大学物理简明教程(第2版)(赵近芳)习题答案,习题7 静电场
习题7
7-1 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点.试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)？(2)这种平衡与三角形的边长有无关系？ 解: 如题7-1图示
(1) 以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知：q '为负电荷
2
220)3
3(π4130cos π412a q q a q '=?εε
解得 q q 3
3-
=' (2)与三角形边长无关．
题7-1图 题7-2图
题7-2图
7-2 两小球的质量都是m ，都用长为l 的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2θ，如题7--2图所示.设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量.
解: 如题7-2图示
??
?
??
===220)sin 2(π41
sin cos θεθθl q F T mg T e
解得 θπεθtan 4sin 20mg l q =
7-3 在真空中有A ，B 两平行板，相对距离为d ，板面积为S ，其带电量分别为＋q 和－q .则这两板之间有相互作用力f ，有人说22
04q f d πε=
，又有人说，因为f ＝qE ，0q E S
ε=
，
所以2
0q f S
ε=试问这两种说法对吗？为什么？f 到底应等于多少？
解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把合场强S
q
E 0ε=
看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的．正确解答应为一个板的电场为S q
E 02ε=，另一板受它的作用力S
q S q
q f 02
022εε=
=，这是两板间相互作用的电场力．
7-4 长l ＝15.0 cm 的直导线AB 上均匀地分布着线密度95.010C m λ-=?的正电荷.试求：(1)在导线的延长线上与导线B 端相距1 5.0a cm =处P 点的场强；(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距2 5.0d cm =处Q 点的场强. 解： 如题7-4图所示
题7-4图
(1)在带电直线上取线元x d ，其上电量q d 在P 点产生场强为
2
0)
(d π41d x a x
E P -=
λε 2
22
)
(d π4d x a x
E E l l P P -=
=?
?-ελ
]2
12
1[π40
l a l a +
--=
ελ
)
4(π220l a l
-=
ελ
用15=l cm ，9100.5-?=λ1
m C -?, 5.12=a cm 代入得
21074.6?=P E 1C N -? 方向水平向右
(2)同理 2
2
20d d π41d +=x x
E Q λε 方向如题7-4图所示 由于对称性?
=l
Qx
E 0d ，即Q E
只有y 分量，
∵ 2
2
2
222
20d
d d d π41d ++=
x x x E Qy
λε
2
2π4d d ελ?==l
Qy
Qy E E ?
-+22
2
3
222)
d (d l l x x
22
2
0d
4π2+=
l l
ελ
以9
10
0.5-?=λ1cm C -?, 15=l cm ,5d 2=cm 代入得
21096.14?==Q y Q E E 1C N -?，方向沿y 轴正向
7-5 (1)点电荷q 位于一边长为a 的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少？
解: (1)由高斯定理0
d εq
S E s
?=?
立方体六个面，当q 在立方体中心时，每个面上电通量相等 ∴ 各面电通量0
6εq
e =
Φ． (2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长a 2的立方体，使q 处于边长a 2的立方体中心，则边长a 2的正方形上电通量0
6εq e =
Φ 对于边长a 的正方形，如果它不包含q 所在的顶点，则0
24εq
e =Φ， 如果它包含q 所在顶点则0=Φe ．
如题7-5(a)图所示．题7-5(3)图
题7-5(a)图 题7-5(b)图 题7-5 (c)图
7-6 均匀带电球壳内半径6 cm ，外半径10 cm ，电荷体密度为53210C m -?.试求距球心5cm,8 cm 及12 cm 的各点的场强. 解: 高斯定理0
d ε∑?
=
?q S E s
,0
2
π4ε∑=
q r
E
当5=r cm 时，0=∑q ,0=E
8=r cm 时，∑q 3
π4ρ
=3(r )3
内r - ∴ ()
2
02
3π43π4r
r r E ερ
内
-=
41048.3?≈1C N -?， 方向沿半径向外． 12=r cm 时,3
π4∑=ρ
q -3(外r ）
内3
r ∴ ()
42
03
31010.4π43π4?≈-=
r
r r E ερ
内
外 1C N -? 沿半径向外.
7-7 半径为1R 和2R (21R R >)的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量λ和－λ，试求：(1) 1r R <；(2) 12R r R <<；(3) 2r R >处各点的场强.
解: 高斯定理0
d ε∑?=?q
S E s
取同轴圆柱形高斯面，侧面积rl S π2=
则 rl E S E S
π2d =??
对(1) 1R r <
0,0==∑E q
(2) 21R r R << λl q =∑
∴ r
E 0π2ελ
=
沿径向向外
(3) 2R r >
=∑q
∴ 0=E
7-8 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为σ和-σ，试求空间各处电场强度。
解：两面间， n n E
0)]([21εσσσε=--=
σ面外， 0)]([210
=---=
n E
σσε σ-面外， 0)]([210=-+=n E
σσε n
：垂直于两平面由σ面指为σ-面
7-9 如题7-9图所示，在A ，B 两点处放有电量分别为＋q ，－q 的点电荷，AB 间距离为2R ，现将另一正试验点电荷0q 从O 点经过半圆弧移到C 点，求移动过程中电场力做的功. 解: 如题7-9图示
0π41
ε=
O U 0)(=-R
q R q 0π41ε=
O U )3(R q R q -R
q 0π6ε-= ∴ R
q
q U U q A o C O 00π6)(ε=
-=
题7-9图 题7-10图
7-10 如题7-10图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为λ的正电荷，两段直导线的长度和半圆环的半径都等于R .试求环中心O 点处的场强和电势.
解: (1)由于电荷均匀分布与对称性，AB 和CD 段电荷在O 点产生的场强互相抵消，取θd d R l =
则θλd d R q =产生O 点E
d 如图，由于对称性，O 点场强沿y 轴负方向
题7-10图
θεθ
λπ
π
cos π4d d 22
2
0??-==R R E E y
R
0π4ελ
=
［2sin π)2sin(π--］
R
0π2ελ=
(2) AB 电荷在O 点产生电势，以0=∞U
?
?===A
B
20
0012ln π4π4d π4d R R x x x x U ελελελ
同理CD 产生 2ln π40
2ελ
=
U 半圆环产生 0
034π4πελ
ελ=
=
R R U ∴ 0
032142ln π2ελ
ελ+
=
++=U U U U O
7-11两个平行金属板A 、B 的面积为200cm 2，A 和B 之间距离为2cm ，B 板接地，如图7-11所示。如果使A 板带上正电7.08?10-7C ，略去边缘效应，问：以地的电势为零。则A 板的电势是多少?
解：如图7-11所示，设平行金属板A 、B 的四个
面均匀带电的面电荷密度分别为4321,,,σσσσ
接地时04=σ
对于平行金属板A 中的a 点有
02220
3
0201=--εσεσεσ 对于平行金属板B 中的b 点有
02220
3
0201=-+εσεσεσ S
Q =
+21σσ 得到：01=σ，04=σ，2532/1054.3m C -?=-=σσ 平行金属板A 、B 之间的电场强度大小为0
2
εσ=
E
A 板的电势V Ed U 4
108?==
7-12 两个半径分别为R 1和R 2（R 2>R 1）的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+q ，试计算： （1）外球壳上的电荷分布及电势大小；
（2）先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势。
解: (1)内球壳带电q +；外球壳内表面带电则为q -,外表面带电为q +，且均匀分布，其电势?
?
∞
∞=
=?=
2
2020
π4π4d d R R R q
r r q r E U εε
题7-12图
(2)外壳接地时，外表面电荷q +入地，外表面不带电，内表面电荷仍为q -．所以球壳电势由内球q +与内表面q -产生：
0π4π42
02
0=-
=
R q R q U εε
7-13 在半径为R 1的金属球之外包有一层外半径为R 2的均匀电介质球壳，介质相对介电常数为εr ，金属球带电Q 。试求： （1）电介质内、外的电场强度； （2）电介质层内、外的电势； （3）金属球的电势。
解: 利用有介质时的高斯定理∑?=?i
i S
q S D
d
(1)介质内)(21R r R <<场强
3
03π4,π4r
r
Q E r r Q D r εε ==内; 介质外)(2R r >场强
3
03π4,π4r
r Q E r Qr D ε ==外 (2)介质外)(2R r >电势
r
Q
E U 0r
π4r d ε=
?=?
∞
外
介质内)(21R r R <<电势
?
∞
?=r
r d E U r d r d 2
2 ?+?=??∞R R r
E E 外内
2020π4)11(π4R Q R r q
r εεε+-=
)11(π42
0R r Q r r -+=εεε
(3)金属球的电势
?
∞
?=1R r d E U r d r d 2
21
?+?=??∞R R R E E 外内
?
?
∞
+=22
20
2
0π44πdr R R R
r r Qdr r Q εεε)1
1(π4210R R Q r r -+=εεε
7-14 计算球形电容器的电容和能量。已知球形电容器的内外半径分别为R 1和R 2,带电量分别为Q 和-Q 。为简单起见，设球内外介质介电常数均为ε0。
解：21R r R <<， r r Q E
3
04πε=
1R r <和2R r >, 0=E
体积元dr r dV 2
4π= 能量?=V
wdV W ?
=
2
1
d π4)π4(2122200R R r r r
Q εε ?
-==2
1
)1
1(π8π8d 21022
02R R R R Q r
r Q εε 电容器的电容W Q C 22=1
21202104)1
1/(π4R R R R R R -=-=πεε
7-15 如题7-15图所示，10.25C F μ=，20.15C F μ=，30.20C F μ=，1C 上电压为50 V .求：AB U
.
题7-15图
解: 电容1C 上电量
111U C Q =
电容2C 与3C 并联3223C C C += 其上电荷123Q Q = ∴ 35
50
25231123232?=
==
C U C C Q U 86)35
25
1(5021=+
=+=U U U AB V