初等数学研究的文化价值挖掘

第３７卷第３期　２０１５年３月　宜春学院学报　

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｙｉｃｈｔｍ　ＣｏＨｅｇｅ　Ｖ０１．３７．Ｎｏ．３　

Ｍ　２０１５　

初等数学研究的文化价值挖掘　李三华　（井冈山大学数理学院数学系，＂２ｒ－￣吉安３４３００９）　

摘要：从文化视角下对初等数学研究内容进行探讨，引导学生把高等数学与初等数学中极易忽视的内容相　互联系、相互呼应，注重学生的个人体验。转变初等数学研究的教学方式，扩大学生的活动探究领域。　关键词：初等数学研究；文化价值；体验　中图分类号：Ｇ４２０文献标识码：Ａ文章编号：１６７１—３８０Ｘ（２０１５）０３—０１２１—０３　

Ｅｘｃａｖａｔｉｎｇ　Ｃｕｌｔｕｒａｌ　Ｖａｌｕｅ　ｏｆ　Ｒｅｓｅａｒｃｈ　ＯＲ　Ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ＬＩ　Ｓａｎ—ｈｕａ，ＬＩＵ　Ｚｈｏｎｇ—ｄｏｎｇ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｊｉｎｇｇａｎｇｓｈａｎ　Ｕｎｉｖｅ￣ｉｔｙ，Ｊｉ’觚３４３００９，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：　Ｉｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｓ　ｔｈｅ　ｒｅｓｅａｒｃｈ　ｃｏｎｔｅｎｔ　ｏｆ　ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ｆｒｏｍ　ｔｈｅ　ｃｕｌｔｕｒａｌ　ｐｅｒｓｐｅｃｔｉｖｅ．ｇｕｉｄｅ　ｓｔｕｄｅｎｔｓ　ｔｏ　ｅａｓｉｌｙ　ｉｇｎｏｒｅ　ｔｈｅ　ｃｏｎｔｅｎｔ　ｏｆ　ｈｉｇｈｅｒ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｍｕｔｕａｌ　ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ，ｍｕｔｕａｌ　ｅｃｈｏ，ｐａｙ　ａｔｔｅｎｔｉｏｎ　ｔｏ　ｓｔｕｄｅｎｔｓ　ｐｅｒｓｏｎａｌ　ｅｘｐｅｄｅｎｃｅ．Ｓｔｕｄｙ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｃｈａｎｇｅ　ｏｆ　ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ｔｅａｃｈｉｎｇ　ｍｅｔｈｏｄｓ，ｅｘｐａｎｄ　ｔｈｅ　ｓｔｕｄｅｎｔｓ　ａｃｔｉｖｉｔｙ　ａｒｅａｓ　ｏｆ　ｉｎｑｕｉｒｙ　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｒｅｓｅａｒｃｈ　ｏｎ　Ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ；Ｃｕｌｔｕｒａｌ　Ｖａｌｕｅ；Ｅｘｐｅｒｉｅｎｃｅ　

在高等院校数学系开设《初等数学研究》这一课程，主　要是为了数学专业的学生将来能从事中学数学教育工作。众　所周知，《初等数学研究》课程旨在“居高临下”地对初等　数学从内容到理论体系、知识结构有一个系统深入的研　究，　虽然这门课程中大多数概念和原理为学生所熟悉，但　是学生学习这门课程的积极性不是很高，总觉得太简单而不　像对待其他数学专业知识那么重视。另外，作为高校教育工　作者有时会把高等数学与初等数学割裂开来，　２　不会考虑到　用高等数学的思想、知识、方法来解决初等数学问题，也不　会考虑把初等数学问题放在数学文化背景下教学，以身试教　为学生作榜样。如此下去，学生在学习这门课程的时候，感　觉自己还是像中学生一样处理初等数学问题，完全不会把所　学的大学高等数学知识进行考虑问题，导致学生的思维能力　回到了中学生时代的原点，更何况谈及学生创新思维能力、　探索能力的培养与陶冶学生数学文化情操。　鉴于以上情况，从文化视角　下对初等数学研究教学　中作了一些深入的改革，主要从高等数学知识在这门课程　中充分挖掘与之相关的初等数学内容并如何调动学生学习　的主动性，更新传统的数学教育观念、转变已有的教学方　式，以符合现代数学教育目的的全面贯彻，即适合社会大　众的需要。　１利用高等数学知识挖掘初等数学研究中容易忽视的内　容。注重学生的个人体验　初等数学是一门综合性学科，涉及了各个方面的数学　知识，其内容看似简单，但与高等数学的牵连极其紧密，　需要高等数学来进行研究解释缘由及发展过程，挖掘它所　蕴含的数学概念内涵和外延、解题思路、数学文化等。因　而在初等数学研究的教学中，结合高等数学的知识，提出　课题，引导学生进行研究及查找文献资料。　１．１　突出数论在初等数学研究的教育文化价值，促使学生　对问题的思考及解决　初等数学研究中一些细小的内容很容易被学生忽视，　认为它们极其简单，其实不然，这些内容表面上看起来确　实显而易见的，但是要学生说出其缘由来，估计很难道出　个一二。这就需要教师利用高等数学来挖掘初等数学研究　中细小内容。　

比如在有理数域中提到分数与小数互化：有理数　，　／／，　

当分母ｎ的质因数只有２和５时，则　可化为有限小数。　１／，　

当分母／＇ｔ含有２和５以外的其它质因数时，则　可化为循　

环小数。这个教学内容一不小心就会跳过，不会被学生注　意到，就算看见了，也不会把它作为一个研究问题去考虑。　因此，这就要求教师对这个内容的处理，如何引导学生进　

一步地探究这个问题的缘由以及相关研究问题。首先，引　导学生把已经学过的数论的相关知识和定理从脑海中回顾　起来，或者作为课堂讨论形式来说明为什么当分母　的质　因数只有２和５时，则　可化为有限小数。而为什么当分　

收稿日期：２０１４—１０—１４　基金项目：江西省教育科学规划项目（１３ＹＢ０５６），井冈山大学校级教改课题（ＸＪＪＧ一１３—１０）。　作者简介：李三华（１９８２一），女，江西吉安人，讲师，硕士，主要从事复分析研究。　

・１２１・　第３期　宜春学院学报　第３７卷　母ｎ含有２和５以外的其它质因数时，则　可化为循环小　数，此时学生会发现循环小数分两种情形，一种是纯循环　小数，另一种是混循环小数，接着提问具备什么条件下，　有理数　是纯循环还是混循环小数呢？然后要利用欧拉定　理和费马定理在研究循环小数的作用，进一步深入说明有　理数　能表成纯循环小数的充分必要条件是ｒ／，与ｌＯ互质　以及当分母ｎ的质因数只有２和５，其他质因数与１Ｏ互质　时，有理数　可以表成混循环小数。在这个过程中，让学　生查询数论资料来分析上述问题，在分析过程中，更能清　楚地认识到同余、简化剩余系的概念及性质，并把这些性　质来理解上述两个著名的定理。用数论的观点，使学生意　识到课本上几行字间都能透出深奥的数学文化知识，使学　生对在中小学时代在头脑中建构的认知结构进行了调整，　对这部分知识的认识提高了层次，同时学习目的性增强了。　利用数论知识指导初等数学研究的教学，学生自身的数学　文化素养也得到了培养，进而更能激发学习的主动性。　１．２初等数学研究也可激发学生对数学文化的情感　目前，数学文化已经逐步进入了大学数学各个学科的　教学中，在初等数学研究的教学也不例外，也需要数学史　融人其中，使教学内容丰富起来，不至于学生仅限于如何　解题而感到疲乏，而且更助于学生理解其他高等数学知识，　学生自身的数学文化素养也得到了进一步的提高。　比如数系的扩充，Ｍ　首先自然数的产生，起源于人类在　生产和生活中的需要。利用多媒体把绳结法和中国古代的　甲骨文记数法展现出来，使学生从视觉上就知道了古代人　们是如何来记数的以及认识我国古代的甲骨文中的“数”　字，左边表示打结的绳，右边是一只手，表示古人用结绳　记数，由此理科的学生也知道“数”是个象形文字。然后　由有理数谈到实数，添了无理数。新数的产生不是一帆风　顺的，正是由于它的发现，打破了毕达哥拉斯的“万物皆　数”信条，　引起了数学界思想的混乱，导致了数学史上的　第一次数学危机。接着当无理数的位置确定后，人们又发　现即使使用全部的有理数和无理数，也不能鳃决代数方程　的求解问题，例如最简单的二次方程　＋１＝０在实数范围　是没有解的。从１２世纪到１６世纪数学史上主要关心的问　题是解决三次方程和四次方程，都要利用到负数平方根，　在那个年代负数本身就是令人怀疑的，负数的平方根就更　加荒谬了，所以有人称负数平方根是“不可捉摸而无用的　东西”。直至１７世纪，“虚数”这个名词由著名数学家笛卡　尔创制，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。虚　数，人们开始称之为“实数的鬼魂”，１６３７年笛卡儿称为　“想像中的数”，后来发现虚数可对应平面上的纵轴，与对　应平面上横轴的实数同样真实。１７７７年瑞士数学家欧拉　（Ｅｕｌｅｒ）开始使用符号ｉ表示虚数的单位，创立了复变函数　论，并把它们应用到水利学、地图绘制学上。１９岁的高斯　通过复数原理，成功解决了正十七边形的尺规作图问题，　同时将直角坐标平面上的点和复数建立了一一对应的关系，　是复数领域的集大成者。至此虚数才广为人知。真是：虚　－１２２・　数不虚。如此看来，数的产生都要经历几个世纪，才被大　众接受，学生由此感觉到每个事物都是来之不易，感受到　数学家们对数学高峰的坚强意志的攀登。利用数学史进行　教学，不但使学生对数学中每个概念有了前前后后的了解，　而且让学生得到了数学文化的熏陶，引导学生把数学家们　对数学追求的精神带到学习当中去。　１．３揭示初等数学研究内容与高等数学知识相互呼应，提　高学生的数学思维品质　大家都知道，利用高等数学知识和方法研究初等数学　的概念、原理、方法和问题，能使学生“居高临下”的学　习，是主动接受信息和创造性思维的产生过程。反过来，　初等数学的研究方法同样会对高等数学知识和方法产生巩　固和启发的作用。　比如实数的概念，初等数学研究中首先给出正实数的　定义：正的十进小数叫做正实数，然后定义实数是正实数、　负实数和０的总称。紧接着介绍有理闭区间套，运用数学　分析的区间套定理说明存在唯一的一个实数。按照这个顺　序讲解的话，学生可能会想这个有理闭区间套定理怎么凭　空产生的呢。不妨先从康托的基本序列说来介绍实数的定　义，它是指有理数的基本序列的等价类称为实数。其基本　思想：把无限小数看作是一个有限小数序列的极限，例如　：１．４，１．４１，１．４１４，１．４１４２，……。再介绍戴德金分　割说：有理数的戴德金分割称为实数，有端点分割称为有　理数，无端点分割称为无理数。它的基本思想是：有理数　在直线上分布是稠密的，但是不连续的，存在“漏洞”。　“洞”是一个无法从自身的结构来定义的概念，但是“洞”　在直线上对其他点起到“分割”的作用。如此这样，学生　自然而然觉得构造有理区问套是有历史依据的，只要取这　个实数的不足近似值和过剩近似值，构成一系列的有理数　列。同时，学生也就明白了数学分析课本中如何会有闭区　间套定理也是现实背景材料的，也致使学生在这方面的数　学思维结构更加巩固和提高。另外，初等数学研究还介绍　实数的加减乘除以及开方都是构造了一系列不同的有理区　间套来进行证明的，学生读到这里，心里也就一切开阔明　亮了，不需要像以前读数学分析中的闭区间套定理只是死　背死理解，那么在此就有很好的实例加以深刻理解。　２转变初等数学研究的教学方式。扩大学生的活动探究领域　初等数学中的各个部分，各个专题的题目都很多，学　生学习它们不可能像中学生一样，仍处于中学时代所学习　的知识、方法来解决问题或者一味地机械做题，使初等数　学脱离了高等数学，无法达到教育的首要目标在于造就能　够创新的人才。这就希望教师精心策划教学内容，结合学　生特点，把教材处理得当，引导学生从被动地接受知识转　变到主动地、创新地组成自己的知识结构，给学生一个活　动探究空间。　２．１　在初等数学研究中引导学生运用数学思维进行探索，　还原数学方法本貌　数学方法是从个别的解题目的过程中，提炼出普遍的、　一般方法，反过来再用数学方法来指导解决具体问题，这