抛物线、圆
抛物线十大经典结论
抛物线十大经典结论1. 抛物线的定义抛物线是指平面上到一个定点F（称为焦点）距离等于到一条直线L（称为准线）距离的所有点的集合。
焦点F和准线L之间的距离被称为抛物线的焦距。
2. 抛物线的方程抛物线的标准方程为：y = ax^2 + bx + c。
其中，a、b、c都是常数，a称为抛物线的开口方向和大小（a>0表示向上开口，a<0表示向下开口），b称为抛物线在x方向上的位置，c称为抛物线在y方向上的位置。
3. 抛物线的顶点抛物线的顶点是离焦点最近的点，也是离准线最远的点。
顶点的坐标为（-b/2a，c-（b^2/4a））。
4. 抛物线的对称轴抛物线的对称轴是通过焦点并且垂直于准线的一条直线。
它的方程为x = -b/2a。
5. 抛物线的焦点坐标抛物线的焦点坐标为（0，1/4a），其中a为抛物线开口的大小和方向。
6. 抛物线的准线方程抛物线的准线方程为y = -1/4a，其中a为抛物线开口的大小和方向。
7. 抛物线的直线切线抛物线的直线切线是通过抛物线上某一点的一条直线，它的斜率等于该点处的导数。
抛物线在顶点处有一条水平切线。
8. 抛物线的渐近线抛物线的渐近线是指抛物线趋近于一条直线的情况。
当a=0时，抛物线的渐近线为y = b。
9. 抛物线与圆的关系当平面上一抛物线的焦距等于准线的长度时，它与以焦点和准线为直径的圆相切于抛物线的顶点。
10. 抛物线的面积抛物线与x轴之间的面积可以用定积分来计算。
其公式为∫[a,b]（ax^2+bx+c）dx = 1/3a(b^3-a^3)+1/2b(ac-b^2)+c(b-a)。
其中a、b 为抛物线的两个端点。
抛物线双曲线椭圆知识点
抛物线双曲线椭圆知识点抛物线、双曲线、椭圆，这三个名词似乎很陌生的样子，但它们实际上是我们经常在生活中接触到的数学概念。
高中数学中，关于这三个曲线的内容是必修的。
虽然它们各有不同的性质，但它们都有一个共同的特征，那就是它们是二次函数图像。
本文将详细介绍抛物线、双曲线与椭圆的知识点，并探讨它们的性质和应用。
1. 抛物线抛物线是平面内的一条曲线，其形状类似于一个开口朝下或开口朝上的 U 形。
在数学中，抛物线是由一条直线（半轴）和一个固定点（焦点）构成的图形。
在图像上，焦点位于抛物线的顶点处，而半轴则与抛物线相切。
根据它的方程式，我们可以将抛物线分为两种类型：开口朝上的抛物线和开口朝下的抛物线。
开口朝上的抛物线方程式为：y = ax² + bx + c，其中a > 0 。
开口朝下的抛物线方程式为：y = ax² + bx + c，其中a < 0 。
在现实生活中，抛物线通常用来描述物体的运动轨迹。
例如，抛体在空气中的运动轨迹就是一个抛物线。
此外，抛物线也广泛用于建筑设计、工程、电信和电子等领域。
2. 双曲线双曲线是平面内一种曲线，以其非对称的形状而著称。
它看上去像两个并排的抛物线，我们也可以将两条抛物线相减得到双曲线的方程。
不同于抛物线的开口朝上或开口朝下的 U 形，双曲线的形状可以在横轴和纵轴两个方向都无限延伸。
双曲线方程式为：y²/a² − x²/b² = 1，其中a和b是该双曲线长度的参数。
当 a 和 b 相等，即a = b时，双曲线便可以转化为下面要介绍的椭圆。
双曲线在现代科学中有着广泛的应用，例如，它们可以被用于描述电磁波传播的方式、质能传播、黑洞引力等一系列现象。
此外，双曲线也被广泛应用到天文学、航空航天、电磁学和通讯领域等。
3. 椭圆椭圆是平面内一种闭合曲线，以其对称的 U 形或胎心形状而著称。
它看上去像两个抛物线，其一侧延伸，形成一个“尖角”，而另一侧则弯曲的更严密、圆润。
抛物线的定义及相关概念、抛物线的标准方程、抛物线的几何性质
高三数学第一轮复习：抛物线的定义、性质及标准方程辽河油田第三高级中学杨闯【本讲主要内容】抛物线的定义及相关概念、抛物线的标准方程、抛物线的几何性质【知识掌握】【知识点精析】1. 抛物线定义：平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线，定点不在定直线上。
它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值（离心率e）不同，当e＝1时为抛物线，当0<e<1时为椭圆，当e>1时为双曲线。
2. 抛物线的标准方程有四种形式，参数的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形式方程的几何性质（如下表）：其中为抛物线上任一点。
3. 对于抛物线上的点的坐标可设为，以简化运算。
4. 抛物线的焦点弦：设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，直线与的斜率分别为，直线的倾斜角为，则有，，，，，，。
说明：1. 求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线的动点的规律一般用轨迹法。
2. 凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。
3. 解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。
【解题方法指导】例1. 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，且与圆相交的公共弦长等于，求此抛物线的方程。
解析：设所求抛物线的方程为或设交点（y1>0）则，∴，代入得∴点在上，在上∴或，∴故所求抛物线方程为或。
例2. 设抛物线的焦点为，经过的直线交抛物线于两点，点在抛物线的准线上，且∥轴，证明直线经过原点。
解析：证法一：由题意知抛物线的焦点故可设过焦点的直线的方程为由，消去得设，则∵∥轴，且在准线上∴点坐标为于是直线的方程为要证明经过原点，只需证明，即证注意到知上式成立，故直线经过原点。
证法二：同上得。
又∵∥轴，且在准线上，∴点坐标为。
于是，知三点共线，从而直线经过原点。
证法三：如图，设轴与抛物线准线交于点，过作，是垂足则∥∥，连结交于点，则又根据抛物线的几何性质，∴因此点是的中点，即与原点重合，∴直线经过原点。
抛物线及其性质知识点大全
抛物线及其性质1．抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质：图形参数p 几何意义 参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔.开口方向 右左上下 标 准方 程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p =>22(0)x py p =->焦 点位 置 X 正X 负Y 正Y 负焦 点坐 标 (,0)2p (,0)2p -(0,)2p(0,)2p -准 线方 程 2p x =-2p x =2p y =-2p y =范 围 0,x y R ≥∈0,x y R ≤∈0,y x R ≥∈0,y x R ≤∈对 称轴 X 轴X 轴Y 轴Y 轴顶 点坐 标 （0,0）离心率 1e =通 径 2p焦半径11(,)A x y 12p AF x =+12p AF x =-+12p AF y =+12p AF y =-+焦点弦长AB12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++焦点弦长AB 的补充11(,)A x y22(,)B x y以AB 为直径的圆必与准线l 相切若AB 的倾斜角为α，22sin p AB α=若AB 的倾斜角为α，则22cos pAB α=2124p x x = 212y y p =-112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===•• 3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质：(1)范围：因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧， 当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），离心率：1=e ，焦点(,0)2p F ，准线2px -=，焦准距p ． (4) 焦点弦：抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ,则p x x AB ++=21||． 弦长|AB|=x 1+x 2+p,当x 1=x 2时，通径最短为2p 。
抛物线的定义
椭圆、双曲线、抛物线统称 圆锥曲线
平面截锥曲线三，
有开有闭各飞天；
行星绕月椭圆轨，
抛物双曲不复还。
课堂小结
提出问题 探索轨迹 的存在性 作出轨迹 图形
给出抛物 线定义
利用定义证明二次 函数的图像是抛物 线
运用抛物线定 义解决简单问 题
作
业
预习教材，尝试推导抛物线 四种不同形式的标准方程。
信息技术
新知学习
请同学们回忆作图过程，给抛物线下定义
在平面内,与一个定点F和一 H 条定直线l(l不经过点F)的距离相 等的点的轨迹叫抛物线.
点F 叫抛物线的焦点, 直线l 叫抛物线的准线. 准线
d为 M到 l 的距离 d M
·
·
F
焦 点
l MF 1 ,则点M的轨迹是抛物线. 即 :若 d
问题：若l经过点F,动点M的轨迹是 什么?
学以致用
你能证明二次函数y ＝ x2 是抛物线吗？
巩固概念
1、若A是定直线 l 外的一定点，则过点A且 与 l 相切的圆的圆心的轨迹是（ ） A.圆 B.椭圆 C. 双曲线的一支 D.抛物线
2.平面内到定点F（2，0）的距离比到定直线 x+3=0的距离小1的点的轨迹是 。
抛物线的定义
生活中的抛物线
桥 梁
生活中的抛物线
隧 道
生活中的抛物线
流星雨
投篮
掷球
乒乓球
学习目标
1. 了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实
世界和解决实际问题中的作用； 2.理解抛物线的定义，明确焦点、准线的概念。 3.会利用抛物线的定义解决一些简单的数学问题。
探究问题
在平面内,任给一个定点F和 H 一条定直线l(l不经过点F)，试探 寻到F和到直线l的距离相等的点. d M Nhomakorabea·
高二数学选择性必修件抛物线
圆与抛物线相离条件
要点一
圆心到抛物线准线的距离大于半 径
当圆心位于抛物线内部或外部，且圆心到抛物线准线的距 离大于圆的半径时，圆与抛物线相离。
要点二
圆心到抛物线焦点的距离小于半 径
当圆心位于抛物线外部，且圆心到抛物线焦点的距离小于 圆的半径时，圆与抛物线相离。
06
抛物线在实际问题中应用
XX
桥梁设计问题中抛物线应用
03
抛物线方程求解方法
XX
直接法求解抛物线方程
直接代入法
将给定的点代入抛物线方程进行 验证，若满足方程则点在抛物线 上。
图形结合法
通过绘制抛物线图形，观察点的 位置与抛物线的相对位置关系， 从而判断点是否在抛物线上。
配方法求解抛物线方程
完全平方法
通过配方将抛物线方程转化为完全平方形式，进而求解。
其准线方程为$y=-p/2$。
离心率
抛物线的离心率定义为$e=1$，性质
对称轴
对于形如$y^2=2px$的抛物线，其对称轴为$y=0$（即x轴）；对于形如 $x^2=2py$的抛物线，其对称轴为$x=0$（即y轴）。
对称性
抛物线关于其对称轴对称。即对于抛物线上任意一点$(x,y)$，其对称点$(-x,y)$ 或$(x,-y)$也在抛物线上。这一性质在解决与抛物线相关的问题时非常有用，可 以帮助我们简化计算和理解图形。
交点存在
通过解联立方程，可以求得两个交点 的坐标，从而确定直线与抛物线的相 交位置。
直线与抛物线相切条件
判别式等于0
当直线方程与抛物线方程联立后，所得一元二次方程的判别式等于0时，直线与抛物线有且仅有一个交点，即相 切。
切点存在
通过解联立方程，可以求得切点的坐标，从而确定直线与抛物线的相切位置。
8.3椭圆、双曲线、抛物线与圆相结合问题
2017届高三数学跨越一本线精品问题三：椭圆、双曲线、抛物线与圆相结合问题通过近几年各地高考试题能够发觉,对圆的考查在慢慢加深,并与圆锥曲线相结合在一路命题,成为一个新的动向.与圆相关几何性质、最值问题、轨迹问题等都能与椭圆、双曲线和抛物线想结合能够呈现别具一格的新颖试题,为此,为了深切明确命题动向,本文总结如下. 一、圆与椭圆的结合点 圆的几何性质与椭圆相联系【例1】【2017届湖南师大附中高三上学期月考四】已知椭圆C 的中心在原点,离心率为22,其右核心是圆E ：22(1)1x y -+=的圆心．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图,过椭圆C 上且位于y 轴左侧的一点P 作圆E 的两条切线,别离交y 轴于点M 、N ．试推断是不是存在点P ,使14||MN =,求出点P 的坐标；假设不存在,请说明理由．【分析】(1)由已知条件别离求出,a c 的值,而222b ac =-,代入求出椭圆的方程；(2)假设存在点P 知足题意,设点00(,)P x y （00x <）,(0,)M m ,(0,)N n ,利用条件求出直线PM 方程,依照圆心(1,0)E 到直线PM 的距离为,求出m 与点P 坐标之间的关系,同理求出与点P 坐标之间的关系,利用韦达定理求出,m n mn +的表达式,算出MN ,求出P 点坐标.【解析】（1）设椭圆方程22221(0)x y a b a b+=>>,半焦距为,因为椭圆的右核心是圆E 的圆心,那么1c =,因为椭圆的离心率为22,那么22c a =,即22a c ==,从而2221b a c =-=,故椭圆C 的方程为2212x y +=．由此可知,m ,为方程2000(2)20x x y x x -+-=的两个实根,因此0022y m n x +=--,002x mn x =--, 2||||()4MN m n m n mn =-=+-20020044(2)2y x x x =+--220002044(2)x y x x +-=-．因为点00(,)P x y 在椭圆C 上,那么220012x y +=,即220012x y =-, 则2200022002842(2)4||(2)(2)x x x MN x x -+--==--2042(2)x =--, 204142(2)x -=-则20(2)9x -=,因为00x <,那么01x =-,220012x y =-12=,即022y =±, 故存在点2(1,)2P -±知足题设条件． 【点评】(1)处置直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长的一半、弦心距、半径组成直角三角形．(2)圆的切线问题的处置要抓住圆心到直线的距离等于半径,从而成立关系解决问题．【小试牛刀】【2017届江西吉安一中高三上学期段考二】已知椭圆()2222:10x y W a b a b+=>>的离心率为32,其左极点A 在圆22:16O x y +=上. （Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅱ）假设点P 为椭圆W 上不同于点A 的点,直线AP 与圆O 的另一个交点为Q ,是不是存在点P ,使得3PQ AP=？假设存在,求出点P 的坐标；假设不存在,说明理由.【答案】（I ）221164x y +=；（II ）不存在,理由观点析. （II ）设点()11,P x y ,()22,Q x y ,设直线AP 的方程为()4y k x =+,与椭圆方程联立得()2241164y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,化简取得()2222143264160k x k x k +++-=,因为-4为方程的一个根,因此()21232414k x k -+-=+,因此21241614k x k-=+ 因此228114k AP k+=+ 因为圆心到直线AP 的距离为2414kd k=+, 因此222168216211AQ d k k=-==++. 因为1PQ AQ AP AQ APAPAP-==-,代入取得222222228143311*********PQ k k k AP k k kk k ++=-=-==-+++++, 显然23331k -≠+,因此不存在直线AP ,使得3PQ AP=.利用椭圆的性质判定直线与圆的位置关系 【例2】已知椭圆C ：2224x y +=.（1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点,假设点A 在椭圆C 上,点B 在直线2y =上,且OA OB ⊥,试判定直线AB 与圆222x y +=的位置关系,并证明你的结论.【分析】（1）把椭圆C ：2224x y +=化为标准方程,确信2a ,2b ,利用ace =求得离心率；（2）设点),(00y x A ,)2,(t B ,其中00≠x ,由OB OA ⊥,即0=•OB OA ,用0x 、0y 表示,当t x =0或t x ≠0别离依照点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离,与圆的半径比较,从而判定直线AB 与圆222x y +=的位置关系.【解析】（1）由题意椭圆C 的标准方程为12422=+y x ,因此42=a ,22=b ,从而224222=-=-=b a c ,因此22==a c e . （2）直线AB 与圆222=+y x 相切,证明如下：设点),(00y x A ,)2,(t B ,其中00≠x ,因为OB OA ⊥,因此0=•OB OA ,即0200=+y tx ,解得02x y t -=, 当t x =0时,220t y -=,代入椭圆C 的方程得2±=t ,现在直线AB 与圆222=+y x 相切.当t x ≠0时,直线AB 的方程为)(2200t x tx y y ---=-,即02)()2(0000=-+---ty x y t x x y , 圆心到直线AB 的距离为202000)()2(|2|t x y ty x d -+--=,又422020=+y x ,02x y t -=, 故22168|4|4|22|20204002020202020020=+++=++-=x x x x x x y y x x y x d .故此直线AB 与圆222=+y x 相切.【小试牛刀】【2021福建高考理18】已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>过点()0,2,且离心率22e =．(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线():1l x my m =-∈R 交椭圆E 于A ,B 两点,判定点94G ⎛⎫- ⎪⎝⎭,0与以线段AB 为直径的圆的位置关系,并说明理由．【解析】解法一：（1）由已知得222222b caa b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩,解得222a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩因此椭圆E 的方程为22142x y +=．故()22201252514216AB GH my m y y -=+++=()()()22222231525172021622162m m m m m m ++-+=>+++,因此2AB GH >． 故点9,04G ⎛⎫-⎪⎝⎭在以AB 为直径的圆外． 解法二：（1）同解法一．（2）设点()11,A x y ,()22,B x y ,那么119,4GA x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭,229,4GB x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,得()222230m y my +--=,因此12222m y y m +=+,12232y y m =-+,从而12129944GA GB x x y y ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12125544my my y y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()212125251416m y y m y y ++++=()22225312522216m m m m -+++=++()221720162m m +>+,因此cos ,0GA GB >．又GA ,GB 不共线,因此AGB ∠为锐角．故点9,04G ⎛⎫-⎪⎝⎭在以AB 为直径的圆外． 二、圆与双曲线的结合点利用圆的性质解决双曲线的相关问题由于双曲线具有渐近线,故渐近线与圆的位置关系便成为命题的常考点.圆本身所具有的几何性质在探讨等量关系也常常考查,进而求解双曲线的几何性质,如离心率的求解.【例3】已知点(,0)(0)F c c ->是双曲线22221x y a b-=的左核心,离心率为e ,过F 且平行于双曲线渐近线的直线与圆222x y c +=交于点P ,且点P 在抛物线24y cx =上,那么e 2 =（ ）A ．352+ B ．5 C ．512- D ．152+ 【答案】D【点评】此题将双曲线的渐近线与圆的位置关系联系到一路,从而确信点P 的坐标,进而成立等量关系求解双曲线的离心率.【小试牛刀】【2017届河北武邑中学高三上学期调研四】已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b==>>的右极点为A ,O 为坐标原点,以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点P ,Q ．假设60PAQ ∠=︒,且3OQ OP =,那么双曲线C 的离心率为＿＿＿＿．【解析】因为60PAQ ∠=︒且3OQ OP =,因此QAP 为等边三角形,设2AQ R =,那么OP R =,渐近线方程为by xa =,0A a （，）,取PQ 的中点M ,那么AM =由勾股定理可得2222R R -=（）,因此22223ab R a b =+（）（）①,在OQA中,()()2223212322R R a R R+-=⋅⋅,因此227R a =②,①②结合222c a b =+,可得c e a =＝．故答案. 圆的切线与双曲线相联系【例4】已知双曲线12222=-by a x 的左右核心别离为12F F 、,O 为双曲线的中心,P 是双曲线右支上的点,21F PF ∆的内切圆的圆心为,且圆与轴相切于点A ,过2F 作直线PI 的垂线,垂足为B ,假设为双曲线的离心率,那么( )A. ||||OA e OB =B. ||||OB e OA =C. ||||OA OB =D. ||OA 与||OB 关系不确信 【答案】C【解析】设内切圆在1PF 上的切点为N ,2PF 上的切点为M ,12F F 上的切点为A ,A 的坐标为(m,0),∴12112(DM MF)AF m (c m)2a PF PF PN NF AF c -=+-+=-=+--=,即OA a =,延长2BF 交1PF 于S ,∵PB 是角平分线和垂线,∴B 是2SF 的中点,O 是12F F 的中点,BO 是中位线,11211(PF PF )a 22BO F S ==-=,∴OA OB a ==,∴||||OA OB =. 【小试牛刀】已知点1F 、2F 为双曲线C ：()01222>=-b by x 的左、右核心,过2F 作垂直于轴的直线,在轴上方交双曲线C 于点M ,且︒=∠3021F MF ．圆O 的方程是222b y x =+． （1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足别离为1P 、2P ,求21PP PP ⋅的值；（3）过圆O 上任意一点()00y ,x Q 作圆O 的切线交双曲线C 于A 、B 两点,AB 中点为M ,求证：2AB OM =．（2）由条件可知：两条渐近线别离为1220;20l x y l x y -=+= 设双曲线C 上的点00(,)Q x y ,设两渐近线的夹角为θ,那么那么点Q 到两条渐近线的距离别离为00001222|||33x y x y PP PP -+==因为00(,)Q x y 在双曲线C ：2212y x -=上,因此220022x y -= 又1cos 3θ=,因此220000002221233933x y x y x y θ-+-==⋅=（3）由题意,即证：OA OB ⊥.设1122(,),(,)A x y B x y ,切线的方程为：002x x y y += ①当00y ≠时,切线的方程代入双曲线C 中,化简得：22220000(2)4(24)0y x x x x y -+-+=因此：2001212222200004(24),(2)(2)x y x x x x y x y x ++=-=--- 又22010201201201222200000(2)(2)82142()2x x x x x y y x x x x x x y y y y x ---⎡⎤=⋅=-++=⎣⎦- 因此②当00y =时,易知上述结论也成立． 因此综上,OA OB ⊥,三、圆与抛物线的结合点 3. 1圆的性质与抛物线相结合【例5】一个酒杯的轴截面是开口向上的抛物线的一段弧,它的口宽是的410杯深20,在杯内放一玻璃球,当玻璃球的半径r 最大取 时,才能使玻璃球触及杯底． 【答案】1【解析】成立如下图的直角坐标系,酒杯所在抛物线的方程设为22(0)x py p =>,因为过点(210,20),因此2(210)220,1p p =⨯=,即22(020)x y y =≤≤.玻璃球触及杯底,确实是小球的截面圆222()x y r r +-=与抛物线22x y =有且仅有一个交点,即原点.由222()x y r r +-=与22x y =消去得：0y =或2 2.y r =-因为有且仅有一个交点,即原点,因此220,1,r r -≤≤即半径r最大取1.【小试牛刀】【2017吉林长春五县上学期期末】已知点A 是抛物线()2:20C x px p =>上一点,O 为坐标原点,假设,A B 是以点()0,10M 为圆心,OA 的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点,且ABO ∆为等边三角形,那么p 的值是 ．【答案】56抛物线的性质与圆的相联系【例6】【2017届重庆市第一中学高三12月月考】已知椭圆()2212210x y C a b a b+=>>：离心率6焦距为22抛物线()22:20C x py p =>的核心F 是椭圆1C 的极点. （Ⅰ）求1C 与2C 的标准方程；（Ⅱ）设过点F 的直线交2C 于,P Q 两点,假设1C 的右极点A 在以PQ 为直径的圆内,求直线的斜率的取值范围.【分析】（Ⅰ）椭圆1C 的焦距为222=c ,36=a c ,得椭圆的标准方程,取得抛物线核心,可得抛物线方程；（Ⅱ）联立直线与抛物线的方程结合韦达定理得k x x 421=+,421-=⋅x x ,A 在以PQ 为直径的圆内⇔0<⋅AQ AP ,得结果.（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：1y kx =+,设点()11,P x y ,()22,Q x y ,联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩得2440x kx --=,由韦达定理得124x x k +=,124x x =-.A 在以PQ 为直径的圆内)1212120330AP AQ x x x x y y ⇔<⇔+++<)2212121216163480x x x x x x ⇔-+++<641634481600k k --++<⇒>.【小试牛刀】已知抛物线C ：22(0)y px p =>的核心为F ,直线4y =与y 轴的交点为P ,与C 的交点为Q ,且5||||4QF PQ =. （I ）求C 的方程；（II ）过F 的直线与C 相交于A ,B 两点,假设AB 的垂直平分线与C 相较于M ,N 两点,且A ,M ,B ,N 四点在同一圆上,求的方程. 【解析】（I ）设0,4Q x ,代入22y px ,得0888,,.22p p x PQQF x pp p．由题设得85824p pp,解得2p （舍去）或2p ,∴C 的方程为24y x ；（II ）由题设知与坐标轴不垂直,故可设的方程为10x my m,代入24y x 得2440y my．设1122,,,,A x y B x y 则124,y y m124y y ．故AB 的中点为2221221,2,141D m m AB m y y m ．又的斜率为,m l 的方程为2123xy m m．将上式代入24y x ,并整理得2244230y y m m．设3344,,,,M x y B x y 则234344,423y y y y m m．故MN 的中点为22234222412122123,,1m m E mMN y y mmm m ．由于MN 垂直平分线AB ,故,,,A M B N 四点在同一圆上等价于12AEBEMN ,从而22211,44AB DEMN 即2222222244121224122m m m mmm m,化简得210m ,解得1m 或1m ．所求直线的方程为10x y 或10xy ．【迁移运用】1．【2017河北定州市上学期期中】过双曲线22115y x -=的右支上一点P ,别离向圆1C ：22(+4)+4x y =和圆2C ：22(4)1x y -+=作切线,切点别离为M ,N ,那么22||||PM PN -的最小值为（ ）A ．10B ．13C ．16D ．19 【答案】B【解析】由题可知,)1|(|)4|(|||||222122---=-PC PC PN PM ,因此=--=-3||||||||222122PC PC PN PM 121212(||||)2(||||)32||3PC PC PC PC C C -=+-≥-13=.应选B ．2．【2017届四川双流中学高三上学期必得分训练】已知P 为抛物线x y 42=上一个动点,Q 为圆1)4(22=-+y x 上一个动点,当点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和最小时,点P 的横坐标为（ ）A ．8179- B ．89C ．817D ．17【答案】A【解析】设P 到抛物线准线的距离为d ,抛物线的核心为F ,圆心为C ,则()()min min 1PQ d PQ PF CF r +=+=-=,应选A.3．【2017届湖南长沙一中高三月考五】已知双曲线22221(a 0,b 0)x y a b-=>>的左、右核心别离为1F 、2F ,过1F 作圆222x y a +=的切线别离交双曲线的左、右两支于点B 、C ,假设2|BC ||CF |=,那么双曲线的渐近线方程为（ ）A.3y x =±B.22y x =±C.(31)y x =±+D.(31)y x =±- 【答案】C4．【2016届河南省郑州市一中高三上学期联考】如图,已知椭圆111:221=+y x C ,双曲线)0,0(1:22222>>=-b a by a x C ,假设以1C 的长轴为直径的圆与2C 的一条渐近线交于A 、B 两点,且1C 与该渐近线的两交点将线段AB 三等分,那么2C 的离心率为（ ）A ．5B ．5C ．17D ．7142【答案】A【解析】设椭圆与双曲线的渐近线相交于1122(,),(,)M x y N x y 两点（设M 在轴上方）和33(,)A x y ,那么由题意知,3OA OM =,即313x x =．于是联立方程组2211x y b y xa ⎧+=⎪⎨=⎪⎩可得,2232211a x a b =+；联立方程组22111x y b y x a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得,221221111a x a b =+；即2222119()a b a b +=+,因此224b a =,即225c a =,因此5e =．故应选A ．5．【2016届河南省郑州市一中高三上学期联考】已知抛物线28y x =,点Q 是圆22:28130C x y x y ++-+=上任意一点,记抛物线上任意一点到直线2x =-的距离为d ,那么PQ d +的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2 【答案】C6.过双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的左核心F 作圆222x y a +=的两条切线,切点别离为A 、B ,双曲线左极点为M ,假设0120AMB ∠=,那么该双曲线的离心率为 （ ） A 2 B ． 3 C ． D ．【答案】D【解析】OA 即为双曲线的渐近线,OAM ∆为等边三角形,直线OA 的倾斜角为60,因此3ba=2222342b a c a e =⇒=⇒=.选D.7．【2017届湖南师大附中高三上学期月考三】如图,抛物线21:8C y x =与双曲线()22222:10,0x y C a b a b-=>>有公共核心2F ,点A 是曲线12,C C 在第一象限的交点,且25AF =.（Ⅰ）求双曲线2C 的方程；（Ⅱ）以1F 为圆心的圆M 与双曲线的一条渐近线相切,圆()22:21N x y -+=.已知点(3P ,过点P 作相互垂直且别离与圆M 、圆N 相交的直线和,设被圆M 截得的弦长为,被圆N 截得的弦长为.试探讨ts是不是为定值？请说明理由.【答案】（Ⅰ）2213y x -=；（Ⅱ）s t 3【解析】（Ⅰ）抛物线21:8C y x =的核心为()22,0F ,∴双曲线2C 的核心为()()122,02,0F F -、. 设()00,A x y 在抛物线21:8C y x =上,且25AF =.由抛物线的概念得,025x +=,∴03x =.∴2083y =⨯,∴026y =±()()22132267AF =++±=又∵点A 在双曲线上,由双曲线概念得,2752a =-=,∴1a =.∴双曲线的方程为：2213y x -=. （Ⅱ）s t为定值.下面给出说明：设圆M 的方程为：()2222x y r ++=,双曲线的渐近线方程为：y =.∵圆M与渐近线y =相切,∴圆M的半径为r ==故圆()22:23M x y ++=.依题意12l l 、的斜率存在且均不为零,因此设的方程为()1y k x =-,即0kx y k -=,设的方程为()11y x k=--,即10x ky +-=, ∴点M到直线的距离为1d =,点N到直线的距离为2d =,∴直线被圆M截得的弦长s ==直线被圆N截得的弦长t ==∴s t===故st7．【2017学年吉林长春五县高二上学期期末】已知()222210x y a b a b+=>>的左、右核心别离为12F F 、,12F F =点P 在椭圆上,21tan 2PF F ∠=,且12PF F ∆的面积为4. （1）求椭圆的方程；（2）点M 是椭圆上任意一点,12A A 、别离是椭圆的左、右极点,直线12MA MA ，与直线x =,E F 两点,试证：以EF 为直径的圆交轴于定点,并求该定点的坐标. 【答案】（1）22194x y +=；（2）证明观点析,1,0⎫+⎪⎪⎝⎭或1,0⎫-⎪⎪⎝⎭. 【解析】（1）因为21tan 2PF F ∠=,因此21sin 5PF F∠=,21cos 5PF F ∠=.由题意得((22221221255425225PF PF PF PF ⎧⨯⨯=⎪⎪⎨⎪=+-⨯⨯⎪⎩,解得1242PF PF ⎧=⎪⎨=⎪⎩.从而1224263a PF PF a =+=+=⇒=,结合2c =得24b =,故椭圆的方程为22194x y +=. （2）由（1）得()13,0A-,()23,0A ,设()00,M x y,那么直线1MA 的方程为()0033y y x x =++, 它与直线x =003232y E x⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,直线2MA 的方程为()0033y y x x =--,它与直线2x =的交点的坐标为0033y F x ⎫⎫-⎪⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭,再设以EF 为直径的圆交轴于点(),0Q m ,那么QE QF ⊥,从而1QE QF k k =-,即033y x ⎫+⎪+0 0331 35y x⎫-⎪-⎝=--,即222949ymx⎫=⎪⎪-⎝⎭,解得1m=.故以EF为直径的圆交轴于定点,该定点的坐标为1,0⎫+⎪⎪⎝⎭或1,0⎫⎪⎪⎝⎭.8．【2017届广西陆川县中学高三上学期二模】已知椭圆D：()222101yx bb+=<<的左核心为F,其左、右极点为A、C ,椭圆与y轴正半轴的交点为B,FBC的外接圆的圆心(),P m n在直线x y+=上.（I）求椭圆D的方程；（II ）已知直线：x=N是椭圆D上的动点,NM l⊥,垂足为M,是不是存在点N,使得FMN为等腰三角形？假设存在,求出点N的坐标,假设不存在,请说明理由.【答案】(I)2221x y+=；(II)N36⎛-±⎝⎭或0,2⎛⎫±⎪⎪⎝⎭.【解析】（I）由题意知,圆心P既在FC的垂直平分线上,也在BC的垂直平分线上,设F的坐标为()(),00c c->,则FC的垂直平分线方程为12cx-=…①因为BC的中点坐标为1,22b⎛⎫⎪⎝⎭,BC的斜率为b-因此BC的垂直平分线的方程为1122by xb⎛⎫-=-⎪⎝⎭…②联立①②解得:12cx-=,22b cyb-=即12cm-=,22b cnb-=因为(),P m n 在直线0x y +=上,因此21022c b cb--+=………（4分） 即()()10b b c +-= 因为()10b +>,因此b c =再由221b c =-求得2212b c ==因此椭圆D 的方程为2221x y +=………（7分）9．【2017届湖南长沙雅礼中学高三月考四】已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右核心为)0,1(2F ,点)3102,2(H 在椭圆上. （1）求椭圆的方程；（2）点M 在圆222b y x =+上,且M 在第一象限,过M 作222b y x =+的切线交椭圆于Q P ,两点,问：Q PF 2∆的周长是不是为定值？假设是,求出定值；假设不是,说明理由.【答案】（1）18922=+y x ；（2）．【解析】（1）由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=+==-19404122222b ac b a ,∴⎪⎩⎪⎨⎧==9922b a ,∴椭圆的方程为18922=+y x . （2）由题意,设PQ 的方程为)0,0(><+=m k m kx y ,∵PQ 与圆822=+y x 相切,∴221||2=+k m ,即2122k m +=,⎪⎩⎪⎨⎧=++=18922y x mkx y 得072918)98(222=-+++m kmx x k , 设),(),,(2211y x Q y x P ,那么222122198729,9818k m x x k km x x +-=+-=+,∴222222212212212986987294)9818(14)(1||1||k km k m k km kx x x x kx x k PQ +-=+--+-+=-++=-+=又212121212122)9(91)91(8)1()1(||-=-+-=+-=x x x y x PF ,∴112313)9(31||x x PF -=-=,同理222313)9(31||x x QF -=-=,∴22129866)(316||||k kmx x QF PF ++=+-=+, ∴69869866||||||222=+-++=++k kmk km PQ QF PF （定值）.10．【2017山东菏泽一中宏志部月考三】已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的焦距为2,左、右极点别离为B A ,,P 是椭圆上一点,记直线PB PA ,的斜率为21,k k ,且有2121-=k k . （1）求椭圆C 的方程；（2）假设直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆C 交于N M ,两点,以N M ,为直径的圆通过原点,且线段MN 的垂直平分线在y 轴上的截距为21-,求直线的方程. 【答案】（1）2212x y +=；（2）1y x =+．（2）设()()1122,,M x y N x y 、,MN 的中点为()00,Q x y ,联立2212y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩取得()222124220k x kmx m +++-=,()22221621021k m m k ∆=-+>⇒<+ ①122412km x x k +=-+,21222212m x x k-=+,12022212x x km x k +==-+,00212my kx m k =+=+ ② 因为以MN 为直径的圆通过原点,因此0OM ON =,12120x x y y +=,()()12120x x kx m kx m +++=,()()22121210k x xkm x x m++++=,()()2222222122401212k m k m m k k+--+=++, 化简得22322m k =+ ③将②式代入取得223121m k -=+代入①式取得212m >, 由于线段MN 的垂直平分线通过点1(0,)2-,00112y x k+∴=-,将②代入取得2122k m += ④联立③④得13m =-或1,因为212m >,因此1m =,22k =±. 因此直线的方程为212y x =±+. 11．【2016-2017学年河北枣强中学高二12月月考】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>,过(2,2)M 、(6,1)N 两点,O 为坐标原点．（1）求椭圆E 的方程；（2）假设直线4(0)y kx k =+>与圆2283x y +=相切,而且与椭圆E 相交于两点A 、B ,求证：OA OB ⊥．【答案】（1）22184x y +=；（2）证明观点析．（2）设11(,)A x y ,22(,)B x y ,由题意得2261d k ==+, 因此5k =联立直线与椭圆方程得211240x ++=,有12x x +=122411x x =,因此121212126)160x x y y x x x x +=+++=,因此OA OB ⊥．12．【2017届甘肃肃南裕固族自治县一中高三12月月考】已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率2e =,过椭圆的左核心F 且倾斜角为30°的直线与圆222x y b +=相交所得弦的长度为1.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）假设动直线交椭圆E 于不同两点()()2211,,,y x N y x M ,设()()1122,,,OP bx ay OQ bx ay ==,O 为坐标原点.当以线段PQ 为直径的圆恰好于点O 时,求证：MON ∆的面积为定值,并求出该定值.【答案】(I)2214x y +=；(II)证明观点析,. 【解析】（Ⅰ）由题意知23=e 得23=a c ,即c a 23=. ① 因为直线过左核心()0,c F -且倾斜角为30°可得直线方程为()c x y +=33又因为直线()c x y +=33与圆222b y x =+相交弦长为1, 因此圆心到直线距离2323933c c c d ==+=, 再由勾股定理得：41422=-c b ②由①②联立222222144cc b a b c=⎪-=⎨⎪⎪=+⎩可知222413a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩即椭圆方程为2214x y += （Ⅱ）（ⅰ）当直线MN 的斜率不存在时,2121,y y x x -==,因为以线段PQ 为直径的圆过原点,因此OP OQ ⊥,即0OP OQ ⋅=,因此22121212120,40b x x a y y x x y y +=+=, 即221140x y -=,③又因为点()11,M x y 在椭圆上,因此221114x y +=,④把③代入④得：2112,x y ==,因此11211122OMN S x y y ∆=-==. （ⅱ）当直线MN 的斜率存在时,设直线MN 的方程为y kx t =+,()2222214844014y kx tk x ktx t x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩, 因为交于不同两点,因此0∆>,()()22226414440k t k t ∆=-4+->,即22410k t ∆=-+>,由韦达定理得：2121222844,1414kt t x x x x k k --+==++,由题意知0OP OQ ⋅=即121240x x y y +=,又1122,y kx t y kx t =+=+,因此()2212121240x x k x x kt x x t ⎡⎤+⋅+++=⎣⎦,∴()()22121214440k x x kt x x t ++++=,代入整理得22214t k =+.⑤又()22121214MN kx x x x =++-22222844141414kt t k k k --⎛⎫=+-⋅ ⎪++⎝⎭2222414114k t k k+-=+⋅+ 点O 到直线y kx t =+的距离21kt d +=,因此2222211414122141MONt k t S d MN k kk ∆+-=⨯=⨯⨯+⋅++ 2221414214k t t k+-=⨯+,⑥ 将⑤代入⑥得241122MON t S t t∆=⨯=, 13.如下图,已知A 、B 、C 是长轴长为的椭圆E 上的三点,点A 是长轴的一个端点,BC 过椭圆中心O ,且0AC BC ⋅=,2BC AC =．（1）求椭圆E 的方程；（2）在椭圆E 上是不是存点Q ,使得222QB QA -=？假设存在,有几个（没必要求出Q 点的坐标）,假设不存在,请说明理由；（3）过椭圆E 上异于其极点的任一点P ,作圆224:3O x y +=的两条线,切点别离为M 、N ,假设直线MN 在轴、y 轴上的截距别离为m 、,证明：22113m n +为定值. 【解析】（1）依题意知：椭圆的长半轴长2a =,那么()2,0A ,设椭圆E 的方程为22214x y b+=,由椭圆的对称性知OC OB = 又0AC BC ⋅=,2BC AC =,AC BC ∴⊥,OC AC =,AOC ∴∆为等腰直角三角形,∴点C 的坐标为()1,1,点B 的坐标为()1,1--,将C 的坐标()1,1代入椭圆方程得243b =, ∴所求的椭圆E 的方程为223144x y +=. （2）解法一：设在椭圆E 上存在点Q ,使得222QB QA -=,设()00,Q x y ,那么()()()2222220000001126222QB QA x y x y x y -=+++---=+-=,即点Q 在直线320x y +-=上,∴点Q 即直线320x y +-=与椭圆E 的交点,直线320x y +-=过点2,03⎛⎫⎪⎝⎭,而点椭圆2,03⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 的内部, ∴知足条件的点Q 存在,且有两个；解法二：设在椭圆E 上存在点Q ,使得222QB QA -=,设()00,Q x y ,那么()()()2222220000001126222QB QA x y x y x y -=+++---=+-=,即00320x y +-=,①又点Q 在椭圆E 上,2200340x y ∴+-=,②由①式得0023y x =-代入②式并整理得：2007920x x -+=,③方程③的根判别式8156250∆=-=>,∴方程③有两个不相等的实数根,即知足条件的点Q 存在,且有两个；（3）解法一：设点()11,P x y ,由M 、N 是圆O 的切点知,OM MP ⊥,ON NP ⊥,O ∴、M 、P 、N 四点在同一圆上,且圆的直径为OP ,那么圆心为11,22x y ⎛⎫⎪⎝⎭, 其方程为22221111224x y x y x y +⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 即22110x y x x y y +--=,④即点M 、N 知足方程④,又点M 、N 都在圆O 上,M ∴、N 坐标也知足圆O 的方程2243x y +=,⑤ ⑤④得直线MN 的方程为1143x x y y +=, 令0y =,得143m x =,令0x =得143n y =, 143x m ∴=,143y n =,又点P 在椭圆E 上,22443433m n ⎛⎫⎛⎫∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即2211334m n +=（定值）；14 【2021山东高考理20】平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心,左、右核心别离是12F F ，. 以1F 为圆心以为半径的圆与以2F 为圆心以为半径 的圆相交,且交点在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2） 设椭圆2222:144x y E a b+=,P 为椭圆C 上任意一点. 过点P 的直线y kx m =+交椭圆E于A B ，两点,射线PO 交椭圆E 于点Q .（i ）求OQ OP的值；（ii ）求△ABQ 面积的最大值.【解析】（1）由题意知24a =,那么2a =．又2c a =,222a c b -=,可得1b =, 因此椭圆C 的方程为2214x y +=． （2）由（1）知椭圆E 的方程为221164x y +=． （ⅰ）设()00,P x y ,OQOPλ=,由题意知()00,Q x y λλ--．因为2214x y +=,又()()22001164x y λλ--+=,即222144x y λ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,因此2λ=,即2OQ OP =． （ⅱ）设()11,A x y ,()22,B x y ．将y kx m =+代入椭圆E 的方程,可得()2221484160k x kmx m +++-=,由0∆>,可得22416m k <+ ①那么有122814km x x k +=-+,212241614m x x k -=+,因此12x x -= 因为直线y kx m =+与y 轴的交点坐标为()0,m ,因此AOB △的面积1212S m x x =-===． 设2214m t k=+．将y kx m =+代入椭圆C 的方程, 可得()222148440k x kmx m +++-=, 由0∆,可得 2214m k + ②由①②可知01t <,因此S ==故23S ,当且仅当1t =,即2214m k=+时取得最大值由（ⅰ）知,ABQ △面积为3S ,因此ABQ △面积的最大值为。
圆锥曲线常用的二级结论
圆锥曲线常用的二级结论圆锥曲线是数学中重要的概念之一，它们的性质和应用广泛存在于各个领域中。
在研究圆锥曲线时，我们常常需要掌握一些基本的二级结论。
本文将介绍一些圆锥曲线常用的二级结论，帮助读者更好地理解和应用这些曲线。
第一，圆是一种特殊的圆锥曲线。
圆的定义是所有离中心点相等距离的点组成的图形。
它的二级结论包括：直径是圆的最长线段，圆的周长公式为C=2πr，其中r为半径；圆的面积公式为A=πr^2，其中r为半径。
第二，椭圆是另一种常见的圆锥曲线。
椭圆的定义是所有离两个焦点之和相等的点组成的图形。
它的二级结论包括：焦距的定义为两个焦点之间的距离，椭圆的离心率定义为焦距与长轴长度的比值，离心率小于1时为椭圆；椭圆的周长和面积的计算公式与圆不同，需要通过积分等方法求解。
第三，双曲线是圆锥曲线中的另一个重要概念。
双曲线的定义是所有离两个焦点之差相等的点组成的图形。
它的二级结论包括：焦距的定义与椭圆相同，双曲线的离心率定义为焦距与长轴长度的比值，离心率大于1时为双曲线；双曲线的周长和面积的计算公式也与圆不同，需要通过积分等方法求解。
第四，抛物线是圆锥曲线中的另一类。
抛物线的定义是所有离焦点距离等于焦距的点组成的图形。
它的二级结论包括：焦距的定义与椭圆和双曲线不同，抛物线的焦距等于焦点到准线的垂直距离；抛物线的顶点是曲线的最高点或最低点；抛物线的标准方程为y^2=4ax，其中a为焦距。
综上所述，圆锥曲线常用的二级结论包括圆、椭圆、双曲线和抛物线的定义、性质和计算公式等。
通过掌握这些结论，我们可以更好地理解和应用圆锥曲线，在数学和实际问题中更加准确地计算和分析相关情况。
希望本文能对读者有所帮助，更深入地了解圆锥曲线的奥妙。
抛物线三角形内切圆问题
抛物线三角形内切圆问题
首先，我们可以从数学的角度来分析。
对于抛物线三角形内切
圆的问题，我们可以利用几何知识和数学推导来解决。
首先，我们
可以利用抛物线的性质来分析三角形的顶点和切点的关系，然后利
用圆的性质和三角形的性质来建立方程，从而求解内切圆的半径和
圆心坐标。
其次，我们可以从实际应用的角度来分析。
抛物线三角形内切
圆的问题在工程和建筑领域有着重要的应用，比如在设计桥梁和隧
道时，需要考虑内切圆的问题来确定结构的稳定性和安全性。
因此，通过解决抛物线三角形内切圆的问题，可以为实际工程提供重要的
参考和指导。
另外，我们还可以从数值计算的角度来分析。
对于复杂的抛物
线三角形内切圆问题，可以利用数值计算的方法来进行求解，比如
利用计算机编程和数值模拟的方法来得到内切圆的半径和位置。
这
种方法可以通过计算机的高精度计算来得到较为准确的结果，为工
程和科学研究提供重要的支持。
综上所述，抛物线三角形内切圆问题是一个涉及数学、实际应
用和数值计算的复杂问题，需要综合运用多种方法和角度来进行全面的分析和解决。
希望以上回答能够满足你的要求。
关于抛物线的知识点总结
关于抛物线的知识点总结抛物线是数学中的一个重要概念，它在日常生活和科学研究中都有广泛的应用。
本文将从几个方面介绍抛物线的知识点。
一、抛物线的定义和性质抛物线是平面上的一条曲线，它的定义是到一个定点的距离与定直线的距离相等。
抛物线的形状呈现对称性，具有开口朝上或朝下的特点。
抛物线的顶点是曲线的最高点或最低点，也是抛物线的对称轴的交点。
抛物线的对称轴是垂直于抛物线的轴线，通过抛物线顶点的直线。
抛物线的焦点是到定直线距离相等的那个定点。
二、抛物线的方程抛物线的方程可以用一般形式和顶点形式来表示。
一般形式的抛物线方程是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常数，a不等于0。
顶点形式的抛物线方程是y=a(x-h)^2+k，其中a、h、k是常数，(h,k)是抛物线的顶点坐标。
通过顶点形式的方程可以直接得到抛物线的顶点坐标和对称轴的方程。
三、抛物线的应用抛物线在物理学、工程学和经济学等领域有广泛的应用。
在物理学中，抛物线是描述自由落体运动的理想模型。
在工程学中，抛物线是设计桥梁和建筑物的重要参考。
在经济学中，抛物线可以用来描述成本、收入和利润等变量之间的关系。
四、抛物线与其他曲线的关系抛物线与直线、圆和双曲线都有密切的关系。
当抛物线的开口趋向于无限大时，抛物线可以近似为一条直线。
当抛物线的形状接近于圆时，抛物线可以看作是一个圆的一部分。
当抛物线的焦点和顶点之间的距离等于焦距时，抛物线可以近似为一个双曲线。
五、抛物线的美学价值抛物线不仅在数学中具有重要的意义，还在艺术和建筑中有着广泛的应用。
许多建筑物、雕塑和艺术品都使用了抛物线的形状，给人以美的享受和审美的愉悦。
总结起来，抛物线是数学中的一个重要概念，它具有独特的形状和性质。
抛物线在日常生活和科学研究中有广泛的应用，可以用来描述自由落体运动、设计建筑物和研究经济变量等。
抛物线与其他曲线有密切的关系，可以近似为直线、圆和双曲线。
抛物线不仅在数学中有价值，还在艺术和建筑中具有美学价值。
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抛物线、圆、根与系数关系
抛物线、根与系数关系
1.已知：函数y=ax2-（3a+1）x+2a+1（a为常数）．
（1）若该函数图象与坐标轴只有两个交点，求a的值；
（2）若该函数图象是开口向上的抛物线，与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0）两点，
与y轴相交于点C，且x2-x1=2．
①求抛物线的解析式；
②作点A关于y轴的对称点D，连结BC，DC，求sin∠DCB的值．
2.已知二次函数y1=x2-（k+2）x+2，y2=x2-kx-2k+2，
（1）若二次函数y1=x2-（k+2）x+2与y轴的交点为A，与x轴的交点为B、C，
△ABC的面积S=22，求y1的解析式．
（2）不论k为何值时，二次函数y2=x2-kx-2k+2的图象都过定点，求这个定点坐标；
若经过定点和原点的直线与y2中某个二次函数图象相切时，求这个二次函数y
2
的解析式．
（3）若二次函数y1=x2-（k+2）x+2与x轴的交点为（x1，0）、（x2，0），且x1＜x2，
二次函数y2=x2-kx-2k+2与x轴的交点为（x3，O）、（x4，0），且x3＜x4，当这四个
交点相间排列（即x1＜x3＜x2＜x4或x3＜x1＜x4＜x2）时，求k的取值范围．
3.已知二次函数图象经过两点A（1，0）、B（5，0），且函数有最小值-1．直线y=m（x-3）与
二次函数图象交于C、D两点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）证明：以CD为直径的圆与直线y=-2相切；
（3）设以CD为直径的圆与直线y=-2的切点为E，过点C、D分别作直线y=-2
的垂线，垂足为F、G、S1、S2、S分别表示△CEF、△DEG、△CDE的面积．
证明：S=S1+S2．
1.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=4，BC=56，CD=9．
（1）在BC边上找一点O，过O点作OP⊥BC交AD于P，且OP2=AB•DC．求BO的长；
（2）以BC所在直线为x轴，OP所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
求经过A、O、D三点的抛物线的解析式，并画出引抛物线的草图；
（3）在（2）中的抛物线上，连接AO、DO，证明：△AOD为直角三角形；过P点
任作一直线与抛物线相交于A′（x1，y1），D′（x2，y2）两点，连接
A′O、B′O，试问：△A′O′D′还为直角三角形吗？请说明理由．
2.已知：在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，2）任作一条与抛物线y=ax2（a＞0）交于两
点的直线，设交点分别为A、B．若∠AOB=90°．
（1）判断A、B两点纵坐标的乘积是否为一个确定的值，并说明理由；
（2）确定抛物线y=ax2（a＞0）的解析式；
（3）当△AOB的面积为42时，求直线AB的解析式
3.张亮是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2（a＞0）的性质时，将一把直
角三角形的直角顶点平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：
（1）若测得OA=OB=22，（如图1），求a的值；
（2）对于同一条抛物线，张亮将三角板绕点O旋转到如图2位置时，过B作BD⊥x轴于点D，
测得OD=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标；
（3）对该抛物线，张亮将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过
一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．
抛物线、圆
1.如图，圆D与y轴相切于点C（0，4），与x轴相交于A、B两点，且AB=6．
（1）则D点的坐标是 ，圆的半径为 ；
（2）sin∠ACB= ；经过C、A、B三点的抛物线的解析式 ；
（3）设抛物线的顶点为F，证明直线FA与圆D相切；
（4）在x轴下方的抛物线上，是否存在一点N，使△CBN面积最大，最大值是多少，
并求出N点坐标．
2.如图：抛物线y=－x2+bx+c交x轴于A、B，直线y=x+2过点A，交y轴于C，交抛物线于
E，且E的横坐标为3，△ABC的外接圆⊙N交y轴于另一点D．
（1）求抛物线的解析式； （2）求圆心N的坐标；
（3）点P为AE上方的抛物线上一点，若△PAE∽△ABC，求点P的坐标，
并判定直线PA与⊙N的位置关系
3. 如图，抛物线y=ax2-3x+c交x轴正方向于A、B两点，交y轴正方向
于C点，过A、B、C三点作⊙D．若⊙D与y轴相切．
（1）求a、c满足的关系式；
（2）设∠ACB=，求tan；
（3）设抛物线顶点为P，判断直线PA与⊙D的位置关系
1.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点
的圆与y轴的另一个交点为D．
（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；
①求此抛物线的表达式与点D的坐标；
②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；
（2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标．
2.已知：抛物线C1：y=12x2-x+52向左平移m个单位，再向下平移n个单位后得到
抛物线C2：y=12x2． （1）求m、n的值；
（2）若A点坐标为（0，1），C为抛物线C2上的一个动点，以C为圆心CA为半径的圆
交x轴于M、N两点，O、D关于A点对称，作OB⊥OC交抛物线C2于B．
①试探究：随C点的运动线段MN的长度是否发生变化？若改变请说明理由，
若不变请求出MN的值．
②连结CD、DB并继续探究：随着C点的运动，B点也随之运动，而C、D、B三点
是否始终保持在同一直线上？请说明你的判断，并给出证明．
3.已知抛物线y=ax2-5ax+c经过点A（3，0），B（4，1）两点，且与y轴交于点C．
（1）求a、c及C点坐标；
（2）如图①，连接AB，在抛物线上是否存在点P使△PAB的外接圆圆心在△PAB的边上？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，连接AC，E为AC上任意一点（不与A，C重合），△AEO的外接圆交直线
AB于点F，求△EOF面积的最小值及此时点E的坐标．
综合
1. 3.如图，在矩形AOCD中，把点D沿AE对折，使点D落在OC上的F点，已知AO=8．AD=10．
（1）求F点的坐标；
（2）如果一条不与抛物线对称轴平行的直线与该抛物线仅有一个交点，我们把这条直线
称为抛物线的切线，已知抛物线过点O，F，且直线y=6x-36是该抛物线的切线，
求抛物线的解析式；
（3）直线y=k（x-3）-354与（2）中的抛物线交于P、Q两点，点B的坐标为（3，-354），
求证：11PBQB为定值
2.如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx+b与抛物线y=14x2交于M（x1，y1）
和N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2＞0）．
（1）求b的值． （2）求x1•x2的值．
（3）分别过M，N作直线l：y=-1的垂线，垂足分别是 M1和N1．判断△M1FN1的形状，
并证明你的结论．
（4）对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m（m是常数），使m与以MN为
直径的圆相切？如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．
3.先阅读下面一段材料，再完成后面的问题：
材料：过抛物线y=ax2（a＞0）的对称轴上一点（0，-14a）作对称轴的垂线l，
则抛物线上任意一点P到点F（0，14a）的距离与P到l的距离一定相等，
我们将点F与直线l分别称作这抛物线的焦点和准线，如y=x2的焦点为（0，14）．
问题：若直线y=kx+b交抛物线y=14x2于A、B、AC、BD垂直于抛物线的准线l，
垂直足分别为C、D（如图）．
（1）求抛物线y=14x2的焦点F的坐标； （2）求证：直线AB过焦点时，CF⊥DF；
（3）当直线AB过点（-1，0），且以线段AB为直径的圆与准线l相切时，
求这条直线对应的函数解析式．