江西吉安市第一中学高三下学期第一次段考数学理试题word含答案
江西省重点中学协作体2024届高三一模数学试题含答案解析
江西省重点中学协作体2024届高三第一次联考数学试卷命题：新余一中何幼平吉安县中刘泰峥孔丽华（考试时间：120分钟，试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.己知集合{}{}22150,sin A x x x B y y x =∈--≤==N ∣∣，则A B = （）A.{11}x x -≤≤∣ B.{0,1}C.{1,0,1}- D.{1}2.在复平面内，复数z 对应的点在第三象限，则复数2024(1i)z ⋅+对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知π31sin ,ln ,522a b c ===，则（）A .a b c>> B.c a b>> C.c b a>> D.a c b>>4.已知2sin 3αα=+，则πsin(26α-=（）A.18-B.78-C.34D.785.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12F F 、，点M 为1F 关于渐近线的对称点．若122MF MF =，且12MF F △的面积为8，则C 的方程为（）A .2214y x -= B.2214x y -= C.22128x y -= D.221416x y -=6.如图，正六边形的边长为，半径为1的圆O 的圆心为正六边形的中心，若点M 在正六边形的边上运动，动点A ，B 在圆O 上运动且关于圆心O 对称，则MA MB ⋅的取值范围为（）A.[]4,5 B.[]5,7 C.[]4,6 D.[]5,87.中国蹴鞠已有两千三百多年的历史，于2004年被国际足联正式确认为世界足球运动的起源．蹴鞠在2022年卡塔尔世界杯上再次成为文化交流的媒介，走到世界舞台的中央，诉说中国传统非遗故事．为弘扬中华传统文化，某市四所高中各自组建了蹴鞠队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率均为13，则在比赛结束时丙队在输了第一场且其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为（）A.19B.527C.481D.82438.已知函数()f x 及其导函数()f x '定义域均为R ，记()()1g x f x '=+，且(2)(2)4f x f x x +--=，()3g x +为偶函数，则()()717g g '+=（）A.0B.1C.2D.3二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．9.下列说法正确的是（）A.用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，个体m 被抽到的概率是0.2B.已知一组数据1，2，m ，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的50%分位数是17D.若样本数据1x ，2x ，…，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，…，1021x -的标准差为1610.已知函数()112ee 2x xf x x x --=++-，若不等式()2(2)3f a f x -<+对任意的x ∈R恒成立，则实数a 的取值可能是（）A.4- B.12-C.1D.211.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，M 是棱11A B 的中点．P 是平面11CDD C 上的动点(如图)，则下列说法正确的是（）A.若点P 在线段1C D 上，则//BP 平面11B D AB.平面1PBD ⊥平面11AC DC.若1MBP MBD ∠=∠，则动点P 的轨迹为抛物线D.以1ABA △的一边1A B 所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周，在旋转过程中，三棱锥1A BDC -体积的取值范围为1212,612612⎡-+⎢⎣⎦三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．12.62()x x y y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中24x y 的系数为___________．13.已知正数x ，y 满足6x y +=，若不等式2212x y a x y ≤+++恒成立，则实数a 的取值范围是___________．14.斐波那契数列(Fibonacci sequence)，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci)以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：{}*01121220241,1,(2,,,,,),n n n a a a a a n n A a a a B A --===+≥∈=⊆N 且B ≠∅中，则B 中所有元素之和为奇数的概率为____．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC 中，已知内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且ABCD 是线段BC 上靠近点B 的一个三等分点，1AD =．（1）若π3ADC ∠=，求c ；（2）若22411b c +=，求sin BAC ∠的值．16.如图，在三棱锥D ABC -中，7,5AB AD BD AC BC CD ======．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）若E 是线段CD 上的点，且4CD CE =，求二面角E AB C --的正切值．17.已知椭圆22:195x y E +=的左右顶点分别为A 、B ，点C 在E 上，点()()6,,6,M N M y N y 分别为直线AC BC 、上的点.（1）求M N y y ⋅的值；（2）设直线BM 与椭圆E 的另一个交点为D ，求证：直线CD 经过定点.18.设(),X Y 是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为(),i j a b ，其中,i j ∈*N ，令(),ij i j p P X a Y b ===，称(),ij p i j ∈*N是二维离散型随机变量(),X Y 的联合分布列，与一维的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式；(),X Y 1b 2b 3b ⋅⋅⋅1a 11p 12p 13p ⋅⋅⋅2a 21p 22p 23p ⋅⋅⋅3a 31p 32p 33p ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅现有()n n ∈*N个球等可能的放入编号为1,2,3的三个盒子中，记落入第1号盒子中的球的个数为X ，落入第2号盒子中的球的个数为Y ．（1）当2n =时，求(),X Y 的联合分布列，并写成分布表的形式；（2）设()0,,n k m p P X k Y m k ====∈∑N 且k n ≤，求0nkk kp=∑的值．（参考公式：若()~,X B n p ，则()01nn kk k n k kC p p np -=-=∑）19.已知函数()()2ln 21f x x x a x =-+（a ∈R ）.（1）若1a =-，求()f x 的图象在1x =处的切线方程；（2）若()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <）.①求a 的取值范围；②求证：21132x x a->-.江西省重点中学协作体2024届高三第一次联考数学试卷命题：新余一中何幼平吉安县中刘泰峥孔丽华（考试时间：120分钟，试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.己知集合{}{}22150,sin A x x x B y y x =∈--≤==N ∣∣，则A B = （）A.{11}xx -≤≤∣ B.{0,1}C.{1,0,1}- D.{1}【答案】B 【解析】【分析】求出,A B 后利用交集的定义可求A B ⋂.【详解】{}{}252150|30,1,2,32A x x x x x ⎧⎫=∈--≤=∈-≤≤=⎨⎬⎩⎭NN ∣,而{}{}sin |11B yy x y y ===-≤≤∣，故{0,1}A B = ，故选：B2.在复平面内，复数z 对应的点在第三象限，则复数2024(1i)z ⋅+对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由复数的运算，即可得到结果.【详解】因为()()()10125062101210122220241011i 2(i 21i)i 2⎡⎤===⎣⎦++=，且复数z 对应的点在第三象限，则12020142(1i)2z z =⋅+⋅对应的点也在第三象限.故选：C 3.已知π31sin ,ln ,522a b c ===，则（）A.a b c >>B.c a b>> C.c b a>> D.a c b>>【答案】D 【解析】【分析】利用正弦函数的单调性可得a c >，利用导数可证不等式ln 1(1)x x x <->成立，故可判断b c <，故可得三者大小关系.【详解】ππ1sinsin 562a c =>==，设()ln 1,1f x x x x =+->，则()10xf x x-'=<，故()f x 在()1,+∞上为减函数，故()()10f x f <=即ln 1(1)x x x <->，所以33ln 122b c =<-=，故a c b >>，故选：D.4.已知2sin 3αα=+，则πsin(26α-=（）A.18-B.78-C.34D.78【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用辅助角公式，结合诱导公式及二倍角的余弦公式计算即得.【详解】由2sin 3αα=+，得133sin cos 224αα-=，即π3sin()34α-=，所以228πs ππππ31()c 3in(2)sin 2os ()12sin ()12(3263[42αααα-+=-=---⨯==--=.故选：A5.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12F F 、，点M 为1F 关于渐近线的对称点．若122MF MF =，且12MF F △的面积为8，则C 的方程为（）A.2214y x -= B.2214x y -= C.22128x y -= D.221416x y -=【答案】C 【解析】【分析】利用点到直线的距离公式、勾股定理结合三角形面积公式可解.【详解】记1F M 与渐近线0bx ay +=相交于点N ，由题可知，ON 为12MF F △的中位线，且1ON F M ⊥，所以21F M F M ⊥，因为焦点()1,0F c -到渐近线0bx ay +=的距离1F N b ==，所以12F M b =，222F M ON a ===，则12121282F F M S MF MF ab === ，又122MF MF =，即2b a =，联立282ab b a =⎧⎨=⎩解得222,8a b ==，所以C 的方程为22128x y -=.故选：C6.如图，正六边形的边长为，半径为1的圆O 的圆心为正六边形的中心，若点M 在正六边形的边上运动，动点A ，B 在圆O 上运动且关于圆心O 对称，则MA MB ⋅的取值范围为（）A.[]4,5 B.[]5,7 C.[]4,6 D.[]5,8【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由平面向量数量积的运算化简，可得21M MO A MB -⋅= ，再由MO的范围，即可得到结果.【详解】由题意可得，()()()()MA MB MO OA MO OB MO OA MO OA⋅=+⋅+=+⋅-2221MO OA MO =-=- ，当OM 与正六边形的边垂直时，minMO =当点M 运动到正六边形的顶点时，maxMO =，所以MO ∈ ，则[]26,8MO ∈ ，即()[]25,71M MA MB O ⋅-=∈ .故选：B7.中国蹴鞠已有两千三百多年的历史，于2004年被国际足联正式确认为世界足球运动的起源．蹴鞠在2022年卡塔尔世界杯上再次成为文化交流的媒介，走到世界舞台的中央，诉说中国传统非遗故事．为弘扬中华传统文化，某市四所高中各自组建了蹴鞠队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率均为13，则在比赛结束时丙队在输了第一场且其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为（）A.19B.527C.481D.8243【答案】D 【解析】【分析】根据丙是最高分可得丙余下两场比赛全赢，再就甲乙、甲丁的输赢（丙的第一场对手若为甲）分类讨论后可得正确的选项.【详解】三队中选一队与丙比赛，丙输，131C 3⨯，例如是丙甲，若丙与乙、丁的两场比赛一赢一平，则丙只得4分，这时，甲乙、甲丁两场比赛中甲只能输，否则甲的分数不小于4分，不合题意，在甲输的情况下，乙、丁已有3分，那个它们之间的比赛无论什么情况，乙、丁中有一人得分不小于4分，不合题意.若丙全赢（概率是21()3）时，丙得6分，其他3人分数最高为5分，这时甲乙，甲丁两场比赛中甲不能赢，否则甲的分数不小于6分，（1）若甲乙，甲丁两场比赛中甲一平一输，则一平一输的概率是1221C ()3，如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率是23，（2）若甲乙，甲丁两场比赛中甲两场均平，概率是21(3，乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意，（3）若甲乙，甲丁两场比赛中甲都输，概率是21()3，乙丁这场比赛只能平，概率是13.综上，概率为12122232511121118C ([C ()((]33333333⨯⨯⨯⨯⨯++⨯=，D 正确．故选：D.8.已知函数()f x 及其导函数()f x '定义域均为R ，记()()1g x f x '=+，且(2)(2)4f x f x x +--=，()3g x +为偶函数，则()()717g g '+=（）A.0B.1C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】对(2)(2)4f x f x x +--=两边同时求导，结合函数的周期和偶函数的性质进行求解即可.【详解】因为()3g x +为偶函数，()()1g x f x '=+，所以()()44f x f x ''+=-+，对(2)(2)4f x f x x +--=两边同时求导，得(2)(2)4f x f x ''++-=，所以有(4)()4(4)()4(4)()4(8)(),f x f x f x f x f x f x f x f x ''''''''++-=⇒-+-=⇒++=⇒+=所以函数()f x '的周期为8，在(2)(2)4f x f x ''++-=中，令0x =，所以(2)2f '=，因此()()()171822g f f ''===，因为()3g x +为偶函数，所以有()()()()()()()3373311g x g x g g x g x g ''=-⇒=--⇒=-'+-'+，()()()()()()()(8)()7171712f x f x g x g x g x g x g g ''''''+=⇒+=-⇒+=-⇒=-，由()()1,2可得：()70g '=，所以()()7172g g '+=，故选：C【点睛】关键点睛：本题的关键是对(2)(2)4f x f x x +--=两边同时求导，再利用赋值法进行求解.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．9.下列说法正确的是（）A.用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，个体m 被抽到的概率是0.2B.已知一组数据1，2，m ，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的50%分位数是17D.若样本数据1x ，2x ，…，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，…，1021x -的标准差为16【答案】AD 【解析】【分析】利用概率对于即可判断A ；根据平均数求得m 的值，然后利用方差公式求解即可判断B ；根据百分位数的求法即可判断C ；利用方差公式求解即可判断D.【详解】对于A ，一个总体含有50个个体，某个个体被抽到的概率为150，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为10的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为11100.2055⨯==，故A 正确；对于B ， 数据1，2，m ，6，7的平均数是4，4512674m =⨯----=，这组数据的方差是()()()()()222222114244464745s ⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦=265，故B 错误；对于C ，8个数据50百分为850%4⨯=，第50百分位数为1719=182+，故C 错误；对于D ，依题意，()28D x =，则()()2221216D x D x -=⨯=，所以数据121021,21,,21x x x --⋯-的标准差为16，D 正确；故选：AD.10.已知函数()112ee 2x xf x x x --=++-，若不等式()2(2)3f a f x -<+对任意的x ∈R恒成立，则实数a 的取值可能是（）A.4-B.12-C.1D.2【答案】BCD 【解析】【分析】先根据函数解析式判断对称性，再结合导数判断单调性，根据对称性和单调性得出答案.【详解】因为()112ee 2x xf x x x --=++-，所以()()()()2112e e 222x x f x x x f x ---=++---=，即函数()f x 的图象关于直线1x =对称.当1x >时，()22211y x x x =-=--为增函数；令()11ee x x g x --=+，则()11e e x x g x ---'=，1x >时，1e 1x ->，1e 1x -<，所以()0g x '>，所以()11ee x x g x --=+为增函数，所以当1x >时，()f x 为增函数.由对称性可知，当1x <时，()f x 为减函数.因为()2(2)3f a f x -<+恒成立，所以212a x -<+恒成立，即12a -<，解得13a -<<.故选：BCD.11.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，M 是棱11A B 的中点．P 是平面11CDD C 上的动点(如图)，则下列说法正确的是（）A.若点P 在线段1C D 上，则//BP 平面11B D AB.平面1PBD ⊥平面11AC DC.若1MBP MBD ∠=∠，则动点P 的轨迹为抛物线D.以1ABA △的一边1A B 所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周，在旋转过程中，三棱锥1A BDC -体积的取值范围为11,612612⎡-+⎢⎣⎦【答案】ABD 【解析】【分析】利用面面平行证线面平行可判定A 项；利用线面垂直证面面垂直可判定B 项；利用平面截圆锥的结论可判定C 项；先确定A 的轨迹，取11,AB DC 中点分别为N ，Q ，可证平面1BDC ⊥平面BNQ ，利用空间位置关系确定动点A 距离底1BDC 的最值即可判定D 项.【详解】对于A 项，如图所示，连接对应面对角线，根据正方体的性质可知：11//BD B D ，BD ⊄平面11B D A ，11B D ⊂平面11B D A ，∴//BD 平面11B D A ，同理可知1//C D 平面11B D A ，又11,BD DC BD DC ⊂ 、平面1BC D ，∴平面1//BC D 平面11B D A ，又1P C D ∈，∴BP ⊂平面1BC D ，∴//BP 平面11B D A ，故A 正确;对于B 项，易知1BB ⊥面1111D C B A ，11AC ⊂面1111D C B A ，则111A C B B ⊥，又11111111111,,AC B D B D BB B B D BB ⊥=⊂ 、平面1BB D ，∴11A C ⊥平面1BB D ，而1BD ⊂平面1BB D ，∴111BD A C ⊥，同理11BD DC ⊥，又1111111,DC AC C DC AC =⊂ 、平面11AC D ，∴1BD ⊥平面11AC D ，又∵1BD ⊂平面1PBD ，∴平面1PBD ⊥平面11AC D ，故B 正确;对于C 项，因为BM 为定直线，1D BM ∠是定角，1D 到BM 的距离为定值，所以1MBP MBD ∠=∠时，P 在以BM 为旋转轴，1D 到BM 的距离为半径的圆锥上，又//BM平面11CDD C ，故平面11CDD C 截圆锥的轨迹为双曲线的一支，即C 错误；对于D 项，设11,AB DC 中点分别为N ，Q ，则点A 的运动轨迹是平面11AB C D 内以N 为圆心，22为半径的圆(如图)，易知11,,,DC NQ DC BQ NQ BQ Q NQ BQ ⊥⊥=⊂ 、平面BNQ ，∴1DC ⊥平面BNQ ，∵1DC ⊂平面1BDC ，∴平面1BDC ⊥平面BNQ ，而232sin 3NBNQB BQ∠==，设NQ 与圆的交点分别为E ，F (点E 位于点F ，Q 之间，如上图所示)，易知当点A 分别位于点E ，F 时，点A 到平面1BDC 的距离分别取到最小值和最大值，且距离的最小值min 2231sin 1223d NQB ⎛⎫⎛⎫=-⋅∠=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，距离的最大值max2231sin 1223d NQB ⎛⎫⎛⎫=+⋅∠=+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵1BDC的面积21sin 6022S =⋅⋅=，minmax 11111132236123223612V V ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-⋅=-=⋅⋅+⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选项D 正确．综上，正确选项为ABD ．故选：ABD【点睛】本题难点在判定CD 选项，C 项需要利用平面截圆锥曲线（不过圆锥顶点）来判定即可（当且仅当平面平行于圆锥底面时截圆锥所得图形为圆，慢慢倾斜平面至与圆锥母线平行之前截圆锥得图形均为椭圆，当且仅当平面与圆锥的母线平行时所截图形为抛物线，再倾斜平面直至与圆锥的轴平行时所截图形均为双曲线的一支）；D 项需要先确定旋转过程中A 的轨迹，再判定A 到面1BDC 的距离最值.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．12.62()x x y y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中24x y 的系数为___________．【答案】24【解析】【分析】利用二项式定理展开式的通项公式可求答案.【详解】二项式6()x y +的展开式通项公式为616C ,6,N rrr r T xy r r -*+=≤∈，当4r =时，4242456C 15T x y x y ==，当=5r 时，515566C 6T x y xy ==，因此展开式中含24x y 的项为245242156()24x x y xy x y y⨯+⋅-=，故所求系数为24.故答案为：24.13.已知正数x ，y 满足6x y +=，若不等式2212x y a x y ≤+++恒成立，则实数a 的取值范围是___________．【答案】(],4∞-【解析】【分析】将2212x y x y +++变形为1414122431212x y x y x y ++-+++-=++++++，利用均值不等式求1412x y +++的最小值即可求解.【详解】因为6x y +=，所以()()()()2222121124241212x x y y x y t x y x y +-+++-++=+=+++++1414122431212x y x y x y =++-+++-=++++++，所以1412143312912x y t x y x y ⎛⎫+++=++=++ ⎪++++⎝⎭()()()41322322249919299x y x y ++=++≥+⨯=++，等号成立当且仅当4,2y x ==，所以22min412x y x y ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭，实数a 的取值范围是(],4∞-.【点睛】关键点点睛：关键是首先得到221431212x y x y x y +=++++++，进一步结合乘“1”法即可顺利得解.14.斐波那契数列(Fibonacci sequence)，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci)以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：{}*01121220241,1,(2,,,,,),n n n a a a a a n n A a a a B A --===+≥∈=⊆N 且B ≠∅中，则B 中所有元素之和为奇数的概率为____．【答案】20232024221-【解析】【分析】记A 中所有偶数组成的集合为C ，所有奇数组成的集合为D ，集合C 的子集为E ，集合D 中含有奇数个元素的子集为F ，则所有元素之和为奇数的集合B 可看成E F ⋃，然后可解.【详解】由斐波那契数列规律可知，集合{}122024,,,A a a a = 中的元素有674个偶数，1350个奇数，记A 中所有偶数组成的集合为C ，所有奇数组成的集合为D ，集合C 的子集为E ，集合D 中含有奇数个元素的子集为F ，则所有元素之和为奇数的集合B 可看成E F ⋃，显然集合E 共有6742个，集合F 共有135134913491350135013501350C C C C 2+++⋅⋅⋅+=个，所以所有元素之和为奇数的集合B 共有67413492023222⨯=个，又集合A 的非空子集共有202421-个，所以B 中所有元素之和为奇数的概率为20232024221-.故答案为：20232024221-【点睛】关键点睛：解决本题的关键是将集合A 分拆成所有偶数组成的集合及所有奇数组成的集合，利用二项式系数的性质求出含有奇数个奇数组成的集合个数.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC 中，已知内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且ABCD 是线段BC 上靠近点B 的一个三等分点，1AD =．（1）若π3ADC ∠=，求c ；（2）若22411b c +=，求sin BAC ∠的值．【答案】（1）373（2）437【解析】【分析】（1）由2CD BD =得2231sin 332ACD ABC S S AD CD ADC ===⋅⋅∠ ，再结合余弦定理从而可求解.（2）由2CD BD =利用向量可得2133AD AB AC =+，并结合22411b c +=得1cos2bc BAC ⋅∠=-，再由1sin 2bc BAC ⋅∠=，从而可求解.【小问1详解】由题可得：2CD BD =，故22333ACD ABC S S ==又1sin 2ACD S AD CD ADC =⋅⋅∠ ，即11223CD ⨯⨯⨯=，83CD ∴=，即43BD =在ABD 中，根据余弦定理得2222cos AB BD AD AD BD ADB =+-⋅⋅∠即21641121932AB =++⨯⨯⨯3AB ∴=，即3c =，【小问2详解】2CD BD = ，2133AD AB AC ∴=+222414999AD AB AC AB AC ∴=++⋅ ，即22441cos 999c b bc BAC=++⋅∠又22411b c +=，1cos 2bc BAC ∴⋅∠=-①又1sin 2bc BAC ⋅∠=②，由①②得：tan BAC ∠=-sin 7BAC ∴∠=16.如图，在三棱锥D ABC -中，7,5AB AD BD AC BC CD ======．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）若E 是线段CD 上的点，且4CD CE =，求二面角E AB C --的正切值．【答案】（1）证明见解析（2）28【解析】【分析】（1）在ACD 中求CAD ∠和边AC 的高，进而判断ABC ∆≌ADC ∆，最后证明ACD 边AC 的高即为面ABC 的垂线，证明结论即可；（2）先建立空间直角坐标系，分别求出面ABE 和ABC 的法向量，求出两个法向量夹角的余弦值后，利用同角三角函数关系式，求二面角的正切值即可.【小问1详解】证明：在ACD中，2222222cos 22AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅，所以45CAD ∠=︒，过点D 作DO AC ⊥于点O ，连接BO ，则sin sin 453DO AD CAD =⋅∠=︒=，因为AB AD CD CB ==，，所以ABC ≌ADC ，得3OD OB ==，又BD =所以222OB OD BD +=，得OD OB ⊥，又OD AC ⊥，OD OB ⊥，OB AC O = ，AC ⊂平面ABC ，OB ⊂平面ABC ，所以OD ⊥平面ABC ，因为OD ⊂平面ACD ，OD ⊥平面ABC ，所以平面ACD ⊥平面ABC .【小问2详解】由（1）知，,,OA OB OD 两两垂直，如图以O 为原点建立坐标系O xyz -，(3,0,0)(0,3,0)(0,0,3)(4,0,0)A B D C -，，，，因为4CD CE = ，得3(3,0,4E -，设(,,)n x y z =是平面ABE 的一个法向量，则330036004x y n AB x z n AE -+=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎪⎪⎩⎩118x y z ===令，则，，得(1,1,8)n =，而(0,0,1)m =是平面ABC 的一个法向量，两个法向量,m n 夹角的余弦值为：46633||||m n m n ⋅=⋅设二面角E AB C --平面角的大小为θ，结合图形得：cos 33θ=，33sin 33θ==，sin 2tan cos 846633θθθ===，所以二面角E AB C --的正切值为28.17.已知椭圆22:195x y E +=的左右顶点分别为A 、B ，点C 在E 上，点()()6,,6,M N M y N y 分别为直线AC BC 、上的点.（1）求M N y y ⋅的值；（2）设直线BM 与椭圆E 的另一个交点为D ，求证：直线CD 经过定点.【答案】（1）15-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）解法一：设11(,)C x y ，根据斜率公式得27M NAM BN y y k k ⋅=，然后根据点C 在椭圆上化简即可求解；解法二：设11(,)C x y ，利用三点共线的向量形式求得1193M y y x =+，1133N y y x =-，结合点C在椭圆上化简即可求解；（2）解法一：联立直线MA 与椭圆E 方程，利用韦达定理得222313530,4545M M M My y C y y -+++（，同理得点D 的坐标为22231510,55M MM M y y y y --++（，分类讨论求得直线CD 的方程，即可求得直线CD 经过的定点；解法二：设直线CD 的方程为：1122(3)(,)(,)x my n n C x y D x y =+≠±，，，联立直线CD 与椭圆E 方程，结合韦达定理利用53BC BD k k ⋅=-求得32n =，从而求得直线CD 经过的定点.【小问1详解】解法一：设11(,)C x y ，由题可知，AC BC AM BN k k k k ⋅=⋅，又27M NAM BNy y k k ⋅=，由21112111339AC BC y y y k k x x x ⋅=⋅=+--，()11C x y 在E 上，则()22221111519959x y y x +=⇒=-，∴59AC BC k k ⋅=-，15M N y y ∴⋅=-.解法二：设11(,)C x y ，则()()113,,9,M AC x y AM y =+=，∵A 、C 、M 三点共线，∴1193M y y x =+，同理：1133N y y x =-，∴2121279M N y y y x ⋅=-，又11(,)C x y 在曲线E 上，∴()22221111519959x y y x +=⇒=-，代入上式得：15M N y y ⋅=-.【小问2详解】解法一：由题可知，直线MA 的方程为：(3)9My y x =+，联立方程22(3)95945M y y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩可得：()222245694050M M M y x y x y +++-=，()()222Δ364459405M MMy y y∴=-+-=45>0，2129405345M M y x y --=+ ，∴212313545M My x y -+=+，又11(3)9My y x =+，123045M M y y y ∴=+，222313530,4545M M M M y y C y y -+∴++（，同理可得点D 的坐标为22231510,55M M M My y y y --++（，（i ）当直线CD 垂直于x 轴时，C D x x =，即22223135315455M M M My y y y -+-=++，215M y ∴=，32C D x x ∴==，此时直线CD 的方程为32x =；（ii ）当直线CD 不垂直于x 轴时，22222230104553135315455M MM M CDM M M My y y y k y y y y +++=-+--++34203003675M MM y y y +=-+，故直线CD 的方程为322421020300315536755M M M M M M M y y y y y x y y y +-+=-+-++（，令0y =，则222422303151536755M M M M M y y x y y y ⎛⎫+-=- ⎪+-++⎝⎭，整理得424236022532401502M M M M y y x y y ++==++，此时直线CD 经过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭综上，直线CD 经过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.解法二：由393M M AC BM BM AC y yk k k k ===，得，又11115339AC BC y y k k x x ⋅=⋅=-+-，∴533BC BD BC AC k k k k ⋅=⋅=-，由题可得直线CD 显然不与x 轴平行，设直线CD 的方程为：1122(3)(,)(,)x my n n C x y D x y =+≠±，，，由225945x my nx y =+⎧⎨+=⎩得222(59)105450m y mny n +++-=，12221221059Δ054559mn y y m n y y m ⎧+=-⎪⎪+>⎨-⎪⋅=⎪+⎩由得，又121233BC BD y y k k x x ⋅=⋅--1212(3)(3)y y my n my n ⋅=+-+-1222121212()3()69y y m y y mn y y m y y n n ⋅=++-++-+2254595481n n n -=-+，由225455954813n n n -=--+得32n =或3n =（舍去），∴直线CD ：32x my =+，∴直线CD 经过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭.18.设(),X Y 是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为(),i j a b ，其中,i j ∈*N ，令(),ij i j p P X a Y b ===，称(),ij p i j ∈*N是二维离散型随机变量(),X Y 的联合分布列，与一维的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式；(),X Y 1b 2b 3b ⋅⋅⋅1a 11p 12p 13p ⋅⋅⋅2a 21p 22p 23p ⋅⋅⋅3a 31p 32p 33p ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅现有()n n ∈*N个球等可能的放入编号为1,2,3的三个盒子中，记落入第1号盒子中的球的个数为X ，落入第2号盒子中的球的个数为Y ．（1）当2n =时，求(),X Y 的联合分布列，并写成分布表的形式；（2）设()0,,n k m p P X k Y m k ====∈∑N 且k n ≤，求0nkk kp=∑的值．（参考公式：若()~,X B n p ，则()1nn kk k n k kC p p np -=-=∑）【答案】（1）答案见解析（2）3n【解析】【分析】（1）X 的取值为0，1，2，Y 的取值为0，1，2，分别计算概率即可；（2）计算得12C 33kn kk k np -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则0012C 33k n k nnk k n k k kp k -==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑，最后利用二项分布的期望公式即可得到答案.【小问1详解】若2n =，X 的取值为0，1，2，Y 的取值为0，1，2，则()2110,039P X Y ====，()121120,1C 339P X Y ===⨯⨯=，()2110,239P X Y ====，()121121,0C 339P X Y ===⨯⨯=，()121121,1C 339P X Y ===⨯⨯=，()2112,039P X Y ====，()()()1,22,12,20P X Y P X Y P X Y =========，故(),X Y 的联合分布列为(),X Y 0120192919129290219【小问2详解】当k m n +>时，(),0P X k Y m ===，故()()0001,,C C 3nn kn kk m k n n k n m m m p P X k Y m P X k Y m P ---===⎛⎫=======⋅ ⎪⎝⎭∑∑∑0C C 12C2C 3333k n kk k n kmn k k nn n kn n n m ----=⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑所以0012C 33k n k nnk k n k k kp k -==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑，由二项分布的期望公式可得03n k k nkp ==∑．19.已知函数()()2ln 21f x x x a x =-+（a ∈R ）.（1）若1a =-，求()f x 的图象在1x =处的切线方程；（2）若()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <）.①求a 的取值范围；②求证：21132x x a->-.【答案】（1）520x y --=（2）①10,4⎛⎫⎪⎝⎭；②证明见解析【解析】【分析】（1）利用切点和导数几何意义即可求解；（2）①令()()ln 41g x f x x ax ==-+'，由题意可知，()g x 在()0,∞+有两个不相等的实数根，根据()g x 的单调性结合零点的存在性定理分类讨论求解即可；②由①分析得21114x x a ->-，121214ln ln x x a x x -=-，令()()21ln 1x h x x x -=-+，可得()h x 在()0,1上单调递增，因为121x x <，所以()121x h h x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，根据不等式性质计算即可得证.【小问1详解】若1a =-，则()2ln 21f x x x x =++，所以()ln 14f x x x =++'，所以()1145f =+='，又()1213f =+=，所以()f x 的图象在1x =处的切线方程为()351y x -=-，即520x y --=.【小问2详解】①由题意知()ln 14f x x ax =+-'.令()()ln 41g x f x x ax ==-+'，则()14g x a x=-'.因为()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <），所以()0g x =有两个不等正实根1x ，2x （12x x <）.若0a ≤，()0g x '>，则()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()g x 在()0,∞+上至多有一个零点，不符合题意；若0a >，令()0g x '=，解得14x a=，所以当104x a <<时，()0g x '>，当14x a >时，()0g x '<，所以()g x 在10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在1,4a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.所以14x a =时，()g x 取得极大值，即最大值为()1ln 44g a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()1ln 404g a a ⎛⎫=->⎪⎝⎭，解得104a <<.当104a <<时，104g a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，又140e e a g -⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以1104e g g a ⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由零点存在性定理知：存在唯一的111,e 4x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10g x =.又2221114ln 412ln 1g a a a a a a ⎛⎫=-⋅+=--+⎪⎝⎭，令()42ln 1x x x μ=--+，所以()222442xx x x xμ-=-+='，所以当02x <<时，()0x μ'>，当2x >时，()0x μ'<，所以()x μ在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减，所以()()42ln 122ln 210a a aμμ=--+≤=--<，所以210g a ⎛⎫<⎪⎝⎭，所以21104g g a a ⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由零点存在性定理知：存在唯一的2211,4x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()20g x =.所以当10a 4<<时，()0g x =有两个不等正实根1x ，2x .综上，a 的取值范围是10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.②证明：由①知10a 4<<，且12104x x a <<<，所以114a>，因为()g x 在10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，及()1140g a =->，所以11<x ，又214x a >，所以21114x x a->-.因为()10g x =，()20g x =，所以11ln 410x ax -+=，22ln 410x ax -+=，所以()1212ln ln 4x x a x x -=-，所以121214ln ln x x a x x -=-.令()()21ln 1x h x x x -=-+（01x <<），所以()()()()222114011x h x x x x x -'=-=>++，所以()h x 在()0,1上单调递增，因为12x x <，所以121x x <，所以()1210x h h x ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，所以12112221ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-<+，所以121212ln ln 2x x x x x x -+<-，所以12121214ln ln 2x x x x a x x -+=<-，所以1212x x a+>.所以()()211221111322222x x x x x x a a a-=++->+-=-.【点睛】本题证明的关键在于构造函数()()21ln 1x h x x x -=-+，进而求证12121214ln ln 2x x x x a x x -+=<-，再运用不等式性质即可证明.。
江西省吉安市第一中学新余一中2019届高三下学期第一次联考数学(文)试题附答案解析
吉安一中2018—2019学年度下学期第一次段考高三数学试卷（文科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案填涂在答题卡上.）1.是虚数单位，则( )A. 2B.C. 4D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算求出的代数形式，然后再求出．【详解】由题意得，∴．故选B．【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的模，解题的关键是正确进行复数的运算，属于简单题．2.集合，，则 ( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通过解不等式分别得到集合，然后再求出即可．【详解】由题意得，，∴．故选C．【点睛】解答本题的关键是正确得到不等式的解集，需要注意的是在解对数不等式时要注意定义域的限制，这是容易出现错误的地方，属于基础题．3.经调查，某市骑行共享单车的老年人、中年人、青年人的比例为1:3:6，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中中年人数为12人，则n=（）A. 30B. 40C. 60D. 80【答案】B【解析】【分析】根据条件的比例关系求解出老年人和青年人的人数即可.【详解】由题设老年人和青年人人数分别为x,y,由分层抽样得x:12:y=1:3:6,解得x=4,y=24, 则n=4+12+24=40故选：B.【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件比例关系求解出老年人和青年人的人数是解决本题的关键．4.“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解得方程表示焦点在轴上的双曲线的m的范围即可解答.【详解】表示焦点在轴上的双曲线⇔,解得1<m<5,故选：B.【点睛】本题考查双曲线的方程，是基础题，易错点是不注意5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当时，f(x)=，，则实数（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由奇函数得，代入f(x)=即可求解m.【详解】函数f(x)是定义在R上的奇函数,,则【点睛】本题考查函数奇偶性，对数的运算，是基础题.6.已知等差数列中，，则数列的前2018项和为（）A. 1008B. 1009C. 2017D. 2018【答案】D【解析】【分析】,得数列的前2018项和分组求和即可.【详解】由题,解得,设数列的前2018项和为=2=2018故选：D.【点睛】本题考查求等差数列通项公式，数列求和，关键是,推得每两项的和为2，分组求和.7.已知点为圆上一点，,则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取AB中点D,，的最大值转化为圆心C到D的距离加半径再乘以2即可求解.【详解】取AB中点D(2,-3),,,d+r=的最大值为故选：C.【点睛】本题考查点与圆的位置关系，圆上的点到圆外定点距离的最值，是中档题.8.已知函数，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【解析】【分析】利用三角恒等变换可得f（x）＝2sin（x），依题意知2sin（）•2sin（）＝﹣4，利用sin（）＝1，且sin（）＝﹣1或sin（）＝1且sin（）＝﹣1．，于是可求|+|的最小值．【详解】∵f（x）＝sin x cos x＝2（sin x cos x）＝2sin（x），又f（）•f（）＝﹣4，即2sin（）•2sin（）＝﹣4，∴2sin（）•sin（）＝﹣2，∴sin（）•sin（）＝﹣1，∴sin（）＝1，且sin（）＝﹣1或sin（）＝1且sin（）＝﹣1．∴，，或，，k∈Z．∴+＝（k∈Z），显然，当＝0时，|+|的最小值为，故选：C．【点睛】本题考查三角恒等变换的应用，着重考查正弦函数性质的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．9.某几何体的三视图如图所示，若该几何体中最长的棱长为，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【详解】由题知三视图的直观图如图所示：由长方体截取三棱锥A-BCD所得，AB=AC=,BC==,∴ 几何体中最长的棱长为BC=∴该几何体的体积V==,故选：A.【点睛】本题考查三视图，三棱锥体积，是基础题.10.已知分别是椭圆的上下两个焦点，若椭圆上存在四个不同点,使得的面积为，则椭圆的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设椭圆的上顶点为A,问题转化为的面积大于解不等式即可.【详解】由题知a=2,b=设椭圆的右顶点为A(,0),的面积为, ∴的面积的最大值时为><3, ∴, ∴故选：A.【点睛】本题考查椭圆的几何性质，离心率范围，明确P在短轴端点处的面积最大是关键.11.在平面四边形中，，，，现沿对角线折起，使得平面平面，则此时得到的三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由平面DAC平面ABC，知的外心即为球心，求的外接圆半径即可解答.【详解】由题知为等腰直角三角形，设边中点为的外心为，连接，所以，又平面DAC平面ABC，∴∴O为外接球的球心，由余弦定理得∴2R==,R=所以三棱锥D-ABC外接球的表面积为=故选：B.【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题，是基础题，确定球心位置是关键.12.已知函数,若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】画出f(x)的图像，令t=f（x）,讨论关于t的二次方程的情况，利用二次函数根的分布列出m的不等式即可.【详解】画出f(x)的图像如图所示：令t=f（x）,则t的二次方程，设g(t)=当方程的根一个在（0，1），另一个在满足题意,解m∈当方程的根一个为t=1时，解得m=2 或-1，此时方程变为，或均不合题意舍去，综上m∈故选：D.【点睛】本题考查函数与方程的根，二次函数根的分布，综合性强，是难题，注意外层函数t的二次函数研究要细致.第Ⅱ卷（非选择题，共80分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡上）13.已知向量，，则向量在上的投影为_________．【答案】【解析】【分析】求出利用投影公式计算即可.【详解】，则向量在上的投影为故答案为【点睛】本题考查向量数量积，投影，是基础题，准确运用投影公式是关键.14.在平面直角坐标系中，若满足约束条件，则的最大值为____.【答案】【解析】【分析】画出可行域，化x+,平移即可求其最大值.【详解】由题画出不等式所表示的可行域，如图阴影所示：化为x+直线l:过A时，z取得最大值，联立方程组,解得A(2,1)，此时z=故答案为8.【点睛】本题考查线性规划问题，是基础题.15.若过定点的直线与曲线相交不同两点，，则直线的斜率的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】设直线l:y=kx-1,转化为有两个不同的根，分离，求导求最值即可.【详解】设直线l:y=kx-1,则kx-1=得令g(x)=lnx+,(x)=x>2,(x)>0, g(x)单调递增；0<x<2,(x)<0, g(x)单调递减，∴g(x)的最小值为g(2)=又k>故答案为【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，是基础题.16.在如图所示的四边形区域中，，，,现园林绿化师计划在区域外以为边增加景观区域,当时，景观区域面积的最大值为____.【答案】【解析】【分析】连接AC,得AD=在中，由余弦定理利用基本不等式，求得面积最大值即可.【详解】连接AC,知为等腰三角形，且,AC=在中，设，由余弦定理得，即，当且仅当取等，的最大值为absin.故答案为【点睛】本题考查余弦定理，基本不等式求最值，是中档题.三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.）（一）必考题：共60分.17.已知正项数列是公差为的等差数列，且是与的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】(1) (2)【解析】【详解】（1）∵数列是公差为的等差数列，∴∴又是与的等比中项，，∴解得舍掉）故数列的通项公式为，【点睛】本题考查求数列通项公式，数列求和，注意的提系数，和裂项后剩余几项是易错点.18.进入月份，香港大学自主招生开始报名，“五校联盟”统一对五校高三学生进行综合素质测试，在所有参加测试的学生中随机抽取了部分学生的成绩，得到如图所示的成绩频率分布直方图：（1）估计五校学生综合素质成绩的平均值；（2）某校决定从本校综合素质成绩排名前名同学中，推荐人参加自主招生考试，若已知名同学中有名理科生，2名文科生，试求这3人中含文科生的概率.【答案】(1) 平均值为 (2)【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图平均值公式求解即可；（2）由列举法，从6人中选出3人，所有的可能的结果共20种，含有文科学生的有16种，求解即可.【详解】（1）依题意可知：，所以综合素质成绩的的平均值为.（2）设这名同学分别为其中设为文科生，从6人中选出3人，所有的可能的结果共20种，其中含有文科学生的有16种所以含文科生的概率为.【点睛】本题考查频率分布直方图平均值，古典概型，是基础题，注意运算平均值要准确.19.如图，在三棱锥中，面，∠BAC=，且=1，过点作平面，分别交于点.（1）若求证：为的中点；（2）在（1）的条件下，求点到平面的距离．【答案】(1)见证明(2)【解析】【分析】（1）取中点，连接,证明面，进而，；（2）利用等体积转化即可.【详解】（1）取中点，连接∵∴，∵面，∴，又为的中点，为的中点（2）设点到平面的距离为，∵为的中点，又，，∴，∵∴又，，AM=，可得边上的高为， ∴由∴h=【点睛】本题考查线面垂直的判定，点到面的距离，是中档题，熟练运用定理性质,及求是关键.20.已知动圆过定点,且在轴上截得的弦长为，设该动圆圆心的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）直线过曲线的焦点，与曲线交于、两点，且,都垂直于直线，垂足分别为，直线与轴的交点为,求证为定值.【答案】(1) (2)见证明【解析】 【分析】（1）设动圆圆心坐标为C(x,y)，由题意得，能求出曲线方程；（2）设代入【详解】（Ⅰ）设动圆圆心坐标为C(x,y)，根据题意得，化简得 （Ⅱ）设，,由题意知的斜率一定存在设，则，得所以，，，又=【点睛】本题考查轨迹方程，直线与抛物线位置关系，面积公式及定值问题，是综合题，要注意转化为以FQ为底比较简便.21.已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）令，若对任意的，恒有成立，求实数的最大整数.【答案】（1）见解析（2）7【解析】【分析】（1）讨论和两种情况；（2）由成立转化为，分离k,构造函数求最值即可.【详解】（1）此函数的定义域为，（1）当时，在上单调递增，（2）当时，单调递减，单调增综上所述：当时，在上单调递增当时，单调递减，单调递增.（2）由（Ⅰ）知恒成立，则只需恒成立，则，令则只需则单调递减，单调递增，即的最大整数为【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，求最值，考查双变元恒成立问题，综合性强,第二问转化为是关键.（二）选考题（共10分.请考生在第22、23题中任选一道．．．．作答，如果多做，则按所做的第1题计分.）22.在平面直角坐标系中，直线过点，且倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）写出直线的参数方程及曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与曲线交于，两点，且弦的中点为，求的值.【答案】(1) (2)2+2【解析】【分析】(1)利用直线参数方程公式，及极坐标与直角坐标互化即可求解；（2）将直线参数方程公式代入圆的普通方程，利用韦达定理及中点参数【详解】(1)直线的参数方程为：为参数），曲线的直角坐标方程为：（2）直线的参数方程代入得：【点睛】本题考查直线参数方程，极坐标与直角坐标互化，直线与圆的位置关系，是基础题，注意弦中点参数t=23.已知函数.（Ⅰ）解关于的不等式；（Ⅱ）若，的解集非空，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：第一步根据解含绝对值不等式，化为两个一元二次不等式分别解出，找出不等式的解集，第二步写出关于的不等式，得到不等式等价于的解集非空，根据“极值原理”，只需大于的最小值，根据绝对值三角不等式求出最值，得到的取值范围.试题解析：（1）原不等式可化为：即：或由得或由得或综上原不等式的解为或（2）原不等式等价于的解集非空，令，即，由，所以，所以.【点睛】解含有绝对值的不等式有三种方法，第一种只含有一个绝对值符号，一般使用公式：，；第二种不等式两边均有一个绝对值符号的，可采用两边平方；第三种含有两个绝对值符号的一般采用零点分区间讨论，利用定义讨论去掉绝对值符号是一种解决绝对值问题的通法，必须灵活会用，分离参数，利用“极值原理”求参数的取值范围是常见题型常用方法.。
江西省吉安市第一中学高二上学期第一次段考数学(理)试题
高二数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.圆2240x y x +-=的圆心坐标和半径分别为（ ）A ．（0,2），2B ．（2,0），2C ．（-2,0），4D ．（2,0），4 2.过点(1,1)A -、点(1,1)B -且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是（ ） A ．22(3)(1)4x y -++= B ．22(3)(1)4x y ++-= C ．22(1)(1)4x y -+-= D ．22(1)(1)4x y +++= 3.下列四个命题中错误的个数是（ ）①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；②垂直于同一个平面的两条直线相互平行； ③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；④垂直于同一个平面的两个平面相互平行. A ．1 B ．2 C ．3 D ． 44.一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示，则该四棱锥侧面积是（ ）A ．45．551) D ．85.如图，空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在OA 上，且23OM OA =，点N 为BC 中点，则MN 等于（ ）A ．121232a b c -+ B ．211322a b c -++ C ．111222a b c +- D ．211322a b c +-6.已知直线1l 的方向向量(2,4,)a x =，直线2l 的方向向量(2,,2)b y =，若||6a =，且a b ⊥，则x y +的值是（ ）A ．-3或1B ．3或-1 C. -3 D ．17.圆222430x x y y +++-=上到直线10x y ++=2 ） A ．1个 B ．2个 C. 3个 D ．4个8.设O ABC -是正三棱锥，1G 是ABC ∆的重心，G 是1OG 上的一点，且13OG GG =，若OG xOA yOB zOC =++，则(,,)x y z 为（ ）A ．111(,,)444 B. 333(,,)444C ．111(,,)333D ．222(,,)3339.一个三棱锥P ABC -的三条侧棱PA PB PC 、、两两互相垂直，且长度分别为16、3，则这个三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．16πB ．32π C. 36π D ．64π10.已知圆22:(2)(1)3C x y -++=，从点(1,3)P --发出的光线，经x 轴反射后恰好经过圆心C ，则入射光线的斜率为（ ） A ．43-B ．23- C. 43 D ．2311.已知圆22:8150C x y x +-+=，直线2y kx =+上至少存在一点P ，使得以点P 为原心，半径为1的圆与圆C 有公共点，则k 的最小值是（ ） A ．43-B ．54- C. 35- D ．53- 12.2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（ ）、A ．2122+ B ．6122+ C. 32D ．3122+ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.过点(2,1)且与直线340x y ++=垂直的直线方程为_________.14.已知ABC ∆为等腰直角三角形，斜边BC 上的中线2AD =，将ABC ∆沿AD 折成60的二面角，连结BC ，则三棱锥C ABD -的体积为__________.15.如果对任何实数k ，直线(3)(12)150k x k y k ++-++=都过一个定点A ，那么点A 的坐标是________.16.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点1M AB ∈，1N BC ∈，且2AM BN =≠，有以下四个结论：①1AA MN ⊥；②11//AC MN ；③//MN 平面1111A B C D ；④MN 与11A C 是异面直线.其中正确命题的序号是_______.（注：把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知直角ABC ∆的顶点坐标(3,0)A -，直角顶点(1,22)B --，顶点C 在x 轴上.（1）求点C 的坐标； （2）求斜边的方程.18.如图，四边形ABCD 为梯形，//AD BC ，90ABC ∠=，求图中阴影部分绕AB 旋转一周形成的几何体的表面积和体积.19.如图1是图2的三视图，三棱锥B ACD -中，E ，F 分别是棱AB ，AC 的中点. （1）求证：//BC 平面DEF ； （2）求三棱锥A DEF -的体积.20.已知圆22:(2)5C x y +-=，直线:10l mx y -+= . （1）求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同交点； （2）若圆C 与直线l 相交于A ，B 两点，求弦AB 的长度. 21.已知圆22:230C x y x ++-=. （1）求圆的圆心C 的坐标和半径长；（2）直线l 经过坐标原点且不与y 轴重合，l 与圆C 相交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，求证：1211x x +为定值. 22.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，//AB DC ，PAD ∆是等边三角形.已知4AD =，3BD =28AB CD ==.（1）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （2）当M 点位于线段PC 什么位置时，//PA 平面MBD ？ （3）求四棱锥P ABCD -的体积.高二数学（理科）第一次段考参考答案一、选择题1-5: BCBAB 6-10:ACAAC 11、12：AD 二、填空题13. 350x y --= 14. 23315. (1,2)- 16.①③ 三、解答题17.（1）230x y --=；（2）22||(1)(22)3OB =-+-=.【解析】因为直线BC 的方程为230x --=，点C 在x 轴上，由0y =，得3x =，即(3,0)C . （2）0y =.考点：1、直线方程；2、两点间的距离.【方法点睛】本主要考查直线方程和两点间的距离，属于中等题型.第一小题由0113(1)2AB BC AB BC AB AB BC k k k k k +⊥⇒=-⇒==⇒=-=⇒---直线的方程为30x -=；第二小题由（1）得(3,0)C AC ⇒的中点为(0,0)⇒中线为OB （O为坐标原点）的斜率k OB =的方程为||3y OB =⇒==.18. 68S π=表，1403V π=. 【解析】试题分析：直角梯形绕直角腰旋转一周形成的是圆台，四分之一圆绕半径所在的直线旋转一周，形成的是半球，所以阴影部分绕AB 旋转一周形成的是组合体，圆台挖去半球，V V V =-圆台半球，S S S S =++圆台侧下底面半球表.试题解析：解：圆中阴影部分是一个圆台，从上面挖出一个半球，21=4282S ππ⨯⨯=半球，(25)535S ππ=⨯+⨯=圆台侧，25S π=圆台面，故所求几何体的表面积8352568S ππππ=++=底.………………5分221[25]4523V πππ=⨯⨯⨯=圆台341162=323V ππ=⨯⨯半球. 故所求几何体的体积16140=5233V V V πππ=--=圆台半球.……………………10分考点：简单组合体的表面积和体积. 19.（1）见解析；（2）12． 【解析】试题分析：证明：（1）根据E ，F 分别是AB ，AC 的中点得到//EF BC ，应用判定定理即得证.由图1得CD AB ⊥，BD AD ⊥，BD CD ⊥，得到BD ⊥平面ACD . 取AD 的中点G ，连接EG ，求得32EG =，进一步计算体积. 试题解析：证明：（1）∵E ，F 分别是AB ，AC 的中点， ∴//EF BC ，∵BC ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ， ∴//BC 平面DEF .………………4分（2）∵如图1得CD AB ⊥，BD AD ⊥，BD CD ⊥， 又∵CDAD D =，∴BD ⊥平面ACD .………………8分 取AD 的中点G ，连接EG ， ∵E 是AB 的中点， ∴1//2EG BD . ∴EG ⊥平面ACD ，32EG =， ∴11113122332222A EDF E ADF ADF V V S EG --∆===⨯⨯⨯⨯⨯=.………………12分 考点：1、平行关系、垂直关系；2、几何体的体积. 20.（1）见解析；（2）2231()24x y +-=． 【解析】（1）解法一：直线10mx y -+=恒过定点(0,1)，且点(0,1)在圆22:(2)5C x y +-=的内部，所以直线l 与圆C 总有两个不同交点.解法二：联立方程22(2)510x y mx y ⎧+-=⎨-+=⎩，消去y 并整理，得22(1)240m x mx +--=.因为22416(1)0m m ∆=++>，所以直线l 与圆C 总有两个不同交点.解法三：圆心(0,2)C 到直线10mx y -+=的距离1d ==≤<，所以直线l 与圆C 总有两个不同的交点.（2）1d =，||4r AB ===． 21.见解析【解析】解：（1）圆22:230C x y x ++-=，配方得22(1)4x y ++=， 则圆心C 的坐标为(1,0)-，圆的半径长为2； （2）设直线l 的方程为y kx =，联立方程组22230x y x y kx⎧++-=⎨=⎩，消去y 得22(1)230k x x ++-=， 则有：12221x x k +=-+，12231x x k=-+， 所以1212121123x x x x x x ++==为定值. 【点评】本题考查了直线与圆的方程的应用问题，也考查了点到直线的距离以及方程组的应用问题，考查了转化思想以及根与系数的应用问题，是综合性题目.22.（1）见解析；（2）M 点位于线段PC 靠近C 点的三等分点处时；（3）24. 【解析】（1）证明：在ABD ∆中，∵4AD =，BD =8AB =，∴222AD BD AB +=. ∴AD BD ⊥.又平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD平面ABCD AD =，BD 平面ABCD ，∴BD ⊥平面PAD .又BD 平面MBD ，∴平面MBD ⊥平面PAD . （2）当M 点位于线段PC 靠近C 点的三等分点处时，//PA 平面MBD .证明如下：连接AC ，交BD 于点N ，连接. MN ∵//AB DC ，∴四边形ABCD 是梯形. ∵2AB CD =， ∴:1:2CN NA =，又∵:1:2CM MP =，∴::CN NA CM MP =，∴//PA MN . ∵MN 平面MBD ，PA 平面MBD ，∴//PA 平面MBD . （3）过点P 作PO AD ⊥交AD 于O ,∵平面PAD ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD . 即PO 为四棱锥P ABCD -的高，又PAD ∆是边长为4的等边三角形，∴4PO ==在Rt ADB ∆中，斜边AB=ABCD 的高.梯形ABCD 的面积482ABCD S ∆+=⨯=四棱锥P ABCD -的体积1243P ABCD V -=⨯=.。
江西省吉安市永丰中学2024年高三下学期5月质量检查数学试题试卷
江西省吉安市永丰中学2024年高三下学期5月质量检查数学试题试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数22()2cos (sin cos )2f x x x x =++-的一个单调递增区间是（ ） A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．59,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 2．若函数2()xf x x e a =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．24(,)e +∞ B ．24(0,)e C ．2(0,4)e D ．(0,)+∞3．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（ ）A ．10112020B ．20192020C ．20202021D ．101020214．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（ ） A ．方差B ．中位数C ．众数D ．平均数5．如图，在ABC ∆中，23AN NC =，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+，则实数t 的值为（ ）A ．23B ．25C ．16D ．346．已知ABC 中，2,3,60,2,AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=︒==，则AD BE ⋅=（ ）A ．1B ．2-C ．12D ．12-7．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩，并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在[250，350]内的学生人数为（ ）A ．800B ．1000C ．1200D ．16008．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线交两渐近线于,M N 两点，与双曲线的其中一个交点为P ，若(,)OP OM ON R λμλμ=+∈，且625λμ=，则该双曲线的离心率为( ) A ．324B ．5212C ．5312 D ．56129．已知复数z 满足()14i z i -=，则z =（ ） A ．22B ．2C ．4D ．310．已知i 是虚数单位，则（ ） A ．B ．C ．D ．11．函数()2f x ax =-与()xg x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则a 的取值范围是（ ）A ．,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．(],e -∞ D ．(2,e ⎤-∞⎦12．要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各2节，自习课1节的功课表，其中上午5节，下午2节，若要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（ ） A ．84B ．54C ．42D ．18二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江西省吉安市第一中学2014-2015学年高一上学期第一次段考数学试题(WORD版)
江西省吉安市第一中学2014-2015学年高一上学期第一次段考数学试题（WORD 版）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填在试卷中。
1. 函数x x y +-=1的定义域为（ ）A. {}1≤x xB. {}o x x ≥C. {}01≤≥x x x 或D. {}10≤≤x x 2. 下列叙述正确的是（ ）A. 方程0122=++x x 的根构成的集合为{}1,1--B. {}⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧<+>+∈==+∈03012022x x R x x R xC. 集合{}6,5),(==+=xy y x y x M 表示的集合是{}3,2 D. 集合{}5,3,1与集合{]1,5,3是不同的集合3. 若集合A 、B 、C ，满足A B A = ，C C B = ，则A 与C 之间的关系为（ ） A. C A ⊂≠ B. A C ⊂≠ C. C A ⊆ D. A C ⊆4. 设{}20152014≤≤=x x A ，{}a x x B <=，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A. 2014>a B. 2015>a C. 2014≥a D. 2015≥a5. 定义集合运算：A ※{}B y A x xy t t B ∈∈==,,，设{}2,1=A ，{}2,0=B ，则集合A ※B 的所有元素之和为（ ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 06. 如图所示，M 、P 、S 是V 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A. S P M )(B. S P M )(C. )()(P C S M SD. )()(S C P M V7. 在同一坐标系下表示函数bx ax y +=2与函数)0(≠+=ab b ax y 的图象，正确的是（ ）8. 若)(x f 为R 上的奇函数，给出下列四个说法： ①0)()(=-+x f x f ②)(2)()(x f x f x f =--③0)()(<-⋅x f x f ④1)()(-=-x f x f 其中一定正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个9. 幂函数1-=x y 及直线x y =，1=y ，1=x 将平面直角坐标系的第一象限分成八个“部分”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示），那么幂函数x y =的图象经过的“部分”是（ ）A. ④⑦B. ④⑧C. ③⑧D. ①⑤ 10. 设定义域为R 的函数)(x f 满足2)]([)(21)1(x f x f x f -+=+，且21)1(=-f ，则)2014(f 的值为（ ）A. －1B. 1C. 2014D. 21二、填空题：本大题5个小题，每小题5分，共25分。
江西省吉安市第一中学2024-2025学年高一上学期第一次段考数学试卷
江西省吉安市第一中学2024-2025学年高一上学期第一次段考数学试卷一、单选题1．设集合{}0,A a =-，{}1,2,22B a a =--，若A B ⊆，则a =（ ）．A ．2B ．1C ．23D ．1-2．已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（ ）A ．p 和q 都是真命题B ．p ⌝和q 都是真命题C ．p 和q ⌝都是真命题D ．p ⌝和q ⌝都是真命题3．集合{}|52,Z M x x k k ==-∈，{}|53,Z P x x n n ==+∈，{}|103,Z S x x m m ==+∈的关系是（ ）A ．S P M ⊆⊆B ．S P M =⊆C ．S P M ⊆=D ．P M S =⊆4．已知R a ∈，R b ∈，若集合{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，则20192019a b +的值为（ ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．25．命题“[]21,2,0x x a ∀∈-≤”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．4a ≤B ．4a ≥C ．5a ≤D ．5a ≥6．已知a =b =c =a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >> 7．已知x ，y 为正实数，且1x y +=，则63x y xy ++的最小值为（ ）A ．24B ．25C ．6+D ．38．若对任意实数0,0x y >>，不等式()x a x y +恒成立，则实数a 的最小值为（ ）A B 1 C 1 D二、多选题9．已知集合A ={}|73x x -<<-，B {}|512x a x a =-<<-，下列说法正确的是（ ）A ．不存在实数a 使得AB ⊆B ．当4a =时，B A ⊆.C ．当()R B A ⊆ð时，a 的取值范围是2a ≥D ．当23a <<时，B A ⊆10．已知0x >，0y >，且30x y xy ++-=，则下列结论正确的是（ ）A ．xy 的取值范围是(0,9]B ．x y +的取值范围是[2,3)C ．2x y +的最小值是3D ．4x y +的最小值是311．已知关于x 的不等式20ax bx c ++>解集为{}23x x -<<，则（ ）A ．0a >B ．不等式0ax c +>的解集为{}6x x <C ．0a b c ++>D ．不等式20cx bx a -+<的解集为1132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭三、填空题12．已知集合{}14A xx =-≤≤∣，集合{21}B x m x m =<<+∣，且,x B x A ∃∈∈为假命题，则实数m 的取值范围为.13．若“()0,x ∃∈+∞，使240x ax -+<”是假命题，则实数a 的取值范围为.14．已知,x y 为正实数，则162yx x x y ++的最小值为．四、解答题15．设全集R U =，集合{}|15=≤≤A x x ，集合{|122}B x a x a =--≤≤-．(1)若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围；(2)若命题“x B ∀∈，则x A ∈”是真命题，求实数a 的取值范围．16．已知命题:R p x ∀∈，()()221140a x a x -+-+>，:q x R ∃∈，()22110x a x -++<(1)若“2321t a t --≤≤-”是p 成立的充分条件，求实数t 的取值范围；(2)若命题p 和q 有且只有一个为假，求实数a ．17．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似的表示为21200800002y x x =-+ ，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？18．已知函数()()()2111f x m x m x m =+--+-. (1)若不等式()1f x <的解集为R ，求m 的取值范围；(2)解关于x 的不等式()()1f x m x ≥+；19．已知不等式223ax bx c ≤++≤的解集为{}23xx ≤≤∣ (1)若0a >，且不等式()230ax b x c +--≤有且仅有10个整数解，求a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式：()2150ax b x +-+<.。
江西省吉安一中2013-2014学年高二下学期第一次段考数学文试题 Word版含答案( 2014高考)
江西省吉安一中2013-2014学年下学期高二年级第一次段考数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共50分）1. 已知复数z 满足i i z -=+2)1(，则z 在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 不等式xx x x 22->-的解集是 A. )2,0(B. )0,(-∞C. ),2(+∞D. ),0()0,(+∞⋃-∞3. 某商品销售量y （件）与销售价格x （元/件）负相关，则其回归方程可能是A. 20010ˆ+-=x yB. 20010ˆ+=x yC. 20010ˆ--=x yD. 20010ˆ-=x y4. 观察下列各式：则4972=，34373=，240174=，…，则20117的末两位数字为A. 01B. 43C. 07D. 495. 设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立．．．．的是 A. ab b a 2>+B. 21)(≥-+-ba b a C. ca bc ab c b a ++>++222D. b c c a b a -+-≤-6. 不等式a a x x 3132-≥-++对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 A. ),4[]1,(+∞⋃--∞B. ]4,1[-C. ]2,1[D. ),2[]1,(+∞⋃-∞7. 变量X 与Y 相对应的一组数据为)5,13()4,5.12()3,8.11()2,3.11()1,10(，，，，；变量U 与V 相对应的一组数据为)1,13()2,5.12()3,8.11()4,3.11()5,10(，，，，。
r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则A. 012<<r rB. 120r r <<C. 120r r <<D. 12r r =8. 函数1)3(lo g -+=x y a （a >0，且a ≠1）的图象恒过定点A ，若点A 在直线01=++ny mx 上（其中m ，n>0），则nm 21+的最小值等于 A. 16B. 12C. 9D. 89. 已知方程022=-+a x x ，其中0<a ，则在复数范围内关于该方程的根的结论正确的是A. 该方程一定有一对共轭虚根；B. 该方程可能有两个正实根；C. 该方程两根的实部之和等于-2D. 若该方程有虚根，则其虚根的模一定小于110. 设c b a >>，且ca nc b b a -≥-+-11，则n 的最大值为 A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（每小题5分，共25分）11. 若4241<<-<<b a ，，则b a -2的取值范围是 。
江西省新余市第一中学2019-2020学年高二下学期第一次段考数学(理)试题 Word版含答案
2019-2020学年新余一中高二下学期第一次段考数学试卷一、选择题 共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知复数z 满足3(12)12i z i +=+（i 为虚数单位），则z 共轭复数z 等于（ ） A.3455i + B. 3455i -+ C. 3455i - D. 3455i --2．已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是（ ）A ．OM OA OB OC =++u u u u r u u u r u u u r u u u rB ．23OM OA OB OC =++u u u u r u u u r u u u r u u u rC ．111222OM OA OB OC =++u u u u r u u u r u u u r u u u rD ．111333OM OA OB OC =++u u u u r u u u r u u u r u u u r3．设,,0x y z >，1114,4,4a x b y c z y z x=+=+=+，则,,a b c 三个数（ ） A ．都小于4 B ．至少有一个不大于4 C ．都大于4 D ．至少有一个不小于4 4．若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞上单调递增，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞-B ．(],1-∞-C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞5．已知点(3,0)A -和(3,0)B ，动点M 满足4MA MB -=，则点M 的轨迹方程是（ ）A ．221(0)45x y x -=<B ．221(0)45x y x -=>C ．221(0)95x y x -=<D ．221(0)95x y x -=>6．过抛物线24y x =的焦点作两条互相垂直的弦,AB CD ,则11AB CD+=（ ） A ．2B ．4C ．12D ．147．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：340x y -=交椭圆E 于A ，B 两点，若||||6AF BF +=，点M 与直线l 的距离不小于85，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A ．(0,3B ．(0,3C ．[3D ．[,1)38．已知()2e e xx f x x=-，()()0m g x mx m x =+>，对任意()0,x ∈+∞，不等式()()f xg x <恒成立，则m 的取值范围为（ ） A ．()1,+∞B ．e ,e 1⎛⎫+∞⎪-⎝⎭C ．2e ,e 1⎛⎫+∞⎪-⎝⎭D ．()4,+∞9．设点P 是曲线335y x =+上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α,则角α的取值范围是（ ）. A ．20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．20,,23πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭U C ．2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知,,A B C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的三个点，AB 经过坐标原点O ，AC经过双曲线右焦点F ，若BF AC ⊥且2AF CF =，则该双曲线的离心率是（ ）A ．53B C ．2D ．9411．下列命题中正确命题的个数是（ ）(1)若函数()y f x =的定义域D 关于原点对称,则()y f x =为偶函数的充要条件为对任意的()()x D f x f x ∈=-，都成立；(2)若函数()y f x =的定义域D 关于原点对称,则“()00f =”是“()f x 为奇函数”的必要条件；(3)函数()f x 对任意的实数x 都有()()1f x f x +＜，则()f x 在实数集R 上是增函数； (4)已知函数()()2ln 2a f x x x x x a a R =--+∈在其定义域内有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭A ．1B ．2C ．3D ．412． 已知函数()tf x x x =+（x ＞0）过点(1,0)P y=()f x 作曲线的两条切线,PM PN ，,M N 切点分别为，()g t MN =设， n 若对任意的正整数， 642n+n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在区间内，121121,,,(m 1)()()()m m m a a a g a g a g a g a ++++++L L 使得不等在＜总个式存数，m 则的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题 共4小题，每小题5分，共20分。
江西省吉安市第一中学2017-2018学年高一上学期第一次段考数学试题 Word版含答案
高一数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.若全集{0,1,2,3}{2}U U C A ==，，则集合A 的真子集共有（ ） A ．3个 B ．5个 C ．7个 D ．8个2.函数()1xf x x=-的定义域是（ ） A ．[1,)-+∞ B ．(,1]-∞- C ．(,)-∞+∞ D ．[1,1)(1,)-+∞ 3.已知集合2{|20}{0,1,2}A x x x B =-<=，，则A B = （ ） A ．{0,1} B ．{1} C ．{0} D ．{1,2} 4.下面各组函数中为相同函数的是（ ）A ．()()1f x g x x ==- B ．0()()1f x x g x ==，C. 1()3()()3xx f x g x -==， D ．21()1()1x f x x g x x -=-=+，5.已知集合{|1A x x =<-或5}x >，{|4}B x a x a =≤<+，且B A ⊂≠，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,5)(5,)-∞-+∞B ．(,5)[5,)-∞-+∞ C. (,5][5,)-∞-+∞ D ．(,5](5,)-∞-+∞6.若函数()f x 为奇函数，且在(0,)+∞上是增函数，(2)0f =，则()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(2,0)(0,2)-B ．(,2)(0,2)-∞- C. (,2)(2,)-∞-+∞ D ．(2,0)(2,)+∞7.设0.90.481.5148()2a b c -===，，，则正确的是（ ）A ．c a b >>B ．b a c >> C. a b c >> D ．a c b >>8.设10()2,0x x f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，则[(2)]f f -=（ ）A ．-1B ．14 C.12 D ．329.在2231()2x y y y x y x ====，，四个函数中，当1201x x <<<时，使1212()()()22x x f x f x f ++>恒成立的函数个数为（ ） A ．1 B ．2 C. 3 D ．4 10.函数()f x =）A ．[0,2]B ．(,2]-∞ C.[2,4] D ．[2,)+∞11.已知集合{1,3}{3,4}{|}{|}A B P x x A Q x x B ⊂⊂====≠≠，，，，则P Q = （ ）A ．{3}B ．{,{3}}∅ C.{}∅ D ．∅12.已知实数0m ≠，函数3,2()2,2x m x f x x m x -≤⎧=⎨-->⎩，若(2)(2)f m f m -=+，则实数m 的值为（ ） A ．8 B ．83-C. 83- 或8 D ．8或38- 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若函数()y f x =的定义域是[1,1]-，则(1)y f x =+的定义域是_________.14.若函数(2),2()1()1,22x a x x f x x -≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围为________.15.已知函数3()1f x ax bx =++且()6f m =，则()f m -=________.16.定义在R 上的偶函数()f x 在区间[1,2]上是增函数，且(1)(1)f x f x +=-，关于函数()f x 有如下结论：①31()()22f f =-；②图象关于直线1x =对称；③在区间[0,1]上是减函数；④在区间[2,3]上是增函数，其中正确结论的序号是________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（10分）已知集合{|12}{|221,}A x x B x x m m R =-≤=<<+∈≠∅，. （1）若3m =，求()R C A B ；（2）若A B A = ，求实数m 的取值范围. 18.（12分）已知函数1()11f x x =+-. （1）证明：函数()f x 在(1,)+∞上递减；（2）记函数()(1)1g x f x =+-，判断函数()g x 的奇偶性，并加以证明.19.（12分）已知函数2()3f x x ax =-+在区间(,2)-∞上是减函数，在区间[2,)+∞上是增函数. （1）求a 的值；（2）求()f x 在区间[0,3]上的值域；（3）求()f x 在区间[0,](0)m m >上的最大值()g m .20.（12分）已知二次函数()f x 满足(1)()2f x f x x +-=，且(0)1f =. （1）求()f x 的解析式；（2）若函数()y f x m =+在[1,1]-上单调，求m 的取值范围； （3）当[1,1]x ∈-时，不等式()2f x x m >+恒成立，求实数m 的范围.21.（12分）已知集合2{|2530}A x x =--≤，函数()f x =定义域为集合B .（1）若(1,3]A B =- ，求实数a 的值； （2）若A B =∅ ，求实数a 的取值范围.22.（12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系式()(010)35kC x x x =≤≤+，.若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设()f x 为隔热层建造费用与20年能源消耗费用之和. （1）求k 的值及()f x 的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小.并求出最小值.吉安一中2017-2018学年度上学期第一次段考高一数学参考答案一、选择题1-5:CDBCD 6-10:ADCBA 11、12：BC 二、填空题13.[2,0]- 14. 13(,]8-∞ 15.-4 16. ①②③ 三、解答题17.解：{|3}A x x =≤.（1）当3m =时，{|3}R C A x x =>，{|27}B x x =<<， 于是(){|37}R C A B x x =<< .………………5分 （2）因为A B A = ，所以B A B φ⊆≠，，221213m m <+⎧⎨+≤⎩解得112m <≤，即m 的取值范围为1(,1]2.………………10分 18.证明：（1）设121x x >>，则211201010x x x x -<->->，，，证明如下：∵()g x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ 关于原点对称，1()()g x g x x-=-=-，∴()g x 是奇函数.………………12分 19.解：（1）∵2()3f x x ax =-+在(,2)-∞上是减函数，在区间[2,)+∞上是增函数， ∴()f x 对称轴为2x =，即22a=，∴4a =.………………3分 （2）∵2()43f x x x =-+在[0,2]上递减，在[2,3]上递增，∴min ()(2)1f x f ==-，又(0)3f =，(3)0f =，∴max ()(0)3f x f ==， 值域为[1,3]-.………………7分（3）23,04()43,4m g m m m m <≤⎧=⎨-+>⎩.………………12分20.解：（1）令2()(0)f x ax bx c a =++≠，22(1)()(1)(1)22f x f x a x b x c ax bx c ax a b x +-=++++---=++=恒成立.∴111a b c ==-=，，， ∴2()1f x x x =-+.………………3分（2）22()()()1(21)1y f x m x m x m x m x m =+=-++=+-+- 在[1,1]-上单调， ∴1212m -≤-或1212m -≥，解得12m ≤或32m ≥. m 的取值范围为13(,][,)22-∞+∞ .………………6分（3）当[1,1]x ∈-时，()2f x x m >+恒成立，即231x x m -+>恒成立， 令2235()31()[1,1]24g x x x x x =-+=--∈-，， 对称轴32x =在[1,1]-的右边，开口向上，∴()g x 在[1,1]-上递减，∴min ()(1)1g x g ==-，{|1}m m <-.………………12分 21.解：1{|3}{|[(21)][(1)]0}2A x xB x x a x a =-≤≤=-+--<，且B ≠∅.………………2分（1）①当211a +=-即1a =-时，(2,1)(2,3]B A B =--=- ，不符合题意； ②当11a -=-即0a =时，(1,1)(1,3]B A B =--=- ，，∴0a =.………………6分 （2）∵B ≠∅，∴211a a +≠-，即2a ≠-. ①若211a a +<-，即2a <-时， ∵A B =∅ ，∴112a -≤或213a +≥， ∴2a <-.………………9分 ②若121a a -<+，即2a >-时， ∵A B =∅ ，∴1212a +≤-或13a -≥， ∴324a -<≤-或4a ≥. 综上所述，a 的取值范围为3(,2)(2,][4,)4-∞---+∞ .………………12分 22.解：（1）由(0)8(0)85kC C ===，，∴40k =.………………3分 40()(010)35C x x x =≤≤+， 800()20(')66(010)35f x C x x x x x =+=+≤≤+.………………7分（2）令35(010)t x x =+≤≤，，得535t ≤≤， 800400()2192()10h t t t t t =+--=+-， 知400y t t=+在(0,20]递减[20,)+∞递增，所以400()2()10h t t t =+-在[5,20]递减，[20,35]递增， ∴min ()(20)70h t h ==，即35205x x +==，时，min ()70f x =.当隔热层修建5cm ，总费用达到最小值为70万元.………………12分。
江西省吉安市第一中学2024-2025学年高一上学期第一次段考数学试卷(无答案)
吉安一中2024-2025学年度上学期第一次段考试高一数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.设集合，，若，则（ ）A.2B.1C.D.2.已知命题，；命题，，则（ ）A.p 和q 都是真命题B.和q 都是真命题C.p 和都是真命题D.和都是真命题3.集合，，的关系是（ ）A. B.C. D.4.已知，，若集合，则的值为（ ）A. B. C.1 D.25.命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A. B. C. D.6.已知，，a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. B. C. D.7.已知x ，y 为正实数，且，则的最小值为（ ）A.24 B.25C. D.8.若对任意实数，，不等式恒成立，则实数a 的最小值为（ ）{}0,A a =-{}1,2,22B a a =--A B ⊆a =231-:R p x ∀∈11x +>:0q x ∃>3x x =p ⌝q ⌝p ⌝q ⌝{}52,Z M x x k k ==-∈{}53,Z P x x n n ==+∈{}103,Z s x x m m ==+∈S P M⊆⊆S P M =⊆S P M⊆=P M S =⊆R a ∈R b ∈{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭20192019a b +2-1-[]1,2x ∈20x a -≤4a ≤4a ≥5a ≤5a ≥a =b =-c =a b c >>a c b >>c a b >>c b a>>1x y +=63x y xy++6+3-0x >0y >()x a x y +≤+1-1+二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分数，有选错得0分.9.已知集合，，下列说法正确的是（ ）A.不存在实数a 使得B.当时，.C.当时，a 的取值范围是D.当时，10.已知，，且，则下列结论正确的是（ ）A.xy 的取值范围是B.的取值范围是C.的最小值是D.的最小值是311.已知关于x 的不等式解集为，则（ ）A.B.不等式的解集为C.D.不等式的解为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合，集合，且，为假命题，则实数m 的取值范围为______.13.若“，使”是假命题，则实数a 的取值范围为______.14.已知x ，y为正实数，则的最小值为______.四、解答题：共5个大题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）设全集，集合，集合.（1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围；（2）若命题“，则”是真命题，求实数a 的取值范围.16.（15分）已知命题，，，（1）若“”是P 成立的充分条件，求实数t 的取值范围；（2）若命题P 和q 有且只有一个为假，求实数a .17.（15分）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题，某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品。
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江西省吉安市第一中学2016届高三下学期第一次段考
数学试题（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题：共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合U R =，集合{
1A x x =<-或}4x >，{}
23B x x =-≤≤，那么阴影部分表示的集合为（ ） A ．{}
24x x -≤<
B ．{
3x x ≤或}4x ≥ C ．{}
21x x -≤≤-
D ．{}
13x x -≤≤
2．设复数12,z z 在复平面内的对应点关于实轴对称，11z i =+，则12z z =（ ） A ．2-
B ．2
C ．1i -
D ．1i +
3．右图所示的程序运行后输出的结果是（ ） A ．5-
B ．3-
C ．0
D ．
1
4．如图所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等差数列，如果数阵中所有数之和等于63，那么52a =（ ） A ．2
B ．8
C ．7
D ．4
41424351525361
62
63a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
5．“吸烟有害健康，吸烟会对身体造成伤害”，哈尔滨市于2012年5月31日规定室内场所禁
止吸烟．美国癌症协会研究表明，开始吸烟年龄()X 分别为16岁、18岁、20岁和22岁，其得肺癌的相对危险度()Y 依次为15.10、12.81、9.72、3.21；每天吸烟()U 10支、20支、30支者，其得肺癌的相对危险度()V 分别为7.5、9.5和16.6．用1r 表示变量X 与Y 之间的线性相关系数，用2r 表示U 与V 之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（ ） A ．12r r =
B ．120r r >>
C ．120r r <<
D ．120r r <<
7．甲乙两人从4门课程中各选修两门，到甲乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（ ） A ．30种
B ．36种
C ．60种
D ．72种
8．如图是某一几何体的三视图，到该几何体的体积是（ ） A ．
3
4
B ．1
C ．
54
D ．
32
9．已知点()()
*,n n a n N ∈在x
y e =的图象上，若满足12ln ln ln n n T a a a k =++⋅⋅⋅+>是n 的
最小值为5，则k 的取值范围是（ ） A ．15k <
B ．10k <
C ．1015k ≤<
D ．1015k <<
10．已知点O 是ABC ∆外心，4,3AB AO ==，则AB AC ⋅的取值范围是（ ） A ．[]4,24-
B ．[]8,20-
C ．[]8,12-
D ．[]4,20-
11．已知点P 在直线320x y +-=上，点Q 在直线360x y ++=上，线段PQ 的中点为
()00,M x y ，且002y x <+，则
0y x 的取值范围是（ ） A ．1,03
⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
B ．1,03
⎛⎫- ⎪⎝⎭
C ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
D ．()1,0,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪
⎝⎭
12．已知函数()f x 的定义域为D ，若对于,,a b c D ∀∈，()()(),,f a f b f c 分别为某个三角形的三边长，则称()f x 为“三角形函数”．给出下列四个函数：
①()()ln 1f x x x =>；②()4sin f x x =+；③()()13
18f x x x =≤≤；④()2221
x x f x +=+
其中为“三角形函数”的个数是（） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分．第13题~第21题为必考题，每个考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．
13
．二项式8
x ⎛
⎝
的展开式中常数项为______． 14．在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀．当他们被问到谁得到了优秀时，丙说：“甲没有得优秀”；乙说：“我得了优秀”；甲说：“丙说的是真话”．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是______．
15．若函数x y e e =-（e 为自然常数）的图象上存在点(),x y 满足约束条件40
100x y y x y +-≤⎧⎪
+≥⎨⎪-≥⎩
，
则实数a 的取值范围是______．
16．一个棱长为5的正四面体（棱长都相等的三棱锥）纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体的棱长的最大值为______． 17．（本小题满分12分） 已知函数(
))
()1
cos cos ,02
f x x x x x R ωωωω=
+-
∈>．若()f x 的最小正周期为4π．
（1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足()2cos cos a c B b C -=，求函数
()f A 的取值范围．
18．（本小题满分12分）
某校高三数学备课组为了更好的制定二轮复习的计划，开展了试卷讲评后效果的调研，从上学期期末数学试题中选出一些学生易错题，重新进行测试，并认为做这些题不出任何错误的同学为“过关”，出了错误的同学认为“不过关”．现随机抽查了年级50人，他们的测试成绩的频数分布如下表：
（1）由以上统计数据完成如下22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为期末数学成绩不低于90分与测试“过关”是否有关？说明你的理由．
（2）在期末分数段[)105,120的5人中，从中随机选3人，记抽取到过关测试“过关”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望． 下面的临界值表供参考：
()()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++
19．（本小题满分12分）
如图，四棱锥S ABCD -中，SD ⊥底面ABCD ，
,,1,2AB DC AD DC AB AD DC SD ⊥====，E 为棱SB 上的一点，且2SE EB =．
（1）证明：DE ⊥平面SBC ；
（2）证明：求二面角A DE C --的大小．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆()22
22:10,0x y C a b a b
+=>>的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直
线10x y ++=与以椭圆C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切． （1）求椭圆C 的方程；
（2）设点,,B C D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B 与点D 关于原点O 对称．设直线
,,,CD CB OB OC 的斜率分别为1234,,,k k k k ，且1234k k k k =．
（ⅰ）求12k k 的值； （ⅱ）求2
2
OB OC +的值．
21．（本小题满分12分）
已知函数()2
ln 21f x x x ax =+-+．（a 为常数）．
（1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若存在(]00,1x ∈，使得对任意的(]2,0a ∈-，不等式()2
0224a
me f x a a +>++（其
中e 为自然对数的底数）都成立，求实数m 的取值范围．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，圆M 与圆N 交于,A B 两点，以A 为切点作两圆的切线分别交圆M 和圆N 于C 、D 两点，延长DB 交圆M 于点E ，延长CB 交圆N 于点F ．已知5,10BC DB ==． （1）求AB 的长； （2）求
CF
DE
．
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正
半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是1cos sin x t y t α
α
=+⎧⎨=⎩（t 为参数）．
（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若直线，与曲线C 相交于A 、B 两点，且AB =α的值． 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()f x =
M ．
（1）求实数M 的值；
（2）求关于x 的不等式x x M ++≤的解集．。