2019年高考数学25个必考点专题16线性规划检测
专题16 线性规划
一、基础过关题 1.（2018北京卷）设集合
，
，，则
A.对任意实数a ，
B. 对任意实数a ，
C. 当且仅当时，
D. 当且仅当
时， 【答案】D
利用a 的取值，反例判断
是否成立即可．
本题考查线性规划的解答应用，利用特殊点以及特殊值转化求解，避免可行域的画法，简洁明了．
2．若点(m,1)在不等式2x ＋3y －5>0所表示的平面区域内，则m 的取值范围是( ) A ．m ≥1 B．m ≤1 C．m <1 D ．m >1 【答案】 D
【解析】 由2m ＋3－5>0，得m >1.
3．若函数y ＝log 2x 的图象上存在点(x ，y )，满足约束条件y≥m，2x －y ＋2≥0，
则实数m 的最大值为( )
A.21 B ．1 C.23
D ．2 【答案】 B
【解析】 如图，作出不等式组表示的可行域，
当函数y ＝log 2x 的图象过点(2,1)时，实数m 有最大值1. 4．直线2x ＋y －10＝0与不等式组4x ＋3y≤20x －y≥－2，
表示的平面区域 的公共点有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个
【答案】 B
【解析】 由不等式组画出可行域的平面区域如图(阴影部分)．
5．若不等式组x ＋y≤a y≥0，
表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( ) A.，＋∞4
B ．(0,1] C.34 D ．(0,1]∪，＋∞4 【答案】 D
【解析】 不等式组y≥02x ＋y≤2，
表示的平面区域如图(阴影部分)，
求A ，B 两点的坐标分别为32
和 (1,0)，
若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是0＜a ≤1或a ≥34
. 6．(2016·天津)设变量x ，y 满足约束条件3x ＋2y －9≤0，2x ＋3y －6≥0，
则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( )
A ．－4
B ．6
C ．10
D ．17 【答案】 B
【解析】 由约束条件作出可行域如图所示，
7．设x ，y 满足约束条件3x －y －5≥0，x －3y ＋1≤0，
则z ＝2x －y 的最大值为( ) A ．10 B ．8 C ．3 D ．2 【答案】 B
【解析】 画出可行域如图所示．
8．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )
A．1 800元B．2 400元
C． 2 800元D．3 100元
【答案】 C
【解析】设每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，
x＋2y≤12，
则根据题意得x、y满足的约束条件为2x＋y≤12.
设获利z元，
则z＝300x＋400y.
画出可行域如图．
9．(2017·枣庄月考)已知实数x ，y 满足约束条件y≥0，4x ＋3y≤4，则ω＝x y ＋1
的最小值是( ) A ．－2 B ．2 C ．－1 D ．1
【答案】 D
【解析】 作出不等式组对应的平面区域如图，
ω＝x y ＋1
的几何意义是区域内的点P (x ，y )与定点A (0，－1)所在直线的斜率，
由图象可知当P 位于点D (1,0)时，直线AP 的斜率最小，此时ω＝x y ＋1的最小值为0－1－1－0
＝1. 故选D.
10．若关于x ，y 的不等式组kx －y ＋1≥0x ＋y≥0，
表示的平面区域是等腰直角三角形，则其表示的区域面积为________． 【答案】 21或41
【解析】 直线kx －y ＋1＝0过点(0,1)，要使不等式组表示的区域为直角三角形，只有直线
kx －y ＋1＝0垂直于y 轴(如图(1))或与直线x ＋y ＝0垂直(如图(2))时才符合题意．所以S
＝21×1×1＝21或S ＝21×22×22＝41.
11．已知变量x ，y 满足约束条件y －1≤0，x ＋3y －3≥0，
若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是__________． 【答案】 ，＋∞1
12．(2016·宜春中学、新余一中联考)设x ，y 满足约束条件4x ＋3y≤12，y≥x ，则x ＋1x ＋2y ＋3
的取值范围是________． 【答案】 [3,11]
【解析】 设z ＝x ＋1x ＋2y ＋3＝x ＋1y ＋1＝1＋2·x ＋1y ＋1
， 设z ′＝z ＋1y ＋1
，
则z ′的几何意义为动点P (x ，y )到定点D (－1，－1)的斜率．
画出可行域如图阴影部分所示，
则易得z ′∈[k DA ，k DB ]，易得z ′∈[1,5]，∴z ＝1＋2·z ′∈[3,11]．
13. 已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．
(1)写出表示区域D 的不等式组；
(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围． 【答案】 (1) 区域D 的不等式组为4x ＋y ＋10≥0.x ＋7y －11≤0，
；
(2) a 的取值范围是(－18,14)．
14．某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每辆车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？
【答案】 配备A 型车5辆、B 型车12辆
【解析】设A 型、B 型车辆分别为x 、y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y .
由题意，得x ，y 满足约束条件 x ，y≥0，x ，y ∈N.36x ＋60y≥900，
作出可行域如图阴影部分所示，
二、能力提高题
1.已知变量x ，y 满足约束条件y －1≤0，x －y≤1，
若z ＝x －2y 的最大值与最小值分别为a ，b ，且方程x 2
－kx ＋1＝0在区间(b ，a )上有两个不同实数解，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－6，－2) B ．(－3,2) C ．(－310
，－2) D ．(－310
，－3)
【答案】 C
【解析】 作出可行域，如图所示，
则目标函数z ＝x －2y 在点(1,0)处取得最大值1，在点(－1,1)处取得最小值－3，
2.给定区域D ：x≥0，x ＋y≤4，
令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线． 【答案】 6
【解析】 作出图形可知，△ABF 所围成的区域即为区域D ，
其中A (0,1)是z 在D 上取得最小值的点，
B ，
C ，
D ，
E ，
F 是z 在D 上取得最大值的点，
则T 中的点共确定AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BF 共6条不同的直线．