直播＋录播”方式进行线上教学的学校占比约为（）A. 22.5%B. 27.5%C. 32.5%D. 37.5%【答案解析】 B【分析】根据统计图中直播和录播的学校数量，求出直播所占百分比，即可得出“直播＋录播”所占比例.【详解】由题意，设直播所占的百分比为，根据统计图可得：，解得，因此采用“直播＋录播”方式进行线上教学的学校占比约为.故选：B.【点睛】本题主要考查统计图的实际应用，属于基础题型.4 △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若△ABC的面积为，则C=（）A. B. C. D.【答案解析】 D【分析】由已知利用三角形的面积公式、余弦定理、同角三角函数基本关系式可得，结合范围，可得的值．【详解】由题意可得，可得，可得，由于，可得．故选：．【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式、余弦定理、同角三角函数基本关系式在解三角形中的综合应用，熟练掌握相关公式定理是解题的关键，属于基础题．5 在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则A. B.C. D.【答案解析】 A分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果. 详解：根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.6 某市从2017年秋季入学的高一学生起实施新高考改革，学生需要从物理、化学、生物、政治、历史、地理六门课中任选3门作为等级考科目.已知该市高中2017级全体学生中，81%选考物理或历史，39%选考物理，51%选考历史，则该市既选考物理又选考历史的学生数占全市学生总败的比例为（）A. 9%B. 19%C. 59%D. 69%【答案解析】 A【分析】画出示意图，根据各自所占的比例即可求解结论．【详解】解：；由题可得：；；；；故选：．【点睛】本题考查简单随机抽样等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．7 已知三条不重合的直线，，，三个不重合的平面，，，则（）A. 若，，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，，，则【答案解析】 C【分析】由空间中直线与直线，直线与平面的位置关系可判定A、B项；利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理，可证得C正确；由面面平行的判定定理，可判定D不正确.【详解】对于A中，若，，则或，所以A项不正确；对于B中，若，，，则或与相交，所以B项不正确；对于C中，设，在平面内任取一点，作，垂足分别为，由面面垂直的性质定理，可得，又因为，可得，所以C项正确；对于D中，若，，，，只有相交时，才有，所以D项不正确.故选：C.【点睛】本题主要考查了空间中线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记空间中的直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键，着重考查推理与论证能力，属于中档试题.8 人的眼皮单双是由遗传自父母的基因决定的，其中显性基因记作B，隐性基因记作b：成对的基因中，只要出现了显性基因，就一定是双眼皮（也就是说，“双眼皮”的充要条件是“基因对是BB，或”）.人的卷舌与平舌（指是否能左右卷起来）也是由一对基因对决定的.分别用D，d表示显性基因、隐性基因，基因对中只要出现了显性基因D，就一定是卷舌的.生物学上已经证明：控制不同性状的基因邀传时互不干扰.若有一对夫妻，两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是，不考虑基因突变，他们的孩子是单眼皮且卷舌的概率为（）A. B. C. D.【答案解析】 B【分析】两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是，不考虑基因突变，基本事件总数，利用列举法求出他们的孩子是单眼皮且卷舌包含的基本事件有3种情况，由此能求出他们的孩子是单眼皮且卷舌的概率．【详解】解：控制不同性状的基因遗传时互不干扰．有一对夫妻，两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是，不考虑基因突变，基本事件总数，他们的孩子是单眼皮且卷舌包含的基本事件有3种情况，分别为：，，，他们的孩子是单眼皮且卷舌的概率为．故选：．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．9 （多选题）下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（）A. 若复数，则B. 若复数满足，则C. 若复数满足，则D. 若复数，满足，则【答案解析】 AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A正确；B选项，设复数，则，因为，所，若，则；故B错；C选项，设复数，则，因为，所以，即，所以；故C正确；D选项，设复数，，则，因为，所以，若，能满足，但，故D错误.故选：AC.【点睛】本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.10 （多选题）给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（）A. 平均数为3B. 标准差为C. 众数为2和3D. 第85百分位数为4.5【答案解析】 AC【分析】根据平均数，方差、标准差的计算公式，可判定A、B项；由众数和百分位数的概念，可判定C、D，即可求解.【详解】由平均数的计算公式，可得数据的平均数为，所以A项正确；由方差的公式，可得，所以标准差为，所以B项不正确；根据众数的概念，可得数据的众数为和，所以C项正确；根据百分位数的概念，可得第85百分位数：从大到小排序的第8和第9个数据的平均数值，即为，所以D项不正确.故选：AC.【点睛】本题主要考查了平均数，标准差的计算，以及众数与百分位数的概念及应用，其中解答中熟记平均数和方差的计算公式，以及众数与百分位数的概念是解答的关键，属于基础题.11 （多选题）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P为线段B1C上一动点，则（）A. 直线平面B. 异面直线B1C与A1C1所成角为45°C. 三棱锥的体积为定值D. 平面与底面ABCD的交线平行于A1C1【答案解析】 ACD【分析】由直线与平面垂直的判定及性质得到，，得到直线平面，判定正确；求出异面直线所成角判断错误；由直线与平面平行说明到平面的距离为定值判断正确；由直线与平面平行的性质判断正确．【详解】，，，平面，则，同理，，直线平面，故正确；，，四边形为平行四边形，则，则为异面直线与所成角，为，故错误；，平面，平面，平面．可得到平面的距离为定值，即三棱锥的体积为定值，故正确；平面，平面，设平面与底面的交线为，由直线与平面平行的性质，可得平面与底面的交线平行于，故正确．故选：．【点睛】本题考查空间图形中直线与直线成角、线面平行的性质与判断，线面垂直的判断以及锥体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．12 （多选题）已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A =“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B =“抽取的两个小球标号之积大于8”，则（）A. 事件A发生的概率为B. 事件A∪B发生的概率为C. 事件A∩B发生的概率为D. 从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为【答案解析】 BC【分析】根据题意，分别列举出事件和事件所包含的基本事件，再逐项判断，即可得出结果. 【详解】由题意，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共包含个基本事件；“抽取的两个小球标号之和大于5”包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，共个基本事件；“抽取的两个小球标号之积大于8”包含的基本事件有：，，，，，，，，共个基本事件；即事件是事件的子事件；因此事件发生的概率为，故A错；事件包含的基本事件个数为个，所以事件发生的概率为；故B正确；事件包含基本事件个数为个，所以事件发生的概率为，故C正确；从甲罐中抽到标号为2的小球，包含的基本事件为：，，，，共个基本事件，故从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为，即D错误.故选：BC.【点睛】本题主要考查求古典概型的概率，考查求并事件和交事件的概率，属于基础题型.13 若向量，，且，则实数的值为________【答案解析】【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，求得实数的值．【详解】解：向量，，且，，则实数，故答案为：．【点睛】本题主要考查两个向量垂直的性质，属于基础题．14 某工厂有A、B、C三个车间，A车间有600人，B车间有500人.若通过比例分配的分层随机抽样方法得到一个样本量为30的样本，其中B车间10人，则样本中C车间的人数为________【答案解析】 8【分析】根据题意，先确定分层抽样的抽样比，求出样本中车间的人数，进而可求出车间的人数.【详解】因为车间有500人，样本中车间10人，所以抽样比为，因此车间抽取的人数为，所以样本中车间的人数为.故答案为：.【点睛】本题主要考查分层抽样，属于基础题型.15 已知某运动员每次投篮命中的概率为0.6，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：在R软件的控制平台，输入“sample（0：999，50，replace＝F）”，按回车键，得到0~999范围内的50个不重复的整数随机数，指定0，1，2，3，4，5表示命中，6，7，8，9表示未命中，再以每个随机整数（不足三位的整数，其百位或十位用0补齐）为一组，代表三次投篮的结果，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________【答案解析】 0.46【分析】利用列举法求出得到范围内的50个不重复的整数随机数中表示该运动员三次投篮恰有两次命中的随机数有23个，由此能求出该运动员三次投篮恰有两次命中的概率．【详解】解：按回车键，得到范围内的50个不重复的整数随机数，其中表示该运动员三次投篮恰有两次命中的随机数有23个，分别为：560，61，271，128，182，262，830，655，285，27，473，635，390，653，702，258，329，170，46，921，357，581，280，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为．故答案为：0.46．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．16 已知三棱锥P﹣ABC内接于半径为5的球，，，，则三棱锥P﹣ABC体积的最大值为________【答案解析】【分析】要使三棱锥的体积最大，则平面平面，且在底面上的射影为中点，利用已知条件求出三棱锥的高，再由棱锥体积公式求解即可．【详解】解：如图，在三角形中，由，，，得，要使三棱锥的体积最大，则平面平面，且在底面上的射影为中点，连接并延长，交三棱锥的外接球于，则为球的直径，设，则，解得（舍或．三棱锥的体积的最大值为．故答案为：．【点睛】本题考查三棱锥的体积的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，属于中档题.17 已知点，，.（1）若最小，求实数m的值：（2）若与夹角的余弦值为，求实数m的值.【答案解析】（1）；（2）或.【分析】（1）可得出，从而得出，从而可得出取最小值时的值；（2）根据题意即可得出，然后解出的值即可．【详解】解：（1）由题意，，于是，所以，所以的最小值为5，此时；（2）由，得，化简得，解得或.【点睛】本题考查了根据点的坐标求向量坐标的方法，根据向量坐标求向量长度的方法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．18 已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.（1）求的值：（2）若，，求△ABC外接圆的面积.【答案解析】（1）；（2）.【分析】（1）利用余弦定理将角化边，计算可得．（2）利用余弦定理求出，再根据同角三角函数的基本关系求出，利用正弦定理求出外接圆的半径，从而求出圆的面积．【详解】解：（1）因为，由余弦定理得，即，所以；（2）因为，，所以所以，所以，由正弦定理得，所以.【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理、余弦定理和面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19 为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.（1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.【答案解析】（1）派甲参赛获胜的概率更大；（2）.【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式分别求出甲赢得比赛的概率和乙赢得比赛的概率，由此得解．（2）设表示“甲赢得比赛”，表示“乙赢得比赛”，表示“两人中至少有一个赢得比赛”，，由此能求出两人中至少有一人赢得比赛的概率．【详解】解：（1）设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”，“乙在第一轮比赛中胜出”，“乙在第二轮比赛中胜出”，则“甲赢得比赛”，.“乙赢得比赛”，.因为，所以派甲参赛获胜的概率更大.（2）由（1）知，设“甲赢得比赛”，“乙贏得比赛”，则；.于是“两人中至少有一人赢得比赛”.【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．20 在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱AB，CP，AC的中点.（1）求证平面；（2）若面底而ABC，，为等边三角形，求二面角的大小.【答案解析】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）由，即可证明平面；（2）可得，，即可得是二面角的平面角，解三角形即可．【详解】解：（1）证明：因为，分别为，的中点，所以为的中位线，所以，而平面，平面，所以平面；（2）因为面面，面面，面，，所以平面，而，所以平面，所以，，所以是二面角的平面角．又为等边三角形，所以，又，所以．所以，二面角的大小为．【点睛】本题考查了空间线面平行的判定、二面角的求解，属于中档题．21 为了解某市家庭用电辑的情况，该市统计部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：kW·h），并将得到数据按如下方式分为9组：，，…，，绘制得到如下的频率分布直方图：（1）试估计抽查样本中用电量在的用户数量；（2）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使75%的居民缴费在第一档，20%的居民缴费在第二档，其余5%的居民缴费在第三档，试基于统计数据确定第二档月均用电量的范围（计算百分位数时，结果四舍五入取整数：范围用左开右闭区间表示）（3）为了解用户的具体用电需求，统计部门决定在样本中月均用电量为和的两组居民用户中随机抽取两户进行走访，求走访对象来自不同分组的概率.【答案解析】（1）26；（2）；（3）.【分析】（1）根据频率分布直方图，求出对应的频率，进而可得用户数量；（2）根据题意，分别求出和对应的用电量，进而可得出结果；（3）先由题意，得到样本中用电量在的用户有4户，设编号分别为1，2，3，4；在的用户有2户，设编号分别为，，根据列举法得出总的基本事件个数，以及满足条件的基本事件个数，基本事件个数比即为所求概率.【详解】（1）由直方图可得，样本落在，，，的频率分别为0.02，0.15，0.27，0.23，落在，，，的频率分别为0.09，0.06，0.04，0.01.因此，样本落在的频率为样本中用电量在的用户数为.（2）因为，，为了使的居民缴费在第一档，只需对应的用电量位于内，于是，又，所以对应的用电量为280.所以第二档的范围可确定为.（3）由题可知，样本中用电量在的用户有4户，设编号分别为1，2，3，4；在的用户有2户，设编号分别为，，则从6户中任取2户的样本空间为：，共有15个样本点.设事件“走访对象来自不同分组”，则，所以，从而.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的简单应用，考查求古典概型的概率，属于常考题型.22 如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，点P为底面圆周上异于A，B的点.（1）求证：平面；（2）若圆柱的侧面积为，体积为，点Q为线段上靠近点D的三等分点，是否存在一点P使得直线与平面所成角的正弦值最大？若存在，求出相应的正弦值，并指出点P的位置；若不存在，说明理由.【答案解析】（1）证明见解析；（2）存在；点P为两个半圆弧中点；正弦值为1. 【分析】（1）由题意，∠APB＝90°，即PB⊥PA，再由母线AD⊥底面圆O，得AD⊥PB，由直线与平面垂直的判定可得PB⊥平面PAD；（2）由已知求得圆柱底面半径为与母线长，在△PAD中，过A作AM⊥DP交DP于M，由（1）知PB⊥平面PAD，可得PB⊥AM，进一步得到AM⊥平面BDP．若M不与Q重合，∠AQM即为直线AQ与平面BDP所成角；若M与Q重合，且直线AQ与平面BDP所成角为90°，求得点P 为两个半圆弧AB中点．由此可得当点P为两个半圆弧AB中点时，直线AQ与平面BDP所成角最大为90°，正弦值最大为1．【详解】解：（1）证明：因为是圆O的直径，点P是圆周上一点，所以，即，又在圆柱中，母线底面，底面，所以，又，平面，平面，所以平面，（2）设圆柱底面半径为，母线为，则，解得，在中，过作交于点.由（1）知平面，因为平面，所以，又，所以平面.若与不重合，即为直线与平面所成的角.若与重合，直线与平面所成的角为，设，由对称性，不妨设，20则在中，，在中，，.于是当且仅当，即，时，等号成立.此时，，直线与平面所成的角为，正弦值为1，点为两个半圆弧的中点.【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了空间中直线与平面所成角的最值的求法，属于中档题．21。
2024-2025学年高二数学期末模拟卷(全解全析)(湘教版2019选修第一册)
2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．测试范围：湘教版2019选修第一册（数列、平面解析几何初步、圆锥曲线与方程、计数原理）。
4．难度系数：0.7。
第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直线1:10l x y -+=，2:210l x y --=，则过1l 和2l 的交点且与直线340x y +=垂直的直线方程为（）A ．4310x y -+=B ．3410x y -+=C ．4310x y --=D ．3410x y --=【答案】A【解析】由1:10l x y -+=，2:210l x --=，联立方程可得：23x y =⎧⎨=⎩又直线340x y +=的斜率为34-，所以所求的直线斜率为43，故直线方程为()4323y x -=-，即4310x y -+=.故选：A.2．已知实数x ，y 满足()()22233x y -+-=，则2y x -的最小值为（）A 1-B ．2--C ．3D ．1【答案】D【解析】由22(2)(3)3x y -+-=，则可设2(3x y θθθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩为参数，02π)θ≤<，故2341)1y x θθθθθϕ-=--=--+-，其中tan 2ϕ=-，当sin()1θϕ+=-时，2y x -取得最小值，最小值为1．故选：D ．3．已知点(2,1),(3,)A B m -，若[1]m ∈--，则直线AB 的倾斜角的取值范围为（）A ．π3π,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π3π0,,π34⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎢⎣⎦⎣⎭C ．π2π0,,π43⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．ππ3π,,π324⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【答案】B【解析】由题设11[32AB m k m +==+∈--，则直线AB 的倾斜角的取值范围为π3π0,,π34⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故选：B.4．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”.由此推算，在这5天中，织布超过1尺的天数共有（）A ．4天B ．3天C ．2天D ．1天【答案】C【解析】设这女子每天分别织布n a 尺，则数列{}n a 是等比数列，公比2q =．则51(12)512a -=-，解得1531a =．数列{}n a 的通项公式为111231n n n a a q --==⨯，210,31a =32031a =，当4n =时，则414540213131a -=⨯=>，当5n =时，则515580213131a -=⨯=>，故超过1尺的天数共有2天.故选：C ．5．一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数为（）A ．5760B ．5660C ．5642D ．5472【答案】D【解析】四书、五经必须分别排在一起，共有542542A A A 5760=种，若《大学》和《春秋》相邻，则不符合条件，共有342342A A A 288=种，则共有57602885472-=种．故选：D.6．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第n 行黑圈的个数为n a ，白圈的个数为n b ，则下列结论错误．．的是（）A ．48a =B ．513b =C ．12n n n a a b +=+D ．12n n nb a b +=-【答案】D【解析】已知n a 表示第n 行中的黑圈个数，设n b 表示第n 行中的白圈个数，则由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑圈，∴12n n n a a b +=+，1n n n b a b +=+，故正确，D 错误；又∵10a =，11b =，所以21a =，21b =，32113a =⨯+=，3112b =+=，42328a =⨯+=，4325b =+=，528521a =⨯+=，58513b =+=，故A 、B 正确.故选：D.7．设O 为坐标原点，12,F F 为椭圆22:196x yC +=的两个焦点，点P 在C 上，123cos 5F PF ∠=，则||OP =（）A ．135B ．2C ．145D ．2【答案】B【解析】方法一：设12π2,02F PF θθ∠=<<，所以122212tan tan 2PF F F PF S b b θ∠== ，由22212222cos sin 1tan 3cos cos 2cos +sin 1tan 5F PF θθθθθθθ--∠====+，解得：1tan 2θ=，由椭圆方程可知，222229,6,3a b c a b ===-=，所以，12121116222PF F p p S F F y y =⨯⨯=⨯=⨯ ，解得：23p y =，即2399162p x ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，因此OP =故选：B ．方法二：因为1226PF PF a +==①，222121212122PF PF PF PF F PF F F +-∠=，即2212126125PF PF PF PF +-=②，联立①②，解得：22121215,212PF PF PF PF =+=，而()1212PO PF PF =+ ，所以1212OP PO PF PF ==+ ，即12122PO PF PF =+= ．故选：B ．方法三：因为1226PF PF a +==①，222121212122cos PF PF PF PF F PF F F +-∠=，即2212126125PF PF PF PF +-=②，联立①②，解得：221221PF PF +=，由中线定理可知，()()222212122242OP F F PF PF +=+=，易知12F F=2OP =．故选：B ．8．如图，已知12,F F 是双曲线22:221x y C a b-=的左､右焦点，,P Q 为双曲线C 上两点，满足12F P F Q ∥，且2213F Q F P F P ==，则双曲线C 的离心率为（）A B C D【答案】D【解析】延长2QF 与双曲线交于点P '，因为12F P F P '∥，根据对称性可知12F P F P ='，设21F P F P t ='=，则223F P F Q t ==，可得2122F P F P t a -==，即t a =，所以44P Q t a ='=，则1225QF QF a a =+=，123F P F P a =='，即22211P Q F P QF ''+=，可知11290F P Q F PF ∠∠=='，在12P F F ' 中，由勾股定理得2222121F P F P F F ''+=，即()22234a a c =+，解得c e a =.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．现有4名男生和3名女生并坐一排，下列说法正确的是（）A ．男生必须排在一起的坐法有576种B ．女生互不相邻的坐法有1440种C ．男女生相间的坐法有72种D ．男生相邻、女生也相邻的坐法有288种【答案】ABD【解析】对于A ：由题意，可以把四名男生作为一个元素，和3名女生共有四个元素全排列，再排4个男生的内部顺序，共有4444A A 576=种结果，故A 正确；对于B ：由题意，可以先将男生全排列，再用插空法排女生，共有4345A A 1440=种结果，故B 正确；对于C ：男女生相间，则必定为男、女、男、女、男、女、男的顺序，故共有4343A A 144=种排法，故C 错误；对于D ：由题意，可以将四名男生作为一个元素，三名女生作为一个元素，两个元素的排列共有22A 种，再排他们内部的顺序，有4343A A 种结果，根据分步计数原理，共有432432A A A 288=种结果，故D 正确．故选：ABD.10．设拋物线2:4C y x =的焦点为F ，M 为C 上一动点，(3,1)E 为定点，则下列结论正确的是（）A ．准线l 的方程是2x =-B ．||||ME MF +的最小值为4C ．||||ME MF -的最大值为5D ．以线段MF 为直径的圆与y 轴相切【答案】BD【解析】由抛物线2:4C y x =，则其焦点为(1,0)F ，准线为1x =-，A 错，如下图示，其中MA ⊥准线于A ，则||||MF MA =，故||||||||ME MF ME MA +=+，当且仅当,,E M A 共线时||||ME MF +最小，为E 到准线距离4，B 对；由||||||||||||ME MF EF ME MF -≤=⇒≤-≤，当且仅当,,E F M，C 错；由2(,)4M M y M y ，则MF 中点坐标为24(,)82M M y y +，而2||14M y MF =+，故24||28M y MF +=，所以，以线段MF 为直径的圆与y 轴相切，D 对.故选：BD.11．下列说法正确的是（）A ．不经过原点的直线都可以表示为1x y a b+=B ．若直线与两坐标轴交点分别为A 、B ，且AB 的中点为()4,1，则直线l 的方程为182x y+=C ．过点()1,1且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程为y x =或2x y +=D ．直线324x y -=的截距式方程为1423+=-x y 【答案】BCD【解析】对于A ，与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示，故A 选项错；对于B ，AB 的中点为()4,1，则有()()8,0,0,2A B ，则直线l 的方程为182x y+=，故B 选项对；对于C ，直线过点()1,1且过原点时，直线为y x =，直线过点()1,1且不过原点时，直线为2x y +=，故C 选项对；对于D ，方程324x y -=可化为1423+=-x y ，为直线的截距式方程，故D 选项对．故选：BCD.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
烟台市2020年高二第二学期数学期末考试试题含解析
烟台市2020年高二第二学期数学期末考试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i 是虚数单位，条件:p 复数()1,a bi a b R -+∈是纯虚数，条件:1q a =，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】复数1a bi -+是纯虚数，必有1,0a b ，=≠利用充分条件与必要条件的定义可得结果. 【详解】若复数1a bi -+是纯虚数，必有1,0a b ，=≠所以由p 能推出q ； 但若1a =,不能推出复数1a bi -+是纯虚数. 所以由q 不能推出p .， 因此p 是q 充分不必要条件,故选A. 【点睛】本题主要考查复数的基本概念以及充分条件与必要条件的定义，属于简单题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.2．已知经过(A ，40B （，）两点的直线AB 与直线l 垂直，则直线l 的倾斜角是（） A ．30° B ．60°C ．120°D ．150°【答案】B 【解析】 【分析】首先求直线AB 的斜率，再根据两直线垂直，求直线l 的斜率，以及倾斜角. 【详解】AB k == AB l ⊥，l k ∴=，∴直线l 的倾斜角是60.故选B.本题考查了两直线垂直的关系，以及倾斜角和斜率的基本问题，属于简单题型.3．《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（176两），问玉、石重各几何?”其意思：“宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两?”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x ，y 分别为（ ）A ．96,80B ．100,76C ．98,78D ．94,82【答案】C 【解析】 【分析】流程图的作用是求出112776x y +=的一个解，其中90,86x y ≥≤且x 为偶数，逐个计算可得输出值. 【详解】执行程序：90,86,27;92,84,27;94,82,27;96x y s x y s x y s x ==≠==≠==≠=，80,27;98y s x =≠=，78,27y s ==，故输出的,x y 分别为98,78.故选C.【点睛】本题考查算法中的循环结构、选择结构，读懂流程图的作用是关键，此类题是基础题. 4．已知函数()()1,0(1)1,0ln x m x f x m ax b x ⎧++≥=<-⎨-+<⎩，对于任意s R ∈，且0s ≠，均存在唯一实数t ，使得()()f s f t =，且s t ≠，若关于x 的方程()2m f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭有4个不相等的实数根，则a 的取值范围是（）A ．()4,2--B ．()1,0-C ．()2,1--D ．()()4,11,0--⋃-【解析】 【详解】解：由题意可知f （x ）在[0，+∞）上单调递增， 值域为[m ，+∞），∵对于任意s ∈R ，且s ≠0，均存在唯一实数t ， 使得f （s ）＝f （t ），且s ≠t ，∴f （x ）在（﹣∞，0）上是减函数，值域为（m ，+∞）， ∴a ＜0，且﹣b+1＝m ，即b ＝1﹣m ． ∵|f （x ）|＝f （2m）有4个不相等的实数根， ∴0＜f （2m）＜﹣m ，又m ＜﹣1， ∴02am -＜＜m ，即0＜（2a+1）m ＜﹣m ， ∴﹣4＜a ＜﹣2，∴则a 的取值范围是（﹣4，﹣2）， 故选A ．点睛：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题， （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 5．已知随机变量8ξη+=，若()10,0.4B ξ，则()(),E D ηη分别是（ ）A ．6和5.6B ．4和2.4C ．6和2.4D ．4和5.6【答案】B 【解析】分析：根据变量ξ～B （10，0.4）可以根据公式做出这组变量的均值与方差，随机变量η=8﹣ξ，知道变量η也符合二项分布，故可得结论． 详解：∵ξ～B （10，0.4），∴Eξ=10×0.4=4，Dξ=10×0.4×0.6=2.4， ∵η=8﹣ξ，∴Eη=E （8﹣ξ）=4，Dη=D （8﹣ξ）=2.4 故选：B ．点睛：本题考查变量的均值与方差，均值反映数据的平均水平，而方差反映数据的波动大小，属于基础题．方差能够说明数据的离散程度，期望说明数据的平均值，从选手发挥稳定的角度来说，应该选择方差小的.6．已知函数()21,1254,12xx f x x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-+->⎪⎩，若函数()()g x f x mx m =--的图象与x 轴的交点个数不少于2个，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(]1,2ln2,64⎡-∞-⋃⎢⎣ B．1,64⎡⎢⎣C ．(]1,2ln2,64e ⎡-∞-⋃-⎢⎣ D．1,64⎡+⎢⎣【答案】C 【解析】分析：根据()()g x f x mx m =--的图象与x 轴的交点个数不少于2个，可得函数()f x 的图象与y mx m =+的交点个数不少于2个，在同一坐标系中画出两个函数图象，结合图象即可得到m 的取值范围.详解：()()g x f x mx m =--的图象与x 轴的交点个数不少于2个，∴函数()y f x =的图象与函数y mx m =+的图象的交点个数不少于2个，函数()21,1254,12xx f x x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-+->⎪⎩，∴1x ≤时，函数()f x 为指数函数，过点(0,1)，1(1,)2A1x >时，函数23()(2)2f x x =--+，为对称轴2x =，开口向下的二次函数.(1)y mx m m x =+=+，∴y mx m =+为过定点(1,0)-的一条直线.在同一坐标系中，画出两函数图象，如图所示. （1）当0m ≥时，①当y mx m =+过点1(1,)2A 时，两函数图象有两个交点，将点1(1,)2A 代入直线方程12m m =+，解得14m =.②当y mx m =+与25()42f x x x =-+-相切时，两函数图象有两个交点.联立2542y mx my x x =+⎧⎪⎨=-+-⎪⎩，整理得25(4)()02x m x m +-++= 则25(4)4()02m m ∆=--+=，解得630m =+，630m =-（舍） 如图当1[,630]4m ∈+，两函数图象的交点个数不少于2个. （2）当0m <时，易得直线y mx m =+与函数25()4(1)2f x x x x =-+->必有一个交点 如图当直线y mx m =+与1()(1)2xf x x ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭相切时有另一个交点 设切点为1(,())2tt ，1'()ln 2()2x f x =-⋅，∴切线的斜率1'()ln 2()2t k f t ==-⋅， 切线方程为11ln 2()()22tty x t ⎛⎫-=-⋅- ⎪⎝⎭切线与直线y mx m =+重合，即点(1,0)-在切线上.∴110ln 2(1)221ln 22t ttt m ⎧⎛⎫⎛⎫-=---⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得21log 2ln 2t e m e =--⎧⎨=-⎩ 由图可知，当(,2ln 2]m e ∈-∞-,两函数图象的交点个数不少于2个. 综上，实数m 的取值范围是1(,2ln 2][,630]4e -∞-⋃+ 故选C.点睛：本题考查函数零点问题，考查数形结合思想、转化思想及分类讨论的思想，具有一定的难度. 利用函数零点的情况，求参数值或取值范围的方法（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解 （2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 7．已知函数，，则其导函数的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】试题分析：()()222sin cos 2cos 2sin 2cos f x x x x x x x x x x '=⋅+⋅+-⋅=+，()f x '为偶函数，当()0f x '=且()2,2x ππ∈-时，2x π=±或32x π=±，所以选择C 。
2019-2020年高二下学期期末数学试卷(理科) 含解析
2019-2020年高二下学期期末数学试卷（理科）含解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]2．已知复数=i，则实数a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．23．将点M的极坐标（4，）化成直角坐标为（）A．（2，2）B．C．D．（﹣2，2）4．在同一平面的直角坐标系中，直线x﹣2y=2经过伸缩变换后，得到的直线方程为（）A．2x′+y′=4 B．2x′﹣y′=4 C．x′+2y′=4 D．x′﹣2y′=45．如图，曲线f（x）=x2和g（x）=2x围成几何图形的面积是（）A．B．C．D．46．10件产品中有3件次品，不放回的抽取2件，每次抽1件，在已知第1次抽出的是次品的条件下，第2次抽到仍为次品的概率为（）A．B．C．D．7．下列说法中，正确说法的个数是（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}．A．0 B．1 C．2 D．38．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）9．在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（）A． B．C．D．10．函数f（x）=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．[2，+∞）11．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布X～N（2，σ2），P（X＞4）=0.3，则P（X＜0）的值为．14．若函数f（x）=x2﹣alnx在x=1处取极值，则a=．15．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第10行中第2个数是．16．在平面直角坐标系xOy中，直线1与曲线y=x2（x＞0）和y=x3（x＞0）均相切，切点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ为参数），直线l过点（0，2）且倾斜角为．（Ⅰ）求圆C的普通方程及直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆C交于A，B两点，求弦|AB|的长．18．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M的直角坐标为（1，2），直线l与曲线C 的交点为A、B，求|MA|•|MB|的值．19．生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100）元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数，求随机变量X的分布列和数学期望．20．设函数f（x）=x3﹣+6x．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．21．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82822．已知函数f（x）=﹣alnx+1（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m||恒成立，求m的最小值．2015-2016学年吉林省东北师大附中净月校区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]【考点】交集及其运算．【分析】先化简集合A，解绝对值不等式可求出集合A，然后根据交集的定义求出A∩B即可．【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}∴A∩B={x|﹣2≤x≤2}∩{x|x≤1，x∈R}={x|﹣2≤x≤1}故选D．2．已知复数=i，则实数a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，再根据复数相等的充要条件列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：===i，则，解得：a=1．故选：C．3．将点M的极坐标（4，）化成直角坐标为（）A．（2，2）B．C．D．（﹣2，2）【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出直角坐标．【解答】解：点M的极坐标（4，）化成直角坐标为，即．故选：B．4．在同一平面的直角坐标系中，直线x﹣2y=2经过伸缩变换后，得到的直线方程为（）A．2x′+y′=4 B．2x′﹣y′=4 C．x′+2y′=4 D．x′﹣2y′=4【考点】伸缩变换．【分析】把伸缩变换的式子变为用x′，y′表示x，y，再代入原方程即可求出．【解答】解：由得，代入直线x﹣2y=2得，即2x′﹣y′=4．故选B．5．如图，曲线f（x）=x2和g（x）=2x围成几何图形的面积是（）A．B．C．D．4【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】利用积分的几何意义即可得到结论．【解答】解：由题意，S===4﹣=，故选：C．6．10件产品中有3件次品，不放回的抽取2件，每次抽1件，在已知第1次抽出的是次品的条件下，第2次抽到仍为次品的概率为（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【分析】根据题意，易得在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品，由概率计算公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品；则第二次抽到次品的概率为故选：C．7．下列说法中，正确说法的个数是（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据逆否命题的定义进行判断②根据充分条件和必要条件的定义进行判断，③根据集合关系进行判断．【解答】解：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”正确，故①正确，②由|x|＞1得x＞1或x＜﹣1，则“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；故②正确，③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，当a=0时，B=∅，也满足B⊆A，当a≠0时，B={}，由=1，得a=1，则实数a的所有可能取值构成的集合为{0，1}．故③错误，故正确的是①②，故选：C8．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率，若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，由相互独立事件的概率计算可得答案．【解答】解：根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率；若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，则P（ε=3）=（）2×（）；故选C．9．在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（）A． B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数，由此能求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．【解答】解：∵在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，基本事件总数n==120，取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数m==22，∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率p===．故选：C．10．函数f（x）=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．[2，+∞）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用在切点处的导数值是切线的斜率，令f′（x）=2有解；利用有解问题即求函数的值域问题，求出值域即a的范围．【解答】解：f′（x）=﹣e﹣x+a据题意知﹣e﹣x+a=2有解即a=e﹣x+2有解∵e﹣x+2＞2∴a＞2故选C11．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．【考点】抽象函数及其应用．【分析】先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除A、D两个选项，再看此函数的最值情况，即可作出正确的判断．【解答】解：由于f（x）=e sinx，∴f（﹣x）=e sin（﹣x）=e﹣sinx∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），故此函数是非奇非偶函数，排除A，D；又当x=时，y=e sinx取得最大值，排除B；故选：C．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，一方面0＜1+ln（x2﹣m）≤，．利用lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．可得1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，可得m≥x﹣e x﹣e，利用导数求其最大值即可得出．【解答】解：当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，∴0＜1+ln（x2﹣m）≤，∴．∵lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．∴1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，化为m≥x﹣e x﹣e，x＞m+．令f（x）=x﹣e x﹣e，则f′（x）=1﹣e x﹣e，可得x=e时，f（x）取得最大值．∴m≥e﹣1．故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布X～N（2，σ2），P（X＞4）=0.3，则P（X＜0）的值为0.3．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P （X＜0）．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，o2），∴正态曲线的对称轴是x=2∵P（X＞4）=0.3，∴P（X＜0）=P（X＞4）=0.3．故答案为：0.3．14．若函数f（x）=x2﹣alnx在x=1处取极值，则a=2．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，得到f′（1）=0，得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：∵f（x）=x2﹣alnx，x＞0，∴f′（x）=2x﹣=，若函数f（x）在x=1处取极值，则f′（1）=2﹣a=0，解得：a=2，经检验，a=2符合题意，故答案为：2．15．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第10行中第2个数是46．【考点】归纳推理．【分析】由三角形阵可知，上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ，利用累加法可求．【解答】解：设第一行的第二个数为a 1=1，由此可得上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ，即a 2﹣a 1=1，a 3﹣a 2=2，a 4﹣a 3=3，…a n ﹣1﹣a n ﹣2=n ﹣2，a n ﹣a n ﹣1=n ﹣1， ∴a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 4﹣a 3）+（a 3﹣a 2）+（a 2﹣a 1）+a 1 =（n ﹣1）+（n ﹣2）+…+3+2+1+1 =+1=，∴a 10==46．故答案为：46．16．在平面直角坐标系xOy 中，直线1与曲线y=x 2（x ＞0）和y=x 3（x ＞0）均相切，切点分别为A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），则的值为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出导数得出切线方程，即可得出结论．【解答】解：由y=x 2，得y ′=2x ，切线方程为y ﹣x 12=2x 1（x ﹣x 1），即y=2x 1x ﹣x 12， 由y=x 3，得y ′=3x 2，切线方程为y ﹣x 23=3x 22（x ﹣x 2），即y=3x 22x ﹣2x 23， ∴2x 1=3x 22，x 12=2x 23， 两式相除，可得=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 17．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为（φ为参数），直线l 过点（0，2）且倾斜角为．（Ⅰ）求圆C 的普通方程及直线l 的参数方程；（Ⅱ）设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦|AB |的长． 【考点】参数方程化成普通方程． 【分析】（Ⅰ）圆C 的参数方程为（φ为参数），利用cos 2φ+sin 2φ=1消去参数可得圆C 的普通方程．由题意可得：直线l 的参数方程为．（Ⅱ）依题意，直线l的直角坐标方程为，圆心C到直线l的距离d，利用|AB|=2即可得出．【解答】解：（Ⅰ）圆C的参数方程为（φ为参数），消去参数可得：圆C的普通方程为x2+y2=4．由题意可得：直线l的参数方程为．（Ⅱ）依题意，直线l的直角坐标方程为，圆心C到直线l的距离，∴|AB|=2=2．18．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M的直角坐标为（1，2），直线l与曲线C 的交点为A、B，求|MA|•|MB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程．曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2，可得ρ2+（ρsinθ）2=2，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．（Ⅱ）把代入椭圆方程中，整理得，设A，B对应的参数分别为t1，t2，由t得几何意义可知|MA||MB|=|t1t2|．【解答】解：（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程：l：x﹣y+1=0．曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2，可得ρ2+（ρsinθ）2=2，可得直角坐标方程：x2+y2+y2=2，即．（Ⅱ）把代入中，整理得，设A，B对应的参数分别为t1，t2，∴，由t得几何意义可知，．19．生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100）元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用等可能事件概率计算公式能求出元件甲，乙为正品的概率．（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）元件甲为正品的概率约为：，元件乙为正品的概率约为：．（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，，，，所以随机变量X的分布列为：X 0 1 2P所以：．20．设函数f（x）=x3﹣+6x．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为在区间[1，4]上恒成立，令，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为R，当a=1时，f（x）=x3﹣x2+6x，f′（x）=3（x﹣1）（x﹣2），当x＜1时，f′（x）＞0；当1＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞），单调减区间为（1，2）．（Ⅱ）即在区间[1，4]上恒成立，令，故当时，g（x）单调递减，当时，g（x）单调递增，时，∴，即．21．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数401555女性驾驶员人数202545合计6040100（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．求出Χ2，即可判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率，X可取值是0，1，2，3，，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（Ⅰ）平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数40 15 55女性驾驶员人数20 25 45合计60 40 100因为，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关．…（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率为．X可取值是0，1，2，3，，有：，，，，分布列为X 0 1 2 3P．…22．已知函数f（x）=﹣alnx+1（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m||恒成立，求m的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为a≤x2，求出a的范围即可；（2）问题可化为，设，求出函数的导数，问题等价于m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，求出m的最小值即可．【解答】解：（1）∵在[1，2]上是增函数，∴恒成立，…所以a≤x2…只需a≤（x2）min=1…（2）因为﹣2≤a＜0，由（1）知，函数f（x）在[1，2]上单调递增，…不妨设1≤x1≤x2≤2，则，可化为，设，则h（x1）≥h（x2）．所以h（x）为[1，2]上的减函数，即在[1，2]上恒成立，等价于m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，…设g（x）=x3﹣ax，所以m≥g（x）max，因﹣2≤a＜0，所以g'（x）=3x2﹣a＞0，所以函数g（x）在[1，2]上是增函数，所以g（x）max=g（2）=8﹣2a≤12（当且仅当a=﹣2时等号成立）．所以m≥12．即m的最小值为12．…2016年10月17日。
山东省烟台市2019-2020年初四数学第一学期期中考试试题及答案
山东省烟台市2019-2020年初四数学第一学期期中考试试题及答案（第一部分：基础演练，满分120分）一、选择题（3′×12=36′）1、 在Rt △ABC 中，∠C=90°，则下列式子成立的是（ ） A. sinA=sinB B ．cosA=cosB C ．sinA=cosB D ． tantanB2、函数21=1x y x +-的自变量x 的取值范围是（ ） A. x >-1且x ≠1 B. x ≥-1且x ≠1 C. x =±1 D. 全体实数3、如图，已知△ABC 的三个顶点均在格点上，则cosA 的值为（ ）A. 33 B ． 55 C ． 233 D ．2554、下列斜坡最陡的是（ ）A. 斜坡AB 的坡比为1:3 B ．斜坡CD 的倾斜角为45° C ．斜坡EF 的坡度为21 D ．斜坡GH 的坡角为α，tan 43=α 5、若二次函数x mx y m-=-22在其图象对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，则m 的值是（ ）A. m <0B. m=±2C. m=2D. m= -2 6、在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，且sinA=21，cosB=23，则△ABC 是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．非等腰锐角三角形 7、利用计算器求值时，按键顺序为的显示结果记为m ，的显示结果记为n ，则m ，n 的大小关系为（ ）A. m<n B ． m>n C ． m=n D ．不能比较8、下列各图象中，有可能是函数y =ax 2+a （a ≠0 ）的图象是（ ）9、为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB 高度是3m ，从侧面D 点测得显示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是60°和45°．则显示牌BC 的高度为（ ） A.()33-1m B ．()3+3m C ．()33-3m D ．()3-3m10、由二次函数y=（x -2）2-4的图象可以看出，当0≤x ≤3时，y 的取值范围是（ ） A. y ≤0或y ≥-3 B ．-3≤y ≤0 C ．-4≤y ≤-3 D ．．-4≤y ≤0经市场调查，每件服装每降价2元，每天可多卖出1件.在确保盈利的前提下，若设每件服装降价x 元，每天售出服装的利润为y 元，则y 与x 的函数关系为（ ）A. ()60125010212≤++-=x x x y B ．()60<<0120010-212x x x y +-=C ． ()60<<0125010-212x x x y +-=D ．()60<<0120010212x x x y ++-=12、如图，已知顶点为（-3，-6）的抛物线y =ax 2+bx+c 经过点（-1，-4），则下列结论中错误的是（ ） A. b 2>4acB. ax 2+bx+c ≥-6C. 若点（-2，m ），（-5，n ） 在抛物线上，则m >nD. 关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c =-4的两根为-5和-1二、填空题（3分×6=18分） 13、20011sin 60cos302sin 45tan 6043-+-+= .14、已知抛物线y =ax 2+bx+c 过（3，-7），（-5，-7）两点，那么该抛物线的对称轴是直线 . 15、将抛物线y =（x -1）2-3向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的表达式为 .16、二次函数y =ax 2+bx+c 的y 与x 的部分对应值如表所示：下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x=2；③当0＜x ＜4时，y>0；④抛物线与x 轴的两个交点间的距离是4； ⑤若A （x1，2），B （x2，3）是抛物线上两点，则x1<x2．其中正确结论的序号是 17、如图，国庆节期间，小明一家自驾到某景区C 游玩，到达A 地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶8千米至B 地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达景区C ，小明发现景区C 恰好在A 地的正北方向，则B ，C 两地的距离为 千米. 18、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=10cm ，BC=12cm ，动点M 从点A 开始沿边AC 以1cm/s 的速度移动（不与点C 重合），动点N 从点C 开始沿边CB 以2cm/s 的速度移动（不与点B 重合）,如果点M 、N 同时出发，经过 秒后，四边形ABNM 的面积最小. 三、解答题19、（4分）计算：tan 60sin 60cos3n 02si 45-︒︒⋅︒︒20、（6分）已知二次函数y =2x 2+4x .（1）用配方法求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴；（2）画出这个函数的大致图象（草图），指出函数值不小于0时，x 的取值范围. x -1 0 2 3 4y 5 0 -4 -3 021.（8分）如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE 的长（结果保留根号）．22、（8分）如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们西北方向距离6海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间.23、（8分）如图，在小山的东侧A庄有一热气球，由于受西风影响，以每分钟35米的速度沿着与水平方向成75°的方向飞行，40分钟时到达C处，此时气球上的人发现气球与山顶P 点及小山西侧的B庄在一条直线上，同时测后得B庄的俯角为30°，又在A庄测得山顶P的仰角为45°，求A庄与B庄的距离及山高.24、（10分）如图，二次函数的图象顶点为A（2，2）且经过坐标原点O，并与x轴交于点B.（1）求二次函数的表达式；（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标.25、（10分）福山振华商厦购进一批进价为20/件的日用商品，第一个月，按进价提高50％的价格出售，售出400件；第二个月，商厦准备在不低于原售价的基础上再进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少.若销售量y（件）与销售单价x（元）的关系如图所示.（1）销售单价每提高1元时，销售量相应减少件；（2）请直接写出y与x之间的函数表达式：；（3）求第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？26、（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-5与y轴交于点A，与x轴交于点B（-5，0）和点C（1，0），过点A作AD∥x轴交抛物线于点D.（1）求此抛物线的解析式；（2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；（3）若点P是直线AB下方抛物线上与动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积.2019-2020学年度第一学期期中学业水平考试初四数学试题参考答案及评分建议(如有错误请组长及时更正)一、选择题（每小题3分，满分36分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CADBDBBACDDC二、填空题（每小题3分，满分18分）13．1 14． x= －1 15． y =(x −4)2－1 16．①②④ 17．46 18.．5 三、解答题（共8道题，满分66分） 19.计算（满分4分） 原式233322222=⨯()-⨯… 33324=⨯-…3338=-538=-.……………4分 20.（满分6分）解：（1）y= -2x2+4x=-2(x2-2x+1)+2=-2(x-1)2+2，…………2分 这个二次函数图象的顶点坐标为（1，2），……………3分 对称轴为直线x=1．……………………4分 （2）图象如右图：………………5分 函数值不小于0时，0≤x≤2．………6分 21.（满分8分）解：过点A 作AH ⊥CD ，垂足为H ，………1分由题意可知四边形ABDH 为矩形，∠CAH =30°，∴AB =DH =1.5，BD =AH =6，在Rt △ACH 中，tan ∠CAH =CHAH，∴CH =AH •tan ∠CAH ， ∴CH =AH •tan ∠CAH =6tan 30°=6×3233=（米）. ………………3分 ∵DH =1.5，∴CD =32+1.5， ……………5分在Rt △CDE 中， ∵∠CED =60°，sin ∠CED =CECD ，∴CE =）（34235.13260sin +=+=CD 米………7分∴拉线CE 的长为）（34+米.……………………8分22. （满分8分）设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x 小时.……………1分 由题意得：∠ABC =45°+75°=120°，AB =6，BC =10x ，AC =14x . 过点A 作AD ⊥CB 交其延长线于点D . 在Rt △ABD 中，AB =6，∠ABD =60°. ∴BD =AB cos60°=3AD =AB sin60°=4分 ∴CD =10x +3.在Rt △ACD 中，由勾股定理得：(14x )2=(10x +3)2+(2，…………………………………6分 解得x 1=1，x 2=38-（不合题意，舍去）………………………7分 答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为1小时. …………………8分23.（满分8分）解：如图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，.…………1分 在Rt △ACD 中，∠ACD ＝75°﹣30°＝45°， ∵AC ＝35×40＝1400（米）， ∴AD ＝AC•sin45°＝2700（米）．.…………3分 在Rt △ABD 中， ∵∠B ＝30°，∴AB ＝2AD ＝21400（米）．.…………………4分 又过点P 作PH ⊥AB ，垂足为H ， .……………………5分 设PH= x ，在Rt △APH 中 ∵∠BAP ＝45°，∴AH ＝PH•tan45°＝PH= x 在Rt △BPH 中 ∵∠B ＝30°，∴BH ＝xPH330tan =……………………6分∵AB ＝BH+AH ， ∴x x +=321400∴PH=27006700-=x (米） ………………………7分答：A 庄与B 庄的距离为21400米，山高为（27006700-）米。
山东省烟台市2019-2020学年高二下学期数学期中考试试卷
山东省烟台市2019-2020学年高二下学期数学期中考试试卷一、单选题1.（2020高二下·烟台期中）已知i为虚数单位，若复数z满足z+i3+2i=1−i，则z̅的虚部为（）A. −2i B. -2 C. 2i D. 2【答案】 D【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】设z=x+yi(x∈R,y∈R)，z+i3+2i=1−i⇒x+yi+i=(1−i)(3+2i)⇒x+(y+1)i=5−i，∴{x=5y+1=−1，解得{x=5y=−2，所以z=5−2i，即z̅=5+2i.故答案为：D【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念求得z得答案．2.（2020高二下·烟台期中）3位女生和2位男生站成一排照相，其中男生不能站在一起的排法种数为（）A. 72B. 60C. 36D. 3【答案】A【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】先排3位女生，再把2位男生插入空档中，因此排法种数A33A42=72．故答案为：A．【分析】根据题意，分2步进行分析：①将3为女生全排列，②3为女生排好后，有4个空位，在其中任选2个，安排两个男生，由分步计数原理计算可得答案．3.（2020高二下·烟台期中）某教育局安排4名骨干教师分别到3所农村学校支教，若每所学校至少安排1名教师，且每名教师只能去所学校，则不同安排方案有（）A. 6种B. 24种C. 36种D. 72种【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】由题意，先从4名骨干教师任取2名共有C42种取法，所以不同安排方案有：C42A33=6×3×2×1=36.故答案为：C【分析】根据题意，分2步进行分析：①在4位教师中任选2个，安排到其中1所农村学校，②将剩下的2位教师安排到其他两个农村学校，由分步计数原理计算可得答案．)6的展开式中x3项的系数是240，则实数m的值是（）4.（2020高二下·烟台期中）若(mx√xA. 2B. √2C. ±2D. ±√2【答案】 D【考点】二项式定理)6的通项公式为：【解析】【解答】二项式(mx√xT r+1=C6r⋅(mx)6−r⋅)r=C6r⋅m6−r⋅(−2)r⋅x6−32r，√x)6的展开式中x3项的系数是240，因为(mx√xr=3时，有C6r⋅m6−r⋅(−2)r=240成立，所以当6−32解得r=2，因此有C62⋅m6−2⋅(−2)2=240⇒m=±√2.故答案为：D)6的展开式的通项，令x的系数为3，解可得r的值，结合展开式【分析】由二项式定理可得(mx−√x中x3的系数即可得关于m的方程，解可得m的值，即可得答案．5.（2020高二下·烟台期中）甲、乙两队进行篮球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队不超过4场即获胜的概率是（）A. 0.18B. 0.21C. 0.39D. 0.42【答案】C【考点】相互独立事件的概率乘法公式【解析】【解答】解：甲、乙两队进行排球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以3:1获胜的概率是：P1=0.6×0.6×(1−0.5)×0.5+0.6×(1−0.6)×0.5×0.5+(1−0.6)×0.6×0.5×0.5=0.21．甲队以3:0获胜的概率是：P2=0.6×0.6×0.5=0.18则甲队不超过4场即获胜的概率P=P1+P2=0.21+0.18=0.39故答案为：C【分析】甲队不超过4场即获胜包含的情况有2种：①甲连胜3场，②前三场甲两胜一负，第四场甲胜，由此利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式能求出甲队不超过4场即获胜的概率．6.（2020高二下·烟台期中）已知随机变量X~N(0.4,δ12)，Y~N(0.8,δ22)，其正态分布曲线如图所示，则下列说法错误的是（）A. P(X≥0.4)=P(Y≥0.8)B. P(X≥0)=P(Y≥0)C. X的取值比Y的取值更集中于平均值左右D. 两支密度曲线与x轴之间的面积均为1【答案】B【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【解析】【解答】∵P(X≥0.4)=12，P(Y≥0.8)=12∴P(X≥0.4)=P(Y≥0.8),所以A符合题意；由图可得P(X≥0)>P(Y≥0)，所以B不符合题意；由图可得曲线X在均值0.4附近图象比曲线Y在均值0.8附近图象更陡，所以X的取值比Y的取值更集中于平均值左右，即C符合题意；两支密度曲线与x轴之间的面积都等于所有概率和，即均为1，所以D符合题意；故答案为：B【分析】对于正态分布，σ的值反映了数据的集中程度，σ越小，说明数据越向x=μ集中，否则越分散．由此进行分析、判断．7.（2020高二下·烟台期中）根据环境空气质量监测资料表明，某地一天的空气质量为轻度污染的概率是0.25，连续两天为轻度污染的概率是0.1，则此地在某天的空气质量为轻度污染的条件下，随后一天的空气质量也为轻度污染的概率是（）A. 0.4B. 0.25C. 0.1D. 0.05【答案】A【考点】条件概率与独立事件【解析】【解答】令事件A：一天的空气质量为轻度污染，事件B：随后一天的空气质量也为轻度污染，由题知：P(A)=0.25，P(AB)=0.1.所以P(B|A)=P(AB)P(A)=0.10.25=0.4.故答案为：A【分析】利用相互独立事件概率乘法公式能求出此地在某天的空气质量为轻度污染的条件下，随后一天的空气质量也为轻度污染的概率．8.（2020高二下·吉林月考）设X~B(4,p)，其中12<p<1，且P(X=2)=827，则P(X=3)=（）A. 881B. 1681C. 827D. 3281【答案】 D【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型【解析】【解答】∵X~B(4,p)∴P(X=2)=C42p2(1−p)2=827∴p2(1−p)2=481∵12<p<1∴p(1−p)=29∴p=23P(X=3)=C43p3(1−p)1=4×(23)3×13=3281故答案为：D【分析】根据二项分布概率公式化简P(X=2)=827求得p，再根据二项分布概率公式求结果.二、多选题9.（2020高二下·烟台期中）下列叙述正确的是（）A. 相关关系是一种确定性关系，一般可分为正相关和负相关B. 回归直线一定过样本点的中心(x̅,y̅)C. 在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好D. 某同学研究卖出的热饮杯数y与气温x（℃）时，一定可卖出142杯热饮【答案】B,C【考点】变量间的相关关系，线性回归方程【解析】【解答】相关关系不是确定性关系，当两个变量线性相关时，一般可分为正相关和负相关，所以A不正确；回归直线一定过样本点的中心(x̅,y̅)，所以B是正确的；在回归分析中，相关系数越大，两个变量的相关性越强，所以R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好，所以C符合题意；某同学研究卖出的热饮杯数y与气温x（℃）时，预测可卖出142杯热饮，而不是一定卖出142杯热饮，所以D不正确故答案为：BC.【分析】利用回归直线中的相关关系，样本中心点，曲线拟合的知识．10.（2020高二下·烟台期中）某课外兴趣小组通过随机调查，利用2×2残联表和K2统计量研究数学成绩优秀是否与性别有关.计算得K2=6.748，经查阅临界值表知P(K2≥6.635)=0.010，则下列判断正确的是（）A. 每100个数学成绩优秀的人当中就会有1名是女生B. 若某人数学成绩优秀，那么他为男生的概率是0.010C. 有99%的把握认为“数学成绩优秀与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”【答案】C,D【考点】两个变量的线性相关【解析】【解答】因为K2=6.748≥6.635，所以有99%的把握认为“数学成绩优秀与性别有关”即在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”.故答案为：CD【分析】计算K的观测值K2=6.748≥6.635，对照阅临界值表知P(K2≥6.635)=0.010，即可得出统计结论．11.（2020高二下·烟台期中）袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地每次任取1个小球，直至取到白球后停止取球，则（）A. 抽取2次后停止取球的概率为35B. 停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为910C. 取球次数ξ的期望为2D. 取球次数ξ的方差为920【答案】B,D【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】设取球次数为ξ，可知随机变量ξ的可能取值有1、2、3，则P(ξ=1)=35，P(ξ=2)=25×34=310，P(ξ=3)=25×14=110.对于A 选项，抽取 2 次后停止取球的概率为 P(ξ=2)=310 ，A 选项错误；对于B 选项，停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为 P(ξ=1)+P(ξ=2)=35+310=910 ，B 选项正确；对于C 选项，取球次数 ξ 的期望为 E(ξ)=1×35+2×310+3×110=32 ，C 选项错误；对于D 选项，取球次数 ξ 的方差为 D(ξ)=(1−32)2×35+(2−32)2×310+(3−32)2×110=920 ，D 选项正确.故答案为：BD.【分析】 对于A ，利用相互独立事件概率乘法公式能求出抽取2次后停止取球的概率；对于B ，停止取球时，利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出取出的白球个数不少于黑球的概率；对于C ，ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出E （ξ）；对于D ，ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出E （ξ），进而能求出取球次数ξ的方差．12.（2020高二下·烟台期中）某班级的全体学生平均分成6个小组，且每个小组均有4名男生和多名女生.现从各个小组中随机抽取一名同学参加社区服务活动，若抽取的6名学生中至少有一名男生的概率为728729，则（ ）A. 该班级共有36名学生B. 第一小组的男生甲被抽去参加社区服务的概率为 23C. 抽取的6名学生中男女生数量相同的概率是 160729D. 设抽取的6名学生中女生数量为 X ，则 D(X)=43【答案】 A,C,D【考点】二项分布与n 次独立重复试验的模型【解析】【解答】解：设该班级每个小组共有 n 名女生， ∵抽取的 6 名学生中至少有一名男生的概率为 728729 ，∴抽取的 6 名学生中没有男生（即6名学生全为女生）的概率为 1−728729=1729 ， ∴ (nn+4)6=1729=(13)6 ，解得 n =2 ，∴每个小组有4名男生、2名女生，共6名学生， ∴该班级共有36名学生，则A 对；∴第一小组的男生甲被抽去参加社区服务的概率为 16 ，则B 不符合题意；抽取的6名学生中男女生数量相同的概率是 C 63⋅(46)3⋅(26)3=160729 ，则C 对； 设抽取的6名学生中女生数量为 X ，则 X ∼B(6,13) ，则 D(X)=6×13×(1−13)=43 ，则D 对； 故答案为：ACD ．【分析】 设每个小组中女生人数为x ，由题意可得抽取的6人全部为女生的概率为1−728729=1729 ， 列方程可得x 的值，即可判断选项A ，每组每人被抽中的概率相同，由此计算可判断选项B ，根据二项分布的概率公式及其方差公式即可判断选项C 、D ．三、填空题13.（2020高二下·烟台期中）若随机变量 X~N(μ,σ2) ， P(X >4)=P(X <−2)=0.1 ，则 P(1≤X ≤4)= ________. 【答案】 0.4【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【解析】【解答】解：因为随机变量 X~N(μ,σ2) ， P(X >4)=P(X <−2)=0.1 ， 所以 μ=1 ，即 X~N(1,σ2)所以 P(1≤X ≤4)=0.5−P(X >4)=0.5−0.1=0.4 故答案为：0.4【分析】 根据题意，先求出μ的值，然后根据正态分布的性质求解．14.（2020高二下·烟台期中）由 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 组成没有重复数字的五位奇数有________个. 【答案】 13440【考点】分步乘法计数原理【解析】【解答】有0的五位奇数有 C 51C 31A 83 个，无0的五位奇数有 C 51A 84个，所以所有的五位奇数有 C 51C 31A 83 ＋ C 51A 84 ＝13440个．故答案为：13440．【分析】 根据题意，分3步进行分析：①在1、3、5、7、9五个数字中任选1个，作为五位数的个位，②五位数的万位数字不为0，易得万位有有8种选法，③在剩下的8个数字中，任选3个安排在千位、百位、十位，由分步计数原理计算可得答案．15.（2020高二下·烟台期中）已知 x n =a 0+a 1(x +1)+a 2(x +1)2+...+a n (x +1)n (n ∈N ∗) 对任意的 x ∈R 恒成立，若 a 4+a 5=0 ，则 n = ________. 【答案】 9【考点】二项式定理【解析】【解答】因为 x n =a 0+a 1(x +1)+a 2(x +1)2+...+a n (x +1)n (n ∈N ∗) ， 令 x =−1 ，则 a 0=(−1)n，即 a 0={1 (n 为偶数) −1 (n 为奇数) ， 因为 a 4+a 5=0 ，由 x n =[−1+(x +1)]n 展开式的通项为T r+1=(−1)n−r C n r(x +1)r 得： (−1)n−4C n 4+(−1)n−5C n 5=0 ， 所以 C n 4=C n5 ， 解得 n =9 . 故答案为：9【分析】 先由赋值法求a 0 ， 再利用二项式定理及展开式的通项公式求n 即可得解．16.（2020高二下·烟台期中）在一次篮球投篮测试中，记分规则如下（满分为10分）：①每人可投篮7次，每投中一次记1分；②若连续两次投中加0.5分，连续三次投中加1分，连续四次投中加1.5分，以此类推，…，七次都投中加3分.假设某同学每次投中的概率为 12 ，各次投篮相互独立，则： （1）该同学在测试中得2分的概率为________； （2）该同学在测试中得8分的概率为________. 【答案】 （1）15128 （2）5128【考点】n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率【解析】【解答】只得2分，只能投中2次，且不相邻，概率为 P 1=C 62(12)7=15128 ；得8分，前3次和后3次均投中，中间一次不中；开始连中5次，第6次不中，第7次中或第1次中，第2次不中，然后连中5次，或分别连中4次和连中2次，中间有1次不中，概率为 P 2=(12)7+2×(12)7+2×(12)7=5128 .故答案为： 15128 ； 5128 ．【分析】 （1）得两分，说明7次投篮中，只投中两次，且这两次不相邻，容易求解；（2）得8分，说明七次投篮中，第2次至第6次投篮中，有一次未投中，其余全中，计算可得结果．四、解答题17.（2020高二下·烟台期中）复数 z 1 对应的点在第一象限，且 z 12=−3+4i ，复数 z 2=(a −4sin 2θ)+(1+2cosθ)i ， θ∈(0,π) ， a ∈R . （1）求复数 z 1 ；（2）若 z 1(35+45i)=z 2 ，求 θ ， a 的值.【答案】（1）解：设z1=x+yi(x>0,y>0)，则z12=x2−y2+2xyi=−3+4i，∴{x2−y2=−32xy=4，解得x=−1，y=−2或x=1，y=2，因为x>0，y>0，∴{x=1y=2，所以z1=1+2i（2）解：因为z1(35+45i)=(1+2i)(35+45i)=−1+2i，所以(a−4sin2θ)+(1+2cosθ)i=−1+2i，∴{a−4sin2θ=−11+2cosθ=2，解得cosθ=12，∵θ∈(0,π)，∴θ=π3，sin2θ=1−cos2θ=34，a=4sin2θ−1=2，所以a=2.【考点】复数相等的充要条件【解析】【分析】（1）设z1=x+yi(x>0,y>0)，代入z12=x2−y2+2xyi=−3+4i，整理后利用复数相等的条件列式求得x，y值，则复数z1可求；（2）把z1，z2代入z1(35+45i)=z2，利用复数相等的条件列式即可求得θ，a的值．18.（2020高二下·烟台期中）已知(2x2−1x)n(n∈N∗)的展开式中所有偶数项的二项式系数和为64. （1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求(2x+1x2)(2x2−1x)n展开式中的常数项.【答案】（1）解：由展开式中所有的偶数项二项式系数和为64，得2n−1=64，所以n=7所以展开式中二项式系数最大的项为第四项和第五项.因为(2x2−1x )7的展开式的通项公式为T r+1=C7r(2x2)7−r(−1)r(1x)r=C7r27−r(−1)r x14−3r，所以f(x)的展开式中二项式系数最大的项为T4=−500x5，T5=280x2（2）解：由（1）知n=7，且(2x2−1x )7的展开式中x−1项为T6=−84x，x2项为T5=280x2，所以(2x+1x2)(2x2−1x)n展开式的常数项为2×(−84)+1×280=112,【考点】二项式定理，二项式系数的性质【解析】【分析】（1）根据二项式系数的性质求得n=7，从而求得展开式中二项式系数最大的项；（2）把(2x2−1x )7按照二项式定理展开，可得(2x+1x2)(2x2−1x)n展开式中的常数项．19.（2020高二下·烟台期中）某水果经销商为了对一批刚上市水果进行合理定价，将该水果按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如表所示：（参考数据及公式： ∑x i 2=16305i=1 ， y ̅=116 ， ∑x i y i =101605i=1 ，线性回归方程 y =b ̂x +a ̂ ， b ̂=∑x i y i −nxy̅̅̅̅ni=1∑x i 2−nx̅2n i=1 ， a ̂=y ̅−b ̂x̅ ） （1）已知变量 x,y 具有线性相关关系，求该水果日销售量 y （公斤）关于试销单价 x （元/公斤）的线性回归方程，并据此分析销售单价 x ∈[16,20] 时，日销售量的变化情况；（2）若该水果进价为每公斤15元，预计在今后的销售中，日销售量和售价仍然服从（1）中的线性相关关系，该水果经销商如果想获得最大的日销售利润，此水果的售价 x (x ∈N ∗) 应定为多少元？ 【答案】 （1）解： x̅=16+17+18+19+205=18 ， y ̅=116 ，b ̂=10160−5×18×1161630−5×182=−28 , a ̂=116−(−28)×18=620所以线性回归方程为： ŷ=−28x +620 ， 因为 b ̂=−28<0 ，所以此水果的日销售量随着售价的增加而减小，平均售价每增加一元，销量减少28公斤.（2）解：设日利润为 ω 元，则 ω=(620−28x)(x −15)=−28x 2+1040x −9300 ， 因为此函数图象为开口向下的抛物线，对称轴方程为 x =104056=1847 ，所以当 x =19 时， ω 取得最大值.即该水果经销商如果想获得最大的日销售利润，此水果的销售价应定为每公斤19元. 【考点】二次函数的性质，线性回归方程【解析】【分析】 （1）求出样本中心，回归直线方程的系数，然后求解回归直线方程．然后说明日销售量的变化情况．（2）设日利润为ω元，求出表达式，理由二次函数的性质求解即可．20.（2020高二下·烟台期中）大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的.为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了 100 名魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：附： K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ， n =a +b +c +d .（1）将用时低于15秒的称为“熟练盲拧者”，不低于15秒的称为“非熟练盲拧者”.请根据调查数据完成以下 2×2 列联表，并判断是否有95%的把握认为是否为“熟练盲拧者”与性别有关？（2）以这100名盲拧魔方爱好者的用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者的用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立.那么在该兴趣小组在全市范围内再次随机抽取20名爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是多少？ 【答案】 （1）解：由题意得列联表如下：K 2 的观测值 k =100×(37×24−16×23)253×47×60×40≈4.523>3.841 ，所以有95%的把握认为“熟练盲拧者”与性别有关.（2）解：根据题意得，1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为 20100=15 ， 设随机抽取了20名爱好者中用时不超过10秒的人数为 ξ ，则 ξ~B(20,15) ，其中 P(ξ=k)=C 20k(15)k (45)20−k ， k =0,1,2,...,20 ； 由 {P(ξ=k)≥P(ξ=k +1)P(ξ=k)≥P(ξ=k −1) ，得 {C 20k (15)k (45)20−k ≥C 20k+1(15)k+1(45)19−k C 20k (15)k (45)20−k ≥C 20k−1(15)k−1(45)21−k 化简得 {4(k +1)≥20−k21−k ≥4k，解得 165≤k ≤215 ； 又 k ∈Z ，所以 k =4 ，即这20名爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是4人. 【考点】二项分布与n 次独立重复试验的模型【解析】【分析】 （1）根据题目所给的数据填写2×2列联表即可，计算K 的观测值K 2 ， 对照题目中的表格，得出统计结论．（2）设随机抽取了20名爱好者中用时不超过10秒的人数为ξ，由题意可知变量ξ服从二项分布ξ~B(20,15) ，由 {P(ξ=k)≥P(ξ=k +1)P(ξ=k)≥P(ξ=k −1) ， 求出k 的取值范围，再利用k ∈Z ，即可求出k 的值．21.（2020高二下·烟台期中）某大型电器企业，为了解组装车间职工的生活情况，从中随机抽取了100名职工进行测试，得到频数分布表如下：（1）现从参与测试的日组装个数少于175的职工中任意选取3人，求至少有1人日组装个数少于165的概率；（2）由频数分布表可以认为，此次测试得到的日组装个数 Z 服从正态分布 N(μ,169) ， μ 近似为这100人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）. （i ）若组装车间有20000名职工，求日组装个数超过198的职工人数；（ii ）为鼓励职工提高技能，企业决定对日组装个数超过185的职工日工资增加50元，若在组装车间所有职工中任意选取3人，求这三人增加的日工资总额的期望.附：若随机变量 X 服从正态分布 N(μ,σ2) ，则 P(μ−σ<X <μ+σ)=0.6827 ， P(μ−2σ<X <μ+2σ)=0.9545 ， P(μ−3σ<X <μ+3σ)=0.9973 .【答案】 （1）解：设至少有1人日组装个数少于165为事件 A ，则 P(A)=1−C 123C 183=149204 ，（2）解： X ̅=160×6+170×12+180×34+190×30+200×10+210×8100=185 （个） 又 σ2=169 ，所以 σ=13 ，所以 μ=185 ， σ=13 ， 所以 μ+σ=198 . （i ） P(X >198)=1−0.68272=0.15865 ，所以日组装个数超过198个的人数为 0.15865×20000=3173 （人） （ii ）由正态分布得，日组装个数为185以上的概率为 0.5 .设这三人中日组装个数超过185个的人数为 ξ ，这三人增加的日工资总额为 η ，则 η=50ξ ， 且 ξ~B(3,0.5) ，所以 E(ξ)=3×0.5=1.5 ，所以 E(η)=50E(ξ)=75 .【考点】古典概型及其概率计算公式，二项分布与n 次独立重复试验的模型，正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【解析】【分析】 （1）属于古典概型，分别算出组装个数少于175的人和组装个数少于165的人数中任选3人的取法数，然后代入公式计算即可；（1）（i ）利用正态分布的性质求出P （X ＞198），然后乘以20000即可； （ii ）先利用正态分布算出P （X ＞185），然后利用二项分布的知识求解．22.（2020高二下·烟台期中）2019年12月份，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命.为了增强居民防护意识，增加居民防护知识，某居委会利用网络举办社区线上预防新冠肺炎知识答题比赛，所有居民都参与了防护知识网上答卷，最终甲、乙两人得分最高进入决赛，该社区设计了一个决赛方案：①甲、乙两人各自从6个问题中随机抽3个.已知这6个问题中，甲能正确回答其中的4个，而乙能正确回答每个问题的概率均为 23 ，甲、乙两人对每个问题的回答相互独立、互不影响；②答对题目个数多的人获胜，若两人答对题目数相同，则由乙再从剩下的3道题中选一道作答，答对则判乙胜，答错则判甲胜. （1）求甲、乙两人共答对2个问题的概率；（2）试判断甲、乙谁更有可能获胜？并说明理由； （3）求乙答对题目数的分布列和期望.【答案】 （1）解：甲、乙共答对2个问题分别为：两人共答6题，甲答对2个，乙答对0个；两人共答7题，甲答对1个，乙答对1个.所以甲、乙两保学生共答对2个问题的概率： P =C 42C 21C 63×C 30(13)3+C 41C 22C 63×C 31×23×(13)3=127.（2）解：设甲获胜为事件，则事件包含“两人共答6题甲获胜”和“两人共答7题甲获胜”两类情况，其中第一类包括甲乙答对题个数比为 1:0 ， 2:0 ， 3:0 ， 2:1 ， 3:1 ， 3:2 六种情况，第二类包括前三题甲乙答对题个数比为 1:1 ， 2:2 ， 3:3 三种情况，所以甲获胜的概率 P(A)=C 41C 22C 63×[C 30(13)3+C 3123×(13)3]+C 42C 21C 63×[C 30(13)3+C 31×23×(13)2+C 32(23)2×(13)2] +C 43C 20C 63×[C 30(13)3+C 31×23×(13)2+C 32×(23)2×13+C 33(23)3×13]=173405， 设乙获胜为事件 B ，则 A,B 为对立事件，所以 P(A)+P(B)=1 ， P(B)=1−P(A)=232405>P(A) 所以乙胜出的可能性更大.（3）解：设学生乙答对的题数为 X ，则 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4 ，P(X =0)=C 30(13)3=127P(X =1)=C 42C 21+C 43C 63×C 3123(13)2+C 41C 22C 63×C 3123(13)3=26135P(X =2)=C 41C 22+C 43C 63×C 32(23)2×13+C 41C 22C 63×C 31(13)2×23×23+C 42C 21C 63×C 32(23)2×(13)2=827 P(X =3)=C 41C 22+C 42C 21C 63×C 33(23)3+C 43C 63×C 33(23)3×13+C 42C 21C 63×C 32(23)3(13)=176405P(X =4)=C 43C 63×C 33(23)4=16405所以随机变量 X 的分布列为所以期望 E(X)=0×127+1×26135+2×827+3×176405+4×16405=18281.【考点】互斥事件与对立事件，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差 【解析】【分析】 （1）推出两人共答6题，甲答对2个，乙答对0个；两人共答7题，甲答对1个，乙答对1个．然后求解甲、乙两名学生共答对2个问题的概率．（2）设甲获胜为事件，则事件 包含“两人共答6题甲获胜”和“两人共答7题甲获胜”两类情况，其中第一类包括甲乙答对题个数比为1：0，2：0，3：0，2：1，3：1，3：2六种情况，第二类包括前三题甲乙答对题个数比为1：1，2：2，3：3三种情况，然后求解概率；设乙获胜为事件B，则A，B为对立事件，求出B的概率，得到结论．（3）设学生乙答对的题数为X，则X的所有可能取值为0，1，2，3，4，求出概率，得到随机变量X的分布列，然后求解期望．。