江苏省(海安高级中学、金陵中学、南京外国语学校)高三三校联考(数学)缺答案

江苏省海安高级中学、南京外国语学校、南京市金陵中学
高三调研测试 数学（必试部分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．
. 1.设复数z 满足()(1)1i i i z ++=-（i 是虚数单位），则复数z 的模z =___ ____.
2.已知tan 2α=，则sin()cos()
sin()cos()
παπααα++-=-+-___ _____.
3.抛物线y 2
= 8x 的焦点到双曲线x 2
12 – y 2
4 = 1的渐近线的距离为___ ___.
4.阅读下列算法语句: Read S ←1
For I from 1 to 5 step 2 S ←S+I End for Print S End
输出的结果是 ．
5.设集合11{3{0}3x x A x B x x
-=<<=<，则A B =____ _______.
6.设等比数列{a n }的公比q = 12，前n 项和为S n ，则 S 4
a 4 = ____ _______.
7.在区间[5,5]-内随机地取出一个数a ，则恰好使1是关于x 的不等式2
2
20x ax a +-<的一个解的概率大小为__ ____.
8.已知向量)
1-b =
，2=a ，则2-a b 的最大值为 ．
9.已知A (2,4)，B (–1,2)，C (1,0)，点P (x ,y )在△ABC 内部及边界上运动，则z = x – y 的最大值与最小值的和为___ ___
10.设,b c 表示两条直线，,αβ表示两个平面，现给出下列命题： ① 若,//b c αα⊂，则//b c ； ② 若,//b b c α⊂，则//c α； ③ 若//,c ααβ⊥，则c β⊥； ④ 若//,c c αβ⊥，则αβ⊥．
其中正确的命题是___ ______．（写出所有正确命题的序号）
11.设函数22,0,()log ,0
x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若关于x 的方程2
()()0f x af x -=恰有三个不同的实数解，则实数a 的
取值范围为___ _____.
12.函数()()g x y f x =在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得()()ln ln y g x f x =，两边求导数
()()()()()ln f x y g x f x g x y f x ''
'=+，于是()()g x y f x '= ()()()()()ln f x g x f x g x f x '⎡⎤'+⎢⎥⎢⎥⎣⎦
．运用此方法可以探
求得知()1
0x
y x x =>的一个单调增区间为____ _____．
13.已知椭圆22
134
x y +=的上焦点为F ，直线10x y ++=和10x y +-=与椭圆相交于点A ，B ，C ，D ，
则AF BF CF DF +++= ．
14.已知定义在R 上的函数()f x 满足()12f =，()1f x '<，则不等式()
221f x x <+的解集为_ __．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．
15.（本小题满分14分）
如图，点B 在以PA 为直径的圆周上，点C 在线段AB
上，已知5,3,7
PA PB PC ===
，设,APB APC αβ∠=∠=，,αβ均为锐角.
（1）求β；
（2）求两条向量,AC PC 的数量积AC PC ⋅的值.
P
A
C
B
15题图
16. （本小题满分14）
如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE //AB ，△ACD 是正三角形，AD = DE = 2AB ，且F 是CD 的中点. ⑴求证：AF //平面BCE ；
⑵求证：平面BCE ⊥平面CDE .
16题图
17．（本大题满分14分）
上海世博会组委会为保证游客参观的顺利进行，对每天在各时间段进入园区和离开园区的人数（以百人．．为计数单位）作了一个模拟预测．为了方便起见，以10分钟为一个计算单位，上午9点10分作为第一个计数人数的时间，即1n =；9点为第二个计数人数的时间，即2n =；依此类推 ，把一天内从上午9点到晚上24点分成了90个计数单位.第n 个时刻进入园区的人数()f n 和时间n （n *∈N ）满足以下关系： ()()
()()
()
2412
36
12436325363216377207390n n n f n n n n -≤≤⎧⎪⎪⎪
⋅≤≤=⎨⎪-+≤≤⎪
≤≤⎪⎩
，n *∈N
第n 个时刻离开园区的人数()g n 和时间()
n n *∈N 满足以下关系：
()()
()()
01245120
2572,507390n g n n n n n *≤≤⎧⎪
=-≤≤∈⎨⎪≤≤⎩N . （1）试计算在当天下午3点整（即15
1.1，结果仅保留整数）
（2）问：当天什么时刻世博园区内游客总人数最多？
18.（本小题满分16分）
A B
C D E
F
设圆221:106320C x y x y +--+=，动圆22
2:22(8)4120 C x y ax a y a +---++=，
（1）求证：圆1C 、圆2C 相交于两个定点；
（2）设点P 是椭圆2
214
x y +=上的点，过点P 作圆1C 的一条切线，切点为1T ，过点P 作圆2C 的一条切线，切点为2T ，问：是否存在点P ，使无穷多个圆2C ，满足12PT PT =？如果存在，求出所有这样的点P ；如果不存在，说明理由.
19. （本小题满分16分）
已知数列{a n }的通项公式为a n = 2⨯3n
+ 2
3n – 1(n ∈N *).
⑴求数列{a n }的最大项； ⑵设b n =
a n + p
a n – 2
，试确定实常数p ，使得{b n }为等比数列；
⑶设*
,,,N m n p m n p ∈<<，问：数列{a n }中是否存在三项m a ，n a ，p a ，使数列m a ，n a ，p a 是等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由.
本大题满分16分）
已知函数()()||
20,1x x
f x a a a a
=+
>≠，
（1）若1a >，且关于x 的方程()f x m =有两个不同的正数解，求实数m 的取值范围；
（2）设函数()()[),2,g x f x x =-∈-+∞，()g x 满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与a
无关.试求a 的取值范围．
数学（加试部分）
21．【选做题】在
A 、
B 、
C 、
D 四小题中只能选做两题．．．．，每小题l0分，共计请在答题．．卡．指．定．区．
域．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A.选修4 – 1几何证明选讲
如图，△ABC 的外接圆的切线AE 与BC 的延长线相交于点E ,∠BAC 的平分线与BC 交于点D .
求证：ED 2
= EB ·EC .
B ．矩阵与变换
已知矩阵2143-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，4131-⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
B ，求满足=AX B 的二阶矩阵X ．
C.选修4 – 4 参数方程与极坐标
若两条曲线的极坐标方程分别为ρ = 1与ρ = 2cos( + 3
),它们相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.
D.选修4 – 5 不等式证明选讲
B C E D A
设a ,b ,c 为正实数,求证:a 3
+ b 3
+ c 3
+ 1
abc
≥2 3.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共请在答题．．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22. （本小题满分10分） 如图，在四棱锥P – ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，点M 是棱PC 的中点，AM ⊥平面PBD .
⑴求PA 的长；
⑵求棱PC 与平面AMD 所成角的正弦值.
23．（本小题满分10分） 用,,,a b c d 四个不同字母组成一个含1+n *)(N n ∈个字母的字符串，要求由a 开始，相邻两个字母不同. 例如1=n 时，排出的字符串是,,ab ac ad ；2=n 时排出的字符串是
,,,,,,,,aba abc abd aca acb acd ada adb adc ，……， 如图所示.记这含1+n 个字母的所有字符串中，排
在最后一个的字母仍是a 的字符串的种数为n a .
P B
C D A
M
（1）试用数学归纳法证明：*33(1)(,1)4
N n n
n a n n +-=
∈≥； （2）现从,,,a b c d 四个字母组成的含*
1(,2)N n n n +∈≥个字母的所有字符串中随机抽取一个字符串，字符串最后一个的字母恰好是a 的概率为P ，求证：
2193
P ≤≤. a
b d n=1
a
b
c
d n=2
a d a d a c。