直线的方程和两条直线的位置关系专题训练

全国名校高考数学复习优质专题、学案汇编（附详解）
直线的方程和两条直线的位置关系
【巩固练习】

1.（2015春 宜春校级期中）若＜α＜π，则直线+=1必不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.若直线xy上的点Q到点)2,0(P的距离为2，则点Q的坐标为( )

.(2,2).(2,2).(0,0)22.2222ABCD
或（，）（，）或（，）

3.若要点A(1，2)、B(3，1)和C(2，3)到直线xmy的距离平方和达到最大，
那么m等于( )

A.0 B.-1 C.1 D.2

4.已知直线1:23lyx，直线2l与1l关于直线yx对称，则直线2l的斜率
为
A．12 B．12 C．2 D．-2
5.方程|x|-|y|=1的图像是下图中所示的( )

6. （2015 武昌区模拟）已知直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a﹣1）y+a2﹣
1=0，若l1⊥l2，则a= ．
7.过点P(1，2)且在x轴，y轴上截距相等的直线方程是_________________.

8.已知0m，则过点（1，-1）的直线320axmya的斜率为________．
9.(1)求平行于直线3x+4y-12=0，且与它的距离是7的直线的方程；
(2)求垂直于直线x+3y-5=0，且与点P(-1，0)的距离是3105的直线的方程.

10.已知两直线1110axby和2210axby的交点为(2,3)P，求过两点

11(,)Aab、22
(,)Bab
的直线方程.

11.已知两直线1:40laxby，2:(1)0laxyb，求分别满足下列条
件的a、b的值.
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(1)直线1l过点(-3，-1)，并且直线1l与直线2l垂直；
(2)直线1l与直线2l平行，并且坐标原点到12ll、的距离相等.
12. （2015春 长春校级期末）已知直线l的方程为3x+4y﹣12=0，
（1）若l′与l平行，且过点（﹣1，3），求直线l′的方程；
（2）求l′与坐标轴围成的三角形面积．．
（2）由l′的方程，分别令x=0，y=0可得直线的截距，代入面积公式计算可得．

13.设直线l的方程为(1)20()axyaaR．
（1）若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；
（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．

14.已知三直线1:20(0)lxyaa，直线2:4210lxy和

3
:10lxy
，且1l与2l的距离是7510．
（1）求a的值；
（2）能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；

②P点到1l的距离是P点到2l的距离的12；③P点到1l的距离与P点到3l的距离之

比是2:5．若能，求P点坐标；若不能，说明理由．
【参考答案与解析】
1.【答案】B

【解析】：∵＜α＜π，
∴sinα＞0，cosα＜0，
∴直线+=1必经过第一、三、四象限，
因此比不经过第二象限．故选B．
2.【答案】C

【解析】设),(aaQ，利用两点间的距离公式.
3.【答案】B
【解析】代入求和，转化为关于m的一元二次函数.
4. 【答案】A

解析：∵ 2l、1l关于yx对称，

∴ 2l的方程为23xy，即1322yx，
∴ 2l的斜率为12，故选A．
5.【答案】A
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【解析】由|x|=|y|+1≥1x≥1或x≤-1，故选A.
6.【答案】
【解析】：∵直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0，且l1⊥l2，
∴a×1+2（a﹣1）=0，即a+2a﹣2=0，解得a=．
7.x+y-3=0或2x-y=0； 提示：不要忽视截距为0的情况.
8.13

【解析】∵ 点（1，-1）在直线320axmya上，
∴ 320ama，∴ 0ma，
∴ 133akm．
9. (1)3x+4y+23=0或3x+4y-47=0；(2)3x-y+9=0或3x-y-3=0.
【解析】(1)设直线方程为340xy

127123552347
，

或
∴所求直线方程为3x+4y+23=0或3x+4y-47=0；
(2)设直线方程为30xy

331051093.


或-
∴所求直线方程为3x-y+9=0或3x-y-3=0.
10.解法一：∵ (2,3)PP是两条直线的交点

∴ 11222310,2310,abab两式相减，得

1212
2()3()0aabb
.
即12122.3bbaa

故所求直线的方程为12111122()().3bbybxaxaaa
∴ 1123(32)0.xyba又11231ab，
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∴ 2310.xy
故过11(,)Aab、22(,)Bab两点的直线方程为2310.xy
解法二：∵ 点P是已知两直线的交点

∴ 11222310,2310.abab

可见11(,)Aab、22(,)Bab都满足方程2310.xy
故过A、B两点的直线方程为2310.xy
11.解析：(1)∵ 12ll， ∴ (1)()10.aab
即20.aab ①
又点(3,1)在1l上，
∴ 340.ab ②
由①②解得2,2.ab

(2)∵ 12//ll且2l的斜率为1a，
∴ 1l的斜率也存在为1aab，.1aba
故1l和2l的方程可分别表示为4(1)(1)0aaxya和
(1)0.1aaxya


∵ 原点到1l和2l的距离相等，

∴ 14.1aaaa

∴ 2a或23a.因此2,2,ab或2,32.ab
12.【解析】（1）由平行关系可设l′的方程为3x+4y+c=0，
∵l′过点（﹣1，3），∴3×（﹣1）+4×3+c=0，
解得c=﹣9，∴直线l′的方程为3x+4y﹣9=0；
（2）由（1）知直线l′的方程为3x+4y﹣9=0，

令x=0可得y=，令y=0可得x=3，
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∴l′与坐标轴围成的三角形面积S=××3=
13. 解析：
（1）当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，∴ a=2，方程

即为30xy．
∵ 当直线不经过原点时，由截距存在且均不为0，
∴ 221aaa，即11a，

∴ a=0，方程即为20xy．
（2）解法一：将l的方程化为(1)2yaxa，

∴ (1)0,20aa或(1)0,20,aa
∴ 1a．
综上可知a的取值范围是1a．

解法二：将l的方程化为(2)(1)0()xyaxaR．

它表示过1:20lxy与2:10lx的交点（1，-3）的直线系（不包括
1x）．由图象可知l的斜率为(1)0a，即当1a
时，直线l不经过第二象
限．
14.解：（1）2l为1202xy，

∴ 1l与2l距离为2212751021ad．
∵ a>0，
∴ a=3．

（2）设存在点00(,)Pxy满足②，则P点在与1l、2l平行的直线:20lxyc上

且1|3|12255cc，
即132c或116c，
∴ 0013202xy或0011206xy．
若P点满足条件③，则点到直线的距离公式有：