双曲线标准方程及几何性质知识点及习题

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双曲线专题 (优秀经典练习题及答案详解)

双曲线专题一、学习目标：1.理解双曲线的定义；2.熟悉双曲线的简单几何性质；3.能根据双曲线的定义和几何性质解决简单实际题目.二、知识点梳理定义1、到两个定点1F 与2F 的距离之差的绝对值等于定长（小于21F F ）的点的轨迹2、到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数()1>e ee （＞1）的点的轨迹标准方程-22a x 22b y =1()0,0>>b a -22a y 22bx =1()0,0>>b a 图形性质范围a x ≥或a x -≤，R y ∈R x ∈，a y ≥或a y -≤对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点渐近线x a by ±=x b a y ±=顶点坐标 ()0,1a A -，()0,2a A ()b B -,01，()b B ,02 ()a A -,01，()a A ,02()0,1b B -，()0,2b B焦点 ()0,1c F -，()0,2c F()c F -,01，()c F ,02轴实轴21A A 的长为a 2 虚轴21B B 的长为b 2离心率1>=ace ，其中22b a c += 准线准线方程是c a x 2±=准线方程是ca y 2±=三、课堂练习1、双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为（）A 、2,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B 、5,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C 、6,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D 、()3,01.解析：C2.设椭圆C 1的离心率为，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为（）A ． ﹣=1B ．﹣=1C ．﹣=1D ．﹣=12.解析A ：在椭圆C 1中，由，得椭圆C 1的焦点为F 1（﹣5，0），F 2（5，0），曲线C 2是以F 1、F 2为焦点，实轴长为8的双曲线，故C 2的标准方程为：﹣=1，故选A ．3.已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2=( ) A.14 B.35 C.34 D.453.解析C ：依题意得a ＝b ＝2，∴c ＝2. ∵|PF 1|＝2|PF 2|，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝2m .又|PF 1|－|PF 2|＝22＝m . ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝2 2. 又|F 1F 2|＝4，∴cos ∠F 1PF 2＝422＋222－422×42×22＝34.故选C.4.已知双曲线的两个焦点为F 1（﹣，0）、F 2（，0），P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|•|PF 2|=2，则该双曲线的方程是（） A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣y 2=1D.x 2﹣=14.解析C ：解：设双曲线的方程为﹣=1．由题意得||PF 1|﹣|PF 2||=2a ，|PF 1|2+|PF 2|2=（2）2=20．又∵|PF 1|•|PF 2|=2， ∴4a 2=20﹣2×2=16 ∴a 2=4，b 2=5﹣4=1．所以双曲线的方程为﹣y 2=1．故选C ．5.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1B.x 25－y 220＝1C.x 280－y 220＝1D.x 220－y 280＝1 5.解析A ：设焦距为2c ，则得c ＝5.点P (2,1)在双曲线的渐近线y ＝±ba x 上，得a ＝2b .结合c＝5，得4b 2＋b 2＝25，解得b 2＝5，a 2＝20，所以双曲线方程为x 220－y 25＝1. 6.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．86.解析C ：设等轴双曲线方程为x 2－y 2＝a 2，根据题意，得抛物线的准线方程为x ＝－4，代入双曲线的方程得16－y 2＝a 2，因为|AB |＝43，所以16－(23)2＝a 2，即a 2＝4，所以2a ＝4，所以选C. 7.平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．7.解析：双曲线的右焦点(4,0)，点M (3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.8.以知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，则PF PA + 的最小值为。

双曲线知识点及练习

双曲线知识点填空:1．双曲线的标准方程: (焦点在y 轴上)；（焦点在x 轴上）2．双曲线标准方程的统一形式：当时，此方程表示的是；当相等的时候，双曲线叫做。

*统一形式的使用是鉴于不知道双曲线或者椭圆的所处的位置。

3．椭圆的第一定义：平面内与两定点F 1、F 2的距离之为 |F 1F 2|的常数的点的轨迹叫做椭圆。

其中F 1、F 2叫做 ,|F 1F 2|叫做。

此常数为2a,则其表达式为：|PF 1|+|PF 2|=所以：当2a> 时，其轨迹是；当2a< 时，其轨迹；当2a= 时，其轨迹为。

4．双曲线第一的定义：与两定点、的距离之的为 |F 1F 2|的常数的点的轨迹叫做。

此常数为，表达式为：||PF 1| |PF 2||= 。

若当a< 时，其轨迹是；当a> 时，其轨迹；当a= 时，其轨迹为以、为两端点的两条（即线段|F 1F 2|的和反向）注意：当|PF 1|-|PF 2|=2a 时，点p 的轨迹为靠近的双曲线的；当|PF 1|-|PF 2|=-2a 时，点p 的轨迹即为靠近的另一支（左支）。

a 、b 、c 满足关系。

椭圆的第二定义：平面上到定点的距离与到定直线的距离之为常数（），当，点的轨迹方程是椭圆；*当，点的轨迹方程是双曲线；当，点的轨迹方程是抛物线。

5．双曲线的几何性质：（1）双曲线的范围：|x| ,故双曲线是在两条直线的外侧，是无限延伸的。

（2）顶点坐标（焦点在x 轴上）：，其中|A 1A 2|叫做 = ；|B 1B 2|叫做 = ；所以半实轴长= ，半虚轴长= 。

（3）渐近线：焦点在x 轴上的渐近线方程：；y 轴上：（4）双曲线的离心率：e= ,当双曲线的离心率越大，双曲线的“张口”越（5）等轴双曲线：即 = （a=b ）,渐近线方程：，两条渐近线的夹角为，离心率为双曲线练习题:1．θ是第三象限角，方程x 2+y 2sin θ=cos θ表示的曲线是（）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在x 轴上的双曲线D ．焦点在y 轴上的双曲线2．“a b<0”是“方程ax 2+b y 2 =c 表示双曲线”的（） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件3．一动圆与两圆：x 2+y 2=1和x 2+y 2-8x +12=0都外切，则动圆心的轨迹为（） A ．抛物线 B ．圆 C ．双曲线的一支 D ．椭圆4．双曲线虚半轴长为5，焦距为6，则双曲线离心率是（） A ．35 B ．53C ．23D ．32 5．过点P （2，-2）且与22x -y 2=1有相同渐近线的双曲线方程是（）A ．14222=-x y B ．12422=-y x C ．12422=-x yD ．14222=-y x 6．双曲线191622=-y x 右支上一点P 到右准线距离为18，则点P 到右焦点距离为（） A ．245 B ．558 C ．229 D ．532 7．过双曲线x 2-22y =1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|=4，这样的直线有（） A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条 8．双曲线3x 2-y 2=3的渐近线方程是（）A ．y =±3xB ．y =±31xC ．y =±3xD ．y =±33x 9．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2=120°，则双曲线的离心率为（）A ．3B ．26C ．36D ．33 10．设双曲线12222=-by a x （0<a <b ）的半焦距为c ，直线l 过（a ，0），（0，b ）两点，已知原点到直线l 的距离为43c ，则双曲线的离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．332 11．11422=-+-t y t x 表示双曲线，则实数t 的取值范围是． 12．双曲线191622-=-y x 的准线方程是． 13．焦点为F 1（-4，0）和F 2（4，0），离心率为2的双曲线的方程是．14．设圆过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是．15．已知双曲线与椭圆1244922=+y x 共焦点，且以x y 34±=为渐近线，求双曲线方程．(12分) 16．双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，两准线间距离为29，并且与直线)4(31-=x y 相交所得弦的中点的横坐标是32-，求这个双曲线方程．(12分)(考点:待定系数法,韦达定理,中点公式)17．F 1、F 2是116922=-x y 双曲线的两个焦点，M 是双曲线上一点，且3221=⋅MF MF ，求三角形△F 1MF 2的面积．（12分）(考点:定义法)18．一炮弹在A 处的东偏北60°的某处爆炸，在A 处测到爆炸信号的时间比在B 处早4秒，已知A 在B 的正东方、相距6千米， P 为爆炸地点，（该信号的传播速度为每秒1千米）求A 、P 两地的距离．(14分)(考点:双曲线定义,求直线方程,两点之间距离公式)16．(12分) [解析]：设双曲线方程为12222=-by a x （a >0，b>0），∵两准线间距离为29，∴c a 22⋅=29，得=2a 49c ，c c b 4922-= ① ∵双曲线与直线相交，由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-)4(3112222x y b y a x 得0)916(98)9(222222=+-+-a b x a x a b ，由题意可知0922≠-a b ，且32)9(298222221-=--=+a b a x x 2297b a =⇒ ② 联立①②解得：92=a ，72=b 所以双曲线方程为17922=-y x ． 17．（12分） [解析]：由题意可得双曲线的两个焦点是F 1（0，-5）、F 2（0，5），由双曲线定义得：621=-MF MF ，联立3221=⋅MF MF 得21MF +22MF =100=221F F ，所以△F 1MF 2是直角三角形，从而其面积为S =162121=⋅MF MF 18．(14分) [解析]：以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则A （3，0）、B （－3，0） 3,5,2614||||===∴<⨯=-c b a PA PB15422=-∴y x P 是双曲线右支上的一点 ∵P 在A 的东偏北60°方向，∴360tan == AP k ． ∴线段AP 所在的直线方程为)3(3-=x y解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>-==-00)3(315422y x x y y x ⎩⎨⎧==358y x 得，即P 点的坐标为（8，35） ∴A 、P 两地的距离为22)350()83(-+-=AP =10（千米）．。

双曲线知识点总结例题

Ａ． B. C. Ｄ.【例3】已知双曲线与点M(5，3），F为右焦点，若双曲线上有一点Ｐ，使最小，则P点的坐标为考点2、求双曲线的方程求双曲线标准方程的方法１。

定义法，根据题目的条件，若满足定义,求出相应a、b、c即可求得方程. 2．待定系数法（２)待定系数法求双曲线方程的常用方法①与双曲线错误!－错误!=1有共同渐近线的双曲线方程可表示为错误!—错误!=ｔ（t≠０）；②若双曲线的渐近线方程是ｙ＝±错误!x，则双曲线的方程可表示为错误!－错误!＝t（ｔ≠0）；③与双曲线错误!—错误!＝1共焦点的方程可表示为错误!-错误!＝1（－b2＜k＜a2）;④过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为错误!+错误!=1（mn＜0)；⑤与椭圆错误!＋错误!=1(a〉ｂ＞0)有共同焦点的双曲线方程可表示为错误!＋错误!=1(ｂ２<λ〈a2).例4、求下列条件下的双曲线的标准方程．（1）与双曲线错误!-错误!＝1有共同的渐近线，且过点(－3，2）;(2)与双曲线错误!—错误!=１有公共焦点，且过点（3，2）。

1。

在双曲线的标准方程中，若x２的系数是正的,那么焦点在x轴上；如果y2的系数是正的，那么焦点在y轴上,且对于双曲线，a不一定大于b。

2。

若不能确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为:mx2+ny2＝1（mn<0），以避免分类讨论。

考点３、双曲线的几何性质双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切，解题时要深刻理解确定双曲线的形状、大小的几个主要特征量,如a、ｂ、c、ｅ的几何意义及它们的相互关系，充分利用双曲线的渐近线方程,简化解题过程例5、（12分)双曲线Ｃ：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞０）的右顶点为Ａ，x轴上有一点Q(2a，0)，若C上存在一点P,使错误!·错误!=0,求此双曲线离心率的取值范围。

例6、【活学活用】3。

（2012北京期末检测)若双曲线错误!—错误!＝１（a〉0,b>0）的两个焦点分别为F１、F2，P为双曲线上一点，且｜PＦ1|＝３｜PＦ2|,则该双曲线的离心率ｅ的取值范围是______＿＿。

双曲线知识点总结及经典练习题

双曲线知识点总结及经典练习题圆锥曲线（三）------双曲线知识点一：双曲线定义平面内与两个定点F i , F2的距离之差的绝对值等于常数（小于|F I F2| ）的点的轨迹称为双曲线•即：||MF1 | |MF2 || 2a,（2a | F1 F2 |）。

这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距.1.双曲线的定义中，常数2a应当满足的约束条件：『囲-f耳卜力兰區禺|，这可以借助于三角形中边的相关性质两边之差小于第三边”来理解；2.若去掉定义中的绝对值”常数□满足约束条件：1纠卜戸场1“—1瓦码1^ - ■），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点F2的一支；若|^|-|^| = 2^<|^|严>0 ），贝劇点轨迹仅表示双曲线中靠焦点Fi的一支；3•若常数a 满足约束条件：||珂T輕卜加=|垃也则动点轨迹是以F i、F2为端点的两条射线（包括端点）；若常数a满足约束条件：||〃1卜『码|| =加二・冈珂|，则动点轨迹不存在；5 •若常数a 0,贝劇点轨迹为线段F i F2的垂直平分线。

知识点二：双曲线的标准方程1•当焦点在工‘轴上时，双曲线的标准方程，其中/二F十沪.2•当焦点在，轴上时，双曲线的标准方程：—L -………V ，其中r a—沖+护注意：1 •只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到双曲线的标准方程；2•在双曲线的两种标准方程中，都有''-；3•双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当匕的系数为正时，焦点在工轴上，双曲线的焦点坐标为■；当厂的系数为正时，焦点在T轴上，双曲线的焦点坐标为，.知识点三：双曲线性质1、双曲线, 下（a> 0，b> 0）的简单几何性质一 f y(1)对称性：对于双曲线标准方程r 丁(a>0, b>0),把x换成一x,或把y换成一y,或把x、y同时换成一X、一y,方程都不变，所以双曲线一-- (a> 0, b> 0)是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。

2021-2022学年高二数学考点题型技巧突破第08讲双曲线的标准方程与几何性质(解析版)

第08讲双曲线的标准方程与几何性质【知识积累】1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零❶常数(小于|F1F2|)❷的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0.2．双曲线的标准方程和几何性质x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R若将双曲线的定义中的“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉，则点的集合是双曲线的一支，具体是左支还是右支视情况而定．设双曲线上的点M到两焦点F1，F2的距离之差的绝对值为2a，则0＜2a＜|F1F2|，这一条件不能忽略．①若2a＝|F1F2|，则点M的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线；②若2a＞|F1F2|，则点M的轨迹不存在；③若2a＝0，则点M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.[熟记常用结论]1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .2．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为22b a；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .4．若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝2tan 2b θ，其中θ为∠F 1PF 2.5．若P 是双曲线22221x y a b-= (a ＞0，b ＞0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2内切圆的圆心，则圆心I 的横坐标为定值a .6．等轴双曲线(1)定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线． (2)性质：①a ＝b ；②e；③渐近线互相垂直； 7．共轭双曲线(1)定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．(2)性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1.【专项训练】题型一：双曲线的方程例1、双曲线的焦点在x 轴上，且a +c =9，b =3，则双曲线的标准方程为________．【答案】x 216−y 29=1解：因为a 2+b 2=c 2，b =3，a +c =9，解得c =5，a =4．所以双曲线的标准方程x 216−y 29=1．故答案为x 216−y 29=1．训练1、经过点P (3,154)，Q (−163,5)的双曲线的方程是_______．【答案】y 29−x 216=1解：设双曲线方程为x 2m+y 2n=1(mn <0)，∵P ，Q 两点在双曲线上， ∴{9m+22516n =1,2569m+25n=1,解得{m =−16,n =9.∴所求双曲线的标准方程为y 29−x 216=1．训练2、已知双曲线的一个焦点坐标为(√6,0)，且经过点(−5,2)，则双曲线的标准方程为( )A. x 25−y 2=1B. y 25−x 2=1C. x 225−y 2=1 D. x 24−y 22=1【答案】A【解答】解：设双曲线的标准方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)， ∵双曲线的一个焦点坐标为(√6,0)，且经过点(−5,2)， ∴{25a 2−4b 2=1a 2+b 2=6，得a =√5，b =1， ∴双曲线的标准方程为x 25−y 2=1，故选A ．例2、双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的√2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A. x 24−y 24=1 B. y 24−x24=1 C. y 24−x28=1 D. x 28−y 24=1 【答案】B解：由题意得方程组{a =2,2a +2b =√2·2c,a 2+b 2=c 2,得a =2，b =2． ∵双曲线的焦点在y 轴上， ∴双曲线的标准方程为y 24−x 24=1．故选B ．训练1、已知双曲线x 2m−y 2m+6=1(m >0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程是( ) A.x 22−y 24=1 B.x 24−y 28=1 C. x 2−y 28=1 D.x 22−y 28=1【答案】D 解：双曲线x 2m−y 2m+6=1(m >0)的虚轴长是实轴长的2倍，可得4√m =2√m +6，解得m =2，则双曲线的标准方程是：x 22−y 28=1．故选：D ．训练2、设m 是常数，若点F(0,5)是双曲线y 2m−x 29=1的一个焦点，则m = ．【答案】16【解答】解：由点F(0,5)可知该双曲线y2m −x29=1的焦点落在y轴上，所以m>0，且m+9=52，解得m=16．例3、在方程mx2−my2=n中，若mn<0，则方程表示的曲线是()A. 焦点在x轴上的椭圆B. 焦点在x轴上的双曲线C. 焦点在y轴上的椭圆D. 焦点在y轴上的双曲线【答案】D【解答】解：∵mx2−my2=n中，∴两边都除以n，得x2nm −y2nm=1，∵mn<0，得nm<0，可得曲线的标准方程形式是y2−nm−x2−nm=1，−nm>0，∴方程mx2−my2=n(mn<0)表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线．故选D．训练1、已知曲线C：x2m2+2+y2m=1(m∈R)，则下列结论正确的是()A. 若m<0，则曲线C表示双曲线B. 曲线C可能表示一个圆C. 若曲线C是椭圆，则其长轴长为2√mD. 若m=1，则曲线C中过焦点的最短弦长为2√33【答案】AD解：由题意，若m<0，根据双曲线的定义可知曲线C表示双曲线，故A正确；因为m2−m+2>0对任意的m恒成立，所以曲线C不可能表示一个圆，故B错误；若曲线C是椭圆，则m>0，由B选项分析可知，椭圆C:x2m2+2+y2m=1的焦点在x轴上，所以其长轴长为2√m2+2，故C错误；若m=1，则曲线C为椭圆，方程为x23+y2=1，焦点坐标为(±√2,0)，若过焦点的直线斜率为0时，此时该直线截椭圆C的弦长为2√3；若过焦点的直线斜率不为0时，不妨设该直线过椭圆C 的右焦点，方程为x =ny +√2，与椭圆C 的两个交点分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，由{x 23+y 2=1x =ny +√2，可得(n 2+3)y 2+2√2ny −1=0，则有{Δ=8n 2+4(n 2+3)=12(n 2+1)>0y 1+y 2=−2√2nn 2+3y 1y 2=−1n 2+3, |AB |=√1+n 2|y 1−y 2|=√1+n 2·√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =√1+n 2·√(−2√2n n 2+3)2−4×(−1n 2+3)=√1+n 2·2√3(n 2+1)n 2+3=2√3·n 2+1n 2+3=2√3(1−2n 2+3)⩾2√33，当n =0时，上式不等式可取等号，即|AB |min =2√33，综上，可知椭圆C:x 23+y 2=1中过焦点的最短弦长为2√33，故D 正确；故选AD ．例4、一动圆与两圆：x 2+y 2=1和x 2+y 2−8x +12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为( )A. 抛物线B. 圆C. 双曲线的一支D. 椭圆【答案】C解：设圆O:x 2+y 2=1，圆心O(0,0)，半径r 1=1; 设圆C:x 2+y 2−8x +12=0，(x −4)2+y 2=4，记圆心C(4,0)，半径r 2=2; 设动圆圆心为P ，半径为r ，则{|PO |=r +1|PC |=r +2, 所以|PC |−|PO |=1<|CO |=4，所以P 点在C ，O 为焦点的双曲线的一支上．故选C ．题型二：三角形面积和周长问题例1、已知双曲线C:x 28−y 28=1的左焦点为F ，点M 在双曲线C 的右支上，A(0,4)，当△MAF 的周长最小时，△MAF 的面积为______．【答案】12解：设双曲线的右焦点为F′，由双曲线定义可得|MF|=2a +|MF′|=4√2+|MF′|，∴△MAF 的周长为|AF |+|MF |+|MA |=4√2+4√2+|MF′|+|MA | ⩾8√2+|AF′|=8√2+4√2=12√2，等号成立时，A ，M ，F′三点共线，且M 在A ，F′之间，直线AF′的方程为x +y =4，联立方程{x +y =4x 2−y 2=8，解得，x =3，y =1，得M(3,1)则S △MAF =S △AFF′−S △MFF′=12×8×4−12×8×1=12，得△MAF 的面积为12．故答案为12．训练1、已知双曲线的焦点为F 1(−4,0)，F 2(4,0)，且该双曲线过点P(6,2√2)． (1)求双曲线的标准方程；(2)若双曲线上的点M 满足MF 1⊥MF 2，求△MF 1F 2的面积．【答案】解：(1)设双曲线的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，由F 1(−4,0)，F 2(4,0)，且该双曲线过点P(6,2√2)，可得2a =√(6+4)2+(2√2)2−√(6−4)2+(2√2)2=4√3， ∴a 2=(2√3)2=12，又c =4，∴b 2=42−(2√3)2=4， ∴双曲线的标准方程为x 212−y 24=1；(2)由||MF 1|−|MF 2||=4√3,|MF 1|2+|MF 2|2=|F 1F 2|2=64，得|MF 1|⋅|MF 2|=(|MF 1|−|MF 2|)2−(|MF 1|2+|MF 2|2)−2=8，∴S △MF 1F 2=12|MF 1|⋅|MF 2|=4．题型三：离心率例1、双曲线x 2−y 2=1的离心率为______ ．【答案】√2【解析】解：根据题意，双曲线的方程为x 2−y 2=1，变形可得x 21−y 21=1，则a =1，b =1，则有c =√1+1=√2，则其离心率e =ca =√2，故答案为：√2．训练1、已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)过点(2√2,1)，且与椭圆x24+y2m2=1有相同的顶点，则该双曲线的离心率为()A. √5B. √52C. 2√55D. 2【答案】B解：∵双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)与椭圆x24+y2m2=1有相同的顶点，∴a=2．又∵双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)过点(2√2,1)，代入求得b=1，则c=√5，∴该双曲线的离心率e=ca =√52．故选B．例2、已知F1，F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点，过点F1且倾斜角为30°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点A，B.若|AF2|=|BF2|，则双曲线C的离心率为()A. √2B. √3C. 2D. √5【答案】A解：解：如图，取AB中点M，连接F2M，∵|AF2|=|BF2|，∴F2M⊥AB，设|AF2|=|BF2|=x，∵|AF2|−|AF1|=2a，∴|AF1|=x−2a，又|BF1|−|BF2|=2a，∴|BF1|=x+2a，∴|AB|=|BF1|−|AF1|=4a，∴|AM|=|BM|=2a，∴|F1M|=|BF1|−|BM|=x，由勾股定理，知|F2M|=√(F1F2)2−(MF1)2=√(BF2)2−(BM)2，即|F2M|=√4c2−x2=√x2−4a2，解得x2=2a2+2c2，∴|F2M|=√2c2−2a2=√2b2，∴tan∠MF1F2=|F2MF1M |=√2b2√2a2+2c2=√33，结合c2=a2+b2，可得c2=2a2，即离心率e=√2．故选A．训练1、已知A，B，C是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且2|AF|=|CF|，则该双曲线的离心率是()A. 53B. √173C. √172D. 94【答案】B【解析】解：设双曲线的另一个焦点为E，由题意可得在直角三角形ABF中，OF为斜边AB上的中线，即有|AB|=2|OA|=2|OF|=2c，令|BF|=|AE|=m，|AF|= n，|CF|=2n，由双曲线的定义有，|CE|−|CF|=|AE|−|AF|=2a，∴CE=2n+2a在直角三角形EAC中，m2+(3n)2=(2n+2a)2，代入2a=m−n，化简可得m=4n，又m−n=2a得n=23a，m=83a，在直角三角形EAF中，m2+n2=(2c)2，即为49a2+649a2=4c2，可得e=ca=√173．故选：B．训练2、已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点为F1,F2，过F2的直线交双曲线右支于A,B，若BF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且cos∠F1AF2=45，则双曲线的离心率为()A. √2B. 32C. √52D. √102【答案】D解：设|AF 1|=m ，BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且cos∠F 1AF 2=45，则|BF 1|=35m ，|AB|=45m ，|BF 2|=35m −2a,|AF 2|=m −2a,则|AF 2|+|BF 2|=|AB|⇒m =5a△BF 1F 2中，由勾股定理得 9a 2+a 2=4c 2⇒e =√102，故选D ．训练3、设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线分别交双曲线的左、右两支于M ，N.若以MN 为直径的圆经过右焦点F 2，且|MF 2|=|NF 2|，则双曲线的离心率为( )A. √6B. √5C. √3D. √2【答案】C 【解析】解：可得△MNF 2为等腰直角三角形，设|MF 2|=|NF 2|=m ，则|MN|=√2m ，由|MF 2|−|MF 1|=2a ，|NF 1|−|NF 2|=2a ，两式相加可得|NF 1|−|MF 1|=|MN|=4a ，即有m =2√2a ，在直角三角形HF 1F 2中可得 4c 2=4a 2+(2a +2√2a −2a)2，化为c 2=3a 2，即e =ca =√3．故选C ．例3、设a >1，则双曲线x 2a 2−y 2(a+1)2=1的离心率e 的取值范围是( )A. (√2,2)B. (√2,√5)C. (2,5)D. (2,√5)【答案】B解：∵双曲线方程为x 2a 2−y 2(a+1)2=1， ∴c = √2a 2+2a +1∴e=ca =√2+1a2+2a=√(1a+1)2+1，又∵a>1，∴0<1a<1∴1<1a+1<2∴1<(1+1a)2<4∴√2<e<√5．故选B．训练1、已知F1、F2为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，P为右支上任意一点，若|PF1|2|PF2|的最小值为8a，则该双曲线的离心率e的取值范围为()A. (1,2]B. (1,3]C. [2,3]D. [3,+∞)【答案】B【解析】解：由定义知：|PF1|−|PF2|=2a，|PF1|=2a+|PF2||PF1|2 |PF2|=(2a+|PF2|)2|PF2|=4a2|PF2|+4a+|PF2| ≥8a，当且仅当4a 2|PF2|=|PF2|，即|PF2|=2a时取得等号设P(x0,y0)(x0≤−a)由焦半径公式得：|PF2|=−ex0−a=2aex0=−3ae=−3ax0≤3又双曲线的离心率e>1∴e∈(1,3]故选：B．训练2、已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2=π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则1e1e 2的最大值为( )A. 3B. 2C. 4√33 D. 2√33【答案】D解：不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点，P 为第一象限的点，如图：设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义知|PF 1|+|PF 2|=2a 1，|PF 1|−|PF 2|=2a 2， ∴|PF 1|=a 1+a 2，|PF 2|=a 1−a 2．设|F 1F 2|=2c ，在△PF 1F 2中，∠F 1PF 2=π3，由余弦定理得，4c 2=(a 1+a 2)2+(a 1−a 2)2−2(a 1+a 2)(a 1−a 2)cos π3，化简得a 12+3a 22=4c 2，即1e 12+3e 22=4，∴1e 12+3e 22=4≥2√3e 12e 22，∴1e1e 2≤2√33，当且仅当e 1=√22,e 2=√62时，等号成立，则1e1e 2的最大值为2√33，故选D ．题型四：渐近线例1、双曲线x 2−y 24=1的渐近线方程为．【答案】y =±2x解：由题意得，a =1，b =2，双曲线x 2−y 24=1的渐近线方程为y =±2x ，故答案为：y =±2x ．训练1、设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的虚轴长为2，焦距为2√3，则双曲线的渐近线方程为( )A. y =±√2xB. y =±2xC. y =±√22x D. y =±12x【答案】C解：由已知得到b =1,c =√3,a =√c 2−b 2=√2，因为双曲线的焦点在x 轴上，故渐近线方程为y =±ba x =±√22x ；故选：C ．训练2、已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√52，则C 的渐近线方程为( )A. y =±14xB. y =±13x C. y =±12xD. y =x【答案】C 解：双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为√52，则有e 2=c 2a 2=a 2+b 2a 2=1+b 2a 2=54，即b 2a 2=14，即有b a =12，又由双曲线的焦点在x 轴上，则其渐近线方程为：y =±12x ；故选：C ．例2、已知双曲线C 1与双曲线C 2:x 22−y 26=1的渐近线相同，且双曲线C 1的焦距为8，则双曲线C 1的方程为．【答案】x 24−y 212=1或y 212−x 24=1解：当C 1的焦点在x 轴时，设出所求的双曲线的方程为x 2a 2−y 2b 2=1，(a >0,b >0)，依题意可知{ba =√3a 2+b 2=16，求得a =2，b =2√3，∴双曲线的方程为：x 24−y 212=1．当C 1的焦点在y 轴时，设出所求的双曲线的方程为y 2m 2−x 2n 2=1，(m >0,n >0)，则{mn =√3m 2+n 2=16，求得n =2，m =2√3，所以双曲线的方程为y 212−x 24=1，故答案为x 24−y 212=1或y 212−x 24=1．训练1、已知双曲线x2+ny2=1(n∈R)与椭圆x26+y22=1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为．【答案】y=±√3x解：根据题意，椭圆的方程为x26+y22=1与双曲线有相同的焦点，且c=√6−2 =2，即焦点坐标为(±2,0)，若双曲线x2+ny2=1的焦点坐标为(±2,0)，则有n<0，且1+(− 1n )=4，解得n=−13，因此双曲线的标准方程为：x2−y23=1，所以该双曲线的渐近线方程为y=±√3x．故答案为y=±√3x．例3、点P(0,1)到双曲线y24−x2=1渐近线的距离是()A. √5B. √55C. 2√55D. 5【答案】B【解析】解：根据题意，双曲线的方程为：y24−x2=1，则其渐近线方程为：y=±2x，即2x±y=0，点P(0,1)到2x−y=0的距离d=√4+1=√55，故选：B．训练1、在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的右焦点F(c，0)到一条渐近线的距离为√32c，则其离心率的值是__________．【答案】2【解答】解：不妨设双曲线的一条渐近线方程为y=bax，所以√a2+b2=b=√32c，所以b2=c2−a2=34c2，得c=2a，所以双曲线的离心率e=ca=2．故答案为2．例4、设F 1和F 2为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两个焦点，若点P(0,2b)、F 1、F 2是等腰直角三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是 ( )A. y =±√3xB. y =±√217xC. y =±√33x D. y =±√213x【答案】C解：由双曲线的对称性可知，直角顶点为P ，在等腰三角形PF 1F 2中，由|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2，得c 2+4b 2+c 2+4b 2=4c 2，化简得8b 2=2c 2，即4b 2=c 2，把c 2=a 2+b 2代入4b 2=c 2，得3b 2=a 2，即b 2a 2=13，则双曲线的渐近线方程为y =±√33x. 故选C ．训练1、已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )A. x 24−y 212=1 B. x 212−y24=1 C. x 23−y 2=1D. x 2−y 23=1 【答案】D【解析】由题意可得{c =2,c 2=a 2+b 2,ba=tan60°=√3,解得a 2=1，b 2=3，故双曲线方程为x 2−y 23=1.故选D ．例5、双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线C 的右支上一点．以O 为圆心a 为半径的圆与PF 1相切于点M ，且|PM |=|F 1M |，则该双曲线的渐近线为( )A. y =±2xB. y =±xC. y =±√3xD. y =±3x【答案】A解：如图，连接PF 2、OM ，∵M 是PF 的中点，∴OM是△PF1F2的中位线，，且|PF2|=2|OM|=2a，根据双曲线的定义，得|PF1|−|PF2|=2a，∴|PF1|=|PF2|+2a=4a，∵PF1与以原点为圆心a为半径的圆相切，∴OM⊥PF1，可得PF2⊥PF1，△PF1F2中，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，即得(4a)2+(2a)2=|F1F2|2，∴(2c)2=|F1F2|2=20a2，解得c2=5a2，即b2=c2−a2=4a2，得b=2a．由此得双曲线的渐近线方程为y=±2x．故选A训练1、已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，以点P(b,0)为圆心，a为半径作圆P，圆P与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若∠MPN=90∘，则C的离心率为()A. √2B. √3C. √52D. √72【答案】A解：不妨设双曲线C的一条渐近线bx−ay=0与圆P交于M，N，因为∠MPN=90°，所以圆心P到bx−ay=0的距离为：2√a2+b2=b2c=√22a，即2c2−2a2=√2ac，又e=ca>1，解得e=√2．故选：A．训练2、已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1+d 2=6，则双曲线的方程为( )A. x 24−y 212=1 B. x 212−y24=1 C. x 23−y 29=1D. x 29−y 23=1 【答案】C解：由题意可得图象如图，CD 是双曲线的一条渐近线，其方程为y =ba x ，即bx −ay =0，F(c,0)，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，作FE ⊥CD 交CD 于点E ，显然ACDB 是直角梯形，又F 是AB 的中点，EF =d 1+d 22=3，EF =bc √a 2+b 2=b ，所以b =3，双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2，可得ca =2，可得：a 2+b 2a 2=4，解得a =√3．则双曲线的方程为：x 23−y 29=1．故选C ．题型五：几何性质综合应用例1、设O 为坐标原点，F 1，F 2是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦点.若在双曲线上存在点P ，满足∠F 1PF 2=60∘，|OP|=√7a ，则( )A. 双曲线的方程可以是x 22−y 2=1 B. 双曲线的渐近线方程是√2x ±y =0 C. 双曲线的离心率为√3 D. △PF 1F 2的面积为√3a 2【答案】BC解：如图，∵O 为F 1F 2的中点，∴PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴(PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=(2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ )2，即|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos60°=4|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，又∵|OP |=√7a.∴|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=28a 2.①又由双曲线的定义得||PF 1|−|PF 2||=2a ，∴(|PF 1|−|PF 2|)2=4a 2，即|PF 1|2+|PF 2|2−2|PF 1|·|PF 2|=4a 2.② 由①−②得|PF 1|·|PF 1|=8a 2，∴|PF 1|2+|PF 2|2=20a 2．在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos60°=|PF 1|2+|PF 2|2−|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|，∴8a 2=20a 2−4c 2，即c 2=3a 2．又∵c 2=a 2+b 2，∴b 2=2a 2，即ba =√2．又双曲线的渐近线方程为√2x ±y =0.双曲线的离心率为√3，双曲线的方程可以是x 2−y 22=1，故A 错，B 正确，C 正确．△F 1PF 2的面积S =12|PF 1||PF 2|sin60°=12·8a 2·√32=2√3a 2，故D 错误．故选：BC ．例2、已知点P 在双曲线C:x 216−y 29=1上，F 1、F 2是双曲线C 的左、右焦点，若ΔPF 1F 2的面积为20，则下列说法正确的有( )A. 点P 到x 轴的距离为203 B. |PF 1|+|PF 2|=503 C. ΔPF 1F 2为钝角三角形D. ∠F 1PF 2=π3【答案】BC 【解答】解：由已知a =4，b =3，c =5，因为P 在双曲线上，F 1、F 2是双曲线C 的左、右焦点，ΔPF 1F 2的面积为20，所以12|y P |·2c =5|y P |=20，所以|y P |=4，|x P |=203，对于A ，点P 到x 轴的距离为4，A 错误;对于B ，由对称性，不妨设P(203,4)，因为F 1(−5,0)，F 2(5,0)，所以|PF 1|+|PF 2|=√(203−(−5))2+(4−0)2+√(203−5)2+(4−0)2=503，即B 正确;对于C ，由对称性，不妨设P(203,4)，由双曲线的定义有|PF 1|−|PF 2|=8，结合|PF 1|+|PF 2|=503，解得|PF 1|=373,|PF 2|=133，所以在ΔPF 1F 2中，由余弦定理得cos∠F 1F 2P =|F 1F 2|2+|PF 2|2−|PF 1|22|F 1F 2|·|PF 2|=100+1699−136992|F 1F 2|·|PF 2|<0，所以∠F 1F 2P 为钝角，所以C 正确;对于D ，由对称性，不妨设P(203,4)，由C 判断过程知，|PF 1|=373,|PF 2|=133，则S ΔPF 1F 2=12|PF 1||PF 2|sin∠F 1PF 2=48118×sin∠F 1PF 2=20，所以sin∠F 1PF 2=360481≠√32，所以，所以D 错误．故选BC ．训练1、如图，F 1，F 2是双曲线C 1:x 2−y 23=1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点，设C 2方程为x 2a 2+y 2b 2=1，则有( ) A. a 2+b 2=4B. △AF 1F 2的内切圆与轴相切于点(1,0)C. 若|F 1F 2|=|F 1A|，则C 2的离心率为23 D. 若AF 1⊥AF 2，则椭圆方程为x 27+y 23=1 【答案】BCD 【解答】解：由双曲线C 1:x 2−y 23=1可得c =√1+3=2，可得a 2−b 2=c 2=4，故A 错误;设△AF1F2的内切圆的圆心为与边AF1，F1F2，F2A相切于N，M，K′可得|AN|=|AK|，|F1M|=|F1N|，|F2M|=|F2K|，而|AF1|−|AF2|=2，即|F1N|−|F2K|=|F1M|−|F2M|=2，又|F1M|+|F2M|=4，解得|F2M|=1，|F1M|=3，可得M的横坐标为1，即的横坐标为1，故B正确;椭圆C2中，|F1A|−|F2A|=2，|F1A|+|F2A|=2a，可得2|F1A|=2a+2，由|F1F2|=|F1A|=2c=4，则2×4=2a+2，解得a=3．则C2的离心率e=ca =23，故C正确;若AF1⊥AF2，可得(a+1)2+(a−1)2=4c2=16，又c=2，b2=a2−c2，解得a=√7，b=√3，则椭圆的方程为x27+y23=1，故D正确．故选BCD．训练2、已知双曲线C:x24−y2b2=1(b>0)的左、右顶点分别为A、B，点P在双曲线C上，且直线PA与直线PB的斜率之积为1，则双曲线C的焦距为__________．【答案】4√2解：设点P(x0,y0),∵k PA⋅k PB=1，∴y0x0+2⋅y0x0−2=y02x02−4=1∵点P在双曲线C上，∴x024−y02b2=1,y02x02−4=b24,∴b24=1,b=2,∴双曲线C的焦距为2√4+b2=4√2．故答案为4√2．。

双曲线的简单几何性质(基础知识+基本题型)(含解析)2021-2022学年高二数学上学期

3.2.2双曲线的简单几何性质（基础知识+基本题型）知识点一双曲线的性质根据双曲线的标准方程22221(0,0)x y a b a b-=>>研究它的几何性质．1．范围,x a y R ≥∈，即,x a x a y R ≥≤-∈或．双曲线位于两条直线x a =±的外侧．讨论双曲线的范围就是确定方程中变量,x y 的范围，由不等式222211x y a b =+≥，得||x a ≥，由222211y x b a--≥-，得y R ∈. 提示双曲线在直线x a =与x a =-之间没有图象，当x 无限增大时，y 也无限增大，所以双曲线是无限伸展的，不像椭圆那样是封闭的.2．对称性双曲线的图象关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点成中心对称，我们把x 轴、y 轴叫做双曲线的对称轴，原点(0,0)O 叫做双曲线的对称中心，简称中心. 提示（1）把双曲线标准方程中的x 换成x -，方程并没有发生变化，说明当点(,)P x y 在双曲线上时，它关于y 轴的对称点1(,)P x y -也在双曲线上，所以双曲线的图象关于y 轴成轴对称.（2）同理，把双曲线标准方程中的y 换成y -，可以说明双曲线的图象关于关于x 轴成轴对称；把双曲线标准方程中的x 换成x -，y 换成y -，可以说明双曲线的图象关于原点成中心对称. （3）如果曲线具有三种对称性的其中两种，那么它就具有另一种对称性.（4）对于任意一个双曲线而言，对称轴是两个焦点的连线所在直线及其垂直平分线，且双曲线的中心是双曲线的对称中心.3．顶点与实轴、虚轴如图所示．（1）双曲线和其对称轴的交点叫做双曲线的顶点，双曲线的顶点为1(,0)A a -，2(,0)A a . （2）线段12A A 叫做双曲线的实轴，线段12B B 叫做双曲线的虚轴.（3）实轴长122A A a =，虚轴长122B B b =，,a b 分别为双曲线的半实轴长和半虚轴长.拓展双曲线中,,a b c 的几何意义及特征三角形：（1）当双曲线焦点在x 轴上时，a 是半实轴长，b 是半虚轴长，且222c a b =+，所以以,,a b c 为三边长可构成直角三角形，如图2.3-10所示，其中22Rt OA B ∆称为双曲线的特征三角形，双曲线的焦点永远在实轴上.（2）当双曲线的焦点在y 轴上时，可得类似的结论.4．渐近线（1）渐近线画法：经过点1(,0)A a -，2(,0)A a 作y 轴的平行线x a =±，经过点1(0,)B b -，2(0,)B b 作x轴的平行线y b =±，四条直线围成一个矩形，矩形两条对角线，这两条对角线所在的直线即为双曲线的渐近线.双曲线22221x y a b-=的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近.（2）渐近线方程：by x a =±.拓展（1）双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为b y x a =±，双曲线22221y x a b -=的渐近线方程为ay x b=±，两者容易混淆，可先将双曲线方程中的“1”换成“0”，再因式分解即可得渐近线方程，这样就不容易记错了.（2）双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交.（3）与双曲线22221x y a b -=共渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a b λλ-=≠；与双曲线22221x y a b-=共焦点的双曲线方程可设为2222221()x y b a a b λλλ-=-<<-+.5．离心率（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，定义式c e e a =⇒（2）范围：1e >.由等式222c a b =+，得b a ==e 越大，b a 也越大，即渐近线b y xa=±的斜率的绝对值越大，这时双曲线的形状就越陡，由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔. 提示因为c e a =，c ，所以e =，b a222(1)b a e =-，在,,,a b c e 四个参数中，只要知道其中两个，就可以求出另两个，关键要熟悉它们之间的关系. 知识点二等轴双曲线与共轭双曲线1.实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线有如下性质：（1）方程形式为22(0)x y λλ-=≠；（2）渐近线方程为y x =±，它们互相垂直，并平分双曲线实轴和虚轴所成的角；（3.2. 以双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线.例如，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与22221(0,0)y x a b b a -=>>是一对共轭双曲线，其性质如下：（1）双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线；（2）双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距. 知识点三直线与双曲线的位置关系 1. 直线与双曲线有三种位置关系：（1）无公共点，此时直线有可能为双曲线的渐近线.（2）有一个公共点，分两种情况：①直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一个顶点，且垂直于实轴；②直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点. （3）有两个公共点，可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一个点.2. 当直线与双曲线相交时，先联立直线方程与双曲线方程可求得两个交点的坐标，从而根据距离公式求出弦长，再结合双曲线的定义，还可以求解焦点三角形的周长等.3. 当直线与双曲线相交时，涉及中点问题，可首先设出直线与双曲线两交点的坐标，然后分别代入双曲线方程，最后作差，即得中点坐标与该直线的斜率的关系式.考点一由方程求双曲线的几何性质例 1 求双曲线22494y x-=-的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出该双曲线的草图.解：将双曲线化为221 419x y-=，可知半实轴长4293a=，半虚轴长1b=，于是有2241319c a b=+=+=，所以焦点坐标为13(，离心率为13cea==渐近线方程为by xa=±，即32y x=±.为画出双曲线的草图，首先在平面直角坐标系中画出渐近线32y x =±，且顶点坐标为2(,0)3±，然后算出双曲线在第一象限内一点的坐标，如取1y=，算出230.94x=≈.由题意，知点(0.94,1)±在双曲线上，将三点(0.94,1)-，2(,0)3，(0.94,1)依次连成光滑曲线并让它逐步接近渐近线，画出第一、第四象限内双曲线的一支，最后由对称性可画出双曲线位于第二、三象限内的另一支，得双曲线的草图如图所示.已知双曲线的方程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，这样便于直观写出,a b的值，进而求出c的值及双曲线的焦点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程.考点二由双曲线的几何性质求标准方程例2求满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）一个焦点为(0,13)，且离心率为135；（2）渐近线方程为12y x=±，且经过点(2,3)A- .解：（1）由题意，知双曲线的焦点在y 轴上，且13c =，由于135c a =，所以5a =，12b =. 故所求双曲线的标准方程为22125144y x -=.（2）因为双曲线的渐近线方程为12y x =±，若焦点在x 轴上，设所求双曲线标准方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，则12b a =.（Ⅰ）因为点(2,3)A -在双曲线上，所以22491a b -=. （Ⅱ）联立（Ⅰ）（Ⅱ），无解.若焦点在y 轴上，设所求双曲线标准方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>，则12a b =.（Ⅲ）因为点(2,3)A -在双曲线上，所以22941a b -=. （Ⅳ）联立（Ⅲ）（Ⅳ），解得228,32a b ==. 故所求双曲线的标准方程为221832y x -=.当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应分类讨论.为了避免讨论，也可设双曲线方程为221(0)mx ny mn -=>，从而直接求得.若已知双曲线的渐近线方程为by x a =±，则可设方程为2222(0)x y a b λλ-=≠，避免讨论焦点的位置. 考点三双曲线的离心率1．求离心率的值例3 已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，PQ 是经过1F 且垂直与x 轴的双曲线的弦，如果0290PF Q ∠=,求双曲线的离心率.解：设1(,0)F c ，将x c =代入双曲线方程，得22221c y a b -=，所以2b y a =±.由22PF QF =,0290PF Q ∠=,知112PF F F =,所以22b c a =，22b ac =，所以2220c ac a --=.即2210e e --=，解得1e =+1e =.故所求双曲线的离心率为1求双曲线离心率的常用方法（1）依据条件求出,a c ，计算c e a=；（2）依据条件建立关于,,a b c 的关系式，一种方法是消去b 转化为关于e 的方程求解；另一种方法是消去c 转化为含b a 的方程，求出ba后利用221b e a =+求解.例4 设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距长为2c ，直线l 过点(,0)A a ，(0,)B b 两点，已知原点到直线l的距离为34c ，则双曲线的离心率为 . 解析：如图所示，在△OAB 中，OA a =，OB b =，34OE c =，22AB a b c =+=.因为AB OE OA OB ⋅=⋅, 所以3c ab =223)a b ab +=，两边同除以2a 233()0b b a a -=，解得3ba=3b a =所以212c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.答案：2223)a b ab +=，此方程可称为关于,a b 的齐次方程，转化为以ba为变量的一元二次方程是求解的关键.2．求离心率的范围例5 双曲线22221(1,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，直线l 过点(,0)a ，(0,)b 两点，且点(1,0)到直线l 的距离与点(1,0)-到直线l 的距离之和45s c ≥，求双曲线的离心率e 的取值范围.解：由题意，知直线l 的方程为1x ya b +=，即0bx ay ab +-=. 因为点(1,0)到直线l 的距离122d a b =+，点(1,0)-到直线l 的距离222d a b =+，所以122abs d d c=+=. 由45s c ≥，得2ab c 45c ≥，即252c .于是得22e ，即22425250e e -+≤.解得2554e ≤≤.因为1e >，所以e的取值范围是. 求双曲线离心率的范围时，要根据题意挖掘题中隐含的不等关系，构造不等式，从而求出双曲线的离心率的取值范围.例6 双曲线222:1(0)x C y a a-=>与直线:1l x y +=相交于两个不同的点,A B ，则双曲线的离心率e 的取值范围是 .解：由22211x y a x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，消去y ，得到2222(1)220a x a x a -+-=，由题意知，24221048(1)0a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩，解得(0,1)(1,2)a ∈.所以c e a ===，所以(2,)e ∈+∞.答案：(2,)+∞ .利用一元二次方程根的判别式构建不等关系是一种常用的方法，另外也可利用基本不等式构建不等关系，线性规划中的区域符号也可构建不等关系. 考点四直线与双曲线的位置关系例7 已知双曲线22:1C x y -=及直线:1l y kx =-.若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数则k 的取值范围.解：由2211x y y kx ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩，消去y ，得到22(1)220k x kx -+-=，由题意，知2221048(1)0k k k ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩，解得k <，且1k ≠±. 故实数k 的取值范围是(1)(1,1)(1,2)--.直线与双曲线交点问题，常利用直线方程与双曲线方程构成的方程组求解.。

双曲线与方程知识点总结例题习题精讲详细答案

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课程星级：★★★★★ 一、双曲线的定义 1、第一定义：到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F1F2|）的点的轨迹（21212FFaPFPF（a为常数））。这两个定点叫双曲线的焦点。要注意两点：（1）距离之差的绝对值。（2）2a＜|F1F2|。当|MF1|－|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当|MF1|－|MF2|=－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在。

2、第二定义：动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e(e＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线。这定点叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线。

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二、双曲线的标准方程（222acb，其中|1F2F|=2c）焦点在x轴上：12222byax（a＞0，b＞0）焦点在y轴上：12222bxay（a＞0，b＞0）（1）如果2x项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果2y项的系数是正数，则焦点在y轴上。 a不一定大于b。（2）与双曲线12222byax共焦点的双曲线系方程是12222kbykax （3）双曲线方程也可设为：221(0)xymnmn 需要更多的高考数学复习资料请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.：高考数学复习资料知识点与方法技巧总结例题精讲(详细解答) 或者搜.店.铺..：龙奇迹学习资料网三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系 1、点与双曲线

点00(,)Pxy在双曲线22221(0,0)xyabab的内部2200221xyab

考点39 高中数学-双曲线-考点总结和习题

考点39双曲线【命题趋势】双曲线在每年高考中几乎都会出现，通常出现在选择题或填空题中，值得注意.（1）了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.（2）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.（3）了解双曲线的简单应用.（4）理解数形结合的思想.【重要考向】一、双曲线的定义和标准方程二、求双曲线的方程三、双曲线的性质四、直线与双曲线的位置关系双曲线的定义和标准方程1．双曲线的定义（1）定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距．（2）符号语言：1212202，MF MF a a F F =<-<.2．双曲线的标准方程双曲线的标准方程有两种形式：（1）焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)，焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，焦距为2c ，且222c a b =+，如图1所示；（2）焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为22221y x a b-=(a ＞0，b ＞0)，焦点分别为F 1(0，－c )，F 2(0，c )，焦距为2c ，且222c a b =+，如图2所示．图1图2注：双曲线方程中a ，b 的大小关系是不确定的，但必有c ＞a ＞0，c ＞b ＞0．【巧学妙记】1.（2021·全国高三专题练习（理））在平面直角坐标系中，()12,0F -，()22,0F ，12PF PF a -=(a ∈R )，若点P 的轨迹为双曲线，则a 的取值范围是（）A ．()0,4B ．(]0,4C ．()4,+∞D ．()()0,44,+∞ 【答案】A【分析】根据双曲线的定义中的条件可得答案.【详解】12PF PF a -=，由点P 的轨迹为双曲线，根据双曲线的定义.则12124PF PF F F <=-，所以04a <<故选:A2.（2020·江苏南通市·海安高级中学高二期中）已知F 是双曲线22:13y C x -=的右焦点，P是双曲线C 左支上的一点，且点A 的坐标为(0,，则APF 的周长最小值为________．【答案】10【分析】作出图形，由双曲线的定义可得12PF PF =+，再由A 、P 、1F 三点共线可求得APF 周长的最小值.【详解】设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线方程2213y x -=可知1a =，2c =，故()2,0F 、()12,0F -.当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知12PF PF -=，所以12PF PF =+，从而APF 的周长为12AP PF AF AP PF AF =+++++．因为4AF ==为定值，所以当1AP PF +最小时，APF 的周长最小．由图可知，此时点P 为线段1AF 与双曲线的交点，则APF 的周长为1244210AP PF AF +++=++=．故答案为：10.【点睛】方法点睛：本题考查利用双曲线的定义求三角形周长的最值，在求线段和的最值常采用化折为直，利用两点之间线段最短的原理求得线段和的最小值.3.（2021·北京汇文中学高三开学考试）已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是双曲C 上的点，(A ，(1)若点P 在双曲线右支上，则AP PF +的最小值为__________；(2)若点P 在双曲线左支上，则AP PF +的最小值为__________.【答案】911【分析】(1)根据题意易得三点共线时，AP PF +最小；(2)先根据双曲线的定义进行转化，再由三点共线，即可求出AP PF +的最小值.【详解】(1)根据题意得，双曲线右焦点()3,0F ，根据三角形的两边之和大于第三边，可知当A ，P ，F 三点共线时，AP PF +最小，即9AP PF AF +≥=；(2)根据题意得，双曲线左焦点()13,0F ，根据双曲线的定义可知，122PF PF a -==，故12AP PF AP PF +=++，根据三角形的两边之和大于第三边，可知当A ，P ，1F 三点共线时，1AP PF +最小，故112211AP PF AP PF AF +=++≥+=.故答案为：9；11.【点睛】双曲线中线段之和的最值问题，可转化为三角形的边长问题，根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边来处理，但需注意双曲线定义的应用.求双曲线的方程（1）与双曲线22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的双曲线方程可设为2222(0,0,0)x y a b a b λλ-=>>≠．（2）若双曲线的渐近线方程为ny x m=±，则双曲线方程可设为2222(0,0,0)x y m n m nλλ-=>>≠或2222(0,0,0)m n x m y n λλ-=>>≠．（3）与双曲线22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)共焦点的双曲线方程可设为22221(0,0,x y a b a k b k -=>>-+22)b k a <-<．（4）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为()2210mx ny mn +=<．（5）与椭圆22221x y a b +=(a >b >0)有共同焦点的双曲线方程可设为22221(0,x y a b a b λλ+=>>--22)b a λ<<．【巧学妙记】4.（2021·全国高二课时练习）平面直角坐标系xOy中，求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：（1）求长轴长为4，焦距为2的椭圆的标准方程；（2）求以A（﹣3，0）为一个焦点，实轴长为.【答案】（1）2243x y+=1或2243y x+=1；（2）22154x y-=.【分析】（1）根据长轴长和焦距求出,a b，再讨论焦点的位置可得结果；（2）根据焦点坐标确定双曲线标准方程的类型，根据焦点坐标和实轴长求出,a b，则可得双曲线的标准方程.【详解】（1）根据题意，椭圆的长轴长为4，焦距为2，即2a＝4，2c＝2，则a＝2，c＝1，则b==；若椭圆的焦点在x轴上，则其标准方程为221 43x y+=，若椭圆的焦点在y 轴上，则其标准方程为2243y x +=1，故椭圆的标准方程为22143x y +=或22143y x +=；（2）因为双曲线以A （﹣3，0）为一个焦点，实轴长为则其焦点在x 轴上，且c ＝3，2a =，即a =，则2b ==，则双曲线的标准方程为22154x y -=.5.（2020·全国高二课时练习）根据下列条件，求双曲线的标准方程：（1）4a =，经过点43110A ⎛- ⎝⎭，；（2）与双曲线221164x y -=有相同的焦点，且经过点()2.【答案】（1）221169y x -=；（2）221128x y -=.【分析】（1）分焦点在x 和y 轴上两种情况讨论，分别设出方程，代入点A 的坐标，即可求解；（2）设所求双曲线的方程为221(416)164x y λλλ-=-<<-+，代入点2)，求得λ的值，即可求解.【详解】（1）当焦点在x 轴上时，设所求标准方程为2221(0)16x y b b-=>，把点A 的坐标代入，可得2161600159b =-⨯<，不符合题意；当焦点在y 轴上时，设所求标准方程为2221(0)16y x b b -=>，把A 点的坐标代入，可得29b =，故所求双曲线的标准方程为221169y x -=.（2）设所求双曲线的方程为221(416)164x y λλλ-=-<<-+，因为双曲线过点2)，所以1841164λλ-=-+，解得4λ=或14λ=-(舍去).所以双曲线的标准方程为221128x y -=.6.（2021·黑龙江伊春市·伊春二中高二期中（文））根据下列条件，求双曲线的方程（1）已知双曲线两个焦点分别是()1F ，)2F ，点)P在双曲线上．（2）与双曲线2222x y -=有公共渐近线，且过点()2,2M -【答案】（1）221x y -=；（2）22124y x -=.【分析】（1）判断双曲线的焦点在x 轴上，c =，设双曲线方程22221x ya b-=，将点)P代入，由222c a b =+即可求解.（2）设共渐近线方程为222x y λ-=，将点()2,2M -代入即可求解.【详解】（1）双曲线两个焦点分别是()1F ，)2F ，则双曲线的焦点在x 轴上，c =()222210,0x ya b a b-=>>，则22211a b-=，又2222a b c +==，解得221a b ==，所以双曲线方程为221x y -=.（2）设共渐近线方程为()2220x y λλ-=≠，且过点()2,2M -则48λ-=，即4λ=-，所以2224x y -=-，即22124y x -=.双曲线的性质【巧学妙记】6.（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三其他模拟）已知双曲线C ：2213y x -=，则双曲线C 的一条渐近线方程为（）A ．0x +=B 0y +=C ．10x +-=D 10y +-=【答案】B 【分析】求得,a b ，由此求得渐近线方程.【详解】依题意1,a b ==y =，0y ±=，所以B 选项符合.故选：B7.（2021·山东济南市·高三其他模拟）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F （﹣3，0），M （0，4），点P 为双曲线右支上的动点，且△MPF 周长的最小值为14，则双曲线的离心率为（）A ．32B ．C ．2D ．233【答案】A 【分析】根据双曲线的定义，结合三角形的周长，利用三点共线时最小求出a 的值即可．【详解】解：(3,0)F - ，(0,4)M ，||5MF ∴=，MPF 周长的最小值为14，||||||MF MP PF ∴++的最小值为14，即||||+MP PF 的最小值为1459-=，设右焦点为2(3,0)F ，则2||||2PF PF a -=，即2||||2PF PF a =+，则22||||||||2||2MP PF MP PF a MF a +=+++，即M ，P ，2F 三点共线时最小，此时2||||5MF MF ==，即最小值为529a +=，得24a =，2a =，3c = ，∴离心率32c e a ==，故选：A．8.（2020·全国高二课时练习）求双曲线22494x y -=-的顶点坐标､焦点坐标､实轴长､虚轴长､离心率和渐近线方程.【答案】答案见解析【分析】将双曲线方程化为标准方程，由此求得,,a b c ，根据,,a b c 可求得所求内容.【详解】双曲线方程可化为：22149y x -=，则双曲线焦点在y 轴上，249a =，21b =，2413199c ∴=+=；23a ∴=，1b =，133c =，∴顶点坐标为20,3⎛⎫± ⎪⎝⎭；焦点坐标为0,3⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭；实轴长为423a =；虚轴长为22b =；离心率2c e a ==；渐近线方程为23y x a b x =±=±.直线与双曲线的位置关系直线与双曲线相交时，直线与双曲线有一个或两个公共点.直线与双曲线有两个交点⇔相交.当直线与双曲线只有一个公共点时，除了直线与双曲线相切外，还有可能是直线与双曲线相交，此时直线与双曲线的渐近线平行.直线与双曲线没有交点⇔相离.【巧学妙记】10.（2021·四川省内江市第六中学高二月考（理））若曲线224x y -=与直线()23y k x =-+有两个不同的公共点，则实数k 的取值范围是______．【答案】1312k <且1k ≠±【分析】联立直线与双曲线方程消元得关于x 的方程，注意字母系数的讨论.双曲线与直线有两个不同的公共点，二次项系数不为零且判别式大于零，解不等式取交集即可.【详解】联立()22423x y y k x ⎧-=⎪⎨=-+⎪⎩，消y 得()22212(23)(23)40k x k k x k -+----=．当210k -=，即1k =±时，不满足题意.当210k -≠，即1k ≠±时，曲线224x y -=与直线()23y k x =-+有两个不同的公共点，22224(23)4(1)(23)44(1213)0k k k k k ⎡⎤∴∆=-+--+=-->⎣⎦，解得，1312k <.故答案为：1312k <，且1k ≠±.【点睛】直线与双曲线的交点个数问题，即联立直线与双曲线的方程组的解的个数问题.通过消元，再将问题转化为关于x 或y 的方程解的个数问题，注意二次项系数是否为零的讨论.11.（2020·全国高二单元测试）已知曲线22:1C x y -=及直线:1l y kx =-.（1）若l 与C 左支交于两个不同的交点，求实数k 的取值范围；（2）若l 与C 交于A B 、两点，O 是坐标原点，且AOB ，求实数k 的值.【答案】（1）()1-；（2）0k =或62k =±.【分析】（1）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理即可列式求出；（2）可得1212OAB S x x =-= ，再利用韦达定理代入即可求解.【详解】（1）由2211x y y kx ⎧-=⎨=-⎩消去y ，得()221220k x kx -+-=.∵l 与C 左支交于两个不同的交点∴()222104810k k k ⎧-≠⎪⎨∆=+->⎪⎩且121222220,011k x x x x k k +=-<=->--，解得1k <<-，∴k的取值范围为()1-（2）设()()1122,,A x y B x y 、，由（1）得12122222,11k x x x x k k+=-=---.又l 过点()0,1D -，∴1212OAB S x x =-= .∴()(2212x x -=，即22228811k k k ⎛⎫-+= ⎪--⎝⎭.解得0k =或62k =±.12.（2020·巴南区·重庆市实验中学高二月考）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为72，且其顶点到其渐近线的距离为2217.（1）求双曲线的标准方程；（2）直线l ：3y x m =+与双曲线交于A ，B 两点，若41011AB =，求m 的值.【答案】（1）22143x y -=；（2）6±.【分析】（1）根据题意建立关于,,a b c 方程即可求解；（2）联立直线与双曲线方程，利用弦长公式即可求出.【详解】（1）由题得顶点(),0a 到渐近线b y x a =，即0bx ay -=的距离为7，2217=，离心率72c e a ==，又222+=a b c ，则可解得2,a b ==，故双曲线方程为22143x y -=；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，联立221433x y y x m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩可得2233244120x mx m +++=，则()()22244334120m m ∆=-⨯⨯+>，解得233m >2121224412,3333m m x x x x ++=-=，则11AB =，解得6m =±.一、单选题1．如图，1F ，2F 分别是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线分别交于A ，B 两点，若12AB F B =，且22AF BF =，则双曲线的离心率为（）A 7B ．4C ．233D 32．已知左、右焦点分别为1F ，2F 的双曲线222:1(0)16x y C a a -=>上一点P 到左焦点1F 的距离为6，点O 为坐标原点，点M 为1PF 的中点，若||5OM =，则双曲线C 的渐近线方程为（）A ．2y x =±B ．43y x =±C ．45y x =±D ．4y x=±3．已知双曲线的左，右焦点分别为1F （3-，0），2F （3，0），P 为双曲线上一点且124PF PF -=，则双曲线的标准方程为（）A ．22145x y -=B ．22154x y -=C ．22145y x -=D ．22154y x -=4．若1F ，2F 是双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>与椭圆2251162x y +=的共同焦点，点P 是两曲线的一个交点，且12PF F △为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是（）A ．2y x=±B ．24y x =±C ．73y x =±D ．377y x =±5．“方程22112x y m m -=-+表示双曲线”的一个必要不充分条件为（）A ．()(),11,m ∈-∞-+∞UB ．()(),21,m ∈-∞-+∞C ．(),2m ∈-∞-D ．()1,m ∈+∞6．已知双曲线C ：()222210,0y x a b a b-=>>的渐近线方程为12y x =±，则双曲线的离心率为（）A ．2B ．CD ．27．双曲线2222:1x y C a b -=过点，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（）A ．2213y x -=B ．2213x y -=C ．21x =D 21y =8．已知双曲线22:184x y C m m +=--的焦距为则C 的一条渐近线方程不可能为（）A ．55y x =B ．55y x =-C ．y =D ．y =9．直线l ：(y k x =-与曲线()2210x y x -=>相交于A 、B 两点，则直线l 倾斜角的取值范围是（）A ．[)0,pB ．3,,4224ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U C ．0,,22πππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭D ．3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭10．直线:1=+l y ax 与双曲线C ：2231x y -=有且仅有一个公共点，那么a 值共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．已知直线l ：0x -+=与双曲线2232x y -=1只有一个公共点，则直线l 有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条12．过点()4,5与双曲线2211625x y -=有且只有一个公共点的直线有（）．A ．一条B ．两条C ．三条D ．四条二、填空题13．已知曲线221x y a b-=与直线x +y -1=0相交于P ，Q 两点，且0OP OQ ⋅= (O 为原点)，则11a b-=________.14．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 的直线:2230l kx y ka --=与双曲线C 交于A 、B 两点．若7AF FB =，则实数k ＝________．三、解答题15．已知双曲线2212y x -=，斜率为k (0)k ≠的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点.（1）若直线l 过(0,1)P ，且3PB AP =，求直线l 的斜率k .（2）若线段AB 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为92，求k 的取值范围.一、单选题1．（2021·北京高考真题）双曲线2222:1x y C a b-=过点，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（）A ．2213y x -=B ．2213x y -=C ．22313x -=D ．22313y -=2．（2021·全国高考真题（文））点()3,0到双曲线221169x y -=的一条渐近线的距离为（）A ．95B ．85C ．65D ．453．（2020·天津高考真题）设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（）A ．22144x y -=B ．2214y x -=C ．2214x y -=D ．221x y -=4．（2020·浙江高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =图像上的点，则|OP |=（）A ．222B ．4105C D5．（2019·北京高考真题（文））已知双曲线2221x y a-=（a ＞0）的离心率是则a =A B ．4C ．2D ．126．（2019·浙江高考真题）渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是A ．22B ．1C．D ．2二、多选题7．（2020·海南高考真题）已知曲线22:1C mx ny +=.（）A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线三、填空题8．（2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________．9．（2021·全国高考真题）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_______________10．（2020·全国高考真题（文））设双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)的一条渐近线为y x ，则C 的离心率为_________．四、双空题11．（2020·北京高考真题）已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．五、解答题12．（2021·全国高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)2122F MF MF -=，，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.一、单选题1．（2021·全国高三其他模拟（文））双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点1F 关于一条渐近线的对称点P 在另一条渐近线上，该双曲线的离心率为（）A B ．C ．2D2．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（文））若双曲线2222:10cos sin 2x y C πθθθ⎛⎫-=<< ⎪⎝⎭的离心率为2，则θ=（）A ．3πB ．4πC ．6πD ．12π3．（2020·云南丽江市·高二期末（文））已知双曲线22221()00a x y a bb >-=>，被斜率为1的直线截得的弦的中点为（4，2），则该双曲线的离心率为（）A ．2B ．2C ．103D ．24．（2021·安徽高三其他模拟（文））已知A ，B 是双曲线22221(0,>0>)x y a b a b-=上两点，直线AB 垂直于双曲线的实轴，原点O 到直线AB ，且OA OB ⊥，则双曲线的离心率为（）A ．512B ．1+C 1或512D 112-二、多选题5．（2021·江苏扬州市·扬州中学高三其他模拟）已知双曲线2222:1x y C a b -=与双曲线22:11832x y Ω-=有相同的渐近线，且过点(6,P ，1F ，2F 为双曲线C 的左、右焦点，则下列说法中正确的有（）A ．若双曲线C 上一点M 到它的焦点1F 的距离等于16，则点M 到另一个焦点2F 的距离为10B ．若N 是双曲线C 左支上的点，且1232NF NF ⋅=，则12F NF △的面积为16C ．过点()3,0的直线l 与双曲线C 有唯一公共点，则直线l 的方程为43120x y --=或43120x y +-=D ．过点()2,2Q 的直线与双曲线2222178x ya b -=--相交于A ，B 两点，且()2,2Q 为弦AB 的中点，则直线AB 的方程为460x y --=6．（2021·福建厦门市·高三二模）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别是1F ，2F ，直线l 过2F 交C 的右支于A ，B 两点，A 在第一象限，若190ABF ∠=︒.且1AF ，AB ，1BF 成等差数列，则以下正确的是（）A ．112AF BF =B ．l 的斜率为3C ．C 的离心率为2D ．C 的两条渐近线互相垂直三、填空题7．（2021·全国高三其他模拟）设1F ，2F 分别为双曲线()2222105x y m m m -=>+的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1223F AF π∠=，且123AF AF =，则m =__________．8．（2021·东莞市东方明珠学校高三其他模拟）已知双曲线2212:1142x y C m m-=+-，当双曲线1C 的焦距取得最小值时，其右焦点恰为抛物线22:2C y px =（p >0）的焦点，若A ，B 是抛物线2C 上的两点，且8AF BF +=，则AB 中点的横坐标为______．9．（2021·福建高三三模）已知动点P 在圆()()22244x y ++-=上，双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的右焦点为()2,0F ，若C 的渐近线上存在点Q 满足2OP OF OQ +=，则C 的离心率的取值范围是___________.四、解答题10．（2021·湖南高三月考）已知椭圆C ：()222211x y a b a b+=>>长轴的顶点与双曲线D ：22214x y b -=实轴的顶点相同，且C 的右焦点F 到D 的渐近线的距离为7.（1）求C 与D 的方程；（2）若直线l 的倾斜角是直线)2y x =的倾斜角的2倍，且l 经过点F ，l 与C 交于A ，B 两点，与D 交于M ，N 两点，求ABMN.11．（2021·全国高二课时练习）如图，若12,F F 是双曲线221916x y -=的两个焦点.（1）若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离；（2）若P 是双曲线左支上的点，且12|||3|2F PF P =⋅，试求12F PF △的面积.12．（2021·全国高二单元测试）（1）求与双曲线221164x y -=有相同焦点，且经过点()2的双曲线的标准方程；（2）已知椭圆()()2230x m y m m ++=>的离心率32e =，求m 的值．参考答案跟踪训练1．A 【分析】由题意得到2ABF 是边长为4a 的等边三角形,在12BF F △中利用余弦定理得到关于,a c 的等量关系式，最后求得双曲线的离心率.【详解】解：设1BF t =，2AF s =，由12AB F B =，且22AF BF =，可得2AB t =，2BF s =，由双曲线的定义，可得1222AF AF t t s a -=+-=，又212BF BF s t a -=-=，解得4s a =，2t a =，所以2ABF 是边长为4a 的等边三角形，在12BF F △中，12BF a =，24BF a =，122F F c =，12120F BF ∠=︒，则2222212214164204cos 222416a a c a c F BF a a a +--∠=-==⋅⋅，化为227c a =，即c =，即有ce a==故选：A.【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c e a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．2．A 【分析】由题意，可得2||106PF =>，所以得12||||42-==PF PF a ，求得2a =，可得双曲线的渐近线方程.【详解】由||5OM =，得2||106PF =>，∴点P 在双曲线左支上，故12||||42-==PF PF a ，∴2a =，得双曲线方程为221416x y -=，∴双曲线C 的渐近线方程为2y x =±.故选：A .3．A 【分析】由双曲线的定义可以得到3c =，2a =，代入222b c a =-可求出b 的值，判断焦点的位置即可写出双曲线的方程.【详解】解：由双曲线的定义可得3c =，24a =，即2a =，222945b c a =-=-=，且焦点在x轴上，所以双曲线的方程为：22145x y -=．故选：A ．4．B 【分析】由题意可得双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>中223,9c a b =+=，由12PF F △为等腰三角形，所以2126PF F F ==,从而可求得1221064PF a PF =-=-=，再利用双曲线的定义可求得在双曲线中1a =，b =，进而可求出双曲线的渐近线方程【详解】解：因为椭圆2251162x y +=的焦点坐标为(0,3)±，所以双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>中223,9c a b =+=，设点P 为两曲线在第一象限的交点，由于在椭圆中，12PF F △为等腰三角形，所以2126PF F F ==,所以1221064PF a PF =-=-=，在双曲线中，212642a PF PF =-=-=，所以1a =，代入229a b +=，得b =，所以该双曲线的渐近线方程为4a y x b =±=±=±，故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆、双曲线的定义的应用，解题的关键由12PF F △为等腰三角形和椭圆的定义求出21,PF PF 的值，属于中档题5．A 【分析】由22,x y 项系数异号，即1m -与2m +同号，解不等式可得充要条件.根据包含关系的两个集合，小范围能推出大范围，可得选项.【详解】由(1)(2)0m m -+>，解得2m <-，或1m >.由“2m <-，或1m >”能推出“1m <-，或1m >”，即()(),11,m ∈-∞-+∞U 是“方程22112x y m m -=-+表示双曲线”的必要不充分条件，而选择项B 为它的充要条件，而C 、D 均为其充分不必要条件.故选：A.【点睛】方程220()1mx ny mn +=≠表示双曲线0mn ⇔<；方程220()1mx ny mn +=≠表示椭圆0,0m n ⇔>>，且m n ≠.6．B 【分析】由题知双曲线C 为焦点为y 轴上的双曲线，故由题知12a b =，再结合公式e =求解即可.【详解】因为双曲线C ：()222210,0y x a b a b-=>>的渐近线方程为12y x =±，所以双曲线C 为焦点为y 轴上的双曲线，且12a b =所以2b a =，所以双曲线的离心率为：e ==.故选：B 【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程求离心率，考查运算求解能力，解题的关键在于熟练判断双曲线的焦点坐标所在轴及对应的渐近线方程，离心率公式e =,是中档题.7．A 【分析】分析可得b =，再将点代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c ea == ，则2c a =，b ==，则双曲线的方程为222213x ya a-=，将点的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a -==，解得1a =，故b =，因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：A.8．C 【分析】对双曲线的焦点在x 轴或在y 轴上进行分类求解，最后根据渐近线方程确定选项即可.【详解】当焦点在x 轴上时，C 的方程可化为22184x y m m-=--，依题意得846m m -+-=，解得3m =，故C 的方程为2215x y -=，其渐近线方程为y=5x ±；当焦点在y 轴上时，C 的方程可化为24y m -218x m -=-，依题意得486m m -+-=，解得9m =，故C 的方程为2215y x -=，其渐近线方程为y =，对照各选项，只有C 不符合.故选：C.9．B 【分析】联立直线方程和双曲线方程，利用判别式和韦达定理可求斜率的范围，从而得到倾斜角的范围.【详解】由(()2210y k x x y x ⎧=-⎪⎨-=>⎪⎩可得(()22210x x x k -=>，整理得到()22221210kxx k -+--=在()0,∞+上有两个不同的根，故()()224222221018412102201k k k kk k⎧-->⎪-⎪⎪+-+>⎨⎪-⎪>⎪-⎩，解得1k <-或1k >,故直线的倾斜角的范围为：3,,4224ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，故选：B 10．D【分析】联立22131y ax x y =+⎧⎨-=⎩，消去y 得22(3)220a x ax ---=，分类讨论二次项系数230a -=与230a -≠，讨论方程组得解的个数，即可得解.【详解】联立22131y ax x y =+⎧⎨-=⎩，消去y 得22(3)220a x ax ---=当230a -=时，即a =时，方程组只有一个解；当230a -≠时，2244(3)(2)0a a ∆=---=，解得：a =所以a 的取值为{，共4个，故选：D.【点睛】易错点睛：本题考查直线与双曲线的位置关系求参数，解题时要注意消去y 得到的方程二次项系数是否为0，再讨论解的个数，考查学生的分类讨论思想与运算能力，属于一般题.11．D 【分析】由直线方程知其过定点，又双曲线渐近线为63y x =±，结合曲线的图象及性质知，当0m =时直线l ：x =32m =±时直线l 与渐近线平行，即与双曲线只有一个交点；当m =l 与双曲线相切，即可知直线l 的条数.【详解】由题意知：直线l 方程可写为(1)0x y -=，即直线l 恒过，而22(3)111322-=<，即在双曲线外侧，且双曲线渐近线为63y x =±，如下图示，∴当0m =时，有直线l 为3x =当0m ≠时，有直线l 斜率为2k m=1632m =-与双曲线有且只有一个交点，32m =-，符合题意；1632m=与双曲线有且只有一个交点，即32m =，符合题意；若直线l 与双曲线相切时，联立双曲线方程并整理得222(43)2(64)4260m y m m y m m ++-+-=，由2224(64)8(26)(43)0m m m m m ∆=--+=，解得6m =∴综上：当0m =或32m =±或6m =.故选：D.【点睛】关键点点睛：根据直线方程过定点，结合双曲线渐近线，有过该定点与渐近线平行的直线只与双曲线交一点，再讨论斜率不存在及与双曲线相切的情况，即可判断直线l 的条数.12．B 【分析】由已知双曲线方程求出a 的值，然后判断过已知点直线斜率不存在和斜率存在时两种情况讨论，即可求解.【详解】由双曲线方程可得：4a =，5b =，当过点()4,5的直线斜率不存在时，直线方程为4x =，此时显然与双曲线方程只有一个公共点；当过点()4,5的直线斜率存在时，设斜率为k ，则直线方程为()45y k x =-+，代入双曲线方程可得()()()2222251616810161640500k xk k x k k -+---+=，当225160k -=即54k =±时，当54k =时，25525516810161640500164164x ⎛⎫⎛⎫⨯-⨯-⨯-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭显然无解；当54k =-时，25525516810161640500164164x ⎛⎫⎛⎫⨯+⨯-⨯+⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有一解，此时直线与双曲线有一个交点，符合题意，当225160k -≠，令()()()22222168106425161640500k k k k k ∆=-+--+=，解得：54k =，不符合题意，综上所述：满足题意的直线有两条，故选：B.【点睛】方法点睛：直线与双曲线位置关系的判断将双曲线方程22221x y a b-=与直线方程:l y kx b =+联立消去y 得到关于x 的一元二次方程()22222222220ba k x a mkx a m ab ----=，当2220b a k -=，即bk a=±时，直线l 与双曲线的渐近线平行，直线l 与双曲线只有一个交点；当2220b a k -≠，即bk a≠±时，设该一元二次方程的判别式为∆，若0∆>，直线与双曲线相交，有两个公共点；若0∆=，直线与双曲线相切，有一个公共点；若∆<0，直线与双曲线相离，没有公共点；注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切.13．2【分析】首先直线与双曲线方程联立，利用根与系数的关系表示0OP OQ ⋅=，变形后即可得到结论.【详解】将y =1-x 代入221x y a b-=，得(b -a )x 2+2ax -(a +ab )=0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1+x 2=2a a b -，x 1x 2=a aba b +-.因为OP OQ ⋅=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(1-x 1)(1-x 2)=2x 1x 2-(x 1+x 2)+1，所以222a ab aa b a b+---+1=0，即2a +2ab -2a +a -b =0，即b -a =2ab ，所以112a b-=.故答案为：2【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线方程联立，关键是根据韦达定理得到,a b 的关系后，观察，变形得到结论.14．【分析】由直线方程过右焦点得,a b 的关系，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程与双曲线方程联立消去x ，应用韦达定理得出1212,y y y y +，由7AF FB =，得127y y =-，这样结合起来可得k值．【详解】在2230kx y ka --=中令0y =得32a x =，所以32a c =，则222254a b c a =-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，由222212230x y a bkx y ka ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩，消去x 得22222223504b ab a b a y y k k ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，2122223kab y y a k b+=-，2221222254()k a b y y b a k =-，由7AF FB =得127y y =-，212222236kab y y y a k b+=-=-，222222()kab y a k b =--，所以224222212222222225774()4()k a b k a b y y y a k b b a k =-=-⨯=--，化简得2221235b k a==，k =．故答案为：【点睛】方法点睛：：本题考查直线与双曲线相交问题，解题方法是设而不求的思想方法，即设交点坐标1122(,),(,)x y x y ，由直线方程与双曲线方程联立，消元后应用韦达定理（本题得）1212,y y y y +，已知条件又得127y y =-，这样结合起来可求得k 值．15．（1）1；（2）,2)(((2,)-∞-+∞U U U 【分析】（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，由题知3PB AP →→=，从而求得2121343x x y y =-⎧⎨=-⎩，代入双曲线方程，解得11x =-，10y =，从而求得斜率k .（2）设直线l 的方程为y kx m =+，与双曲线联立，求得韦达定理，及有2个交点时，判别式大于0,满足的k ，m 间的关系；并写出直线l 的垂直平分线方程，分别求得在x ，y 轴上的截距，求得围成的面积，从而求得k ，m 间的关系，代入上式中，解得k 的取值范围.【详解】解：（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，因为3BP AP =，所以3PB AP →→=，即2211(,1)3(,1)x y x y -=--，所以2121343x x y y =-⎧⎨=-⎩，所以2211221112(43)(3)12y x y x ⎧-=⎪⎪⎨-⎪--=⎪⎩，所以11x =-，10y =，即(10)A -，，所以1011AP k k -===.（2）设直线l 的方程为y kx m =+（0k ≠）．由2212y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得222(2)220k x kmx m ----=．则12222km x x k +=-，212222m x x k --=-因为直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点于是22k -≠0，且222(2)4(2)(2)0km k m ∆=-+-+>．整理得2220m k +->．设线段AB 的中点坐标00(,)x y ，则120222x x km x k +==-，00222my kx m k =+=-．所以AB 的垂直平分线方程为2221(22m kmy x k k k-=----．此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为23(,0)2km k -，23(0,)2mk -．由题可得221339||||2222km m k k ⋅=--．整理得222(2)||k m k -=，0k ≠．所以可得222(2)20||k k k -+->，整理得22(2)(||2)0k k k --->，0k ≠．解得0||k <<或||2k >．所以k的取值范围是,2)(((2,)-∞-+∞U U U ．关键点点睛：设方程，联立圆锥曲线方程，求得韦达定理，可以表示出两个交点间的关系，从而在下面条件转化中可以代入，化简求解，本题中有2个交点，应满足判别式大于0，从而参数k 的取值范围.真题再现1．A 【分析】分析可得b =，再将点代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c ea == ，则2c a =，b ==，则双曲线的方程为222213x ya a-=，将点的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故b =，因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：A.2．A 【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：220169x y -=，即340±=x y ，结合对称性，不妨考虑点()3,0到直线340x y +=的距离：95d ==.故选：A.3．D由抛物线的焦点()1,0可求得直线l 的方程为1yx b+=，即得直线的斜率为b -，再根据双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，可得b b a -=-，1bb a-⨯=-即可求出,a b ，得到双曲线的方程．【详解】由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1yx b+=，即直线的斜率为b -，又双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，所以b b a -=-，1bb a-⨯=-，因为0,0a b >>，解得1,1a b ==．故选：D ．【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．4．D 【分析】根据题意可知，点P 既在双曲线的一支上，又在函数y =即可求出点P 的坐标，得到OP 的值．【详解】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a =-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P还在函数y =由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得132332x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP ==故选：D.【点睛】。

双曲线基础知识点以及训练题

双曲线知识点一．双曲线的定义及双曲线的标准方程：1 双曲线定义：(1) 第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．注意：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支；当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.(2).第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线2.双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）. 222a c b -=，|1F 2F |=2c..3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.二．双曲线的内外部：(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->.(2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<.三．双曲线的简单几何性质22a x －22by =1（a ＞0，b ＞0）⑴范围：|x |≥a ，y ∈R;⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称;⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0）; ⑷渐近线：①若双曲线方程为12222=-by a x ⇒渐近线方程⇒=-02222b y a x x ab y ±= ②若渐近线方程为x aby ±=⇒0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x③若双曲线与12222=-by a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）④与双曲线12222=-by a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222b y a x )0(≠λ⑤ 与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x四．双曲线)0,(12222>=-b ay x 与 )0,(12222>=-b a x y 的区别和联系五.弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则12AB x =-==，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则12AB y y =-=通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A 、B 两点，则弦长ab AB 22||=。

高二数学双曲线和抛物线的标准方程及几何性质

双曲线和抛物线的标准方程及几何性质【考点一：双曲线的定义与标准方程】1. 双曲线定义平面内与两个定点21F F 、的距离之差的绝对值为常数)2(221F F a a <的动点P 的轨迹叫双曲线，其中两个定点21F F 、叫双曲线的焦点.当21212F F a PF PF <=-时， P 的轨迹为双曲线；当21212F F a PF PF >=-时， P 的轨迹不存在；当21212F F a PF PF ==-时， P 的轨迹为以21F F 、为端点的两条射线当没有绝对值时，表示双曲线的一支或一条射线. 2. 双曲线的标准方程i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)00(12222>>=-b a b y a x ，.ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)00(12222>>=-b a bx a y ，.3.求双曲线的标准方程的方法有定义法、待定系数法，有时还可根据条件用代入法.用待定系数法求双曲线方程的一般步骤同椭圆的求法是相同的（1）作判断（2）设方程：（3）找关系（4）解方程 4.焦点位置的判断由x 2，y 2分母的符号决定，焦点在分母为正的坐标轴上.例如双曲线)0(122<=-mn ny m x ，当00<>n m ，时表示焦点在x 轴上的双曲线；当00<>m n ，时表示焦点在y 轴上的双曲线. 【例1】已知()15,0F -，()25,0F ,一曲线上的动点P 到1F 、2F 距离之差为6，则双曲线的方程为 ______.【解析】10621<=-PF PF ，P ∴的轨迹是双曲线的右支.其方程为)0(116922>=-x y x 【课堂练习】1.设点P 到点M （－1，0）、N （1，0）距离之差为2m ，到x 轴、y 轴距离之比为2，求m 的取值范围.【解析】设点P 的坐标为（x ，y ），依题意得||||x y =2，即y =±2x （x ≠0）. ①因此点P （x ，y ）、M （－1，0）、N （1，0）三点不共线，得||PM |－|PN ||<|MN |=2. ∵||PM |－|PN ||=2|m |>0，∴0<|m |<1.因此点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为2|m |的双曲线上.故22m x －221m y -=1. ②将①代入②，并解得x 2=22251)1(mm m --， ∵1－m 2>0，∴1－5m 2>0.解得0<|m |<55，即m 的取值范围为（－55，0）∪（0，55）.【例2】根据下列条件，求双曲线方程：（1）与双曲线92x －162y =1有共同的渐近线，且过点（－3，23）；（2）与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.【解析】（1）设双曲线的方程为22a x －22by =1，由题意，得()(22224331b a ab ⎧=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，解得a 2=49，b 2=4，所以双曲线的方程为492x －42y =1.（2）设双曲线方程为22a x －22by =1.由题意易求c =25.又双曲线过点（32，2），∴22)23(a －24b=1. 又∵a 2+b 2=（25）2，∴a 2=12，b 2=8，故所求双曲线的方程为122x －82y =1.【课堂练习】2.给出问题：F 1、F 2是双曲线162x －202y =1的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由821=-PF PF ，即892=-PF ，得|PF 2|=1或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上.______________________________________________. 【解析】易知P 与F 1在y 轴的同侧，|PF 2|－|PF 1|=2a ，∴|PF 2|=17.【考点二：双曲线的几何性质】1. 双曲线的方程与几何性质：2.与双曲线)00(12222>>=-b a b y a x ，共渐近线的双曲线系方程为：)0(2222≠=-m m by a x与双曲线)00(12222>>=-b a by a x ，共轭的双曲线为12222=-a x b y实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线222a y x ±=-的渐近线方程为x y ±=，离心率为2=e .【例3】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程是y ，它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为（）（A ）22136108x y -= （B ） 221927x y -= （C ）22110836x y -= （D ）221279x y -=【答案】B【解析】依题意知2222269,27ba c abc a b +⎧=⎪⎪=⇒==⎨⎪=⎪⎩，所以双曲线的方程为221927x y -= 【课堂练习】3.已知圆C 过双曲线92x －162y =1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____________.【解析】由双曲线的几何性质，知圆C 过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C 的圆心的横坐标为4. 故圆心坐标为（4，±374）.易求它到双曲线中心的距离为316. 【例4】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为21F F 、，点P 在双曲线的右支上，且214PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为__________.【解析】ac a PF a PF PF a PF PF -+≤+=+=21||21||||2||||22221双曲线上存在一点P 使214PF PF =，等价于2514,13a e c a +≥∴<≤- 【课堂练习】4.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）AB【答案】D【解析】不妨设双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为：22221(0,0)x y a b a b -=>>，则一个焦点为(,0),(0,)F c B b 一条渐近线斜率为b a ，直线FB 的斜率为：bc-()1b ba c ∴⋅-=-，2b ac ∴=，即220c a ac --=，解得c e a ==.5.P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>左支上的一点，21F F 、分别是左、右焦点，且焦距为2c ，则21F PF ∆的内切圆的圆心的横坐标为（）A .a -B .b -C.c -D.c b a -+【解析】设21F PF ∆的内切圆的圆心的横坐标为0x ，由圆的切线性质知，21000|||()|2PF PF c x x c a x a +=----=⇒=-【考点三：焦点三角形】1. 焦点三角形：椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理.解题中通过变形，使之出现21PF PF +或21PF PF -的结构，这样就可以应用椭圆或双曲线的定义，从而可得到有关a ，c 的关系式.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的一点00(,)P x y 到两焦点12,F F 的距离分别为12,r r ，①a r r 221=-，双曲线上一点P 到相应焦点的最短距离为c a -，到另一焦点的最短距离为c a +. ②焦点12F PF ∆面积为S ，121sin 2S r r θ=，【例5】设P 为双曲线11222=-y x 上的一点，21F F 、是该双曲线的两个焦点，若2/3/21=PF PF ，则21F PF ∆的面积为（）A .B .12C.D.24【答案】B【解析】由已知1,a b ==，故c =，已知2/3/21=PF PF ①又1222PF PF a -== ②由①、②解得16PF =，24PF =，则221252PF PF +=，又因1252F F =，则21F PF ∆为直角三角形，则121211641222PF F S PF PF ∆==⨯⨯=. 【课堂练习】6.已知双曲线116922=-y x 的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左支上且1232PF PF ⋅=，求21PF F ∠的大小.【解析】∵点P 在双曲线的左支上，∴621=-PF PF ，∴362212221=-+PF PF PF PF ，∴1002221=+PF PF ，∵()22221244100F F c a b ==+=，∴ 9021=∠PF F .【考点四：抛物线的标准方程和几何性质】1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质（0>P ）：2.抛物线的焦半径：①)0(22≠=p px y 的焦半径2p x PF +=；)0(22≠=p py x 的焦半径2p y PF +=； ② 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p . 3. 抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB 为焦点弦， M 为准线与x 轴的交点，则∠A MF ＝∠B MF ；（3）设AB 为焦点弦，A 、B 在准线上的射影分别为11B A 、，若P 为11B A 的中点，则P A ⊥PB ；（4）若AO 的延长线交准线于C ，则B C 平行于x 轴，反之，若过B 点平行于x 轴的直线交准线于C 点，则A ，O ，C 三点共线.（5） AB 为抛物线)0(22≠=p px y 的焦点弦，则22,4p y y p x x B A B A -==，p x x AB B A ++= 4. 抛物线的焦点位置判断：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向.【例6】已知抛物线)0(22≠=p px y 的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，则P 的值为（）（A ）12（B ）1 （C ）2 （D ）4【答案】 C【解析】法一：抛物线)0(22≠=p px y 的准线方程为2p x -=，因为抛物线)0(22≠=p px y 的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，所以2,423==+p p. 法二：作图可知，抛物线)0(22≠=p px y 的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切于点（-1，0）所以2,12=-=-p p. 【课堂练习】7.设A 、B 为抛物线)0(22≠=p px y 上的点，且090=∠AOB （O 为原点），则直线AB 必过的定点坐标为__________.【解析】设直线OA 方程为kx y =，由22y kx y px=⎧⎨=⎩解出A 点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛k p k p 2,22由⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y x k y 212解出B 点坐标为()pk pk 2,22-，直线AB 方程为22-1)2(2k pk x k pk y -=+，令0=y 得p x 2=，直线AB 必过的定点()0,2p【例7】在抛物线24x y =上求一点，使该点到直线54-=x y 的距离为最短，求该点的坐标【解析】解法1：设抛物线上的点()2P x x，4，则点P 到直线的距离17|544|2+-=x x d 1717417|4)21(4|2≥+-=x当且仅当21=x 时取等号，故所求的点为⎪⎭⎫⎝⎛121，解法2：平行于直线54-=x y 且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求，设该直线方程为b x y +=4，代入抛物线方程得0442=--b x x ，由01616=+=∆b 得21,1=-=x b ，故所求的点为⎪⎭⎫⎝⎛121，【课堂练习】8.已知抛物线2:ax y C =（a 为非零常数）的焦点为F ，点P 为抛物线c 上一个动点，过点P 且与抛物线c 相切的直线记为l .（1）求F 的坐标；（2）当点P 在何处时，点F 到直线l 的距离最小？【解析】（1）抛物线方程为 y a x 12=，故焦点F 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛a 410，（2）设()00y x P ，，则200ax y =2 ,2'0ax k P ax y =∴=）的切线的斜率点处抛物线（二次函数在直线l 的方程是)(20020x x ax ax y -=-， 0 2 200=-ax y x ax －即. 411441)1()2(410 20222020ax a aax ax ad ≥+=-+--=∴当且仅当00x =时上式取“=”，此时点P 的坐标是()0,0，故当P 在()0,0处时，焦点F 到切线l 的距离最小.【巩固练习】基础训练（A 类）1. 双曲线19422=-y x 的渐近线方程是（） A . x y 32±= B . x y 94±= C. x y 23±= D. x y 49±= 2. 焦点为（0，6），且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（）A .1241222=-y x B . 1241222=-x y C.1122422=-x y D.1122422=-y x3.（）A .22124x y -=B .22142x y -= C.22146x y -= D.221410x y -=4.双曲线24x -212y =1的焦点到渐近线的距离为（）A .B .2 D.1 5.双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为（）A 、⎫⎪⎪⎝⎭B 、⎫⎪⎪⎝⎭C 、⎫⎪⎪⎝⎭D 、)6.抛物线28y x =-的焦点坐标是（）A .（2，0）B .（- 2，0） C.（4，0） D.（- 4，0） 7. 抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（） A .1617 B . 1615 C.87D. 0 8.若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为（）A .2B .3C.5D.29.若双曲线()222213x y a o a -=>的离心率为2，则a 等于（）A . 2B .C.32D. 1 10. 若椭圆122=+ny m x )0(>>n m 和双曲线122=-t y s x )0,(>t s 有相同的焦点1F 和2F ，而P 是这两条曲线的一个交点，则21PF PF ⋅的值是（） . A .m s - B .)(21s m - C.22s m - D.s m - 【参考答案】1.【答案】C【解析】直接考察渐近线的公式.2.【答案】B【解析】从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选B 3.【答案】B【解析】由2e =得222222331,1,222c b b a a a =+==，选B .4.【答案】A【解析】双曲线24x -212y =1的焦点（4，0）到渐近线y =的距离为d ==5.【答案】C【解析】双曲线的2211,2a b ==，232c =，c =2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 6.【答案】B【解析】由28y x =-，易知焦点坐标是(,0)(2,0)2p-=-，故选B . 7.【答案】B【解析】抛物线的标准方程为y x 412=，准线方程为161-=y ，由定义知，点M 到准线的距离为1，所以点M 的纵坐标是16158.【答案】C【解析】焦点到渐近线的距离等于实轴长，故51,222222=+===ab ac e a b ，所以5=e 9.【答案】D【解析】由222123x y a -===c可知虚轴e=a，解得a =1或a =3，参照选项知而应选D.10.【答案】A【解析】因为P 在椭圆上，所以m PF PF 221=+.又P 在双曲线上，所以s PF PF 221=-.两式平方相减，得)(4421s m PF PF -=⋅，故s m PF PF -=⋅21.选A .提高训练（B 类）1. 以椭圆114416922=+y x 的右焦点为圆心，且与双曲线116922=-y x 的渐近线相切的圆的方程是 A .221090x y x +-+= B . 221090x y x +--=C. 221090x y x +++=D. 221090x y x ++-= 2. 曲线)6(161022<=-+-m m y m x 与曲线)95(19522<<=-+-n ny n x 的（） A .焦距相等 B .焦点相同 C.离心率相等 D.以上都不对3. 两个正数a 、b 的等差中项是29，一个等比中项是52，且b a >，则双曲线12222=-b y a x 的离心率为（）A .35 B . 441 C.45 D.541 4.以抛物线24y x =的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）A .22x +y +2x=0B .22x +y +x=0 C.22x +y -x=0 D.22x +y -2x=0 5.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与抛物线21y ＝x ＋相切，则该双曲线离心率为（）A B .26. 已知点)4,3(A ，F 是抛物线28x y =的焦点，M 是抛物线上的动点，当MF MA +最小时，M 点坐标是（）A . ()0,0B . ()62,3- C. ()4,2 D. ()62,37.过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于两点B A ,，若B A ,在抛物线准线上的射影为11,B A ，则=∠11FB A （）A . 45︒B . 60︒ C. 90︒ D. 120︒8.“0m n >>”是“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的（） A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9. 已知点)0,1()0,3(),0,3(B N M ，-，动圆C 与直线MN 切于点B ，过N M ,与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为A .)1(1822-<=-x y x B .)1(1822>=-x y x C.)0(1822>=+x y x D.)1(11022>=-x y x 10.设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线y =x 2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为（） A . 45 B . 5 C. 25 D.5 【参考答案】1.【答案】A2.【答案】A 【解析】方程)6(161022<=-+-m my m x 表示的曲线为焦点在x 轴的椭圆，方程)95(19522<<=-+-n ny n x 的曲线为焦点在y 轴上的双曲线， )5()9()6()10(-+-=---n n m m ，故选A .3.【答案】B 【解析】414,5=∴==c b a ，选B . 4.【答案】D【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为22x-1)+y =1（，即22x -2x+y =0，选D. 5.【答案】C 【解析】由题双曲线()222200x y a b a b－＝1＞，＞的一条渐近线方程为a bx y =，代入抛物线方程整理得02=+-a bx ax ，因渐近线与抛物线相切，所以0422=-a b ，即5522=⇔=e a c .6.【答案】C【解析】设M 到准线的距离为MK ，则MK MA MF MA +=+，当MK MA +最小时，M 点坐标是()4,2，选C.7.【答案】C【解析】焦点弦的性质.8.【答案】C【解析】将方程221mx ny +=转化为 22111x y m n +=，根据椭圆的定义，要使焦点在y 轴上必须满足110,0,m n>> 11n m >.9.【答案】B 【解析】，2=-=-BN BM PN PM P 点的轨迹是以N M ,为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B .10.【答案】D 【解析】双曲线12222=-by a x 的一条渐近线为x a b y =，由方程组21b y x a y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得210b x x a -+=有唯一解，所以△=2()40b a -=，所以2b a =，2c e a ==== D. 综合迁移（C 类）1.过抛物线24y x =的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于()224a a a R ++∈，则这样的直线（）A .有且仅有一条B .有且仅有两条 C.1条或2条 D.不存在2.设抛物线y 2=8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足.如果直线A F 的斜率为|P F|= （）A .B .8 C. D. 163.设O 为坐标原点，1F ，2F 是双曲线2222x y 1a b-=（a ＞0，b ＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足∠1F P 2F =60°，∣OP ∣，则该双曲线的渐近线方程为（）A .x y =0B x ±y =0 C.x =0 ±y =04. 已知双曲线122=-n y m x 的一条渐近线方程为x y 34=，则该双曲线的离心率e 为 .5.巳知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为 .6.已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+by a x C （a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且21PF PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9，则b =____________.7.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p =________________.【参考答案】1.【答案】C【解析】 44)1(52||22≥++=++=++=a a a p x x AB B A ，而通径的长为4.2.【答案】B【解析】抛物线的焦点F （2，0），直线A F 的方程为2)y x =-，所以点(2,A -、(6,P ，从而|P F|=6+2=83.【答案】D4.【答案】53或4 【解析】当00>>n m ，时，2925,169n m n e m m +===，当00<<n m ，时，1625,9162=+==m n m e n m ，4535或=∴e . 5.【答案】193622=+y x【解析】23=e ，122=a ，6=a ，3=b ，则所求椭圆方程为193622=+y x . 6.【答案】3 【解析】依题意，有⎪⎩⎪⎨⎧=+=•=+2222121214||||18||||2||||cPF PF PF PF a PF PF ，可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，故有b ＝3. 7.【答案】 2【解析】由题意可知过焦点的直线方程为2p y x =-，联立有22223042y px p x px p y x ⎧=⎪⇒-+=⎨=-⎪⎩，又82AB p ==⇒=.。

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双曲线标准方程及几何性质知识点及习题
1. 双曲线第一定义：
平面内与两个定点F1、F2的距离差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨
迹叫双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫焦距。
2. 双曲线的第二定义：
平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e（e>1）的点
的轨迹叫双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e叫双曲
线的离心率。
当曲线上一点沿曲线无限远离原点时，如果到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直
线称为这条曲线的渐近线。无限接近，但不可以相交。
例1.
方程11122kykx表示双曲线，则k的取值范围是（）

A．11k B．0k C．0k D．1k或1k
3. 双曲线的标准方程：

（1）焦点在x轴上的：xaybab2222100()，

（2）焦点在y轴上的：yaxbab2222100()，
（3）当a＝b时，x2－y2＝a2或y2－x2＝a2叫等轴双曲线。
注：c2＝a2＋b2

【例2】求虚轴长为12，离心率为54双曲线标准方程。

【例3】求焦距为26，且经过点M（0，12）双曲线标准方程。
练习。焦点为6,0，且与双曲线1222yx有相同的渐近线的双曲线方程是
（）
A．1241222yx B．1241222xy C．1122422xy D．1122422yx

【例4】与双曲线221916xy有公共渐进线，且经过点3,23A
练习。求一条渐近线方程是043yx，一个焦点是0,4的双曲线标准方程，并求此双曲
线的离心率．

解决双曲线的性质问题，关键是找好等量关系，特别是e、a、b、c四者的关系，构造出
c
ea

和222cab的关系式。
4. 双曲线的几何性质：

（）焦点在轴上的双曲线，的几何性质：11002222xxaybab()
y

x
F1F2A2A
1
O

1范围：，或xaxa
<2>对称性：图形关于x轴、y轴，原点都对称。
<3>顶点：A1（-a，0），A2（a，0）
线段A1A2叫双曲线的实轴，且|A1A2|＝2a；线段B1B2叫双曲线的虚轴，
且|B1B2|＝2b。

41离心率：ecae()
e越大，双曲线的开口就越开阔。

5渐近线：ybax=

62准线方程：x
a
c

5．若双曲线的渐近线方程为：xaby
则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成：
)0(2222

bya

x
【例4】
求与椭圆xy2294152有公共焦点，并且离心率为的双曲线的标准方程。
【例5】
已知双曲线经过，且与另一双曲线，有共同的渐
近线，则此双曲线的标准方程是

练习。求与双曲线xyM22941921有共同渐近线，且经过点，的双曲线的
标准方程。

【例6】设F1、F2分别是双曲线22221xyab的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使
12
90FAF
，且︱AF1︱=3︱AF2︱，求双曲线的离心率。

练习。已知双曲线12222byax的离心率332e，过),0(),0,(bBaA的直线到原点的距离是
.
2

3
求双曲线的方程；
x
y
o
x y o x y o x

y
o

双曲线标准方程及几何性质习题
一选择
1．到两定点0,31F、0,32F的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹（）
A．椭圆 B．线段 C．双曲线 D．两条射线

2．方程11122kykx表示双曲线，则k的取值范围是（）
A．11k B．0k C．0k D．1k或1k
3．双曲线14122222mymx的焦距是（）
A．4 B．22 C．8 D．与m有关
4．已知m,n为两个不相等的非零实数，则方程mx－y+n=0与nx2+my2=mn所表示的
曲线可能是（）

5．焦点为6,0，且与双曲线1222yx有相同的渐近线的双曲线方程是（）
A．1241222yx B．1241222xy C．1122422xy D．1122422yx
6．若ak0，双曲线12222kbykax与双曲线12222byax有（）
A．相同的虚轴 B．相同的实轴 C．相同的渐近线 D．相同的焦点
7．过双曲线191622yx左焦点F1的弦AB长为6，则2ABF（F2为右焦点）的周长是（）
A．28 B．22 C．14 D．12

8．双曲线方程为152||22kykx，那么k的取值范围是（）
A．k＞5 B．2＜k＜5 C．－2＜k＜2 D．－2＜k＜2或k＞5
9．双曲线的渐近线方程是y=±2x，那么双曲线方程是（）
A．x2－4y2=1 B．x2－4y2＝1 C．4x2－y2=－1 D．4x2－y2=1

10．设P是双曲线19222yax上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023Fyx、F
2

分别是双曲线的左、右焦点，若3||1PF，则||2PF （）
A．1或5 B． 6 C． 7 D． 9

11．已知双曲线22221,(0,0)xyabab的左，右焦点分别为12,FF,点P在双曲线的右支

上，且12||4||PFPF,则双曲线的离心率e的最大值为（）
A．43 B．53 C．2 D．73
12．设c、e分别是双曲线的半焦距和离心率，则双曲线12222byax(a>0, b>0)的一个顶
点到它的一条渐近线的距离（） A．caB．cb C．ea D．eb
13．双曲线)1(122nynx的两焦点为F1，F2，P在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|=
,22n
则△PF1F2的面积为（）A．21B．1 C．2 D．4

14．二次曲线1422myx，]1,2[m时，该曲线的离心率e的取值范围是（）
A．]23,22[ B．]25,23[ C．]26,25[ D．]26,23[
二．填空
15．直线1xy与双曲线13222yx相交于BA,两点，则AB=_____

16．设双曲线12222byax的一条准线与两条渐近线交于A、B两点，相应的焦点为F，若以
AB为直径的圆恰好过F点，则离心率为
17．双曲线122byax的离心率为5，则a:b=
三、解答题
1.双曲线0222aayx的两个焦点分别为21,FF，P为双曲线上任意一点，求证：

21
PFPOPF、、
成等比数列（O为坐标原点）．

2.
已知双曲线方程xy22421
（1）过点M（1，1）的直线交双曲线于A、B两点，若M为AB的中点，求直线AB
的方程；

（2）是否存在直线l，使点N112，为直线l被双曲线截得的弦的中点，若存在求出
直线l的方程，若不存在说明理由。
3.已知不论b取何实数，直线y=kx+b与双曲线1222yx总有公共点，试求实数k的取
值范围.

4.
已知B（-5，0），C（5，0）是△ABC的两个顶点，且sinsinsinBCA35，求顶点

A的轨迹方程。
分析：在△ABC中由正弦定理可把sinsinsinBCA35转化为bca35，结合图形可

知顶点A的轨迹是以B、C为两焦点，实轴长为6的双曲线的左支。
y

x
C

B-3

5.
某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测
点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知
各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时
声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上).