运筹学--第一章 线性规划

习题一1.1 用图解法求解下列线性规划问题，并指出各问题是具有唯一最优解、

无穷多最优解、无界解或无可行解。

(1) min z ＝6x1＋4x2(2) max z ＝4x1＋8x2

st. 2x1＋x2≥1 st. 2x1＋2x2≤10

3x1＋4x2≥1.5 －x1＋x2≥8

x1, x2≥0 x1, x2≥0

(3) max z ＝x1＋x2(4) max z ＝3x1－2x2

st. 8x1＋6x2≥24 st. x1＋x2≤1

4x1＋6x2≥－12 2x1＋2x2≥4

2x2≥4 x1, x2≥0

x1, x2≥0

(5) max z ＝3x1＋9x2(6) max z ＝3x1＋4x2

st. x1＋3x2≤22 st. －x1＋2x2≤8

－x1＋x2≤4 x1＋2x2≤12

x2≤6 2x1＋x2≤16

2x1－5x2≤0 x1, x2≥0

x1, x2≥0

1.2. 在下列线性规划问题中，找出所有基本解，指出哪些是基本可行解并分别代入目标函数，比较找出最优解。

(1) max z ＝3x1＋5x2(2) min z ＝4x1＋12x2＋18x3

st. x1＋x3＝4 st. x1＋3x3－x4＝3

2x2＋x4＝12 2x2＋2x3－x5＝5 3x1＋2x2＋x5＝18 x j≥0 （j＝1, (5)

x j≥0 （j＝1, (5)

1.3. 分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题，并对照指出单纯形法迭代的每一步相当于图解法可行域中的哪一个顶点。

(1) max z ＝10x1＋5x2

st. 3x1＋4x2≤9

5x1＋2x2≤8

x1, x2≥0

(2) max z ＝100x1＋200x2

st. x1＋x2≤500

x1≤200

2x1＋6x2≤1200

x1, x2≥0

1.4. 分别用大M法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出问题的解属于哪一类：

９

１０

(1) max z ＝4x 1＋5x 2＋ x 3 (2) max z ＝2x 1＋ x 2＋ x 3

st. 3x 1＋2x 2＋ x 3≥18 st. 4x 1＋2x 2＋2x 3≥4

2x 1＋ x 2 ≤4 2x 1＋4x 2 ≤20

x 1＋ x 2－ x 3＝5 4x 1＋8x 2＋2x 3≤16

x j ≥0 （j ＝1,2,3） x j ≥0 （j ＝1,2,3）

(3) max z ＝ x 1＋ x 2 (4) max z ＝x 1＋2x 2＋3x 3－x 4

st. 8x 1＋6x 2≥24 st. x 1＋2x 2＋3x 3＝15

4x 1＋6x 2≥－12 2x 1＋ x 2＋5x 3＝20

2x 2≥4 x 1＋2x 2＋ x 3＋ x 4＝10

x 1, x 2≥0 x j ≥0 （j ＝1, (4)

(5) max z ＝4x 1＋6x 2 (6) max z ＝5x 1＋3x 2＋6x 3

st. 2x 1＋4x 2 ≤180 st. x 1＋2x 2＋ x 3≤18

3x 1＋2x 2 ≤150 2x 1＋ x 2＋3x 3≤16

x 1＋ x 2＝57 x 1＋ x 2＋ x 3＝10

x 2≥22 x 1, x 2≥0，x 3无约束

x 1, x 2≥0

1.5 线性规划问题max z ＝CX ，AX ＝b ，X ≥0，如X*是该问题的最优解，又λ＞0为某一常数，分别讨论下列情况时最优解的变化：

（1） 目标函数变为max z ＝λCX ；

（2） 目标函数变为max z ＝（C ＋λ）X ；

（3） 目标函数变为max z ＝ C

X ，约束条件变为AX ＝λb 。1.6 下表中给出某

求极大化问题的单纯形表，问表中a 1, a 2, c 1, c 2, d 为何值时以及表中变

量属于哪一种类型时有：

（1） 表中解为唯一最优解；

（2） 表中解为无穷多最优解之一；

（3） 表中解为退化的可行解；

（4） 下一步迭代将以x 1替换基变量x 5 ；

（5） 该线性规划问题具有无界解；

（6） 该线性规划问题无可行解。

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5

x 3 d 4 a 1 1 0 0

x 4 2 －1 －5 0 1 0

x 5 3 a 2 －3 0 0 1

c j －z j c 1 c 2 0 0 0

1.7 战斗机是一种重要的作战工具，但要使战斗机发挥作用必须有足够的驾驶员。因此生产出来的战斗机除一部分直接用于战斗外，需抽一部分用于培训驾驶员。已知每年生产的战斗机数量为a j （j ＝1,…,n ），又每架战斗机每年能培训出k 名驾驶

员，问应如何分配每年生产出来的战斗机，使在n年内生产出来的战斗机为空防作出最大贡献？

1.8. 某石油管道公司希望知道，在下图所示的管道网络中可以流过的最大流量是多少及怎样输送，弧上数字是容量限制。请建立此问题的线性规划模型，不必求解。

1.9. 某昼夜服务的公交线路每天各时间区段内所需司机和乘务人员数如下：

班次时间所需人数

1 6:00-10:00 60

2 10:00-14:00 70

3 14:00-18:00 60

4 18:00-22:00 50

5 22:00-2:00 20

6 2:00-6:00 30

设司机和乘务人员分别在各时间区段一开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路至少配备多少名司机和乘务人员。列出此问题的线性规划模型。

1.10 某班有男生30人，女生20人，周日去植树。根据经验，一天男生平均每人挖坑20个，或栽树30棵，或给25棵树浇水；女生平均每人挖坑10个，或栽树20棵，或给15棵树浇水。问应怎样安排，才能使植树（包括挖坑、栽树、浇水）最多？请建立此问题的线性规划模型，不必求解。

1.11.某糖果厂用原料A、B、C加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。已知各种牌号糖果中A、B、C含量，原料成本，各种原料的每月限制用量，三种牌号糖果的单位加工费及售价如下表所示。

问该厂每月应生产这三种牌号糖果各多少千克，使该厂获利最大？试建立此问题的线性规划的数学模型。

甲乙丙原料成本(元/千克) 每月限量（千克）A≥60％≥15％ 2.00 2000

B 1.50 2500

C ≤20％≤60％≤50％ 1.00 1200

加工费（元/千克）0.50 0.40 0.30

售价 3.40 2.85 2.25

1.1

2. 某商店制定7－12月进货售货计划，已知商店仓库容量不得超过500件，6月底已存货200件，以后每月初进货一次，假设各月份此商品买进售出单价如下表所示，问各月进货售货各多少，才能使总收入最多？请建立此问题的线性规划模

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