两角和与差的正弦、余弦和正切公式
三角恒等变换两角和与差的正弦余弦正切公式
三角恒等式
两角和与差的正弦公式
sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny
两角和与差的正切公式
tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)，tan(x-y)=(tanx-tany)/(1+tanxtany)
倍角公式
《三角恒等变换两角和与 差的正弦余弦正切公式》
xx年xx月xx日
目录
• 三角恒等变换 • 两角和与差的正弦余弦正切公式 • 应用举例 • 相关知识点链接
01
三角恒等变换
定义和性质
定义
三角恒等变换是利用三角函数的性质及公式，对不同的角进 行恒等变换的方法。
性质
三角恒等变换的实质是角的变换，通过已知角表达未知角， 常用公式包括和差角公式、倍角公式、半角公式等。
两角和与差的正弦
01
了解并熟悉$\sin(x+y)$和$\sin(x-y)$的计算公式。
两角和与差的正切
02
了解并熟悉$\tan(x+y)$和$\tan(x-y)$的计算公式。
特殊角的正弦余弦正切值
03
熟悉0度到90度之间的一些特殊角的正弦、余弦和正切值。
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两角差的正切公式
总结词
两角差的正切公式是三角恒等变换中的基础公式之一， 用于求解或化简三角函数值。
详细描述
设角度$\alpha$和$\beta$的差为$\varphi$，则两角 差的正切公式为$\tan\varphi = \frac{\sin\varphi}{\cos\varphi} = \frac{\sin\alpha\cos\beta \cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta}$
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
[典例] (2012· 广东高>0，x∈R)的最小正周期为 10π. 6
(1)求 ω 的值； π 5π 6 0， ，f5α＋ ＝－ ，f (2)设 α，β∈ 3 2 5
5β－5π＝16，求 cos(α＋β)． 6 17
典题导入
Go the distance
sin α＋cos α [例 3] (1)(2012· 温州模拟)若 ＝3，tan(α－β)＝2，则 tan(β－2α)＝________. sin α－cos α π 4 π (2)(2012· 江苏高考)设 α 为锐角，若 cos α＋6＝5，则 sin2α＋12的值为________． sin α＋cos α tan α＋1 [自主解答] (1)由条件知 ＝ ＝3， sin α－cos α tan α－1 则 tan α＝2. 故 tan(β－2α)＝tan [(β－α)－α] ＝ tanβ－α－tan α －2－2 4 ＝ ＝ . 1＋tanβ－αtan α 1＋－2×2 3
Go the distance
的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统 一角和角与角转换的目的． 以题试法 π 3 1．(1)已知 sin α＝ ，α∈ 2，π，则 5 cos 2α π 2sin α＋4 ＝________.
(2)(2012· 济南模拟)已知 α 为锐角，cos α＝ A．－3 4 C．－ 3 cos 2α 1 B．－ 7 D．－7
三角函数公式的应用
典题导入 1 π [例 1] (2011· 广东高考)已知函数 f(x)＝2sin 3x－6，x∈R. 5π (1)求 f 4 的值； π π 10 6 (2)设 α，β∈ 0，2，f3α＋2＝13，f(3β＋2π)＝5，求 cos(α＋β)的值． 1 π [自主解答] (1)∵f(x)＝2sin 3x－6， 5π π 5π π ∴f 4 ＝2sin12－6＝2sin4＝ 2. π π 10 6 (2)∵α，β∈ 0，2，f3α＋2＝13，f(3β＋2π)＝5， π 6 10 β＋ ＝ . ∴2sin α＝ ，2sin 2 5 13 5 3 即 sin α＝ ，cos β＝ . 13 5 12 4 ∴cos α＝ ，sin β＝ . 13 5 ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝ 12 3 5 4 16 × － × ＝ . 13 5 13 5 65 由题悟法 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用 α、β 的三角函数表示 α± β
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
思考 ：正切函数与正弦、余弦函数之间存在商数 关系，从 、 出发， α ＋ β ) 、 S ( a ± b tan( C (a ± b ) ) tan(α －β )分别与tanα 、tanβ 有什么关系
t an a + t an b t an(a + b ) = , 1 - t an a t an b
思考2：若sinα＋cosβ＝a，cosα＋sinβ＝ b，则sin(α＋β)等于什么？
a 2 + b2 - 2 sin(a + b ) = 2
思考3：根据公式 T ，tanα ＋tanβ 可变形为什么？ tanα＋tanβ=tan(α+β)(1- tanαtanβ) 思考4：在△ABC中，tanA，tanB，tanC 三者有什么关系？ tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
t an a - t an b t an(a - b ) = . 1 + t an a t an b
思考6：上述公式就是两角和与差的正切公式，分 别记作 ， T (，这两个公式有什么特点？ T (a + b ) a- b) 如何记忆？公式成立的条件是什么？
思考 ：为方便起见，公式S ( a + b ) , C ( a + b ) , T ( a + b ) 称为和角公式，公式S ( a - b ) , C a - b , T ( a - b ) 称为差角公式.怎样理解这6个公 式的逻辑联系？
思考 ：根据公式 T ，tanα ＋tanβ 可变形为什么？ tanα＋tanβ=tan(α+β)(1- tanαtanβ) 思考 ：在△ABC中，tanA，tanB，tanC 三者有什么关系？ tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
第3讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第3讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β；tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β⎝⎛⎭⎫α±β，α，β均不为k π＋π2，k ∈Z . 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan α⎝⎛⎭⎫α，2α均不为k π＋π2，k ∈Z . 3．三角公式的关系判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在实数α，β使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( )(2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 的大小关系不确定．( ) (3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )(5)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√(教材习题改编)化简cos 18°cos 42°－cos 72°sin 42°的值为( ) A ．32B ．12C ．－12D ．－32解析：选B ．法一：原式＝cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42°＝cos(18°＋42°)＝cos 60°＝12.法二：原式＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝12.(教材习题改编)已知sin(α－k π)＝35(k ∈Z )，则cos 2α的值为( )A ．725B ．－725C ．1625D ．－1625解析：选A ．由sin(α－k π)＝35(k ∈Z )得sin α＝±35.所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×(±35)2＝1－1825＝725.故选A ．(教材习题改编)已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cos(π4＋α)的值为( )A ．210B ．－210C ．7210D ．－7210解析：选A ．因为cos α＝－35，α是第三象限的角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－(－35)2＝－45，所以cos(π4＋α)＝cos π4cos α－sin π4sin α＝22×(－35)－22×(－45)＝210.(2017·高考江苏卷)若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝________． 解析：tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α－π4tan π4＝16＋11－16＝75.答案：75(教材习题改编)11－tan 15°－11＋tan 15°＝________．解析：原式＝2tan 15°(1－tan 15°)(1＋tan 15°)＝2tan 15°1－tan 215°＝tan 30°＝33.答案：33三角函数公式的直接应用[典例引领](1)已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α，则tan α＝( ) A ．－1 B ．0 C ．12D ．1(2)(2017·高考全国卷Ⅰ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝__________． 【解析】 (1)因为sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α， 所以12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α.所以1－32cos α＝3－12sin α.所以tan α＝sin αcos α＝－1，故选A ．(2)因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝2， 所以sin α＝255，cos α＝55，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝22×⎝⎛⎭⎫255＋55＝31010. 【答案】 (1)A (2)31010三角函数公式的应用策略(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征． (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．[注意] 三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立．使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系．[通关练习]1．已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________．解析：因为sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos α＝－45. 所以cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝⎛⎭⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α＝－75.答案：－752．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________． 解析：因为sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α， 所以cos α＝－12.又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以sin α＝32， 所以tan α＝－ 3.所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3.答案： 3三角函数公式的逆用与变形应用[典例引领](1)计算sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为( )A ．－12B ．12C ．32D ．－32(2)已知θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝( )A ．23B ．43C ．34D ．32【解析】 (1)sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin 70°sin 20°cos 310°＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.(2)由sin θ－cos θ＝－144得sin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝74， 因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以0＜π4－θ＜π4， 所以cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝34.2cos 2θ－1cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝cos 2θsin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2θsin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－θsin ⎝⎛⎭⎫π4－θ ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝32. 【答案】(1)B (2)D(1)三角函数公式活用技巧①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．②tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．(2)三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．②注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．[通关练习]1．在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值为( ) A ．－22B ．22C ．12D ．－12解析：选B ．由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－1，即tan(A ＋B )＝－1，又A ＋B ∈(0，π)，所以A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝22.2．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235B ．235C ．45D ．－45解析：选D.由cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435，即32sin α＋32cos α＝435，所以3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45.角的变换[典例引领](1)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( ) A ．2525B ．255C ．2525或255D ．55或525(2)对于锐角α，若sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝________． 【解析】 (1)依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45.又α，β均为锐角，所以0＜α＜α＋β＜π， cos α＞cos(α＋β)．因为45＞55＞－45，所以cos(α＋β)＝－45.于是cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525.(2)由于α为锐角，且sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝35，可得cos ⎝⎛⎭⎫α－π12＝45，那么cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π12＋π4＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π12cos π4－sin ⎝⎛⎭⎫α－π12sin π4＝210，于是cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－1＝2×⎝⎛⎭⎫2102－1＝－2425.【答案】 (1)A (2)－2425利用角的变换求三角函数值的策略(1)当“已知角”有两个时：一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时：此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．[注意] 常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝⎛⎭⎫α＋β2－⎝⎛⎭⎫α2＋β等． [通关练习]1．已知tan(α＋β)＝1，tan ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，则tan ⎝⎛⎭⎫β＋π3的值为( ) A ．23B ．12C ．34D ．45解析：选B ．tan ⎝⎛⎭⎫β＋π3＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫α－π3＝tan(α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫α－π31＋tan(α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫α－π3＝1－131＋1×13＝12. 2．若sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14，则cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝( ) A ．－78B ．－14C ．14D ．78解析：选A ．cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫2π3－2α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2α＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π3－α＝－78.两角和、差及倍角公式的逆用和变用(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式． (2)和差角公式变形：sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β， cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β， tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan α·tan β)，(3)倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22，1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2.三角恒等变换的变“角”与变“名”问题的解题思路(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的拆分与组合的技巧，半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫π4－α＝π2，α2＝2×α4等． (2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．1.cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°的值为( )A ．33 B ． 3 C ．－33D ．－ 3解析：选B ．原式＝1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝ 3.2．(1＋tan 18°)·(1＋tan 27°)的值是( ) A ． 3 B ．1＋ 2C ．2D ．2(tan 18°＋tan 27°)解析：选C ．原式＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋tan 18°tan 27°＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＝2，故选C ．3．已知sin α＋cos α＝13，则sin 2(π4－α)＝( )A ．118B ．1718C ．89D ．29解析：选B ．由sin α＋cos α＝13两边平方得1＋sin 2α＝19，解得sin 2α＝－89，所以sin 2(π4－α)＝1－cos(π2－2α)2＝1－sin 2α2＝1＋892＝1718.4．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝7210，cos 2α＝725，则sin α＝( ) A ．45B ．－45C ．35D ．－35解析：选C ．由sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝7210得 sin α－cos α＝75，①由cos 2α＝725得cos 2α－sin 2α＝725，所以(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)＝725，② 由①②可得cos α＋sin α＝－15，③由①③可得sin α＝35.5．已知cos(π3－2x )＝－78，则sin(x ＋π3)的值为( )A ．14B ．78C ．±14D ．±78解析：选C ．因为cos [π－(π3－2x )]＝cos(2x ＋2π3)＝78，所以有sin 2(x ＋π3)＝12(1－78)＝116，从而求得sin(x ＋π3)的值为±14，故选C ．6．已知cos θ＝－513，θ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6的值为________． 解析：由cos θ＝－513，θ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2得sin θ＝－1－cos 2θ＝－1213，故sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝sin θcos π6－cos θsin π6＝－1213×32－⎝⎛⎭⎫－513×12＝5－12326.答案：5－123267．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝________． 解析：cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6 ＝3×⎝⎛⎭⎫－33＝－1. 答案：－18．计算sin 250°1＋sin 10°＝________．解析：sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos(90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12.答案：129．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π12，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫－π4的值； (2)若cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3的值． 解：(1)f ⎝⎛⎭⎫－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12. (2)f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4＝22(sin 2θ－cos 2θ)． 因为cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin θ＝35. 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos 2θ＝cos 2 θ－sin 2θ＝725，所以f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝22(sin 2θ－cos 2θ)＝22×⎝⎛⎭⎫2425－725＝17250. 10．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值． 解：(1)因为sin α2＋cos α2＝62， 两边同时平方，得sin α＝12. 又π2＜α＜π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－32. (2)因为π2＜α＜π，π2＜β＜π， 所以－π2＜α－β＜π2. 又由sin(α－β)＝－35， 得cos(α－β)＝45. 所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35＝－43＋310.1.3cos 10°－1sin 170°＝( ) A ．4 B ．2C ．－2D ．－4 解析：选D.3cos 10°－1sin 170°＝3cos 10°－1sin 10°＝3sin 10°－cos 10°sin 10°cos 10°＝2sin(10°－30°)12sin 20°＝－2sin 20°12sin 20°＝－4，故选D. 2．若α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α－β)＝1010， 则cos β＝( )A ．22 B ．210 C ．22或－210 D ．22或210解析：选A ．因为α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α－β)＝1010，所以sin α＝255，cos(α－β)＝31010，从而cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝22，故选A ． 3.3tan 12°－3sin 12°(4cos 212°－2)＝________． 解析：原式＝3×sin 12°cos 12°－3sin 12°(4cos 212°－2)＝3sin 12°－3cos 12°2sin 12°cos 12°(2cos 212°－1)＝23⎝⎛⎭⎫12sin 12°－32cos 12°sin 24°cos 24° ＝23sin(12°－60°)12sin 48°＝－4 3. 答案：－4 34．设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________． 解析：因为α为锐角，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2425，cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝725， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6－π4 ＝2425×22－725×22＝17250. 答案：172505．若sin ⎝⎛⎭⎫34π＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35，且0<α<π4<β<34π，求cos(α＋β)的值． 解：因为0<α<π4<β<34π. 所以34π<34π＋α<π，－π2<π4－β<0. 又sin ⎝⎛⎭⎫34π＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎫34π＋α＝－1213，sin ⎝⎛⎭⎫π4－β＝－45， 所以cos(α＋β)＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋(α＋β)＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫34π＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β ＝sin ⎝⎛⎭⎫34π＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β－cos ⎝⎛⎭⎫34π＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β＝－3365. 6．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值；(2)求tan α－1tan α的值． 解：(1)因为cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αsin ⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12. 因为α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，所以2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3， 所以cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32， 所以sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝12. (2)因为α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，所以2α∈⎝⎛⎭⎫2π3，π， 又由(1)知sin 2α＝12，所以cos 2α＝－32. 所以tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.。
两角和与差的正弦余弦正切公式
两角和与差的正弦余弦正切公式首先，让我们从两角和的正弦公式开始推导。
假设有两个角A和B，那么它们的和角可以表示为A+B。
根据三角函数的定义，正弦函数的定义式为：sin(x) = 对边 / 斜边我们可以将角A和B的对边和斜边代入这个公式中，得到：sin(A + B) = (sin(A) * 斜边A + sin(B) * 斜边B) / 总斜边这个公式告诉我们，两个角的正弦之和等于各自正弦的乘积与对应斜边的和再除以总斜边。
另外，如果我们将斜边A和斜边B相等，那么这个公式可以进一步简化为：sin(A + B) = 2 * sin((A + B) / 2) * cos((A - B) / 2)接下来，让我们推导两角和的余弦公式。
余弦函数的定义式为：cos(x) = 临边 / 斜边同样地，根据这个定义式，我们可以得出两角和的余弦公式：cos(A + B) = (cos(A) * 斜边A + cos(B) * 斜边B) / 总斜边这个公式告诉我们，两个角的余弦之和等于各自余弦的乘积与对应斜边的和再除以总斜边。
同样地，如果我们将斜边A和斜边B相等，那么这个公式可以进一步简化为：cos(A + B) = 2 * cos((A + B) / 2) * cos((A - B) / 2)最后，让我们推导两角和的正切公式。
正切函数的定义式为：tan(x) = 对边 / 临边我们可以将角A和B的对边和临边代入这个公式中，得到：tan(A + B) = (tan(A) + tan(B)) / (1 - tan(A) * tan(B))这个公式告诉我们，两个角的正切之和等于各自正切的和再除以1减去各自正切的乘积。
总结一下，两角和与差的正弦、余弦、正切公式如下：sin(A + B) = sin(A) * cos(B) + cos(A) * sin(B)cos(A + B) = cos(A) * cos(B) - sin(A) * sin(B)tan(A + B) = (tan(A) + tan(B)) / (1 - tan(A) * tan(B))这些公式在解决三角函数运算、证明恒等式和简化复杂的三角函数表达式等方面都非常有用。
两角和与差的正弦余弦和正切公式
＝－89.
第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1
2
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走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
(2)sin 40°·tan 10°－
3
＝sin 40°·csoin
40°·sin
10°－ cos
3cos 10°
10°
＝sin
40°·221sin
10°－ 23cos cos 10°
α，故
tan
α＝－
3，所以
tan(α
＋
β)
＝
tan α＋tan β 1－tan αtan β
＝
－ 1＋
3＋ 3×
333＝－223 3
3 ＝－
3 3 .]
第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
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3．已知
α∈π2，π，sin
α＝
5 5.
(1)求 sinπ4＋α的值；
第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
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2．三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题 (1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系； (2)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1， 23， 3等这些数值 时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式．
5π 6 cos
2α＋sin
5π 6
sin
2α＝－
23×35＋12×－45＝－4＋130
3 .
第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
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两角和与差的正弦、余弦和正切公式(基础知识+基本题型)(含解析)
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式（基础知识+基本题型）知识点一、两角差的余弦公式 如图，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角α，β，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B ，则)sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==OB OA . 由向量数量积的定义，有)cos()cos(||||βαβα-=-=⋅OB OA OB OA ，由向量数量积的坐标表示，得βαβαsin sin cos cos +=⋅OB OA . 于是有βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-. 由以上的推导过程可知，βα,是任意角，则)(βα-也应为任意角，即对于任意角βα,有βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-，此公式称为差角的余弦公式，简记为)(βα-C【提示】（1）适用条件：公式中的βα,都是任意角，可以为常量，也可以为变角（2）公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反 【拓展】（1）逆用：)cos(sin sin cos cos βαβαβα-=+（2）角变换后使用：ββαββαββααsin )sin(cos )cos(])cos[(cos +++=-+= （3）移项使用：βαβαβαsin sin )cos(cos cos --=；βαβαβαcos cos )cos(sin sin --=（4）特殊化使用导出诱导公式：ααπαπαπsin sin 2sincos 2cos)2cos(=+=-知识点二 两角和的余弦公式 运用)(βα-C 和诱导公式，有)](cos[)cos(βαβα--=+ )sin(sin )cos(cos βαβα-+-= βαβαsin sin cos cos -=，即βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+此公式就是两角和的余弦公式，简记作)(βα+C 提示：（1）公式中的βα,都是任意角（2）两角和与差的余弦公式右边函数名的排列顺序为：余⋅余 正⋅正，左右两边加减运算符号相反 （3）一般情况下，两角和的余弦公式不能按分配律展开，即βαβαcos cos )cos(+≠+ 【拓展】要学会顺用（从左至右，即展开）、逆用（从右至左，即化简）、变用（移项变形）公式()C αβ± （1）顺用公式()C αβ±，如：()()()()cos 2cos cos cos sin sin αβααβααβααβ+=++=+-+⎡⎤⎣⎦；()cos 2cos 2cos sin 2sin αβαβαβ+=-，()()()cos cos cos cos sin sin ααββαββαββ=+-=+++⎡⎤⎣⎦（2）逆用公式()C αβ±，如：()()()()cos cos sin sin αβαβαβαβ+--+- ()()cos cos 2αβαβα=++-=⎡⎤⎣⎦（3）变用公式()C αβ±，如：()cos sin sin cos cos αβαβαβ++=； ()cos cos cos sin sin αβαβαβ--=知识点三 两角和与差的正弦公式 运用()C αβ-和诱导公式，有()()sin cos cos 22ππαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫+=-+=-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin sin cos cos sin 22ππαβαβαβαβ⎛⎫⎛⎫=-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.即()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+.这就是两角和的正弦公式，简记作sin cos cos sin αβαβ+()S αβ+. 在公式()S αβ+中，用β-代替β，可得()()()sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβ+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦，即()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-. 这就是两角差的正弦公式，简记作()S αβ-. 【提示】（1）公式中的,αβ均为任意角.（2）两角和与差的正弦公式右边函数名的排列顺序为：正余±余正，左右两边加减运算符号相同. （3）一般情况下，两角和与差的正弦公式不能按分配律展开，即()sin sin sin αβαβ±=±.知识点四 两角和与差的正切公式 ()()()sin sin cos cos sin tan tan tan cos cos cos sin sin 1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβ++++===+--， 即()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-.这就是两角和的正切公式，简记作()T αβ+. 以β-代替上式中β，可得 ()()()tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβ+--+-==⎡⎤⎣⎦--+，即()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+.这就是两角差的正切公式，简记作()T αβ-. （1）适用条件：公式()T αβ±只有在(),,Z 222k k k k πππαπβπαβπ≠+≠+±≠+∈时才成立，否则不成立，这是由正切函数的定义域决定的.（2）特殊情况：当tan α或tan β或()tan αβ±的值不存在时，不能使用()T αβ±处理有关问题，但可改用诱导公式或其他方法.例如，化简tan 2πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为tan 2π的值不存在，不能利用公式()T αβ-，所以改用诱导公式来解.sin cos 2tan 2sin cos 2πβπββπββ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭. （3）公式()T αβ-也可以这样推导： ()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ---==-+若cos cos 0αβ≠，则将上式得分子、分母都除以cos cos αβ，得()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+.【拓展】（1）正切公式的逆用： ()()()tan tan tan tan 1tan tan αβααβαβαβα+-=+-=⎡⎤⎣⎦++；tantan 1tan 4tan 1tan 41tan tan 4πααπαπαα++⎛⎫==+ ⎪-⎝⎭-（2）正切公式的变形应用：()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-； ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+； ()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ+-=+；()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ-+=-知识点五 辅助角公式辅助角公式：()sin cos tan b a x b x x a ϕϕ⎛⎫++= ⎪⎝⎭推导过程：sin cos a x b x x x ⎫+=+⎪⎭令cos ϕϕ==，)sin cos sin cos cos sin a x b x x x ϕϕ++()x ϕ+其中角ϕ所在象限由,a b 的符号确定，角ϕ的值由tan ba ϕ=确定或由cos ϕϕ==共同确定【提示】 （1）关于形如sin cos a x b x +（,a b 不同时为零）的式子，引入辅助角可以变形为()sin A x ϕ+的形式，有时也变形为()cos A x ϕ+的形式（2）辅助角公式能将异名三角函数式转化为同名三角函数式，它本身就是一个化简得过程，化简后，可轻松地求出函数的周期、最值、单调区间等考点一 三角函数式的化简 【例1】 化简下列各式 （1）sin 7cos15sin8cos7sin15sin8︒+︒︒︒-︒︒；（2）()2sin50sin101⎡⎤︒+︒︒⎣⎦；（3）()()1sin cos sin 2sin 2αβααββ+-+-⎡⎤⎣⎦ 解：（1）原式()()sin 158cos15sin8sin15cos8cos15sin8cos15sin8tan15cos 158sin15sin8cos15cos8sin15sin8sin15sin8︒-︒+︒︒︒︒-︒︒+︒︒==︒︒-︒-︒︒︒︒+︒︒-︒︒()1tan 45tan 30tan 45301tan 45tan 30︒-︒=︒-︒==+︒︒2=-（2）原式2sin 50sin10⎛=︒+︒ ⎝⎭2sin 50cos102sin10cos50cos10︒︒+︒︒⎡⎤=︒⎢⎥︒⎣⎦)sin 50cos10sin10cos50=︒︒+︒︒()5010=︒+︒== （3）原式()()()1sin cos sin sin 2αβαααβαβα=+-++-+-⎡⎤⎣⎦ ()()1sin cos 2sin cos 2αβαααβ=+-+⎡⎤⎣⎦ ()()sin cos cos sin αβααβα=+-+ ()sin sin αβαβ=+-= 化简三角函数式的标准和要求： （1）能求出值得应求出值；（2）使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少； （3）使三角函数式的次数尽可能低； （4）使分母中尽量不含三角函数式和根式 考点二 三角函数的求值 【例2.】.（1）求sin105︒的值；（2）已知3sin 5θ=-，且θ是第三象限角，求cos 6πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（3）已知1tan ,tan 20,322ππαβαβπ⎛⎫==-<<<< ⎪⎝⎭，求()tan αβ-及αβ+的值解：（1）()sin105sin 6045︒=︒+︒sin 60cos45cos60sin 45=︒︒+︒︒ （2）因为3sin 5θ=-，且θ是第三象限角，所以4cos 5θ=-所以413cos cos cos sin sin 666525πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=---⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）因为1tan ,tan 23αβ==-，所以()12tan tan 3tan 721tan tan 13αβαβαβ+--===+- ()12tan tan 3tan 121tan tan 13αβαβαβ-++===--+ 因为0,,22ππαβπ<<<<所以 322ππαβ<+<所以34παβ+=三角函数的求值问题主要包括三类：给角求值、给值求值、给值求角 （1）给角求值的求解策略求解的关键是能将所求角转化为特殊角，并注意公式的选用 （2）给值求值的求解策略已知角,αβ的某种三角函数值，求αβ±的余弦、正弦或正切的方法；先根据平方关系求出,αβ的另一种三角函数值，求解过程中应注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号，再根据求得的函数值和已知函数值代入和角或差角的正弦、余弦、正切公式中，求出和角或差角的正弦、余弦、正切（3）给值求角的方法解答这类题目的步骤：①求出角的某一个三角函数值；②确定角所在的范围；③求角 考点三 三角恒等式的证明 【例3】求证：()()sin 2sin 2cos .sin sin αββαβαα+-+=证明：因为sin 0α≠，()()sin 22cos sin αβαβα+-+()()=sin 2cos sin αβααβα++-+⎡⎤⎣⎦()()()sin cos cos sin 2cos sin αβααβααβα=+++-+ ()()sin cos cos sin αβααβα=+-+()sin αβα=+-⎡⎤⎣⎦ sin β=，所以()()sin 2sin 2cos sin sin αββαβαα+-+=.证明三角恒等式常用以下方法：（1）从复杂的一边入手，逐步化简，证得与另一边相等.在证明的过程中，应时刻“盯”住目标，分析其特征，向着目标“奔”去；（2）从两边入手，证得等式两边都等于同一个式子； （3）作差法，证明左边-右边=0. 考点四 辅助角公式的应用【例4】 将下列各式化成()sin A x ϕ+的形式：（1cos x x -；（2）.4444x x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：（1）12cos 2x x ⎫=-⎪⎪⎝⎭原式2cos sin sin cos 66x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin .6x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）1sin cos 22424x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦原式sin sin cos cos 26464x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos 246212x x πππ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2212x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭5sin .212x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 通过引入辅助角ϕ，可以将sin cos a x b x +这种形式的三角函数式化为一个角的一种三角函数的形式.这种变形方法可解决sin cos a x b x +的许多问题，如值域、最值、周期、单调区间等.另外，（2）在解法上充分体现了角的变换和整体思想.。
两角和与差的正弦.余弦.正切公式
探究:你能根据正切函数与正弦,余弦函数的关系，
从C ( ) , S( )出发，推导出用任意角，的
sin (这里有什么要求?) 提示：sin( ) tan tan( ) cos( cos ) k ( k Z ) 2
2 3 2 1 2 2 2 2 6 2 4
sin15 sin(60 45 )
知识归纳：
对于任意的角 ，
同名积，符号反
cos(-)= coscos+sinsin cos(+)= coscos-sinsin sin(+)= sincos+cossin sin(-)=sincos-cossin
sin cos( ) 2
sin cos cos sin
两角和的正弦公式：
sin( ) sin cos cos sin (S(+))
( )] sin( ) cos[ 2 ) ] cos[(
1 tan15 tan 45 tan15 tan 45 15 tan 60 3 1 tan15 1 tan 45 tan15
小结
对于任意角， 都有
同名积，符 号反
cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
sin cos cos sin cos cos cos cos sin cos cos sin cos cos cos cos tan tan 1 tan tan
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两角和与差的正弦、余弦和正切公式
中学数学中学到了两角和差的正弦、余弦和正切公式，它们可以用于计算更复
杂的几何问题，帮助我们把诸多难题转化为计算可解的问题。
两角和公式是当两个角的角度之和等于180度时的三角公式：
sin（α + β）= sinαcosβ + cosαsinβ
cos（α + β）= cosαcosβ - sinαsinβ
tan（α + β）= (tanα + tanβ)/(1 - tanα tanβ)
差公式是当两个角的角度之差等于180度时的三角公式：
sin（α - β）= sinαcosβ - cosαsinβ
cos（α - β）= cosαcosβ + sinαsinβ
tan（α - β）= (tanα - tanβ)/(1 + tanα tanβ)
借助上述公式，我们就可以计算任意两个任意角的正弦、余弦和正切之和和差，而不必将其转化为已知的几何图形进行操作。
这样可以很大程度提高几何问题的解答速度，给我们的学习带来更多的便利。
由于上述的三角公式具有一定的解析性，所以我们可以利用它们来计算几何图
形的取值，简化解决几何问题的步骤。
掌握它们，就可以很好地提高我们数学概念的深化和解决真实世界应用问题的能力。
总之，两角和差的正弦、余弦和正切公式是在多数几何问题中必不可少的，只
要我们掌握它们，就可以利用它们快速解决困难的几何问题。