新人教A版高中数学必修4限时规范训练：第一章三角函数1.1.1任意角
2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.1.1任意角(1)教学教案新人教A版必修4
"首先，我们来看一下角度制和弧度制之间的转换。1度等于π/180弧度，所以我们可以通过乘以或除以π/180来进行转换。同学们，你们能举个例子吗？"
2. 弧度制与角度制的转换（5分钟）
"同理，弧度制也可以转换为角度制。1弧度等于180/π度，所以我们可以通过乘以或除以180/π来进行转换。同学们，你们能再举个例子吗？"
2. 作业评价
对学生的作业进行认真批改和点评，及时反馈学生的学习效果。注意学生的解题思路和方法，以及对角度制和弧度制转换的运用能力。对做得好的学生给予肯定和鼓励，对需要改进的地方提出具体的建议和指导。通过作业评价，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
3. 学生自我评价
鼓励学生进行自我评价，反思自己在课堂学习和作业完成过程中的优点和不足。学生可以对自己的学习态度、参与程度、解题能力等进行评价，并制定相应的学习计划和目标。通过自我评价，培养学生的自我反思和自我管理能力。
- 练习角度制与弧度制之间的转换，提高自己的计算能力。
3. 课后作业
- 完成课后练习题，包括5道选择题和3道计算题。
- 撰写一篇关于任意角的应用实例的短文，字数不限。
板书设计
本节课的板书设计旨在帮助学生清晰地理解和掌握任意角的定义、表示方法以及角度制与弧度制的转换。板书内容分为四个部分：
1. 任意角的定义：以图形和文字相结合的方式，简洁明了地表示任意角的定义，突出角的概念和组成。
三、课堂练习（15分钟）
"下面，请大家用度、分、秒和弧度制表示以下角度：30度、120度、π/3弧度、4π/3弧度。并尝试进行转换。"
四、总结与拓展（10分钟）
"通过本节课的学习，我们了解了任意角的定义和表示方法，以及角度制和弧度制的转换。任意角在我们的生活中无处不在，例如钟表、自行车轮胎等。希望大家能够课后观察一下，并用我们今天学到的知识进行理解和表示。"
人教新课标A版 高中数学必修4 第一章三角函数 1.1任意角和弧度制 同步测试B卷
人教新课标A版高中数学必修4 第一章三角函数 1.1任意角和弧度制同步测试B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共15题；共30分)1. （2分） (2017高一上·黑龙江月考) 设集合，集合，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高一下·郴州期中) 将﹣300°化为弧度为（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高一下·华亭期中) 将﹣1485°化成α+2kπ（0≤α＜2π，k∈Z）的形式是（）A . ﹣﹣8πB . ﹣8πC . ﹣10πD . ﹣10π4. （2分） (2015高一上·莆田期末) 已知集合{α|2kπ+ ≤α≤2kπ+ ，k∈Z}，则角α的终边落在阴影处（包括边界）的区域是（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高一下·集宁期末) 与角终边相同的角为（）A .B . .C .D .6. （2分） (2016高一下·南市期中) 将﹣300°化为弧度为（）A . -B . -C . -D . -7. （2分）以下四个命题，其中，正确的命题是（）①小于90°的角是锐角②第一象限的角一定不是负角③锐角是第一象限的角④第二象限的角必大于第一象限的角A . ①②B . ③C . ②③D . ③④8. （2分） (2016高一下·兰陵期中) 与角﹣终边相同的角是（）A .B .C .D .9. （2分）若一圆弧的长等于其所在圆的内接正三角形的边长，那么其圆心角的弧度数是（）A .B .C .D . 210. （2分）下列各命题正确的是（）A . 终边相同的角一定相等B . 第一象限角都是锐角C . 锐角都是第一象限角D . 小于90度的角都是锐角11. （2分）在直角坐标系中，若与的终边互相垂直，则与的关系为（）A .B .C .D .12. （2分）如果一扇形的弧长为π，半径等于2，则扇形所对圆心角为（）A . πB . 2πC .D .13. （2分）若一扇形的圆心角为30°，弧长为π，则其半径为（）A . 3B . 6C . 3πD .14. （2分） (2016高一上·湖州期中) 与角﹣终边相同的角是（）A .B .C .D .15. （2分）已知扇形的圆心角的弧度数为2，扇形的弧长为4，则扇形的面积为（）A . 2B . 4C . 8D . 16二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分）一个扇形的弧长和面积均为5，则这个扇形圆心角的弧度数是117. （1分）50°化为弧度制为________18. （1分）角的终边在第一象限和第三象限的平分线上的角的集合为________．19. （1分）960°的终边在第________象限．（填汉字）20. （1分）已知α，β角的终边关于y轴对称，则α与β的关系为________．三、解答题 (共5题；共25分)21. （5分） (2015高三上·泰安期末) AC为对称轴的抛物线的一部分，点B到边AC的距离为2km，另外两边AC，BC的长度分别为8km，2 km．现欲在此地块内建一形状为直角梯形DECF的科技园区．（1）求此曲边三角形地块的面积；（2）求科技园区面积的最大值．22. （5分）如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径AB的长为2km，C，D两点在半圆弧上，且BC=CD，设∠COB=θ；（1）当=时，求四边形ABCD的面积．（2）若要在景区内铺设一条由线段AB，BC，CD和DA组成的观光道路，则当θ为何值时，观光道路的总长l 最长，并求出l的最大值．23. （5分）写出与﹣终边相同的角的集合S，并把S中在﹣4π到4π之间的角写出来．24. （5分）写出终边在直线y=﹣x上所有角的集合，并指出在所写集合中，最大的负角是多少？25. （5分）已知在半径为8的圆O中，弦AB的长为8．（1）求弦AB所对的圆心角α（0＜α＜π）的大小．（2）求α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S．参考答案一、单选题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共5题；共5分) 16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共5题；共25分)21-1、21-2、22-1、23-1、24-1、25-1、第11 页共11 页。
人教A版课标版高中数学必修4第一章1.1.1 任意角(共17张PPT)
例1.在0º～ 360º范围内，找出与下列各角
终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.
(1) －120º；
(2) 3410º
例2.写出与下列各角终边相同的角的集合 S，并把 S 中在－360º～720º间的角写出 来：
(1) 60º；
(2) －21º
课堂小结
1.角的概念推广后，角的大小可以任意取值. 把角放在直角坐标系中进行研究，对于一个 给定的角，都有唯一的一条终边与之对应， 并使得角具有代数和几何双重意义. 2.终边相同的角有无数个，在0°～360°范 围内与已知角β 终边相同的角有且只有一个.
作业 ：
1、课本第5页练习:第2、3题 2、课本第9页习题1.1:第1、2、3题
顺时针旋转 30
0
30
0
（2）家中的钟表快了1小时5分钟，如何 校准？校准后分针旋转了多少度？
逆时针旋转 3900
390
0
两个形 状大小相同 的齿轮，互 相咬合。当 黄色齿轮按 逆时针方向 旋转整2周时 尝试分别写 出两个齿轮 此时旋转的 角度。
作终边
α
O 顶点
始边 A
（一）角的概念的推广
正角： 按逆时针方向旋转形成的角.
负角： 按顺时针方向旋转形成的角.
零角： 一条射线没有作任何旋转，称形成零角.
① 角有正负之分;
② 角可以任意大;
③ 还有零角。
问题回顾（请用任意角的概念回答）
（1）家中的钟表慢了5分钟，如何校准？ 校准后分针旋转了多少度？
0 0
0
(二)象限角
象限角：在直角坐标系内,角的顶点与原点重 合,始边与x轴的非负半轴重合,那么角的终边 在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.
【必做练习】高中数学第一章三角函数1.1.1任意角教案新人教A版必修4
课题：任意角
［课时安排］
1 课时
［教学目标］
1．理解任意大小的角正角、 负角和零角， 掌握终边相同的角、
象限角、区间角、终边在坐标轴上的角 .
2．从数形结合的角度认识角
3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、
转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力
［教学重点］
理解概念，掌握终边相同角的表示法 .
A． 30° B ． 30°
C
． 630° D ． 630°
3. 把 1485°转化为 α ＋ k· 360°（ 0°≤ α ＜ 360° , k∈ Z）的形式是（ ）
A ． 45o 4×360°
B
C． 45o 5× 360°
D
o
． 45 4× 360°
o
．315 5× 360°
4. 下列结论中正确的是 ( )
方向旋转形成的角；
零角：射线没有任何旋转形成的角；
负角：按
方向旋转形成的角。
（3）象限角与坐标轴上的角：
B 终边
始边
O 顶点
A
使角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴正半轴重合，终边落第几象限，则
称为
；终边落在坐标轴上的角称为
。
2. 与角 终边相同的角为
k 360
k z) ，连同角 可构成一个集
合 S ，即
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(4) 第四象限 . 探究 2. 写出与角
45 的终边相同的角的集合 S，并写出 S 中适合不等式
360
720 的元素 β .
【当堂训练】 1. 与 405°角终边相同的角是（ ）
A. k ·360°－ 45° ( k Z )
人教新课标A版高中数学必修4第一章三角函数1.1任意角和弧度制同步测试A卷
人教新课标A版高中数学必修4 第一章三角函数 1.1任意角和弧度制同步测试A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共15题；共30分)1. （2分） (2016高一下·南沙期中) 在0到2π范围内，与角终边相同的角是（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高一上·长春期中) 将弧度化成角度为（）A .B .C .D .3. （2分）若角的终边上有一点，则a的值是（）A .B .C .D .4. （2分） A={小于的角}，B={第一象限的角}，则A∩B=（）A . {锐角}B . {小于的角}C . {第一象限的角}D . 以上都不对5. （2分） (2018高一上·新宁月考) 在0到2π范围内，与角- π终边相同的角是（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高一上·哈尔滨月考) 时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为（）A .B .C .D .7. （2分）已知为第三象限角，则所在的象限是（）A . 第一或第二象限B . 第二或第三象限C . 第一或第三象限D . 第二或第四象限8. （2分）把化为的形式是（）A .B .C .D .9. （2分）已知扇形的圆心角的弧度数为2，扇形的弧长为4，则扇形的面积为（）A . 2B . 4C . 8D . 1610. （2分）角﹣2015°所在的象限为（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限11. （2分）设为小于的角}，为第一象限角}，则等于（）A . 为锐角}B . 为小于的角}C . 为第一象限角}D .12. （2分） (2017高一上·乌鲁木齐期中) 时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为（）A .B .C .D .13. （2分）在半径为2cm的圆中，面积为4cm2的扇形的圆心角是（）rad．A . 1B . 2C . 3D . 414. （2分） (2016高一上·湖州期中) 与角﹣终边相同的角是（）A .B .C .D .15. （2分）下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分）一个扇形的弧长和面积均为5，则这个扇形圆心角的弧度数是117. （1分）有一扇形其弧长为6，半径为3，则该弧所对弦长为________ 扇形面积为________18. （1分）若角α和β的终边关于y轴对称，则α和β满足________．19. （1分）已知下列各个角：，，α3=9，α4=﹣855°；其中是第三象限的角是________．20. （1分） (2015高一下·济南期中) 第二象限角的集合表示为________．三、解答题 (共5题；共25分)21. （5分）如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径AB的长为2km，C，D两点在半圆弧上，且BC=CD，设∠COB=θ；（1）当=时，求四边形ABCD的面积．（2）若要在景区内铺设一条由线段AB，BC，CD和DA组成的观光道路，则当θ为何值时，观光道路的总长l 最长，并求出l的最大值．22. （5分）计算：（1）已知扇形的周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．（2）已知扇形的周长为40，当他的半径和圆心角取何值时，才使扇形的面积最大？23. （5分）解答题（1）已知角α的终边上一点P的坐标为，求sinα，cosα和tanα．（2）在[0°，720°]中与﹣21°16′终边相同的角有哪些？24. （5分） (2016高一下·宜春期中) 写出与终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式﹣2π≤β＜4π的元素β写出来．25. （5分）一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度吗？为什么？参考答案一、单选题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共5题；共5分)16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共5题；共25分)21-1、22-1、23-1、23-2、24-1、25-1、。
【人教A版】高中数学：必修4全集第一章1.1-1.1.1任意角
2020年精品试题芳草香出品第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.1.1 任意角A级基础巩固一、选择题1．已知A＝{第二象限角}，B＝{钝角}，C＝{大于90°的角}，那么A、B、C关系是()A．B＝A∩C B．B∪C＝CC．A C D．A＝B＝C解析：钝角大于90°，小于180°，故B C，选项B正确．答案：B2．若角α的终边经过点M(0，－3)，则角α()A．是第三象限角B．是第四象限角C．既是第三象限角，又是第四象限角D．不是任何象限的角解析：因为点M(0，－3)在y轴负半轴上，所以角α的终边不在任何象限．答案：D3．若α是第四象限角，则－α一定在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：因为α是第四象限角，所以k·360°－90°＜α＜k·360°，k∈Z.所以－k·360°＜－α＜－k·360°＋90°，k∈Z，由此可知－α是第一象限角．答案：A4．终边与坐标轴重合的角α的集合是()A．{α|α＝k·360°，k∈Z}B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°，k∈Z}D．{α|α＝k·90°，k∈Z}解析：终边在坐标轴上的角为90°或90°的倍数角，所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}．答案：D5．下面说法正确的个数为()(1)第二象限角大于第一象限角；(2)三角形的内角是第一象限角或第二象限角；(3)钝角是第二象限角．A．0 B．1 C．2 D．3解析：第二象限角如120°比第一象限角390°要小，故(1)错；三角形的内角可能为直角，直角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故(2)错；(3)中钝角是第二象限角是对的．所以正确的只有1个．答案：B二、填空题6．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方。
高中数学 第一章 三角函数 1.1.1 任意角课时提升作业1 新人教A版必修4(2021年整理)
高中数学第一章三角函数1.1.1 任意角课时提升作业1 新人教A版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数1.1.1 任意角课时提升作业1 新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第一章三角函数1.1.1 任意角课时提升作业1 新人教A版必修4的全部内容。
任意角一、选择题（每小题3分，共18分）1。
(2014·太原高一检测)与-457°角的终边相同的角的集合是（)A.｛α|α=457°+k·360°，k∈Z}B。
{α|α=97°+k·360°，k∈Z}C。
{α｜α=263°+k·360°，k∈Z}D。
｛α｜α=—263°+k·360°，k∈Z｝【解析】选C.由于—457°=-1×360°—97°=-2×360°+263°，故与—457°角终边相同的角的集合是｛α｜α=-457°+k·360°，k∈Z}=｛α|α=263°+k·360°，k∈Z}={α｜α=—97°+k·360°，k∈Z}.2。
角α的终边经过点(—3，0),则角α是( ）A.第二象限角B.第三象限角C.第二或第三象限角D。
不是象限角【解析】选D.因为点（-3，0）在x轴的非正半轴上，所以角α的终边与x轴的非正半轴重合,故角α不是象限角.3。
高中数学 第一章 三角函数 1.1 任意角和弧度制单元测
班级 姓名 学号 分数1.1 任意角和弧度制单元测试（A 卷）（测试时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.与角6π-终边相同的角是（ ）(A)56π (B)3π (C)116π (D)23π【答案】C 【解析】考点：任意角的概念.2.下列角中终边与330°相同的角是（ ） A ．30° B ．-30° C ．630° D ．-630° 【答案】B 【解析】试题分析：与330°终边相同的角可写为{|360330}o ox x k k Z =⋅+∈，当1k =-时，可得-30°. 考点：终边相同的角之间的关系. 3.将120o化为弧度为（ ） A ．3πB ．23πC ．34πD ．56π【答案】B 【解析】试题分析：180oπ=，故21203oπ=. 考点：弧度制与角度的相互转化. 4．下面表述不正确的是（ ）A ．终边在x 轴上角的集合是},|{Z k k ∈=πααB ．终边在y 轴上角的集合是},2|{Z k k ∈+=ππααC ．终边在坐标轴上的角的集合是},2|{Z k k ∈⋅=πααD ．终边在直线y=－x 上角的集合是 },243|{Z k k ∈+=ππαα【答案】D 【解析】试题分析：D 中终边在直线y=－x 上角的集合是 3{|,}4k k Z πααπ=+∈ 考点：角的表示5．若α是第二象限角,那么2α和α2都不是 ( ) A ．第一象限角 B ． 第二象限角 C ． 第三象限角 D ．第四象限角 【答案】B 【解析】试题分析：若α是第二象限角可知2α在第一三象限，2α在三四象限，所以2α和α2都不是第二象限角. 考点：象限角6．与01303终边相同的角是 （ ）A ．0763B ．0493C ．0371-D ．047- 【答案】C【解析】因为1303°=4×360°0371-，所以与01303终边相同的角是0371-. 考点：任意角的概念.7．已知角αβ、的终边相同，那么αβ-的终边在A ．x 轴的非负半轴上B ．y 轴的非负半轴上C ．x 轴的非正半轴上D ．y 轴的非正半轴上 【答案】A考点：任意角的概念.8．已知扇形的面积为2cm 2,扇形圆心角θ的弧度数是4,则扇形的周长为( )(A)2cm (B)4cm (C)6cm (D)8cm 【答案】C【解析】设扇形的半径为R,则R 2θ=2,∴R 2=1⇒R=1,∴扇形的周长为2R+θ·R=2+4=6(cm). 考点：弧度制.9.若有一扇形的周长为60 cm ，那么扇形的最大面积为 ( )A ．500 cm 2B ．60 cm 2C ．225 cm 2D ．30 cm 2【答案】C考点：弧度制.10. 若角765°的终边上有一点()4,m ，则m 的值是（ ） A ．1 B ．4± C ．4 D ．-4 【答案】C 【解析】试题分析：76572045=+ooo，终边和45o终边相同，故横坐标和纵坐标相等，所以4m =. 考点：任意角的概念.11.某扇形的半径为cm 1，它的弧长为cm 2，那么该扇形圆心角为 A ．2° B ．2rad C ．4° D ．4rad【答案】B 【解析】θ＝r 1＝21＝2．故选B ． 考点：弧度制. 12．给出下列命题： ①小于π2的角是锐角；②第二象限角是钝角；③终边相同的角相等；④若α与β有相同的终边，则必有α－β＝2kπ(k∈Z)． 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】B 【解析】考点：任意角的概念.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.扇形的半径是6,圆心角是60°,则该扇形的面积为 . 【答案】π 【解析】试题分析：扇形的面积公式为()22116223S r παπ==⋅⋅=扇形.考点：扇形的弧度制面积公式.14.设扇形的半径长为2cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 【答案】2 【解析】试题分析：设扇形圆心角的弧度数为α， 则扇形面积为S=12αr 212α×22=4 解得：α=2考点：扇形面积公式．15.已知扇形的半径为4cm ，弧长为12cm ，则扇形的圆周角为 ； 【答案】3 【解析】试题分析：3412===r l α 考点：弧度制公式16.若α角与85π角终边相同，则在[0，2π]内终边与4α角终边相同的角是________． 【答案】25π，910π，75π，1910π【解析】由题意，得α＝85π＋2k π(k∈Z)，4α＝25π＋2k π (k∈Z)．又4α∈[0，2π]，所以k ＝0，1，2，3，4α＝25π，910π，75π，1910π考点：任意角的概念．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知α＝3π，回答下列问题． (1)写出所有与α终边相同的角；(2)写出在(－4π，2π)内与α终边相同的角； (3)若角β与α终边相同，则2β是第几象限的角？【答案】（1）23k k Z πθθπ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭＝+，（2）－113π、－53π、3π（3）第一、三象限的角考点：任意角的概念．18．已知α=1 690°，（1）把α表示成2k π+β的形式，其中k ∈Z ，β∈［0,2π）． （2）求θ，使θ与α的终边相同，且θ∈［-4π,-2π）．【解析】（1）∵1 690°=4×360°+250°=8π（2-4π,-2考点：任意角的概念．19.一扇形的圆心角为2弧度，记此扇形的周长为c ，面积为S ，则. 【答案】4 【解析】试题分析：：∵设扇形的弧长为l ，圆心角大小为2，半径为r ，则l=2r ，可求：C=l+2r=2r+2r=4r ，扇形的的最大值为4. 考点：扇形面积公式20．若α是第二象限角，试分别确定2α，α2，α3的终边所在位置．【答案】见解析. 【解析】当k ＝3n ＋1(n∈Z)时，150°＋n·360°＜α3＜180°＋n·360°，当k ＝3n ＋2(n∈Z)时，270°＋n·360°＜α3＜300°＋n·360°，∴α3的终边在第一或第二或第四象限．考点：象限角.21．已知半径为10的圆o 中，弦AB 的长为10． 求弦AB 所对的圆心角α的大小；求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S ．【答案】（1）3πα=,（2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴23350πS ． 【解析】考点：扇形弧长、面积公式的应用．22．一扇形周长为60，则它的半径和圆心角各为多少时扇形面积最大？最大是多少？ 【答案】当扇形的半径为15，圆心角为2时，扇形面积有最大值，最大值为225． 【解析】试题分析：由题意可知，若设扇形的弧长为l ，半径为r ，则可知602=+r l ，r l 260-=，则面积r r r r lr S 30)260(21212+-=-==，则可知问题等价于求关于r 的二次函数r r 302+-的最大值，根据二次函数的性质，可知225225)15(2≤+--=r S ，当且仅当15=r 时，等号成立，此时30260=-=r l ，圆心角2==rlα，即当扇形的半径为15，圆心角为2时，扇形面积有最大值，最大值为225． 试题解析：设扇形的弧长为l ，半径为r ，则可知602=+r l ，r l 260-=，考点：1．扇形的相关公式；2．二次函数求最值．。
人教A版高中同步学考数学必修4精品课件 第一章 1.1.1 任意角
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解:(1)在0°~360°范围内,终边在直线y=0上的角有两个,即0°和
180°,又所有与0°角终边相同的角的集合为
S1={β|β=0°+k·360°,k∈Z},所有与180°角终边相同的角的集合为
S2={β|β=180°+k·360°,k∈Z},于是,终边在直线y=0上的角的集合为
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反思感悟终边落在x轴的非负半轴、x轴的非正半轴、x轴、y轴
的非负半轴、y轴的非正半轴、y轴、坐标轴上的角的集合
终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为{x|x=k·
360°,k∈Z};
终边落在x轴的非正半轴上的角的集合为
{x|x=k·
360°+180°,k∈Z};
轴重合,作出下列各角,指出它们是第几象限角,并指出在0°~360°范
围内与其终边相同的角.
(1)405°;(2)-45°;(3)495°;(4)-520°.
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解:作出各角的终边如图所示.
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由图可知:(1)405°是第一象限角;(2)-45°是第四象限角;(3)495°是
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解:(1)对于阴影部分,先取[-60°,75°]这一范围,再结合其规律性可
得终边落在阴影部分内角的集合为{α|60°+k·360°≤α≤75°+k·360°,k∈Z}.
(2)对于阴影部分,先取[60°,90°]这一范围,再结合其出现的规律性
高中数学 第一章 三角函数 1.1.1 任意角课时提升作业1 新人教A版必修4
任意角一、选择题(每小题3分，共18分)1.(2014·太原高一检测)与-457°角的终边相同的角的集合是( )A.{α|α=457°+k·360°，k∈Z}B.{α|α=97°+k·360°，k∈Z}C.{α|α=263°+k·360°，k∈Z}D.{α|α=-263°+k·360°，k∈Z}【解析】选C.由于-457°=-1×360°-97°=-2×360°+263°，故与-457°角终边相同的角的集合是{α|α=-457°+k·360°，k∈Z}={α|α=263°+k·360°，k∈Z}={α|α=-97°+k·360°，k∈Z}.2.角α的终边经过点(-3，0)，则角α是( )A.第二象限角B.第三象限角C.第二或第三象限角D.不是象限角【解析】选D.因为点(-3，0)在x轴的非正半轴上，所以角α的终边与x轴的非正半轴重合，故角α不是象限角.3.(2014·东莞高一检测)给出下列四个命题：①-75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④-315°是第一象限角.其中正确的命题有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选D.-90°<-75°<0°，180°<225°<270°.360°+90°<475°<360°+180°，-360°<-315°<-270°.所以这四个命题都是正确的.4.集合M={α|α=k·90°，k∈Z}中，各角的终边都在( )A.x轴正半轴上B.y轴正半轴上C.x轴或y轴上D.x轴正半轴或y轴正半轴上【解析】选C.k=1，2，3，4，终边分别落在y轴正半轴上，x轴负半轴上，y轴负半轴上，x轴正半轴上，又k∈Z，k取其他整数时，终边与以上四个之一相同.5.若角α与β的终边相同，则角α-β的终边( )A.在x轴的正半轴上B.在x轴的负半轴上C.在y轴的负半轴上D.在y轴的正半轴上【解析】选A.由角α与β的终边相同，得α=β+k·360°，k∈Z.所以α-β=k·360°，k∈Z.故α-β的终边在x轴的正半轴上.6.若α=k·180°+45°，k∈Z，则α所在象限是( )A.第一或第三象限B.第一或第二象限C.第二或第四象限D.第三或第四象限【解析】选A.当k=0时，α=45°为第一象限角，当k=1时，α=225°为第三象限角.二、填空题(每小题4分，共12分)7.将-885°化为k·360°+α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是.【解析】-885°=-1080°+195°=(-3)×360°+195°.答案：(-3)×360°+195°8.(2014·九江高一检测)与-2002°终边相同的最小正角是.【解析】因为-2002°=-360°×6+158°，所以与-2002°终边相同的最小正角为158°.答案：158°9.若α，β两角的终边互为反向延长线，且α=-120°，则β= .【解析】在0°～360°范围内与α=-120°的终边互为反向延长线的角是60°，所以β=k·360°+60°(k ∈Z).答案：k·360°+60°(k∈Z)【误区警示】解题时若忽略终边相同的角的表示，则会错误认为β=60°.三、解答题(每小题10分，共20分)10.在角的集合{α|α=k·90°+45°(k∈Z)}中：(1)有几种终边不相同的角？(2)有几个大于-360°且小于360°的角？(3)写出其中第二象限角的一般表示法.【解析】(1)当k=4n，4n+1，4n+2，4n+3，n∈Z时，在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种. (2)由-360°<k·90°+45°<360°，得-<k<.又k∈Z，故k=-4，-3，-2，-1，0，1，2，3.所以在给定的角的集合中大于-360°且小于360°的角共有8个.(3)其中第二象限角可表示成k·360°+135°，k∈Z.11.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角.(1)420°.(2)855°.(3)-510°.【解题指南】将已知角化成k·360°+α(k∈Z)→0°≤α<360°→判断α所处的象限→结论.【解析】作出各角的终边，如图所示：由图可知：(1)420°是第一象限角.(2)855°是第二象限角.(3)-510°是第三象限角.一、选择题(每小题4分，共16分)1.在-360°～0°范围内与角1250°终边相同的角是( )A.170°B.190°C.-190°D.-170°【解析】选C.与1250°角的终边相同的角α=1250°+k·360°，k∈Z，因为-360°<α<0°，所以-<k<-，因为k∈Z，所以k=-4，所以α=-190°.2.角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为( )A.α+β=k·360°，k∈ZB.α+β=k·360°+180°，k∈ZC.α-β=k·360°+180°，k∈ZD.α-β=k·360°，k∈Z【解析】选B.方法一：特殊值法：令α=30°，β=150°，则α+β=180°.故α与β的关系为α+β=k·360°+180°，k∈Z.方法二：直接法：因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以β=180°-α+k·360°，k∈Z，即α+β=k·360°+180°，k∈Z.3.(2014·宿州高一检测)已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是( )A.第一象限角B.第一、二象限角C.第一、三象限角D.第一、四象限角【解题指南】首先把x轴的上方的角表示出来，再按k的奇偶性进行讨论，判断角α所在象限.【解析】选C.由题意知k·360°<2α<180°+k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°+k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论.当k=2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°+n·360°(n∈Z)，所以α在第一象限；当k=2n+1(n∈Z)时，180°+n·360°<α<270°+n·360°(n∈Z)，所以α在第三象限.故α是第一或第三象限角.4.若集合M={x|x=45°+k·90°，k∈Z}，N={x|x=90°+k·45°，k∈Z}，则( )A.M=NB.M NC.M ND.M∩N=【解析】选C.M={x|x=45°+k·90°，k∈Z}={x|x=(2k+1)·45°，k∈Z}，N={x|x=90°+k·45°，k∈Z}={x|x=(k+2)·45°，k∈Z}.因为k∈Z，所以k+2∈Z，且2k+1为奇数，所以M N，故选C.二、填空题(每小题5分，共10分)5.已知角α与2α的终边相同，且α在0°～360°范围内，则角α= .【解析】由条件知，2α=α+k·360°，k∈Z，所以α=k·360°(k∈Z)，因为α在0°～360°范围内，所以α=0°.答案：0°【变式训练】若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α= .【解析】由于5α与α的始边和终边相同，所以这两角的差应是360°的整数倍，即5α-α=4α=k·360°.又180°<α<360°，令k=3，得α=270°.答案：270°6.(2014·济南高一检测)如图所示，终边落在直线y=x上的角的集合为.【解析】终边落在射线y=x(x≥0)上的角的集合是S1={α|α=60°+k·360°，k∈Z}，终边落在射线y=x(x≤0)上的角的集合是S2={α|α=240°+k·360°，k∈Z}.于是终边落在直线y=x上的角的集合是S={α|α=60°+k·360°，k∈Z}∪{α|α=240°+k·360°，k∈Z}={α|α=60°+2k·180°，k∈Z}∪{α|α=60°+(2k+1)·180°，k∈Z}={α|α=60°+n·180°，n∈Z}.答案：{α|α=60°+n·180°，n∈Z}三、解答题(每小题12分，共24分)7.(1)钟表经过10分钟，时针转了多少度？分针转了多少度？(2)若将钟表拨慢了10分钟，则时针转了多少度？分针转了多少度？【解题指南】应注意时针、分针的旋转方向；小时与分的换算方法.【解析】(1)钟表经过10分钟，时针按顺时针方向转了10×=5°，表示为-5°，分针转了10×=60°，表示为-60°.(2)由(1)可知，若将钟表拨慢了10分钟，则时针转了5°，分针转了60°.8.写出如图所示阴影部分的角α的范围.【解析】(1)因为与45°角终边相同的角可写成45°+k·360°，k∈Z的形式，与-180°+30°=-150°角终边相同的角可写成-150°+k·360°，k∈Z的形式.所以图(1)阴影部分的角α的范围可表示为{α|-150°+k·360°<α≤45°+k·360°，k∈Z}.(2)同理可表示图(2)中角α的范围为{α|45°+k·360°≤α≤300°+k·360°，k∈Z}.【拓展延伸】终边落在某个区域内的角的表示步骤①先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；②标出起始和终止边界对应的0°≤α<360°范围内的角α和β，写出最简区间(α，β)(开、闭区间视情况而定)；③起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角的集合.【变式训练】已知集合A={α|k·180°+45°<α<k·180°+60°，k∈Z}，集合B={β|k·360°-55°<β<k·360°+55°，k∈Z}.(1)在平面直角坐标系中，表示出角α终边所在区域.(2)在平面直角坐标系中，表示出角β终边所在区域.(3)求A∩B.【解析】(1)角α终边所在区域如图(1)所示.(2)角β终边所在区域如图(2)所示.(3)由(1)(2)知A∩B={γ|k·360°+45°<γ<k·360°+55°，k∈Z}.。
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新人教A版高中数学必修4限时规范训练
1.1.1 任意角
1．(2019年贵州铜仁期末)下列各角中，与126°角终边相同的角是( )
A．－126° B．486°
C．－244° D．574°
【答案】B
2．终边落在x轴上的角的集合为( )
A．{β|β＝n·360°，n∈Z} B．{β|β＝n·180°，n∈Z}
C．{β|β＝(2n＋1)·180°，n∈Z} D．{β|β＝(2n＋1)·360°，n∈Z}
【答案】B
3．若角α和角β的终边关于x轴对称，则角α可以用角β表示为( )
A．k·360°＋β(k∈Z) B．k·360°－β(k∈Z)
C．k·180°＋β(k∈Z) D．k·180°－β(k∈Z)
【答案】B
【解析】因为角α和角β的终边关于x轴对称，所以α＋β＝k·360°(k∈Z)，所以
α＝k·360°－β(k
∈Z)．故选B．
4．已知A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，那么A，B，C的关系是( )
A．B＝A∩C B．B∪C＝C
C．A＝C D．A＝B＝C
【答案】B
【解析】A＝{第一象限角}＝{θ|k·360°<θ<90°＋k·360°，k∈Z}，B＝{锐角}＝
{θ|0<θ<90°}，C＝{小于90°的角}＝{θ|θ<90°}，所以B⊆C，则B∪C＝C．故选B．
5．若时针走过2小时40分，则分针走过的角是________．
【答案】－960°
【解析】2小时40分＝83小时，－360°×83＝－960°，故分针走过的角为－960°.
6．根据角α终边的位置，写出角α的集合：
在第二象限角平分线上时，α＝________，k∈Z；
在第一、第三象限角平分线上时，α＝________，k∈Z.
【答案】135°＋k·360° 45°＋k·180°
【解析】先研究角在[0°，360°)内的情况，再加上360°的整数倍，即可得终边在第二
象限角平分线上的角α＝135°＋k·360°，k∈Z；终边在第一、三象限角平分线上，α＝45°
＋k·180°，k∈Z.