高考数学大一轮总复习 75(1)直线、平面垂直的判定及性质 理(1)
人教版高考数学文科一轮总复习配套课件7.5直线、平面垂直的判定及其性质
(1)证明:AB⊥A1C; (2)若 AB=CB=2,A1C= 6,求三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积.
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考点一
考点二
考点三
考点四
考点五
误区警示
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(1)证明:取 AB 的中点 O,连接 OC,OA1,A1B.因为 CA=CB, 所以 OC⊥AB. 由于 AB=AA1,∠BAA1=60° , 故△AA1B 为等边三角形,所以 OA1⊥AB. 因为 OC∩OA1=O,所以 AB⊥平面 OA1C. 又 A1C⊂平面 OA1C,故 AB⊥A1C. (2)解:由题设知△ABC 与△AA1B 都是边长为 2 的等边三角形,所以 2 OC=OA1= 3.又 A1C= 6,则 A1C2=OC2+O������1 ,故 OA1⊥OC.因为 OC∩ AB=O,所以 OA1⊥平面 ABC,OA1 为三棱柱 ABC-A1B1C1 的高.又△ABC 的面 积 S△ABC= 3,故三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积 V=S△ABC×OA1=3.
与平面垂直.
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2.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义: 两平面相交,如果它们所成的二面角是 面互相垂直. (2)平面与平面垂直的判定定理: 如果一个平面经过另一个平面的一条
直二面角 ,就说这两个平
垂线 ,那么这两个平面互相 α⊥β .
������ ⊥ ������ 垂直.简述为“线面垂直,则面面垂直”,记为: ⇒ ������ ⊂ ������ (3)平面与平面垂直的性质:
①②
(写出所有真命题的序号).
解析:③中 l∥α 也满足;④中 α 与 β 也可能相交.
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5.(2013 浙江镇海中学 5 月模拟)如图△ABC 是等腰直角三角形,其中∠ A=90° ,且 DB⊥BC,∠BCD=30° ,现将△ABC 折起,使得二面角 A-BC-D 为直角, 则下列叙述正确的是
高考数学一轮复习 7.5直线、平面垂直的判定及其性质课件 文
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(1)求解空间几何体的体积的关键是确定线面的位置关系和 数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不 能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法 进行求解．
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(2014·新课标全国卷Ⅰ)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧 面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.
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解析：如图，在平面β内的直线若与α，β的交线a平行，则 有m与之垂直．但却不一定在β内有与m平行的直线，只有当α⊥ β时才存在．
答案：C
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2．PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于 A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是( )
A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC C．AC⊥PB D．PC⊥BC
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(1)CE∥平面PAD； (2)平面EFG⊥平面EMN. 【思路启迪】 (1)利用线线平行证明线面平行；(2)证明 MN⊥平面EFG.
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【证明】 (1)取PA的中点H，连接EH，DH.
因为E为PB的中点， 所以EH∥AB，EH＝12AB.
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又AB∥CD，CD＝12AB， 所以EH∥CD，EH＝CD， 因此四边形DCEH是平行四边形． 所以CE∥DH. 又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，
所以平面EFG⊥平面EMN.
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证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也可 简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体 现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种 转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是 解决这类问题的关键．
高考数学一轮总复习课件：直线、平面垂直的判定及性质
在△B1OC1中，∵C1O⊥OB1，B1O＝2，B1C1＝2 2， ∴C1O＝2. ∴OC12＋OA12＝A1C12，∴OC1⊥OA1， ∵BB1⊥C1O，A1O⊥C1O，BB1∩A1O＝O，∴C1O⊥平面 ABB1A1， 又C1O⊂平面BCC1B1，∴平面BCC1B1⊥平面ABB1A1. 【答案】 略
①证明：平面PBD⊥平面PBC； ②求点D到平面PBC的距离．
【解析】 ①证明：如图，因为PD⊥DC，AD⊥DC， 所以二面角P－DC－A的平面角为∠PDA＝90°，则PD⊥平面 ABCD， 又BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC. 又在平面四边形ABCD中，BD＝ AB2＋AD2 ＝ 2 2， 过B作BE⊥CD，由题意得，E为CD中点，又D为PA中点， 所以PD＝AD＝CE＝DE＝2， 又DE＝AB， 所以BE＝AD＝2，BC＝ CE2＋BE2＝2 2，所以BC2＋BD2＝DC2， 即BD⊥BC，而PD∩BD＝D，BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD， 故BC⊥平面PBD，因为BC⊂平面PBC，所以平面PBD⊥平面PBC.
又因为F为AC的中点， 所以OF∥CC1且OF＝12CC1. 因为E为BB1的中点，所以BE∥CC1且BE＝12CC1. 所以BE∥OF且BE＝OF.
所以四边形BEOF是平行四边形，所以BF∥OE. 因为AB＝CB，F为AC的中点，所以BF⊥AC，所以 OE⊥AC. 因为AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BF，所以OE⊥AA1. 又AA1，AC⊂平面ACC1A1，且AA1∩AC＝A， 所以OE⊥平面ACC1A1. 因为OE⊂平面A1EC，所以平面A1EC⊥平面ACC1A1.
高考数学大一轮复习 第七章 第5节 直线、平面垂直的判定及其性质课件
(2)求异面直线 BC 与 OD 所成角的余弦值．
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【尝试解答】 (1)证明：如图，因为 DO⊥α，AB⊂α， 所以 DO⊥AB.连结 BD，由题设知，△ABD 是正三角形．又 E 是 AB 的中点，所以 DE⊥AB.
而 DO∩DE＝D，故 AB⊥平面 ODE.
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(2)因为 BC//AD，所以 BC 与 OD 所成的角等于 AD 与 OD
所成的角，即∠ADO 是 BC 与 OD 所成的角(或其补角)．
由(1)知，AB⊥平面 ODE，所以 AB⊥OE.
又 DE⊥AB，于是∠DEO 是二面角 α-MN-β 的平面角，
从而∠DEO＝60°.
不妨设 AB＝2，则 AD＝2，易知 DE＝ 3.
在 Rt△DOE 中，DO＝DE·sin 60°＝32.
行于平面 β
B．如果平面 α 不垂直于平面 β，那么平面 α 内一定不存 在直线垂直于平面 β
C．如果平面 α⊥平面 γ，平面 β⊥平面 γ，α∩β＝l，那 么 l⊥平面 γ
D．如果平面 α⊥平面 β，那么平面 α 内所有直线都垂直 于平面 β
【答案】 D
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5．(2013·浙江高考)设 m，n 是两条不同的直线，α，β 是 两个不同的平面( )
第五节 直线、平面垂直的判定及其性质
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[考情展望] 1.本节从内容上考查线线垂直，线面垂直， 面面垂直的判定与应用问题.2.从能力上考查空间想象能力， 逻辑思维能力，考查转化与化归思想的应用能力.3.从题型上 主要以正方体、长方体、棱柱、棱锥等多面体为载体，利用 填空题或解答题的形式进行考查，试题难度一般都是中档难 度，也有少部分试题为中等偏上难度．
《新高考全案》高考数学 75直线、平面垂直的判定与性质课件 人教
一条也垂直于这个平面，即 aa∥ ⊥bα⇒b⊥α.
• (3)直线和平面垂直的性质 • ①性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行． • ②如果一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于平面 内的任意一条直线． • ③过一点有且只有一条直线和已知平面垂直；过一点有且 只有一个平面和已知直线垂直． • ④如果一条直线与两个平面都垂直，那么这两个平面平行 ．
的大小．平面角是直角的二面角叫做
直．二面角
• 3．平面与平面垂直 • (1)定义： • 平面α与平面β相交，如果 所成的二面角是直二面角 ， 称α与β互相垂直，记为 α⊥β . • (2)判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 ，那么这两个平面互相垂直．
• (3)性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面 内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
(3)[解] 因为 PA＝AB＝AD＝2，所以 PB＝PD＝BD＝ 2 2，
• (1)[证明] ∵AC＝BC，M为AB的中点， • ∴CM⊥AB. • ∵PA⊥平面ABC，CM⊂平面ABC， • ∴PA⊥CM. • ∵AB∩PA＝A，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB， • ∴CM⊥平面PAB. • ∵CM⊂平面PCM， • ∴平面PAB⊥平面PCM.
• (2)[ 证 明 ] 由 (1) 知 CM⊥ 平 面 PAB.∵PM⊂ 平 面 PAB ， ∴CM⊥PM. • ∵PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC， • ∴PA⊥AC. • 取PC的中点N，连接MN、AN. • 在Rt△PAC中，点N为斜边PC的中点， • ∴AN＝PN＝NC. • 在Rt△PMC中，点N为斜边PC的中点， • ∴MN＝PN＝NC. • ∴PN＝NC＝AN＝MN. • ∴点N是球O的球心，即线段PC的中点为球O的球心．
【2021】高考数学一轮复习学案：7.5 直线、平面垂直的判定及其性质
第五节直线、平面垂直的判定及其性质知识体系必备知识1.直线与直线垂直(1)定义:若两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点,并且交角为直角,则称这两条直线互相垂直.(2)若一条直线垂直于一个平面,则它就和平面内的任意一条直线垂直.2.直线与平面垂直(1)定义:直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,就说直线l 与平面α互相垂直.(2)判定定理与性质定理:文字语言图形语言符号语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直a,b⊂αa⋂b=O l⊥al⊥b}⇒l⊥α垂直于同一个平面的两条直线平行a⊥αb⊥α}⇒a∥b3.直线和平面所成的角(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角,一条直线垂直于平面,则它们所成的角是直角;一条直线和平面平行或在平面内,则它们所成的角是0°的角.(2)范围:[0,π2 ].4.平面与平面垂直(1)二面角的有关概念:①二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角;②二面角的平面角:在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.(2)平面和平面垂直的定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理:文字语言图形语言符号语言一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直l⊥αl⊂β}⇒α⊥β两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直α⊥βl⊂βα⋂β=a l⊥a}⇒l⊥α5.常用结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.(3)三垂线定理在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.(4)三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.1.易错点:(1)线面垂直的证明中的易错点易忽视面内两条线为相交线这一条件.(2)面面垂直的判定中的易错点直线在面内且垂直于另一平面易忽视.2.注意点:面面垂直的性质定理中的易错点在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误.基础小题1.设α、β、γ为不同的平面,m、n、l为不同的直线,则m⊥β的一个充分条件为( )A.α⊥β,α∩β=l,m⊥lB.α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γC.α⊥γ,β⊥γ,m⊥α⊥α,n⊥β,m⊥α【解析】选中,缺少条件m⊂α,不满足面面垂直的性质定理,不正确.在选项B,C中,平面α与β可能平行或相交,推不出m⊥β.在D中,n⊥α,n⊥β,则α∥β,根据m⊥α,得m⊥β,D正确.2.“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直”,反之可以,所以是必要不充分条件.3.(2021·桂林模拟)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n 满足m∥α,n⊥β,则( )∥l∥n ⊥l⊥n【解析】选C.对于A,m与l可能平行或异面,故A错;对于B,D,m与n可能平行、相交或异面,故B、D错;对于C,因为n⊥β,l⊂β,所以n⊥l,故C正确.4.(教材改编)如图,在三棱锥V-ABC中,∠VAB=∠VAC=∠ABC=90°,则构成三棱锥的四个三角形中直角三角形的个数为()【解析】选D.VA⊥AB VA⊥AC AB⋂AC=A }⇒VA⊥平面ABCBC⊂平面ABC}⇒VA⊥BCAB⊥BC VA⋂AB=A }⇒BC⊥平面VABVB⊂平面VAB}⇒BC⊥VB.所以有4个直角三角形.5.(教材改编)PD垂直于正方形ABCD所在的平面,连接PB,PC,PA,AC,BD,则一定互相垂直的平面有__________对.【解析】由于PD⊥平面ABCD,故平面PAD⊥平面ABCD,平面PDB ⊥平面ABCD,平面PDC⊥平面ABCD,平面PDA⊥平面PDC,平面PAC ⊥平面PDB,平面PAB⊥平面PAD, 平面PBC⊥平面PDC,共7对.答案:76.如果正四棱锥的底面边长为2,侧面积为4√,则它的侧面与底面所成的(锐)二面角的大小为________.【解析】如图,O为底面正方形的中心,据题意易得,该正四棱锥的一个侧面三角形PBC的高PE的长为√2,因此正四棱锥的高PO=√PE2-OE2=1.因为∠PEO的大小为侧面与底面所成的(锐)二面角的大小,所以侧面与底面所成的(锐)二面角的大小为45°.答案:45°。
高考数学大一轮复习第七章立体几何第五节直线平面垂直的判定及其性质课件文
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：根据直线与平面垂直的定义知“直线 a 与平面 M 的
无数条直线都垂直”不能推出“直线 a 与平面 M 垂直”，反
之可以，所以是必要不充分条件．
答案：B
2．(教材习题改编)设 m，n 表示两条不同的直线，α，β 表示两个
不同的平面，下列命题为真命题的是
由(1)知，AC⊥HD′， 又 AC⊥BD，BD∩HD′＝H，所以 AC⊥平面 BHD′， 于是 AC⊥OD′．又 OD′⊥OH，AC∩OH＝O， 所以 OD′⊥平面 ABC．又由EAFC＝DDHO得 EF＝92． 五边形 ABCFE 的面积 S＝12×6×8－12×92×3＝649． 所以五棱锥 D′-ABCFE 的体积 V＝13×649×2 2＝232 2．
平面的垂__线__，则这 定理
两个平面垂直
ll__⊥⊂____αβ__⇒α⊥β
两个平面垂直，则 性质 一个平面内垂直于 定理 交__线__的直线与另一
个平面垂直
α_⊥__β_ αl__⊂∩____ββ__＝__a__⇒l⊥α l_⊥__a_
[小题体验]
1．设 α，β 是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，且 l⊂α，
[通法在握] 判定直线和平面垂直的 4 种方法 (1)利用判定定理； (2)利用判定定理的推论(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)； (3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)； (4)利用面面垂直的性质． 当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另 一个平面．
[演练冲关]
1．(2017·上海六校联考)已知 m 和 n 是两条不同的直线，α
(2)证明：由已知，PA⊥AB，PA⊥CD，因为 AD∥BC，BC＝12AD，所以直线 AB 与 CD 相交， 所以 PA⊥平面 ABCD，所以 PA⊥BD．连接 BM，因为 AD∥BC， BC＝12AD，M 为 AD 的中点，所以 BC∥MD，且 BC＝MD， 所以四边形 BCDM 是平行四边形， 所以 BM＝CD＝12AD，所以 BD⊥AB．又 AB∩AP＝A， 所以 BD⊥平面 PAB． 又 BD⊂平面 PBD，所以平面 PAB⊥平面 PBD．
高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.5 直线、平面垂直的判定与性质 理
第八章 立体几何 8.5 直线、平面垂直的判定与性质 理1．直线与平面垂直 (1)定义如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α垂直． (2)判定定理与性质定理2.直线和平面所成的角 (1)定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角． (2)范围：[0，π2]．3．平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角． (2)平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理【知识拓展】 重要结论：(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l 与平面α内的无数条直线都垂直，则l ⊥α.( × ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行．( × ) (3)直线a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b .( √ ) (4)若α⊥β，a ⊥β⇒a ∥α.( × )(5)若直线a ⊥平面α，直线b ∥α，则直线a 与b 垂直．( √ )1．(教材改编)下列命题中不正确的是( )A ．如果平面α⊥平面β，且直线l ∥平面α，则直线l ⊥平面βB ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥γ 答案 A解析 根据面面垂直的性质，知A 不正确，直线l 可能平行平面β，也可能在平面β内． 2．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的( ) A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.3．(2017·宝鸡质检)对于四面体ABCD，给出下列四个命题：①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD.其中为真命题的是( )A．①② B．②③ C．②④ D．①④答案 D解析①如图，取BC的中点M，连接AM，DM，由AB＝AC⇒AM⊥BC，同理DM⊥BC⇒BC⊥平面AMD，而AD⊂平面AMD，故BC⊥AD.④设A在平面BCD内的射影为O，连接BO，CO，DO，由AB⊥CD ⇒BO⊥CD，由AC⊥BD⇒CO⊥BD⇒O为△BCD的垂心⇒DO⊥BC⇒AD⊥BC.4．(2016·济南模拟)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，G为MC的中点．则下列结论中不正确的是( )A．MC⊥ANB．GB∥平面AMNC．平面CMN⊥平面AMND．平面DCM∥平面ABN答案 C解析显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体，把该几何体放置到正方体中(如图)，取AN的中点H，连接HB，MH，GB，则MC∥HB，又HB⊥AN，所以MC⊥AN，所以A正确；由题意易得GB∥MH，又GB⊄平面AMN，MH⊂平面AMN，所以GB∥平面AMN，所以B正确；因为AB∥CD，DM∥BN，且AB∩BN＝B，CD∩DM ＝D，所以平面DCM∥平面ABN，所以D正确．5．(教材改编)在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．答案(1)外(2)垂解析(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于H，D，G.∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB，又AB⊥PO，PO∩PC＝P，∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB的高．同理可证BD，AH为△ABC底边上的高，即O为△ABC的垂心．题型一 直线与平面垂直的判定与性质例1 (2016·全国甲卷改编)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ＝54，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置．OD ′＝10.证明：D ′H ⊥平面ABCD . 证明 由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD . 又由AE ＝CF 得AE AD ＝CF CD，故AC ∥EF . 因此EF ⊥HD ，从而EF ⊥D ′H .由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4. 由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝14.所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3.于是D ′H 2＋OH 2＝32＋12＝10＝D ′O 2，故D ′H ⊥OH . 又D ′H ⊥EF ，而OH ∩EF ＝H ，且OH ，EF ⊂平面ABCD ， 所以D ′H ⊥平面ABCD .思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；③面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．(2015·江苏)如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC ＝CC 1.设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1＝E .求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.证明(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.题型二平面与平面垂直的判定与性质例2 如图，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．(1)求证：CE ∥平面PAD ； (2)求证：平面EFG ⊥平面EMN . 证明 (1)方法一取PA 的中点H ，连接EH ，DH .又E 为PB 的中点， 所以EH 綊12AB .又CD 綊12AB ，所以EH 綊CD .所以四边形DCEH 是平行四边形，所以CE ∥DH . 又DH ⊂平面PAD ，CE ⊄平面PAD . 所以CE ∥平面PAD . 方法二 连接CF .因为F 为AB 的中点， 所以AF ＝12AB .又CD ＝12AB ，所以AF ＝CD .又AF ∥CD ，所以四边形AFCD 为平行四边形． 因此CF ∥AD ，又CF ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以CF ∥平面PAD .因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点，所以EF ∥PA . 又EF ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ， 所以EF ∥平面PAD .因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面PAD.(2)因为E、F分别为PB、AB的中点，所以EF∥PA.又因为AB⊥PA，所以EF⊥AB，同理可证AB⊥FG.又因为EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG.所以AB⊥平面EFG.又因为M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥CD，又AB∥CD，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG.又因为MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.引申探究1．在本例条件下，证明：平面EMN⊥平面PAC.证明因为AB⊥PA，AB⊥AC，且PA∩AC＝A，所以AB⊥平面PAC.又MN∥CD，CD∥AB，所以MN∥AB，所以MN⊥平面PAC.又MN⊂平面EMN，所以平面EMN⊥平面PAC.2．在本例条件下，证明：平面EFG∥平面PAC.证明因为E，F，G分别为PB，AB，BC的中点，所以EF∥PA，FG∥AC，又EF⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以EF∥平面PAC.同理，FG∥平面PAC.又EF∩FG＝F，所以平面EFG∥平面PAC.思维升华(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．(2016·江苏)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F 在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明(1)由已知，DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，又由三棱柱的性质可得AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，又∵DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，∴DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，又∵A1B1⊥A1C1，且A1B1∩AA1＝A1，∴A1C1⊥平面ABB1A1，∵B1D⊂平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1D，又∵A1F⊥B1D，且A1F∩A1C1＝A1，∴B1D⊥平面A1C1F，又∵B1D⊂平面B1DE，∴平面B1DE⊥平面A1C1F.题型三垂直关系中的探索性问题例3 如图，在三棱台ABC－DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由．(1)证明在三棱台ABC－DEF中，AC∥DF，AC⊂平面ACE，DF⊄平面ACE，∴DF∥平面ACE.又∵DF ⊂平面DEF ，平面ACE ∩平面DEF ＝a ， ∴DF ∥a .(2)解 线段BE 上存在点G ，且BG ＝13BE ，使得平面DFG ⊥平面CDE .证明如下：取CE 的中点O ，连接FO 并延长交BE 于点G ， 连接GD ，GF ，∵CF ＝EF ，∴GF ⊥CE .在三棱台ABC －DEF 中，AB ⊥BC ⇒DE ⊥EF . 由CF ⊥平面DEF ⇒CF ⊥DE .又CF ∩EF ＝F ，∴DE ⊥平面CBEF ，∴DE ⊥GF .⎭⎪⎬⎪⎫GF ⊥CEGF ⊥DE CE ∩DE ＝E ⇒GF ⊥平面CDE . 又GF ⊂平面DFG ，∴平面DFG ⊥平面CDE . 此时，如平面图所示，延长CB ，FG 交于点H ，∵O 为CE 的中点，EF ＝CF ＝2BC ， 由平面几何知识易证△HOC ≌△FOE ， ∴HB ＝BC ＝12EF .由△HGB ∽△FGE 可知BG GE ＝12，即BG ＝13BE .思维升华 同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明．(2016·北京东城区模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，M为棱AC的中点．AB＝BC，AC＝2，AA1＝ 2.(1)求证：B1C∥平面A1BM；(2)求证：AC1⊥平面A1BM；(3)在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此时BNBB1的值；如果不存在，请说明理由．(1)证明连接AB1与A1B，两线交于点O，连接OM，在△B1AC中，∵M，O分别为AC，AB1中点，∴OM∥B1C，又∵OM⊂平面A1BM，B1C⊄平面A1BM，∴B1C∥平面A1BM.(2)证明∵侧棱AA1⊥底面ABC，BM⊂平面ABC，∴AA1⊥BM，又∵M为棱AC中点，AB＝BC，∴BM⊥AC.∵AA1∩AC＝A，∴BM⊥平面ACC1A1，∴BM⊥AC1.∵AC＝2，∴AM＝1.又∵AA1＝2，∴在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，tan∠AC1C＝tan∠A1MA＝ 2.∴∠AC1C＝∠A1MA，即∠AC1C＋∠C1AC＝∠A1MA＋∠C1AC＝90°，∴A1M⊥AC1.∵BM∩A1M＝M，∴AC1⊥平面A1BM.(3)解 当点N 为BB 1中点，即BN BB 1＝12时， 平面AC 1N ⊥平面AA 1C 1C . 证明如下：设AC 1中点为D ，连接DM ，DN .∵D ，M 分别为AC 1，AC 中点， ∴DM ∥CC 1，且DM ＝12CC 1.又∵N 为BB 1中点，∴DM ∥BN ，且DM ＝BN ， ∴四边形BNDM 为平行四边形， ∴BM ∥DN ，∵BM ⊥平面ACC 1A 1，∴DN ⊥平面ACC 1A 1. 又∵DN ⊂平面AC 1N ，∴平面AC 1N ⊥平面AA 1C 1C .17．立体几何证明问题中的转化思想典例 (12分)如图所示，M ，N ，K 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AB ，CD ，C 1D 1的中点．求证：(1)AN ∥平面A 1MK ； (2)平面A 1B 1C ⊥平面A 1MK .思想方法指导 (1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础．证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；(3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范．规范解答证明(1)如图所示，连接NK.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，∵四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，C1D1∥CD，C1D1＝CD.[2分]∵N，K分别为CD，C1D1的中点，∴DN∥D1K，DN＝D1K，∴四边形DD1KN为平行四边形，[3分]∴KN∥DD1，KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN，∴四边形AA1KN为平行四边形，∴AN∥A1K.[4分]∵A1K⊂平面A1MK，AN⊄平面A1MK，∴AN∥平面A1MK.[6分](2)如图所示，连接BC1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1. ∵M，K分别为AB，C1D1的中点，∴BM∥C1K，BM＝C1K，∴四边形BC1KM为平行四边形，∴MK∥BC1.[8分]在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK.∵四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C.[10分]∴MK⊥B1C.∵A1B1⊂平面A1B1C，B1C⊂平面A1B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴MK⊥平面A1B1C. 又∵MK⊂平面A1MK，∴平面A1B1C⊥平面A1MK.[12分]1．若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝直线l，则( )A．垂直于平面β的平面一定平行于平面αB．垂直于直线l的直线一定垂直于平面αC．垂直于平面β的平面一定平行于直线lD．垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直答案 D解析对于A，垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A错误；对于B，垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内，故B错误；对于C，垂直于平面β的平面与直线l平行或相交，故C错误；易知D正确．2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β答案 D解析A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中，m与n可平行、可异面；C中，若α∥β，仍然满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，故C错误；故选D.3．(2016·包头模拟)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1垂直底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是( )A．CC1与B1E是异面直线B．AC⊥平面ABB1A1C．AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1D．A1C1∥平面AB1E答案 C解析A不正确，因为CC1与B1E在同一个侧面中，故不是异面直线；B不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在AC⊥平面ABB1A1；C正确，因为AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D不正确，因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故A1C1∥平面AB1E不正确，故选C.4．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD⊥AC；②△BAC是等边三角形；③三棱锥D－ABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的是( )A．①②④ B．①②③C．②③④ D．①③④答案 B解析由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正确；由①知④错．故选B.5.如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M 为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是( )A．①② B．①②③C．① D．②③答案 B解析对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA，∵PA⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，∴OM∥平面PAC；对于③，由①知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确．6.如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC和△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________；与AP垂直的直线有________．答案 AB 、BC 、AC AB解析 ∵PC ⊥平面ABC ，∴PC 垂直于直线AB ，BC ，AC ；∵AB ⊥AC ，AB ⊥PC ，AC ∩PC ＝C ，∴AB ⊥平面PAC ，∴与AP 垂直的直线是AB .7.如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E .要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为________．答案 12解析 设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ， 所以AB 1⊥DF .由已知可得A 1B 1＝2，设Rt△AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ， 则DE ＝12h .又2×2＝h 22＋22，所以h ＝233，DE ＝33.在Rt△DB 1E 中，B 1E ＝222－332＝66. 由面积相等得66× x 2＋222＝22x ， 得x ＝12.8.如图，PA ⊥圆O 所在的平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上的一点，E ，F 分别是点A 在PB ，PC 上的射影，给出下列结论：①AF ⊥PB ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC . 其中正确结论的序号是________． 答案 ①②③解析 由题意知PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥BC . 又AC ⊥BC ，且PA ∩AC ＝A ， ∴BC ⊥平面PAC ，∴BC ⊥AF . ∵AF ⊥PC ，且BC ∩PC ＝C ， ∴AF ⊥平面PBC ，∴AF ⊥PB ，又AE ⊥PB ，AE ∩AF ＝A ， ∴PB ⊥平面AEF ，∴PB ⊥EF . 故①②③正确．9．(2016·保定模拟)如图，在直二面角α－MN －β中，等腰直角三角形ABC 的斜边BC ⊂α，一直角边AC ⊂β，BC 与β所成角的正弦值为64，则AB 与β所成的角是________．答案π3解析 如图所示，作BH ⊥MN 于点H ，连接AH ，则BH ⊥β，∠BCH 为BC 与β所成的角． ∵sin∠BCH ＝64＝BH BC， 设BC ＝1，则BH ＝64. ∵△ABC 为等腰直角三角形，∴AC ＝AB ＝22，∴AB 与β所成的角为∠BAH .∴sin∠BAH ＝BH AB＝6422＝32， ∴∠BAH ＝π3.10．(2016·全国乙卷)如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，平面ABEF 为正方形，AF ＝2FD，∠AFD ＝90°，且二面角DAFE 与二面角CBEF 都是60°.(1)证明：平面ABEF ⊥EFDC ； (2)求二面角EBCA 的余弦值．(1)证明 由已知可得AF ⊥DF ，AF ⊥FE ，DF ∩FE ＝F ， 所以AF ⊥平面EFDC ， 又AF ⊂平面ABEF ， 故平面ABEF ⊥平面EFDC .(2)解过D 作DG ⊥EF ，垂足为G ，由(1)知DG ⊥平面ABEF .以G 为坐标原点，GF →的方向为x 轴正方向，|GF →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz .由(1)知∠DFE 为二面角DAFE 的平面角，故∠DFE ＝60°，则|DF |＝2，|DG |＝3，可得A (1,4,0)，B (－3,4,0)，E (－3,0,0)，D (0,0，3)． 由已知，AB ∥EF ，AB ⊄平面EFDC ，EF ⊂平面EFDC ， 所以AB ∥平面EFDC ， 又平面ABCD ∩平面EFDC ＝CD ， 故AB ∥CD ，CD ∥EF ，由BE ∥AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，所以∠CEF 为二面角CBEF 的平面角，∠CEF ＝60°， 从而可得C (－2,0，3)．所以EC →＝(1,0，3)，EB →＝(0,4,0)，AC →＝(－3，－4，3)，AB →＝(－4,0,0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BCE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EC →＝0，n ·EB →＝0，即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，4y ＝0.所以可取n ＝(3,0，－3)．设m 是平面ABCD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC →＝0，m ·AB →＝0.同理可取m ＝(0，3，4)，则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－21919.故二面角EBCA 的余弦值为－21919. 11．如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，AB ＝2，BC ＝EF ＝1，AE ＝6，DE ＝3，∠BAD ＝60°，G 为BC 的中点．(1)求证：FG ∥平面BED ； (2)求证：平面BED ⊥平面AED ；(3)求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值． (1)证明 如图，取BD 的中点O ，连接OE ，OG .在△BCD 中，因为G 是BC 的中点， 所以OG ∥DC 且OG ＝12DC ＝1.又因为EF ∥AB ，AB ∥DC ， 所以EF ∥OG 且EF ＝OG ，所以四边形OGFE 是平行四边形，所以FG ∥OE .又FG ⊄平面BED ，OE ⊂平面BED ， 所以FG ∥平面BED .(2)证明 在△ABD 中，AD ＝1，AB ＝2，∠BAD ＝60°， 由余弦定理可得BD ＝3，进而∠ADB ＝90°， 即BD ⊥AD .又因为平面AED ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 平面AED ∩平面ABCD ＝AD ， 所以BD ⊥平面AED . 又因为BD ⊂平面BED ， 所以平面BED ⊥平面AED .(3)解 因为EF ∥AB ，所以直线EF 与平面BED 所成的角即为直线AB 与平面BED 所成的角． 过点A 作AH ⊥DE 于点H ，连接BH .又平面BED ∩平面AED ＝ED ， 由(2)知AH ⊥平面BED ，所以直线AB 与平面BED 所成的角即为∠ABH . 在△ADE 中，AD ＝1，DE ＝3，AE ＝6，由余弦定理得cos∠ADE ＝23，所以sin∠ADE ＝53，因此，AH ＝AD ·sin∠ADE ＝53. 在Rt△AHB 中，sin∠ABH ＝AH AB ＝56. 所以直线EF 与平面BED 所成角的正弦值为56. 12．在直角梯形SBCD 中，∠D ＝∠C ＝π2，BC ＝CD ＝2，SD ＝4，A 为SD 的中点，如图(1)所示，将△SAB 沿AB 折起，使SA ⊥AD ，点E 在SD 上，且SE ＝13SD ，如图(2)所示．(1)求证：SA ⊥平面ABCD ；(2)求二面角E －AC －D 的正切值．(1)证明 由题意，知SA ⊥AB ，又SA ⊥AD ，AB ∩AD ＝A ，所以SA ⊥平面ABCD .(2)解 在AD 上取一点O ，使AO ＝13AD ， 连接EO ，如图所示．又SE ＝13SD ，所以EO ∥SA . 所以EO ⊥平面ABCD .过O 作OH ⊥AC 交AC 于H ，连接EH ，则AC ⊥平面EOH ， 所以AC ⊥EH ，所以∠EHO 为二面角E －AC －D 的平面角．已知EO ＝23SA ＝43. 在Rt△AHO 中，∠HAO ＝45°，OH ＝AO ·sin 45°＝23×22＝23. tan∠EHO ＝EO OH ＝22，即二面角E －AC －D 的正切值为2 2.。
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1
04迎战2年高考模拟
1. [2012·安徽高考]设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平
面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析：若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得
b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，一定有b⊥a
，但不能保证
b⊥α，所以不能推出α⊥β
.
答案：A
2. [2013·广东高考]设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中
正确的是( )
A. 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
B. 若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
C. 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β
D. 若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
解析：选项A中，m与n还可能平行或异面，故不正确；
选项B中，m与n还可能异面，故不正确；
选项C中，α与β还可能平行或相交，故不正确；
选项D中，∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α.
又n∥β，∴α⊥β.故选D.
答案：D
3. [2014·深圳调研]如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则
下列正确的是( )
A. 平面ABC⊥平面ABD
B. 平面ABD⊥平面BDC
C. 平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D. 平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
解析：因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.
2
因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平
面BDE，所以选C.
答案：C
4. [2013·北京高考]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到
各顶点的距离的不同取值有( )
A. 3个 B. 4个
C. 5个 D. 6个
解析：过P作平面A1B1C1D1、ABCD的垂线分别交D1B1、DB于E、F点，易知P也是EF的三等
分点，设正方体的棱长为a，则PA1＝PC1＝a；PD1＝233a；PB＝33a；PB1＝63a，PA＝PC＝
6
3
a；PD＝a
.故有4个不同的值．故选B.
3
答案：B
5. [2014·南通调研]设α，β是空间内两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条
不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作
为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用序号表示)．
解析：将①③④作为条件，可结合长方体进行证明，即从长方体的一个顶点出发的两条棱与
其对面垂直，这两个对面互相垂直，故①③④⇒②；对于②③④⇒①，可仿照前面的例子说
明．
答案：①③④⇒②(或②③④⇒①)