八年级数学 一次函数概念及一次函数 专题讲义

课程主题：函数及一次函数的相关概念 教学内容

1、同步学校知识理解2、上次课作业分析与讲解

知识点一：函数的概念： 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x•的每个确定的值，y•都有唯一确定的值与其对应，•那么我们就说x•是自变量，y是x的函数．如果当x=a时，y=b，那么b•叫做当自变量的值为a时的函数值． 【例题精讲】

例1 一辆汽车油箱现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（L）随行驶里程x（km）的增加

而减少，平均耗油量为0．1L/km． １．写出表示y与x的函数关系式． ２．指出自变量x的取值范围． ３．汽车行驶200km时，油桶中还有多少汽油？

实际问题中的自变量取值范围问题：在上面所出现的各个函数关系式中，自变量的取值有限制吗?如果有．各是什么样的限制? 用数学式子表示的函数的自变量取值范围 例2．求下列函数中自变量x的取值范围

(1)y=3x－l (2)y＝22x＋7 (3)y=1x＋2 (4)y=x－2

随堂练习 1．下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出用自变量表示函数的式子．

（1）．改变正方形的边长x，正方形的面积Ｓ随之改变． （2）．秀水村的耕地面积是106m2，这个村人均占有耕地面积y随这个村人数n•的变化而变化． 2．校园里栽下一棵小树高1．8米，以后每年长0．3米，则n年后的树高L与年数n之间的函数关系式__________． 3．在男子1500米赛跑中，运动员的平均速度v=1500t，则这个关系式中________是自变量，________函数． 4．已知2x-3y=1，若把y看成x的函数，则可以表示为____________． 5．△ABC中，AB=AC，设∠B=x°，•∠A=•y•°，•试写出y•与x•的函数关系_____________． 6．到邮局投寄平信，每封信的重量不超过20克时付邮费0．80元，超过20克而不超过40克时付邮费1．60元，依此类推，每增加20克须增加邮费0．80元（信重量在100克内）．如果某人所寄一封信的质量为78．5克，则他应付邮费________元．

自我检测： 1. 函数11xyx中，自变量x的取值范围是_________

2. 面积是S（cm2）的正方形地板砖边长为a(cm)，则S与a的关系式是_______，其中自变量是__________,___________是_________的函数

3. 函数123yx的自变量x的取值范围是.

4. 函数232xy，当0y时，x的取值范围是 5. 已知4132yx，用含x的一次式表示y=__________。 6 函数1xxy的自变量x的以值范围是________。 拓展提高 1、小明去商店为美术小组买宣纸和毛笔，宣纸每张３元，毛笔每支５元，商店正搞优惠活动，买一支毛笔赠一张宣纸．小明买了10支毛笔和x张宣纸，•则小明用钱总数y（元）与宣纸数x之间的函数关系是什么？

2、为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过10吨时，水价为每吨1.2元；超过10吨时，超过的部分按每吨1.8元收费，该市某户居民5月份用水x吨（x >10），应交水费y元，请用方程的知识来求有关x和y的关系式，并判断其中一个变量是否为另一个变量的函数？

知识点二：正比例函数及一次函数相关概念： 正比例函数：一般地，形如ykx（k是常数，0k）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例。 正比例函数图像的性质 当k＞0时，直线ykx经过第一、三象限，y随x的增大而增大 当k＞0时，直线ykx经过第一、三象限，y随x的增大而增大

一次函数：一般地，形如ykxb（k、b是常数，0k）的函数，叫做一次函数。 当0b时，ykxb即ykx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。

一次函数图像的画法：我们在作图时主要取过（0，b）（bk，0）的一条直线。 图像的平移： 图像一般都是上下左右平移的，左右有自己的规律： 上下的规律是： 一次函数解析式 待定系数法： 要确定一次函数的解析式， ①先设出函数的一般形式y＝kx＋b， ②再找到k，b应满足的两个条件，列出关于k，b的二元一次方程组， ③解出k与b， ④从而确定一次函数的解析式，这种方法就是待定系数法.

说明：用待定系数法解函数解析式共分四步： ① 设，根据题意设出函数解析式； ② 代，即把适合的点的坐标代入，组成方程（组）； ③ 解，解出所列方程（组）的解； ④ 还原，把求得的字母的值代入解析式，从而确定函数解析式. 【例题精讲】

例1下列函数关系中，哪些属于一次函数，其中哪些又属于正比例函数？ (1)面积为10cm2的三角形的底a(cm)与这边上的高h(cm)； (2)长为8(cm)的平行四边形的周长L(cm)与宽b(cm)； (3)食堂原有煤120吨，每天要用去5吨，x天后还剩下煤y吨； (4)汽车每小时行40千米，行驶的路程s（千米）和时间t（小时）．

例2 已知函数y＝(k－2)x＋2k＋1，若它是正比例函数，求k的值．若它是一次函数，求k的值． 例3 已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3．

(1)写出y与x之间的函数关系式； (2)y与x之间是什么函数关系； (3)求x＝2.5时，y的值． 例4已知A、B两地相距30千米，B、C两地相距48千米．某人骑自行车以每小时12千米的速度从A地出发，经过B地到达C地．设此人骑行时间为x（时），离B地距离为y（千米）． (1)当此人在A、B两地之间时，求y与x的函数关系及自变量x取值范围． (2)当此人在B、C两地之间时，求y与x的函数关系及自变量x的取值范围．

例5：一次函数y=-2x+1的图像经过哪几个象限？（ ）

A、一、二、三象限 B、一、二、四象限 C、一、三、四象限 D、二、三、四象限

例6：已知正比例函数y=（2m-1）x的图像上的两点A（11yx，），B（22xy，），当21xx时，有21yy，那么m的取值范围为

例7：1、已知一次函数的图象经过点（1，-1）和点（-1，2）。求这个函数的解析式。

2、已知一次函数y=kx+b中，当x=1时，y=3，当x=-1时，y=7 （1）求这个函数的解析式。 （2）求当x=3时,y的值。

3、已知直线上两点坐标，能求出这条直线的解析式，若不直接告诉两点的坐标，已知这条直线的图象，能否求出它的解析式？若可以请求出函数的解析式。 如： 例8：A，B两城相距600千米，甲、乙两车同时从A城出发驶向B城，甲车到达B城后立即返回．如图是它们离A城的距离y（千米）与行驶时间 x（小时）之间的函数图象． （1）求甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）当它们行驶7了小时时，两车相遇，求乙车速度．

巩固练习： 1、一辆汽车在行驶过程中，路程 y（千米）与时间 x（小时）之间的函数关系如图所示 当0≤x≤1时，y关于x的函数解析式为 y = 60 x，那么当 1≤x≤2时，y关于x的函数解析式为_____________. 2、已知一次函数bkxy的图像经过)2,3(A，)6,1(B两点。 （1）求此一次函数的解析式； （2）求此函数图像与坐标轴围成的三角形面积。

3、分别写出将直线 y = 2 x ─ 4 向上、向下、向左、向右平移5个单位后，所得直线的表达式为______________ 、______________ 、______________ 、______________ 、______________ 。 4、若正比例函数的图像经过点（－1，2），则这个图像必经过点（ ） A．(1，2) B．(－1，－2) C．(2，－1) D．(1，－2) 5、如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象应为（ ）.

6、一次函数的图象过点（0，2），且函数y的值随自变量x的增大而增大，请写出一个符合条件的函数解析式：______________ 。 7、已知y是x的一次函数，下表给出了部分对应值，则m的值是______________ 。 .

8、如图，把y=-2x向上平移后得到直线AB，直线AB经过点（m，n），且2m+n=6，则直线AB是解析式是______________ 。

9、 已知一次函数的图象交正比例函数图象于M点，交x轴于点N(-6，0)，又知点M位于第二象限，其横坐标为-4，若△MON面积为15，求正比例函数和一次函数的解析式． 中考真题训练： （2015上海,第3题4分）下列y关于x的函数中，是正比例函数的为（ ）

A、y＝x2； B、y＝x2； C、y＝2x； D、y＝21x． （2015·湖南省常德市，第5题3分）一次函数112yx的图像不经过的象限是：

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 （2015湖北鄂州第9题3分）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离

开A城的距离y(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系如图所示．则下列结论： ① A，B两城相距300千米； ②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时； ③乙车出发后2.5小时追上甲车； ④当甲、乙两车

相距50千米时，t =或．其中正确的结论（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

（2015•山东潍坊第8 题3分）若式子+（k﹣1）0有意义，则一次函数y=（k﹣1）x+1﹣k的图象可能是（ ）