材料力学刘鸿文第四版第五节
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刘鸿文主编-材料力学课件
各向同性假设
总结词
各向同性假设认为材料在不同方向上具有相同的性质 和行为。
详细描述
各向同性假设是材料力学中的另一个重要假设。它意味 着材料在不同方向上具有相同的性质，如弹性模量、泊 松比等。这一假设使得我们可以用统一的数学模型来描 述材料的性质和行为，简化计算过程。在实际应用中， 对于一些各向同性较好的材料，可以采用统一的标准来 近似获得其整体性质。需要注意的是，各向同性材料并 不是指所有方向上的性质都完全相同，而是在一定范围 内可以近似认为各向同性。
机械零件设计
材料力学在机械领域中应用于各 种机械零件的设计，如轴、轴承
、齿轮等。
设备强度分析
对机械设备的强度进行分析，确保 设备在各种工况下的安全运行。
疲劳寿命预测
利用材料力学知识，预测机械零件 的疲劳寿命，提高设备的使用寿命 。
航空航天领域
飞行器结构分析
材料力学在航空航天领域 中应用于飞行器的结构分 析，确保飞行器的安全性 和稳定性。
详细描述
弹性力学理论是材料力学的基本理论之一，主要研究材料在弹性范围内受力时的变形和内力关系。该 理论基于胡克定律，即材料在弹性范围内受力时发生的形变与外力成正比，并引入了应变和应力等概 念来描述材料的变形和受力情况。
塑性力学理论
总结词
描述材料在超过弹性极限后发生塑性形 变时的应力-应变关系。
VS
根据船舶的工作环境和要求，选择具 有优良力学性能的材料。
05
材料力学的未来发展
新材料的研发
高强度轻质材料
如碳纤维复合材料、钛合金等， 在航空、汽车、体育器材等领域
有广泛应用前景。
智能材料
如形状记忆合金、压电陶瓷等， 具有自适应、自修复等特性，可 用于制造智能传感器、执行器等
刘鸿文版材料力学课件全套5幻灯片课件
能原理求自由端B的挠度。
F
解：
l
x
M(x)Fx
V
l
M2(x)dxF2l3
2EI
6EI
1 W 2 F wB
由V
W，得w B
Fl 3 3EI
例题：悬臂梁在自由端承受集中力F及集中力偶矩M0作用。设EI为常数，试求 梁的应变能。
B L
解： ⑴ 弯矩方程
F
A
M(x)MeFx
Me
⑵ 变形能
V
L
M2(x) 2EI
由此得w： C1 1M6El2I
例：求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移 C 。
wC1
B2
F
解：由功的互F等 wC1定 M 理B2
F
l
2
得：F wC1 M
2 2EI
由此得： wC1
Ml2 8EI
F3
1
13-5 卡氏定理
F2
2 3
i
F1 V W 1 2F 111 2F 221 2F 33
先作F用 2，后作F1用 ，外力所作的功
Ve1 2F 2 22 1 2F 111 F 2 21
F F 功的互等定理:
1 12 2 21
若F1F2，则得
位移互等定理:
12 21
例：求图示简支梁C截面的挠度。
F
B2
wC1
ห้องสมุดไป่ตู้
解：由功的互F等 wC1定 M 理B2
得： FwC1
Fl2 M
16EI
N05106~107时对应的
max称为条件疲劳极限，用
N0 1
表示。
对低碳钢，其
b40~050M 0 Pa
其弯曲疲劳极限 (-1)b17~022M 0 Pa
材料力学全套刘鸿文版
2020年3月4日星期三
材料力学
Mechanics of Materials
§1-1 材料力学的任务
材料力学研究什么？
工程材料的力学性能和构件的安全问题。
工程结构或机械的各组成部分统称为构件
1. 材料力学主要研究构件的强度、刚度和稳定性等 问题，
2. 以理论分析为基础，培养学生将工程实际问题提 炼成力学问题（即力学建模），
Mechanics of Materials
三、应力：内力系在某点
的内力集度，反映内力系
在该点的强弱。
FN
C
A
p FN m A
p
lim
A0
pm
lim
A0
FN A
dFN dA
2020年3月4日星期三
材料力学
Mechanics of Materials
应力p可分解：
正应力—— ； 切应力——。
p
应力单位：牛/米2（N/m2），称为帕斯卡或简称帕 （ Pa ） 。 通 常 使 用 的 是 兆 帕 ， 即 MPa （ 1MPa=106Pa)
2020年3月4日星期三
材料力学
Mechanics of Materials
§1-5 变形和应变
y
L’
M’ M
L
M’
N’
x+ s
M x N
x
2020年3月4日星期三
到了很大的简化。
B
C
δ2
F
2020年3月4日星期三
材料力学
Mechanics of Materials
FN1
FN2
P
[工学]材料力学课件第四版刘鸿文_OK
![[工学]材料力学课件第四版刘鸿文_OK](https://img.taocdn.com/s3/m/2001f2eda76e58fafbb003e9.png)
B 例 6--9 求中点C的挠度。
分析：本题有二种解法
12
q A
c L qdx A c x L dx
q
A c L
一、将qdx看成集中力作用在距原点为x
B
处。用p190（9）式。
l
2 qx(3l 2 4x2 )dx
fl
2
0
48EJ
B
q 48EJ
3l 2 x2 (
2
x4)
l
2 0
BA +
ql 4 3 1 1 5ql 4
m ml
EJ
pl pl
2
fb
fd
d
l 4
fbd
48
fbd
p ( l )3 24 3EJ
pl 3
384EJ
d
c
cd
0
pl 2 2EJ2
ml EJ2
3 pl 2
12816EJ
fd
fc
c
l 4
fcd
0 0 l ml2 4 2EJ 2
pl3 3EJ 2
pl ( l )2 p ( l )3 8 4 2 4
8
(
)
1 3k
k1
k
3ql
as k k1 , k1 0 Rb 8
k as k k1 , k1 Rb 0 Reactions at point B can not exceed the range
通常结构的刚度介于二者之间，因此B点反力不能超过这个范围
Compare internal force and deformation
Equivalent force system
x
a
x a
分析：本题有二种解法
12
q A
c L qdx A c x L dx
q
A c L
一、将qdx看成集中力作用在距原点为x
B
处。用p190（9）式。
l
2 qx(3l 2 4x2 )dx
fl
2
0
48EJ
B
q 48EJ
3l 2 x2 (
2
x4)
l
2 0
BA +
ql 4 3 1 1 5ql 4
m ml
EJ
pl pl
2
fb
fd
d
l 4
fbd
48
fbd
p ( l )3 24 3EJ
pl 3
384EJ
d
c
cd
0
pl 2 2EJ2
ml EJ2
3 pl 2
12816EJ
fd
fc
c
l 4
fcd
0 0 l ml2 4 2EJ 2
pl3 3EJ 2
pl ( l )2 p ( l )3 8 4 2 4
8
(
)
1 3k
k1
k
3ql
as k k1 , k1 0 Rb 8
k as k k1 , k1 Rb 0 Reactions at point B can not exceed the range
通常结构的刚度介于二者之间，因此B点反力不能超过这个范围
Compare internal force and deformation
Equivalent force system
x
a
x a
材料力学课件(刘鸿文)
2 1
(2) 若先在C截面加P2 ，然后B截面加P1。 若先在C截面加P 然后B截面加P 在C截面加P2 后， P2 作功 截面加P
A B
a
P (a + b) 2EA
2 2
P1
C
b
在B截面加P1后， P1作功 截面加P
P2
Pa 2EA
2 1
加 P1引起 C 截面的位移
A
P1a EA 在加P 过程中P 作功（常力作功） 在加P1 过程中P2作功（常力作功）
a
B
P1
C
b
P1P2 a EA
P2
1 1 Vε =W = P1δB1 + P2δc2 + P1δB2 2 2
a P2(a + b) P1P2 a P = + 2 + 2EA 2EA EA
2 1
注意： 注意：
(1) 计算外力作功时，注意变力作功与常力作功的 计算外力作功时，
区别。 区别。 (2) 应变能 Vε只与外力的最终值有关，而与加载过 只与外力的最终值有关， 程和加载次序无关。 程和加载次序无关。
能量方法
§13—1 概述 13—
一、能量方法：
利用功能原理 Vε = W 来求解可变形固体的位移、变形和内 来求解可变形固体的位移、 力等的方法。 力等的方法。 二、外力功 固体在外力作用下变形，引起力作用点沿力作用方向位移， 固体在外力作用下变形，引起力作用点沿力作用方向位移， 外力因此而做功，则成为外力功。 外力因此而做功，则成为外力功。
l 2
P A C
l 2
m
δ1
δ2
B
梁中点的挠度为 梁右端的转角为
= Pl + ml δ1 48EI 16EI =θ = Pl + ml δ2 16EI 3EI
(2) 若先在C截面加P2 ，然后B截面加P1。 若先在C截面加P 然后B截面加P 在C截面加P2 后， P2 作功 截面加P
A B
a
P (a + b) 2EA
2 2
P1
C
b
在B截面加P1后， P1作功 截面加P
P2
Pa 2EA
2 1
加 P1引起 C 截面的位移
A
P1a EA 在加P 过程中P 作功（常力作功） 在加P1 过程中P2作功（常力作功）
a
B
P1
C
b
P1P2 a EA
P2
1 1 Vε =W = P1δB1 + P2δc2 + P1δB2 2 2
a P2(a + b) P1P2 a P = + 2 + 2EA 2EA EA
2 1
注意： 注意：
(1) 计算外力作功时，注意变力作功与常力作功的 计算外力作功时，
区别。 区别。 (2) 应变能 Vε只与外力的最终值有关，而与加载过 只与外力的最终值有关， 程和加载次序无关。 程和加载次序无关。
能量方法
§13—1 概述 13—
一、能量方法：
利用功能原理 Vε = W 来求解可变形固体的位移、变形和内 来求解可变形固体的位移、 力等的方法。 力等的方法。 二、外力功 固体在外力作用下变形，引起力作用点沿力作用方向位移， 固体在外力作用下变形，引起力作用点沿力作用方向位移， 外力因此而做功，则成为外力功。 外力因此而做功，则成为外力功。
l 2
P A C
l 2
m
δ1
δ2
B
梁中点的挠度为 梁右端的转角为
= Pl + ml δ1 48EI 16EI =θ = Pl + ml δ2 16EI 3EI
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A
M z
ysdA M
A
AsdA
E
A
ydA
0
中性轴通过截面形心
M z
ysdA E
A
y2dA M
A
1 M
EI z
2020年7月19日1时25分
材料力学 第五章 弯曲应力
4.纯弯曲梁横截面上的应力(弯曲正应力)： ①距中性层y处的应力 s My
Iz
②梁的上、下边缘处，弯曲正应力取得最大值，分别为：
材料力学 第五章 弯曲应力
§5-1 纯弯曲 §5-2 纯弯曲时的正应力 §5-3 横力弯曲时的正应力 §5-4 弯曲切应力 §5-5 关于弯曲理论的基本假设 §5-6 提高弯曲强度的措施
2020年7月19日1时25分
材料力学 第五章 弯曲应力
§5-1 纯弯曲
CD段剪力为零，弯矩为常 量，该段梁的变形称为纯 弯曲。
2020年7月19日1时25分
材料力学 第五章 弯曲应力
4. C 截面曲率半径ρ
C 截面弯矩
MC 60kN m
C 截面惯性矩
IZ 5.832107 mm4
C
EIZ MC
200103 5.832107 60 106
194.4mm
2020年7月19日1时25分
材料力学 第五章 弯曲应力
例5-3-2：某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。
m1
m2
对称轴
O曲率中心
O1 中性层
y
a1
n1
dx
O2e2
a2 e1 n2
x
oz
y
中性轴
y
dl ydq
dq
M
m1 m2
y O1
O2 dq
20n210年a71月19日d1x时25分a2'dl
a2 n2
a1a2 a1a2 dl y dq y dq y
sy m2
a1a2 dx dx dq
2020年7月19日1时25分
材料力学 第五章 弯曲应力
弯曲正应力强度条件
σmax
M
y max max Iz
σ
1.弯矩最大的截面上
2.离中性轴最远处
3.变截面梁要综合考虑 M与 Iz
4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑
s t,max s t
s c,max s c
2020年7月19日1时25分
横力弯曲最大正应力
s max
M max ymax IZ
2020年7月19日1时25分
材料力学 第五章 弯曲应力
弯曲正应力公式适用范围：
① 线弹性范围—正应力小于比例极限sp； ② 精确适用于纯弯曲梁； ③ 对于横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比 L/h>5)，上述公式的误差不大，但公式中的M 应为所研究截面上的弯矩，即为截面位置的 函数。
已知E=200GPa，C 截面的曲率半径ρ
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
120
B
x
FBY
180
30 解：1. 求支反力
K
z
FAy 90kN
y
FBy 90kN
x
MC 901 6010.5 60kN m
90kN
M ql2 / 8 67.5kN m
IZ
bh3 12
1201803 12
5.832107 mm4
2020年7月19日1时25分
x
材料力学 第五章 弯曲应力
sK
MC yK IZ
60103 (180 30) 2
5.832 107
61.7MPa
2. C 截面最大正应力
（压应力）
C 截面弯矩 MC 60kN m
C 截面惯性矩 IZ 5.832107 mm4
材料力学 第五章 弯曲应力
根据强度条件可进行：
强度校核: s max [s ]
截面设计:
Wz
M max
[s ]
确定梁的许可荷载:
M max [s ]Wz
2020年7月19日1时25分
材料力学 第五章 弯曲应力
例5-3-1：求图示梁（1）C 截面上K点正应力；（2）C
截面上最大正应力；（3）全梁上最大正应力；（4）
M e2
x
y e1
n2
sL
s E y
材料力学 第五章 弯曲应力
2.物理关系（胡克定律)
s E E y
smin
M
smin M
smax
smax
2020年7月19日1时25分
材料力学 第五章 弯曲应力
3.静力关系
Mz(中性轴)O A yzxsdA
y
FN
sdA 0
A
M y
zsdA 0
s Cmax
M C ymax IZ
60103 180
2 5.832 107
92.55MPa
2020年7月19日1时25分
材料力学 第五章 弯曲应力
3. 全梁最大正应力
最大弯矩
Mmax 67.5kN m
s max
M max ymax IZ
67.5103 180
2 5.832 107
104.17MPa
2020年7月19日1时25分
材料力学 第五章 弯曲应力
假设
①
②
平
纵
面
向
假
纤
设
维
间
无
正
应
力
中性层：梁内一层纤维既不伸 长也不缩短，因而纤维不受拉 应力和压应力，此层纤维称中 性层。
中性轴：中性层与横截面的交 线。
2020年7月19日1时25分
材料力学 第五章 弯曲应力
§5-2 纯弯曲时的正应力
1.变形几何关系
AC、BD段梁的内力既有弯
矩又有剪力，该段梁的变 形称为横力弯曲。
2020年7月19日1时25分
材料力学 第五章 弯曲应力
梁的纯弯曲实验
实验现象：横向线(a b）变形后仍为直线，但有转动；纵向 线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。 平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动， 仍垂直于变形后的梁轴线。
已 度知l 电9葫.5芦m自，重材料F1的 许6.7用k应N，力起s重量14F02MP5a0k。N，试跨选择
工字钢的型号。
2020年7月19日1时25分
材料力学
s tmax
My1 Iz
，s
c
m
ax
My2 Iz
|s
|max
(Iz
M / ymax)
M Wz
Wz I z / yma—x 抗弯截面模量。
2020年7月19日1时25分
材料力学 第五章 弯曲应力
5.三种典型截面对中性轴的惯性矩
矩形截面：
Iz
bh3 12
Wz
Iz h/2
bh2 6
实心圆截面
d 4
I z 64
Wz
Iz d /2
d 4
64
截面为外径D、内径
Iz
D 4
64
(1 a 4 )
d(a=d/D)的空心圆:
Wz
Iz D/2
D3
32
(1 a 4 )
2020年7月19日1时25分
材料力学 第五章 弯曲应力
§5-3 横力弯曲时的正应力
弯曲正应力分布 s My
IZ
弹性力学精确分析表明，当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时，纯弯曲正应力公 式对于横力弯曲近似成立。
M z
ysdA M
A
AsdA
E
A
ydA
0
中性轴通过截面形心
M z
ysdA E
A
y2dA M
A
1 M
EI z
2020年7月19日1时25分
材料力学 第五章 弯曲应力
4.纯弯曲梁横截面上的应力(弯曲正应力)： ①距中性层y处的应力 s My
Iz
②梁的上、下边缘处，弯曲正应力取得最大值，分别为：
材料力学 第五章 弯曲应力
§5-1 纯弯曲 §5-2 纯弯曲时的正应力 §5-3 横力弯曲时的正应力 §5-4 弯曲切应力 §5-5 关于弯曲理论的基本假设 §5-6 提高弯曲强度的措施
2020年7月19日1时25分
材料力学 第五章 弯曲应力
§5-1 纯弯曲
CD段剪力为零，弯矩为常 量，该段梁的变形称为纯 弯曲。
2020年7月19日1时25分
材料力学 第五章 弯曲应力
4. C 截面曲率半径ρ
C 截面弯矩
MC 60kN m
C 截面惯性矩
IZ 5.832107 mm4
C
EIZ MC
200103 5.832107 60 106
194.4mm
2020年7月19日1时25分
材料力学 第五章 弯曲应力
例5-3-2：某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。
m1
m2
对称轴
O曲率中心
O1 中性层
y
a1
n1
dx
O2e2
a2 e1 n2
x
oz
y
中性轴
y
dl ydq
dq
M
m1 m2
y O1
O2 dq
20n210年a71月19日d1x时25分a2'dl
a2 n2
a1a2 a1a2 dl y dq y dq y
sy m2
a1a2 dx dx dq
2020年7月19日1时25分
材料力学 第五章 弯曲应力
弯曲正应力强度条件
σmax
M
y max max Iz
σ
1.弯矩最大的截面上
2.离中性轴最远处
3.变截面梁要综合考虑 M与 Iz
4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑
s t,max s t
s c,max s c
2020年7月19日1时25分
横力弯曲最大正应力
s max
M max ymax IZ
2020年7月19日1时25分
材料力学 第五章 弯曲应力
弯曲正应力公式适用范围：
① 线弹性范围—正应力小于比例极限sp； ② 精确适用于纯弯曲梁； ③ 对于横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比 L/h>5)，上述公式的误差不大，但公式中的M 应为所研究截面上的弯矩，即为截面位置的 函数。
已知E=200GPa，C 截面的曲率半径ρ
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
120
B
x
FBY
180
30 解：1. 求支反力
K
z
FAy 90kN
y
FBy 90kN
x
MC 901 6010.5 60kN m
90kN
M ql2 / 8 67.5kN m
IZ
bh3 12
1201803 12
5.832107 mm4
2020年7月19日1时25分
x
材料力学 第五章 弯曲应力
sK
MC yK IZ
60103 (180 30) 2
5.832 107
61.7MPa
2. C 截面最大正应力
（压应力）
C 截面弯矩 MC 60kN m
C 截面惯性矩 IZ 5.832107 mm4
材料力学 第五章 弯曲应力
根据强度条件可进行：
强度校核: s max [s ]
截面设计:
Wz
M max
[s ]
确定梁的许可荷载:
M max [s ]Wz
2020年7月19日1时25分
材料力学 第五章 弯曲应力
例5-3-1：求图示梁（1）C 截面上K点正应力；（2）C
截面上最大正应力；（3）全梁上最大正应力；（4）
M e2
x
y e1
n2
sL
s E y
材料力学 第五章 弯曲应力
2.物理关系（胡克定律)
s E E y
smin
M
smin M
smax
smax
2020年7月19日1时25分
材料力学 第五章 弯曲应力
3.静力关系
Mz(中性轴)O A yzxsdA
y
FN
sdA 0
A
M y
zsdA 0
s Cmax
M C ymax IZ
60103 180
2 5.832 107
92.55MPa
2020年7月19日1时25分
材料力学 第五章 弯曲应力
3. 全梁最大正应力
最大弯矩
Mmax 67.5kN m
s max
M max ymax IZ
67.5103 180
2 5.832 107
104.17MPa
2020年7月19日1时25分
材料力学 第五章 弯曲应力
假设
①
②
平
纵
面
向
假
纤
设
维
间
无
正
应
力
中性层：梁内一层纤维既不伸 长也不缩短，因而纤维不受拉 应力和压应力，此层纤维称中 性层。
中性轴：中性层与横截面的交 线。
2020年7月19日1时25分
材料力学 第五章 弯曲应力
§5-2 纯弯曲时的正应力
1.变形几何关系
AC、BD段梁的内力既有弯
矩又有剪力，该段梁的变 形称为横力弯曲。
2020年7月19日1时25分
材料力学 第五章 弯曲应力
梁的纯弯曲实验
实验现象：横向线(a b）变形后仍为直线，但有转动；纵向 线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。 平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动， 仍垂直于变形后的梁轴线。
已 度知l 电9葫.5芦m自，重材料F1的 许6.7用k应N，力起s重量14F02MP5a0k。N，试跨选择
工字钢的型号。
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材料力学
s tmax
My1 Iz
，s
c
m
ax
My2 Iz
|s
|max
(Iz
M / ymax)
M Wz
Wz I z / yma—x 抗弯截面模量。
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材料力学 第五章 弯曲应力
5.三种典型截面对中性轴的惯性矩
矩形截面：
Iz
bh3 12
Wz
Iz h/2
bh2 6
实心圆截面
d 4
I z 64
Wz
Iz d /2
d 4
64
截面为外径D、内径
Iz
D 4
64
(1 a 4 )
d(a=d/D)的空心圆:
Wz
Iz D/2
D3
32
(1 a 4 )
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材料力学 第五章 弯曲应力
§5-3 横力弯曲时的正应力
弯曲正应力分布 s My
IZ
弹性力学精确分析表明，当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时，纯弯曲正应力公 式对于横力弯曲近似成立。