高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量的线性运算学业分层测评新人教B版选修2_1
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.13.1.2 空间向量的数乘
3.1.1-3.1.2 空间向量的数乘运算[课时作业][A 组 基础巩固]1．若a 与b 不共线，且m ＝a ＋b ，n ＝a －b ，p ＝a ，则( )A ．m ，n ，p 共线B ．m 与p 共线C ．n 与p 共线D ．m ，n ，p 共面解析：由于(a ＋b )＋(a －b )＝2a ，即m ＋n ＝2p ，即p ＝12m ＋12n ，又m 与n 不共线，所以m ，n ，p 共面．答案：D2．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，A 1E →＝14A 1C 1→，若AE →＝xAA 1→＋y (AB →＋AD →)，则( )A ．x ＝1，y ＝12B ．x ＝12，y ＝1C ．x ＝1，y ＝13D ．x ＝1，y ＝14解析：AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋14A 1C 1→＝AA 1→＋14(AB →＋AD →)，所以x ＝1，y ＝14.答案：D3．已知空间向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是() A ．A ，B ，D B ．A ，B ，CC ．B ，C ，D D ．A ，C ，D解析：∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2AB →，∴A ，B ，D 三点共线．答案：A4．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的中心为O ，则在下列各结论中正确的结论共有( ) ①OA →＋OD →与OB 1→＋OC 1→是一对相反向量；②OB →－OC →与OA 1→－OD 1→是一对相反向量；③OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA 1→＋OB 1→＋OC 1→＋OD 1→是一对相反向量；④OA 1→－OA →与OC →－OC 1→是一对相反向量．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：利用图形及向量的运算可知②是相等向量，①③④是相反向量．答案：C5．若A ，B ，C 不共线，对于空间任意一点O 都有OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则P ，A ，B ，C 四点( ) A ．不共面B ．共面C ．共线D ．不共线解析：∵34＋18＋18＝1， ∴P ，A ，B ，C 四点共面．答案：B6．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →， 则λ＝________.解析：CD →＝CB →－DB →＝CB →－13AB →＝CB →－13(CB →－CA →)＝23CB →＋13CA →， 又CD →＝13CA →＋λCB →，所以λ＝23. 答案：237.如图，已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ， CD →＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为E 、F ，则EF →＝________(用向量a ，b ，c 表示)．解析：设G 为BC 的中点，连接EG ，FG ，则EF →＝EG →＋GF →＝12AB →＋12CD → ＝12(a －2c )＋12(5a ＋6b －8c ) ＝3a ＋3b －5c .答案：3a ＋3b －5c8．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，若AB →＝e 1＋ke 2，BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，则实数k ＝________.解析：∵BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，∴BD →＝BC →＋CD →＝5e 1＋4e 2＋e 1＋2e 2＝6e 1＋6e 2.又AB →＝e 1＋ke 2，∵A ，B ，D 三点共线，∴存在实数u ，使AB →＝uBD →，即e 1＋ke 2＝6ue 1＋6ue 2，∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝6u ，k ＝6u ，∴k ＝1.答案：19.如图所示，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →.解析：(1)∵P 是C 1D 1的中点，∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→ ＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b . (2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC → ＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c . (3)∵M 是AA 1的中点，∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP → ＝－12a ＋⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c . 10.如图，平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1. (1)证明：A ，E ，C 1，F 四点共面；(2)若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，求x ＋y ＋z 的值．解析：(1)证明：∵ABCD A 1B 1C 1D 1是平行六面体，∴AA 1→＝BB 1→＝CC 1→＝DD 1→，∴BE →＝13AA 1→，DF →＝23AA 1→， ∴AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋AD →＋13AA 1→＋23AA 1→ ＝⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋13AA 1→＋⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋23AA 1→＝AB →＋BE →＋AD →＋DF →＝AE →＋AF →，由向量共面的充分必要条件知A ，E ，C 1，F 四点共面．(2)∵EF →＝AF →－AE →＝AD →＋DF →－(AB →＋BE →)＝AD →＋23DD 1→－AB →－13BB 1→＝－AB →＋AD →＋13AA 1→，又EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，∴x ＝－1，y ＝1，z ＝13，∴x ＋y ＋z ＝13. [B 组 能力提升]1．若a ，b 是平面α内的两个向量，则( )A ．α内任一向量p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)B ．若存在λ，μ∈R 使λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0C ．若a ，b 不共线，则空间任一向量p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)D ．若a ，b 不共线，则α内任一向量p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)解析：当a 与b 共线时，A 项不正确；当a 与b 是相反向量，λ＝μ≠0时，λa ＋μb ＝0，故B 项不正确；若a 与b 不共线，则平面α内任意向量可以用a ，b 表示，对空间向量则不一定，故C 项不正确，D 项正确．答案：D2．已知向量c ，d 不共线，设向量a ＝kc ＋d ，b ＝c －k 2d .若a 与b 共线，则实数k 的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．2 解析：∵c ，d 不共线，∴c ≠0，且d ≠0.∵a 与b 共线，∴存在实数λ，使得a ＝λb 成立，即kc ＋d ＝λ(c －k 2d )，整理得(k －λ)c ＋(1＋λk 2)d ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ k －λ＝01＋λk 2＝0，解得k ＝λ＝－1.故选C.答案：C3．在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝________.解析：如图，A 1B →＝B 1B →－B 1A 1→＝B 1B →－BA →＝－CC 1→－(CA →－CB →)＝－c －(a －b )＝－c －a ＋b .答案：－c －a ＋b4．如图所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ， AC ，M ，N 分别为OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ，y ，z 的值分别为________．解析：由题意知OM →＝12OA →，ON →＝ 12(OB →＋OC →)，MN →＝ON →－OM → ＝12(OB →＋OC →)－12OA →，又MG →＝2GN →， ∴MG →＝23MN →＝－13OA →＋13OB →＋13OC →， 故OG →＝OM →＋MG →＝12OA →－13OA →＋13OB →＋13OC → ＝16OA →＋13OB →＋13OC →， ∴x ＝16，y ＝13，z ＝13. 答案：16，13，135.如图所示，已知四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形且不共面，M ，N 分别是AC 、BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线．解析：∵M ，N 分别是AC ，BF 的中点，且四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形，∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →. 又∵MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →， ∴2MN →＝12CA →＋AF →＋12FB →－12CA →＋CE →－AF →－12FB →＝CE →，即CE →＝2MN →. ∴CE →与MN →共线．6.如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1和A 1D 1的中点．证明：向量A 1B →，B 1C →，EF →是共面向量．证明：法一 EF →＝EB →＋BA 1→＋A 1F →＝12B 1B →－A 1B →＋12A 1D 1→＝12(B 1B →＋BC →)－A 1B →＝12B 1C →－A 1B →. 由向量共面的充分必要条件知，A 1B →，B 1C →，EF →是共面向量．法二连接A 1D 、BD ，取A 1D 中点G ，连接FG 、BG ，则有FG 綊12DD 1，BE 綊12DD 1，∴FG 綊BE .∴四边形BEFG 为平行四边形． ∴EF ∥BG .∴EF ∥平面A 1BD .同理，B 1C ∥A 1D ，∴B 1C ∥平面A 1BD ， ∴A 1B →，B 1C →，EF →都与平面A 1BD 平行， ∴A 1B →，B 1C →，EF →共面．。
高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：3-1-1空间向量的线性运算
3.1.1空间向量的线性运算一、选择题1．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则D 1B →等于( )A ．a ＋b ＋cB ．a ＋b ＋cC ．a －b －cD ．－a ＋b ＋c [答案] C[解析] D 1B →＝D 1A 1→＋A 1A →＋AB →＝－b ＋(－c )＋a ＝a －b －c .故选C2．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，向量AB ′→、AD ′→、BD →是( ) A ．有相同起点的向量 B ．是等长的向量 C ．是共面向量D ．是不共面向量[答案] C[解析] ∵AB 1→－AD 1→＝D 1B 1→＝BD →，∴共面．故选C.3．如图所示在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量AC 1→的共有( )(1)(AB →＋BC →)＋CC 1→ (2)(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→ (3)(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→ (4)(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→. A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个[答案] D[解析] 代入检验知选D.4．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有以下等式，其中不正确的是( ) A.D 1B →＝D 1D →＋D 1A 1→＋D 1C 1→ B.D 1B →＝D 1C 1→＋B 1B →＋CB → C.D 1B →＝D 1A 1→＋A 1B →＋A 1A →D.D 1B →＝D 1C 1→＋C 1D →＋DB → [答案] C[解析] D 1A 1→＋A 1B →＋A 1A →＝D 1B →＋A 1A →≠D 1B →. 故选C.5．如图所示的空间四边形ABCD 中，M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则MG →－AB →＋AD →等于( )A.32DB →B ．3MG →C ．3GM →D ．2MG →[答案] B[解析] MG →－AB →＋AD →＝MG →＋BD →＝MG →＋2MG →＝3MG →.6．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 中，O 为BD 1与AC 1的交点，下列说法正确的是( ) A.AO →＝12AB →＋AD →＋AA 1→)B.AO →＝13AC 1→C.BO →＝12(BA →＋BC →＋BD →1)D.BO →＝14AC 1→＋BD 1→)[答案] A[解析] AB →＋AD →＋AA 1→＝AC →＋AA 1→＝AC 1→. 故选A.7．如图所示，空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c, 点M 在OA 上，且OM →＝2MA →，N 为BC 中点，则MN →等于( )A.12a －23b ＋12c B ．－23 a ＋12b ＋12cC.12a ＋12 b －23cD.23a ＋23b －12c [答案] B[解析] MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA →＝12×(b ＋c )－23a ＝－23a ＋12b ＋12c .∴应选B. 8．已知G 是正方形ABCD 的中心，点P 为正方形ABCD 所在平面外一点，则PA →＋PB →＋PC →＋PD →＝( )A ．4PG →B ．3PG →C ．2PG →D.PG →[答案] A[解析] PA →＋PB →＋PC →＋PD →＝PG →＋GA →＋PG →＋GB →＋PG →＋GC →＋PG →＋GD →＝4PG →＋(GA →＋GC →)＋(GB →＋GD →)，∵ABCD 是正方形，G 是它的中心， ∴GA →＋GC →＝GB →＋GD →＝0，故原式＝4PG →.9．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( )A ．空间四边形B ．平行四边形C ．等腰梯形D ．矩形[答案] B[解析] 画图利用空间向量的运算法则首尾相接 AO →＋OB →＝AB →，DO →＋OC →＝DC →， ∴AB →＝DC →.故选B.10．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′ ，点E 是A ′C ′的中点，点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12，则AF →等于( )A.AA ′→＋12AB →＋12AD →B.12AA ′→＋12AB →＋12AD →C.12AA ′→＋16AB →＋16AD →D.13AA ′→＋16AB →＋16AD → [答案] D[解析] AF →＝13AE →＝13(AA ′→＋A ′E →)＝13AA ′→＋13×12A ′C ′→ ＝13AA ′→＋16(A ′B ′→＋A ′D ′→) ＝13AA ′→＋16A ′B ′→＋16A ′D ′→. 故选D. 二、填空题11．设A ，B ，C ，D 为空间任意四点，则AC →－BC →＋BD →＝________. [答案] AD →[解析] AC →－BC →＋BD →＝AC →＋CB →＋BD →＝AD →。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算
5．平行(共线)向量与共面向量
平行(共线)向量
共面向量
表示空间向量的有向线段所
位置
在的直线的位置关系：
定 关系
_____互_相__平_行__或_重__合____ 义
平行于同一个__平__面____的向量
特征 方向___相_同__或_相__反_____
特例 零向量与__任__意_向__量_____共线
• (2)能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．
• (3)能用向量方法证明有关线面位置关系的一些定理(包括三垂线定 理)．
• (4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角 计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．
• 本章重点
• 空间向量的基本概念和基本运算；以空间向量为工具判断或证明立 体几何中的位置关系；求空间角和空间的距离．
2．几类常见的空间向量
名称
方向
零向量 单位向量
___任__意___ 任意
相反向量
____相_反___
相等向量
相同
模 ___0___ ___1___
相等
___相_等____
记法 ___0___
a 的相反向量：___－__a__ A→B的相反向量：_B_→_A___ a＝b
3.空间向量的加减法和运算律 (1)加法：O→B＝__O_→_A_＋__A→_B____＝a＋b． (2)减法：C→A＝___O→_A_－__O_→_C_＝a－b． (3)加法运算律：
• 1987年11月台湾开放台胞来大陆探亲，开始时要从香港绕道，比 如从台北到上海的路径是：台北→香港→上海.2008年7月开始两岸 直航后，从台北到上海的路径是：台北→上海．如果把台北→香港 的位移记为向量a，香港→上海的位移记为向量b，台北→上海的位 移记为向量c，那么a＋b与c有怎样的关系呢？
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.3两个向量的数量积课堂探究学案新人教B
3.1.3 两个向量的数量积课堂探究探究一 求向量的数量积求两个向量m ，n 的数量积一般分为两个层次：一是结合图形确定向量m ，n 的模及〈m ，n 〉的大小，直接利用空间向量数量积的定义来求，此种情况下要注意向量夹角的正确性；二是选定一组基向量表示向量m ，n ，从而把m ，n 的数量积通过运算转化为基向量之间的数量积来求．【典型例题1】 已知长方体ABCD A ′B ′C ′D ′，AB ＝AA ′＝2，AD ＝4，E 为侧面AB ′的中心，F 为A ′D ′的中点，计算下列数量积：(1)AB →·AB ′→；(2)BC →·ED ′→；(3)EF →·FC ′→.解：如图，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，则由题意，得|a |＝|c |＝2，|b |＝4，|AB ′→|＝22，〈AB →，AB ′→〉＝45°，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0，(1)AB →·AB ′→＝|AB →||AB ′→|cos 〈AB →，AB ′→〉＝2×22×22＝4；(2)BC →·ED ′→＝b ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12c －a＋b ＝|b|2＝16；(3)EF →·FC ′→＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12c －a＋12b ·12b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－12|a|2＋14|b|2＝2. 探究二 求夹角和距离1．求两点间的距离或某线段的长度，就是把此线段用向量表示，然后用|a |2＝a ·a ，即|a |＝a ·a 通过向量运算求|a |.2．对于空间向量a ，b ，有cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b|.利用这一结论，我们可以较方便地求解异面直线所成角的问题，由于向量的夹角的取值范围为[0，π]，而异面直线所成的角的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，故〈a ，b 〉∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2时它们相等，而当〈a ，b 〉∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，它们互补． 【典型例题2】 如图，空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点M ，N 分别是边AB ，CD 的中点．(1)求MN 的长；(2)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值．思路分析：(1)求线段长，要利用向量的平方求解，关键是找到表示MN →2的基向量，只要模与夹角均可知，则问题可求解；(2)求夹角问题是向量数量积的逆用．解：设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r .由题意|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p ，q ，r 三向量两两夹角均为60°.(1)MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB →＝12(q ＋r －p )，∴|MN →|2＝MN →2＝14(q ＋r －p )2＝14[q 2＋r 2＋p 2＋2(q·r －q·p －r·p )] ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2＋a 2＋a 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a 22－a 22 ＝14×2a 2＝a 22. ∴|MN →|＝22a ，∴MN 的长为22a . (2)设向量AN →与MC →的夹角为θ，∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r )，MC →＝AC →－A M →＝q －12p ，∴AN →·MC →＝12(q ＋r )12q p ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫q 2－12q·p ＋r·q －12r·p＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12a 2cos 60°＋a 2cos 60°－12a 2cos 60° ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a 2－14a 2＋12a 2－14a 2＝12a 2.又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ， ∴AN →·MC →＝|AN →|·|MC →|·cos〈AN →，MC →〉＝32a ·32a cos θ， ∴cos θ＝23，∴向量AN →与MC →夹角的余弦值为23，从而异面直线AN 与CM 夹角的余弦值也为23.探究三 数量积性质的应用1．对于空间两个非零向量a ，b ，由夹角公式得a ⊥b ⇔a ·b ＝0.利用这一关系，可以很好地处理立体几何中的垂直问题．2．证明两直线垂直，可以转化为证明两向量垂直，即证两向量数量积为零．【典型例题3】 已知空间四边形OABC 中，M ，N ，P ，Q 分别为BC ，AC ，OA ，OB 的中点，若AB ＝OC ，求证：PM ⊥QN .思路分析：解答本题即要证PM ⊥QN ，只要证明PM →·QN →＝0，需将PM →，QN →用其他向量表示后再进行计算即可．证明：如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，又P ，M 分别为OA ，BC 的中点，∴PM →＝OM →－OP →＝12(b ＋c )－12a ＝12[(b －a )＋c ]．同理，QN →＝12(a ＋c )－12b ＝－12[(b －a )－c ]．∴PM →·QN →＝12[(b －a )＋c ]·⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12[b －a－c ]＝－14(|b －a|2－|c|2)．又AB ＝OC ，即|b －a|＝|c|， ∴PM →·QN →＝0，∴PM →⊥QN →，即PM ⊥QN .探究四 易错辨析易错点 将向量的夹角与直线夹角混淆【典型例题4】 如图，空间四边形ABCD 中，每条边的长度和两条对角线的长度都等于1，M ，N 分别是AB ，AD 的中点，计算MN →·DC →.错解：MN →·DC →＝12BD →·DC →＝12|BD →|·|DC →|cos 〈BD →，DC →〉 ＝12cos 60°＝14. 错因分析：〈BD →，DC →〉＝120°，错解写成了〈BD →，DC →〉＝60°.忽视了向量的方向，混淆了向量夹角与直线夹角．正解：MN →·DC →＝12BD →·DC →＝12|BD →|·|DC →|·cos〈BD →，DC →〉＝12cos 120°＝－14.。
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运
第三章 3.1 3.1.1 3.1.21．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →＋AD →＋AA 1→的运算结果是( B ) A ．A 1C →B ．AC 1→ C ．BD 1→D ．B 1D →[解析] AB →＋AD →＋AA 1→＝AC →＋AA 1→＝AC 1→.2．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量AC 1→的共有( D )①(AB →＋BC →)＋CC 1→； ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→； ④(AA 1→－B 1A 1→)＋B 1C 1→. A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个[解析] ①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→. ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→. ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.④(AA 1→－B 1A 1→)＋B 1C 1→＝(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.3．(福建厦门市2019－2020学年高二质检)三棱锥P －ABC 中，M 是棱BC 的中点，若PM →＝xAP →＋yAB →＋zAC →(x ，y ，z ∈R )，则x ＋y ＋z 的值为( B )A ．－1B ．0C ．12D ．1[解析] 由题可知，PM →＝xAP →＋yAB →＋zAC →(x ，y ，z ∈R )， 由向量线性运算得：PM →＝P A →＋AM →＝－AP →＋AM →即PM →＝－AP →＋12AB →＋12AC →所以，x ＝－1，y ＝12，z ＝12，则x ＋y＋z ＝0. 故选B ．4．如图所示，a ，b 是两个空间向量，则AC →与A ′C ′→是__相等__向量，AB →与B ′A ′→是__相反__向量．5．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝__b －a －c __(用a ，b ，c 表示)．[解析] A 1B →＝A 1A →＋AB →＝－CC 1→＋CB →－CA →＝b －a －c .。
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算讲义
3．1.1 空间向量及其加减运算1．空间向量 (1)定义□01在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度□02向量的大小叫做向量的长度或□03模． (3)表示方法(4)几类特殊的空间向量①零向量：□08规定长度为0的向量叫做零向量，记为□090. ②单位向量：□10模为1的向量称为单位向量． ③相反向量：□11与向量a 长度相等而方向相反的向量称为a 的相反向量，记为□12－a . ④相等向量：□13方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示□14同一向量或□15相等向量． 2．空间向量的加减法 (1)定义类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：OB →＝OA →＋AB →＝□16a ＋b ； CA →＝OA →－OC →＝□17a －b . (2)加法运算律①交换律：a ＋b ＝□18b ＋a ； ②结合律：(a ＋b )＋c ＝□19a ＋(b ＋c )．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有向线段可用来表示空间向量，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大．( )(2)空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算．( ) (3)0向量是长度为0，没有方向的向量．( ) (4)若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b .( ) 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)把所有单位向量的起点移到一点，则这些向量的终点组成的图形是________． (2)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DD 1→－AB →＋BC →化简后的结果是________． (3)如图所示，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，化简下列向量的表达式：①AA 1→－CB →＝________. ②AB 1→＋B 1C 1→＋C 1D 1→＝________. ③12AD →＋12AB →－12A 1A →＝________.(4)(教材改编P 86T 3)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AB ，B 1C 的中点．用AB →，AD →，AA 1→表示向量MN →，则MN →＝________.答案 (1)球面 (2)BD 1→ (3)①AD 1→②AD 1→③12AC 1→(4)12AB →＋12AD →＋12AA 1→解析 (4)MN →＝MB →＋BC →＋→＝12AB →＋AD →＋12(CB →＋BB 1→)＝12AB →＋AD →＋12(－AD →＋AA 1→)＝12AB →＋12AD→＋12AA 1→.探究1 空间向量的概念 例1 给出下列命题：①两个相等的向量，若它们的起点相同，则终点必相同； ②在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→； ③若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ④空间中任意两个单位向量必相等； ⑤只有零向量的模为0. 其中假命题的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[解析]①真命题．根据向量相等的定义，两个相等的向量若起点相同，终点必相同，只有这样才能保证它们的方向和大小都相同．②真命题．根据正方体的性质，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量AC →与A 1C 1→的方向相同，模长也相等，应有AC →＝A 1C 1→.③真命题．向量的相等满足传递规律．④假命题．空间中任意两个单位向量模长均为1，但方向不一定相同，故不一定相等． ⑤真命题．根据零向量的定义可知． [答案] A 拓展提升处理向量概念问题要关注的两个要素和两个关系(1)两个要素判断与向量有关的命题时，要抓住向量的两个主要要素，即大小与方向，两者缺一不可． (2)两个关系①模相等与向量相等的关系：两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．②向量的模与向量大小的关系：由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的．但向量的模是可以比较大小的．【跟踪训练1】 (1)给出下列四个命题：①方向相反的两个向量是相反向量；②若a ，b 满足|a |＞|b |且a ，b 同向，则a ＞b ；③不相等的两个空间向量的模必不相等；④向量BA →与向量AB →的长度相等．其中正确命题的序号为________． 答案 ④解析 ①错误，方向相反且长度相等的两个向量是相反向量；②错误，向量不能比较大小；③错误，如BA →≠AB →但|BA →|＝|AB →|，④正确．(2)给出下列命题：①若|a |＝0，则a ＝0；②若a ＝0，则－a ＝0；③|－a |＝|a |，其中正确命题的序号是________．答案 ②③解析 ①错误，若|a |＝0，则a ＝0；②正确．③正确． 探究2 空间向量的加减运算例2 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量BD 1→的是( )①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→；③(AD →－AB →)－DD 1→；④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ [解析]①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝A 1D 1→＋AA 1→＋BA →＝BD 1→； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC →＋BB 1→＋C 1D 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→；③(AD →－AB →)－DD 1→＝BD →＋D 1D →＝BD →－DD 1→＝BD →－BB 1→＝B 1D →≠BD 1→； ④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→＝B 1D 1→＋AA 1→＋DD 1→＝B 1D 1→＋BB 1→＋DD 1→＝BD 1→＋DD 1→≠BD 1→.因此，①②两式的运算结果为向量BD 1→，而③④两式的运算结果不为向量BD 1→.故选A. [答案] A[结论探究] 例2条件下，判断下列各式中运算结果为向量AC 1→的有哪些？ ①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→；④(AA 1→－B 1A 1→)＋B 1C 1→. 解 ①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→； ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→；④(AA 1→－B 1A 1→)＋B 1C 1→＝(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→. 故①②③④式运算结果都是向量AC 1→. 拓展提升、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．2．化简空间向量的常用思路(1)分组：合理分组，以便灵活利用三角形法则、平行四边形法则进行化简．(2)多边形法则：在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则．若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和．(3)走边路：灵活运用空间向量的加法、减法法则，尽量走边路(即沿几何体的边选择途径)．【跟踪训练2】 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是A 1A ，AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1的中点，则( )A.EF →＋GH →＋PQ →＝0B.EF →－GH →－PQ →＝0 C.EF →＋GH →－PQ →＝0 D.EF →－GH →＋PQ →＝0 答案 A解析 EF →＋GH →＋PQ →＝AF →－AE →＋CH →－CG →＋D 1Q →－D 1P →＝0.探究3 空间向量证明题 例3 在如图所示的平行六面体中．求证：AC →＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→.[证明]∵平行六面体的六个面均为平行四边形， ∴AC →＝AB →＋AD →，AB ′→＝AB →＋AA ′→，AD ′→＝AD →＋AA ′→.∴AC →＋AB ′→＋AD ′→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋AA ′→)＋(AD →＋AA ′→)＝2(AB →＋AD →＋AA ′→)， 又∵AA ′→＝CC ′→，AD →＝BC →，∴AB →＋AD →＋AA ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC →＋CC ′→＝AC ′→， ∴AC →＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→. 拓展提升空间向量证明题的注意点利用三角形法则或平行四边形法则进行证明，一定要注意和(差)向量的方向．必要时利用空间向量可自由平移，使作图容易．【跟踪训练3】 借助平行六面体，证明：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．证明 作平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′使AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，如图，则：(a ＋b )＋c ＝(AB →＋AD →)＋AA ′→＝AC →＋CC ′→＝AC ′→，a ＋(b ＋c )＝AB →＋(AD →＋AA ′→)＝AB →＋(BC →＋CC ′→)＝AB →＋BC ′→＝AC ′→，所以(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．，向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反. ，任意两个向量都是共面向量．因此空间两个向量的加、减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行.，一定要抓住向量的起点与终点，否则容易导致结果计算错误．如AB →－AD →，误写成BD →，应为DB →.1．向量a ，b 互为相反向量，已知|b |＝3，则下列结论正确的是( ) A ．a ＝b B ．a ＋b 为实数0 C ．a 与b 方向相同 D ．|a |＝3 答案 D解析 因为a ，b 互为相反向量，所以a ＝－b ，a ＋b ＝0，a 与 b 方向相反，|a |＝|b |＝3.2．已知空间向量AB →，BC →，CD →，AD →，则下列结论正确的是( ) A.AB →＝BC →＋CD → B.AB →－DC →＋BC →＝AD → C.AD →＝AB →＋BC →＋DC → D.BC →＝BD →－DC → 答案 B解析 AB →－DC →＋BC →＝AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.3．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( ) A ．空间四边形 B ．平行四边形 C ．等腰梯形 D ．矩形答案 B解析 ∵AO →＋OB →＝AB →，DO →＋OC →＝DC →， ∴AB →＝DC →，∴线段AB ，DC 平行且相等， ∴四边形ABCD 是平行四边形．4．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的中心为O ，则在下列各结论中正确结论的序号为________． ①OA →＋OD →与OB 1→＋OC 1→是一对相反向量； ②OB →－OC →与OA 1→－OD 1→是一对相反向量；③OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA 1→＋OB 1→＋OC 1→＋OD 1→是一对相反向量； ④OA 1→－OA →与OC →－OC 1→是一对相反向量． 答案 ①③④解析 下图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AD ，B 1C 1的中点，则由向量运算的平行四边形法则，知OA →＋OD →＝2OE →，OB 1→＋OC 1→＝2OF →，又OE →＝－OF →，所以命题①正确．由于OB →－OC →＝CB →，OA 1→－OD 1→＝D 1A 1→，所以OB →－OC →与OA 1→－OD 1→是两个相等的向量，所以命题②是不正确的． 同理可得命题③④是正确的．5．下图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1，以该长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的所有向量中，(1)单位向量共有多少个？ (2)试写出模为5的所有向量； (3)试写出与AB →相等的所有向量；(4)试写出AA 1→的相反向量．解 (1)由于AA 1＝1，所以AA 1→，A 1A →，BB 1→，B 1B →，CC 1→，C 1C →，DD 1→，D 1D →这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)由于这个长方体的左、右两侧的对角线长均为5，所以模为5的向量为AD 1→，D 1A →，A 1D →，DA 1→，BC 1→，C 1B →，B 1C →，CB 1→.(3)与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)为A 1B 1→，DC →，D 1C 1→. (4)向量AA 1→的相反向量为A 1A →，B 1B →，C 1C →，D 1D →.。
2021_2020学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.1空间向量的线性运算课件新人教B版选修
2．已知空间四边形 ABCD 中，A→B＝a，C→B＝b，A→D＝c，则C→D
等于( )
A．a＋b－c
B．－a－b＋c
C．－a＋b＋c
D．－a＋b－c
C [C→D＝C→B＋B→A＋A→D＝b－a＋c＝－a＋b＋c，故选 C.]
3．在单位正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，向量A→A1与C→C1是________ 向量，向量A→C与C→1A1是________向量．
所以(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
数乘向量运算
【例 3】 如图所示，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，设A→A1＝a，A→B＝b，A→D＝c， M，N，P 分别是 AA1，BC，C1D1 的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量：
(1)A→P；(2)A→1N；(3)M→P＋N→C1.
[思路探究] 将所求向量置于适当的三角形或多边形中，利用三 角形法则、平行四边形法则或首尾相接的方法，将所求向量表示出 来，然后化简整理．
[解] (1)∵P 是 C1D1 的中点， ∴A→P＝A→A1＋A→1D1＋D→1P＝a＋A→D＋12D→1C1＝a＋c＋12A→B＝a＋c ＋12b. (2)∵N 是 BC 的中点， ∴A→1N＝A→1A＋A→B＋B→N＝－a＋b＋21B→C＝－a＋b＋21A→D＝－a＋ b＋21c.
思考：空间两个向量的加减法与平面内两个向量的加减法完全 一致吗？
[提示] 完全一致．
1．下列命题中，假命题是 ( ) A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．两个相反向量的和为零向量 C．只有零向量的模等于 0 D．空间中任意两个单位向量必相等
D [大小相等，而且方向相同的向量才是相等向量；大小相等 方向相反的两个向量称为相反向量；任意两个单位向量的大小相等， 但方向不一定相同，故不一定相等．]
2016_2017学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.1_2空间向量及其线性运算共面向量定理学案解析
3.1.1 空间向量及其线性运算3.1.2 共面向量定理1．了解空间向量与平面向量的联系与区别，理解空间向量的线性运算及其性质，理解共线向量定理．(重点)2．体会共面向量定理的推导过程，掌握共面向量定理，会用共面向量定理判定向量共面，会用共面向量定理证明线面平行问题．(难点))3．掌握向量共线与共面和直线共线与共面的区别与联系．(易混点[基础·初探]教材整理1 空间向量及其线性运算阅读教材P81的部分，完成下列问题．1．空间向量在空间，把既有大小又有方向的量叫做空间向量．2．空间向量的线性运算1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小．( )(2)空间向量的数乘运算中，λ只决定向量的大小，不决定向量的方向．( ) (3)将空间的所有单位向量的起点平移到同一个点，则它们的终点构成一个圆．( ) (4)若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b .( )(5)已知四边形ABCD ，O 是空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是平行四边形．( )【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√2．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，向量表达式DD 1→－AB →＋BC →化简后的结果是________． 【解析】 如图所示，DD 1→－AB →＋BC →＝DD 1→＋(BA →＋BC →)＝DD 1→＋BD →＝BD 1→.【答案】 BD 1→教材整理2 共线向量阅读教材P 82例1上面的部分，完成下列问题． 1．共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．向量a 与b 平行，记作a∥b ，规定零向量与任意向量共线． 2．共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (a ≠0)，b 与a 共线的充要条件是存在实数λ，使b ＝λa . 教材整理3 共面向量阅读教材P 84的部分，完成下列问题． 1．共面向量能平移到同一平面内的向量叫做共面向量． 2．共面向量定理如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝x a＋y b.有下列命题：①平行于同一直线的向量是共线向量；②平行于同一平面的向量是共面向量；③平行向量一定是共面向量；④共面向量一定是平行向量．其中正确的命题有________．【解析】“共面向量一定是平行向量”不正确，即共面向量不一定共线．①②③均正确．【答案】①②③[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型](1)所有的单位向量都相等；(2)方向相反的两个向量是相反向量；(3)若a，b满足|a|>|b|，且a，b同向，则a>b；(4)零向量没有方向．其中不正确的命题的序号为________．【精彩点拨】根据空间向量的概念进行逐一判断，得出结论．【自主解答】对于(1)：单位向量是指长度等于1个单位长度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的定义，故(1)错；对于(2)：长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故(2)错；对于(3)：向量是不能比较大小的，故不正确；对于(4)：零向量有方向，只是没有确定的方向，故(4)错．【答案】 (1)(2)(3)(4)1．因为空间任何两个向量都可以平移到同一平面上，故空间的两个向量间的关系都可以转化为平面向量来解决．2．对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以通过举出反例而排除或否定相关命题．[再练一题]1．下列命题中正确的个数是________． (1)如果a ，b 是两个单位向量，则|a |＝|b |；(2)两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； (3)同向且等长的有向线段表示同一向量；(4)空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内． 【解析】 (1)(3)(4)正确，(2)不正确． 【答案】 3化简：(AB －CD )－(AC －BD )．【精彩点拨】 根据算式中的字母规律，可转化为加法运算，也可转化为减法运算． 【自主解答】 法一：将减法转化为加法进行化简． ∵AB →－CD →＝AB →＋DC →，∴(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →＋DC →－AC →＋BD → ＝AB →＋DC →＋CA →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA → ＝AD →＋DA →＝0.法二：利用AB →－AC →＝CB →，DC →－DB →＝BC →化简． (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝(AB →－AC →)＋(DC →－DB →) ＝CB →＋BC →＝0.法三：∵AB →＝OB →－OA →，CD →＝OD →－OC →， AC →＝OC →－OA →，BD →＝OD →－OB →，∴(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝(OB →－OA →－OD →＋OC →)－(OC →－OA →－OD →＋OB →) ＝OB →－OA →－OD →＋OC →－OC →＋OA →＋OD →－OB →＝0.1．计算两个空间向量的和或差时，与平面向量完全相同．运算中掌握好三角形法则和平行四边形法则是关键．2．计算三个或多个空间向量的和或差时，要注意以下几点： (1)三角形法则和平行四边形法则； (2)正确使用运算律；(3)有限个向量顺次首尾相连，则从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即表示这有限个向量的和向量．[再练一题]2．如图311所示，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是正方形，若PA →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，则PD →＝________(用向量a ，b ，c 表示)．图311【解析】 PD →＝BD →－BP →＝BA →＋BC →－BP →＝PA →－PB →＋PC →－PB →－BP →＝a －b ＋c －b ＋b ＝a －b ＋c .【答案】 a －b ＋cABCD 的面BCD与面ACD 的重心，且G 为AM 上一点，且GM ∶GA ＝1∶3.求证：B ，G ，N 三点共线．图312【精彩点拨】 要证明B ，G ，N 三点共线，可证明BN →∥BG →，即证明存在实数λ，使BN →＝λBG →.【自主解答】 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ， 则BG →＝BA →＋AG →＝BA →＋34AM →＝－a ＋14(a ＋b ＋c )＝－34a ＋14b ＋14c ，BN →＝BA →＋AN →＝BA →＋13(AC →＋AD →)＝－a ＋13b ＋13c ＝43BG →.∴BN →∥BG →，即B ，G ，N 三点共线．判定或证明三点如P ，A ，B 是否共线：考察是否存在实数λ，使PA →＝λPB →； 考察对空间任意一点O ，是否有OP →＝OA →＋tAB →； 考察对空间任意一点O ，是否有OP →＝xOA →＋yOB→x ＋y ＝[再练一题]3．在例3中，若把条件“GM ∶GA ＝1∶3”换为“GM ∶GA ＝1∶1”．把“N 是面ACD 的重心”换为“AN →＝λAE →”，增加条件“B ，G ，N 三点共线”，其余不变，试求λ的值．【解】 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，∴AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋23×12(BC →＋BD →)＝AB →＋13(AC →－AB →＋AD →－AB →)＝13(a ＋b ＋c )．∴BG →＝BA →＋AG →＝BA →＋12AM →＝－a ＋16(a ＋b ＋c )＝－56a ＋16b ＋16c .BN →＝BA →＋AN →＝BA →＋λAE →＝BA →＋12λ(AC →＋AD →)＝－a ＋12λb ＋12λc .∵B ，G ，N 三点共线，故存在实数k ，使BG →＝kBN →， 即－56a ＋16b ＋16c ＝k ⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12λb ＋12λc ，故⎩⎪⎨⎪⎧－56＝－k ，16＝12λk ，解得k ＝56，λ＝25.AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)用向量法证明E ，F ，G ，H 四点共面； (2)用向量法证明BD ∥平面EFGH .图313【精彩点拨】 (1)要证E ，F ，G ，H 四点共面，根据共面向量定理的推论，只要能找到实数x ，y ，使EG →＝xEF →＋yEH →即可．(2)要证BD ∥平面EFGH ，只需证向量BD →与向量FH →，EG →共面即可． 【自主解答】(1)如图所示，连结BG ，EG ，则EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →.由共面向量定理知E ，F ，G ，H 四点共面． (2)设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ， 则BD →＝AD →－AB →＝c －a . EG →＝EA →＋AG →＝－a 2＋12(c ＋b )＝－12a ＋12b ＋12c ，HF →＝HA →＋AF →＝－12c ＋12(a ＋b )＝12a ＋12b －12c .假设存在x ，y ，使BD →＝xEG →＋yHF →. 即c －a＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b ＋12c ＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b －12c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2－x 2a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－y2c . ∵a ，b ，c 不共线． ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x2＝－1，x 2＋y2＝0，x 2－y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.∴BD →＝EG →－HF →.∴BD →，EG →，HF →是共面向量， ∵BD 不在平面EFGH 内． ∴BD ∥平面EFGH.1．空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在实数对x ，y ，使MP →＝xMA →＋yMB →.满足这个关系式的点P 都在平面MAB 内；反之，平面MAB 内的任一点P 都满足这个关系式，这个充要条件常用来证明四点共面．在许多情况下，可以用“若存在有序实数组(x ，y ，z )使得对于空间任意一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x ＋y ＋z ＝1成立，则P ，A ，B ，C 四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据．2．用共面向量定理证明线面平行的关键(1)在直线上取一向量；(2)在平面内找出两个不共线的向量，并用这两个不共线的向量表示直线上的向量； (3)说明直线不在面内，三个条件缺一不可．[再练一题]4．对于空间某一点O ，空间四个点A ，B ，C ，D (无三点共线)分别对应着向量a ＝OA →，b ＝OB →，c ＝OC →，d ＝OD →，且存在非零实数α，β，γ，δ，使αa ＋βb ＋γc ＋δd ＝0(α＋β＋γ＋δ＝0)．求证：A ，B ，C ，D 四点共面．【证明】 因为存在非零实数α，β，γ，δ使αa ＋βb ＋γc ＋δd ＝0(α＋β＋γ＋δ＝0)成立，则δ＝－(α＋β＋γ)，代入得αa ＋βb ＋γc －(α＋β＋γ)d ＝0，即α(a －d )＋β(b －d )＋γ(c －d )＝0，即αDA →＋βDB →＋γDC →＝0，∴DC →＝－αγDA →－βγDB →，∴DC →与DA →，DB →共面，即A ，B ，C ，D 四点共面．[探究共研型]探究1 【提示】 (1)用共线向量定理证明两直线平行是常用方法，但是要注意，向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括共线的情形，如果应用共线向量定理判断a ，b 所在的直线平行，还需说明a (或b )上有一点不在b (或a )上．(2)用共线向量定理证明三点共线也是常用方法，在利用该定理证明(或判断)三点A ，B ，C 共线时，只需证明存在实数λ，使AB →＝λBC →或AB →＝λAC →即可．(3)对于空间任意一点O ，若有OB →＝λOA →＋(1－λ)OC →成立，则A ，B ，C 三点共线． 探究2 如何理解共面向量定理？【提示】 (1)共面向量定理给出了平面向量的表示式，说明两个不共线的向量能确定一个平面，它是判定三个向量是否共面的依据．(2)共面向量定理的推论是判定空间四点共面的依据．探究3 若两向量共线或共面，则这两向量所在的直线有何位置关系？【提示】 两向量共线，这两向量所在的直线重合或平行，两向量共面，这两向量所在的直线共面或异面．如图314所示，平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.证明：AC 1→与AE →，AF →共面．图314【精彩点拨】 由共面向量定理，只要用AE →，AF →线性表示出AC 1→即可． 【自主解答】 ∵AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋AD →＋13AA 1→＋23AA 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋13AA 1→＋⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋23AA 1→ ＝AB →＋BE →＋AD →＋DF →＝AE →＋AF →，∴AC 1→与AE →，AF →共面． [再练一题]5．如图315，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1和A 1D 1的中点．证明：向量A 1B →，B 1C →，EF →是共面向量．图315【证明】 法一：EF →＝EB →＋BA 1→＋A 1F → ＝12B 1B →－A 1B →＋12A 1D 1→ ＝12(B 1B →＋BC →)－A 1B → ＝12B 1C →－A 1B →. 由向量共面的充要条件知，A 1B →，B 1C →，EF →是共面向量．法二：连结A 1D ，BD ，取A 1D 中点G ，连结FG ，BG ，则有FG 綊12DD 1，BE 綊12DD 1，∴FG 綊BE ，∴四边形BEFG 为平行四边形， ∴EF ∥BG .BG ⊂平面A 1BD ，EF ⊄平面A 1BD ，∴EF ∥共面A 1BD .同理，B 1C ∥A 1D ，∴B 1C ∥平面A 1BD ， ∴A 1B →，B 1C →，EF →都与平面A 1BD 平行． ∴A 1B →，B 1C →，EF →是共面向量．[构建·体系]1．已知空间四边形ABCD ，连结AC ，BD ，则AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝________. 【解析】 AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝AC →＋CD →＋DA →＝AD →＋DA →＝0.【答案】 02．已知正方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，点E 是A ′C ′的中点，点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →＝________(用a ，b ，c 表示)．【解析】 由条件AF ＝12EF 知，EF ＝2AF ，所以AF →＝13AE →＝13()AA ′→＋A ′E →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AA ′→＋12A ′C ′→＝13AA ′→＋16()AD →＋AB →＝13AA ′→＋16AB →＋16AD →＝16a ＋16b ＋13c . 【答案】 16a ＋16b ＋13c3．a ＝λb (λ是实数)是a 与b 共线的______条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”)．【解析】 a ＝λb ⇒a∥b ，但当b ＝0，a ≠0时， 则a ∥b ，a ≠λb . 【答案】 充分不必要4．设e 1，e 2是空间中两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，且A ，B ，D 三点共线，则k 的值是________. 【导学号：09390070】【解析】 ∵CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2， ∴BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2. ∵A ，B ，D 三点共线， ∴AB →＝λBD →，∴2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)＝λe 1－4λe 2. ∵e 1，e 2是空间两个不共线的向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，k ＝－4λ，∴k ＝－8. 【答案】 －85．已知▱ABCD ，从平面AC 外一点O ，引向量OE →＝kOA →，OF →＝kOB →，OG →＝kOC →，OH →＝kOD →.图316求证：(1)四点E ，F ，G ，H 共面； (2)平面AC ∥平面EG .【证明】 (1)四边形ABCD 是平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →. ∵EG →＝OG →－OE →＝k ·OC →－k ·OA →＝k (OC →－OA →) ＝kAC →＝k (AB →＋AD →) ＝k (OB →－OA →＋OD →－OA →) ＝OF →－OE →＋OH →－OE →＝EF →＋EH →，∴E ，F ，G ，H 共面．(2)∵EF →＝OF →－OE →＝k (OB →－OA →)＝k ·AB →，又∵EG →＝k ·AC →，∴EF ∥AB ，EG ∥AC ，所以平面AC ∥平面EG .我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．下列命题中，假命题是________(填序号)． ①若AB →与CD →共线，则A ，B ，C ，D 不一定在同一直线上；②只有零向量的模等于0； ③共线的单位向量都相等．【解析】 ①②正确．共线的单位向量方向不一定相同，③错误． 【答案】 ③2．下列结论中，正确的是________(填序号)． ①若a ，b ，c 共面，则存在实数x ，y ，使a ＝x b ＋y c ； ②若a ，b ，c 不共面，则不存在实数x ，y ，使a ＝x b ＋y c ； ③若a ，b ，c 共面，b ，c 不共线，则存在实数x ，y ，使a ＝x b ＋y c .【解析】 要注意共面向量定理给出的是一个充要条件．所以第②个命题正确．但定理的应用又有一个前提；b ，c 是不共线向量，否则即使三个向量a ，b ，c 共面，也不一定具有线性关系，故①不正确，③正确．【答案】 ②③3．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量OP →＝15OA →＋23OB →＋λOC →确定的点P 与A ，B ，C 共面，那么λ＝________.【解析】 ∵P 与A ，B ，C 共面，∴AP →＝αAB →＋βAC →，∴AP →＝α(OB →－OA →)＋β(OC →－OA →)，即OP →＝OA →＋αOB →－αOA →＋βOC →－βOA →＝(1－α－β)OA →＋αOB →＋βOC →，∴1－α－β＋α＋β＝1.因此15＋23＋λ＝1，解得λ＝215.【答案】2154．如图317，已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为E ，F ，则EF →＝________(用向量a ，b ，c 表示)．图317【解析】 设G 为BC 的中点，连结EG ，FG ，则EF →＝EG →＋GF →＝12AB →＋12CD →＝12(a －2c )＋12(5a ＋6b －8c ) ＝3a ＋3b －5c . 【答案】 3a ＋3b －5c5．如图318，平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1，若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，则x ＋y ＋z ＝________.图318【解析】 EF →＝AF →－AE →＝AD →＋DF →－(AB →＋BE →)＝AD →＋23DD 1→－AB →－13BB 1→＝AD →－AB →＋13AA 1→，∴x＝－1，y ＝1，z ＝13，∴x ＋y ＋z ＝13.【答案】 136．如图319，在三棱锥A BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其重心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →化简的结果为________. 【导学号：09390071】图319【解析】 ∵E 为△BCD 的重心， ∴DE ＝23DF ，DF →＝32DE →.∴AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝AB →＋BF →－AD →－32DE →＝AF →－AD →－32DE →＝DF →－32DE →＝0.【答案】 07．i ，j ，k 是三个不共面的向量，AB →＝i －2j ＋2k ，BC →＝2i ＋j －3k ，CD →＝λi ＋3j －5k ，且A ，B ，C ，D 四点共面，则λ的值为________．【解析】 若A ，B ，C ，D 四点共面，则向量AB →，BC →，CD →共面，故存在不全为零的实数a ，b ，c ，使得aAB →＋bBC →＋cCD →＝0，即a (i －2j ＋2k )＋b (2i ＋j －3k )＋c (λi ＋3j －5k )＝0， ∴(a ＋2b ＋λc )i ＋(－2a ＋b ＋3c )j ＋(2a －3b －5c )k ＝0. ∵i ，j ，k 不共面，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋λc ＝0，－2a ＋b ＋3c ＝0，2a －3b －5c ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝c ，b ＝－c ，λ＝1.【答案】 1 8．有四个命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面； ②若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y b ； ③若MP →＝xMA →＋yMB →，则P ，M ，A ，B 共面； ④若P ，M ，A ，B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →. 其中真命题是________(填序号)．【解析】 由共面向量定理知，①正确；若p 与a ，b 共面，当a 与b 共线且p 与a 和b 不共线时，就不存在实数组(x ，y )使p ＝x a ＋y b 成立，故②错误；同理③正确，④错误．【答案】 ①③ 二、解答题9．如图3110所示，ABCD A 1B 1C 1D 1中，ABCD 是平行四边形．若AE →＝12EC →，A 1F →＝2FD →，若AB →＝b ，AD →＝c ，AA 1→＝a ，试用a ，b ，c 表示EF →.图3110【解】 如图，连结AF ，则EF →＝EA →＋AF →.由已知ABCD 是平行四边形，故AC →＝AB →＋AD →＝b ＋c ，A 1D →＝A 1A →＋AD →＝－a ＋c .由已知，A 1F →＝2FD →，∴AF →＝AD →＋DF →＝AD →－FD →＝AD →－13A 1D →＝c －13(c －a )＝13(a ＋2c )，又EA →＝－13AC →＝－13(b ＋c )，∴EF →＝EA →＋AF →＝－13(b ＋c )＋13(a ＋2c )＝13(a －b ＋c )．10．如图3111所示，已知四边形ABCD 是空间四边形，E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边BC ，CD 上的点，且CF →＝23CB →，CG →＝23CD →.求证：四边形EFGH 是梯形．图3111【证明】 ∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点， ∴AE →＝12AB →，AH →＝12AD →，则EH →＝AH →－AE → ＝12AD →－12AB →＝12BD → ＝12(CD →－CB →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32CG →－32CF → ＝34(CG →－CF →)＝34FG →，∴EH →∥FG →且|EH →|＝34|FG →|≠|FG →|.又F 不在直线EH 上， ∴四边形EFGH 是梯形．[能力提升]1．平面α内有点A ，B ，C ，D ，E ，其中无三点共线，O 为空间一点，满足OA →＝12OB →＋xOC→＋yOD →，OB →＝2xOC →＋13OD →＋yOE →，则x ＋3y ＝________.【解析】 由点A ，B ，C ，D 共面得x ＋y ＝12，又由点B ，C ，D ，E 共面得2x ＋y ＝23，联立方程组解得x ＝16，y ＝13，所以x ＋3y ＝76.【答案】 762．已知点G 是△ABC 的重心，O 是空间任一点，若OA →＋OB →＋OC →＝λOG →，则λ＝________. 【解析】 如图，取AB 的中点D ，OG →＝OC →＋CG → ＝OC →＋23CD →＝OC →＋23·12(CA →＋CB →)＝OC →＋13[(OA →－OC →)＋(OB →－OC →)]＝13OA →＋13OB →＋13OC →. ∴OA →＋OB →＋OC →＝3OG →. 【答案】 33．(2016·贵港高二检测)在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p ，总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c .其中正确命题的个数是______．【解析】 a 与b 共线，a ，b 所在直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任两向量a ，b 都共面，故②不正确；三个向量a ，b ，c 中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，故④不正确．综上可知，四个命题中正确的个数为0.【答案】 04．如图3112，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，AB ＝2EF ，H 为BC 的中点．求证：FH ∥平面EDB .图3112【证明】 因为H 为BC 的中点，所以FH →＝12(FB →＋FC →)＝12(FE →＋EB →＋FE →＋ED →＋DC →)＝12(2FE→＋EB →＋ED →＋DC →)．因为EF ∥AB ，CD ∥AB ，且AB ＝2EF ，所以2FE →＋DC →＝0，所以FH →＝12(EB →＋ED →)＝12EB →＋12ED →.因为EB →与ED →不共线，由共面向量定理知，FH →，EB →，ED →共面． 因为FH ⊄平面EDB ， 所以FH ∥平面EDB .。
高中数学3章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.4空间向量的坐标表示1数学
3．1.4 空间向量的坐标表示[对应学生用书P56]空间向量的坐标表示在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，建立空间直角坐标系(如图)，在x轴，y轴，z 轴上分别取三个单位向量i，j，k.AD.问题1：用i，j，k表示AC，1AD＝j＋k.提示：AC＝i＋j，1AC＝x i＋y j＋z k，则x，y，z为多少？与点C1的坐标有什么关系？问题2：若1AC＝i＋j＋k，提示：∵1∴x＝1，y＝1，z＝1，(x，y，z)＝(1,1,1)与C1的坐标相同．在空间直角坐标系O－xyz中，分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量i、j、k 作为基向量．对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使a＝x i＋y j＋z k，有序实数组(x，y，z)叫做向量a在空间直角坐标系O－xyz中的坐标，记作a＝(x，y，z).空间向量的坐标运算这三个力为F1，F2，F3，它们两两垂直，且|F1|＝3 000 N，|F2|＝2 000 N，|F3|＝2 000 3 N.问题1：若以F1，F2，F3的方向分别为x轴，y轴，z轴正半轴建立空间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？提示：F＝(3 000,2 000,2 0003)．问题2：巨石受到的合力有多大？提示：|F|＝5 000 N.1．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R.2．空间向量平行的坐标表示为a∥b(a≠0)⇔b1＝λa1，b2＝λa2，b3＝λa3(λ∈R)．3．一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标．1．确定空间向量的坐标的方法：(1)向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，可先求其两端点的坐标．(2)通过向量间的坐标运算求得新向量的坐标．2．空间向量的坐标运算：(1)向量的加减等于对应坐标的加减，其结果仍是向量．(2)向量与实数相乘等于实数与其坐标分别相乘，其结果仍是向量．[对应学生用书P57] 空间向量的坐标表示[例1] AB 、PC 的中点，并且PA ＝AB ＝1.求向量MN 的坐标．[思路点拨] 以AB 、AD 、AP 为单位正交基底建立空间直角坐标系，用AB 、AD 、AP 表示MN ，得其坐标．[精解详析]∵PA ＝AB ＝AD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ， ∴AB 、AD 、AP 是两两垂直的单位向量．设AB ＝e 1，AD ＝e 2，AP ＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系A －xyz .法一：∵MN ＝MA ＋AP ＋PN ＝－12AB ＋AP ＋12PC ＝－12AB ＋AP ＋12(PA ＋AC ) ＝－12AB ＋AP ＋12(PA ＋AB ＋AD ) ＝12AP ＋12AD ＝12e 2＋12e 3， ∴MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12. 法二： 如图所示，连结AC 、BD 交于点O .则O 为AC 、BD 的中点．∴MO ＝12BC ＝12AD ，ON ＝12AP ，∴MN ＝MO ＋ON ＝12AD ＋12AP ＝12e 2＋12e 3， ∴MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12. [一点通] 用坐标表示空间向量的解题方法与步骤：1.已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E ，F 分别为BB 1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出1DB ，DE ，DF 的坐标．解：设x 、y 、z 轴的单位向量分别为e 1，e 2，e 3，其方向与各轴上的正方向相同，则1DB ＝DA ＋AB ＋1BB＝2e 1＋2e 2＋2e 3，∴1DB ＝(2,2,2)．∵DE ＝DA ＋AB ＋BE ＝2e 1＋2e 2＋e 3，∴DE ＝(2,2,1)．又∵DF ＝e 2，∴DF ＝(0,1,0)．2.在直三棱柱ABO －A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求DO 、1A B 的坐标．解：(1)∵DO ＝－OD ＝－(1OO ＋1O D )＝－[1OO ＋12(＋)] ＝－1OO －12－12. 又|1OO |＝4，||＝4，||＝2，∴DO ＝(－2，－1，－4)．(2)∵1A B ＝－1OA ＝－(＋1AA )＝－－1AA .又||＝2，||＝4，|1AA |＝4，∴1A B ＝(－4,2，－4)．3．已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标是(2,3，－1)，求p 在基底{a ，a ＋b ，a ＋b ＋c }下的坐标．解：由已知p ＝2a ＋3b －c ，设p ＝x a ＋y (a ＋b )＋z (a ＋b ＋c )＝(x ＋y ＋z )a ＋(y ＋z )b ＋z c .由向量分解的惟一性，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋z ＝2，y ＋z ＝3，z ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4，z ＝－1. ∴p 在基底{a ，a ＋b ，a ＋b ＋c }下的坐标为(－1,4，－1). 空间向量的坐标运算[例2] 已知a 求：a ＋b ，a －b,3a ＋2b .[思路点拨] 空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似．[精解详析] a ＋b ＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2＋0，－1＋(－1)，－2＋4)＝(2，－2,2)．a －b ＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2,0，－6)．3a ＋2b ＝3(2，－1，－2)＋2(0，－1,4)＝(6，－3，－6)＋(0，－2,8)＝(6，－5,2)．[一点通] 空间向量的加、减、数乘运算是今后利用向量知识解决立体几何知识的基础，必须熟练掌握，并且能够灵活应用．4．已知a ＝(1，－2,4)，b ＝(1,0,3)，c ＝(0,0,2)．求：(1)a －(b ＋c )；(2)4a －b ＋2c .解：(1)∵b ＋c ＝(1,0,5)，∴a －(b ＋c )＝(1，－2,4)－(1,0,5)＝(0，－2，－1)．(2)4a －b ＋2c ＝(4，－8,16)－(1,0,3)＋(0,0,4)＝(3，－8,17)．5．已知O 为原点，A ，B ，C ，D 四点的坐标分别为：A (2，－4,1)，B (3，2,0)，C (－2,1,4)，D (6,3,2)，求满足下列条件的点P 的坐标．(1)＝2(AB －AC )；(2)AP ＝AB －DC .解：(1)AB －AC ＝＝(3,2,0)－(－2,1,4)＝(5,1，－4)，∴＝2(5,1，－4)＝(10,2，－8)，∴点P 的坐标为(10,2，－8)．(2)设P (x ，y ，z )，则AP ＝(x －2，y ＋4，z －1)，又AB ＝(1,6，－1)，DC ＝(－8，－2,2)，∴AB －DC ＝(9,8，－3)，∴(x －2，y ＋4，z －1)＝(9,8，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝9，y ＋4＝8，z －1＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝11，y ＝4，z ＝－2.所以点P 的坐标为(11,4，－2). 空间向量的平行[例3] ，－1)，C (－1,1，－3)，D (3，－5,3)，求证：四边形ABCD 是一个梯形．[思路点拨] 证明AB ∥且AD 不平行BC ，或证AB ∥且|AB |≠||即可．[精解详析] ∵AB ＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)， ∴－24＝3－6＝－36， ∴AB 与共线，即AB ∥CD ，又∵AD ＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)，BC ＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)，∴0－2≠－4－1≠1－2，∴AD 与BC 不平行．∴四边形ABCD 为梯形．[一点通]利用空间向量的坐标运算证明线线平行时，应该遵循的步骤是：(1)建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标；(2)写出相应向量的坐标；(3)证明两个向量平行；(4)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一向量所在的直线上，从而证得线线平行．6．设a ＝(1,2，－1)，b ＝(－2,3,2)．若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k 的值．解：∵k a ＋b ＝(k,2k ，－k )＋(－2,3,2)＝(k －2,2k ＋3,2－k )，a －3b ＝(1,2，－1)－(－6,9,6)＝(7，－7，－7)．∵(k a ＋b )∥(a －3b )，∴k －27＝2k ＋3－7＝2－k－7，∴k ＝－13. 7.如图，在长方体OAEB －O 1A 1E 1B 1中，OA ＝3，OB ＝4，OO 1＝2，点P 在棱AA 1上，且AP ＝2PA 1，点S 在棱BB 1上，且SB 1＝2BS ，点Q 、R分别是棱O 1B 1、AE 的中点．求证：PQ ∥RS .证明：如图，建立空间直角坐标系，则A (3,0,0)，B (0,4,0)，O 1(0,0,2)，A 1(3,0,2)，B 1(0,4,2)．∵PA ＝2PA 1，SB 1＝2BS ，Q 、R 分别是棱O 1B 1、AE 的中点，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，43，Q (0,2,2)，R (3,2,0)，S ⎝⎛⎭⎪⎫0，4，23. 于是PQ ＝⎝⎛⎭⎪⎫－3，2，23＝.∴PQ ∥. ∵R ∉PQ ，∴PQ ∥RS .1．运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤：(1)建立恰当的空间直角坐标系；(2)求出相关点的坐标；(3)写出向量的坐标；(4)结合公式进行论证、计算；(5)转化为几何结论．2．用空间向量的坐标运算解决问题的前提是建立恰当的空间直角坐标系，为便于坐标的求解及运算，在建立空间直角坐标系时，要充分分析空间几何体的结构特点，应使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内．[对应课时跟踪训练(二十一)]1．已知a ＝(1，－2,1)，a －b ＝(－1,2，－1)，则b ＝________.解析：b ＝a －(a －b )＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)．答案：(2，－4,2)2．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(2,1,3)，其中a ＝4i ＋2j ，b ＝2j ＋3k ，c ＝3k －j ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为________．解析：由题意知点A 对应向量为2a ＋b ＋3c ＝2(4i ＋2j )＋(2j ＋3k )＋3(3k －j )＝8i ＋3j ＋12k ，故点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(8,3,12)．答案：(8,3,12)3．已知向量a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,0，λ)，若a 、b 、c 三个向量共面，则实数λ＝________.解析：由a 、b 、c 共面可得c ＝x a ＋y b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7＝2x －y ，0＝－x ＋4y ，λ＝3x －2y ，解得λ＝10.答案：104．已知a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，若a ∥b ，则x ＝_______________， y ＝________.解析：∵a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，又∵a ∥b ，显然y ≠0，∴2x 1＝1－2y ＝39， ∴x ＝16，y ＝－32. 答案：16 －325．已知点A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C 为线段AB 上一点，且AC ＝13AB ，则C 点坐标为________．解析：设C 点坐标(x ，y ，z )，则AC ＝(x －4，y －1，z －3)．∵AB ＝(－2，－6，－2)，∴13AB ＝13(－2，－6，－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－2，－23， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －4＝－23，y －1＝－2，z －3＝－23.解得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝103，y ＝－1，z ＝73.答案：(103，－1，73) 6．已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且PA ＝AD ＝1，试建立适当的坐标系并写出向量MN ，DC 的坐标．解：如图，因为PA ＝AD ＝AB ＝1，且PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥AB ，所以可设AD ＝e 1，AB ＝e 2，AP ＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系A xyz .因为DC ＝AB ＝e 2， MN ＝MA ＋AP ＋PN ＝MA ＋AP ＋12PC＝－12AB ＋AP ＋12(PA ＋AD ＋DC ) ＝－12e 2＋e 3＋12(－e 3＋e 1＋e 2)＝12e 1＋12e 3. 所以MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12，DC ＝(0,1,0)． 7．已知A 、B 、C 三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)、(－2,2,3)．求点P 的坐标，使：(1)＝12(AB －AC )； (2)AP ＝12(AB －AC )．解：AB ＝(2,6，－3)，AC ＝(－4,3,1)．(1)＝12(6,3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2， 则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2. (2)设P 为(x ，y ，z )，则AP ＝(x －2，y ＋1，z －2) ＝12(AB －AC )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2， ∴x ＝5，y ＝12，z ＝0，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，0. 8. 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DA ＝DC ＝4，DD 1＝3，点P 是线段BD 1上一动点，E 是BC 的中点，当点P 在什么位置时，PE ∥A 1B?解：以D 为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则A 1(4,0,3)，B (4,4,0)，C (0,4,0)，D 1(0，0,3)．∵E 为BC 的中点，∴E (2,4,0)．∴1A B ＝(4,4,0)－(4,0,3)＝(0,4，－3)，1BD ＝(0,0,3)－(4,4,0)＝(－4，－4,3)， EB ＝(4,4,0)－(2,4,0)＝(2,0,0)．设BP ＝λ1BD ，则EP ＝EB ＋BP ＝EB ＋λ1BD . ∵EB ＝(2,0,0)，λ1BD ＝(－4λ，－4λ，3λ)， ∴EP ＝(2－4λ，－4λ，3λ)．由PE ∥A 1B ，得EP ∥1A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2－4λ＝0，－4λ4＝3λ－3. ∴λ＝12. 此时点P 为BD 1的中点．故当点P 为BD 1的中点时，PE ∥A 1B .。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算a21
12/13/2021
答案
拓展提升 1.空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法 运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接． (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时， 务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得 更准确的结果．
2.向量可以平移，任意两个向量都是共面向量．因此空间两个向量的加、 减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进 行.
3.空间向量进行减法运算时，一定要抓住向量的起点与终点，否则容易
导致结果计算错误．如→AB－A→D，误写成B→D，应为D→B.
12/13/2021
12/13/2021
[答案] A
12/13/2021
解析
答案
拓展提升 处理向量概念问题要关注的两个要素和两个关系
(1)两个要素 判断与向量有关的命题时，要抓住向量的两个主要要素，即大小与方向， 两者缺一不可．
12/13/2021
(2)两个关系 ①模相等与向量相等的关系：两个向量的模相等，则它们的长度相等， 但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分 条件． ②向量的模与向量大小的关系：由于方向不能比较大小，因此“大 于”“小于”对向量来说是没有意义的．但向量的模是可以比较大小的．
向且等长的有向线段表示 □14 同一向量 或 □15 相等向量 .
12/13/2021
2．空间向量的加减法 (1)定义 类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：
12/13/2021
O→B＝→OA＋A→B＝ □16 a＋b ； C→A＝→OA－O→C＝ □17 a－b .
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1
3.1.1 空间向量的线性运算
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则MG→－AB→＋AD→＝( )
A．2DB→ B．3MG→
C．3GM→ D．2MG→
【解析】 MG→－AB→＋AD→＝MG→＋BD→＝MG→＋2MG→＝3MG→.
【答案】 B
2．在平行六面体ABCDA′B′C′D′中，与向量A′B′→的模相等的向量有( )
【导学号：15460060】
A．7个 B．3个
C．5个 D．6个
【解析】 |D′C′→|＝|DC→|＝|C′D′→|＝|CD→|＝|BA→|＝|AB→|＝|B′A′→|＝|A′B′→|.
【答案】 A
3．在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，用向量AB→，AD→，AA1→表示向量BD1→的结果为( )
图3110
A.BD1→＝AB→－AD→＋AA1→
B.BD1→＝AD→＋AA1→－AB→
C.BD1→＝AB→＋AD→－AA1→
D.BD1→＝AB→＋AD→＋AA1→
【解析】 BD1→＝BA→＋AA1→＋A1D1→＝－AB→＋AA1→＋AD→.故选B.
【答案】 B
4．在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列各式中运算结果为BD1→的是( )
①(A1D1→－A1A→)－AB→；
2
②(BC→＋BB1→)－D1C1→；
③(AD→－AB→)－DD1→；
④(B1D1→－A1A→)＋DD1→.
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
【解析】 ①(A1D1→－A1A→)－AB→＝AD1→－AB→＝BD1→；
②(BC→＋BB1→)－D1C1→＝BC1→－D1C1→＝BD1→；
③(AD→－AB→)－DD1→＝BD→－DD1→≠BD1→；
④(B1D1→－A1A→)＋DD1→＝BD1→＋DD1→.
【答案】 A
5．在四面体OABC中，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，D为BC中点，E为AD的中点，则OE→＝( )
A.12a－14b＋14c
B．a－12b＋12c
C.12a＋14b＋14c
D.14a＋12b＋14c
【解析】 OE→＝OA→＋AE→＝OA→＋12AD→
＝OA→＋12×12(AB→＋AC→)
＝OA→＋14(OB→－OA→＋OC→－OA→)
3
＝12OA→＋14OB→＋14OC→
＝12a＋14b＋14c.
【答案】 C
二、填空题
6．下列说法正确的有________(填序号)．
①向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；
②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
④有向线段就是向量，向量就是有向线段．
【解析】 由平行向量的定义可知①正确；由相等向量定义知②正确；有公共终点的向
量的基线不一定平行或重合，故③错误；有向线段是向量的几何表示，有向线段与向量不是
同一概念，故④错误．
【答案】 ①②
7．化简：(AB→－CD→)－(AC→－BD→)＝________.
【解析】 (AB→－CD→)－(AC→－BD→)＝AB→－CD→－AC→＋BD→＝(AB→＋BD→)－(AC→＋CD→)＝AD→－AD→＝0.
【答案】 0
8．在空间四边形ABCD中，AB→＝a－2c，CD→＝5a－5b＋8c，对角线AC，BD的中点分别是
E，F，则EF
→
＝________.
【解析】 EF→＝12(ED→＋EB→)＝14(AD→＋CD→)＋14(AB→＋CB→)＝14AB→＋14BD→＋14CD→＋14AB→＋14CD→＋
1
4
DB
→
＝12(AB→＋CD→)＝3a－52b＋3c.
【答案】 3a－52b＋3c
三、解答题
9．在长方体ABCDA1B1C1D1中，化简DA→－DB→＋B1C→－B1B→＋A1B1→－A1B→.
【解】 如图．
DA→－DB→＋B1C→－B1B→＋A1B1→－A1B
→
4
＝(DA→－DB→)＋(B1C→－B1B→)＋(A1B1→－A1B→)
＝BA→＋BC→＋BB1→＝BD→＋BB1→＝BD1→.
10．如图3111，在长、宽、高分别为AB＝3，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD
A1B1C1D
1
的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，
图3111
(1)单位向量共有多少个；
(2)试写出模为5的所有向量；
(3)试写出与AB→相等的所有向量；
(4)试写出AA1→的相反向量．
【解】 (1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量AA1→，A1A→，BB1→，B1B→，
CC1→，C1C→，DD1→，D1D
→
.共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8
个．
(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD1→，D1A→，A1D→，
DA1→，BC1→，C1B→，B1C→，CB
1
→
，共8个．
(3)与向量AB→相等的所有向量(除它自身之外)共有A1B1→，DC→及D1C1→，共3个．
(4)向量AA1→的相反向量为A1A→，B1B→，C1C→，D1D→，共4个．
[能力提升]
1．已知λ，μ∈R，给出以下命题：
①λ<0，a≠0时，λa与a的方向一定相反；
②λ≠0，a≠0时，λa与a是共线向量；
③λμ>0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同；
④λμ<0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反．
其中正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 由数乘的定义及性质可知①②③④均正确．
【答案】 D
5
2．已知点M是△ABC的重心，并且对空间任意一点O，有OM→＝xOA→＋13OB→＋13OC→，则x的
值为( )
A．1 B．0
C．3 D．13
【解析】 因为M为△ABC的重心，设BC的中点为D，
所以OM→＝OA→＋23AD→＝OA→＋23(OD→－OA→)
＝13OA→＋23·12(OB→＋OC→)＝13OA→＋13OB→＋13OC→，
故x＝13.
【答案】 D
3．在三棱锥ABCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则有AB→＋12BC→－32DE→－AD→化简
的结果为________.
【导学号：15460061】
【解析】 延长DE交边BC于点F，则AB→＋12BC→＝AF→，32DE→＋AD→＝AD→＋DF→＝AF→，故AB→＋
1
2
BC
→
－32DE→－AD→＝0.
【答案】 0
4．如图3112所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，O是B1D1的中点，若B1C→＝xOD→＋
yOC1→，则x，y
的值分别为多少？
图3112
6
【解】 设C1B1→＝a，
C1D1→＝b，C1C→＝c
，
∵四边形B1C1D1A1为平行四边形，∴B1C→＝c－a，
又O是B1D1的中点，
∴C1O→＝12(a＋b)，
∴OC1→＝－12(a＋b)，
OD1→＝C1D1→－C1O→＝b－12(a＋b)＝12(b－a
)．
∵D1D綊C1C，∴D1D→＝c，
∴OD→＝OD1→＋D1D→＝12(b－a)＋c.
若存在实数x，y，使B1C→＝xOD→＋yOC1→(x，y∈R)成立，则
c－a＝x12b－a＋c＋y
－12a＋b
＝－12(x＋y)a＋12(x－y)b＋xc.
∵a，b，c不共线，∴ 12x＋y＝1，12x－y＝0，x＝1，
得 x＝1，y＝1.