2020-2021学年度普通高等学校高三招生全国统一考试模拟(五)数学(理)试题及答案
普通高等学校招生全国统一考试模拟试题
理数（五）
本试卷共6页，23题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合}12|{},02|{2+==<-=x
y y N x x x M ，则=?N M （ ） A ．)2,0( B ．)2,1( C ．)1,0( D ．?
2.已知i 为虚数单位，复数i ai i z ++=1)1(的虚部为2，则实数=a （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
3.函数x x y sin 22cos +=的最大值为（ ）
A ．21
B ．1
C ．2
3 D ．2 4.如图，分别以C A ,为圆心，正方形ABCD 的边长为半径圆弧，交成图中阴影部分，现向正方形内投入1个质点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）
A ．21
B ．22-π C.41 D ．4
2-π 5.已知O 为坐标原点，分别在双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
x a y 第一象限和第二象限的渐近线上取点N M ,，
若MON ∠的正切值为34，则双曲线离心率为（ ） A ．55 B ．25
C.45 D ．35
6.若点),(y x 满足?????
≤+≤≥+3
20
2y x x y y x ，则22)2(-+y x 的最小值为（ ）
A ．55
2 B ．55
C.54
D ．51
7.按下面的程序框图，如果输入的]3,1[-∈t ，则输出的x 的取值范围为（ ）
A ．]4,3[-
B ．]3,1[-
C.]9,3[- D ．]4,3[
8.将函数)3cos(sin )(π
+=x x x f 的图象向右平移3π
个单位，得到函
数
)(x g 的图象，则)(x g 图象的一个对称中心是（ ）
A ．)0,6(π
B ．)0,3(π
C.)43
,6(-π D ．)43
,3(-π
9.)102()1(10
101022101105x C x C x C x ++++Λ展开式中，7
x 项的系数是（ ）
A ．50400
B ．15300 C.30030 D ．150015
10.如图是一三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为（ ）
A ．425π
B ．1625π C.41125π D ．16
1125π 11.已知函数)(x f 是定义在R 内的奇函数，且满足)()2(x f x f =-，若在区间]1,0(上，x x f 1)(=
，则=++++++)8
18()212()111(f f f Λ（ ） A ．631 B ．1231 C. 635 D ．12
35 12.过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 且斜率为)0(>k k 的直线l 交抛物线于点B A ,，若→→=FB AF λ，且
)2
1,31(∈λ，则k 的取值范围是（ ）
A ．)3,1(
B ．)2,3( C. )22,2( D ．)22,3(
第Ⅱ卷（共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22~23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题:本题共4小题，每小题5分。
13.Y ABCD 中，M 为线段DC 的中点，AM 交BD 于点Q ，若→→→+=AC AD AQ μλ，则=+μλ．
14.命题p ：若0>x ，则a x >；命题q ：若2-≤a m ，则)(sin R x x m ∈<恒成立.若p 的逆命题，q 的逆否命题都是真命题，则实数a 的取值范围是．
15.已知函数x x a x f ln )(-+=，若)(x f 与)(x f '（)(x f '为)(x f 的导函数）的图象有两个公共点，则实数a 的取值范围是．
16.已知函数)0)(3cos(sin )(>+=ωπ
ωωx x x f 在区间)18,0(π
内单调，且在区间)2,(ππ内恰有三条对称
轴，则ω的取值范围是．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）
已知数列}{n a 满足)2(02,2111≥=-+=--n a a a a a n n n n .
（1）求证：}11{n a -是等比数列，且1)1
21121(21+---<+n n n a ； （2）设n S 为数列}{n a 的前n 项和，若*N m ∈，且1100+< 18. （本小题满分12分） 四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 为正方形，⊥1AA 平面M ABCD ,为棱1DD 的中点，N 为棱AD 的中点，Q 为棱1BB 的中点. （1）证明：平面//MNQ 平面BD C 1； （2）若AB AA 21=，棱11B A 上有一点P ，且 63 2113，求λ))1,0((111∈=→→λλB A P A ，使得二面角Q MN P --的余弦值为 的值. 19. （本小题满分12分） 从2017年1月份，某市街头出现共享单车，到6月份，根据统计，市区所有人骑行过共享单车的人数已占 %60，骑行过共享单车的人数中，有%35是大学生（含大中专及高职） ，该市区人口按500万计算，大学生人数约120万人. （1）任选出一名大学生，求他（她）骑行过共享单车的概率； （2）随单车投放数量增加，乱停乱放成为城市管理的问题，以下是累计投放单车数量x 与乱停乱放单车数量y 之间的关系图表： 累计投放单车数量x 100000 120000 150000 200000 230000 乱停乱放单车数量y 1400 1700 2300 3000 3600 ①计算y 关于的线性回归方程（其中?精确到值保留三位有效数字），并预测当时， 单车乱停乱放的数量； ②已知该市共有五个区，其中有两个区的单车乱停乱放数量超过标准.在“双创”活动中，检查组随机抽取三个区调查单车乱停乱放数量，X 表示“单车乱停乱放数量超过标准的区的个数”，求X 的分布列和数学期望)(X E . 参考公式和数据：回归直线方程a x b y ???+=中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为.??,) ())(()(?1211221x b y a x x y y x x x n x y x n y x b n i i n i i i n i i n i i i -=---= --=∑∑∑∑====851251101398,2117000000?==∑∑==i i i i i x y x . 20. （本小题满分12分） 已知圆1)1(:221=++y x C ,圆25)1(:2 22=+-y x C ,圆M 与圆21C C 、都相内切. （1）求圆心M 的轨迹E 的方程； （2）若点Q 是轨迹E 上的一点，求证：21C QC ?中，21QC C ∠的外角平分线与曲线E 相切. 21. （本小题满分12分） 已知函数2()(31)x f x x x e -=++，其中e 为自然对数的底数. （1）求函数)(x f 的单调区间； （2）求证：0>x 时，631[()](3ln )x xf x x x e x e -?-++≥. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为θρ2cos 232-=，参数方程为???==? ?sin cos b y a x （?,0,0>>b a 为参数）. （1）求a 与b 的值； （2）求椭圆C 上的点M 到点)0,1(A 距离的最小值. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知+ ∈R c b a ,,. （1）求证：ac bc ab c b a c a b c a b ++++≥++2 222333)(； （2）求函数c a b c a b x c b a x ac bc ab x f 3 332 222)(2)()(+++++-++=的零点个数.