(完整版)数列知识点总结及题型归纳

数列

一、数列的概念

（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；

数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位

置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ；数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。

例：判断下列各组元素能否构成数列（1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9;

(2)2010年各省参加高考的考生人数。

（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就

叫这个数列的通项公式。

例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，…

②：5

4131211，，，，…

数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈），数列②的通项公式是n a = 1

（n N +∈）。说明：

①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a = (1)n

-=1,21

()1,2n k k Z n k

-=-?∈?

+=?；

③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，……

（3）数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6 项：4 5 6 7 8 9

上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列

实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。

例：画出数列12+=n a n 的图像.

（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。

例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？（1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,…

（5）数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：1

1(1)(2)n n

n S n a S S n -=?=?-?≥

例：已知数列}{n a 的前n 项和322

+=n s n ，求数列}{n a 的通项公式

练习：

1．根据数列前4项，写出它的通项公式：

（1）1，3，5，7……；

（2）

，

；

（3）

1*2

-，

2*3

，

3*4

-，

4*5

。

（4）9，99，999，9999…

（5）7，77，777，7777，…

(6)8, 88, 888, 8888…

2．数列{}n a中，已知

()

n n

a n N

=∈

（1）写出

a，

，

a；

（2）

是否是数列中的项？若是，是第几项？

3．（2003京春理14，文15）在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（_____）内。

4、由前几项猜想通项：

根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式.

5.观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10条直线相交，交点的个数最多是（），其通项公式为 .

A．40个 B．45个 C．50个 D．55个

2条直线相

交，最多有1

个交点

3条直线相

交，最多有3

个交点

4条直线相

交，最多有6

个交点

（1）（4）（7）（）（）

二、等差数列

题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。

例：等差数列12-=n a n ，=--1n n a a 题型二、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；

说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。

例：1.已知等差数列{}n a 中，124971

16a a a a ，则，==+等于（） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64

2.{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于（A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670

3.等差数列12,12+-=-=n b n a n n ，则n a 为 n b 为（填“递增数列”或“递减数列”）

题型三、等差中项的概念：

定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。其中2

a b

A += a ，A ，b 成等差数列?2

a b

A +=

即：212+++=n n n a a a （m n m n n a a a +-+=2）例：1．（06全国I ）设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++= （）

A ．120

B ．105

C ．90

D ．75

2.设数列{}n a 是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（） A ．1 B.2 C.4 D.8

题型四、等差数列的性质：

（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；（3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n m

a a d n m

-()m n ≠；

（4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；题型五、等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22

n n n a a n n S na d +-=

=+n d

a ）（2n 2112-+=。(),(2

为常数B A Bn

An S n +=?{}n a 是等差数列 )

递推公式：2

)(2)()1(1n

a a n a a S m n m n n --+=+=

例：1.如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++= （A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35

2.（2009湖南卷文）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ． 63

3.（2009全国卷Ⅰ理）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++=

4.（2010重庆文）（2）在等差数列{}n a 中，1910a a +=，则5a 的值为（）

（A ）5 （B ）6 （C ）8 （D ）10

5.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）

A.13项

B.12项

C.11项

D.10项 6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若=+++=118521221a a a a S ，则 7.（2009全国卷Ⅱ理）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =则9

S S = 8．（98全国）已知数列｛b n ｝是等差数列，b 1=1，b 1+b 2+…+b 10=100. （Ⅰ）求数列｛b n ｝的通项b n ；

9.已知{}n a 数列是等差数列，1010=a ，其前10项的和7010=S ，则其公差d 等于( )

132

．．B A C.31 D.32

10.（2009陕西卷文）设等差数列{}n a 的前n 项和为n s ,若6312a s ==,则n a =

11．（00全国）设｛a n ｝为等差数列，S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列｛n

S n

｝的前n 项和，求T n 。

12.等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知50302010==a a ， ①求通项n a ；②若n S =242，求n

13.在等差数列{}n a 中，（1）已知812148,168,S S a d ==求和；（2）已知658810,5,a S a S ==求和；(3)已知3151740,a a S +=求

题型六.对于一个等差数列：

（1）若项数为偶数，设共有2n 项，则①S 偶-S 奇nd =； ② 1

n n S a

S a +=奇偶；

（2）若项数为奇数，设共有21n -项，则①S 奇-S 偶n a a ==中；②1

S n

S n =-奇偶。

题型七.对与一个等差数列，n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列。

例：1.等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（）

A.130

B.170

C.210

D.260

2.一个等差数列前n 项的和为48，前2n 项的和为60，则前3n 项的和为。

3．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为 4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，971043014S S S S ，则，=-== 5．（06全国II ）设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若

36S S ＝13，则612

S ＝ A ．

10 B ．13 C ．18

D ．

题型八．判断或证明一个数列是等差数列的方法： ①定义法：

）常数）（*+∈=-N n d a a n n (1?{}n a 是等差数列

②中项法：

)22

1*++∈+=N n a a a n n n （?{}n a 是等差数列

③通项公式法：

),(为常数b k b

kn a n +=?{}n a 是等差数列

④前n 项和公式法：

),(2为常数B A Bn

An S n +=?{}n a 是等差数列

例：1.已知数列}{n a 满足21=--n n a a ，则数列}{n a 为（）

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列也不是等比数列

D.无法判断

2.已知数列}{n a 的通项为52+=n a n ，则数列}{n a 为（）

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列也不是等比数列

D.无法判断

3.已知一个数列}{n a 的前n 项和422

+=n s n ，则数列}{n a 为（）

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列也不是等比数列

D.无法判断

4.已知一个数列}{n a 的前n 项和2

2n s n =，则数列}{n a 为（）

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列也不是等比数列

D.无法判断 5.已知一个数列}{n a 满足0212=+-++n n n a a a ，则数列}{n a 为（）

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列也不是等比数列

D.无法判断 6.数列{}n a 满足1a =8，022124=+-=++n n n a a a a ，且（*∈N n ） ①求数列{}n a 的通项公式；

7．（01天津理，2）设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2

，则{a n }是（） A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列

题型九.数列最值

（1）10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；

（2）n S 最值的求法：①若已知n S ，n S 的最值可求二次函数2

n S an bn =+的最值；

可用二次函数最值的求法（n N +∈）；②或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）可如下确定100n n a a +≥??

≤?或10

n n a a +≤??≥?。

例：1．等差数列{}n a 中，12910S S a =>，，则前项的和最大。

2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知 001213123<>=S S a ，， ①求出公差d 的范围，

②指出1221S S S ，，

，Λ中哪一个值最大，并说明理由。

3．（02上海）设｛a n ｝（n ∈N *

）是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误．．的是（）

A.d ＜0

B.a 7＝0

C.S 9＞S 5

D.S 6与

S 7均为S n 的最大值

4．已知数列{}n a 的通项99

98--n n （*∈N n ），则数列{}n a 的前30项中最大项和最小项分别是

5.已知}{n a 是等差数列，其中131a =，公差8d =-。（1）数列}{n a 从哪一项开始小于0？

（2）求数列}{n a 前n 项和的最大值，并求出对应n 的值．

6.已知}{n a 是各项不为零的等差数列，其中10a >，公差0d <，若100S =,求数列}{n a 前n 项和的最大值．

7.在等差数列}{n a 中，125a =，179S S =，求n S 的最大值．

题型十.利用1

1(1)(2)

n n n S n a S S n -=?=?

-≥?求通项．

1.数列{}n a 的前n 项和2

1n S n =+．（1）试写出数列的前5项；（2）数列{}n a 是等差数列吗？（3）你能写出数

列{}n a 的通项公式吗？

2．已知数列{}n a 的前n 项和，142

+-=n n S n 则

3.设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2

，求数列}{n a 的通项公式；

4.已知数列{}n a 中，，31=a 前n 和1)1)(1(2

-++=n n a n S ①求证：数列{}n a 是等差数列

②求数列{}n a 的通项公式

5.（2010安徽文）设数列{}n a 的前n 项和2

n S n =，则8a 的值为（）

（A ） 15 (B) 16 (C) 49 （D ）64

等比数列

等比数列定义

一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，即：1n a +：(0)n a q q =≠。

一、递推关系与通项公式

n m n n n n n q a a q a a a a --+?=?==推广：通项公式：递推关系：111q 1．在等比数列{}n a 中,2,41==q a ，则=n a 2．在等比数列{}n a 中

,712,a q ==则19_____.a =

3.（07重庆文）在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 1＝64，，则公比q 为（）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）8

4.在等比数列{}n a 中，22-=a ，545=a ，则8a =

5.在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项13a =，前三项和为21，则345a a a ++=（）

A 33

B 72

C 84

D 189

二、等比中项：若三个数c b a ,,成等比数列，则称b 为c a 与的等比中项，且为ac b ac b =±=2

，注：是成等比数列的必要而不充分条件.

例：

1.2+

2-( )

()1A ()1B - ()1C ± ()2D

2.（2009重庆卷文）设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（）

A ．2744n n +

B ．2533n n +

C ．2324

n n + D ．2

n n +

三、等比数列的基本性质，

1.（1）q p n m a a a a q p n m ?=?+=+，则若),,,(*

∈N q p n m 其中（2）)(2

*+--∈?==

N n a a a a a q

m n m n n m

n m

n ，（3）{}n a 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列. （4）{}n a 既是等差数列又是等比数列?{}n a 是各项不为零的常数列.

例：1．在等比数列{}n a 中,1a 和10a 是方程2

2510x x ++=的两个根,则47a a ?=( )

5()2A -

(B 1()2C - 1()2

D 2. 在等比数列{}n a ，已知51=a ，100109=a a ，则18a = 3.在等比数列{}n a 中，143613233+>==+n n a a a a a a ，， ①求n a

②若n n n T a a a T 求,lg lg lg 21+++=Λ

4.等比数列{}n a 的各项为正数，且5647313231018,log log log a a a a a a a +=+++=L 则（） A ．12 B ．10 C ．8 D ．2+3log 5

5.（2009广东卷理）已知等比数列

{}

n a 满足

0,1,2,n a n >=L

，且

25252(3)

n n a a n -?=≥，则当1n ≥时，

2123221log log log n a a a -+++=

L （）

A. (21)n n -

B. 2(1)n +

C. 2n

D. 2(1)n -

2.前n 项和公式

)1(11)1()1(111

≠?????--=

--==q q q

a a q

q a q na S n n

例：1.已知等比数列}{n a 的首相51=a ，公比2=q ，则其前n 项和=n S

2.已知等比数列}{n a 的首相51=a ，公比2

=q ，当项数n 趋近与无穷大时，其前n 项和=n S

3.设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已,62=a 30631=+a a ，求n a 和n S 4．（2006年北京卷）设4710310

()22222()n f n n N +=+++++∈L ，则()f n 等于（）

A ．

2(81)7

- B ．12(81)7n +- C ．32(81)7n +- D ．4

2(81)7

n +-

5．（1996全国文，21）设等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，求数列的公比q ；

6．设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1,S n ，S n+2成等差数列，则q 的值为 .

3.若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列. 如下图所示：

4444444444484444444444476443

4421Λ4434421Λ444344421Λk k

k k

k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k

31221S 321-+-+++++++++++ 例：1.（2009辽宁卷理）设等比数列{

a }的前n 项和为

S ，若

S S =3 ，则

9S S =

A. 2

B. 73

C. 8

3 D.3

2.一个等比数列前n 项的和为48，前2n 项的和为60，则前3n 项的和为（） A ．83 B ．108 C ．75 D ．63

3.已知数列{}n a 是等比数列，且===m m m S S S 323010，则，

4.等比数列的判定法（1）定义法：

?=+（常数）q a a n

n 1

{}n a 为等比数列；（2）中项法：?≠?=++)0(2

1n n n n a a a a {}n a 为等比数列；

（3）通项公式法：??=为常数）q k q k a n

n ,({}n a 为等比数列；（4）前n 项和法：?-=为常数）

（q k q k S n

n ,)1({}n a 为等比数列。 ?-=为常数）（q k kq k S n n ,{}n a 为等比数列。

例：1.已知数列}{n a 的通项为n

n a 2=，则数列}{n a 为（）

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列也不是等比数列

D.无法判断 2.已知数列}{n a 满足)0(2

1≠?=++n n n n a a a a ，则数列}{n a 为（）

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列也不是等比数列

D.无法判断

3.已知一个数列}{n a 的前n 项和1

n 22+-=n s ，则数列}{n a 为（）

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列也不是等比数列

D.无法判断

5.利用1

1(1)(2)n n

n S n a S S n -=?=?-≥?求通项．

例：1.（2005北京卷）数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，11

n n a S +=，n =1，2，3，……，求a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式．

2.（2005山东卷）已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*

15()n n S S n n N +=++∈，证明数

列{}1n a +是等比数列．

四、求数列通项公式方法（1）．公式法（定义法）

根据等差数列、等比数列的定义求通项

例：1已知等差数列}{n a 满足：26,7753=+=a a a ，求n a ；

2.已知数列}{n a 满足)1(1,211≥=-=-n a a a n n ，求数列}{n a 的通项公式；

3.数列{}n a 满足1a =8，022124=+-=++n n n a a a a ，且（*

∈N n ），求数列{}n a 的通项公式；

4. 已知数列}{n a 满足21

1=-

=+n

n a a a ，求数列{}n a 的通项公式；

5. 设数列}{n a 满足01=a 且111

111=---+n

n a a ，求}{n a 的通项公式

6. 已知数列{}n a 满足112,12

n n a a a a +==+，求数列{}n a 的通项公式。

7. 等比数列}{n a 的各项均为正数，且13221=+a a ，622

39a a a =，求数列}{n a 的通项公式

8. 已知数列}{n a 满足)1(3,211≥===n a a a n n ，求数列}{n a 的通项公式；

9. 已知数列}{n a 满足2

122142++=?==n n n a a a a a 且，（*

∈N n ），求数列{}n a 的通项公式；

10. 已知数列}{n a 满足，21=a 且1

152(5)n n n n a a ++-=-（*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式；

11. 已知数列}{n a 满足，21=a 且115223(522)n n n n a a +++?+=+?+（*∈N n ），求数列{}n a 的通项公

式；

12.数列已知数列{}n a 满足111

,41(1).2

n n a a a n -==+>则数列{}n a 的通项公式=

（2）累加法

1、累加法适用于：1()n n a a f n +=+

若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则

21321(1)

(2) ()

n n a a f a a f a a f n +-=-=-=L L

两边分别相加得 111

()n

n k a a f n +=-=∑

例：1.已知数列{}n a 满足1

41,2

11-+

==+n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式。

2. 已知数列{}n a 满足1121

1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

3. 已知数列{}n a 满足112313n

n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。

4. 设数列}{n a 满足21=a ，1

2123-+?=-n n n a a ，求数列}{n a 的通项公式

（3）累乘法

适用于： 1()n n a f n a +=

若

1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n n

a a a

f f f n a a a +===L L ，，，两边分别相乘得，1

1()n

n k a a f k a +==?∏

例：1. 已知数列{}n a 满足112(1)53n

n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。

2.已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 1

1+=+，求n a 。

3.已知31=a ，n n a n n a 2

31+-=+ )1(≥n ，求n a 。

（4）待定系数法适用于1()n n a qa f n +=+ 解题基本步骤： 1、确定()f n

2、设等比数列{}1()n a f n λ+，公比为

3、列出关系式)]([)1(2211n f a n f a n n λλλ+=+++

4、比较系数求1λ，2λ

5、解得数列{}1()n a f n λ+的通项公式

6、解得数列{}n a 的通项公式

例：1. 已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。

2.（2006，重庆,文,14）在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a =_______________

3.（2006. 福建.理22.本小题满分14分）已知数列{}n a 满足*

111,21().n n a a a n N +==+∈求数列{}n a 的通

项公式；

4.已知数列{}n a 满足112356n

n n a a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：设1

152(5)n n n n a x a x +++?=+?

5. 已知数列{}n a 满足1135241n

n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：设1

123(2)n n n n a x y a x y +++?+=+?+

6.已知数列{}n a 中，651=a ,1

1)2

1(31+++=n n n a a ，求n a

7. 已知数列{}n a 满足2

1123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：设22

1(1)(1)2()n n a x n y n z a xn yn z ++++++=+++

8. 已知数列{}n a 满足1

112431n n n a a a -+=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。

递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++ 其中s ，t 满足?

??-==+q st p

t s

9. 已知数列{}n a 满足211256,1,2n n n a a a a a ++=-=-=，求数列{}n a 的通项公式。

（5）递推公式中既有n S

分析：把已知关系通过11,1

n n n S n a S S n -=?=?-≥?转化为数列{}n a 或n S 的递推关系，然后采用相应的方法求解。

1.（2005北京卷）数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，11

n n a S +=，n =1，2，3，……，求a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式．

2.（2005山东卷）已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*

15()n n S S n n N +=++∈，证明数列{}

1n a +是等比数列．

3．已知数列{}n a 中，，31=a 前n 和1)1)(1(2

-++=n n a n S ①求证：数列{}n a 是等差数列 ②求数列{}n a 的通项公式

4. 已知数列{}n a 的各项均为正数，且前n 项和n S 满足1

(1)(2)6

n n n S a a =++，且249,,a a a 成等比数列，求数列{}n a 的通项公式。

（6）根据条件找1+n 与n 项关系

例1.已知数列}{n a 中，n n a C a a 1,111-

==+，若2

1,25-==n n a b C ，求数列}{n b 的通项公式

2.（2009全国卷Ⅰ理）在数列{}n a 中，

1111

1,(1)2n n n n a a a n ++==++ （I ）设n

n a b n =

，求数列{}n b 的通项公式

（7）倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例：1. 已知数列{}n a 满足112,12

n n a a a a +==+，求数列{}n a 的通项公式。

（8）对无穷递推数列

消项得到第1+n 与n 项的关系

例：1. （2004年全国I 第15题，原题是填空题）已知数列{}n a 满足

11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥L ，，求{}n a 的通项公式。

2.设数列{}n a 满足211233333

n n n a a a a -++++=…，a ∈*

N ．求数列{}n a 的通项；

（9）、迭代法

例：1.已知数列{}n a 满足3(1)2115n

n n n a a a ++==，，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为3(1)21n

n n n a a ++=，所以

2(2)(1)

(2)(1)

(3)(2)(1)

12(3)(32

3(1)2

323(1)2

3(2)2

3(1)23

3(2)(1)23

323(2)(1)21[] [] n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a ----+---+--+-+--+++-+?-??-??----?-??---?-??-?-??=======L L L L L 2)(1)

(1)

3!21

n n n n n a

-+---??=

又15a =，所以数列{}n a 的通项公式为(1)

3!2

5n n n n n a --??=。

（10）、变性转化法

1、对数变换法适用于指数关系的递推公式

例：已知数列{}n a 满足5

123n n n a a +=??，17a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为5

11237n n n a a a +=??=，，所以100n n a a +>>，。

两边取常用对数得1lg 5lg lg3lg 2n n a a n +=++