极值点偏移问题 ppt课件
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一个不等式在零点极值点偏移问题中的应用课件人教新课标B版
• 总结：本题是中点问题
学生讨论展示
总结：本题是加法问题
小结
• 应用步骤： • 1：从（1）中收集三方面信息 • 2 ：带入做差构造不等式 • 3：应用不等式 • 4：扣题
应用第6类：课外延伸纵向加深研究 1. 2012年高考辽宁理21题
思路说明
•
• 这道题难度非常大，而上述方法奇妙地转化，化繁为简， 化难为易。
一个不等式在零点极值点偏移问题中 的应用
复习提问
• 基本不等式：1
高考试题回顾
• 202X年高考Ⅰ卷理21 • 202X年沈阳市二模压轴题 • 2011年高考辽宁理21 • 2013年高考湖南文21 • 2010年高考天津理21
题目立意 ：
•
这些题均是函数零点、极值点偏移问题压轴，
这些题看似平常，却让以往大多数考生留下了
应用第6类：课外延伸纵向加深研究
2
总结反思
• 由以上几个例题我们可以看到一个不等式早已悄 然进入我们的高考试题中，以这个不等式为背景 的压轴题已屡见不鲜，给我们一种“一切尽在不 言中”的感觉，虽然我们无法猜测高考命题者的 初衷及试题的实际背景，但是在高考备考的过程 中，认识这个不等式还是极有意义的！
“思维转换灵活，方向感不好把握，且运算繁琐
算不准”的遗憾。这些引起了我的思考，为此我
进行了较为深入的解题研究，在考题答案和一些
资料所体现的两种解题思想方法以外，我发现利
用一个不等式，解决此类问题思维转换单一，计
算量小，大大降低解题难度提高准确率，所以我
今天利用解题研究的结果，精心设计了这节课内
容。
（I）a∈（0，+∞）
解法
• 分析上面的解法要做五次转化，
极值点偏移课件高二下学期数学人教A版选择性
知识梳理
极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象 不具有对称性.
极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，这类题往往对思维 要求较高，过程较为烦琐，计算量较大.
解决极值点偏移问题，有对称化构造函数法和比值代换法，二者各有 千秋，独具特色.
例题讲解 题型一 不含参数的极值点偏移
x x 1 1 2
即：x1＋x2>2.
2
x x 1 2
2
例题讲解 题型二 含参数的极值点偏移
方法： 比值代换
例题讲解 题型二 含参数的极值点偏移
方法： 比值代换
例题讲解 题型二 含参数的极值点偏移
方法： 比值代换
例题讲解 题型二 含参数的极值点偏移
方法： 对称化构造函数
跟踪训练 题型二 含参数的极值点偏移 方法： 比值代换
恒成立， 故原不等式 x1 x2 2 亦成立.
归纳总结
归纳总结
【对称构造法】
本质： 将双变元的不等式转化为单变元不等式，利用构造新的函数来
达到消元的目的，
口诀： 极值偏离对称轴， 构造函数觅行踪； 四个步骤环相扣， 一求二构造三单调四比较。
归纳总结
【对称构造法】
对称化构造函数法构造辅助函数 (1)对结论x1＋x2>2x0型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x). (2)对结论 x1x2>x20型，方法一是构造函数 F(x)＝f(x)－f xx20，通过研究 F(x) 的单调性获得不等式；方法二是两边取对数，转化成 ln x1＋ln x2>2ln x0， 再把 ln x1，ln x2 看成两变量即可.
方法一 差值代换
第1步: 确定变量范围 0 x1 1 x2
极值点偏移专题+课件-2023届高三数学三轮冲刺
已知函数f(x)＝x2＋ax－aln x． (1)若函数f(x)在[2,5]上单调递增，求实数a的取值范围； (2)当a＝2时，若方程f(x)＝x2＋2m有两个不等实数根x1，x2，求实数m的取值范 围，并证明x1x2<1． 解：(1)由题意函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x＋a－ax， 因为函数f(x)在[2,5]上单调递增，
∴原命题等价于证明ln
x1－ln x1－x2
x2>x1＋2 x2，即证ln
xx12>2xx11＋－xx22(x1>x2)，
令xx21＝t，则t>1，设g(t)＝ln t－2tt＋－11(t>1)，g′(t)＝1t －t＋412＝ttt－＋1122>0，
∴g(t)在(1，＋∞)上单调递增，又∵g(1)＝0，∴g(t)>g(1)＝0，∴ln t>2tt－－11，
即x1x2>e2．
消参减元的主要目的是减元，进而建立与所求解问题相关的函数．消参减元 法，主要是利用导数把函数的极值点转化为导函数的零点，进而建立参数与极值 点之间的关系，消去参数或减少变元，从而简化目标函数．其解题要点如下．
(1)建方程：求函数的导函数，令f′(x)＝0，建立极值点所满足的方程，抓住 导函数中的关键——导函数解析式中变号的部分(一般为一个二次整式)；
(4)比较大小，即判断函数F(x)在某段区间上的正负，并得出f(x)与f(2x0－x)的大小 关系；
(5)转化，即利用函数f(x)的单调性，将f(x)与f(2x0－x)的大小关系转化为x与2x0－x 之间的关系，进而得到所证或所求．
23年A10联盟4月期中卷
消参减元法求极值点偏移问题
已知函数f(x)＝ln x－ax，a为常数，若函数f(x)有两个零点x1，x2，求证： x1x2>e2．
高考数学微专题：偏移问题研究ppt
a
a
a
所以 G(x)
在
(0,
1) a
为增函数，又
0
x1
1 a
，则 G(x1)
G(1)
0
，即
F (x1)
F(2 a
x1)
又
F
( x1
)
F
( x2
)
，故
F
( x2
)
F
(
2 a
x1)
，
又
2 a
x1
1 a
，
x2
1 a
，
F(x) 在 (1 a
, ) 上递减，所以
x2
2 a
x1 ，即
x2
x1
2 a
，故
x0
1
因为 h(x)
0
解法
5：因为 h(x)
ln x 1 ， h(x) ax
ln x ax2
，所以 h(x0 )
ln x0 ax02
，有(Ⅰ)知 a
0，
所以只需证 ln x0 0 ln x0 0 x0 1 x1 x2 2 ．
设
x1
x2
，由(Ⅰ)知，
1 e
x1
1
x2
，
ln
x1
1
ax1, ln
x2
1
则
F
/
(x)
(x)
(2
x)
ln x2
x
ln(2 x) (2 x)2
(2
x)2 ln x x2 ln(2 x2(2 x)2
x)
当 x (0,1) 时，下面说明 (2 x)2 ln x x2 ln(2 x) 0 ，即证 (2 x)2 ln x x2 ln(2 x)
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（2）设x1, x2是f ( x)的两个零点，证明：x1 x2 2
（2010年天津卷）已知f (x) xex , x R. (3)如果x1 x2 , 且f (x1) f (x2 ), 证明：x1 x2 2.
（2011年辽宁理科高考21题）已知 : f (x) ln x ax2 (2 a)x (I )讨论f (x)的单调性；
利用好各类教学方面的报刊杂志，里面有我们老师们发表的优秀的文章， 如果能够拿来归我所用，对我们的帮助我想是巨大的，在这一方面做得 比较好的是陕西师大的教学参考，里面有一个栏目“高考频道”，对于 我们复习备考很有帮助。
PPT课件
2
策略一：关注最近几年来的各省的高考题，以它们为蓝本，组织二轮复习， 不一定要做太多太烂的复习题。提高复习材料的质量是关键。
x1 x2 2
加细不等式：ab a b a b (a b, a,b R+ ) ln a ln b 2
PPT课件
6
（2011年辽宁理科高考21题）已知 : f (x) ln x ax2 (2 a)x (I )讨论f (x)的单调性；
（III）若y f (x)的图像与x轴交于A，B两点， 线段AB的中点的横坐标为x0 , 证明：f (x0 ) 0.
f (x) 1 2ax 2 a 2ax2 (2 a)x 1 (2x 1)(ax 1) , f ( 1 ) 0, f (x) 1 2a
x
x
x
a
x2
与x轴有两个交点a 0, f (x) 0, f (x)
f (x0 ) 0
f (2 x1) f (x1) f (x2 ) 2 x1 x2
2 x1
x2
即证：f (2 x1) f (x1)
加细不等式：ab a b a b (a b, a,b R+ ) ln a ln b 2
PPT课件
5
（2010年天津卷）已知f (x) xex , x R. (3)如果x1 x2 , 且f (x1) f (x2 ), 证明：x1 x2 2.
（2011年辽宁理科高考21题）已知 : f ( x) ln x ax2 (2 a) x (I )讨论f ( x)的单调性；
（III）若y f ( x)的图像与x轴交于A，B两点，线段AB的中点的 横坐标为x0 , 证明：f ( x0 ) 0.
（2013年高考湖南卷文科21题）已知函数f (x) 1 x ex . 1 x
(I )求函数f (x)的单调区间；
（II）证明：当f ( x1) f ( x2 )( x1 PPxT2课)件时, x1 x2 0
3
策略二：切实落实课堂上所传授的解题方法与策略；我们可以把高考题按照解题的 思路分类，使得学生练习的习题与老师所讲的例题属于同一种题型，讲一练三。
（2016年全国I卷21题）f (x) (x - 2)ex a( x 1)2 有两个零点. (1)求a的取值范围；
f ( x1 x2 ) 2
f ( 1 ) a
x1 x2 2
1 a
设A( x1 ,
0),
B(x2 ,
0),
(0
x1
1 a
x2
),
f (x1)
f (x2 ) 0
1 a
x12 x22 x1 x2 ln x1 ln x2 2(x1 x2 )
（III）若y f (x)的图像与x轴交于A，B两点， 线段AB的中点的横坐标为x0 , 证明：f (x0 ) 0.
（2013年高考湖南卷文科21题）已知函数f (x) 1 x ex . 1 x
(I )求函数f (x)的单调区间；
（II）证明：当f ( x1) f ( x2 )( x1 PPTx课2件)时, x1 x2 0
4
策略三：高考题绝对不会是只有一种解法，故对于所选出来的例题，注重一题多解， 开拓学生的思路，培养学生灵活解题的能力。
对于极值点偏转问题解法很多：如：
（2010年天津卷）已知f (x) xex , x R.
x1
(3)如果x1 x2 , 且f (x1) f (x2 ), 证明：x1 x2 2.
我们容易得到：x 1 是函数的极值点，) f (x2 ) x1ex1 x2ex2 x1ex2 x2ex1
x2 ln x1 x1 ln x2
ln x1 ln x2 x1 x2
1 x1 x2 ln x1 ln x2
ln
x1 x2 1 x1 ln x2 2
x1 x2
x1 x2 1 2 2
x1 x2
x1x2
x1 x2 ln x1 ln x2
x1 x2 2
ln x1 ln x2 x1 x2
极值点偏移问题
PPT课件
1
现在是互联网+时代，互联网技术体现在我们社会生活的各个方 面，我们的教育事业当然也离不开互联网。利用好互联网，可以极 大的提高我们的备课的效率和备课的质量。
在这一方面，我们的学生往往走到了我们的前面，你比如同学们 熟悉的“作业帮”，我们只需要在手机上下载一个APP就可以了，他不 但可以给我们提供习题的解答，还能提供一定量的变式练习；再比如 我们使用的QQ，里面有个腾讯课堂，里面有我们需要的各类视频以及 其他方面的教学资源。
（2016年全国I卷21题）f (x) (x - 2)ex a( x 1)2 有两个零点. (1)求a的取值范围；
（2）设x1, x2是f ( x)的两个零点，证明：x1 x2 2
（2010年天津卷）已知f (x) xex , x R. (3)如果x1 x2 , 且f (x1) f (x2 ), 证明：x1 x2 2.
（2010年天津卷）已知f (x) xex , x R. (3)如果x1 x2 , 且f (x1) f (x2 ), 证明：x1 x2 2.
（2011年辽宁理科高考21题）已知 : f (x) ln x ax2 (2 a)x (I )讨论f (x)的单调性；
利用好各类教学方面的报刊杂志，里面有我们老师们发表的优秀的文章， 如果能够拿来归我所用，对我们的帮助我想是巨大的，在这一方面做得 比较好的是陕西师大的教学参考，里面有一个栏目“高考频道”，对于 我们复习备考很有帮助。
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策略一：关注最近几年来的各省的高考题，以它们为蓝本，组织二轮复习， 不一定要做太多太烂的复习题。提高复习材料的质量是关键。
x1 x2 2
加细不等式：ab a b a b (a b, a,b R+ ) ln a ln b 2
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（2011年辽宁理科高考21题）已知 : f (x) ln x ax2 (2 a)x (I )讨论f (x)的单调性；
（III）若y f (x)的图像与x轴交于A，B两点， 线段AB的中点的横坐标为x0 , 证明：f (x0 ) 0.
f (x) 1 2ax 2 a 2ax2 (2 a)x 1 (2x 1)(ax 1) , f ( 1 ) 0, f (x) 1 2a
x
x
x
a
x2
与x轴有两个交点a 0, f (x) 0, f (x)
f (x0 ) 0
f (2 x1) f (x1) f (x2 ) 2 x1 x2
2 x1
x2
即证：f (2 x1) f (x1)
加细不等式：ab a b a b (a b, a,b R+ ) ln a ln b 2
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（2010年天津卷）已知f (x) xex , x R. (3)如果x1 x2 , 且f (x1) f (x2 ), 证明：x1 x2 2.
（2011年辽宁理科高考21题）已知 : f ( x) ln x ax2 (2 a) x (I )讨论f ( x)的单调性；
（III）若y f ( x)的图像与x轴交于A，B两点，线段AB的中点的 横坐标为x0 , 证明：f ( x0 ) 0.
（2013年高考湖南卷文科21题）已知函数f (x) 1 x ex . 1 x
(I )求函数f (x)的单调区间；
（II）证明：当f ( x1) f ( x2 )( x1 PPxT2课)件时, x1 x2 0
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策略二：切实落实课堂上所传授的解题方法与策略；我们可以把高考题按照解题的 思路分类，使得学生练习的习题与老师所讲的例题属于同一种题型，讲一练三。
（2016年全国I卷21题）f (x) (x - 2)ex a( x 1)2 有两个零点. (1)求a的取值范围；
f ( x1 x2 ) 2
f ( 1 ) a
x1 x2 2
1 a
设A( x1 ,
0),
B(x2 ,
0),
(0
x1
1 a
x2
),
f (x1)
f (x2 ) 0
1 a
x12 x22 x1 x2 ln x1 ln x2 2(x1 x2 )
（III）若y f (x)的图像与x轴交于A，B两点， 线段AB的中点的横坐标为x0 , 证明：f (x0 ) 0.
（2013年高考湖南卷文科21题）已知函数f (x) 1 x ex . 1 x
(I )求函数f (x)的单调区间；
（II）证明：当f ( x1) f ( x2 )( x1 PPTx课2件)时, x1 x2 0
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策略三：高考题绝对不会是只有一种解法，故对于所选出来的例题，注重一题多解， 开拓学生的思路，培养学生灵活解题的能力。
对于极值点偏转问题解法很多：如：
（2010年天津卷）已知f (x) xex , x R.
x1
(3)如果x1 x2 , 且f (x1) f (x2 ), 证明：x1 x2 2.
我们容易得到：x 1 是函数的极值点，) f (x2 ) x1ex1 x2ex2 x1ex2 x2ex1
x2 ln x1 x1 ln x2
ln x1 ln x2 x1 x2
1 x1 x2 ln x1 ln x2
ln
x1 x2 1 x1 ln x2 2
x1 x2
x1 x2 1 2 2
x1 x2
x1x2
x1 x2 ln x1 ln x2
x1 x2 2
ln x1 ln x2 x1 x2
极值点偏移问题
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现在是互联网+时代，互联网技术体现在我们社会生活的各个方 面，我们的教育事业当然也离不开互联网。利用好互联网，可以极 大的提高我们的备课的效率和备课的质量。
在这一方面，我们的学生往往走到了我们的前面，你比如同学们 熟悉的“作业帮”，我们只需要在手机上下载一个APP就可以了，他不 但可以给我们提供习题的解答，还能提供一定量的变式练习；再比如 我们使用的QQ，里面有个腾讯课堂，里面有我们需要的各类视频以及 其他方面的教学资源。
（2016年全国I卷21题）f (x) (x - 2)ex a( x 1)2 有两个零点. (1)求a的取值范围；
（2）设x1, x2是f ( x)的两个零点，证明：x1 x2 2
（2010年天津卷）已知f (x) xex , x R. (3)如果x1 x2 , 且f (x1) f (x2 ), 证明：x1 x2 2.