一,自变量趋于有限值时函数的极限
函数的极限 (2)
x0−δ< <x0, 有|f(x)−A|<ε。. −δ<x< − ε
x→x0
： < − ε lim+ f (x) = A⇔∀ε >0,, ∃δ >0,, ∀x： x0<x<x0+δ , 有|f(x)−A|<ε .
x→x0
lim f (x) = A⇔ lim− f (x) = A 且 lim+ f ( x) = A
x →∞
y A+ε y=f (x)
11
A
.
A−ε
.
−X
O
X
x
例6. 证明 .
1 lim = 0 x →∞ x
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1 1 分析: 分析: | f ( x) − A|=| − 0|= x | x|
∀ε >0, 要使 , 要使|f(x)−A|<ε , 只要 | x |> − <ε 证明: 因为∀ 证明: 因为∀ε >0, ∃ ,
6
有| f(x)−A| −
x 2 −1 =| − 2| x −1
=|x−1|<ε , − <
x 2 −1 所以 lim =2 x →1 x −1
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单侧极限： 若当x→x0− 时,f(x)无限接近于常数A，则常数A叫做函数 f(x)当 x→x0 时的左极限,记为：
x → x0
, , . .
1
ε
x →∞
形的水平渐近线 。
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二、函数极限的性质
定理1(函数极限的唯一性 定理 函数极限的唯一性) 函数极限的唯一性 如果极限 lim f (x) 存在, 那么这极限唯一. 存在, 那么这极限唯一.
函数极限与数列极限的关系
使得其后的所有项都位于这个开区间内，而在该区间之外，最多只有{an}的有限项(N项).对于正整数N 应该注意两点:其一，N是随着ε而存在的，一般来讲，N随着ε的减小而增大，但N不是唯一存在的;其二，定义中只强调了正整数N的存在性，而并非找到最小，我们只关注第N项以后的各项均能保持与常数a的距离小于给定的任意小正数ε即可. 的N2(性质收敛数列有如下性质:(1)极限唯一性;(2)若数列{an}收敛，则{an}为有界数列;(3)若数列{an}有极限A，则其任一子列{ank}也有极限A;(4)保号性，即若极限A>0，则存在正整数N1，n>N1时an>0;(5)保序性，即若，且A<B，则存在正整数N1，使得n>N1时an<bn，反之亦成立.定理1 (收敛数列与其奇、偶项数列间的关系)数列{an}收敛于a的充分必要条件是它的奇数项数列{a2k-1}和偶数项数列{a2k}都收敛，且收敛于a.函数极限 1(定义(1)自变量趋于有限值时函数的极限:-函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε(无论它多么小)，总存在正数δ，使得对于满足不等式的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式，则常数A为函数f(x)在x?x0时的极限，记作上述定义的几何意义是:将极限定义中的四段话用几何语言表述为1对:任意以两直线为边界的带形区域;2总:总存在(以点x0位中心的)半径;3当时:当点x位于以点x0位中心的δ空心邻域内时;4有:相应的函数f(x)的图像位于这个带形区域之内. (2)自变量趋于无穷大时函数的极限:设函数f(x)在|x|大于某一正数时有定义，如果任给ε>0，总存在着正数Χ，使得对于适合不等式|x|>Χ的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε，则称常数A为函数f(x)当x??时的极限，记作并称y=A为函数y=f(x)的图形的水平渐近线.2(性质(1)极限唯一性;(2)局部有界性若存在，则存在δ1>0，使得f(x)在去心邻域内是有界的，当x趋于无穷大时，亦成立;)局部保号性 (3若，则存在δ1>0，使得时，f(x)>0，当x趋于无穷大时，亦成立;(4)局部保序性若，，且A<B，则存在δ1>0，使得时f(x)<g(x)，当x趋于无穷大时，亦成立.定理2 函数f(x)当x?x0时，极限存在的充分必要条件是函数f(x)当x?x0时的左、右极限都存在些相等，即利用定义证明极限下面介绍用“ε-δ(或N)”证明极限的一般步骤.1.极限值为有限的情形:(1)给定任意小正数ε;(2)解不等式或，找δ或N;(3)取定δ或N;(4)令或，由或成立，推出或.2. 极限值为无穷大的情形(仅以极限为+?与自变量为例): ) 给定任意大正数G; (2) 解不等式; (3) 取定; (4)令，由成立，推出. (1利用极限的定义证明问题关键是步骤(2)，应该非常清楚从哪一种形式的不等式推起，最后得到一个什么形式的式子，由此即可找到所需要的(或N). 极限存在准则1(夹逼准则 (1)数列极限的夹逼准则如果数列{an}，{bn}及{cn}满足下列条件:1存在N，n>N时，bn?an?cn;2则数列{an}的极限存在，且 .(2)函数极限的夹逼准则(以x?x0和x??为例)如果1(或|x|>M)时，有2(或)，则(或)(3)一个重要不等式时，2(单调有界数列必有极限3(柯西(Cauchy)极限存在准则数列{an}收敛的充分必要条件是:对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当m，n>N时，有|xn-xm|<ε. 数列极限与函数极限的联系数列可看作一个定义域为自然数集的函数,当自变量从小到大依次取自然数时,便得到相应的一系列函数值, 其解析表达式为an=f(n);函数是连续的,数列相当于一个函数中的一些独立的点，表现在图形上数列是无数的点，而函数是一段曲线;把数列中的n用x来替换后如果函数f(x)存在极限则数列也必定有极限，但是反之不成立。
高数1.3
极限，记为
x x0
lim f ( x ) A或者f ( x ) A( x x0 )
注： 定义中0<|x - x0 |表示x ≠x0 , 所以x→ x0时f (x) 的 极限是否存在与f (x)在点x0是否有定义并无关 系.
2013-7-16 第8页
(2)(ε － δ定义)几何解释：
如果左右极限有一个不存在或虽然两者都 存在但不相等，则 lim f ( x ) A不存在.
x x0
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x 1, 第 讨论f ( x ) x, 一 解:
例1
x 0, x0
当x 0时的极限.
章 函 数 、 极 限 与 连 续
因为在x 0两侧函数的表达式不同, 所以应当分别考察两个单侧极限.
x x0
lim f ( x ) A
左极限， 也可记为f ( x0 ) A
lim f ( x ) B
右极限， 也可记为f ( x ) B
0
x x0
lim f ( x ) A lim f ( x ) A, lim f ( x ) A
x x0
x x0
点x0的去心邻域,
体现x接近x0程度.
2013-7-16 第7页
第 一 章 函 数 、 极 限 与 连 续
(1)严格定义(ε-δ定义略)：设函数f (x)在x=x0 的某
去心邻近内有定义，任意给定的ε>0(无论它多么
小),总存在正数δ>0 ,使得当0<|x - x0 |< δ时，恒
有| f (x)－A|<ε ，则称常数A为函数当x→ x0时的
f ( x ) A 表示 f ( x ) A 任意小;
高等数学系列经典学习资料2.2函数的极限1
lim f ( x) = A
x → x0
几何解释:
A+ε A A−ε
∀ε > 0 , ∃δ > 0 , 当 x ∈U0 (x0;δ ) 时, 有 f ( x) − A < ε
这表明: 极限存在 函数局部有界
y
y = f (x )
x0 δ x0x0 + δ
x
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10
1 例 讨论当x→0的函数 f (x) = sin 的变化趋势. x 1 将函数 f ( x) = sin 的值列表如下： x
A+ε A A−ε
y
y = f (x)
x0 δ x0 x0 + δ
x
华东师范大学软件学院xlq
25
U 0 ( x0 ; δ ), 使当 推论: 若 lim f ( x) = A ≠ 0 , 则存在
x → x0
A x ∈U ( x0 ; δ ) 时, 有 f ( x ) > . 2
0
分析:
A − ε < f ( x) < A + ε
y
y = 1 x
–ε 0 ε
x
华东师范大学软件学院xlq
24
局部保号性 U0 ( x0 ; δ ), lim 推论1 若 x → x f ( x ) = A, 且 A > 0 , 则存在 0 (A<0) 使当 x ∈ U 0 ( x0 ; δ ) 时, f ( x) > 0.
( f ( x ) < 0)
则当0 <| x − x0 |< δ 时, 有 | sin x − sin x0 |< ε .
故
函数的极限讲解
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一、自变量趋于无穷大时函 数的极限
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Teaching Plan on Advanced Mathematics
1.当 x 时函数的极限
让我们观察一下函数 y 1 当自变量 x 的绝
x
对值 x 无限增大时, 其函数值的变化情况.
正在演示
yy
yy 11 xx
xx oo
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
如 lim 3x 0 x
lim 1 0
x 2 x
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自变量趋于无穷大时函T数eac的hin极g Pl限an o(n分Ad析vanc定ed 义Mat)hematics
定义2 .3P54 设函数
大于某一正数时有定义, 若
0, M 0, 当
时有
定义2.3中 作用与数列极限中 作用相同，衡量
f (x)与Ａ的接近程度，正数Ｍ的作用与数列极限定义
中Ｎ相类似，表明 x 充分大的程度;但这里所考虑的
是比Ｍ大的所有实数 x ，而不仅仅是正整数n。
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Teaching Plan on Advanced Mathematics
yy
yy 11 xx
oo
演 示 结 xx 束
从该例可见:当 x 趋于无穷大时, 1 趋于常数
0, 此时我们称0是函数
y 1 x
当
x
趋x于无穷大时
的极限.
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补充:函数f (x)当x→∞时的T极eac限hing(描Plan述on 定Adv义ance)d Mathematics
数学极限公式知识点总结
数学极限公式知识点总结极限的数学定义是非常严格和精确的，它可以在多种情况下应用，比如在求导和积分中。
极限是微积分基本概念之一，也是微积分的核心内容之一。
所以，掌握极限的概念和计算方法对于学习微积分课程非常重要。
下面我将对极限的基本概念、常见的极限计算方法以及一些常见的极限公式进行总结和归纳，希望对大家学习极限有所帮助。
一、极限的基本概念1. 自变量趋于无穷大时的极限当自变量趋于无穷大时，函数的极限情况是我们经常遇到的一种情况。
在这种情况下，我们可以利用一些方法来求解函数的极限。
比如，可以利用函数的单调性和有界性来求解函数的极限值。
在计算自变量趋于无穷大时函数的极限值时，我们通常使用无穷小量的代换法，可以将函数化简成一个易于求解的形式。
此外，我们还可以利用夹逼定理来求解自变量趋于无穷大时函数的极限值。
2. 自变量趋于有限数值时的极限当自变量趋于有限数值时，函数的极限情况也是我们经常遇到的一种情况。
在这种情况下，我们可以利用函数的特性来求解函数的极限。
比如，可以利用函数的连续性和可导性来求解函数的极限值。
在计算自变量趋于有限数值时函数的极限值时，我们通常使用洛必达法则，可以将函数化简成一个易于求解的形式。
此外，我们还可以利用泰勒展开式和极坐标系等方法来求解自变量趋于有限数值时函数的极限值。
3. 无穷小量与极限无穷小量是微积分中一个非常重要的概念，它是用来描述函数在某一点附近的行为的。
在数学中，无穷小量是指在某一点附近（通常是无穷小范围内）取得非常小的值的变量。
无穷小量可以用来描述函数在某一点附近的变化情况，也可以用来求解函数的极限值。
在计算函数的极限值时，我们通常使用无穷小量的代换法，可以将函数化简成一个易于求解的形式。
此外，我们还可以利用函数的单调性和有界性来求解函数的极限值。
二、常见的极限计算方法1. 无穷大与无穷小的比较法在计算自变量趋于无穷大时函数的极限值时，我们可以利用无穷大与无穷小的比较法来求解。
高等数学(同济第六版)课件 第一章 3.函数的极限(一)
且a >b， (或a<b)
则正数X， 当x<－X时， 都有f(x) >b . (或f(x)<b) 当x>X时， 当|x|>X时，
(4) 充要条件：
lim lim lim f ( x ) A x f ( x ) A且 x f ( x ) A.
x
证： " " 0, X 1 0, 当x>X1 时，成立 f ( x ) A .
得 | x x0 |
x0
当 | x x0 | x0 时，才能使x>0， 取 min{ x0 , x0 } 当 0 x x0 时， 成立 | x x0 |
lim x
x x0
x0
" "定义
x x0
lim f ( x ) A
2 x2 x 1 3 lim x 1 x 1 2 x2 x 1 3 | 2 | x 1 | ( x 1) 0, | x 1 2 x2 x 1 3 | 当x与1多么接近时? | x 1 | x 1 | 2
2 x2 x 1 0, 当 0 | x 1 | 时， 成立 | 3 | 2 x 1
lim f ( x ) 0, 则 lim f ( x ) g( x ) 0
x x
1 x (7) 重要极限：lim (1 ) e x x
特点：（1）1 型 （2）底数减1等于指数的倒数 。
例2 求下列极限
2 x3 3 x2 5 (1) lim 3 2 x 7 x 4 x 1
二、 自变量趋向有限值时函数的极限 若当x无限接近于x0时，函数f(x)无限接近于常数A， 称常数A为当x趋于x0时，函数f(x)的极限。 记作 lim f ( x ) A
高等数学第一章函数与极限可修改文字
xn
1
1 n
O
102 103 104
105 106 107
108 109 1010 1011 n
xn
xn n
xn
●
n
●
OO
n
目标不惟一！！！！！！！！！！！！
xn
xn (1)n
1
●
●
●
●
●
●
●
●
O n 3120 3121 3122 1323 3124 3125 3126 3127 3128 3129 4320 4321 n
高等数学第一章函数与极限
1.1.1 常量与变量
常量：在某一变化过程中不变化，保持一定的数值的 量叫做常量。
变量：在某一变化过程中变化，可以取不同的数值的
量叫做变量。
A r 2
常量与变量的划分是相对的。
1.1.2 函数的概念
定义1：设x 和 y 为同一过程两个变量 ，若对非空数集D
中任一x （记为 x D ） ，在数集M中存在 y
（3）有界性 设函数 y = f ( x ) 定义在区间 (a，b) 上，若存在
一个常 数 k ， 使得当 x ∈ (a，b) 时，恒有 f (x) k
( f (x) k) 成立，则称f ( x )在 (a，b)有上界（下界）。
若 f ( x )在 (a，b)既有上界又有下界， 则称f (x )在 (a，b)上有界。 如果函数 f ( x ) 在其定义域内有界，则称f ( x ) 为有界函数。
则称函数 f ( x ) 为奇函数（或偶函数）。
（2）单调性 若函数 f ( x ) 在区间 I 上有定义，如果对于区间 I 上
任意两点 x1 及 x2 ，当 x1 x2 时，有
高等数学(第2版)课件：极限
函基数本的信极限息
一、自变量趋于无穷大时函数的极限
1、描述性定义
当自变量的绝对值无限增大时，对应的函数值无限接近于某个确定的常数A，
lim f (x) A 或 f (x) A(x )
x
当 x 限制为正值（或负值）时，即有 lim f (x) A( 或 lim f (x) A).
x
x
2、定理 lim f (x) A lim f (x) lim f (x) A.
x
, 2
2
lim arctan x , 因此 lim arctan x不存在.
x
2
x
2
函基数本的信极限息
3、数学定义
设函数f(x)当|x|大于某一正数时有定义，A为一个常数。
如果 0,X 0,当| x | X时，总有 | f(x)- A | ,
lim f (x) A 或 f (x) A(x )
x x0
x x0
2、常用于计算分段函数在分段点处的极限。
函基数本的信极限息
解:
lim f ( x) lim ( x 1) 1
x 0
x0
lim f ( x) lim ( x 1) 1
x 0
x 0
所以 lim f ( x) 不存在.
x0
y
y x 1
1
o 1
x
y x 1
函基数本的信极限息
Ex1:
设f
(
x)
2x 1 sin x
3
x 0， 求lim f (x).
x0
x0
解：
lim
x0
f (x) 1,
lim f (x) 3, 则 lim f (x)不存在.
1-2极限的概念
xn =1+1+ 1 (1− 1) + 1 (1− 1) (1− 2) +⋯ 3! n 2! n n
1 2 + n!(1− 1) (1− n) ⋯(1− n−1) n n 1 1 xn+1 =1+1+ 2!(1− n11) + 3!(1− n11)(1− n21) +⋯ + + +
大 大
1 + (n+1)!(1− n11)(1− n21)⋯(1− nn1) + + +
南 师
(P22性质2)
例1. 证:
证明
f (x) − A
时,
故 ∀ε > 0, 对任意的 δ > 0, 当 总有 因此
南 师
例2. 证:
证明
f (x) − A
f (x) −A < ε
= 2 x −1
只要
∀ε > 0, 欲使
2
取 δ = ε , 则当 0 < x −1 < δ 时 , 必有
因此
南 师
1)n xn = (1+ n
证明数列
n1 =1+1! n
n(n−1) 1 + 2! 2 n
n(n−1)(n−2) 1 +⋯ + 3 3! n
n(n−1)⋯ n−n+1) 1 ( + n! nn
1 1 2 =1+1+ 2!(1− 1) + 3!(1− 1) (1− n) +⋯ n n 1 2 + n!(1− 1) (1− n) ⋯(1− n−1) n n
n→∞
取N = max{ N1 , N2 }, 上述不能同时成立，所 以。。。