极坐标与参数方程

极坐标与参数方程1.直角坐标系与极坐标系可以互相转换。

在两个坐标系中取相同的长度单位，将直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴。

对于任意点M，其直角坐标为(x,y)，极坐标为(ρ,θ)，其中ρ表示点M到原点的距离，θ表示点M与极轴的夹角。

它们之间的关系是ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，tanθ=y/x（当x≠0时）。

2.直线的极坐标方程为ρsin(θ-α)=d，其中d为直线到极点的距离，α为极轴到直线的角度。

对于特殊位置的直线，如过极点的直线、过点M(a,0)且垂直于极轴的直线、过点M(b,π/2)且平行于极轴的直线，它们的极坐标方程分别为θ=α、ρcosθ=a、ρsinθ=b。

3.圆的极坐标方程为2ρ²-2ρr cos(θ-θ0)+r²=0，其中M(ρ,θ)为圆心，r为半径，θ0为极轴与圆心连线的角度。

对于特殊位置的圆，如圆心位于极点且半径为r的圆，其极坐标方程为ρ=r；圆心位于M(r,0)且半径为r的圆，其极坐标方程为ρ=2rcosθ；圆心位于M(r,π/2)且半径为r的圆，其极坐标方程为ρ=2r sinθ。

4.直线的参数方程为x=x0+t cosα，y=y0+t sinα，其中M(x0,y0)为直线上的一点，α为直线倾斜角，t为参数。

5.圆的参数方程为x=x0+r cosθ，y=y0+r sinθ，其中M(x0,y0)为圆心，r为半径，θ为参数，0≤θ≤2π。

6.椭圆的参数方程为x=a cosθ，y=b sinθ，其中a、b为长轴和短轴的长度；抛物线的参数方程为x=2pt²，y=2pt，其中p 为焦距的一半。

1.给定曲线C的极坐标方程ρ=2cosθ，在以极点为原点、x 轴正半轴为极轴的直角坐标系中，其参数方程为x=2cos(t)，y=2sin(t)。

2.给定曲线C的参数方程为x=t²，y=t，在以原点为极点、x轴正半轴为极轴的极坐标系中，其极坐标方程为ρ=tan(θ)。

3.给定椭圆C的参数方程为x=2cosφ，y=3sinφ，在以原点为极点、x轴正半轴为极轴的极坐标系中，其极坐标方程为ρ=6sinφ/2cosφ=3tanφ。

注意：文章中的一些公式和符号可能存在问题，已尽可能保留原文，但读者在使用时需注意。

1.曲线C的极坐标方程为 $r=2$，因为 $x=-2+2\cos\alpha=2\cos(\alpha+\pi)$，$y=2\sin\alpha=2\sin(\alpha+\pi)$，所以曲线C在极坐标系下的方程为 $r=2$。

2.曲线 $C_1$ 的参数方程为 $\begin{cases}x=5\cos\theta \\ y=2\sin\theta\end{cases}$，曲线 $C_2$ 的参数方程为$\begin{cases}x=t^2 \\ y=t\end{cases}$。

将它们代入得到$5\cos\theta=t^2$，$2\sin\theta=t$，解得交点坐标为$(\sqrt{5},\frac{2}{\sqrt{5}})$。

3.曲线C的普通方程为 $y=3-\sqrt{a^2-x^2}$，因为曲线C 与直线l有一个公共点在x轴上，所以该点坐标为 $(a,0)$，代入直线l的参数方程得到 $0=3-a-t$，解得 $t=a-3$，代入曲线C的参数方程得到 $y=3-\sqrt{a^2-(x-3)^2}$，化简得到 $y=-1-t$。

4.极坐标方程为 $\rho=\frac{4}{\cos\theta}$，因为$\rho\cos\theta=4$，所以 $\rho=\frac{4}{\cos\theta}$，代入极坐标的变换公式得到直角坐标方程为 $x=4$，因为$\rho\sin\theta=y$，所以$y=\frac{4\sin\theta}{\cos\theta}=4\tan\theta$，所以曲线为一条竖直的直线，过点 $(4,0)$。

5.直线l1的参数方程为 $\begin{cases}x=1+t \\y=1+3t\end{cases}$，直线l2的一般式为 $y-3x-4=0$，将l1的参数方程代入l2的一般式得到 $y-3(1+t)-4=0$，化简得到$y=3t-1$，所以l1与l2的距离为 $\frac{|-3(1+t)+y-4|}{\sqrt{10}}=\frac{|2t-y+3|}{\sqrt{10}}$。

6.椭圆的右焦点为 $(c,0)$，其中 $c=\sqrt{a^2-b^2}=1$，所以右焦点为 $(1,0)$。

设所求直线的方程为 $y=kx+b$，则过椭圆的右焦点，且平行于直线 $\begin{cases}x=4-2t \\ y=3-t\end{cases}$ 的直线的方程为 $y=-\frac{1}{2}x+1$。

因为该直线过点 $(1,0)$，所以 $b=1$，代入得到 $y=-\frac{1}{2}x+1$。

7.将极坐标方程化为直角坐标方程得到 $(x-4\cos\theta)^2+(y-4\sin\theta)^2=49$。

因为点P的极坐标为$(\frac{4}{\sqrt{3}},\frac{\pi}{6})$，所以 $x=4\cos(\theta-\frac{\pi}{6})$，$y=4\sin(\theta-\frac{\pi}{6})$，代入得到$(4\cos(\theta-\frac{\pi}{6})-4\cos\theta)^2+(4\sin(\theta-\frac{\pi}{6})-4\sin\theta)^2=49$，化简得到 $16\cos^2(\theta-\frac{\pi}{6})-16\cos(\theta-\frac{\pi}{6})\cos\theta+16\sin^2(\theta-\frac{\pi}{6})-16\sin(\theta-\frac{\pi}{6})\sin\theta=49$，化简得到$\cos\frac{\pi}{3}+\cos(\theta-\frac{\pi}{3})=\frac{7}{8}$，所以$\cos(\theta-\frac{\pi}{3})=\frac{7}{8}-\frac{1}{2}=\frac{3}{8}$，解得 $\theta=\frac{\pi}{3}\pm\arccos\frac{3}{8}$，所以圆C的极坐标方程为 $r=4\cos(\theta-\frac{\pi}{6})=4\cos(\arccos\frac{3}{8}-\frac{\pi}{6})$。

8.(1) 将直线的极坐标方程化为直角坐标方程得到 $y=-\frac{4}{3}\cos\theta$，圆M的参数方程为 $\begin{cases}x=4-2\cos\theta \\ y=2\sin\theta\end{cases}$，代入直线的方程得到$2\sin\theta=-\frac{4}{3}\cos\theta$，解得 $\theta=\arctan(-\frac{2}{3})+\pi n$，其中 $n$ 为整数，所以直线的极坐标方程为 $\theta=\arctan(-\frac{2}{3})+\pi n$。

2) 点 $(x,y)$ 到直线的距离为 $\frac{|-4x+2y|}{\sqrt{20}}=\frac{2|2x-y|}{\sqrt{5}}$，所以问题转化为求圆M上到直线 $2x-y=0$ 的距离的最小值。

将圆M的参数方程代入直线的方程得到 $2(4-2\cos\theta)-2\sin\theta=0$，化简得到 $\cos\theta=\frac{1}{2}$，所以圆M上到直线的距离的最小值为 $\frac{2}{\sqrt{5}}$。

9.在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系。

已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ，直线l过点P(-2,-4)且参数方程为y=-4+t/2，与曲线C交于M,N两点。

1) 曲线C的普通方程为y=x tan(θ)sin(2θ)，直线l的普通方程为y=-2x-8；2) 由于PM/MN/NP是等比数列，所以根据坐标之间的距离公式，得到a=2.10.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。

已知点A的极坐标为(2,π/4)，直线l的极坐标方程为ρcos(θ-π/4)=a，且点A在直线l上。

1) 由于点A在直线l上，所以代入直线方程得到a=2√2，直线l的直角坐标方程为y=x+2√2；2) 圆C的参数方程为x=1+cos(α)，y=sin(α)，通过计算得到直线l与圆C相交于两个点，因此它们的位置关系是相交。

7.以过原点的直线的倾斜角$\theta$为参数，求圆$x^2+y^2-x=0$的参数方程。

8.设曲线C的参数方程为$2y=t$，若以直角坐标系的原点为极点，$x$轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为$r=\frac{t}{2}$。

9.在平面直角坐标系$xoy$中，直线$l:\begin{cases}x=t\\y=t-a\end{cases}$（$t$为参数）过椭圆$C:\begin{cases}x=3\cos\phi\\y=2\sin\phi\end{cases}$（$\phi$为参数）的右顶点，则常数$a$的值为$2$。

10.在直角坐标系$xOy$中，椭圆$C$的参数方程为$\begin{cases}x=a\cos\theta\\y=b\sin\theta\end{cases}$（$\theta$为参数，$a>b>0$）。

在极坐标系（与直角坐标系$xOy$取相同的长度单位，且以原点$O$为极点，以$x$轴正半轴为极轴）中，直线与圆$O$的极坐标方程分别为$\rho\sin(\theta+\frac{\pi}{2})=m$（$m$为非零常数）与$\rho=b$。

若直线经过椭圆$C$的焦点，且与圆$O$相切，则椭圆$C$的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{3}$。

11.在直角坐标系$xoy$中，以$O$为极点，$x$轴正半轴为极轴建立极坐标系。

圆$C:\begin{cases}x=2\cos\beta\\y=2\sin\beta\end{cases}$（$\beta$为参数）与已知动点$P,Q$都在曲线$C$上，且$\beta=\alpha$时，$P$在$Q$的左侧，$\beta=2\alpha$时，$P$在$Q$的右侧，$M$为$PQ$的中点。

1）求$M$的轨迹的参数方程；2）将$M$到坐标原点的距离$d$表示为$\alpha$的函数，并判断$M$的轨迹是否过坐标原点。