【真卷】2018年上海市黄浦区中考数学一模试卷及解析PDF(解析版)
[真卷]2018年上海市奉贤区中考数学一模试卷含参考答案
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2018年上海市奉贤区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）下列函数中是二次函数的是（）A．y=2（x﹣1）B．y=（x﹣1）2﹣x2 C．y=a（x﹣1）2D．y=2x2﹣12．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=2，cosA=，那么AB的长是（）A．3 B．C．D．3．（4分）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD：BD=1：3，那么下列条件中能够判断DE∥BC的是（）A．B．C．D．4．（4分）设n为正整数，为非零向量，那么下列说法不正确的是（）A．表示n个相乘B．表示n个相加C．与是平行向量D．与互为相反向量5．（4分）如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A、D、B 在同一条直线上），设∠CAB=α，那么拉线BC的长度为（）A．B．C．D．6．（4分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：那么关于它的图象，下列判断正确的是（）A．开口向上B．与x轴的另一个交点是（3，0）C．与y轴交于负半轴D．在直线x=1的左侧部分是下降的二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知5a=4b，那么=．8．（4分）计算：tan60°﹣cos30°=．9．（4分）如果抛物线y=ax2+5的顶点是它的最低点，那么a的取值范围是．10．（4分）如果抛物线y=2x2与抛物线y=ax2关于x轴对称，那么a的值是．11．（4分）如果向量、、满足关系式4﹣（﹣）=，那么=．（用向量表示）12．（4分）某快递公司十月份快递件数是10万件，如果该公司第四季度每个月快递件数的增长率都为x（x＞0），十二月份的快递件数为y万件，那么y关于x 的函数解析式是．13．（4分）如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，已知=，则的值为．14．（4分）如果两个相似三角形的面积的比是4：9，那么它们对应的角平分线的比是．15．（4分）如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，如果S=2S△AOD，AB=10，那么CD的长是．△AOB16．（4分）已知AD、BE是△ABC的中线，AD、BE相交于点F，如果AD=6，那么AF的长是．17．（4分）如图，在△ABC中，AB=AC，AH⊥BC，垂足为点H，如果AH=BC，那么sin∠BAC的值是．18．（4分）已知△ABC，AB=AC，BC=8，点D、E分别在边BC、AB上，将△ABC 沿着直线DE翻折，点B落在边AC上的点M处，且AC=4AM，设BD=m，那么∠ACB的正切值是．（用含m的代数式表示）三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）已知抛物线y=﹣2x2﹣4x+1．（1）求这个抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）将这个抛物线平移，使顶点移到点P（2，0）的位置，写出所得新抛物线的表达式和平移的过程．20．（10分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，AD=2，点E是边BC的中点，AE、BD相交于点F，过点F作FG∥BC，交边DC于点G．（1）求FG的长；（2）设=，=，用的线性组合表示．21．（10分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=，cot∠ABC=，点D是AC的中点．（1）求线段BD的长；（2）点E在边AB上，且CE=CB，求△ACE的面积．22．（10分）如图，为了将货物装入大型的集装箱卡车，需要利用传送带AB将货物从地面传送到高1.8米（即BD=1.8米）的操作平台BC上．已知传送带AB 与地面所成斜坡的坡角∠BAD=37°．（1）求传送带AB的长度；（2）因实际需要，现在操作平台和传送带进行改造，如图中虚线所示，操作平台加高0.2米（即BF=0.2米），传送带与地面所成斜坡的坡度i=1：2．求改造后传送带EF的长度．（精确到0.1米）（参考数值：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈2.24）23．（12分）已知：如图，四边形ABCD，∠DCB=90°，对角线BD⊥AD，点E是边AB的中点，CE与BD相交于点F，BD2=AB•BC（1）求证：BD平分∠ABC；（2）求证：BE•CF=BC•EF．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），经过点A的射线AM与y轴相交于点E，与抛物线的另一个交点为F，且．（1）求这条抛物线的表达式，并写出它的对称轴；（2）求∠FAB的余切值；（3）点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，点P是y轴上一点，且∠AFP=∠DAB，求点P的坐标．25．（14分）已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，AD=CD=2，点E 在边AD上（不与点A、D重合），∠CEB=45°，EB与对角线AC相交于点F，设DE=x．（1）用含x的代数式表示线段CF的长；（2）如果把△CAE的周长记作C△CAE ，△BAF的周长记作C△BAF，设=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当∠ABE的正切值是时，求AB的长．2018年上海市奉贤区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）下列函数中是二次函数的是（）A．y=2（x﹣1）B．y=（x﹣1）2﹣x2 C．y=a（x﹣1）2D．y=2x2﹣1【解答】解：A、y=2x﹣2，是一次函数，B、y=（x﹣1）2﹣x2=﹣2x+1，是一次函数，C、当a=0时，y=a（x﹣1）2不是二次函数，D、y=2x2﹣1是二次函数．故选：D．2．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=2，cosA=，那么AB的长是（）A．3 B．C．D．【解答】解：∵cosA=，∴AB=，故选A3．（4分）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD：BD=1：3，那么下列条件中能够判断DE∥BC的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵AD：BD=1：3，∴，∴当时，，∴DE∥BC，故C选项能够判断DE∥BC；而A，B，D选项不能判断DE∥BC；故选：C．4．（4分）设n为正整数，为非零向量，那么下列说法不正确的是（）A．表示n个相乘B．表示n个相加C．与是平行向量D．与互为相反向量【解答】解：A、n表示n个相加，错误；B、表示n个相加，正确；C、n与是平行向量，正确；D、﹣n与互为相反向量，正确；故选A5．（4分）如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A、D、B 在同一条直线上），设∠CAB=α，那么拉线BC的长度为（）A．B．C．D．【解答】解：∵∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠CAD=∠BCD，在Rt△BCD中，∵cos∠BCD=，∴BC==，故选：B．6．（4分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：那么关于它的图象，下列判断正确的是（）A．开口向上B．与x轴的另一个交点是（3，0）C．与y轴交于负半轴D．在直线x=1的左侧部分是下降的【解答】解：A、由表格知，抛物线的顶点坐标是（1，4）．故设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4．将（﹣1，0）代入，得a（﹣1﹣1）2+4=0，解得a=﹣1．∵a=﹣1＜0，∴抛物线的开口方向向下，故本选项错误；B、抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴是x=1，则抛物线与x轴的另一个交点是（3，0），故本选项正确；C、由表格知，抛物线与y轴的交点坐标是（0，3），即与y轴交于正半轴，故本选项错误；D、抛物线开口方向向下，对称轴为x=1，则在直线x=1的左侧部分是上升的，故本选项错误；故选：B．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知5a=4b，那么=．【解答】解：∵5a=4b，∴a=b，∴==．故答案为：．8．（4分）计算：tan60°﹣cos30°=．【解答】解：原式=﹣=．故答案为：．9．（4分）如果抛物线y=ax2+5的顶点是它的最低点，那么a的取值范围是a ＞0．【解答】解：∵抛物线y=ax2+5的顶点是它的最低点，∴a＞0，故答案为a＞0．10．（4分）如果抛物线y=2x2与抛物线y=ax2关于x轴对称，那么a的值是﹣2．【解答】解：∵抛物线y=2x2与抛物线y=ax2关于x轴对称，∴两抛物线开口大小不变，方向相反，∴a=﹣2．故答案为：﹣2．11．（4分）如果向量、、满足关系式4﹣（﹣）=，那么=﹣4．向量表示）【解答】解：∵4﹣（﹣）=，∴4﹣+=，∴=﹣4．故答案为=﹣4．12．（4分）某快递公司十月份快递件数是10万件，如果该公司第四季度每个月快递件数的增长率都为x（x＞0），十二月份的快递件数为y万件，那么y关于x 的函数解析式是y=10（x+1）2．【解答】解：根据题意得：y=10（x+1）2，故答案为：y=10（x+1）213．（4分）如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，已知=，则的值为．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴=，∵=，∴=；故答案为：．14．（4分）如果两个相似三角形的面积的比是4：9，那么它们对应的角平分线的比是2：3．【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是4：9，∴这两个相似三角形的相似比是2：3，∵其对应角平分线的比等于相似比，∴它们对应的角平分线比是2：3．故答案为2：3．15．（4分）如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，如果S=2S△AOD，AB=10，那么CD的长是5．△AOB【解答】解：∵S=2S△AOD，△AOB∴OD：OB=1：2，∵AB∥CD，∴△AOB∽△COD，∴，即，∴CD=5，故答案为：5．16．（4分）已知AD、BE是△ABC的中线，AD、BE相交于点F，如果AD=6，那么AF的长是4．【解答】解：∵AD、BE是△ABC的中线，∴点F是△ABC的重心，∴AF=AD=4，故答案为：4．17．（4分）如图，在△ABC中，AB=AC，AH⊥BC，垂足为点H，如果AH=BC，那么sin∠BAC的值是．【解答】解：如图，过点B作BD⊥AC于D，设AH=BC=2x，∵AB=AC，AH⊥BC，∴BH=CH=BC=x，根据勾股定理得，AC===x，S△ABC=BC•AH=AC•BD，即•2x•2x=•x•BD，解得BC=x，所以，sin∠BAC===．故答案为：．18．（4分）已知△ABC，AB=AC，BC=8，点D、E分别在边BC、AB上，将△ABC 沿着直线DE翻折，点B落在边AC上的点M处，且AC=4AM，设BD=m，那么∠ACB的正切值是．（用含m的代数式表示）【解答】解：如图所示：作AH⊥BC，MG⊥BC，连结EM、MC．∵AB=AC，BC=8，AH⊥BC，∴CH=4．∵AC=4AM，∴CM：AC=3：4．∵AH∥MG，∴==，即=，解得：CG=3．∴BG=5．∴DG=m﹣5．由翻折的性质可知MD=BD=m．在Rt△MGD中，依据勾股定理可知：MG==．∴tan∠ACB==．故答案为：．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）已知抛物线y=﹣2x2﹣4x+1．（1）求这个抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）将这个抛物线平移，使顶点移到点P（2，0）的位置，写出所得新抛物线的表达式和平移的过程．【解答】解：（1）y=﹣2x2﹣4x+1，=﹣2（x2+2x+1）+2+1，=﹣2（x+1）2+3，所以，对称轴是直线x=﹣1，顶点坐标为（﹣1，3）；（2）∵新顶点P（2，0），∴y=﹣2（x﹣2）2，∵2﹣（﹣1）=2+1=3，0﹣3=﹣3，∴平移过程为：向右平移3个单位，向下平移3个单位．20．（10分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，AD=2，点E是边BC的中点，AE、BD相交于点F，过点F作FG∥BC，交边DC于点G．（1）求FG的长；（2）设=，=，用的线性组合表示．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=2，AD∥BC，∵BE=EC，∴==，∵FG∥BC，∴==，∴FG=BC=．（2）∵=+=+，∵BE∥AD，∴AF：AE=DF：DB=2：3，∴==+．21．（10分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=，cot∠ABC=，点D是AC的中点．（1）求线段BD的长；（2）点E在边AB上，且CE=CB，求△ACE的面积．【解答】解：（1）Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=，cot∠ABC=，∴AC=，∵点D是AC的中点，∴CD=AC=，∴Rt△BCD中，BD==；（2）如图，过C作CH⊥AB于H，∵BC=，cot∠ABC=，∴CH=，BH=2，∵CE=CB，∴EH=BH=1，∵∠ACB=90°，BC=，AC=，∴AB=3，∴AE=3﹣2=1，∴△ACE的面积=×AE×CH=×1×=．22．（10分）如图，为了将货物装入大型的集装箱卡车，需要利用传送带AB将货物从地面传送到高1.8米（即BD=1.8米）的操作平台BC上．已知传送带AB 与地面所成斜坡的坡角∠BAD=37°．（1）求传送带AB的长度；（2）因实际需要，现在操作平台和传送带进行改造，如图中虚线所示，操作平台加高0.2米（即BF=0.2米），传送带与地面所成斜坡的坡度i=1：2．求改造后传送带EF的长度．（精确到0.1米）（参考数值：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈2.24）【解答】解：（1）在直角△ABD中，∵∠ADB=90°，∠BAD=37°，BD=1.8米，∴AB=≈=3（米）．答：传送带AB的长度约为3米；（2）∵DF=BD+BF=1.8+0.2=2米，斜坡EF的坡度i=1：2，∴=，∴DE=2DF=4米，∴EF===2≈4.5（米）．答：改造后传送带EF的长度约为4.5米．23．（12分）已知：如图，四边形ABCD，∠DCB=90°，对角线BD⊥AD，点E是边AB的中点，CE与BD相交于点F，BD2=AB•BC（1）求证：BD平分∠ABC；（2）求证：BE•CF=BC•EF．【解答】证明：（1）∵∠DCB=90°，BD⊥AD，∴∠ADB=∠DCB=90°，∵BD2=AB•BC，即，∴△ADB∽△DCB，∴∠DBA=∠CBD，即BD平分∠ABC；（2）∵==，∴BE•CF=BC•EF．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），经过点A的射线AM与y轴相交于点E，与抛物线的另一个交点为F，且．（1）求这条抛物线的表达式，并写出它的对称轴；（2）求∠FAB的余切值；（3）点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，点P是y轴上一点，且∠AFP=∠DAB，求点P的坐标．【解答】解：（1）把C（0，﹣3）代入得：c=﹣3，∴抛物线的解析式为y=+bx﹣3．将A（﹣2，0）代入得：×（﹣2）2﹣2b﹣3=0，解得b=﹣，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣3．∴抛物线的对称轴为x=﹣=1．（2）过点F作FM⊥x轴，垂足为M．设E（0，t），则OE=t．∵，∴==．∴F（6，4t）．将点F（6，4t）代入y=x2﹣x﹣3得：×62﹣×6﹣3=0，解得t=．∴cot∠FAB==．（3）∵抛物线的对称轴为x=1，C（0，﹣3），点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，∴D（2，﹣3）．∴cot∠DAB=，∴∠FAB=∠DAB．如下图所示：当点P在AF的上方时，∠PFA=∠DAB=∠FAB，∴PF∥AB，∴y p=y F=6．由（1）可知：F（6，4t），t=．∴F（6，6）．∴点P的坐标为（0，6）．当点P在AF的下方时，如下图所示：设FP与x轴交点为G（m，0），则∠PFA=∠FAB，可得到FG=AG，∴（6﹣m）2+62=（m+2）2，解得：m=，∴G（，0）．设PF的解析式为y=kx+b，将点F和点G的坐标代入得：，解得：k=，b=﹣．∴P（0，﹣）．综上所述，点P的坐标为（0，6）或P（0，﹣）．25．（14分）已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，AD=CD=2，点E 在边AD上（不与点A、D重合），∠CEB=45°，EB与对角线AC相交于点F，设DE=x．（1）用含x的代数式表示线段CF的长；（2）如果把△CAE的周长记作C△CAE ，△BAF的周长记作C△BAF，设=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当∠ABE的正切值是时，求AB的长．【解答】解：（1）∵AD=CD．∴∠DAC=∠ACD=45°，∵∠CEB=45°，∴∠DAC=∠CEB，∵∠ECA=∠ECA，∴△CEF∽△CAE，∴，在Rt△CDE中，根据勾股定理得，CE=，∵CA=2，∴，∴CF=；（2）∵∠CFE=∠BFA，∠CEB=∠CAB，∴∠ECA=180°﹣∠CEB﹣∠CFE=180°﹣∠CAB﹣∠BFA，∵∠ABF=180°﹣∠CAB﹣∠AFB，∴∠ECA=∠ABF，∵∠CAE=∠ABF=45°，∴△CEA∽△BFA，∴y====（0＜x＜2），（3）由（2）知，△CEA∽△BFA，∴，∴，∴AB=x+2，∵∠ABE的正切值是，∴tan∠ABE===，∴x=，∴AB=x+2=．。
上海市16区2018届中考一模数学试卷分类汇编：计算题(Word版,含答案)
上海市16区2018届九年级上学期期末（一模）数学试卷分类汇编计算题专题宝山区19．（本题满分10分）计算：01sin 60tan60cos 45sin 30π︒︒︒︒－＋(＋)－长宁区19．（本题满分10分）计算：︒-︒-︒︒30cos 60tan 45sin 445cot 2．崇明区19．（本题满分10分）计算：tan 453sin602cos45cot302sin 45︒-︒+︒︒-︒奉贤区 虹口区19．（本题满分10分）计算：22sin 60sin 30cot 30cos30°°°°+-．黄浦区19．（本题满分10分）计算：2cot452cos 30sin60tan301︒︒+-︒︒+.嘉定区19. （本题满分10分，每小题5分） 计算：︒-︒+︒-︒45tan 30cos 2260sin 30cot金山区19．（本题满分10分） 计算：cos30cot 45sin 30tan 60cos 60︒-︒︒⋅︒+︒．静安区19．（本题满分10分）计算：60sin 60tan 160cos 2130cos 45cot 3⨯-++．20．（本题满分10分）解方程组： ． 闵行区 浦东新区 普陀区19．（本题满分10分）计算： 21tan60sin 452cos30cot 45-⋅-． 青浦区19．（本题满分10分）计算：()021--+- ．20.（本题满分10分）解方程：21421242x x x x +-=+--． 松江区 徐汇区①② ⎩⎨⎧=----=+03)(2)(52y x y x y x杨浦区19．（本题满分10分）计算：cos 45tan 45sin 60cot 60cot 452sin 30︒⋅︒-︒⋅︒︒+︒参考答案宝山区长宁区19. （本题满分10分）解：原式=233)22(412--⨯ (4分) =23321-- (2分) =2332-+ (2分) =232+(2分) 崇明区19、解：原式32-+…………………………………………5分=………………………………………………3分= ………………………………………………………2分 虹口区黄浦区19．解：原式=2222⎛⨯+ ⎝⎭———————————————————（4分）=32————————————————————————（4分）=3（2分）嘉定区19. （本题满分10分，每小题5分） 计算：︒-︒+︒-︒45tan 30cos 2260sin 30cot【解答】12331232223345tan 30cos 2260sin 30cot +=-⋅+-=︒-︒+︒-︒金山区静安区三、解答题：19．解：原式＝…………………………………（5分）＝23212-+……………………………………………………（3分）＝1 ……………………………………………………（2分）20．解：由②得0)1)(3(=+---yxyx, ……………………………………（2分）得03=--yx或01=+-yx, ………………………………（2分）原方程组可化为⎩⎨⎧=-=+;3,5yxyx⎩⎨⎧-=-=+;1,5yxyx…………………………………（2分）解得，原方程组的解为⎩⎨⎧==;1,411yx⎩⎨⎧==3222yx…………………………………（4分）∴原方程组的解为⎩⎨⎧==;1,411yx⎩⎨⎧==3222yx．闵行区浦东新区普陀区19．解：原式2=·····································································（4分）=-··················································································（4分）233121212313⨯-+⨯+⨯12=． ····························································································· （2分） 青浦区19． 解：原式=1+2．…………………………………………………………（8分）=2．………………………………………………………………………（2分） 20．解：方程两边同乘()()22+-x x 得 ()224224-+-+-=x x x x ．…………………………（4分）整理，得2320-+=x x ．………………………………………………………………（2分）解这个方程得11=x ，22=x ．…………………………………………………………（2分）经检验，22=x 是增根，舍去．…………………………………………………………（1分）所以，原方程的根是1=x ．……………………………………………………………（1分）松江区 徐汇区 杨浦区19．（本题满分10分）解：原式=12231122+⨯--------------------------------------------------（6分）=1222----------------------------------------------------------------（2分）=14. --------------------------------------------------------------（2分）。
2018年上海市黄浦区高考数学一模试卷
2018年上海市黄浦区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分36分.其中第1～6题每题满分36分，第7～12题每题满分36分）1．（3分）已知全集U=R，集合，则（∁U B）∩A=．2．（3分）函数的定义域是．3．（3分）若复数z满足（i为虚数单位），则z=．4．（3分）已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα=．5．（3分）若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为．6．（3分）若函数y=a+sinx在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a=．7．（3分）已知向量=（x，y）（x，y∈R），=（1，2），若x2+y2=1，则|﹣|的最小值为．8．（3分）已知函数y=f（x）是奇函数，且当x≥0时，f（x）=log2（x+1）．若函数y=g（x）是y=f（x）的反函数，则g（﹣3）=．9．（3分）已知m，n，α，β∈R，m＜n，α＜β，若α，β是函数f（x）=2（x﹣m）（x﹣n）﹣7的零点，则m，n，α，β四个数按从小到大的顺序是（用符号“＜“连接起来）．10．（3分）已知点O，A，B，F分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F作OB的平行线，它与椭圆C在第一象限部分交于点P，若，则实数λ的值为．11．（3分）已知x∈R，定义：A（x）表示不小于x的最小整数．如，A（﹣1.1）=﹣1．若A（2x•A（x））=5，则正实数x的取值范围是．12．（3分）已知点M（m，0），m＞0和抛物线C：y2=4x．过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，若=2，且||=||，则m=．二、选择题（本大题共有4题，满分12分．）13．（3分）若x∈R，则“x＞1”是“”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．（3分）已知向量，则下列能使成立的一组向量是（）C．D．15．（3分）一个算法的程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．4 B．5 C．6 D．716．（3分）已知a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零，若线段l1，l2，l3，l4的长分别为a1，a2，a3，a4，则（）A．对任意的d，均存在以l1，l2，l3为三边的三角形B．对任意的d，均不存在以为l1，l2，l3三边的三角形C．对任意的d，均存在以l2，l3，l4为三边的三角形D．对任意的d，均不存在以l2，l3，l4为三边的三角形三、解答题（本大题共有5题，满分74分．）17．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=4，BC=3，E，F分别是所在棱AB，BC的中点，点P 是棱A1B1上的动点，联结EF，AC1．如图所示．（1）求异面直线EF，AC1所成角的大小（用反三角函数值表示）；（2）求以E，F，A，P为顶点的三棱锥的体积．18．（12分）如图，已知点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为α，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．（1）用α表示A，B两点的坐标；（2）M为x轴上异于O的点，若MA⊥MB，求点M横坐标的取值范围．19．（14分）已知函数g（x）=，x∈R，函数y=f（x）是函数y=g（x）的反函数．（1）求函数y=f（x）的解析式，并写出定义域D；（2）设h（x）=，若函数y=h（x）在区间（0，1）内的图象是不间断的光滑曲线，求证：函数y=h（x）在区间（﹣1，0）内必有唯一的零点（假设为t），且﹣1．20．（18分）（理科）定义：若各项为正实数的数列{a n}满足，则称数列{a n}为“算术平方根递推数列”．，x n）在二次函数f（x）=2x2+2x的图象上．已知数列{x n}满足，且，点（x n+1（1）试判断数列{2x n+1}（n∈N*）是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由；（2）记y n=lg（2x n+1）（n∈N*），求证：数列{y n}是等比数列，并求出通项公式y n；（3）从数列{y}中依据某种顺序自左至右取出其中的项，把这些项重新组成一个新数列{z n}：．若数列{z n}是首项为、公比为的无穷等比数列，且数列{z n}各项的和为，求正整数k、m的值．21．（18分）已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0），过原点的两条直线l1和l2分别与Γ交于点A、B和C、D，得到平行四边形ACBD．（1）当ACBD为正方形时，求该正方形的面积S；（2）若直线l1和l2关于y轴对称，Γ上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2，当d12+d22为定值时，求此时直线l1和l2的斜率及该定值．（3）当ACBD为菱形，且圆x2+y2=1内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式．2018年上海市黄浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分36分.其中第1～6题每题满分36分，第7～12题每题满分36分）1．（3分）已知全集U=R，集合，则（∁U B）∩A={x|﹣1＜x≤} ．【解答】解：A={x|﹣1＜x＜1}，∁U B={x|x≤}，则（∁U B）∩A={x|﹣1＜x≤}，故答案为：{x|﹣1＜x≤}，2．（3分）函数的定义域是（1，+∞）．【解答】解：要使函数有意义，需满足解得x＞1故答案为：（1，+∞）3．（3分）若复数z满足（i为虚数单位），则z=1+2i．【解答】解：由，得z=1+2i．故答案为：1+2i．4．（3分）已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα=﹣2．【解答】解：∵sin（α+）=cosα，sin（α+）=，∴cosα=，又α∈（﹣，0），∴sinα=﹣，∴tanα==﹣2．故答案为：﹣2．5．（3分）若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为．【解答】解：设数列中的任意一项为a，由无穷等比数列中的每一项都等于它后面所有各项的和，得a=，即1﹣q=q∴q=．故答案为：．6．（3分）若函数y=a+sinx在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a=1．【解答】解：作函数y=sinx在区间[π，2π]上的图象如下，，结合图象可知，若函数y=a+sinx在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a﹣1=0，故a=1；故答案为：1．7．（3分）已知向量=（x，y）（x，y∈R），=（1，2），若x2+y2=1，则|﹣|的最小值为﹣1．【解答】解：设O（0，0），P（1，2），∴|﹣|=≥||﹣1=﹣1=﹣1，∴|﹣|的最小值为﹣18．（3分）已知函数y=f（x）是奇函数，且当x≥0时，f（x）=log2（x+1）．若函数y=g（x）是y=f（x）的反函数，则g（﹣3）=﹣7．【解答】解：∵反函数与原函数具有相同的奇偶性．∴g（﹣3）=﹣g（3），∵反函数的定义域是原函数的值域，∴log2（x+1）=3，解得：x=7，即g（3）=7，故得g（﹣3）=﹣7．故答案为：﹣7．9．（3分）已知m，n，α，β∈R，m＜n，α＜β，若α，β是函数f（x）=2（x﹣m）（x﹣n）﹣7的零点，则m，n，α，β四个数按从小到大的顺序是α＜m＜n＜β（用符号“＜“连接起来）．【解答】解：∵α、β是函数f（x）=2（x﹣m）（x﹣n）﹣7的零点，∴α、β是函数y=2（x﹣m）（x﹣n）与函数y=7的交点的横坐标，且m、n是函数y=2（x﹣m）（x﹣n）与x轴的交点的横坐标，故由二次函数的图象可知，α＜m＜n＜β；故答案为：α＜m＜n＜β．10．（3分）已知点O，A，B，F分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F作OB的平行线，它与椭圆C在第一象限部分交于点P，若，则实数λ的值为．【解答】解：如图，A（﹣a，0），B（0，b），F（c，0），则P（c，），∴，，由，得，即b=c，∴a2=b2+c2=2b2，．则．故答案为：．11．（3分）已知x∈R，定义：A（x）表示不小于x的最小整数．如，A（﹣1.1）=﹣1．若A（2x•A（x））=5，则正实数x的取值范围是（1，] ．【解答】解：当A（x）=1时，0＜x≤1，可得4＜2x≤5，得2＜x≤，矛盾，故A（x）≠1，当A（x）=2时，1＜x≤2，可得4＜4x≤5，得1＜x≤，符合题意，故A（x）=2，当A（x）=3时，2＜x≤3，可得4＜6x≤5，得＜x≤，矛盾，故A（x）≠3，由此可知，当A（x）≥4时也不合题意，故A（x）=2∴正实数x的取值范围是（1，]故答案为：（1，]12．（3分）已知点M（m，0），m＞0和抛物线C：y2=4x．过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，若=2，且||=||，则m=．【解答】解：由题意可知：F（1，0），由抛物线定义可知A（x1，y1），可知B（x2，y2），∵=2，可得：2（x2﹣1，y2）=（1﹣x1，﹣y1），可得y2=﹣，x2=，，解得x1=2，y1=±2．||=||，可得|m﹣1|=，解得m=．故答案为：．二、选择题（本大题共有4题，满分12分．）13．（3分）若x∈R，则“x＞1”是“”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【解答】解：由x＞1，一定能得到得到＜1，但当＜1时，不能推出x＞1 （如x=﹣1时），故x＞1是＜1 的充分不必要条件，故选：A．14．（3分）已知向量，则下列能使成立的一组向量是（）A．B．C．D．【解答】解：作为基底不共线即可，共线，共线，不共线，共线，故选C．15．（3分）一个算法的程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=0，S=0满足条件S＜1000，S=1，k=1满足条件S＜1000，S=1+2=3，k=2满足条件S＜1000，S=1+2+23=11，k=3满足条件S＜1000，S=1+2+23+211，k=4不满足条件S＜1000，退出循环，输出k的值为4．故选：A．16．（3分）已知a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零，若线段l1，l2，l3，l4的长分别为a1，a2，a3，a4，则（）A．对任意的d，均存在以l1，l2，l3为三边的三角形B．对任意的d，均不存在以为l1，l2，l3三边的三角形C．对任意的d，均存在以l2，l3，l4为三边的三角形D．对任意的d，均不存在以l2，l3，l4为三边的三角形【解答】解：A：对任意的d，假设均存在以l1，l2，l3为三边的三角形，∵a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零，∴a2+a3＞a1，a3+a1=2a2＞a2，而a1+a2﹣a3=a1﹣d不一定大于0，因此不一定存在以为l1，l2，l3三边的三角形，故不正确；B：由A可知：当a1﹣d＞0时，存在以为l1，l2，l3三边的三角形，因此不正确；C：对任意的d，由于a3+a4，＞a2，a2+a4=2a1+4d=a1+2d+a3＞0，a2+a3﹣a4=a1＞0，因此均存在以l2，l3，l4为三边的三角形，正确；D．由C可知不正确．故选：C．三、解答题（本大题共有5题，满分74分．）17．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=4，BC=3，E，F分别是所在棱AB，BC的中点，点P 是棱A1B1上的动点，联结EF，AC1．如图所示．（1）求异面直线EF，AC1所成角的大小（用反三角函数值表示）；（2）求以E，F，A，P为顶点的三棱锥的体积．【解答】（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分（6分），第2小题满分（6分）．解：（1）联结AC，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，有AC∥EF．又∠CAC1是直角三角形ACC1的一个锐角，∴∠CAC1就是异面直线EF，AC1所成的角．由AB=AA1=4，BC=3，得AC==5．∴tan∠CAC1==，即异面直线EF，AC1所成角为arctan．（2）由题意可知，点P到底面ABCD的距离与棱AA1的长相等．∵，∴=．18．（12分）如图，已知点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为α，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．（1）用α表示A，B两点的坐标；（2）M为x轴上异于O的点，若MA⊥MB，求点M横坐标的取值范围．【解答】解：（1）点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为α，α∈（0，）可得A（cosα，sinα），将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．可得B（cos（），sin（）），即B（﹣sinα，cosα）．（2）设M（x，0），x≠0，=（cosα﹣x，sinα），=（﹣sinα﹣x，cosα）．MA⊥MB，可得（cosα﹣x）（﹣sinα﹣x）+sinαcosα=0．xsinα﹣xcosα+x2=0，可得﹣x=sinα﹣cosα=sin（）∈（﹣1，1）．综上x∈（﹣1，0）∪（0，1）．点M横坐标的取值范围：（﹣1，0）∪（0，1）．19．（14分）已知函数g（x）=，x∈R，函数y=f（x）是函数y=g（x）的反函数．（1）求函数y=f（x）的解析式，并写出定义域D；（2）设h（x）=，若函数y=h（x）在区间（0，1）内的图象是不间断的光滑曲线，求证：函数y=h（x）在区间（﹣1，0）内必有唯一的零点（假设为t），且﹣1．【解答】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分（7分），第2小题满分（7分）．解：（1）∵函数g（x）==1﹣，∴g（x）∈（﹣1，1）．令y=g（x）=1﹣，则=1﹣y，即，即x=，∴f（x）=，x∈（﹣1，1）．证明：（2）由（1）可知，h（x）==﹣，x∈（﹣1，0）∪（0，1）．∵h（﹣x）+h（x）=﹣﹣+﹣=0，所以，函数h（x）是奇函数．当x∈（0，1）时，单调递减，=﹣1+单调递减，于是单调递减．因此，函数h（x）单调递减．依据奇函数的性质，可知，函数h（x）在（﹣1，0）上单调递减．又∵h（﹣）=﹣2+lg3＜0，h（﹣）=﹣+lg199＞0，所以，函数h（x）在区间（﹣1，0）上有且仅有唯一零点t，且﹣1．20．（18分）（理科）定义：若各项为正实数的数列{a n}满足，则称数列{a n}为“算术平方根递推数列”．已知数列{x n}满足，且，点（x n，x n）在二次函数f（x）=2x2+2x的图象上．+1（1）试判断数列{2x n+1}（n∈N*）是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由；（2）记y n=lg（2x n+1）（n∈N*），求证：数列{y n}是等比数列，并求出通项公式y n；}中依据某种顺序自左至右取出其中的项，把这些项重新组成一个（3）从数列{y新数列{z n}：．若数列{z n}是首项为、公比为的无穷等比数列，且数列{z n}各项的和为，求正整数k、m的值．【解答】解：（1）数列{2x n+1}（n∈N*）是否为算术平方根递推数列，证明如下：∵点（x n，x n）在二次函数f（x）=2x2+2x的图象上，+1∴x n=2x n+12+2x n+1，+1）2，∴2x n+1=（2x n+1∵x n＞0，n∈N*，+1=，∴2x n+1∴数列{2x n+1}（n∈N*）是否为算术平方根递推数列；（2）∵y n=lg（2x n+1），2x n+1+1=，=y n，∴y n+1∵y1=lg（2x1+1）=1，∴数列{y n}是首项为1，公比为等比数列，∴通项公式y n=（）n﹣1（3）由题意可得数列{z n}的首项为，公比为，∴=，∴+=16，若m﹣1≥3，则+≤+＜+＜16，矛盾，∴m﹣1≤2，∵m﹣1=0或1时，+＞16，∴m﹣1=2，∴m=3，∴k=6．21．（18分）已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0），过原点的两条直线l1和l2分别与Γ交于点A、B和C、D，得到平行四边形ACBD．（1）当ACBD为正方形时，求该正方形的面积S；（2）若直线l1和l2关于y轴对称，Γ上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2，当d12+d22为定值时，求此时直线l1和l2的斜率及该定值．（3）当ACBD为菱形，且圆x2+y2=1内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式．【解答】解：（1）∵ACBD为正方形，∴直线l1和l2的方程为y=x和y=﹣x，设点A、B的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），解方程组，得==，由对称性可知，S=4=；（2）由题意，不妨设直线l1的方程为y=kx，则直线l2的方程为y=﹣kx，设P（x0，y0），则+=1，又∵d1=，d2=，∴+=+=，将=b2（1﹣）代入上式，得+=，∵d12+d22为定值，∴k2﹣=0，即k=±，于是直线l1和l2的斜率分别为和﹣，此时+=；（3）设AC与圆x2+y2=1相切的切点坐标为（x0，y0），则切线AC的方程为：x0x+y0y=1，点A、C的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）为方程组的实数解．①当x0=0或y0=0时，ACBD均为正方形，椭圆均过点（1，1），于是有+=1；②当x0≠0或y0≠0时，将y=（1﹣x0x）代入+=1，整理得：（a2+b2）x2﹣2a2x0x﹣a2（1+b2）=0，由韦达定理可知x1x2=，同理可知y1y2=，∵ACBD为菱形，∴AO⊥CO，即x1x2+y1y2=0，∴+=0，整理得：a2+b2=a2b2（+），又∵+=1，∴a2+b2=a2b2，即+=1；水秀中华综上所述，a，b满足的关系式为+=1．。
上海-初三数学一模-2018年-18题-分题合集
上海-初三数学一模-2018年-18题-分题合集1.（2018•浦东新区一模）如图，已知在R t△ABC中，∠ACB=90°，cos B=45，BC=8，点D在边BC上，将△ABC沿着过点D的一条直线翻折，使点B落在AB边上的点E处，联结CE、DE，当∠BDE=∠AEC时，则BE的长是．2.（2018•静安区）如图，矩形纸片ABCD，AD=4，AB=3，如果点E在边BC上，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，联结FC，当△EFC是直角三角形时，那么BE的长为．3.（2018•杨浦区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点A旋转，当点B与点C重合时，点C落在点D处，如果sin B=23，BC=6，那么BC的中点M和CD的中点N的距离是．4.（2018•徐汇区一模）在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4（如图），将△ACB绕点A顺时针方向旋转得△ADE（点C、B的对应点分别为D、E），点D恰好落在直线BE上和直线AC交于点F，则线段AF的长为．5.（2018•青浦区一模）如图，在△ABC中，AB=7，AC=6，∠A=45°，点D、E分别在边AB、BC上，将△BDE沿着DE所在直线翻折，点B落在点P处，PD、PE分别交边AC于点M、N，如果AD=2，PD⊥AB，垂足为点D，那么MN的长是．6.（2018•崇明）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AC，BC上，且∠CDE=∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点F处．若AC=8，AB=10，则CD的长为．7.（2018•闵行区一模）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠B=30°．以点B为旋转中心，旋转30°，点A、C分别落在点A'、C'处，直线AC、A'C'交于点D，那么 的值为．8.（2018•宝山区一模）如图，点M是正方形ABCD的边BC的中点，联结AM，将BM沿某一过M的直线翻折，使B落在AM上的E处，将线段AE绕A顺时针旋转一定角度，使E落在F处，如果E在旋转过程中曾经交AB于G，当EF=BG时，旋转角∠EAF的度数是．9.（2018•长宁区一模）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠D=60°，点E、F分别在边AB、BC上．将△BEF沿着直线EF翻折，点B恰好与边AD的中点G重合，则BE的长等于．10.（2018•黄浦区一模）如图，平面上七个点A、B、C、D、E、F、G，图中所有的连线长均相等，则cos∠BAF=．11.（2018•松江区一模）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，将△ABC翻折，使得点A落在BC的中点A'处，折痕分别交边AB、AC于点D、点E，那么AD：AE的值为．12.（2018•嘉定区一模）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=3，AB=4，BC=8，点E、F分别在边CD、BC上，联结EF．如果△CEF沿直线EF 翻折，点C与点A恰好重合，那么 的值是．13.（2018•虹口区一模）在R t△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8（如图），点D是边AB上一点，把△ABC绕着点D旋转90°得到△A'B'C'，边B'C'与边AB相交于点E，如果AD=BE，那么AD长为．（D）14.（2018•金山区一模）如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，把△ABE沿直线BE翻折，点A正好落在BC边上的点F处，如果四边形CDEF和矩形ABCD 相似，那么四边形CDEF和矩形ABCD面积比是．15.（2018•普陀区一模）如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，将△ABC翻折，使得点A落到边BC上的点A′处，折痕分别交边AB、AC于点E，点F，如果A′F∥AB，那么BE＝．16.已知△ABC，AB＝AC，BC＝8，点D、E分别在边BC、AB上，将△ABC沿着直线DE翻折，点B落在边AC上的点M处，且AC＝4AM，设BD＝m，那么∠ACB的正切值是．（用含m的代数式表示）。
2018年上海市黄浦区高考数学一模试卷
2018年上海市黄浦区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分36分.其中第1～6题每题满分36分，第7～12题每题满分36分）（3分）已知全集U=R，集合，则（∁B）∩A= ．1．U2．（3分）函数的定义域是．3．（3分）若复数z满足（i为虚数单位），则z= ．4．（3分）已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα=．5．（3分）若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为．6．（3分）若函数y=a+sinx在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a= ．7．（3分）已知向量=（x，y）（x，y∈R），=（1，2），若x2+y2=1，则|﹣|的最小值为．8．（3分）已知函数y=f（x）是奇函数，且当x≥0时，f（x）=log（x+1）．若2函数y=g（x）是y=f（x）的反函数，则g（﹣3）= ．9．（3分）已知 m，n，α，β∈R，m＜n，α＜β，若α，β是函数f（x）=2（x﹣n）﹣7的零点，则m，n，α，β四个数按从小到大的顺序是（用（x﹣m）符号“＜“连接起来）．10．（3分）已知点O，A，B，F分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F作OB的平行线，它与椭圆C在第一象限部分交于点P，若，则实数λ的值为．11．（3分）已知x∈R，定义：A（x）表示不小于x的最小整数．如，A（﹣1.1）=﹣1．若A（2x•A（x））=5，则正实数x的取值范围是．12．（3分）已知点M（m，0），m＞0和抛物线C：y2=4x．过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，若=2，且||=||，则m= ．二、选择题（本大题共有4题，满分12分．）13．（3分）若x∈R，则“x＞1”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．（3分）已知向量，则下列能使成立的一组向量是（）A．B．C．D．15．（3分）一个算法的程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．4 B．5 C．6 D．716．（3分）已知a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零，若线段l1，l2，l3，l4的长分别为a1，a2，a3，a4，则（）A．对任意的d，均存在以l1，l2，l3为三边的三角形B．对任意的d，均不存在以为l1，l2，l3三边的三角形C．对任意的d，均存在以l2，l3，l4为三边的三角形D．对任意的d，均不存在以l2，l3，l4为三边的三角形三、解答题（本大题共有5题，满分74分．）17．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=4，BC=3，E，F分别是所在棱AB，BC的中点，点P是棱A1B1上的动点，联结EF，AC1．如图所示．（1）求异面直线EF，AC1所成角的大小（用反三角函数值表示）；（2）求以E，F，A，P为顶点的三棱锥的体积．18．（12分）如图，已知点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为α，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．（1）用α表示A，B两点的坐标；（2）M为x轴上异于O的点，若MA⊥MB，求点M横坐标的取值范围．19．（14分）已知函数g（x）=，x∈R，函数y=f（x）是函数y=g（x）的反函数．（1）求函数y=f（x）的解析式，并写出定义域D；（2）设h（x）=，若函数y=h（x）在区间（0，1）内的图象是不间断的光滑曲线，求证：函数y=h（x）在区间（﹣1，0）内必有唯一的零点（假设为t），且﹣1．20．（18分）（理科）定义：若各项为正实数的数列{an}满足，则称数列{an}为“算术平方根递推数列”．已知数列{xn }满足，且，点（xn+1，xn）在二次函数f（x）=2x2+2x的图象上．（1）试判断数列{2xn+1}（n∈N*）是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由；（2）记yn =lg（2xn+1）（n∈N*），求证：数列{yn}是等比数列，并求出通项公式yn；（3）从数列{yn}中依据某种顺序自左至右取出其中的项，把这些项重新组成一个新数列{zn}：．若数列{zn}是首项为、公比为的无穷等比数列，且数列{zn}各项的和为，求正整数k、m的值．21．（18分）已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0），过原点的两条直线l1和l2分别与Γ交于点A、B和C、D，得到平行四边形ACBD．（1）当ACBD为正方形时，求该正方形的面积S；（2）若直线l1和l2关于y轴对称，Γ上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2，当d12+d22为定值时，求此时直线l1和l2的斜率及该定值．（3）当ACBD为菱形，且圆x2+y2=1内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式．2018年上海市黄浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分36分.其中第1～6题每题满分36分，第7～12题每题满分36分）B）∩A= {x| 1．（3分）已知全集U=R，集合，则（∁U﹣1＜x≤} ．【解答】解：A={x|﹣1＜x＜1}，∁B={x|x≤}，UB）∩A={x|﹣1＜x≤}，则（∁U故答案为：{x|﹣1＜x≤}，2．（3分）函数的定义域是（1，+∞）．【解答】解：要使函数有意义，需满足解得x＞1故答案为：（1，+∞）3．（3分）若复数z满足（i为虚数单位），则z= 1+2i ．【解答】解：由，得z=1+2i．故答案为：1+2i．4．（3分）已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα=﹣2．【解答】解：∵sin（α+）=cosα，sin（α+）=，∴cosα=，又α∈（﹣，0），∴sinα=﹣，∴tanα==﹣2．故答案为：﹣2．5．（3分）若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为．【解答】解：设数列中的任意一项为a，由无穷等比数列中的每一项都等于它后面所有各项的和，得a=，即1﹣q=q∴q=．故答案为：．6．（3分）若函数y=a+sinx在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a= 1 ．【解答】解：作函数y=sinx在区间[π，2π]上的图象如下，，结合图象可知，若函数y=a+sinx在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a﹣1=0，故a=1；故答案为：1．7．（3分）已知向量=（x，y）（x，y∈R），=（1，2），若x2+y2=1，则|﹣|的最小值为﹣1 ．【解答】解：设O（0，0），P（1，2），∴|﹣|=≥||﹣1=﹣1=﹣1，∴|﹣|的最小值为﹣1（x+1）．若8．（3分）已知函数y=f（x）是奇函数，且当x≥0时，f（x）=log2函数y=g（x）是y=f（x）的反函数，则g（﹣3）= ﹣7 ．【解答】解：∵反函数与原函数具有相同的奇偶性．∴g（﹣3）=﹣g（3），∵反函数的定义域是原函数的值域，∴log（x+1）=3，2解得：x=7，即g（3）=7，故得g（﹣3）=﹣7．故答案为：﹣7．9．（3分）已知 m，n，α，β∈R，m＜n，α＜β，若α，β是函数f（x）=2（x﹣m）（x﹣n）﹣7的零点，则m，n，α，β四个数按从小到大的顺序是α＜m＜n＜β（用符号“＜“连接起来）．【解答】解：∵α、β是函数f（x）=2（x﹣m）（x﹣n）﹣7的零点，∴α、β是函数y=2（x﹣m）（x﹣n）与函数y=7的交点的横坐标，且m、n是函数y=2（x﹣m）（x﹣n）与x轴的交点的横坐标，故由二次函数的图象可知，α＜m＜n＜β；故答案为：α＜m＜n＜β．10．（3分）已知点O，A，B，F分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F作OB的平行线，它与椭圆C在第一象限部分交于点P，若，则实数λ的值为．【解答】解：如图，A（﹣a，0），B（0，b），F（c，0），则P（c，），∴，，由，得，即b=c，∴a2=b2+c2=2b2，．则．故答案为：．11．（3分）已知x∈R，定义：A（x）表示不小于x的最小整数．如，A（﹣1.1）=﹣1．若A（2x•A（x））=5，则正实数x的取值范围是（1，] ．【解答】解：当A（x）=1时，0＜x≤1，可得4＜2x≤5，得2＜x≤，矛盾，故A（x）≠1，当A（x）=2时，1＜x≤2，可得4＜4x≤5，得1＜x≤，符合题意，故A（x）=2，当A（x）=3时，2＜x≤3，可得4＜6x≤5，得＜x≤，矛盾，故A（x）≠3，由此可知，当A（x）≥4时也不合题意，故A（x）=2∴正实数x的取值范围是（1，]故答案为：（1，]12．（3分）已知点M（m，0），m＞0和抛物线C：y2=4x．过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，若=2，且||=||，则m= ．【解答】解：由题意可知：F（1，0），由抛物线定义可知A（x1，y1），可知B（x2，y2），∵=2，可得：2（x2﹣1，y2）=（1﹣x1，﹣y1），可得y2=﹣，x2=，，解得x1=2，y1=±2．||=||，可得|m﹣1|=，解得m=．故答案为：．二、选择题（本大题共有4题，满分12分．）13．（3分）若x∈R，则“x＞1”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【解答】解：由x＞1，一定能得到得到＜1，但当＜1时，不能推出x＞1 （如 x=﹣1时），故x＞1是＜1 的充分不必要条件，故选：A．14．（3分）已知向量，则下列能使成立的一组向量是（）A．B．C．D．【解答】解：作为基底不共线即可，共线，共线，不共线，共线，故选C．15．（3分）一个算法的程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=0，S=0满足条件S＜1000，S=1，k=1满足条件S＜1000，S=1+2=3，k=2满足条件S＜1000，S=1+2+23=11，k=3满足条件S＜1000，S=1+2+23+211，k=4不满足条件S＜1000，退出循环，输出k的值为4．故选：A．16．（3分）已知a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零，若线段l1，l2，l3，l4的长分别为a1，a2，a3，a4，则（）A．对任意的d，均存在以l1，l2，l3为三边的三角形B．对任意的d，均不存在以为l1，l2，l3三边的三角形C．对任意的d，均存在以l2，l3，l4为三边的三角形D．对任意的d，均不存在以l2，l3，l4为三边的三角形【解答】解：A：对任意的d，假设均存在以l1，l2，l3为三边的三角形，∵a1，a 2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零，∴a2+a3＞a1，a3+a1=2a2＞a2，而a1+a2﹣a3=a1﹣d不一定大于0，因此不一定存在以为l1，l2，l3三边的三角形，故不正确；B：由A可知：当a1﹣d＞0时，存在以为l1，l2，l3三边的三角形，因此不正确；C：对任意的d，由于a3+a4，＞a2，a2+a4=2a1+4d=a1+2d+a3＞0，a2+a3﹣a4=a1＞0，因此均存在以l2，l3，l4为三边的三角形，正确；D．由C可知不正确．故选：C．三、解答题（本大题共有5题，满分74分．）17．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=4，BC=3，E，F分别是所在棱AB，BC的中点，点P是棱A1B1上的动点，联结EF，AC1．如图所示．（1）求异面直线EF，AC1所成角的大小（用反三角函数值表示）；（2）求以E，F，A，P为顶点的三棱锥的体积．【解答】（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分（6分），第2小题满分（6分）．解：（1）联结AC，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，有AC∥EF．又∠CAC1是直角三角形ACC1的一个锐角，∴∠CAC1就是异面直线EF，AC1所成的角．由AB=AA1=4，BC=3，得AC==5．∴tan∠CAC1==，即异面直线EF，AC1所成角为arctan．（2）由题意可知，点P到底面ABCD的距离与棱AA1的长相等．∵，∴=．18．（12分）如图，已知点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为α，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．（1）用α表示A，B两点的坐标；（2）M为x轴上异于O的点，若MA⊥MB，求点M横坐标的取值范围．【解答】解：（1）点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为α，α∈（0，）可得A（cosα，sinα），将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．可得B（cos （），sin（）），即B（﹣sinα，cosα）．（2）设M（x，0），x≠0，=（cosα﹣x，sinα），=（﹣sinα﹣x，cosα）．MA⊥MB，可得（cosα﹣x）（﹣sinα﹣x）+sinαcosα=0．xsinα﹣xcosα+x2=0，可得﹣x=sinα﹣cosα=sin（）∈（﹣1，1）．综上x∈（﹣1，0）∪（0，1）．点M横坐标的取值范围：（﹣1，0）∪（0，1）．19．（14分）已知函数g（x）=，x∈R，函数y=f（x）是函数y=g（x）的反函数．（1）求函数y=f（x）的解析式，并写出定义域D；（2）设h（x）=，若函数y=h（x）在区间（0，1）内的图象是不间断的光滑曲线，求证：函数y=h（x）在区间（﹣1，0）内必有唯一的零点（假设为t），且﹣1．【解答】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分（7分），第2小题满分（7分）．解：（1）∵函数g（x）==1﹣，∴g（x）∈（﹣1，1）．令y=g（x）=1﹣，则=1﹣y，即，即x=，∴f（x）=，x∈（﹣1，1）．证明：（2）由（1）可知，h（x）==﹣，x∈（﹣1，0）∪（0，1）．∵h（﹣x）+h（x）=﹣﹣+﹣=0，所以，函数h（x）是奇函数．当x∈（0，1）时，单调递减，=﹣1+单调递减，于是单调递减．因此，函数h（x）单调递减．依据奇函数的性质，可知，函数h（x）在（﹣1，0）上单调递减．又∵h（﹣）=﹣2+lg3＜0，h（﹣）=﹣+lg199＞0，所以，函数h（x）在区间（﹣1，0）上有且仅有唯一零点t，且﹣1．20．（18分）（理科）定义：若各项为正实数的数列{an}满足，则称数列{an}为“算术平方根递推数列”．已知数列{xn }满足，且，点（xn+1，xn）在二次函数f（x）=2x2+2x的图象上．（1）试判断数列{2xn+1}（n∈N*）是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由；（2）记yn =lg（2xn+1）（n∈N*），求证：数列{yn}是等比数列，并求出通项公式yn；（3）从数列{yn}中依据某种顺序自左至右取出其中的项，把这些项重新组成一个新数列{zn}：．若数列{zn}是首项为、公比为的无穷等比数列，且数列{zn}各项的和为，求正整数k、m的值．【解答】解：（1）数列{2xn+1}（n∈N*）是否为算术平方根递推数列，证明如下：∵点（xn+1，xn）在二次函数f（x）=2x2+2x的图象上，∴xn =2xn+12+2xn+1，∴2xn +1=（2xn+1+1）2，∵xn＞0，n∈N*，∴2xn+1+1=，∴数列{2xn+1}（n∈N*）是否为算术平方根递推数列；（2）∵yn =lg（2xn+1），2xn+1+1=，∴yn+1=yn，∵y1=lg（2x1+1）=1，∴数列{yn}是首项为1，公比为等比数列，∴通项公式yn=（）n﹣1（3）由题意可得数列{zn}的首项为，公比为，∴=，∴+=16，若m﹣1≥3，则+≤+＜+＜16，矛盾，∴m﹣1≤2，∵m﹣1=0或1时，+＞16，∴m﹣1=2，∴m=3，∴k=6．21．（18分）已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0），过原点的两条直线l1和l2分别与Γ交于点A、B和C、D，得到平行四边形ACBD．（1）当ACBD为正方形时，求该正方形的面积S；（2）若直线l1和l2关于y轴对称，Γ上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2，当d12+d22为定值时，求此时直线l1和l2的斜率及该定值．（3）当ACBD为菱形，且圆x2+y2=1内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式．【解答】解：（1）∵ACBD为正方形，∴直线l1和l2的方程为y=x和y=﹣x，设点A、B的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），解方程组，得==，由对称性可知，S=4=；（2）由题意，不妨设直线l1的方程为y=kx，则直线l2的方程为y=﹣kx，设P（x0，y），则+=1，又∵d1=，d2=，∴+=+=，将=b2（1﹣）代入上式，得+=，∵d12+d22为定值，∴k2﹣=0，即k=±，于是直线l1和l2的斜率分别为和﹣，此时+=；（3）设AC与圆x2+y2=1相切的切点坐标为（x0，y），则切线AC的方程为：x0x+yy=1，点A、C的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）为方程组的实数解．①当x0=0或y=0时，ACBD均为正方形，椭圆均过点（1，1），于是有+=1；②当x0≠0或y≠0时，将y=（1﹣xx）代入+=1，整理得：（a2+b2）x2﹣2a2xx﹣a2（1+b2）=0，由韦达定理可知x1x2=，同理可知y1y2=，∵ACBD为菱形，∴AO⊥CO，即x1x2+y1y2=0，∴+=0，整理得：a2+b2=a2b2（+），又∵+=1，∴a2+b2=a2b2，即+=1；综上所述，a，b满足的关系式为+=1．。
上海市16区2018年中考一模数学试题分类汇编_平面向量(含答案解析)
上海市16区2018届九年级上学期期末（一模）数学试卷分类汇编平面向量专题宝山区20．（本题满分10分，每小题各5分）如图，AB ∥CD ∥EF ，而且线段AB 、CD 、EF 的长度分别为5、3、2． （1）求AC ：CE 的值；（2）如果AE 记作a ，BF 记作b ，求CD （用a 、b 表示）．长宁区20．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，在∆ABC 中，点D 在边AB 上，DE //BC ，DF //AC ，DE 、DF 分别交边AC 、BC于点E 、F ，且23=EC AE ． （1）求BCBF的值；（2）联结EF ，设a BC =，b AC =，用含a 、b 的式子表示EF ．崇明区20．（本题满分10分，每小题各5分）如图，在ABC △中，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，过点E 作ED BC ∥交AB 于点D ， 已知5AD =，4BD =．第20题图FBAD E（1）求BC的长度；（2）如果AD a=，AE b=，那么请用a、b表示向量CB．奉贤区20.（本题满分10分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，AD=2，点E是边BC的中点，AE、BD想交于点F，过点F作FG∥BC，交边DC于点G.（1）求FG的长；（2）设AD a=，DC b=，用、a b的线性组合表示AF.虹口区如图，在△ABC中，点E在边AB上，点G是△ABC的重心，联结AG并延长交BC于点D．（1）若AB a=，AC b=，用向量、a b表示向量AG；（2）若∠B=∠ACE，AB=6，AC=，BC=9，求EG的长．AB CD E（第20题图）第20题图黄浦区嘉定区金山区如图，已知平行四边形ABCD，点M、N分别是边DC、BC的中点，设=AB a，=AD b，求向量MN关于a、b的分解式．静安区闵行区浦东新区20．（本题满分10分，每小题5分）如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，DE∥BC，且DE经过△ABC的重心，设BC a=．（1）=DE▲（用向量a表示）；（2）设AB b=，在图中求作12b a+．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量．）普陀区22．（本题满分10分）下面是一位同学做的一道作图题：（第20题图）AB CD EMOABC Dabc N2.在OM 上依次截取OA a =，AB b =.3.在ON 上截取OC c =.4.联结AC ，过点B 作BD ∥AC ，交ON 于点D .所以：线段____________就是所求的线段x .（1）试将结论补完整：线段 ▲ 就是所求的线段x . （2）这位同学作图的依据是 ▲ ；（3）如果4OA =，5AB =，AC m =，试用向量m 表示向量DB ．松江区20．（本题满分10分，每小题各5分）如图，已知△ABC 中，D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、CA 上的点，且EF //AB ，2CF ADFA DB==. （1）设AB a =，AC b =.试用a 、b 表示AE （2）如果△ABC 的面积是9，求四边形ADEF 的面积.徐汇区19．（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）如图，在△ABC 中，∠ACD =∠B ，AD =4，DB =5． （1）求AC 的长（2）若设,CA a CB b ==u u r r u u r r，试用a 、b 的线性组合表示向量CD uu u r. 杨浦区20．（本题满分10分，第（1）、（2）小题各5分） 已知：如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，sin B =35，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，且AD ∶DB =2∶3，DE ⊥BC . （1）求∠DCE 的正切值；（2）如果设AB a =，CD b =，试用a 、b 表示AC .(第20题图)CE F BAD参考答案宝山区长宁区20．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）解：（1）∵23=EC AE ∴52=AC EC （1分） ∵DE //BC ∴52==AC EC AB BD （2分） 又∵DF //AC ∴52==AB BD BC BF （2分） （2）∵52=BC BF ∴53=BC FC ∵a BC =，CF 与BC 方向相反 ∴a CF 53-= （2分）同理：52= （2分）又∵→+=CF EC EF ∴→-=a b EF 5352 （1分）崇明区20、（1）∵BE 平分ABC ∠ ∴ABE CBE =∠∠ ∵ED BC ∥ ∴DEB CBE =∠∠∴ABE DEB =∠∠ ………………………………………………………2分 ∴4BD DE == ∵ED BC ∥ ∴DE ADBC AB= ……………………………………1分 又∵5AD =，4BD = ∴9AB =∴459BC = ∴365BC = ………………………………………2分 （2）∵ED BC ∥ ∴5=9DE AD BC AB = ∴95BC DE = …………………………………………………………1分又∵ED 与CB 同向 ∴95CB ED = ………………………………1分∵AD a =，AE b = ∴ED a b =- ……………………………1分 ∴9955CB a b =- …………………………………………………………2分 奉贤区虹口区黄浦区金山区静安区闵行区20．（本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，满分10分）如图，已知向量a r 、b r 和p u r，求作：（1）向量132a b -+r r．（2）向量p u r分别在a r 、b r 方向上的分向量．20．解：（1）作图．…………………………………………………………………………（3分）结论． …………………………………………………………………………（1分） （2）作图．…………………………………………………………………………（4分）结论． …………………………………………………………………………（2分）浦东新区20．解：（1）=DE 23a ．……………………………（5分） （2）图正确得4分，结论：AF 就是所要求作的向量． …（1分）．普陀区22．解：（1）CD ； ····························································· （2分） （2）平行线分线段成比例定理（两条直线被三条平行的直线所截,截得的对应线段成比例）；或：三角形一边的平行线性质定理（平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例）. ······································································· （2分）（3）∵BD ∥AC ，∴AC OABD OB=． ········································ （1分） ∵4OA =，5AB =，∴49AC BD =． ····································（2分） 得94BD AC =． ···················································· （1分）∵94BD AC =，AC m =，DB 与AC 反向，∴94DB m =-． ····················································· （2分）a rp u r（第20题图） b r（第20题图）B青浦区 松江区20．解：（1）∵EF //AB∴CF CEFA EB = 又CF AD FA DB = ∴CE AD EB DB=…………………………………………（1分） ∴DE ∥AC ， ………………………………………（1分） ∴四边形ADEF 是平行四边形………………………（1分）AE AF AD =+ ……………………………………（1分） ∵2CF ADFA DB==,AB a =，AC b = ∴13AF b =， 23AD a =2133AE a b =+………………………………………（1分）（2）∵EF //AB ，2CFFA=∴9:4:=∆∆ABC CEF S S ………………………………（1分） ∵△ABC 的面积是9，∴4=∆CEF S ……………………………………………（1分） 由（1）得DE ∥AC ， 且2ADDB= ∴9:1:=∆∆ABC BD E S S ………………………………（1分） ∴1=∆BDE S …………………………………………（1分） ∴四边形ADEF 的面积=9-4-1=4……………………（1分）徐汇区19．（1）在△ABC 中，∠ACD =∠B ，∠A =∠A ，∴ ACD ABC ∆:V . ……………………………………………………（2分） ∴AD ACAC AB=，即2AC AD AB =g∴249AC =⨯， 6.AC = ……………………………………………（2分） （2） 49CD CA AD a AB =+=+uu u r uu r uuu r r uu u r……………………………………………（2分）4()9a AC CB =++r uu u r uu r 4()9a a b =+-+r r r………………………………（2分）5499a b =+r r………………………………………………………（2分）杨浦区20．（本题满分10分，第（1）、（2）小题各5分） 解：（1）∵∠ACB =90°，sin B =35，∴35AC AB =. -------------------------（1分） ∴设AC =3a ，AB =5a . 则BC =4a .∵AD :DB =2:3，∴AD =2a ，DB =3a . ∵∠ACB =90°即AC ⊥BC ，又DE ⊥BC ，∴AC//DE. ∴DE BD AC AB =, CE ADCB AB=. ∴335DE a a a =, 245CE a a a =. ∴95DE a =，85CE a =.----------（2分） ∵DE ⊥BC ，∴9tan 8DE DCE CE ∠==.-----------------------------（2分） （2）∵AD :DB =2:3，∴AD :AB =2:5. ------------------------------------------------（1分） ∵AB a =，CD b =，∴25AD a =. DC b =-.--------------------（2分） ∵AC AD DC =+，∴25AC a b =-.-----------------------------------（2分）。
2018年上海市黄浦区初三学业考试模拟考数学试卷
黄浦区2018年初三学业考试模拟考数 学 试 卷（满分150分，考试时间100分钟）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，在答题纸的相应题号的选项上用2 B 铅笔填涂]1.2,0.2121121112π--（每两个2之间依次多一个1）022,,cos 60,70sin 45,0.123中，无理数有 （ ）(A) 3个 ( B) 4个 (C) 5个 ( D) 6个2.下列运算正确的是 （ ） (A) x 2 x 3 =x 6 (B) x 2＋x 2=2x 4 (C) (-2x)2 =4x 2 (D) (-2x)2 (-3x )3=6x 53.不等式组⎩⎨⎧-≤-->xx x 28132的最小整数解是（ ）(A) －1 ( B) 0(C) 2 (D) 34.(使用老教材学生做) 已知关于x 的方程02=+-m mx x 的两根的和是3，则m 的值是 （ ） (A) 1- (B) 1 (C) 3 (D) 1-或3(使用新教材学生做) 下列事件中确定事件是 （ ） (Ａ)掷一枚均匀的硬币，正面朝上 (Ｂ)买一注福利彩票一定会中奖(Ｃ)把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球(Ｄ)掷一枚六个面分别标有1，2，3，4，5，6的均匀正方体骰子，骰子停止转动后奇数点朝上5. 如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，点M 在线段AB （包括端点A B ，）上移动，则OM 的取值范围是 ( )(Ａ) 35OM ≤≤ (Ｂ) 35OM <≤ (Ｃ) 45OM ≤≤ (Ｄ) 45OM <≤6．(使用老教材学生做) 下列直线中，可以判断为圆的切线的是（ ）(A)到圆心距离等于半径的直线 (B)垂直于圆的半径的直线 (C)与圆没有公共点的直线 (D)过圆的半径的外端的直线(使用新教材学生做) 下列语句错误的是 （ ） （A ）如果0=k 或0=a ，那么0=k ； （B ）如果m 、n 为实数，那么mn n m )()(=；（C ）如果m 、n 为实数，那么a n a m a n m +=+)(； （D ）如果m 、n 为实数，那么m m m +=+)(．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[将答案直接填在答题纸上相应的题号后]7．计算：=-12 . 8.已知53=-a b a ，那么ba的值等于 . 9.据统计，全球每小时约有510000000吨污水排入江河湖海，用科学记数法表示 为 吨.10.已知∠α与∠β互余，且∠α=15°，则∠β为 度.11．已知y =x +a ，当x =-1，0，1，2，3时对应的y 值的平均数为5，则a 的值是 . 12．(使用老教材学生做) 在实数范围内分解因式：=-355x x .(使用新教材学生做) 计算：1(23)(64)2a b b a +--= ． 13．函数1-=x y 中自变量ｘ的取值范围是 .14. 如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，按图中虚线将∠A 剪去后，12+∠∠等于 度.15. 如图，将AOB △绕点O 逆时针旋转90，得到A OB ''△．若点A 的坐标为()a b ，，则点A '的坐标为 ．O(第17题)16．(使用老教材学生做)已知半径为5和10的两个圆只有1条公切线，那么这两个圆的圆心距d ＝ ．(使用新教材学生做) 掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为奇数的概率为 ． 17．如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：2的坡向上前进了10m ，此时小球距离地面的高度为_________m.18.△ABC 中， AC 、BC 上的中线BE 、AD 垂直相交于点O ，若BC ＝10，BEACDBEOB＝6，则AB 的长为 ．三、（本大题共7题，第19、20、21、22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）[将各题的解答过程，做在答题纸上]19．先化简，再求值：12,22121222-=÷--++--x x x xx x x x 其中. 20．如图，在等腰三角形ABC 中，AB=2,∠A=900，点E 为腰AC 中点，点F 在底边BC 上，且FE ⊥BE. 求（1）△CEF 边CE 上的高h ； （2）求△CEF 的面积； （3）求sin ∠CEF 的值.21.小李对初三（1）班全体同学的业余兴趣爱好（第一爱好）进行了一次调查，她根据采集到的数据，绘制了下面的图1和图2．请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）初三(1)班共有学生 人； （2）在图1中，将“书画”部分的图形补充完整；（3）在图2中，“球类”部分所对应的圆心角的度数 度；爱好“音乐”的人数占本班学生数的百分数是 ；爱好“书画”的人数占本班学生数的百分数是 ；“其它”的人数占本班学生数的百分数是 .BACFE兴趣爱好内容球类书画音乐其它图1图222. 如图所示，秋千链子的长度为3m ，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m ．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为︒53，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？(参考数据：︒53sin ≈0.8,︒53cos ≈0.6)23． 某零售商用1800元买进玻璃杯若干个，因其中2个损坏无法出售，其余的每个以比进价多5元的价格出售，全部卖完赚了400元。
2018年上海市各区县中考数学一模压轴题图文解析第24、25题
2018年上海市各区县中考数学一模压轴题图文解析 目录例 2018年上海市崇明县中考一模第24题如图1，在直角坐标系中，一条抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中B (3, 0)，C (0, 4)，点A 在x 轴的负半轴上，OC ＝4OA ．（1）求这条抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标；（2）联结AC 、BC ，点P 是x 轴正半轴上的一个动点，过点P 作PM //BC 交射线AC 于M ，联结CP ，若△CPM 的面积为2，则请求出点P 的坐标．动感体验请打开几何画板文件名“16崇明一模24”，拖动点P 在x 轴的正半轴上运动，可以体验到，有两个时刻，△CPM 的面积为2． 满分解答（1）由C (0, 4)，OC ＝4OA ，得OA ＝1，A (－1, 0)．设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋1)(x －3)，代入点C (0, 4)，得4＝－3a ． 解得43a =-．所以244(1)(3)(23)33y x x x x =-+-=---2416(1)33x =--+．顶点坐标为16(1)3，．（2）如图2，设P (m , 0)，那么AP ＝m ＋1． 所以S △CPA ＝12AP CO ⋅＝1(1)42m +⨯＝2m ＋2．由PM //BC ，得CMBPCABA=．又因为CPMCPAS CM S CA=△△，所以S △CPM ＝(22)BP m BA+．①如图2，当点P 在AB 上时，BP ＝3－m ． 解方程3(22)4m m -+＝2，得m ＝1．此时P (1, 0)．②如图3，当点P 在AB 的延长线上时，BP ＝m －3．图2 图3例2018年上海市崇明县中考一模第25题如图1，已知矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点（不与B、C重合），过点E作EF⊥AE交AC、CD于点M、F，过点B作BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H．（1）求证：△ABH∽△ECM；＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（2）设BE＝x，EHEM（3）当△BHE为等腰三角形时，求BE的长．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16崇明一模25”，拖动点E在BC上运动，可以体验到，有三个时刻，△BHE可以成为为等腰三角形．满分解答（1）如图2，因为∠1和∠2都是∠BAC的余角，所以∠1＝∠2．又因为∠BAH和∠CEM都是∠AEB的余角，所以∠BAH＝∠CEM．所以△ABH ∽△ECM ．图2 图3（2）如图3，延长BG 交AD 于N ．在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，所以AC ＝10．在Rt △ABN 中，AB ＝6，所以AN ＝AB tan ∠1＝34AB ＝92，BN ＝152．如图2，由AD //BC ，得92AHAN EH BE x==． 由△ABH ∽△ECM ，得68AH AB EM EC x==-．所以y ＝EH EM＝AH AH EM EH ÷＝6982x x ÷-＝12729xx -．定义域是0＜x ＜8．（3）如图2，由AD //BC ，得92NHAN BHBE x ==．所以292BN x BH x+=． 所以215292x BH x =⨯+＝1529xx +． 在△BHE 中，BE ＝x ，cos ∠HBE ＝35，1529xBH x =+． 分三种情况讨论等腰三角形BHE ： ①如图4，当BE ＝BH 时，解方程1529xx x =+，得x ＝3． ②如图5，当HB ＝HE 时，1cos 2BE BH B =⋅∠．解方程11532295x x x =⨯+，得92x =．③如图6，当EB ＝EH 时，1cos 2BH BE B =⋅∠．解方程11532295x x x ⨯=+，得74x =．图4 图5 图6例2018年上海市奉贤区中考一模第24题如图1，二次函数y＝x2＋bx＋c的图像经过原点和点A(2, 0)，直线AB与抛物线交于点B，且∠BAO＝45°．（1）求二次函数的解析式及顶点C的坐标；（2）在直线AB上是否存在点D，使得△BCD为直角三角形，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“16奉贤一模24”，可以体验到，以BC为直径的圆恰好经过点A，直角三角形BCD存在两种情况．满分解答（1）因为抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于O、A(2, 0)两点，所以y＝x(x－2)＝(x－1)2－1．顶点C的坐标为(1,－1)．（2）如图2，作BH⊥x轴于H．设B(x, x2－2x)．由于∠BAH＝45°，所以BH＝AH．解方程x2－2x＝2－x，得x＝－1，或x＝2．所以点B的坐标为(－1, 3)．图2①∠BDC＝90°．如图3，由A (2, 0)、C (1,－1)，可得∠CAO ＝45°．因此∠BAC ＝90°． 所以当点D 与点A (2, 0)重合时，△BCD 是直角三角形．②∠BCD ＝90°．由A (2, 0)、B (－1, 3)，可得直线AB 的解析式为y ＝－x ＋2． 【解法一】如图4，过点C 作BC 的垂线与直线AB 交于点D ．设D (m ,－m ＋2 )．由BD 2＝BC 2＋CD 2，得(m ＋1)2＋(－m －1)2＝22＋42＋(m －1)2＋(－m ＋3)2．解得73m =．此时点D 的坐标为71(,)33-．【解法二】构造△BMC ∽△CND ，由BMCNMCND=，得4123m m -=-+．解得73m =．图2 图3 图4例 2018年上海市奉贤区中考一模第25题如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，点D 是斜边AB 上任意一点，联结DC ，过点C 作CE ⊥CD ，联结DE ，使得∠EDC ＝∠A ，联结BE ．（1）求证：AC ·BE ＝BC ·AD ；（2）设AD ＝x ，四边形BDCE 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，并写出定义域；（3）当S △BDE ＝14S △ABC 时，求tan ∠BCE 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16奉贤一模25”，拖动点E在AD边上运动，可以体验到，△ABC与△DEC保持相似，△ACD与△BCE保持相似，△BDE是直角三角形．满分解答（1）如图2，在Rt△BAC和Rt△EDC中，由tan∠A＝tan∠EDC，得B C E CA C D C=．如图3，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，所以∠1＝∠2．所以△ACD∽△BCE．所以AC BCAD BE=．因此AC·BE＝BC·AD．图2 图3（2）在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝3，所以AC＝4．所以S△ABC＝6．如图3，由于△ABC与△ADC是同高三角形，所以S△ADC∶S△ABC＝AD∶AB＝x∶5．所以S△ADC＝65x．所以S△BDC＝665x-．由△ADC∽△BEC，得S△ADC∶S△BEC＝AC2∶BC2＝16∶9．所以S△BEC＝916S△ADC＝96165x⨯＝2740x．所以S ＝S 四边形BDCE ＝S △BDC ＋S △BEC ＝6276540x x -+＝21640x -+．定义域是0＜x ＜5．（3）如图3，由△ACD ∽△BCE ，得AC BC ADBE=，∠A ＝∠CBE ．由43x BE=，得BE ＝34x ．由∠A ＝∠CBE ，∠A 与∠ABC 互余，得∠ABE ＝90°（如图4）． 所以S △BDE ＝1133(5)(5)2248BD BE x x x x ⋅=-⨯=--．当S △BDE ＝14S △ABC ＝13642⨯=时，解方程33(5)82x x --=，得x ＝1，或x ＝4．图4 图5 图6作DH ⊥AC 于H ．①如图5，当x ＝AD ＝1时，在Rt △ADH 中，DH ＝35AD ＝35，AH ＝45AD＝45．在Rt △CDH 中，CH ＝AC －AH ＝416455-=，所以tan ∠HCD ＝DH CH＝316．②如图6，当x ＝AD ＝4时，在Rt △ADH 中，DH ＝35AD ＝125，AH ＝45AD＝165．在Rt △CDH 中，CH ＝AC －AH ＝164455-=，所以tan ∠HCD ＝DH CH＝3．综合①、②，当S △BDE ＝14S △ABC 时， tan ∠BCE 的值为316或3．例 2018年上海市虹口区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3与x 轴分别交于点A (2, 0)、点B （点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，tan ∠CBA ＝12．（1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为D ，求四边形ACBD 的面积；（3）设抛物线上的点E 在第一象限，△BCE 是以BC 为一条直角边的直角三角形，请直接写出点E 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16虹口一模24”，可以体验到，以BC 为直角边的直角三角形BCE 有2个． 满分解答（1）由y ＝ax 2＋bx ＋3，得C (0, 3)，OC ＝3． 由tan ∠CBA ＝OC OB＝12，得OB ＝6，B (6, 0)．将A (2, 0)、B (6, 0)分别代入y ＝ax 2＋bx ＋3，得4230,36630.a b a b ++=⎧⎨++=⎩ 解得14a =，b ＝－2．所以221123(4)144y x x x =-+=--．（2）如图2，顶点D 的坐标为(4,－1)．S 四边形ACBD ＝S △ABC ＋S △ABD ＝1123+2122⨯⨯⨯⨯＝4．（3）如图3，点E 的坐标为(10, 8)或(16, 35)．思路如下：设E 21(,23)4x x x -+．当∠CBE ＝90°时，过点E 作EF ⊥x 轴于F ，那么2EFBOBFCO==．所以EF ＝2BF ．解方程21232(4)4x x x -+=-，得x ＝10，或x ＝4．此时E (10, 8)．当∠BCE ＝90°时，EF ＝2CF ．解方程21224x x x -=，得x ＝16，或x ＝0．此时E (16, 35)．图2 图3例 2018年上海市虹口区中考一模第25题如图1，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为线段AE 上一点，联结BF 并延长交边AD 于点G ，过点G 作AE 的平行线，交射线DC 于点H ．设AD EFx AB AF==． （1）当x ＝1时，求AG ∶AB 的值；（2）设GDH EBAS S △△＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）当DH ＝3HC 时，求x 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16虹口一模25”，拖动点B 可以改变平行四边形的邻边比，可以体验到，当菱形ABCD 时，G 是AD 的中点，△GDH 与△EBA 保持相似．还可以体验到，DH ＝3HC 存在两种情况．满分解答（1）如图2，当x ＝1时，AD ＝AB ，F 是AE 的中点． 因为AD //CB ，所以AG ＝BE ＝12BC ＝12AD ＝12AB ．所以AG ∶AB ＝1∶2． （2）如图3，已知AD EF x AB AF ==，设AB ＝m ，那么AD ＝xm ，BE ＝12xm ．由AD //BC ，得BE EFx AG AF==． 所以12BE AG m x==．所以DG ＝12xm m -．图2 图3 图4如图4，延长AE 交DC 的延长线于M ． 因为GH //AE ，所以△GDH ∽△ADM ． 因为DM //AB ，所以△EBA ∽△ADM ． 所以△GDH ∽△EBA ． 所以y ＝GDHEBAS S △△＝2()DG BE ＝2211()()22xm m xm -÷＝22(21)x x -．（3）如图5，因为GH //AM ，所以11()2122DHDG xm m m x HMGA ==-÷=-． 因为DM //AB ，E 是BC 的中点，所以MC ＝AB ＝DC ．DH ＝3HC 存在两种情况：如图5，当H 在DC 上时，35DH HM =．解方程3215x -=，得45x =． 如图6，当H 在DC的延长线上时，3DH HM =．解方程213x -=，得45x =．图5 图6例 2018年上海市黄浦区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－3ax ＋c 与x 轴交于A (－1, 0)、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C (0, 2)．（1）求抛物线的对称轴及点B 的坐标； （2）求证：∠CAO ＝∠BCO ；（3）点D 是射线BC 上一点（不与B 、C 重合），联结OD ，过点B 作BE ⊥OD ，垂足为△BOD 外一点E ，若△BDE 与△ABC 相似，求点D 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16黄浦一模24”，拖动点D 在射线BC 上运动，可以体验到，当点E 在△BOD 外时，有两个时刻，Rt △BDE 的两条直角边的比为1∶2． 满分解答（1）由y ＝ax 2－3ax ＋c ，得抛物线的对称轴为直线32x =．因此点A (－1, 0)关于直线32x =的对称点B 的坐标为(4, 0)．（2）如图2，因为tan ∠CAO ＝2CO AO=，tan ∠BCO ＝2BO CO=，所以∠CAO ＝∠BCO ．（3）由B (4, 0)、C (0, 2)，得直线BC 的解析式为122y x =-+．设D 1(,2)2x x -+．以∠ABC （∠OBC ）为分类标准，分两种情况讨论：①如图3，当∠OBC ＝∠DBE 时，由于∠OBC 与∠OCB 互余，∠DBE 与∠ODC 互余，所以∠OCB ＝∠ODC ．此时OD ＝OC ＝2．根据OD 2＝4，列方程221+(2)42x x -+=．解得x ＝0，或85x =．此时D 86(,)55．②如图4，当∠OBC ＝∠EDB 时，OD ＝OB ＝4．根据OD 2＝16，列方程221+(2)162x x -+=．解得x ＝4，或125x =-．此时D 1216(,)55-．图2图3 图4例 2018年上海市黄浦区中考一模第25题如图1，已知直线l 1//l 2，点A 是l 1上的点，B 、C 是l 2上的点，AC ⊥BC ，∠ABC ＝60°，AB ＝4，O 是AB 的中点，D 是CB 的延长线上的点，将△DOC 沿直线CO 翻折，点D 与点D ′重合．（1）如图1，当点D 落在直线l 1上时，求DB 的长；（2）延长DO 交直线l 1于点E ，直线OD ′分别交直线l 1、l 2于点M 、N ． ①如图2，当点E 在线段AM 上时，设AE ＝x ，DN ＝y ，求y 关于x 的解析式及定义域；②若△DONAE 的长．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16黄浦一模25”，拖动点D 在CB 的延长线上运动，可以体验到，CD ′与AB 保持平行，△BON 与△BDO 保持相似．还可以体验到，有两个时刻DN ＝3． 满分解答（1）如图3，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝4，O 是AB 的中点，所以△OBC 是边长为2的等边三角形．又因为△DOC 与△D ′OC 关于CO 对称，所以∠BCD ′＝120°，CD ′＝CD ．所以AB //D ′C ．当点D ′ 落在直线l 1上时， AD ′//BC ． 所以四边形ABCD ′是平行四边形． 所以CD ′＝BA ＝4．此时BD ＝CD －CB ＝CD ′－CB ＝4－2＝2． 图3（2）①如图4，由于AE //BD ，O 是AB 的中点，所以AE ＝BD ＝x ． 因为AB //D ′C ，所以∠AOM ＝∠2．又因为∠AOM ＝∠BON ，∠2＝∠1，所以∠BON ＝∠1． 又因为∠OBN ＝∠DBO ，所以△BON ∽△BDO ．所以BO BD BN BO =．因此22x x y =+．于是得到24x y x -=．定义域是0＜x ≤2．②在△DON 中，DN当S△DON DN ＝3．有两种情形：情形1，如图4，当D 在BN 上时，DN ＝24x y x-=＝3，解得x ＝1，或x ＝－4．此时AE ＝1．情形2，如图5，当D 在BN 的延长线上时，由BO BD BNBO=，得22xx y =-． 于是得到24x y x -=．当DN ＝24x y x-=＝3时，解得x ＝4，或x ＝－1．此时AE ＝4．图4 图5例 2018年上海市嘉定区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++经过点A (4, 0)、点C (0,－4)，点B 与点A 关于这条抛物线的对称轴对称．（1）用配方法求这条抛物线的顶点坐标； （2）联结AC 、BC ，求∠ACB 的正弦值；（3）点P 是这条抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为m （m ＞0），过点P 作y 轴的垂线PQ ，垂足为Q ，如果∠QPO ＝∠BCO ，求m 的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“16嘉定一模24”，可以体验到，QO ∶QP ＝OB ∶OC ．满分解答（1）将A (4, 0)、C (0,－4)分别代入212y x bx c =++，得840,4.b c c ++=⎧⎨=-⎩ 解得b ＝－1，c ＝－4．所以2142y x x =--＝1(2)(4)2x x +-＝219(1)22x --．点B 的坐标是(－2, 0)，顶点坐标是9(1,)2-．（2）由A (4, 0)、B (－2, 0)、C (0,－4)，得AC ＝BC ＝AB ＝6，CO ＝4．作BH ⊥AC 于H ．由S△ABC ＝12AB CO ⋅＝12AC BH ⋅．得AB CO BH AC⋅=因此sin ∠ACB ＝BH BC．（3）点P 的坐标可以表示为21(,4)2m m m --． 由tan ∠QPO ＝tan ∠BCO ，得12QO OB QPOC==．所以QP ＝2QO ．解方程212(4)2m m m =--，得m = 图2所以点P 的横坐标m ＝32+．例 2018年上海市嘉定区中考一模第25题如图1，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，tan ∠BAC ＝12．点D 在AC 边的延长线上，且DB 2＝DC ·DA ．（1）求DC CA的值；（2）如果点E 在线段BC 的延长线上，联结AE ，过点B 作AC 的垂线，交AC 于点F ，交AE 于点G ．①如图2，当CE ＝3BC 时，求BF FG的值；②如图3，当CE ＝BC 时，求BCD BEGS S △△的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“16嘉定一模25”，拖动点E 运动，可以体验到，当CE ＝3BC 时，BD //AE ，BG 是直角三角形ABE 斜边上的中线．当CE ＝BC 时，△ABF ≌△BEH ，AF ＝2EH ＝4CF ． 满分解答（1）如图1，由DB 2＝DC ·DA ，得DB DA DCDB=．又因为∠D 是公共角，所以△DBC ∽△DAB ．所以DB BC CD DA AB BD ==．又因为tan ∠BAC ＝BC AB ＝12，所以12CD BD =，12BD DA =．所以14CD DA =．所以13DC CA =．（2）①如图4，由△DBC ∽△DAB ，得∠1＝∠2． 当BF ⊥CA 时，∠1＝∠3，所以∠2＝∠3．因为13DC CA =，当CE ＝3BC 时，得DC BC CA CE=．所以BD //AE ．所以13BD EA =，∠2＝∠E ．所以∠3＝∠E ．所以GB ＝GE ．于是可得G B 是Rt △ABE 斜边上的中线．所以23BD GA=．所以23BF BD FGGA ==． ②如图5，作EH ⊥BG ，垂足为H ．当CE ＝BC 时，CF 是△BEH 的中位线，BF ＝FH ．设CF ＝m ．由tan ∠1＝tan ∠3＝12，得BF ＝2m ，AF ＝4m ．所以FH ＝2m ，EH ＝2m ，DC ＝1533CA m =．因此422FG AF m HG EH m ===．所以2433FG FH m ==．所以103BG m =．于是5121321102323BCDBEGm m DC BFS S BG EH m m ⨯⋅===⋅⨯△△．图4 图5例 2018年上海市静安区青浦区中考一模第24题如图1，直线121+=x y 与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，二次函数的图像与y轴相交于点C ，与直线121+=x y 相交于点A 、D ，CD //x 轴，∠CDA ＝∠OCA ．（1）求点C 的坐标；（2）求这个二次函数的解析式．图1动感体验请打开几何画板文件名“16静安青浦一模24”，可以体验到，△AOB 与△COA 相似． 满分解答（1）由121+=x y ，得A (－2, 0)，B (0, 1)．所以OA ＝2，OB ＝1．由于CD //x 轴，所以∠CDA ＝∠1． 又已知∠CDA ＝∠OCA ，所以∠1＝∠OCA ． 由tan ∠1＝tan ∠OCA ，得OB OAOA OC=． 所以122OC=．解得OC ＝4．所以C (0, 4)．（2）因为CD //x 轴，所以y D ＝y C ＝4． 图2 解方程1142x +=，得x ＝6．所以D (6, 4)． 所以抛物线的对称轴为直线x ＝3．因此点A (－2, 0)关于直线x ＝3的对称点为(8, 0)．设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋2)(x －8)．代入点C (0, 4)，得4＝－16a ． 解得14a =-．所以2113(2)(8)4442y x x x x =-+-=-++．例 2018年上海市静安区青浦区中考一模第25题如图1，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC ＝BC ＝10，cos ∠ACB ＝45，点E在对角线AC 上，且CE ＝AD ，BE 的延长线与射线AD 、射线CD 分别相交于点F 、G ．设AD ＝x ，△AEF 的面积为y ．（1）求证：∠DCA ＝∠EBC ；（2）当点G 在线段CD 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果△DFG 是直角三角形，求△AEF 的面积．图1动感体验请打开几何画板文件名“16静安青浦一模25”，拖动点D 运动，可以体验到，直角三角形DFG 存在两种情况． 满分解答（1）如图2，因为AD //BC ，所以∠DAC ＝∠ECB ．又因为AC ＝CB ，AD ＝CE ，所以△ADC ≌△CEB ．所以∠DCA ＝∠EBC ． （2）如图3，作EH ⊥BC 于H ．在Rt △EHC 中，CE ＝x ，cos ∠ECB ＝45，所以CH ＝45x ，EH ＝35x ．所以S △CEB ＝12BC EH ⋅＝131025x ⨯⨯＝3x ．因为AD //BC ，所以△AEF ∽△CEB ．所以2()AEF CEBS AE S CE=△△． 所以22103(10)()3AEFx x y S x x x--==⨯=△．定义域是0＜x≤5．定义域中x＝5的几何意义如图4，D 、F 重合，根据AD AECBCE=，列方程1010x x x-=．图2 图3 图4（3）①如图5，如果∠FGD ＝90°，那么在Rt △BCG 和Rt △BEH 中，tan ∠GBC ＝335104504xGC HE x GB HB x x===--． 由（1）得∠ACD ＝∠CBE ．由cos ∠ACD ＝cos ∠CBE ，得GC GB CEBC=．所以10GC CExGB BC==． 因此350410x x x =-．解得x ＝5．此时S △AEF ＝23(10)15x y x-==．②如图6，如果∠FDG ＝90°，那么在Rt △ADC 中，AD ＝AC cos ∠CAD ＝4105⨯＝8．此时S △AEF ＝23(10)32x y x -==．图5 图6例2018年上海市闵行区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图像与x轴交于A、B两点，点B的坐标为(3, 0)，与y轴交于点C(0,－3)，点P是直线BC下方的抛物线上的任意一点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）联结PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，如果四边形POP′C为菱形，求点P的坐标；（3）如果点P在运动过程中，使得以P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，请求出此时点P的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16闵行一模24”，拖动点P在直线BC下方的抛物线上运动，可以体验到，当四边形POP′C为菱形时，PP′垂直平分OC．还可以体验到，当点P 与抛物线的顶点重合时，或者点P 落在以BC 为直径的圆上时，△PCB 是直角三角形． 满分解答（1）将B (3, 0)、C (0,－3)分别代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得930,3.b c c ++=⎧⎨=-⎩． 解得b ＝－2，c ＝－3．所以二次函数的解析式为y ＝x 2－2x －3．（2）如图2，如果四边形POP ′C 为菱形，那么PP ′垂直平分OC ，所以y P＝32-．解方程23232x x --=-，得x =P 的坐标为3)2-．图2 图3 图4（3）由y ＝x 2－2x －3＝(x ＋1)(x －3)＝(x －1)2－4，得A (－1, 0)，顶点M (1,－4)．在Rt △AOC 中，OA ∶OC ＝1∶3．分两种情况讨论△PCB 与△AOC 相似： ①如图3，作MN ⊥y 轴于N ．由B (3, 0)、C (0,－3)，M (1,－4)，可得∠BOC ＝∠MCN ＝45°，所以∠BCM ＝90°．又因为CM ∶CB ＝1∶3，所以当点P 与点M (1,－4)重合时，△PCB ∽△AOC ． ②如图4，当∠BPC ＝90°时，构造△AEP ∽△PFB ，那么CE PF EPFB=．设P (x , x 2－2x －3)，那么22(3)(23)3(23)x x xx x x -----=---．化简，得1(2)1x x --=+．解得x =．此时点P 的横坐标为x =．而2(23)32CB NB x x x CP MP x x---===-++是个无理数，所以当∠BPC ＝90°时，△PCB 与△AOC 不相似．例 2018年上海市闵行区中考一模第25题如图1，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ，∠ABC ＝90°，对角线AC 、BD 交于点G ，已知AB ＝BC ＝3，tan ∠BDC ＝12，点E 是射线BC 上任意一点，过点B作BF ⊥DE ，垂足为F ，交射线AC 于点M ，交射线DC 于点H ．（1）当点F 是线段BH 的中点时，求线段CH 的长；（2）当点E 在线段BC 上时（点E 不与B 、C 重合），设BE ＝x ，CM ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并指出x 的取值范围；（3）联结GF ，如果线段GF 与直角梯形ABCD 中的一条边（AD 除外）垂直时，求x 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16闵行一模25”，拖动点E 在射线BC 上运动，可以体验到，点G 是BD 的一个三等分点，CH 始终都有CE 的一半．还可以体验到，GF 可以与BC 垂直，也可以与DC 垂直． 满分解答（1）在Rt △BCD 中，BC ＝3，tan ∠BDC ＝BCDC＝12，所以DC ＝6，DB ＝ 如图2，当点F 是线段BH 的中点时，DF 垂直平分BH ，所以DH ＝DB ＝此时CH ＝DB －DC ＝6．图2 图3（2）如图3，因为∠CBH 与∠CDE 都是∠BHD 的余角，所以∠CBH ＝∠CDE ． 由tan ∠CBH ＝tan ∠CDE ，得CH CECBCD =，即336CH x -=． 又因为CH //AB ，所以CH MCABMA =，即3CH =．因此36x -=)3x y x-=+．x 的取值范围是0＜x ＜3．（3）如图4，不论点E 在BC 上，还是在BC 的延长线上，都有12BG AB GDDC ==，12CH CE =． ①如图5，如果GF ⊥BC 于P ，那么AB //GF //DH ． 所以13BP PF BG BC CH BD ===．所以BP ＝1，111(3)366PF CH CE x ===-．由PF //DC ，得PF PE DC CE =，即12(3)(3)363x x x---=-．整理，得242450x x -+=．解得21x =±21BE =-②如图6，如果GF ⊥DC 于Q ，那么GF //BE ． 所以23QFDQ DG CEDC DB ===．所以DQ ＝4，2(3)3QF x =-．由QF //BC ，得QFQH BCCH=，即21(3)2(3)3213(3)2x x x ---=-． 整理，得223450x x --=．解得34x ±=．此时34BE +=．图4 图5 图6例 2018年上海市浦东新区中考一模第24题如图1，抛物线y ＝ax 2＋2ax ＋c （a ＞0）与x 轴交于A (－3,0)、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C (0,－3)，抛物线的顶点为M ．（1）求a 、c 的值； （2）求tan ∠MAC 的值；（3）若点P 是线段AC 上的一个动点，联结OP ．问：是否存在点P ，使得以点O 、C 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“16浦东一模24”，拖动点P 在线段AC 上运动，可以体验到，△COP 与△ABC 相似存在两种情况． 满分解答（1）将A (－3,0)、C (0,－3)分别代入y ＝ax 2＋2ax ＋c ，得960,3.a a c c -+=⎧⎨=-⎩ 解得a ＝1，c ＝－3．（2）由y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4，得顶点M 的坐标为(－1,－4)． 如图2，作MN ⊥y 轴于N ．由A (－3,0)、C (0,－3)、M (－1,－4)，可得OA ＝OC ＝3，NC ＝NM ＝1． 所以∠ACO ＝∠MCN ＝45°，AC ＝MC所以∠ACM ＝90°．因此tan ∠MAC ＝MC AC＝13．（3）由y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋3)(x －1)，得B (1, 0)．所以AB ＝4． 如图3，在△COP 与△ABC 中，∠OCP ＝∠BAC ＝45°，分两种情况讨论它们相似：当CP ABCOAC =时，3CP =CP =P 的坐标为(－2,－1)．当CPACCOAB =时，3CP =．解得CP =．此时点P 的坐标为93(,)44--．图2 图3例2018年上海市浦东新区中考一模第25题如图1，在边长为6的正方形ABCD中，点E为AD边上的一个动点（与A、D不重合），∠EBM＝45°，BE交对角线AC于点F，BM交对角线于点G，交CD 于点M．的值；（1）如图1，联结BD，求证：△DEB∽△CGB，并写出DECG（2）如图2，联结EG，设AE＝x，EG＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当M为边DC的三等分点时，求S△EGF的面积．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16浦东一模25”，拖动点E在AD边上运动，可以体验到，△EBD与△GBC保持相似，△EBG保持等腰直角三角形．满分解答（1）如图3，因为∠EBM＝∠DBC＝45°，所以∠1＝∠2．又因为∠EDB＝∠GCB＝45°，所以△DEB∽△CGB．因此DE DB==CG CB图3 图4（2）如图3，由△DEB ∽△CGB ，得EB DB GBCB=．又因为∠EBM ＝∠DBC ＝45°，所以△EBG ∽△DBC （如图4）． 所以△EBG 是等腰直角三角形．如图4，在Rt △ABE 中，AB ＝6，AE ＝x ，所以BE所以y ＝EG．定义域是0＜x ＜6． （3）如图5，由于S △EGB ＝12EG 2＝2364x +，EGFEGBS EFS EB=△△，所以2364EGFEF x S EB +=⨯△． 由（1）知，DE，所以 x ＝AE ＝AD －DE＝6．①如图6，当13CMCD =时，13CG CM AG AB ==．所以1144CG CA ==⨯=．此时x ＝AE＝6＝3．所以3162EF AE BF CB ===．所以13EF EB =．所以2364EGF EF x S EB +=⨯△＝2133634+⨯＝154．②如图7，当23CM CD =时，23CG CM AG AB ==．所以2255CG CA ==⨯=此时x ＝AE＝6＝65．所以61655EF AE BF CB ==÷=．所以16EF EB =．所以2364EGF EF x S EB +=⨯△＝26()361564+⨯＝3925．图5 图6图7第（2）题也可以这样证明等腰直角三角形EBG ： 如图8，作GH ⊥EB 于H ，那么△GBH 是等腰直角三角形．一方面GB CB EBDB=，另一方面cos 45HB GB =︒=GB HB EB GB =．于是可得△EBG ∽△GBH ．所以△EBG 是等腰直角三角形． 如图9，第（2）题也可以构造Rt △EGN 来求斜边EG ＝y ：在Rt △AEN 中，AE ＝x ，所以AN ＝EN ＝2x ．又因为CGDE )x -，所以GN ＝AC －AN －CG ＝所以y ＝EG．如图10，第（2）题如果构造Rt △EGQ 和Rt △CGP ，也可以求斜边EG ＝y ：由于CG )x -，所以CP ＝GP ＝1(6)2x -＝132x -．所以GQ ＝PD ＝16(3)2x --＝132x +，EQ ＝16(3)2x x ---＝132x -．所以y ＝EG．图8 图9 图10例 2018年上海市普陀区中考一模第24题如图1，已知二次函数273y ax x c =-+的图像经过A (0, 8)、B (6, 2)、C (9, m )三点，延长AC 交x 轴于点D ．（1）求这个二次函数的解析式及m 的值； （2）求∠ADO 的余切值；（3）过点B 的直线分别与y 轴的正半轴、x 轴、线段AD 交于点P （点A 的上方）、M 、Q ，使以点P 、A 、Q 为顶点的三角形与△MDQ 相似，求此时点P 的坐标． 图1 动感体验请打开几何画板文件名“16普陀一模24”，拖动点Q 在线段AD 上运动，可以体验到，△APQ 与△MDQ 相似只存在一种情况． 满分解答（1）将A (0, 8)、B (6, 2)分别代入273y ax x c =-+，得8,3614 2.c a c =⎧⎨-+=⎩解得29a =，c ＝8．所以二次函数的解析式为227893y x x =-+．所以227(9)818218593m f x x ==-+=-+=． （2）由A (0, 8)、C (9, 5)，可得直线AC 的解析式为183y x =-+．所以D (24, 0)． 因此cot ∠ADO ＝OD OA＝248＝3．（3）如图2，如果△APQ 与△MDQ 相似，由于∠AQP ＝∠MQD ，∠PAQ 与∠DMQ 是钝角，因此只存在一种情况，△APQ ∽△MDQ ．因此∠APQ ＝∠D ．作BN ⊥y 轴于N ，那么∠BPN ＝∠D ．因此cot ∠BPN ＝cot ∠D ＝3．所以PN ＝3BN ＝18．此时点P 的坐标为(0, 20)．图2例 2018年上海市普陀区中考一模第25题如图1，已知锐角∠MBN 的正切值等于3，△PBD 中，∠BDP ＝90°，点D 在∠MBN 的边BN 上，点P 在∠MBN 内，PD ＝3，BD ＝9．直线l 经过点P ，并绕点P 旋转，交射线BM 于点A ，交射线DN 于点C ，设CA x CP=．（1）求x ＝2时，点A 到BN 的距离；（2）设△ABC 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当△ABC 因l 的旋转成为等腰三角形时，求x 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16普陀一模25”，拖动点C 运动，可以体验到，AH 与BH 的比值＝tan ∠B ＝3为定值，AH 与PD 的比值＝CA ∶CP ＝x ．满分解答（1）如图2，作AH ⊥BC 于H ，那么PD //AH ． 因此2AHCAx PDCP===． 所以AH ＝2PD ＝6，即点A 到BN 的距离为6．图2 图3（2）如图3，由AHCAx PDCP==，得AH ＝xPD ＝3x ．又因为tan ∠MBN ＝AH BH＝3，所以BH ＝x ．设BC ＝m ．由CH CA x CD CP ==，得9m x x m -=-．整理，得81x m x =-．所以y ＝S △ABC ＝12BC AH ⋅＝18321x x x ⨯⨯-＝2121x x -． 定义域是0＜x ≤9．x ＝9的几何意义是点C 与点H 重合，此时CA ＝27，CP ＝3．（3）在△ABC 中，BA ，cos ∠ABCBC ＝81x x -．①如图4，当BA ＝BC 81xx =-，得1x = ②如图5，当AB ＝AC时，BC ＝2BH ．解方程821x x x =-，得x ＝5．③如图6，当CA ＝CB 时，由cos ∠ABC 12AB BC ．解方程1821xx =-，得135x =．图4 图5 图6例 2018年上海市松江区中考一模第24题如图1，已知抛物线y ＝ax 2＋bx －3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，O 是坐标原点，已知点B 的坐标是(3, 0)，tan ∠OAC ＝3．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P 在x 轴上方的抛物线上，且∠PAB ＝∠CAB ，求点P 的坐标； （3）点D 是y 轴上的一动点，若以D 、C 、B 为顶点的三角形与△ABC 相似，求出符合条件的点D 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16松江一模24”，拖动点D 在y 轴正半轴上运动，可以体验到，△BCD 与△ABC 相似存在两种情况． 满分解答（1）由y ＝ax 2＋bx －3，得C (0,－3)，OC ＝3． 由tan ∠OAC ＝3，得OA ＝1，A (－1, 0)．因为抛物线与x 轴交于A (－1, 0)、B (3, 0)两点，设y ＝a (x ＋1)(x －3)． 代入点C (0,－3)，得a ＝1．所以y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3． （2）如图2，作PH ⊥x 轴于H ．设P (x , (x ＋1)(x －3))． 由tan ∠PAB ＝tan ∠CAB ，得3PHCO AHAO ==．所以(1)(3)31x x x +-=+． 解得x ＝6．所以点P 的坐标为(6, 21)．（3）由A (－1, 0)、B (3, 0)、C (0,－3)，得BA ＝4，BC ＝∠ABC ＝∠BCO＝45°．当点D 在点C 上方时，∠ABC ＝∠BCD ＝45°．分两种情况讨论△BCD 与△ABC相似：如图3，当CD BA CBBC=时，CD ＝BA ＝4．此时D (0, 1)．如图4，当CD BCCBBA=4=92CD =．此时D 3(0,)2．图2 图3 图4例 2018年上海市松江区中考一模第25题已知等腰梯形ABCD 中，AD //BC ，∠B ＝∠BCD ＝45°，AD ＝3，BC ＝9，点P 是对角线AC 上的一个动点，且∠APE ＝∠B ，PE 分别交射线AD 和射线CD 于点E 和点G ．（1）如图1，当点E 、D 重合时，求AP 的长；（2）如图2，当点E 在AD 的延长线上时，设AP ＝x ，DE ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当线段DG AE 的长．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16松江一模25”，拖动点P 在AC 上运动，可以体验到，DG DE 也存在两种情况．满分解答（1）如图3，作AM ⊥BC ，DN ⊥BC ，垂足分别为M 、N ，那么MN ＝AD ＝3．在Rt △ABM 中，BM ＝3，∠B ＝45°，所以AM ＝3，AB ＝在Rt △AMC 中，AM ＝3，MC ＝6，所以CA ＝如图4，由AD //BC ，得∠1＝∠2．又因为∠APE ＝∠B ，当E 、D 重合时，△APD ∽△CBA ．所以AP CBADCA=．因此3AP =AP ．（2）如图5，设（1）中E 、D 重合时点P 的对应点为F ． 因为∠AFD ＝∠APE ＝45°，所以FD //PE ．所以AFADAPAE =33y=+．因此3y x =-＜x ≤图3 图4 图5（3）如图6，因为CA =AF =，所以FC ．由DF //PE ，得13FP DG FCDC===．所以FP =．由DF //PE ，92AD AF DEFP===．所以2293DE AD ==．①如图6，当P 在AF 的延长线上时，233AE AD DE =+=．②如图7，当P 在AF 上时，123AE AD DE =-=．图6 图7例 2018年上海市徐汇区中考一模第24题如图1，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，已知点A (－1,－1)，点B 在第二象限，OB＝235y x bx c =++经过点A 和B ．（1）求点B 的坐标；（2）求抛物线235y x bx c =++的对称轴；（3）如果该抛物线的对称轴分别和边AO 、BO 的延长线交于点C 、D ，设点E 在直线AB 上，当△BOE 和△BCD 相似时，直接写出点E 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16徐汇一模24”，拖动点E 在射线BA 上运动，可以体验到，△BOE 和△BCD 相似存在两种情况． 满分解答（1）由A (－1,－1)，得OA 与x 轴负半轴的夹角为45°． 又因为∠AOB ＝90°，所以OB 与x 轴负半轴的夹角也为45°． 当OB＝B 到x 轴、y 轴的距离都为2．所以点B 的坐标为(－2,2)．（2）将A (－1,－1)、B (－2,2)分别代入235y x bx c =++，得31,5122 2.5b c b c ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得65b =-，145c =-．所以23614555y x x =--．抛物线的对称轴是直线x ＝1．（3）如图2，由A (－1,－1)、B (－2,2)、C (1, 1)、D (1,－1)，以及∠AOB ＝90°，可得BO 垂直平分AC ，BO ＝BA ＝BC BD ＝如图3，过点A 、E 作y 轴的平行线，过点B 作y 轴的垂线，构造Rt △ABM 和Rt △EBN ，那么BA BMMABEBNNE==．设点E 的坐标为(x , y )1322x y==+-．图2图3当点E 在射线BA 上时，∠EBO ＝∠DBC ．分两种情况讨论相似：①当BE BCBOBD ==BE =1322x y==+-．解得x ＝43-，y ＝0．所以E 4(,0)3-（如图4）．②当BE BDBOBC ==BE =1322x y==+-．解得x ＝45-，y ＝85-．所以E 48(,)55--（如图5）．图4 图5例2018年上海市徐汇区中考一模第25题如图1，四边形ABCD中，∠C＝60°，AB＝AD＝5，CB＝CD＝8，点P、Q分别是边AD、BC上的动点，AQ与BP交于点E，且∠BEQ∠BAD．设A、P两点间的距离为x．＝90°－12（1）求∠BEQ的正切值；＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；（2）设AEPE（3）当△AEP是等腰三角形时，求B、Q两点间的距离．图1动感体验请打开几何画板文件名“16徐汇一模25”，拖动点P在AD边上运动，可以体验到，∠AEP＝∠BEQ＝∠ABH＝∠ADH，△ABF∽△BEF∽△BDP，△AEP∽△ADF．满分解答（1）如图2，联结BD、AC交于点H．因为AB＝AD，CB＝CD，所以A、C在BD的垂直平分线上．所以AC垂直平分BD．因此∠BAH＝1∠BAD．2∠BAD，因为∠BEQ＝90°－12所以∠BEQ＝90°－∠BAH＝∠ABH．在Rt △ABH 中，AB ＝5，BH ＝4，所以AH ＝3． 所以tan ∠BEQ ＝tan ∠ABH ＝34． 图2（2）如图3，由于∠BEQ ＝∠ABH ，∠BEQ ＝∠AEP ，∠ABH ＝∠ADH ， 所以∠AEP ＝∠BEQ ＝∠ABH ＝∠ADH ．图3 图4 图5如图3，因为∠BFA 是公共角，所以△BEF ∽△ABF ． 如图4，因为∠DBP 是公共角，所以△BEF ∽△BDP ． 所以△ABF ∽△BDP ．所以AB BD BF DP =．因此585BF x=-． 所以5(5)8BF x =-．所以518(5)(539)88FD BD BF x x =-=--=+．如图5，因为∠DAF 是公共角，所以△AEP ∽△ADF ． 所以5401539(539)8AE AD y PEFDx x ====++．定义域是0≤x ≤5．（3）分三种情况讨论等腰△AEP ：①当EP ＝EA 时，由于△AEP ∽△ADF ，所以DF ＝DA ＝5（如图6）． 此时BF ＝3，HF ＝1． 作QM ⊥BD 于M ．在Rt △BMQ 中，∠QBM ＝60°，设BQ ＝m ，那么12BMm =，QM =． 在Rt △FMQ 中，132FM m =-，tan ∠MFQ ＝tan ∠HFA ＝3，所以QM ＝3FM ．13(3)2m =-，得BQ ＝m ＝9- ②如图7，当AE ＝AP 时，E 与B 重合，P 与D 重合，此时Q 与B 重合，BQ ＝0． ③不存在PE ＝PA 的情况，因为∠PAE ＞∠PAH ＞∠AEP ．图6图7例 2018年上海市杨浦区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，直线y ＝x ＋4经过A 、C 两点．（1）求抛物线的表达式；（2）如果点P 、Q 在抛物线上（点P 在对称轴左边），且PQ //AO ，PQ ＝2AO ，求点P 、Q 的坐标；（3）动点M 在直线y ＝x ＋4上，且△ABC 与△COM 相似，求点M 的坐标． 图1 动感体验请打开几何画板文件名“16杨浦一模24”，拖动点M 在射线CA 上运动，可以体验到，△ABC 与△COM 相似存在两种情况． 满分解答（1）由y ＝x ＋4，得A (－4, 0)，C (0, 4)．将A (－4, 0)、C (0, 4)分别代入212y x bx c =-++，得840,4.b c c --+=⎧⎨=⎩ 解得b ＝－1，c ＝4．所以抛物线的表达式为2142y x x =--+．（2）如图2，因为PQ //AO ，所以P 、Q 关于抛物线的对称轴对称． 因为抛物线的对称轴是直线x ＝－1，PQ ＝2AO ＝8，所以x P ＝－5，x Q ＝3． 当x ＝3时，2142y x x =--+＝72-．所以P 7(5,)2--，Q 7(3,)2-．（3）由2114(4)(2)22y x x x x =--+=-+-，得B (2, 0)．由A (－4, 0)、B (2, 0)、C (0, 4)，得AB ＝6，AC ＝CO ＝4．当点M 在射线CA 上时，由于∠MCO ＝∠BAC ＝45°，所以分两种情况讨论相似：①当CM ABCOAC =时，4CM=CM =M (－3, 1)（如图3）．②当CMACCOAB=时，4CM=CM =M 84(,)33-（如图4）．图2图3图4例 2018年上海市杨浦区中考一模第25题如图1，已知菱形ABCD 的边长为5，对角线AC 的长为6，点E 为边AB 上的动点，点F 在射线AD 上，且∠ECF ＝∠B ，直线CF 交直线AB 于点M ．（1）求∠B 的余弦值；（2）当点E 与点A 重合时，试画出符合题意的图，并求BM 的长； （3）当点M 在AB 的延长线上时，设BE ＝x ，BM ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16杨浦一模25”，拖动点E 在AB 上慢慢运动，可以体验到，∠1＝∠2＝∠3，△MCE 与△MBC 保持相似． 满分解答（1）如图2，作AN ⊥BC 于N ，联结BD 交AC 于O ，那么BO 垂直平分AC ．在Rt △ABO 中，AB ＝5，AO ＝3，所以BO ＝4．因为S 菱形ABCD ＝12AC BD ⋅＝BC AN ⋅，所以64=5AN ⨯⨯．解得AN ＝245．在Rt △ABN 中，AB ＝5，AN ＝245，所以BN ＝75．因此cos ∠B ＝BN AB ＝725． （2）如图3，当点E 与点A 重合时，由于∠ECF ＝∠B ，∠FEC ＝∠1， 所以△ECF ∽△ABC ．所以EFACECAB =，即665EF =．解得365EF =．由BC //AF ，得AMAF BMBC=，即53625BMBM+=．解得12511BM =．图2图3（3）如图4，因为∠ECF ＝∠ABC ，根据等角的邻补角相等，得∠MCE ＝∠MBC ．如图5，因为∠M 是公共角，所以△MCE ∽△MBC ． 所以MC MB MEMC=．因此22()MC MB ME y x y xy y =⋅=+=+．作MH ⊥BC ，垂足为H ．在Rt △MBH 中，MB ＝y ，cos ∠MBH ＝725，所以BH ＝725y ，MH ＝2425y ．在Rt △MCH 中，根据勾股定理，得MC 2＝MH 2＋CH 2． 因此222247()(5)2525xy y y y +=++．整理，得125514y x =-．定义域是145＜x ≤5．定义域中x ＝145的几何意义如图6所示，此时D 、F 重合，AB //CF ．由CF ＝CE ，CF ＝CB ，得CE ＝CB ． 所以1cos 2BE BC B =⋅．解得BE ＝72525⨯⨯＝145．图4 图5 图6。
最新上海市2018届中考一模数学试卷分类汇编：几何证明(Word版,含答案)
九年级上学期期末（一模）数学试卷分类汇编23．（本题满分12分，每小题各6分）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，过点C 作CF ∥AB 交△ABC 的中位线DE 的延长线于F ，联结BF ，交AC 于点G ． （1）求证：GAE AC EGC ＝； （2）若AH 平分∠BAC ，交BF 于H ，求证：BH 是HG 和HF 的比例中项．23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图，在∆ABC 中，点D 在边BC 上，联结AD ，∠ADB=∠CDE ， DE 交边AC 于点E ，DE 交BA 延长线于点F ，且DF DE AD ⋅=2． （1）求证：BFD ∆∽CAD ∆； （2）求证：AD AB DE BF ⋅=⋅．23．（本题满分12分，每小题各6分）如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，联结DE ，过顶点B 作BF DE ⊥，垂足为F ，BF 交边DC 于点G ．F EA第23题图（2）联结CF ，求证：45CFB ∠=︒．已知：如图，四边形ABCD ，∠DCB =90°，对角线BD ⊥AD ，点E 是边AB 的中点，CE 与BD 相交于点F ，2BD AB BC =⋅（1）求证：BD 平分∠ABC ； （2）求证：BE CF BC EF ⋅=⋅.如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE 、BC 的延长线相交于点F ，且EF DF BF CF ⋅=⋅． （1）求证AD AB AE AC ⋅=⋅；（2）当AB =12，AC =9，AE =8时，求BD 的长与△△ADEECFS S 的值．23．（本题满分12分）如图，BD 是△ABC 的角平分线，点E 位于边BC 上，已知BD 是BA 与BE 的比例中项. （1）求证：∠CDE =12∠ABC ； （2）求证：AD •CD =AB •CE . 23.如图6，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD ，点E 在对角线AC 上，且满足∠ADE =∠BAC 。
黄浦区2018年九年级数学模拟考
则该反比例函数的解析式为
．
12．如果一次函数的图像经过第一、二、四象限，那么其函数值 y 随自变量 x 的值的增大而
．
（填“增大”或“减小”）
13．女生小琳所在班级共有 40 名学生，其中女生占 60%.现学校组织部分女生去市三女中参观，需要从
小琳所在班级的女生当中随机抽取一名女生参加，那么小琳被抽到的概率是
黄浦区 2018 年九年级模拟考 数学试卷
（考试时间：100 分钟 总分：150 分）
2018 年 4 月
一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】
23
1．下列实数中，介于 与 之间的是（ ）
21．（本题满分 10 分）
2
如图，AH 是△ABC 的高，D 是边 AB 上一点，CD 与 AH 交于点 E.已知 AB=AC=6，cosB= ，
3
AD∶DB=1∶2. （1）求△ABC 的面积； （2）求 CE∶DE.
22．（本题满分 10 分）
今年 1 月 25 日，上海地区下了一场大雪.这天早上王大爷去买菜，他先去了超市，发现蔬菜普遍涨 价了，青菜、花菜和大白菜这两天的价格如下表.王大爷觉得超市的菜不够新鲜，所以他又去了菜市场， 他花了 30 元买了一些新鲜菠菜，他跟卖菜阿姨说：“你今天的菠菜比昨天涨了 5 元/斤。”卖菜阿姨说： “下雪天从地里弄菜不容易啊，所以你花这些钱要比昨天少买 1 斤了。”王大爷回答道：“应该的，你 们也真的辛苦。”
．（用 a 、 b 表示）
17．如图，在四边形 ABCD 中，ABC ADC 90，AC 26，BD 24 ，M、N 分别是 AC、BD
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2018年上海市黄浦区中考数学一模试卷 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】 1．（4分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象大致如图所示，则下列关系式中成立的是（ ）
A．a＞0 B．b＜0 C．c＜0 D．b+2a＞0 2．（4分）若将抛物线向右平移2个单位后，所得抛物线的表达式为y=2x2，则原来抛物线的表达式为（ ） A．y=2x2+2 B．y=2x2﹣2 C．y=2（x+2）2 D．y=2（x﹣2）2 3．（4分）在△ABC中，∠C=90°，则下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 4．（4分）如图，线段AB与CD交于点O，下列条件中能判定AC∥BD的是（ ）
A．OC=1，OD=2，OA=3，OB=4 B．OA=1，AC=2，AB=3，BD=4 C．OC=1，OA=2，CD=3，OB=4 D．OC=1，OA=2，AB=3，CD=4． 5．（4分）如图，向量与均为单位向量，且OA⊥OB，令，则=（ ） 2
A．1 B． C． D．2 6．（4分）如图，在△ABC中，∠B=80°，∠C=40°，直线l平行于BC．现将直线l绕点A逆时针旋转，所得直线分别交边AB和AC于点M、N，若△AMN与△ABC相似，则旋转角为（ ）
A．20° B．40° C．60° D．80° 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．（4分）已知a、b、c满足，a、b、c都不为0，则= ． 8．（4分）如图，点D、E、F分别位于△ABC的三边上，满足DE∥BC，EF∥AB，如果AD：DB=3：2，那么BF：FC= ．
9．（4分）已知向量为单位向量，如果向量与向量方向相反，且长度为3，那么向量= ．（用单位向量表示） 10．（4分）已知△ABC∽△DEF，其中顶点A、B、C分别对应顶点D、E、F，如果∠A=40°，∠E=60°，那么∠C= 度． 11．（4分）已知锐角α，满足tanα=2，则sinα= ． 12．（4分）已知点B位于点A北偏东30°方向，点C位于点A北偏西30°方向， 3
且AB=AC=8千米，那么BC= 千米． 13．（4分）已知二次函数的图象开口向下，且其图象顶点位于第一象限内，请写出一个满足上述条件的二次函数解析式为 （表示为y=a（x+m）2+k的形式）． 14．（4分）已知抛物线y=ax2+bx+c开口向上，一条平行于x轴的直线截此抛物线于M、N两点，那么线段MN的长度随直线向上平移而变 ．（填“大”或“小”） 15．（4分）如图，矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．已知AC=6，AB=8，BC=10，设EF=x，矩形DEFG的面积为y，则y关于x的函数关系式为 ．（不必写出定义域）
16．（4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=9，将△ABC平移使其顶点C位于△ABC的重心G处，则平移后所得三角形与原△ABC的重叠部分面积是 ．
17．（4分）如图，点E为矩形ABCD边BC上一点，点F在边CD的延长线上，EF与AC交于点O，若CE：EB=1：2，BC：AB=3：4，AE⊥AF，则CO：OA= ．
18．（4分）如图，平面上七个点A、B、C、D、E、F、G，图中所有的连线长均相等，则cos∠BAF= ． 4
三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（10分）计算：2cos230°+﹣sin60°． 20．（10分）用配方法把二次函数y=﹣2x2+6x+4化为y=a（x+m）2+k的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 21．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D是边AC的中点，CE⊥BD交AB于点E． （1）求tan∠ACE的值； （2）求AE：EB．
22．（10分）如图，坡AB的坡比为1：2.4，坡长AB=130米，坡AB的高为BT．在坡AB的正面有一栋建筑物CH，点H、A、T在同一条地平线MN上．
（1）试问坡AB的高BT为多少米？ （2）若某人在坡AB的坡脚A处和中点D处，观测到建筑物顶部C处的仰角分别为60°和30°，试求建筑物的高度CH．（精确到米，≈1.73，≈1.41） 5
23．（12分）如图，BD是△ABC的角平分线，点E位于边BC上，已知BD是BA与BE的比例中项． （1）求证：∠CDE=∠ABC； （2）求证：AD•CD=AB•CE．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x=1的抛物线y=ax2+bx+8过点（﹣2，0）． （1）求抛物线的表达式，并写出其顶点坐标； （2）现将此抛物线沿y轴方向平移若干个单位，所得抛物线的顶点为D，与y轴的交点为B，与x轴负半轴交于点A，过B作x轴的平行线交所得抛物线于点C，若AC∥BD，试求平移后所得抛物线的表达式．
25．（14分）如图，线段AB=5，AD=4，∠A=90°，DP∥AB，点C为射线DP上一点，BE平分∠ABC交线段AD于点E（不与端点A、D重合）． （1）当∠ABC为锐角，且tan∠ABC=2时，求四边形ABCD的面积； （2）当△ABE与△BCE相似时，求线段CD的长； （3）设CD=x，DE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域． 6 7
2018年上海市黄浦区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】 1．（4分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象大致如图所示，则下列关系式中成立的是（ ）
A．a＞0 B．b＜0 C．c＜0 D．b+2a＞0 【分析】根据抛物线的开口、对称轴及与y轴的交点的位置，可得出a＜0、c＞0、b＞﹣2a，进而即可得出结论． 【解答】解：∵抛物线开口向下，对称轴大于1，与y轴交于正半轴， ∴a＜0，﹣＞1，c＞0， ∴b＞﹣2a， ∴b+2a＞0． 故选：D．
2．（4分）若将抛物线向右平移2个单位后，所得抛物线的表达式为y=2x2，则原来抛物线的表达式为（ ） A．y=2x2+2 B．y=2x2﹣2 C．y=2（x+2）2 D．y=2（x﹣2）2 【分析】根据平移的规律，把已知抛物线的解析式向左平移即可得到原来抛物线的表达式． 【解答】解： 8
∵将抛物线向右平移2个单位后，所得抛物线的表达式为y=2x2， ∴原抛物线可看成由抛物线y=2x2向左平移2个单位可得到原抛物线的表达式， ∴原抛物线的表达式为y=2（x+2）2， 故选：C．
3．（4分）在△ABC中，∠C=90°，则下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据题意画出图形，进而分析得出答案． 【解答】解：如图所示：sinA=． 故选：B．
4．（4分）如图，线段AB与CD交于点O，下列条件中能判定AC∥BD的是（ ） A．OC=1，OD=2，OA=3，OB=4 B．OA=1，AC=2，AB=3，BD=4 C．OC=1，OA=2，CD=3，OB=4 D．OC=1，OA=2，AB=3，CD=4． 【分析】根据平行线的判定方法即可一一判断． 【解答】解：A、∵≠， ∴本选项不符合题意． B、无法判断=， ∴本选项不符合题意； C、∵OC=1，OA=2，CD=3，OB=4， ∴=， 9
∴AC∥BD， ∴本选项符合题意； D、∵≠， ∴本选项不符合题意． 故选：C．
5．（4分）如图，向量与均为单位向量，且OA⊥OB，令，则=（ ）
A．1 B． C． D．2 【分析】根据平面向量的性质以及勾股定理即可解决问题． 【解答】解：∵向量与均为单位向量， ∴||=1，||=1， ∵OA⊥OB， ∴AB==，
∵， ∴=AB=， 故选：B．
6．（4分）如图，在△ABC中，∠B=80°，∠C=40°，直线l平行于BC．现将直线l绕点A逆时针旋转，所得直线分别交边AB和AC于点M、N，若△AMN与△ABC相似，则旋转角为（ ） 10
A．20° B．40° C．60° D．80° 【分析】若△AMN∽△ACB，则∠AMN=∠C=40°，再根据直线l平行于BC，可得∠ADE=∠B=80°，进而得到∠DFM=∠ADE﹣∠AMN=80°﹣40°=40°，即可得出旋转角的大小． 【解答】解：如图，直线l绕点A逆时针旋转，所得直线分别交边AB和AC于点M、N，
若△AMN∽△ACB，则∠AMN=∠C=40°， 又∵直线l平行于BC， ∴∠ADE=∠B=80°， ∴∠DFM=∠ADE﹣∠AMN=80°﹣40°=40°， 即直线l旋转前后的夹角为40°， ∴旋转角为40°， 故选：B．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．（4分）已知a、b、c满足，a、b、c都不为0，则= ．
【分析】设已知比例式值为k，表示出a，b，c，代入原式计算即可得到结果． 【解答】解：设=k， 可得：a=3k，b=4k，c=6k，