2018年春期高二年级理科数学期终质量检测试题
河北省石家庄市第二中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题(含精品解析)

2018-2019学年河北省石家庄二中高二(上)期中数学试卷(理科)一、选择题(本题共12个小题,每小题5分,共6分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是( )A.2B.2C.4D.42.若平面α与β的法向量分别是,则平面α与β的位置关系是( )A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.无法确定3.已知椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),点(0,﹣3)在椭圆上,则椭圆的方程为( )A. +=1B. +=1C. +=1D. +=14.双曲线﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于( )A.B.C.D.5.若平面α的一个法向量为=(1,2,2),A=(1,0,2),B=(0,﹣1,4),A∉α,B∈α,则点A到平面α的距离为( )A.1B.2C.D.6.已知直线l1:4x﹣3y+7=0和直线l2:x=﹣1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )A.B.C.2D.7.椭圆的焦点F1,F2,P为椭圆上的一点,已知PF1⊥PF2,则△F1PF2的面积为( )A .8B .9C .10D .128.已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中,∠ABC =120°,AB =2,BC =CC 1=1,则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( )A .B .C .D .9.若直线l :y =ax ﹣1与抛物线C :y 2=(a ﹣1)x 恰好有一个公共点,则实数a 的值构成的集合为( )A .{﹣1,0}B .{﹣1, }C .{0, }D .{1,,0}10.直线kx ﹣y ﹣2k +2=0恒过定点A ,若点A 是双曲线﹣=1的一条弦的中点,则此弦所在的直线方程为( )A .x +4y ﹣10=0B .2x ﹣y ﹣2=0C .4x +y ﹣10=0D .4x ﹣y ﹣6=011.如图F 1、F 2是椭圆C 1: +y 2=1与双曲线C 2的公共焦点,A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点,若四边形AF 1BF 2为矩形,则C 2的离心率是( )A .B .C .D .12.已知椭圆C 1:+=1(a >b >0)与双曲线C 2:﹣=1(m >0,n >0)有共同的焦点F 1,F 2,且在第一象限的交点为P ,满足2•=2(其中O 为原点)设C 1,C 2的离心率分别为e 1,e 2当3e 1+e 2取得最小值时,e 1的值为( )A .B .C .D .二、填空题(本题共4个小题,每题5分,共20分)13.设椭圆C1:+=1(a>b>0)的离心率为,长轴长为26,若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于4,则曲线C2的标准方程为 .14.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M为棱AA1的中点,则直线D1B与平面MBC所成角的正弦值为 .15.已知F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左,右焦点,现以F2(1,0)为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M,N,若过F1的直线MF1是圆F2的切线,则椭圆的长轴长为 .16.已知双曲线x2﹣=1(b>0)的左右焦点分别为F1,F2,过F2作直线l交双曲线的左支于点A,过F2作直线l的垂线交双曲线的左支于点B,若直线AB过F1,则△ABF2的内切圆圆心到F2的距离为 .三、解答题(本题共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知椭圆的对称轴为坐标轴且焦点在x轴上,离心率e=,短轴长为4.(I)求椭圆的方程(Ⅱ)过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,求AB的中点坐标及弦长|AB|.18.(12分)在三棱锥PABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.(1)求证:MN∥平面BDE;(2)求二面角CEMN的正弦值.19.(12分)已知抛物线y2=﹣x与直线l:y=k(x+1)相交于A、B两点,点O为坐标原点.(1)求的值;(2)若△OAB的面积等于,求直线l的方程.20.(12分)已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的离心率为,则:(Ⅰ)求双曲线C的渐进线方程.(Ⅱ)当a=1时,已知直线x﹣y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆x2+y2=5上,求m的值.21.(12分)已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两点.(Ⅰ)若,求直线AB的斜率;(Ⅱ)设点M在线段AB上运动,原点O关于点M的对称点为C,求四边形OACB面积的最小值.22.(12分)已知动点M到定直线x=﹣4的距离是它到定点F1(﹣1,0)的距离的2倍.(Ⅰ)求动点M的轨迹方程.(Ⅱ)是否存在过点P(2,1)的直线l与动点M的轨迹相交于不同的两点A,B,满足•=?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.2018-2019学年河北省石家庄二中高二(上)期中数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(本题共12个小题,每小题5分,共6分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是( )A.2B.2C.4D.4【分析】根据题意,将双曲线的方程变形可得标准方程,分析可得其a的值,由双曲线实轴的定义计算可得答案.【解答】解:根据题意,双曲线方程为:2x2﹣y2=8,则其标准方程为:﹣=1,其中a==2,则其实轴长2a=4;故选:C.【点评】本题考查双曲线的几何性质,注意要现将其方程变形为标准方程.2.若平面α与β的法向量分别是,则平面α与β的位置关系是( )A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.无法确定【分析】先计算向量与向量的数量积,根据数量积为0得到两向量垂直,从而判断出两平面的位置关系.【解答】解: =﹣2+8﹣6=0∴⊥∴平面α与平面β垂直故选:B.【点评】本题主要考查了向量数量积以及向量垂直的充要条件,同时考查了两平面的位置关系,属于基础题.3.已知椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),点(0,﹣3)在椭圆上,则椭圆的方程为( )A. +=1B. +=1C. +=1D. +=1【分析】由条件根据椭圆的标准方程和简单性质可得a2﹣b2=9,0+=1,求得a2和b2的值,可得椭圆的方程.【解答】解:由题意可得a2﹣b2=9,0+=1,∴a2=18,b2=9,故椭圆的方程为+=1,故选:D.【点评】本题主要考查椭圆的标准方程和简单性质,属于基础题.4.双曲线﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于( )A.B.C.D.【分析】求出双曲线的渐近线方程,顶点坐标,利用点到直线的距离求解即可.【解答】解:双曲线﹣y2=1的顶点坐标(,0),其渐近线方程为x±y=0,所以所求的距离为=.故选:C.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,是基本知识的考查.5.若平面α的一个法向量为=(1,2,2),A=(1,0,2),B=(0,﹣1,4),A∉α,B∈α,则点A到平面α的距离为( )A.1B.2C.D.【分析】求出,点A到平面α的距离:d=,由此能求出结果.【解答】解:∵平面α的一个法向量为=(1,2,2),A=(1,0,2),B=(0,﹣1,4),A∉α,B∈α,∴=(1,1,﹣2),点A到平面α的距离:d===.故选:C.【点评】本题考查点到平面的距离的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.6.已知直线l1:4x﹣3y+7=0和直线l2:x=﹣1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )A.B.C.2D.【分析】如图所示,过点F(1,0)作FQ⊥l1,交抛物线于点P,垂足为Q,过点P作PM⊥l2,垂足为M.则|PF|=|PM|,可知:|FQ是|抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值.【解答】解:如图所示,过点F(1,0)作FQ⊥l1,交抛物线于点P,垂足为Q,过点P作PM⊥l2,垂足为M.则|PF|=|PM|,可知:|FQ是|抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值.|FQ|==.故选:A.【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.7.椭圆的焦点F1,F2,P为椭圆上的一点,已知PF1⊥PF2,则△F1PF2的面积为( )A.8B.9C.10D.12【分析】先设出|PF1|=m,|PF2|=n,利用椭圆的定义求得n+m的值,平方后求得mn和m2+n2的关系,代入△F1PF2的勾股定理中求得mn的值,即可求出△F1PF2的面积.【解答】解:设|PF1|=m,|PF2|=n,由椭圆的定义可知m+n=2a,∴m2+n2+2nm=4a2,∴m2+n2=4a2﹣2nm由勾股定理可知m2+n2=4c2,求得mn=18,则△F1PF2的面积为9.故选:B.【点评】本题主要考查了椭圆的应用,椭圆的简单性质和椭圆的定义.考查了考生对所学知识的综合运用.8.已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )A.B.C.D.【分析】【解法一】设M、N、P分别为AB,BB1和B1C1的中点,得出AB1、BC1夹角为MN 和NP夹角或其补角;根据中位线定理,结合余弦定理求出AC、MQ,MP和∠MNP的余弦值即可.【解法二】通过补形的办法,把原来的直三棱柱变成直四棱柱,解法更简洁.【解答】解:【解法一】如图所示,设M、N、P分别为AB,BB1和B1C1的中点,则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角(因异面直线所成角为(0,]),可知MN=AB1=,NP=BC1=;作BC中点Q,则△PQM为直角三角形;∵PQ=1,MQ=AC,△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+1﹣2×2×1×(﹣)=7,∴AC=,∴MQ=;在△MQP中,MP==;在△PMN中,由余弦定理得cos∠MNP===﹣;又异面直线所成角的范围是(0,],∴AB1与BC1所成角的余弦值为.【解法二】如图所示,补成四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1,求∠BC1D即可;BC1=,BD==,C1D=,∴+BD2=,∴∠DBC1=90°,∴cos∠BC1D==.故选:C.【点评】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题,也考查了空间中的平行关系应用问题,是中档题.9.若直线l:y=ax﹣1与抛物线C:y2=(a﹣1)x恰好有一个公共点,则实数a的值构成的集合为( )A.{﹣1,0}B.{﹣1, }C.{0, }D.{1,,0}【分析】讨论若a=1,当a=﹣1时,将直线方程代入曲线方程,运用判别式为0,解方程即可得到所求值.【解答】解:若a=1,则曲线C为y=0,直线l:y=x﹣1,即有直线与曲线的交点为(1,0),满足题意;若a=0,则曲线C为y2=﹣x,直线l:y=﹣1,即有直线与曲线的交点为(﹣1,﹣1),满足题意;若a≠1,a≠0时,则抛物线y2=(a﹣1)x的对称轴为x轴,由y=ax﹣1与抛物线y2=(a﹣1)x相切,可得:a2x2﹣(3a﹣1)x+1=0,由判别式为0,可得(3a﹣1)2﹣4a2=0,解得a=(a=1舍去),综上可得,a=0,1或.故选:D.【点评】本题考查直线与曲线的交点的个数问题,注意讨论直线与曲线相切或与对称轴平行,考查运算能力,属于中档题和易错题.10.直线kx﹣y﹣2k+2=0恒过定点A,若点A是双曲线﹣=1的一条弦的中点,则此弦所在的直线方程为( )A.x+4y﹣10=0B.2x﹣y﹣2=0C.4x+y﹣10=0D.4x﹣y﹣6=0【分析】求出定点A(2,2),设A是弦P1P2的中点,且P1(x1,y1),P2(x2,y2),利用点差法能求出以A(2,2)为中点的双曲线的弦所在的直线方程.【解答】解:直线kx﹣y﹣2k+2=0恒过定点A(2,2),双曲线﹣=1方程可化为:4x2﹣y2=8,设A(2,2)是弦P1P2的中点,且P1(x1,y1),P2(x2,y2),则x1+x2=4,y1+y2=4.∵P1,P2在双曲线上,∴,∴4(x1+x2)(x1﹣x2)﹣(y1﹣y2)(y1+y2)=0,∴4×4(x1﹣x2)=4(y1﹣y2),∴k==4,∴以A(2,2)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为:y﹣2=4(x﹣2),整理得4x﹣y﹣6=0.故选:D.【点评】本题考查直线方程的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意点差法和根的判别式的合理运用.11.如图F1、F2是椭圆C1: +y2=1与双曲线C2的公共焦点,A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点,若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是( )A.B.C.D.【分析】不妨设|AF1|=x,|AF2|=y,依题意,解此方程组可求得x,y的值,利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率.【解答】解:设|AF1|=x,|AF2|=y,∵点A为椭圆C1: +y2=1上的点,∴2a=4,b=1,c=;∴|AF1|+|AF2|=2a=4,即x+y=4;①又四边形AF1BF2为矩形,∴+=,即x2+y2=(2c)2==12,②由①②得:,解得x=2﹣,y=2+,设双曲线C2的实轴长为2m,焦距为2n,则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2,2n=2c=2,∴双曲线C2的离心率e===.故选:D.【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质,求得|AF1|与|AF2|是关键,考查分析与运算能力,属于中档题.12.已知椭圆C1:+=1(a>b>0)与双曲线C2:﹣=1(m>0,n>0)有共同的焦点F1,F2,且在第一象限的交点为P,满足2•=2(其中O为原点)设C1,C2的离心率分别为e1,e2当3e1+e2取得最小值时,e1的值为( )A.B.C.D.【分析】由2•=2,故||=2||cos∠POF2,即x P=,由焦半径公式可得:PF1=a+=x P+m⇒e1e2=2,3e1+e2取,当且仅当3e1=e2时取等号,即.【解答】解:∵2•=2,故||=2||cos∠POF2,即x P=由焦半径公式可得:PF1=a+=x P+m⇒2c2=am⇒e1e2=23e1+e2取,当且仅当3e1=e2时取等号,即故选:A.【点评】本题考查了双曲线离心率,属于中档题.二、填空题(本题共4个小题,每题5分,共20分)13.设椭圆C1:+=1(a>b>0)的离心率为,长轴长为26,若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于4,则曲线C2的标准方程为 ﹣=1 .【分析】在椭圆C1中,由题设条件能够得到a,b,曲线C2是以F1(﹣5,0),F2(5,0),为焦点,实轴长为4的双曲线,由此可求出曲线C2的标准方程.【解答】解:在椭圆C1中,椭圆C1:+=1(a>b>0)的离心率为,长轴长为26,a=13,c=5,b=12,椭圆C1的焦点为F1(﹣5,0),F2(5,0),椭圆方程为:.曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于4,a=2,则c=5,则b=.故C2的标准方程为:,故答案为:.【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用,解题时要注意公式的灵活运用,注意区分椭圆和双曲线的性质.14.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M为棱AA1的中点,则直线D1B与平面MBC所成角的正弦值为 .【分析】设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线D1B与平面MBC所成角的正弦值.【解答】解:设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2,如图建立空间直角坐标系,则D1(0,0,2),B(2,2,0),M(2,0,1),C(0,2,0),=(﹣2,﹣2,2),=(0,﹣2,1),=(﹣2,0,0),设平面MBC的法向量=(x,y,z),则,取y=1,得=(0,1,2),设直线D1B与平面MBC所成角为θ,则sinθ===.故直线D1B与平面MBC所成角的正弦值为.故答案为:.【点评】本题考查线面角的正弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.15.已知F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左,右焦点,现以F2(1,0)为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M,N,若过F1的直线MF1是圆F2的切线,则椭圆的长轴长为 +1 .【分析】由题意画出图形,利用椭圆定义可得|MF1|=2a﹣1,则Rt△F1MF2中,由勾股定理求得a,则答案可求.【解答】解:如图,由题意可知,|MF2|=c=1,则|MF1|=2a﹣1,则Rt△F1MF2中,由勾股定理可得(2a﹣1)2+12=4,解得:a=.∴椭圆的长轴长为.故答案为:.【点评】本题考查椭圆的简单性质,考查数形结合的解题思想方法,是中档题.16.已知双曲线x2﹣=1(b>0)的左右焦点分别为F1,F2,过F2作直线l交双曲线的左支于点A,过F2作直线l的垂线交双曲线的左支于点B,若直线AB过F1,则△ABF2的内切圆圆心到F2的距离为 2 .【分析】设内切圆的圆心为I,由直线AF2和直线BF2垂直,运用内角平分线定可得ABF2为等腰直角三角形,运用勾股定理和三角形的等积法,可得半径r,即可得到所求距离.【解答】解:设内切圆的圆心为I,由直线AF2和直线BF2垂直,可得I在x轴上, ====1,可得三角形ABF2为等腰直角三角形,设|AF2|=m,则设|BF2|=m,|AB|=m,即有内切圆的半径r满足r•(4m﹣4)=m2,又m=2m﹣4,解得r=2,m=4+2,即有|IF2|=r=2,故答案为:2.【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质,注意定义法和内角平分线定理的运用,考查三角形的等积法和勾股定理的应用,考查运算能力,属于中档题.三、解答题(本题共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知椭圆的对称轴为坐标轴且焦点在x轴上,离心率e=,短轴长为4.(I)求椭圆的方程(Ⅱ)过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,求AB的中点坐标及弦长|AB|.【分析】(Ⅰ)由已知, =,2b=4,由此能求出椭圆的标准方程.(Ⅱ)椭圆的右焦点为(1,0),直线AB方程为:y=2(x﹣1),由,得3x2﹣5x=0,由此能求出A(0,﹣2),B(),进而能求出|AB|.【解答】解:(Ⅰ)由已知, =,2b=4,∴b=2∵b2=a2﹣c2=5c2﹣c2=4c2=4,∴c2=1,a2=5,∴椭圆的标准方程为: +=1.……………………(4分)(Ⅱ)椭圆的右焦点为(1,0),∴直线AB方程为:y=2(x﹣1)…………………………设A(x1,y1),B(x2,y2),由,得3x2﹣5x=0,解得x1=0,x2=,…………………………(7分)设AB中点坐标为(x0,y0),则=,,所以AB的中点为(),…………………………(9分)∵A(0,﹣2),B(),∴|AB|==.…………………………(10分)【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查弦长的求法,考查椭圆、直线方程、中点坐标公式等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.18.(12分)在三棱锥PABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.(1)求证:MN∥平面BDE;(2)求二面角CEMN的正弦值.【分析】(1)取AB中点F,连接MF、NF,由已知可证MF∥平面BDE,NF∥平面BDE.得到平面MFN∥平面BDE,则MN∥平面BDE;(2)由PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.可以A为原点,分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.求出平面MEN与平面CME的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值得二面角CEMN的余弦值,进一步求得正弦值.【解答】(1)证明:取AB中点F,连接MF、NF,∵M为AD中点,∴MF∥BD,∵BD⊂平面BDE,MF⊄平面BDE,∴MF∥平面BDE.∵N为BC中点,∴NF∥AC,又D、E分别为AP、PC的中点,∴DE∥AC,则NF∥DE.∵DE⊂平面BDE,NF⊄平面BDE,∴NF∥平面BDE.又MF∩NF=F.∴平面MFN∥平面BDE,则MN∥平面BDE;(2)解:∵PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.∴以A为原点,分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.∵PA=AC=4,AB=2,∴A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),M(0,0,1),N(1,2,0),E(0,2,2),则=(1,2,﹣1),=(0,2,1),设平面MEN的一个法向量为=(x,y,z),由,得,取z=2,得=(4,﹣1,2).由图可得平面CME的一个法向量为=(1,0,0).∴cos<,>==.∴二面角CEMN的余弦值为,则正弦值为.【点评】本题考查直线与平面平行的判定,考查了利用空间向量求解空间角,考查计算能力,是中档题.19.(12分)已知抛物线y2=﹣x与直线l:y=k(x+1)相交于A、B两点,点O为坐标原点.(1)求的值;(2)若△OAB的面积等于,求直线l的方程.【分析】(1)联立直线与抛物线方程,化为关于y的一元二次方程,由根与系数关系求出A,B两点的横纵坐标的和与积,直接运用数量积的坐标运算求解;(2)直接代入三角形面积公式求解即可【解答】解:(1)设,由题意可知:k≠0,∴,联立y2=﹣x得:ky2+y﹣k=0显然:△>0,∴,∴=(﹣y12)(﹣y22)+y1y2=(﹣1)2+1=0,(2)∵S△OAB=×1×|y1﹣y2|===,解得:k=±,∴直线l的方程为:2x+3y+2=0或2x﹣3y+2=0.【点评】本题考查了直线和圆锥曲线的关系,考查了平面向量数量积的坐标运算,训练了三角形面积的求法,是中档题.20.(12分)已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的离心率为,则:(Ⅰ)求双曲线C的渐进线方程.(Ⅱ)当a=1时,已知直线x﹣y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆x2+y2=5上,求m的值.【分析】(Ⅰ)由题意通过离心率推出c2=3a2,得到,然后求解双曲线的渐近线方程.(Ⅱ)当a=1时,双曲线C的方程为x2﹣.设A、B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0),联立直线与双曲线方程,利用韦达定理,结合已知条件求解m即可.【解答】(本小题满分12分)解:(Ⅰ)由题意,得,∴c2=3a2∴b2=c2﹣a2=2a2,即∴所求双曲线C的渐进线方程………………(Ⅱ)由(1)得当a=1时,双曲线C的方程为x2﹣.……6分设A、B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0),由,得x2﹣2mx﹣m2﹣2=0(判别式△>0),∴x0==m,y0=x0+m=2m,…………(10分)∵点M(x0,y0),在圆x2+y2=5上,∴m2+4m2=5,∴m=±1.……(12分)(本题学生用“点差法”也给分)【点评】本题考查圆锥曲线的综合应用,直线与双曲线的位置关系的应用,考查转化思想以及计算能力.21.(12分)已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两点.(Ⅰ)若,求直线AB的斜率;(Ⅱ)设点M在线段AB上运动,原点O关于点M的对称点为C,求四边形OACB面积的最小值.【分析】(Ⅰ)依题意F(1,0),设直线AB方程为x=my+1.将直线AB的方程与抛物线的方程联立,得y2﹣4my﹣4=0.由此能够求出直线AB的斜率.(Ⅱ)由点C与原点O关于点M对称,得M是线段OC的中点,从而点O与点C到直线AB的距离相等,所以四边形OACB的面积等于2S△AOB.由此能求出四边形OACB的面积最小值.【解答】(本小题满分13分)(Ⅰ)解:依题意F(1,0),设直线AB方程为x=my+1.…(1分)将直线AB的方程与抛物线的方程联立,消去x得y2﹣4my﹣4=0.…(3分)设A(x1,y1),B(x2,y2),所以y1+y2=4m,y1y2=﹣4.①…(4分)因为,所以y1=﹣2y2.②…联立①和②,消去y1,y2,得.…(6分)所以直线AB的斜率是.…(7分)(Ⅱ)解:由点C与原点O关于点M对称,得M是线段OC的中点,从而点O与点C到直线AB的距离相等,所以四边形OACB的面积等于2S△AOB.…(9分)因为…(10分)=,…(12分)所以m=0时,四边形OACB的面积最小,最小值是4.…(13分)【点评】本题考查直线斜率的求法,考查四边形面积的最小值的求法,综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.22.(12分)已知动点M到定直线x=﹣4的距离是它到定点F1(﹣1,0)的距离的2倍.(Ⅰ)求动点M的轨迹方程.(Ⅱ)是否存在过点P(2,1)的直线l与动点M的轨迹相交于不同的两点A,B,满足•=?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.【分析】(Ⅰ)设M(x,y)(x>﹣4),由题意得==|x+4|=2+,由此能求出动点M的轨迹方程.(Ⅱ)设直线l的方程为y=k(x﹣2)+1,由,得(4k2+3)x2﹣8(2k2﹣k)x+8(2k2﹣2k﹣1)=0,利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积,结合已知条件能求出存在直线l满足条件,其方程为x﹣2y=0.【解答】解:(Ⅰ)设M(x,y)(x>﹣4),由题意得==|x+4|=2+,…………………………(2分)整理得动点M的轨迹方程为: =1.…………………………(4分)(Ⅱ)假设存在符合题意的直线l,由题意知直线斜率存在,设直线l的方程为y=k(x﹣2)+1,由,消去y得(4k2+3)x2﹣8(2k2﹣k)x+8(2k2﹣2k﹣1)=0,由△=64(2k2﹣k)k2﹣32(4k2+3)(2k2﹣2k﹣1)>0,得6k+3>0,解得k>﹣,设A(x1,y1),B(x2,y2),则,x1x2=,…………………………(8分)由,得(x1﹣2)(x2﹣2)+(y1﹣1)(y2﹣1)=,则(x1﹣2)(x2﹣2)(k2+1)=,即[x1x2﹣2(x1+x2)+4](k2+1)=,所以[﹣+4](k2+1)=,整理得=,解得k=,…………………………(10分)又k>﹣,所以k=,故存在直线l满足条件,其方程为y=,即x﹣2y=0.…………………………(12分)【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法,考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法,考查根的判别式、韦达定理、向量的数量积等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,是中档题.。
广东省台山市华侨中学2018_2019学年高二数学上学期期中试题理

台山侨中2018--2019学年度第一学期期中考试试题高二理科数学一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分1.设集合M={x| x>2},P={x|x<3},那么“x ∈M,或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的 ( ) A .必要不充分条件 B .充分不必要条件C .充要条件D .既不充分也不必要条2.数列-1,3,-5,7,-9,…的一个通项公式为( )A.12-=n a nB.)12()1(+-=n a n nC.)21()1(n a n n --=D.)12()1(--=n a n n3.在⊿ABC 中,已知ba c b a 2222+=+,则C=( )A .300B .1500C .450D.13504.在等差数列{a n }中,若a 2+a 6+a 10+a 14=20,则a 8=( ) A. 10 B. 5 C. 2.5 D. 1.255.不等式1213≥--xx 的解集是( ) A .⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤243|x x B .⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤243|x x C .⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤>432|x x x 或 D .{}2|<x x6.设数列的通项公式为72-=n a n ,则=+++1521a a a ( )A .153B .210C .135D .1207.设x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x +y -7≤0,x -3y +1≤03x -y -5≥0,则z =2x -y 的最大值为( )A .10B .8C .3D .28.在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列, 则n S 等于( )A .2nB . 3nC .122n +- D .31n -9.设x 、y ∈ R +且191=+yx , 则x +y 的最小值为( )A .6B .12C . 14D .1610.在△ABC 中,若= = ,则△ABC 是( ) 三角形A.直角B.等腰C.等腰或直角D.等腰直角11.数列 ,1614,813,412,211前n 项的和为( ) A .2212nn n ++B .12212+++-nn nC .2212nn n ++-D . 22121nn n -+-+ 12.如果满足 60=∠ABC ,12=AC ,k BC =的△ABC 恰有一个,那么k 的取值范围是( )A .38=kB .120≤<kC .12≥kD .120≤<k 或38=k二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.命题“13,30200≤+≥∃x x x ”的否定是14.在ABC ∆中,若6:2:1::=c b a ,则最大角的余弦值等于 . 15.已知函数)0(4)(2>+=x x xx f ,则函数图象上最高点的坐标为 . 16.从某电线杆的正东方向的 A 点处测得电线杆顶端的仰角是 60°,从电线杆正西偏南 30°的 B 处测得电线杆顶端的仰角是 45°,A ,B 间距离为35m ,则此电线杆的高度是____________m .三、解答题:本大题共6小题,共70分 17.(本小题满分10分)已知p: 2311≤--x ,q: ()001222>≤-+-m m x x ,若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件,求实数m 的取值范围。
2018年5月实验中学高二数学期中 试题

北京师范大学附属实验中学2017-2018学年度高二年级第二学期数学期中试卷(理科)(Ⅰ卷)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分. 在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.) 1.1d x x =⎰A. 0B.12C. 1D. 12-2.复数2(2iz i i-=+为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.函数()ln f x x =与函数2()g x ax a =-的图象在点(10),处的切线相同,则实数a 的值为A. 1B. 12-C. 12D. 12或12-4.若,,a b c 均为正实数,则三个数111,,a b c b c a+++中不小于2的数A. 可以不存在B. 至少有1个C. 至少有2个D. 至多有2个5.函数2xy x e =⋅的大致图象是6.函数()f x 的图象如图所示,下列结果正确的是 A.0<B.0<C.0< D.0<7.已知函数321, 0( ), 01 x x f x x ax x +≤⎧=⎨-+>⎩ 有极大值且有极小值,则实数a 的取值范围是A. (0,)+∞B. (1,)+∞C. (,0)∞-8.定义在R 上的函数(f x 示,则函数()()F x f x =A. B. C.D. 有一个极大值点,一个极小值点二、填空题(本大题6小题,每小题4分,共24分,将正确答案填在答题纸上)9. 已知函数2()f x x =,则0(1)(1)lim x f x f x∆→+∆-=∆______.10. 已知复数z 满足2z ≤,则复数z 在复平面内对应的点Z 的集合构成的图形的面积是_______.11. 观察下列等式:1-1122= 1-1111123434+-=+1-1111111123456456+-+-=++…… ……据此规律,第n 个等式为_______.12.若函数3211()32f x x ax x =-+在区间()0,1内为增函数,则实数a 的取值范围是 .13. 右图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象,给出下列命题:①2-是函数()y f x =的极值点; ②1是函数()y f x =的极值点;③()y f x =在0x =处切线的斜率小于零; ④()y f x =在区间(2,2)-上单调递增.则正确命题的序号是 .(写出所有正确命题的序号)14. 对于函数()y f x =,若在其定义域内存在0x ,使得00()1x f x =成立,则称函数()f x 具有性质P.(1)下列函数中具有性质P 的有 .①()2f x x =-+ ②()sin f x x =([0,2])x π∈ ③1()f x x x=+,((0,))x ∈+∞ ④()ln(1)f x x =+ (2)若函数()ln f x a x =具有性质P ,则实数a 的取值范围是 .三、解答题(本大题共3小题,共36分,写出必要的解答过程,将答案写在答题纸上)15. (本小题满分12分)已知数列}{n a 满足112a =,且12n n n a a n +⋅=+*()n ∈N . (Ⅰ)求2a ,3a ,4a ,并猜想数列}{n a 的通项公式; (Ⅱ)用数学归纳法证明你的猜想.16. xyO 1 2–2(Ⅰ)在所给的坐标系中画出函数()f x 在区间[0,3]的图象; (Ⅱ)若直线6y x b =+是函数()f x 的一条切线,求b 的值.17. (本小题满分12分)已知函数sin ()xxf x x e =-. (Ⅰ)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)求函数在区间[0,]π上的最大值和最小值.(Ⅱ卷)四、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在答题纸横线上)18. 若对任意1(,)2x ∈+∞,不等式2ln(21)+x x a -≤恒成立,则a 的取值范围是 .19.在极坐标系中,直线1cos sin =-θρθρ被曲线1=ρ截得的线段长为 .20.已知函数32()21f x x ax =-+在区间1[,2]2上恰有两个零点,则的取值范围是 .21.已知集合{,,}{1,2,3}a b c =,且下列三个关系:①3a ≠,②3b =,③1c ≠,有且只有一个正确,则________10100=++c b a .()f x a五、解答题(本大题共3小题,共30分,写出必要的解答过程)22.(本小题满分10分)在直角坐标系x y O 中,直线l的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数),C e 的参数方程是(1+sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩)为参数).(I )写出C e 的直角坐标方程(即普通方程);(II )P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求点P 的直角坐标.23.(本小题满分10分)已知函数21()ln (1)2f x a x x a x =+-+ ()a ∈R . (Ⅰ)若2x =为函数)(x f 的极值点,求a 的值; (Ⅱ)讨论函数)(x f 在区间内的单调性.24.(本小题满分10分)已知函数2()exf x x -=⋅,()(2)g x f x =-.(Ⅰ)求函数()g x 的极大值点;(Ⅱ)设函数()()()F x f x g x =-,求证:函数()F x 无极值;(Ⅲ)设11(,)A x y ,22(,)B x y 为函数()f x 图象上的两点,且满足12x x ≠,12y y =.若00,)M x y (为线段AB 的中点,求0x 的取值范围.()0,2。
南昌五中2017—2018学年度高二上学期数学期中考试试卷及答案(理科B卷)(2017年11月)

数学试题 第1页(共4页) 数学试题 第2页(共4页)南昌五中2017-2018学年上学期期中测试卷高二数学B 卷试卷满分:150分 考试时间:120分钟注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1抛物线241x y =的准线方程是( ) A .1-=y B . 2-=y C . 1-=x D . 2-=x 2.已知直线1:310l x y +-=与直线2:0l mx y -=平行,则实数m 的取值是( )A .13B .13-C .3D .3-3.圆()224+9x y -=和圆()22325x y+-=的位置关系是()A .内切B .相交C .外切D .外离4.到两定点)3,0(1-F 和)3,0(2F 的距离之和为6的点M 的轨迹是( )A .椭圆B .圆C .线段D .双曲线5.点()1-2,到10x y -+=的距离是( )A 226.如果方程22112x yk -=+表示双曲线,则实数k 的取值范围是( ) A. k<一1 B. k>一1 C. k>1 D. k>I 或k<一17.若焦点在轴的椭圆的离心率为,则实数等于( )A.B. C. D.8.直线3y kx =+被圆()()22234x y -+-=截得的弦长为 )A .566ππ或B .33ππ-或C .66ππ-或D .6π9.椭圆221259x y +=上的点M 到焦点F1的距离是2,N 是MF 1的中点,则|ON |为( ) A .4 B.2 C.8 D.2310.如果12,,,n P P P 是抛物线2:8C y x =上的点,它们的横坐标依次为12,,,n x x x , F 是抛物线C 的焦点,若128n x x x +++=,则12n PF P F P F +++=( )A .10n +B .8n +C .210n +D .28n +11.定义平面上两条相交直线的夹角为:两条相交直线交成的不超过90︒的正角.已知双曲线E :22221(0,0)x y a b a b-=>>,当其离心率e ⎤∈⎦时,对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为( ) A 、0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B 、 ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C 、,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 、,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 12.若直线(2)3=-+y k x 与曲线=y k 的取值范围是( )A .5(0,12B .13[,34C .5(,)12+∞D .53(,]124第Ⅱ卷二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分) 13. 已知双曲线的方程为,则渐近线方程为__________.14.若直线l 经过原点,且与直线2y =+的夹角为30°,则直线l 方程为__________. 15.已知直线l :()()212430m x m y m ++-+-=,直线l 恒过定点 16.如图,过抛物线y 2=2px (p>0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A ,B ,C ,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程是 .数学试题 第3页(共4页) 数学试题 第4页(共4页)三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知双曲线方程为22169144x y -=.(1)求该双曲线的实轴长、虚轴长、离心率;(2)若抛物线C 的顶点是该双曲线的中心,而焦点是其左顶点,求抛物线C 的方程;18.(本小题满分12分)已知圆C :x 2+y 2+2x –2y –2=0和直线l :3x+4y+14=0.(1)求圆C 的圆心坐标及半径;(2)求圆C 上的点到直线l 距离的最大值.19.已知直线l :1()y kx k R =-∈和抛物线24y x =.(1)若直线l 与抛物线有两个不同的公共点,求k 的取值范围; (2)当1k =时,直线l 与抛物线相交于A 、B 两点,求||AB 的长.20.(本小题满分12分)设11(,)A x y ,22(,)B x y 是椭圆22221(0)y x a b a b +=>>上的两点,若1212220x x y yb a +=,且椭圆的离心率为e =2,O 为坐标原点. (1)求椭圆的方程;(2)若直线AB 过椭圆的焦点(0,)F c (c 为半焦距),求直线AB 的斜率k 的值.21.(本小题满分12分)已知椭圆:C 22221(a 0)x y b a b +=>>过点(0,3-) (1)求椭圆C 的方程;(2)若直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ,当线段AB 的中点为(4,2)M 时, 求直线l 的方程.22.(本小题满分12分)已知动圆C 过定点(1,0),且与直线x =-1相切. (Ⅰ)求动圆圆心C 的轨迹方程;(Ⅱ)设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点,直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β, 当tan tan αβ⋅=1时,求证直线AB 恒过一定点M ,并求M 坐标.数学试题 第5页(共4页) 数学试题 第6页(共4页)参考答案1-12:ABBCA BBAAD DD13:14:0x =或y x =15:(-1,-2) 16:23y x = 17.【解析】(1)双曲线方程为16x 2-9y 2=144, 即为-=1, 可得a=3,b=4,c==5,则双曲线的实轴长为2a=6、虚轴长2b=8、离心率e==;(2)抛物线C 的顶点是该双曲线的中心(0,0), 而焦点是其左顶点(-3,0),设抛物线C 的方程为y 2=-2px (p >0), 由-=-3,解得p=6.则抛物线C 的方程为y 2=-12x .18.【解析】解:(Ⅰ)圆的方程化为(x+1)2+(y –1)2=4,……………4分 ∴圆心C 的坐标为(–1,1),半径r=2.……………6分 (Ⅱ)圆心C 到直线l 的距离d=2243141431++⨯+⨯-=3,……………10分 ∴圆C 上的点到直线l 距离的最大值为d+r=5.……………12分20.2122解 (Ⅰ)设动圆圆心M (x ,y ),依题意点M 的轨迹是以(1,0)为焦点,直线x =-1为准线的抛物线,其方程为y 2=4x .………………………………………………………………………4分 (Ⅱ)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由题意得x 1≠x 2且x 1x 2≠0,则x 1=y 214,x 2=y 224,所以直线AB 的斜率存在,设直线AB 的方程为y =kx +b ,则将y =kx +b 与y 2=4x 联立消去x ,得ky 2-4y +4b =0…………6分由根与系数关系得y 1+y 2=4k ,y 1y 2=4bk,……………8分因为tan α·tan β=1,所以y 1x 1·y 2x 2=1,x 1x 2-y 1y 2=0,解得y 1y 2=16,又y 1y 2=4bk所以b =4k ;…10分因此直线AB 的方程可表示为y =kx +4k ,所以直线AB 恒过定点M (-4,0).……12分。
广东省东莞市翰林实验学校2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案

2017-2018(上)高二期中试卷高二理科数学期中考试试题卷考生注意:本卷共三大题,22小题,满分150分,时间120分钟.一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 每小题各有四个选择支,仅有一个选择支正确.请把正确选择支号在答题卡中的相应位置涂黑. 1.若0,≠>ab b a ,则不等式恒成立的是( ) A .b a22> B . 0)lg(>-b a C .ba11< D .1<ab2.不等式021≥+-xx的解集为( ) A .]1,2[- B .]1,2(- C .),1()2,(+∞--∞ D .),1(]2,(+∞--∞ 3.在等比数列{a n }中,如果a 1+a 2=40,a 3+a 4=60,那么a 7+a 8等于( ) A.135 B.100 C.95 D.80 4. 若0ab >且直线20ax by +-=过点()2,1P ,则12a b+的最小值为( ) A.92 B. 4 C. 72D. 3 5.原点和点(2,1)-在直线0=-+a y x 的两侧,则实数a 的取值范围是( )A. 01a ≤≤B. 01a <<C. 0a =或1a =D. 0a <或1a >6.朱世杰是历史上最未打的数学家之一,他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数一五间”,有如下问题:“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤,只云初日差六十四人,次日转多七人,每人日支米三升,共支米四百三石九斗二升,问筑堤几日?”.其大意为:“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝,第一天派出64人,从第二天开始,每天派出的人数比前一天多7人,修筑堤坝的每人每天发大米3升,共发出大米40392升,问修筑堤坝多少天”.在这个问题中,前5天应发大米( )A. 894升B. 1170升C. 1275升D. 1457升7. ABC ∆内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2lg sin lg lg lg -==-B c a 且)2,0(π∈B ,则ABC ∆的形状是( ) A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形8.已知一元二次不等式()<0f x 的解集为112x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或,则(10)>0xf 的解集为( )A .112x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或 B .{}1lg 2x x -<< C .{}lg 2x x >- D .{}lg 2x x <-9.定义12nn p p p +++为n 个正数12,,,n p p p 的“均倒数”,若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +,又14n n a b +=,则122320152016111b b b b b b +++=( )A.20132014 B. 20142015 C. 20152016 D. 1201510. 在ABC △中,1,45a B ==︒,ABC △的面积=2S ,则ABC△的外接圆的直径为( )A.5B.D.11.已知等差数列{}n a 的等差0d ≠,且1313,,a a a 成等比数列,若11a =, n S 为数列{}n a 的前n 项和,则2163n n S a ++的最小值为( )A.3 B. 2 C.4 D.9212.设()u n 表示正整数n 的个位数,例如()233u =.若()()2n a u n u n =-,则数列{}na 的前2015项的和等于( )A .0B .2C .8D .10二、填空题: 本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.ABC ∆内角,,A B C的对边分别为,,a b c . 已知3,60,a A b ==︒=,则B = . 14.在等差数列{}n a 中,3737a a +=,则2468a a a a +++=__________.15.已知关于x ,y 的不等式组022020x x y kx y ≤≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域的面积为3,则实数k 的值为 .16.若关于x 的不等式23344a x xb ≤-+≤的解集恰好为[,a b ],那么b a -=_____.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)在锐角ABC ∆中,c b a ,,分别为内角C B A ,,2sin b A = (1)求角B 的大小;(2)若5a c +=,且b =,求ABC ∆的面积.18.(本小题满分12分)某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机,由于这两种产品的市场需求量非常大,有多少就能销售多少,因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量,以使得总利润达到最大.已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力,通过调查,得到关于这两种产品的有关数据如下表:19.(本小题满分12分)设等差数列{}n a 满足29a =,且15,a a 是方程216600x x -+=的两根。
2018-2019学年第一学期高二理科数学质量检测参考答案

17.本题主要考查正弦定理、余弦定理和解三角形等知识,考查运算求解能力,考查数形结合、函
数与方程、化归与转化等数学思想.本题满分 10 分.
解:(1)在 △ABC 中, 3a cos B = bsin A ,由正弦定理得 3 sin Acos B = sin B sin A ,···········2 分
= (2 3)2 + 42 − 2× 2 3 × 4× (− 3 ) 2
= 2 13 ················································································· 10 分
18.本小题考查等比数列的通项、数列求和等知识,考查运算求解能力;考查函数与方程、化归与
∴ BD = 4 , ···································································································· 7 分 ∵ AD 是 △ABC 的中线,∴ BC = 8 , ·································································· 8 分 在 △ABC 中,由余弦定理得 AC = AB2 + BC2 − 2AB ⋅ BC cos B ································9 分
解:如图,由双曲线定义得: BF2 − BF1 = 2m ……①,
由椭圆定义得: AF2 + AF1 = 2a ……②,
②-①得: BA + AF1 + BF1 =2a − 2m ; 所以椭圆双曲线“复合”光学装置中,光线从出发到回到左焦点走过的路程为 2a − 2m 对于单椭圆光学装置,光线经过 2 次反射后回到左焦点,路程为
广东省深圳市2018-2019宝安第一外国语学校高二上学期期中考试(理科)数学试卷
宝安第一外国语学校2018—2019学年高二上学期期中考试卷数学(文理)试题全卷满分:150分 考试时间:120分钟一、选择题(每题有四个选项,只有一个是正确的,请把答案涂在答题卡上,共12个小题,每小题5分)1.在等差数列{}n a 中,232,4a a ==,则10a =( )A.12B.14C.16D.10 2.若110b a <<,则下列不等式不成立的是( ) A.11a b a >- B.a b < C.a b > D.22a b <3.在ABC ∆中,60,6,10A b c =︒==,则ABC ∆的面积为( )A.B. C.15 D.304.下列各式中最小值是2的是( ) A.x y y x +C.1tan tan x x +D.22x x -+ 5.在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底俯角分别为30°、60°,则塔高为( ) A.4003米C. D.200米6.已知等比数列前n 项和为n S ,若24S =,416S =,则8S =( )A.160B.64C.64-D.160-7.设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩,则目标函数6z x y =+的最大值为( )A. 4B.40C.2D.188.如果20ax bx c ++>的解集为{}24x x x <->或,则对于函数()2f x ax bx c =++应有( )A.()()()521f f f <<-B.()()()251f f f <<-C.()()()125f f f -<<D.()()()215f f f <-< 9.在ABC ∆中,若cos c A b <,则ABC ∆是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形10.数列{}n a 满足11202121,12n n n n n a a a a a +⎧⎛⎫≤< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-≤< ⎪⎪⎝⎭⎩,若132a =,则2017a =( ) A.15 B.25 C.35 D.4511.已知真闲()2200,0ax by a b +-=>>过点()1,2,则14a b +的最小值是( ) A.8 B.4 C.10 D.912.对于任意实数x 符号[]x 表示不超过x 的最大整数,例如[]33=,[]1.22-=-,[]1.21=.已知数列{}n a 满足[]2log n a n =,其前n 项和为n S ,若0n 是满足2018n S >的最小整数,则0n 的值为( )A.305B.306C.315D.316二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷的横线上).13.不等式2670x x -->的解集是________14.数列{}n a 中,()111,21,2n n a a a n n -==+-≥,则5a =________15.数列{}n a 中,()111,31N n n a a a n *+==+∈,则数列{}n a 的前n 项和n S =_______16.定义12n p p p ++⋅⋅⋅+为n 个正数12,,,n p p p ⋅⋅⋅的“均倒数”,若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +,又14n n a b +=,则122334201720181111b b b b b b b b +++⋅⋅⋅+=_________ 三、解答题:(本大题共70分,要有相应解答过程)17.(本题10分)(本题满分10分)在等差数列{}n a 中,0d <,若234534a a a a +++=,且2552a a ⋅=.(1)求数列{}n a 求数列的通项公式n a .(2)求数列前n 项和Sn 的最大值。
2018-2019学年贵州省遵义市高二(下)期中考试数学试卷(理科)Word版含解析
2018-2019学年贵州省遵义市高二(下)期中考试数学试卷(理科)一.选择题:(每小题5分,60)1.复数z=1﹣i,则=()A.B.C.D.2.已知p:x≥k,q:<1,如果p是q的充分不必要条件,则实数k的取值范围是()A.[2,+∞)B.(2,+∞)C.[1,+∞)D.(﹣∞,﹣1)3.的展开式中常数项是()A.﹣160 B.﹣20 C.20 D.1604.如果f′(x)是二次函数,且f′(x)的图象开口向上,顶点坐标为,那么曲线y=f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是()A.B.C.D.5.设随机变量ξ服从正态分布N(2,9),若P(ξ>c)=P(ξ<c﹣2),则c的值是()A.1 B.2 C.3 D.46.已知椭圆=1(a>5)的两个焦点为F1、F2,且|F1F2|=8,弦AB过点F1,则△ABF2的周长为()A.10 B.20 C.D.7.小明有4枚完全相同的硬币,每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞,且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对,不同的摆法有()A.4种B.5种C.6种D.9种8.给出如下四个命题:①若“p∨q”为真命题,则p、q均为真命题;②“若a>b,则2a>2b﹣1”的否命题为“若a≤b,则2a≤2b﹣1”;③“∀x∈R,x2+x≥1”的否定是“∃x0∈R,x02+x0≤1”;④“x>0”是“x+≥2”的充要条件.其中不正确的命题是()A.①②B.②③C.①③D.③④9.对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x﹣2)f′(x)≤0,则必有()A.f(﹣3)+f(3)<2f(2)B.f(﹣3)+f(7)>2f(2)C.f(﹣3)+f(3)≤2f (2)D.f(﹣3)+f(7)≥2f(2)10.如图,四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD,PD=AD=1,设点CG到平面PAB的距离为d1,点B到平面PAC的距离为d2,则有()A.1<d1<d2B.d1<d2<1 C.d1<1<d2D.d2<d1<111.已知双曲线(a>0,b>0)的焦点F1(﹣c,0)、F2(c,0)(c>0),过F2的直线l交双曲线于A,D两点,交渐近线于B,C两点.设+=,+=,则下列各式成立的是()A.||>|| B.||<|| C.|﹣|=0 D.|﹣|>012.已知函数f(x)=x n+1(n∈N*)的图象与直线x=1交于点P,若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为x n,则log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012的值为()A.1﹣log20132012 B.﹣1C.﹣log20132012 D.1二.填空题:(每小题5分,20)13.由曲线y=sinx,y=cosx与直线x=0,x=所围成的平面图形(下图中的阴影部分)的面积是.14.设F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点P(﹣1,0)的直线l交抛物线C于两点A,B,点Q为线段AB 的中点,若|FQ|=2,则直线l的斜率等于.15.将全体正奇数排成一个三角形数阵如图:按照以上排列的规律,第n行(n≥3)从左向右的第3个数为.16.已知O是△ABC的外心,AB=2a,AC=,∠BAC=120°,若=x+y,则x+y的最小值是.三.解答题:17.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,D是BC的中点.(1)求证:A1B∥平面ADC1;(2)求二面角C1﹣AD﹣C的余弦值.18.已知a,b,c∈R,a2+b2+c2=1.(Ⅰ)求证:|a+b+c|≤;(Ⅱ)若不等式|x﹣1|+|x+1|≥(a﹣b+c)2对一切实数a,b,c恒成立,求实数x的取值范围.19.某商场在店庆日进行抽奖促销活动,当日在该店消费的顾客可参加抽奖.抽奖箱中有大小完全相同的4个小球,分别标有字“生”“意”“兴”“隆”.顾客从中任意取出1个球,记下上面的字后放回箱中,再从中任取1个球,重复以上操作,最多取4次,并规定若取出“隆”字球,则停止取球.获奖规则如下:依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖;不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球,为二等奖;取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖.(Ⅰ)求分别获得一、二、三等奖的概率;(Ⅱ)设摸球次数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.20.已知曲线C:y=e ax.(Ⅰ)若曲线C在点(0,1)处的切线为y=2x+m,求实数a和m的值;(Ⅱ)对任意实数a,曲线C总在直线l:y=ax+b的上方,求实数b的取值范围.21.已知椭圆W:=1,直线l与W相交于M,N两点,l与x轴、y轴分别相交于C、D两点,O为坐标原点.(Ⅰ)若直线l的方程为x+2y﹣1=0,求△OCD外接圆的方程;(Ⅱ)判断是否存在直线l,使得C,D是线段MN的两个三等分点,若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.22.已知函数.(I)当a=1时,求f(x)在x∈[1,+∞)最小值;(Ⅱ)若f(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;(Ⅲ)求证:(n∈N*).2018-2019学年贵州省遵义市高二(下)期中考试数学试卷(理科)参考答案与试题解析一.选择题:(每小题5分,60)1.复数z=1﹣i,则=()A.B.C.D.考点:复数代数形式的乘除运算.专题:计算题.分析:把复数z代入后前一部分采用复数的除法运算,然后在把实部和实部相加,虚部和虚部相加.解答:解:因为z=1﹣i,所以=.故选D.点评:本题考查了复数代数形式的乘除运算,复数的除法采用的是分子分母同时乘以分母的共轭复数,是基础题.2.已知p:x≥k,q:<1,如果p是q的充分不必要条件,则实数k的取值范围是()A.[2,+∞)B.(2,+∞)C.[1,+∞)D.(﹣∞,﹣1)考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题:简易逻辑.分析:求出不等式q的等价条件,根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论.解答:解:∵<1,∴﹣1=<0,即(x﹣2)(x+1)>0,∴x>2或x<﹣1,∵p是q的充分不必要条件,∴k>2,故选:B.点评:本题主要考查充分条件和必要条件的应用,利用不等式之间的关系是解决本题的关键,比较基础.3.的展开式中常数项是()A.﹣160 B.﹣20 C.20 D.160考点:二项式系数的性质.专题:计算题.分析:利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项,令x的指数为0,求出r,进而求出展开式的常数项.解答:解:展开式的通项为T r+1=(﹣2)r C6r x3﹣r令3﹣r=0得r=3所以展开式的常数项为(﹣2)3C63=﹣160故选A点评:本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题.4.如果f′(x)是二次函数,且f′(x)的图象开口向上,顶点坐标为,那么曲线y=f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是()A.B.C.D.考点:导数的几何意义;直线的倾斜角.专题:计算题.分析:由二次函数的图象可知最小值为,再根据导数的几何意义可知k=tanα≥,结合正切函数的图象求出角α的范围.解答:解:根据题意得f′(x)≥则曲线y=f(x)上任一点的切线的斜率k=tanα≥结合正切函数的图象由图可得α∈故选B.点评:本题考查了导数的几何意义,以及利用正切函数的图象求倾斜角,同时考查了数形结合法的应用,本题属于中档题.5.设随机变量ξ服从正态分布N(2,9),若P(ξ>c)=P(ξ<c﹣2),则c的值是()A.1 B.2 C.3 D.4考点:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.专题:计算题;概率与统计.分析:随机变量ξ服从正态分布N(2,9),得到曲线关于x=2对称,根据P(ξ>c)=P(ξ<c﹣2),结合曲线的对称性得到点c与点c﹣2关于点2对称的,从而做出常数c的值得到结果.解答:解:随机变量ξ服从正态分布N(2,9),∴曲线关于x=2对称,∵P(ξ>c)=P(ξ<c﹣2),∴,∴c=3故选:C.点评:本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查概率的性质,是一个基础题.6.已知椭圆=1(a>5)的两个焦点为F1、F2,且|F1F2|=8,弦AB过点F1,则△ABF2的周长为()A.10 B.20 C.D.考点:椭圆的简单性质.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:根据椭圆=1,得出b=5,再由|F1F2|=8,可得c=4,求得a=,运用定义整体求解△ABF2的周长为4a,即可求解.解答:解:由|F1F2|=8,可得2c=8,即c=4,由椭圆的方程=1(a>5)得:b=5,则a==,由椭圆的定义可得,△ABF2的周长为c=|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|BF1|+|BF2|+|AF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=4a=4.故选:D.点评:本题考查了椭圆的方程,定义,整体求解的思想方法,属于中档题.7.小明有4枚完全相同的硬币,每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞,且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对,不同的摆法有()A.4种B.5种C.6种D.9种考点:分类加法计数原理.专题:分类讨论.分析:4枚硬币摆成一摞,应该有3类:(1)正反依次相对,(2)有两枚反面相对,(3)有两枚正面相对;本题(1)(2)满足题意.解答:解:记反面为1,正面为2;则正反依次相对有12121212,21212121两种;有两枚反面相对有21121212,21211212,21212112;共5种摆法,故选B点评:本题考查的是排列组合中的分类计数原理,对于元素较少的可以利用列举法求解;属于基本知识和基本方法的考查.8.给出如下四个命题:①若“p∨q”为真命题,则p、q均为真命题;②“若a>b,则2a>2b﹣1”的否命题为“若a≤b,则2a≤2b﹣1”;③“∀x∈R,x2+x≥1”的否定是“∃x0∈R,x02+x0≤1”;④“x>0”是“x+≥2”的充要条件.其中不正确的命题是()A.①②B.②③C.①③D.③④考点:命题的真假判断与应用.专题:综合题;简易逻辑.分析:①“p∨q”为真命题,p、q二者中只要有一真即可;②写出一个命题的否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论;③直接写出全称命题的否定判断;④利用基本不等式,可得结论.解答:解:①“p∨q”为真命题,p、q二者中只要有一真即可,故不正确;②“若a>b,则2a>2b﹣1”的否命题为“若a≤b,则2a≤2b﹣1”,正确;③“∀x∈R,x2+x≥1”的否定是“∃x0∈R,x02+x0<1”,故不正确;④“x>0”时,“x+≥2”,若“x+≥2”,则“x>0”,∴“x>0”是“x+≥2”的充要条件,故正确.故选:C.点评:本题考查命题的真假判断与应用,考查复合命题的真假判断,考查了命题的否命题、全称命题的否定、充要条件,属于中档题.9.对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x﹣2)f′(x)≤0,则必有()A.f(﹣3)+f(3)<2f(2)B.f(﹣3)+f(7)>2f(2)C.f(﹣3)+f(3)≤2f (2)D.f(﹣3)+f(7)≥2f(2)考点:利用导数研究函数的单调性.专题:导数的综合应用.分析:借助导数知识,根据(x﹣2)f′(x)≥0,判断函数的单调性,再利用单调性,比较函数值的大小即可.解答:解:∵对于R上可导的任意函数f(x),(x﹣2)f′(x)≥0∴有,即当x∈[2,+∞)时,f(x)为增函数,当x∈(﹣∞,2]时,f(x)为减函数∴f(1)≥f(2),f(3)≥f(2)∴f(1)+f(3)≥2f(2)故选:C点评:本题考查了利用导数判断抽象函数单调性,以及利用函数的单调性比较函数值的大小.10.如图,四棱锥P ﹣ABCD 的底面为正方形,PD ⊥底面ABCD ,PD=AD=1,设点CG 到平面PAB 的距离为d 1,点B 到平面PAC 的距离为d 2,则有( )A . 1<d 1<d 2B . d 1<d 2<1C . d 1<1<d 2D . d 2<d 1<1考点: 点、线、面间的距离计算.专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角.分析: 过C 做平面PAB 的垂线,垂足为E ,连接BE ,则三角形CEB 为直角三角形,根据斜边大于直角边,再根据面PAC 和面PAB 与底面所成的二面角,能够推导出d 2<d 1<1.解答: 解:过C 做平面PAB 的垂线,垂足为E ,连接BE ,则三角形CEB 为直角三角形,其中∠CEB=90°,根据斜边大于直角边,得CE <CB ,即d 2<1.同理,d 1<1.再根据面PAC 和面PAB 与底面所成的二面角可知,前者大于后者,所以d 2<d 1.所以d 2<d 1<1.故选D .点评: 本题考查空间距离的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意空间角的灵活运用.11.已知双曲线(a >0,b >0)的焦点F 1(﹣c ,0)、F 2(c ,0)(c >0),过F 2的直线l 交双曲线于A ,D 两点,交渐近线于B ,C 两点.设+=,+=,则下列各式成立的是( )A . ||>||B . ||<||C . |﹣|=0D . |﹣|>0考点: 双曲线的简单性质.专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析: 特殊化,取过F 2垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A ,D 两点,交渐近线于B ,C 两点,可得+==2,+==2,即可得出结论.解答: 解:取过F 2垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A ,D 两点,交渐近线于B ,C 两点,则+==2,+==2,∴|﹣|=0..故选:C点评: 特殊化是我们解决选择、填空题的常用方法.12.已知函数f(x)=x n+1(n∈N*)的图象与直线x=1交于点P,若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为x n,则log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012的值为()A.1﹣log20132012 B.﹣1C.﹣log20132012 D.1考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;数列的函数特性.专题:计算题;导数的概念及应用.分析:先求点P(1,1),再求曲线在点P(1,1)处的切线方程,从而得出切线与x轴的交点的横坐标为x n,再求相应的函数值.解答:解:∵函数f(x)=x n+1(n∈N*)的图象与直线x=1交于点P,∴P(1,1),∵y=x n+1,∴y′=(n+1)x n,当x=1时,y′=n+1,即切线的斜率为:n+1,故y=x n+1在(1,1)处的切线方程为y﹣1=(n+1)(x﹣1),令y=0可得x=,即该切线与x轴的交点的横坐标为x n=,所以log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012=log2013×××…×==﹣1,故选B.点评:本题考查导数的几何意义的应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意利用对数运算的性质求出函数,属中档题.二.填空题:(每小题5分,20)13.由曲线y=sinx,y=cosx与直线x=0,x=所围成的平面图形(下图中的阴影部分)的面积是2﹣2.考点:余弦函数的图象.专题:三角函数的图像与性质.分析:三角函数的对称性可得S=2,求定积分可得.解答:解:由三角函数的对称性和题意可得S=2=2(sinx+cosx)=2(+)﹣2(0+1)=2﹣2故答案为:2﹣2点评:本题考查三角函数的对称性和定积分求面积,属基础题.14.设F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点P(﹣1,0)的直线l交抛物线C于两点A,B,点Q为线段AB 的中点,若|FQ|=2,则直线l的斜率等于不存在.考点:直线与圆锥曲线的关系;直线的斜率.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:由题意设直线l的方程为my=x+1,联立得到y2﹣4my+4=0,△=16m2﹣16=16(m2﹣1)>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0).利用根与系数的关系可得y1+y2=4m,利用中点坐标公式可得=2m,x0=my0﹣1=2m2﹣1.Q(2m2﹣1,2m),由抛物线C:y2=4x得焦点F(1,0).再利用两点间的距离公式即可得出m及k,再代入△判断是否成立即可.解答:解:由题意设直线l的方程为my=x+1,联立得到y2﹣4my+4=0,△=16m2﹣16=16(m2﹣1)>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0).∴y1+y2=4m,∴=2m,∴x0=my0﹣1=2m2﹣1.∴Q(2m2﹣1,2m),由抛物线C:y2=4x得焦点F(1,0).∵|QF|=2,∴,化为m2=1,解得m=±1,不满足△>0.故满足条件的直线l不存在.故答案为不存在.点评:本题综合考查了直线与抛物线的位置关系与△的关系、根与系数的关系、中点坐标关系、两点间的距离公式等基础知识,考查了推理能力和计算能力.15.将全体正奇数排成一个三角形数阵如图:按照以上排列的规律,第n行(n≥3)从左向右的第3个数为n2﹣n+5.考点:归纳推理.专题:探究型.分析:根据数阵的排列规律确定第n行(n≥3)从左向右的第3个数为多少个奇数即可.解答:解:根据三角形数阵可知,第n行奇数的个数为n个,则前n﹣1行奇数的总个数为1+2+3+…+(n ﹣1)=个,则第n行(n≥3)从左向右的第3个数为为第个奇数,所以此时第3个数为:1=n2﹣n+5.故答案为:n2﹣n+5.点评:本题主要考查归纳推理的应用,利用等差数列的通项公式是解决本题的关键.16.已知O是△ABC的外心,AB=2a,AC=,∠BAC=120°,若=x+y,则x+y的最小值是2.考点:向量在几何中的应用.专题:平面向量及应用.分析:建立直角坐标系,求出三角形各顶点的坐标,因为O为△ABC的外心,把AB的中垂线m方程和AC的中垂线n的方程,联立方程组,求出O的坐标,利用已知向量间的关系,待定系数法求x和y的值,最后利用基本不等式求最小值即可.解答:解:如图:以A为原点,以AB所在的直线为x轴,建立直角系:则A(0,0),B (2a,0),C(﹣,),∵O为△ABC的外心,∴O在AB的中垂线m:x=a上,又在AC的中垂线n 上,AC的中点(﹣,),AC的斜率为tan120°=﹣,∴中垂线n的方程为y﹣=(x+).把直线m和n 的方程联立方程组,解得△ABC的外心O(a,+),由条件=x+y,得(a,+)=x(2a,0)+y(﹣,)=(2ax﹣,),∴,解得x=+,y=,∴x+y=++=+()=2.当且仅当a=1时取等号.故答案为:2.点评:本题考查求两条直线的交点坐标的方法,三角形外心的性质,向量的坐标表示及向量相等的条件,待定系数法求参数值.属中档题.三.解答题:17.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,D是BC的中点.(1)求证:A1B∥平面ADC1;(2)求二面角C1﹣AD﹣C的余弦值.考点:用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定;二面角的平面角及求法.专题:综合题.分析:(1)连接A1C,交AC1于点O,连接OD.由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,得四边形ACC1A1为矩形,由此利用三角形中位线能够证明A1B∥平面ADC1.(2)由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,且∠ABC=90°,知BA,BC,BB1两两垂直.由此能求出二面角C1﹣AD﹣C的余弦值.解答:(1)证明:连接A1C,交AC1于点O,连接OD.由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,得四边形ACC1A1为矩形,O为A1C的中点,又D为BC中点,所以OD为△A1BC中位线,所以A1B∥OD,因为OD⊂平面ADC1,A1B⊄平面ADC1,所以A1B∥平面ADC1.…(6分)(2)解:由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,且∠ABC=90°,故BA,BC,BB1两两垂直.以BA为x轴,以BC为y轴,以BB1为z轴,建立空间直角坐标系,∵AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,D是BC的中点,∴可设AA1=1,AB=BC=2,BD=DC=1,∴A(2,0,0),D(0,1,0),C(0,2,0),C1(0,2,1),∴=(﹣2,2,1),,设平面ADC1的法向量为,则,,∴,∴=(1,2,﹣2),∵平面ADC的法向量,所以二面角C1﹣AD﹣C的余弦值为|cos<>|=||=.点评:本题考查直线与平面平行的证明,考查二面角的求法.解题时要认真审题,注意合理地化空间问题为平面问题,注意向量法的合理运用.18.已知a,b,c∈R,a2+b2+c2=1.(Ⅰ)求证:|a+b+c|≤;(Ⅱ)若不等式|x﹣1|+|x+1|≥(a﹣b+c)2对一切实数a,b,c恒成立,求实数x的取值范围.考点:二维形式的柯西不等式;函数恒成立问题.专题:选作题;不等式.分析:(Ⅰ)利用柯西不等式得,(a+b+c)2≤(12+12+12)(a2+b2+c2)=3;(Ⅱ)同理,(a﹣b+c)2≤[12+(﹣1)2+12](a2+b2+c2)=3,问题等价于|x﹣1|+|x+1|≥3.解答:解:(Ⅰ)由柯西不等式得,(a+b+c)2≤(12+12+12)(a2+b2+c2)=3所以﹣≤a+b+c≤所以:|a+b+c|≤;…(5分)(Ⅱ)同理,(a﹣b+c)2≤[12+(﹣1)2+12](a2+b2+c2)=3 …(7分)若不等式|x﹣1|+|x+1|≥(a﹣b+c)2对一切实数a,b,c恒成立,则|x﹣1|+|x+1|≥3,解集为(﹣∞,﹣]∪[,+∞)…(10分)点评:本题考查柯西不等式,考查恒成立问题,正确运用柯西不等式是关键.19.某商场在店庆日进行抽奖促销活动,当日在该店消费的顾客可参加抽奖.抽奖箱中有大小完全相同的4个小球,分别标有字“生”“意”“兴”“隆”.顾客从中任意取出1个球,记下上面的字后放回箱中,再从中任取1个球,重复以上操作,最多取4次,并规定若取出“隆”字球,则停止取球.获奖规则如下:依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖;不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球,为二等奖;取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖.(Ⅰ)求分别获得一、二、三等奖的概率;(Ⅱ)设摸球次数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.考点:离散型随机变量的期望与方差;相互独立事件的概率乘法公式.专题:计算题.分析:(Ⅰ)由题意设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A,B,C,利用独立事件同时发生的概率公式及互斥事件的概率公式即可求得;(Ⅱ)由于摸球次数为ξ,按题意则ξ=1,2,3,4,利用随机变变量的定义及随机变量的分布列及期望定义即可求得.解答:解:(Ⅰ)设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A,B,C.则P(A)=,P(B)==;三等奖的情况有:“生,生,意,兴”;“生,意,意,兴”;“生,意,兴,兴”三种情况.P(C)==;(Ⅱ)设摸球的次数为ξ,则ξ=1,2,3,4.,,,.故取球次数ξ的分布列为ξ 1 2 3 4P=.点评:此题考查了学生的理解及计算能力,考查了独立事件同时发生及互斥事件一个发生的概率公式,还考查了离散型随机变量的定义及分布列,随机变量的期望.20.已知曲线C:y=e ax.(Ⅰ)若曲线C在点(0,1)处的切线为y=2x+m,求实数a和m的值;(Ⅱ)对任意实数a,曲线C总在直线l:y=ax+b的上方,求实数b的取值范围.考点:导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究曲线上某点切线方程.专题:导数的综合应用.分析:(Ⅰ)根据导数的几何意义,y=e ax在x=0处的切线方程为y﹣1=y′(0)x,再比较已知条件,可得;(Ⅱ)原题意可转化为对于∀x,a∈R,e ax>ax+b恒成立,法1:进一步转化为∀x,a∈R,e ax﹣ax﹣b>0恒成立,令g(x)=e ax﹣ax﹣b,分别从a=0和a≠0两种情况通过求导的方式进一步分析;法2:进一步转化为∀x,a∈R,b<e ax﹣ax恒成立,再令t=ax,则等价于∀t∈R,b<e t﹣t恒成立,再通过研究函数g(t)=e t ﹣t的性质求解.解答:解:(Ⅰ)y'=ae ax,因为曲线C在点(0,1)处的切线为L:y=2x+m,所以1=2×0+m且y'|x=0=2.解得m=1,a=2(Ⅱ)法1:对于任意实数a,曲线C总在直线的y=ax+b的上方,等价于∀x,a∈R,都有e ax>ax+b,即∀x,a∈R,e ax﹣ax﹣b>0恒成立,令g(x)=e ax﹣ax﹣b,①若a=0,则g(x)=1﹣b,所以实数b的取值范围是b<1;②若a≠0,g'(x)=a(e ax﹣1),由g'(x)=0得x=0,g'(x),g(x)的情况如下:x (﹣∞,0)0 (0,+∞)g'(x)﹣0 +g(x)↘极小值↗所以g(x)的最小值为g(0)=1﹣b,所以实数b的取值范围是b<1;综上,实数b的取值范围是b<1.法2:对于任意实数a,曲线C总在直线的y=ax+b的上方,等价于∀x,a∈R,都有e ax>ax+b,即∀x,a∈R,b<e ax﹣ax恒成立,令t=ax,则等价于∀t∈R,b<e t﹣t恒成立,令g(t)=e t﹣t,则g'(t)=e t﹣1,由g'(t)=0得t=0,g'(t),g(t)的情况如下:t (﹣∞,0)0 (0,+∞)g'(t)﹣0 +g(t)↘极小值↗所以g(t)=e t﹣t的最小值为g(0)=1,实数b的取值范围是b<1.点评:本题中的导数的几何意义和利用导数研究函数的性质,是高考中经常考查的知识点和方法,特别是第二小问,通过数形转化后,对于“∀x,a∈R,e ax﹣ax﹣b>0恒成立,”的处理介绍了两种方法,对于拓宽学生的思维,拓展学生的思路有一定的指导作用,不过不管是哪种方法,最终都需要用导数的知识来进一步分析.21.已知椭圆W:=1,直线l与W相交于M,N两点,l与x轴、y轴分别相交于C、D两点,O 为坐标原点.(Ⅰ)若直线l的方程为x+2y﹣1=0,求△OCD外接圆的方程;(Ⅱ)判断是否存在直线l,使得C,D是线段MN的两个三等分点,若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.考点:直线与圆锥曲线的综合问题.专题:综合题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:(Ⅰ)由直线l的方程为x+2y﹣1=0,求出C,D的坐标,进而可求△OCD外接圆的圆心与半径,即可求△OCD外接圆的方程;(Ⅱ)存在直线l,使得C,D是线段MN的两个三等分点.设直线l的方程为y=kx+m(km≠0),与椭圆方程联立,由C,D是线段MN的两个三等分点,得线段MN的中点与线段CD的中点重合,利用韦达定理,求出k,由C,D是线段MN的两个三等分点,得|MN|=3|CD|,求出m,即可得出结论.解答:解:(Ⅰ)因为直线l的方程为x+2y﹣1=0,所以与x轴的交点C(1,0),与y轴的交点.…(1分)则线段CD的中点,,…(3分)即△OCD外接圆的圆心为,半径为,所以△OCD外接圆的方程为.…(5分)(Ⅱ)存在直线l,使得C,D是线段MN的两个三等分点.理由如下:由题意,设直线l的方程为y=kx+m(km≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),则,D(0,m),…(6分)由方程组得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0,…(7分)所以△=16k2﹣8m2+8>0,(*)…(8分)由韦达定理,得,.…(9分)由C,D是线段MN的两个三等分点,得线段MN的中点与线段CD的中点重合.所以,…(10分)解得.…(11分)由C,D是线段MN的两个三等分点,得|MN|=3|CD|.所以,…(12分)即,解得.…(13分)验证知(*)成立.所以存在直线l,使得C,D是线段MN的两个三等分点,此时直线l的方程为,或.…(14分)点评:本题考查圆的方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理的运用,考查学生分析解决问题的能力,综合性强.22.已知函数.(I)当a=1时,求f(x)在x∈[1,+∞)最小值;(Ⅱ)若f(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;(Ⅲ)求证:(n∈N*).考点:数学归纳法;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.专题:计算题;证明题.分析:(I)可先求f′(x),从而判断f(x)在x∈[1,+∞)上的单调性,利用其单调性求f(x)在x∈[1,+∞)最小值;(Ⅱ)求h′(x),可得,若f(x)存在单调递减区间,需h′(x)<0有正数解.从而转化为:ax2+2(a﹣1)x+a<0有x>0的解.通过对a分a=0,a<0与当a>0三种情况讨论解得a的取值范围;(Ⅲ)(法一)根据(Ⅰ)的结论,当x>1时,⇒,再构造函数,令,有,从而,问题可解决;(法二)可用数学归纳法予以证明.当n=1时,ln(n+1)=ln2,3ln2=ln8>1⇒,成立;设当n=k 时,,再去证明n=k+1时,即可(需用好归纳假设).解答:解:(I),定义域为(0,+∞).∵,∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.当x≥1时,f(x)≥f(1)=1;(3分)(Ⅱ)∵,∵若f(x)存在单调递减区间,∴f′(x)<0有正数解.即ax2+2(a﹣1)x+a<0有x>0的解.(5分)①当a=0时,明显成立.②当a<0时,y=ax2+2(a﹣1)x+a为开口向下的抛物线,ax2+2(a﹣1)x+a<0总有x>0的解;③当a>0时,y=ax2+2(a﹣1)x+a开口向上的抛物线,即方程ax2+2(a﹣1)x+a=0有正根.因为x1x2=1>0,所以方程ax2+2(a﹣1)x+a=0有两正根.,解得.综合①②③知:.(9分)(Ⅲ)(法一)根据(Ⅰ)的结论,当x>1时,,即.令,则有,∴.∵,∴.(12分)(法二)当n=1时,ln(n+1)=ln2.∵3ln2=ln8>1,∴,即n=1时命题成立.设当n=k时,命题成立,即.∴n=k+1时,.根据(Ⅰ)的结论,当x>1时,,即.令,则有,则有,即n=k+1时命题也成立.因此,由数学归纳法可知不等式成立.(12分)点评:本题考查利用导数研究函数的单调性及数学归纳法,难点之一在于(Ⅱ)中通过求h′(x)后,转化为:ax2+2(a﹣1)x+a<0有x>0的解的问题,再用分类讨论思想来解决;难点之二在于(Ⅲ)中法一通过构造函数,用放缩法证得结论,法二通过数学归纳法,其中也有构造函数的思想,属于难题.。
【高二数学试题精选】2018—2018学年高二数学上册期中调研检测试题(附答案)
2018—2018学年高二数学上册期中调研检测试题(附答案)
5
云南昆明一中
②,得
21、(本小题满分12分)
解(1)分步完成第一步在4个偶数中取3个,可有种情况;
第二步在5个奇数中取4个,可有种情况;
第三步3个偶数,4个奇数进行排列,可有种情况,
所以符合题意的七位数有个.
(2)上述七位数中,三个偶数排在一起的有个.
(3)上述七位数中,偶数都不相邻,可先把4个奇数排好,再将3个偶数分别插入5个空档,共有个
22、(本小题满分12分)
解(1)证明连结,在△ 中,、分别为,的中点,则∥ 又平面,平面∴ ∥平面………
(2)证明
∵ ,
∴ 平面
又平面,∴ ,又∥ ,
∴ …………
(3)解∵ ,∴ ⊥平面,即⊥平面,且
,
,
∴ ,即
= =
5。
最新2018-2019学年高二上学期期中质量检测数学试题
一、单选题(本大题共10小题,每题4分,共计40分)1、已知数列{}的通项公式是)(82*∈+=N n n n a n ,则数列的第4项为 ( ) A .101B .41C . 61D .312、数列1111,,,,24816-- 的一个通项公式是( )A . (1)2nn -B. 12n -C . 1(1)2n n+-D .1(1)2nn +-3、若等差数列满足==-=+221,5,0a a a a n n 则( )A . 5B .25C .27D .234、已知等差数列{}n a 的前项和为,若28,21081=+=a a a ,则=9s( ) A .72B . 36C .144D . 2885、在等比数列{}n a 中,若16,241==a a ,则数列{}n a 的前项和5s 等于( ) A .30B . 31C . 64D . 62 6、若<x ,则xx x ,2,2的大小关系是( )A .x x x >>22B .x xx 22>>C .x xx 22<<D .22x x x <<7、已知集合}{032>-=x x x A ,{}xy x B -==1,则BA ⋂为( )A .(]1,0B .()3,1C . [)3,0D . φ8、不等式032>+-y x 表示的区域在直线032=+-y x 的( ) A . 右上方 B . 右下方 C . 左上方D . 左下方9、已知 y x xy y x y x 4,20,0+=+>>则且的最小值为( )A .4B .27C .29D .510、关于,x y 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+0203203x y x y x ,表示的区域为D ,若区域D 内存在满足3t x y≤-的点,则实数t 的取值范围为( ) A . (],1-∞B . [)1,+∞C . (],5-∞ D . [)5,+∞第II 卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共计20分) 11、函数)1(14>-+=x x x y 的最小值是 _____________. 12、已知实数x,y 满足121040x x y x y ⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≤≤,此不等式组表示的平面区域的面积为 ,13、计算:)12)(12(1......751531311+-++⨯+⨯+⨯n n = 14、等差数列{}n a 中,10120S =,那么29a a += .三、解答题(本大题共4小题,每题10分,共计40分) 15、已知关于x 的不等式0252>-+x ax 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<221x x 。
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1
2018年春期高中二年级期终质量评估
数学试题(理
)
(本试卷满分150分,时间:120分钟)
一.选择题(每小题5分,共60分)
1. 复数i12(i为虚数单位)的共轭复数是
A.1+i B. 1−i C. −1+i D. −1−
i
2.已知变量,xy之间的线性回归方程为0.47.6yx,且变量,xy之间的一组相关数据
如表所示,则下列说法错误的是
x 6 8 10 12
y 6 m 3 2
A.变量,xy之间呈现负相关关系 B.m的值等于5
C.变量,xy之间的相关系数0.4r D.由表格数据知,该回归直线必过点(9,4)
3. 在等差数列na中,如果,,,mnprN,且3mnpr,那么必有
3mnpraaaa
,类比该结论,在等比数列nb中, 如果,,,mnprN,且
3mnpr
,那么必有
A.3mnprbbbb B. 3mnprbbbb C. 3mnprbbbb D. 3mnprbbbb
4.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球。从袋中任取3
个球,所取的3个球颜色不同的概率为
A.31511315110CCCC B. 3153101CC C. 3152511015210CCCCC D.315351CC
5.设1,1~NX,其正态分布密度曲线如图所示,那么向正方
形ABCD中随机投掷10000个点,则落入阴影部分的点的个数的
估计值是
注:若2,~NX,则%26.68XP,
%44.9522XP
A. 7539 B. 6038 C. 7028 D. 6587
6. 已知03cos()2mxdx,则23)mxyz(的展开式中,2mxyz项的系数等于
A. 180 B. 180 C. 90 D. 15
2
7.甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军,若比赛为“三局两胜”制,甲在每局比赛中获胜的
概率均为43,各局比赛结果相互独立且没有平局,则在甲获得冠军的情况下,比赛进行了
三局的概率为
A. 31 B.52 C.32 D.54
8.设0
ξ 0 1 2
P
则当p在(0,1)内增大时
A.D(ξ)减小 B. D(ξ)增大 C. D(ξ)先减小后增大 D. D
(ξ)先增大后减小
9.函数fx与它的导函数fx的图象如图所示,
则函数exfxgx的单调递减区间为
A. 0,4 B. ,1, 4,43
C. 40,3 D. 0,1, 4,
10.已知函数3()3fxxxm,若方程()0fx有两个相异实根12,xx,且120xx,
则实数m的值等于
A. 2或2 B. 2 C. 2 D. 0
11.若,均为非负整数,在做的加法时各位均不进位(例如,),
则称为“简单的”有序对,而称为有序数对的值,那么值为2964的“简单
的”有序对的个数是
A. 525 B. 1050 C. 432 D. 864
12. 若直线yaxb与曲线()ln1fxx相切,则ba的最小值为
A. 21e B. 2e C. e D. 1e
二.填空题(每小题5分,共20分)
13.. 在某班举行的“庆五一”联欢晚会开幕前已排好有8个不同节目的节目单,如果保持
原来的节目相对顺序不变,临时再插进去,,ABC三个不同的新节目,且插进的三个新节目
3
按,,ABC顺序出场,那么共有________种不同的插入方法(用数字作答).
14. 观察下列各式:11,141123,1131121232,
1118
11212312345
,由此可猜想,若
111
1+12123123+10m
,则m__________.
15.假设每一架飞机的每一个引擎在飞行中出现故障的概率均为1p,且各引擎是否有故
障是独立的,已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行,飞机就可成功飞行;2引擎飞机
要2个引擎全部正常运行,飞机才可成功飞行.要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全,则
P
的取值范围是 ________
16.已知函数xxxf2sincos2)(,则fx的最大值是________.
三.解答题(共6小题,满分70分)
17. (本小题满分10分)
已知01ab.
(1)试猜想lnab与lnba的大小关系;
(2)证明(1)中你的结论.
18.(本小题满分12分)
如图所示,在以AB为直径的半圆周上,有异于A,B的六个点C1,C2,…,C6,直径AB上有
异于A,B的四个点D1,D2,D3,D4.则:
(1)以这12个点(包括A,B)中的4个点为顶点,可作出多少个四边形?
(2)以这10个点(不包括A,B)中的3个点为顶点,可作出多少个三角形?
4
19.(本小题满分12分)
为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况,交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调
查,得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为:在30名男性驾驶员中,平均车速超过
hkm/100的有20人,不超过hkm/100
的有10人.在20名女性驾驶员中,平均车速超过
hkm/100的有5人,不超过hkm/100
的有15人.
(1)完成下面的列联表,并判断是否有%5.99的把握认为平均车速超过hkm/100的人与
性别有关;
平均车速超过 hkm/100人数 平均车速不超过
hkm/100
人数
合计
男性驾驶员人数
女性驾驶员人数
合计
(2)以上述数据样本来估计总体,现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随即抽取3辆,
记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过hkm/100的车辆数为,若每次抽取的结果是相
互独立的,求的数学期望。
参考公式:,其中.
参考数据:
0.150 0.100 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
20.(本小题满分12分)
已知2012(2)(1)(1)++(1)(*)nnnxaaxaxaxnN.
⑴求0a及1nniiSa;
⑵试比较nS与223nn的大小,并用数学归纳法证明.
5
21. (本小题满分12分)
某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售
出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与
当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温
位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定
六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40)
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量
n(单位:瓶)为多少时,Y
的数学期望达到最大值?
22.(本小题满分12分)
设Ra,函数)1()(12xaexxfx.
(1)当1a时,求)(xf在2,43上的单调区间;
(2)设函数)1()()(1xexaxfxg,当)(xg有两个极值点)(2121xxxx、时,总有
)(112xfxgx
,求实数的值.