09-10(1)《概率论》(C)解答

09-10（1）《概率论》试卷C第1页（共6页）
福建农林大学考试试卷（A）卷
2009——2010学年第一学期
课程名称： 概率论 考试时间： 120分钟

专业 年级 班 学号 姓名
题号 一 二 三 四 五 总得分
得分
评卷人
复核人

一、选择题（每小题3分，共15分）
1．A、B、C三个事件不都发生的正确表示法是 (D )
(A) ABBCCA (B) ABC (C) ABC (D) ABC
2．一部五卷的选集，按任意顺序放在书架上，则第一卷及第五卷分别在两端的概率是
（ A ）
（A）101 （B）81 （C）51 （D）16

3．连续型随机变量X的分布函数)(xF与分布密度)(xf必满足（ C ）
（A）都是连续的函数 （B）都是单调不减的函数
（C）定义域都是),( （D）值域都是]1,0[

4．设~[,]XUab（均匀分布），则()EX2，()DX31，则（ B ）

（A）1,2ab （B）1,3ab （C）2,3ab （D）0,4ab
5． 随机变量X与Y独立，且X～211(,)Na，Y～222(,)Na，则YXZ服从
的正态分布是（ B ）
（A）),(222121aaN （B）),(222121aaN

（C）),(222121aaN （D）),(222121aaN

得 分
09-10（1）《概率论》试卷C第2页（共6页）

二、填空题（每空格2分，共20分）
1．设()0.5PA，()0.3PAB，()0.7PAB，则()PAB0.8 ，(|)PBA 0.2 ．
2．设~(10,)XBp（二项分布），10p。则()DX最大值为 2.5．
3．设X～()P（泊松分布），已知)2()1(XPXP，
则 2 ，{1}PX213e，()EX 2 ．
4．若X的概率密度221()xxfxke，则系数k1，()DX0.5，2()EX1.5．

5．设()EX10，()DX4。由切比晓夫不等式，若04.0}|10{|cXP
则c 10

三、计算题（每小题10分，共40分）

1．袋子中放有8个正品硬币，2个次品硬币（次品硬币两面都印有国徽）。从袋子中
任取1个硬币，将它抛掷3次，（1）求所抛掷的3次都是国徽朝上的概率；（2）已知所
抛掷的3次都是国徽朝上，求所取的硬币是正品的概率（必须写出题设和已知的概率，
并写出所用的概率公式）．
【解】设A“所取的1个是正品硬币”，B“抛掷的3次都是国徽朝上”，则
84()825PA，1
()1()5PAPA
„„„„„„„„2分

利用二项概率公式得：3303111(|)()()228PBAC， 又显然 (|)1PBA„„2分
（1） 利用全概率公式得：3()()(|)()(|)10PBPAPBAPAPBA „„4分

（2） 利用逆概率公式得：41()(|)158(|)3()310PAPBAPABPB „„„„2分

得 分
得 分
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2．三张外表相同的纸上分别写上数字0，1，2，随机取出两张，设X为所取的两张

纸上数字之和（1）求X的分布列；（2）求(),()EXDX；（3）定义XY)1(1,求)(YE．
【解】（1）因X的可能取值为1，2，3，且

2
3

11
(1)3PXC， 2311(2)3PXC， 2311(3)3PXC

故X的分布列为 1231/31/31/3XP „„„„„„„„„„5分
（2）111()1232333EX，222211114()1233333EX
22
2
()()()3DXEXEX
„„„„„„„„„„3分

（3）因 XY)1(1的可能取值为0（当X为奇数）和2（当X为偶数），故
2
()0()2()2()3EYPXPXPX奇数偶数2
„„„„2分

3．设随机变量X的概率密度,01()0,axbxfx其他， 且1()3EX
求：（1）,ab；（2）1{2}2PX．
【解】（1）因()fx为概率密度，所以
122001()()()|22aafxdxaxbdxxbxb



„„„„2分

12321001()()()()|32323ababEXxfxdxaxbxdxxx



„„„4分

解联立方程：121323abab 得 2,2ab „„„„„„„„„„2分
（2）1{2}2PX21211112221()(22)(2)|4fxdxxdxxx „„„„2分
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4．设X～(1)E，即概率密度为,0()0,0xexfxx ，求2YX的概率密度()Yfy．
【解】∵ X的实际取值为 0x，∴2YX的实际取值为 0y 且
当 0y时，2()()()()YFyPYyPXyPyXy „„„„„„3分

0()1yyyxyfxdxedxe


„„„„„„„„„3分

此时，()Yfy'1()2yYFyey „„„„„„„„„„2分

故 2YX的概率密度 ()Yfy=1,020,yeyy其它 „„„„„„„„„„2分
四、计算题（每小题10分，共20分）
1．若
X
0 2 , Y -1 0 1

P a 0.7 P
0.4 0.3 0.3

且,XY相互独立，求：（1）a；（2）{2}PXY（3）()EXY．

【解】（1）由 0.71,a 得 0.3a ； „„„„„„„„„„2分
（2）因 ,XY相互独立，ijijPPP 的 (,)XY的联合分布列为
(,)XY
（0，-1） （0，0） （0，1） （2，-1） （2，0） （2，1）

P
0.12 0.09 0.09 0.28 0.21 0.21

„„„„„„„„„„4分

于是{2}PXY=1{2}1{(,)(2,1)}10.210.79PXYPXY „2分

（3）()0(1)0.12000.09010.092(1)0.28200.21210.2120.2820.210.14EXY „„„„„„„„„„2分

得 分
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2．设二维随机变量(,)XY的联合概率密度为
2(),001,0(,)0,xyxyxfxy






其他

（1）求X和Y的边际概率密度，并判别X和Y是否相互独立；
（2）求ZXY的概率密度.

【解】（1）当[0,1]x时，

2200()(,)2()(2)3xx
X
fxfxydyxydyxyyx


当[0,1]y时，122()(,)2()123)3Yyfxfxydxxydyyyx

故 23,01()0,Xxxfx其它， 2123,01()0Yyyyfy,其它 „„„„4分
因 ()()(,)XYfxfyfxy 故 X和Y不相互独立； „„„„„„„„2分
（2）由(,)XY的实际取值，得ZXY的实际取值为[0,2]z

此时，2,01,02,01,(,)200zzxzxxzxxzfxzx，其它，其它

当 [0,1]z时，2,(,)20,zzxzfxzx其它
2
2
()(,)2zzZfzfxzxdxzdxz


当 [1,2]z时，2,1(,)20,zzxfxzx其它
122()(,)22zZfzfxzxdxzdxzz




故，ZXY的概率密度函数为：22,01()2,120,Zzzfzzzz其它 „„„„4分
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五、证明题（5分）
对任意的,XY，求证：()()()2[()()()]DXYDXDYEXYEXEX

【证】22()[()][()]DXYEXYEXY „„„„„„„„„„„„1分
2222
(2)[()2()()()]EXXYYEXEXEYEY
„„„„1分

2222
()()()()2()2()()EXEXEYEYEXYEXEY
„„1分

()()2[()()()]DXDYEXYEXEX
„„„„„„„„2分

得 分