三次样条曲线在道路线形设计中的应用
公路立交匝道卵型平面曲线线形设计改进方法
规范》 ］ 定 的 技 术标 准 前 提 下 布 设 卵 型 曲 线 的两 端 圆 曲线 ［规 （ ＨＹｌ Ｙ－ 和 ＨＹ ～ Ｙ－ ） ～ ／１ ／ ２ ／２及其过渡连接点 Ａ， ／ Ｂ。 ２ 根据第 １ 步 的设计 成果计算 相关参数 。根据文献 ［ ］ ７ ） ） １１１ 页～１３页 的公式 ， ７ 分别 从 图 １所示 的 Ｍ１ Ｍ２出发 便可推 求 和
１ 卵型 曲线的回旋线计算误差分析
解析计算法设计卵型曲线时有几 处做 了近似处 理… ： １对 回旋 线 的点 位坐标 表达式 的项数 进行 了取舍 。回旋线 ）
的坐标公式是以曲线 长度为参 数 的无 穷幂级 数 。实 际应用 该式
３三次样条 函数是二阶连续可导的［ 曲线 Ａ ） 引， Ｂ的曲率【 Ｋ： Ｊ
的， 口的误差会带 给参数 Ａ 一定的累积误差。
其中 ， ｚＥ［ Ａ，Ｂ ， ５ ５ ３ ３ ］ｈ＝如 一３ 。 ５ Ａ ５ 若过渡 曲线 ＡＢ为凸曲线 ， ） 即 ＜０ 参 照步骤 ３ 有 ： ， ） ， ＝一Ｋａ （ ＋ ， Ａ ・１ ）／＝ 一（ ＋ 。 ２ １ ）／／ ； 。 Ｒ１ ２
到 的 值 含有计算误差 。
～ Ｂ 厂— —
ｌ
（） ｚ ：一
＋此
＋
（） 告
…
；
， 、
＝ ３ ｚ ＝ Ａ —来自（ Ｂ—ｚ） ５ ３
＋ Ｂ ——
（ ５ ） ｚ一３ Ａ
第5章-3-三次样条插值PPT课件
(x
a)
m
m次截断多项式
a
.
7
定理5.5 任意s(x)∈Sm(x1,x2,…,xn)均可唯一地表示为
n
s(x)pm(x) cj(xxj)m , x (4-31) j1
其中pm(x)∈Pm，cj(j=1,2,…,n)为实数。
定理5.6 为使s(x)∈Sm(x1,x2,…,xn)，必须且只须存在pm(x)∈Pm
8
例1 验证分片多项式是三次样条函数。
1 2x
x 3
S ( x) 2825x9x2x3 3x1
2619x3x2x3 1x0
2619x3x2
0 x
解 利用上面的定理(光滑因子)验证．
(x 3)3,
2(x 1)3,
x3,
所以由定理5.5可知该函数为三次样条函数．
例，设
x3x2
0x1
S(x) a3xb2 xc x11x2
信息;
样? ?条?插插值值：:（样条函数—满足一定光滑性的分段多项式）。 局部性好, 满足一定光滑性, 收敛性保证, 只需要函数值
信息。
.
2
样条函数是一个重要的逼近工具，在插值、数值微分、曲 线拟合等方面有着广泛的应用。
定义5.3 对区间(-∞，+∞)的一个分割：
: x 1 x 2 x n ,
n
p n (x )p n 1 (x ) c n (x x n )m p0(x) cj(xxj)m j1
为了便于表示分段信息, 引进截断多项式：
(x a)m
(x a)m , x a,
0, x a,
(5-30)
易见
(x
a)
m
∈Cm-1(-∞,+∞)
三次参数样条曲线PPT课件
p2
p5
p3 p1
p4
.
20
2( p1
：
t
3 2
p2)
p 1
t
2 2
p 2
t
2 2
p (t)
p1
p 1t
[
3
(
p
2
t
2 2
p1)
2 p 1 t2
p 2 ] t 2 t2
导
[
2
(
p1
t
3 2
p2)
p 1
t
2 2
p 2
t
2 2
]t
3
.
14
三
次
参 数 样 条 曲
对pi, pi1段有
pi
(t)
pi
pit
[3(piti121
可得：λi Mi-1+2 Mi+μi Mi+1= Di，
其中：λi+μi=1，i=2,3,…,n-1
.
7
三次样函数的端点条件
(1)夹持端：
端点处一阶导数已知，即
S1' (x1)=y1' 亦即y1'= b1= ( y2- y1)/ h1- h1(M1/3+ M2/6)
2 M1+ M2=6[( y2- y1)/ h1- y1']/ h1
2ci+6di hi=2ci+1 (求di) (4)令Mi=2ci; 则有：
ai = yi ci=Mi/2 di=( Mi+1- Mi)/6 hi bi =( yi+1- yi)/ hi- hi(Mi/3+ Mi+1/6)
.
三次样条插值在平面凸轮廓线曲率半径求解中的应用
ρ 1 i/ mm
50 . 412 99 50 . 533 15 50 . 661 05 50 . 796 91 50 . 940 96
253920080102三次样条插值在平面凸轮廓线曲率半径求解中的应用福州大学机械工程及自动化学院福建福州350002摘要对于平面凸轮机构的运动分析可以用高副低代的方法将其转化成平面连杆机构来进行而高副低代后关键的问题是如何在已知平面凸轮廓线的基础上求解凸轮的曲率半径
机械传动 2008 年 50
文章编号 :1004 - 2539 (2008) 01 - 0050 - 02
三次样条插值在平面凸轮廓线曲率半径求解中的应用
( 福州大学机械工程及自动化学院 , 福建 福州 350002)
于潇雁 蓝兆辉
摘要 对于平面凸轮机构的运动分析可以用高副低代的方法将其转化成平面连杆机构来进行 ,而 高副低代后关键的问题是如何在已知平面凸轮廓线的基础上求解凸轮的曲率半径 。另外 ,在平面凸轮 机构的综合中 ,一般也要验算凸轮轮廓曲线的曲率半径 。本文详细介绍了如何用三次样条插值法求解 凸轮廓线为离散点的平面凸轮曲率半径方法 ,并给出了一个例子加以验证 。 关键词 三次样条插值 平面凸轮 凸轮廓线 曲率半径 对于θ的一阶导数 , x″ , y″ 是 x , y 对于θ的二阶导数 。
[4 ] [6 ]
74 - 76 14 - 15
2 用三次样条插值法求 x′ , y′ , x′ , y″
设凸轮廓线的向径角为 θ i , 其对应的向径值为 ri , 则凸轮廓线各点的直角坐标为 x i = ri cos (θ i ) , y i = ri sin (θ i) 设凸轮廓线 y 坐标的 ) , s (θ 三次样条函数为 s (θ i) (θ = y i , s″ i ) = Mi , i = 0 , ……, n , 其中 y i 为与自变量 θ i 相应的函数值 , M i 为其二 阶导数 。 图1 三次样条函数在每个小 区间 [θ i - 1 ,θ i ]中的二阶导数是线性的 , 所以有 θ θ- θ i - θ i - 1) (θ ) = Mi - 1 s″ + Mi
道路平面线形设计方法
浅谈道路平面线形设计方法摘要：道路平面设计是复杂而又系统的，随着城市化进程的加快发展以及机动化水平的提高，道路的交通构成发生了巨大变化，同时人们对精神生活的要求也越来越高，对道路也有了更高的人性化要求。
面对这些挑战，道路设计工作者们需要与时俱进不断思考，设计出更适合于行车曲线的平面线形。
关键词：平面线形设计直线型曲线型设计方法特点公路是自然界中的人工构造物，其位置确定不仅受地形、地质、生态等建设条件的影响，而且修建以后又反作用于自然，对自然的地形、生态等会造成或多或少的破坏，同时路线位置还会对运行安全产生长期深远的影响。
公路线形设计是公路设计的核心，最终决定了公路的空间位置和反馈于驾驶员的视觉形态。
线形质量的好坏，直接影响公路运营的安全、经济、舒适、快捷功能的发挥。
1 直线型设计1.1直线型设计原理及方法工程技术人员根据道路的等级、路线走向、控制条件和技术要求，首先在实地或图上采用一系列连续的导线来控制公路的走向和基本位置，然后在路线的转弯处，为适应行车和地形的要求，采用不同的曲线或曲线组合来完成导线折线处的合理过渡，从而形成整个路线的平面线形。
即所谓的直线型设计方法。
直线用以控制路线的走向和方位，在路线布置和设计过程中起主导作用。
直线型设计方法通常有纸上定线和实地定线两种。
在我国公路建设早期，由于技术和现实条件等原因，不可能采用高水平的线形指标。
因此，直线型设计得到了广泛的应用和推广。
为我国公路建设的发展起到了很大的推动作用。
1.2直线型设计的特点传统道路线形即为直线回旋线圆曲线的硬性组合。
简单的运用直线与大半径圆曲线相结合，没有与地形地物条件相协调。
以直线为主体、先定导线后定曲线，布线过程中导向线控制了路线走向，圆曲线、缓和曲线是直线的配角，线形单调，线形的均衡性和连续性较差。
随着科学技术的进步，传统的直线型设计方法已难以满足高等级公路平面线形设计的要求。
近年来，曲线型设计方法日益被人们接受、采用。
参数三次插值样条曲线
边界条件： 给定 点P1 和Pn的一阶导数 给定 点P1 和Pn的二阶导数 造型中的实际方法，头尾增加两个虚拟点， 使所有型值点成为内点（例如采用自然边 界条件）。
优缺点：
优点：三次多项式在使用的灵活性和计算速度上
提供一个合理的平衡方案，与高次多项式比较， 运算较少且较稳定，与低次多项式比则在曲线拟 合上更灵活。
n=2时，有3个控制点p0、p1和p2，Bezier多项式是 二次多项式：
p (t ) Pk BENk , 2 (t )
k 0 2 (1 t ) 2 P0 2t (1 t ) P t P2 1 2 ( P2 2 P P ) t 2( P 1 0 1 P 0 )t P 0 2
向量方程： P(u)=au3 +bu2 +cu +d, (0≤u≤ 1) 曲线矩阵方程： a P(u)= [u3 u2 u 1] b 以0，1代入，求出边界条件
Pk-1 Pk Pk+1 Pk+2 c d
求解多项式系数
a b c d 其中： Mc = -t 2-t t-2 t 2t t-3 3-2t -t -t 0 t 0 0 1 0 0 是Cardinal矩阵 Pk-1 Pk Pk+1 Pk+2 Pk-1 Pk Pk+1 Pk+2 Pk-1 Pk Pk+1 Pk+2
2 3 p(t ) Pk BENk ,3 (t ) (1 t )3 P0 3t (1 t ) 2 P 3 t ( 1 t ) P t P3 1 2 k 0 3
BEN0,3 (t ) P 0 BEN 1,3 (t ) P 1 BEN2,3 (t ) P 2 BEN3,3 (t ) P 3
三次样条插值在工程拟合中的应用
三次样条插值在工程拟合中的应用摘要: 介绍了工程实验、勘测、设计中常见的列表函数之数值插值方法、程序实现及工程应用, 应用此法可方便地将任何列表函数计算到工程设计、施工所需要的精确程度, 给出了各参数随主要参数变化而变化的光滑曲线, 并将其应用推广到一般情况.关键词: 列表函数; 数值拟合; 三次样条插值; MA TLAB 程序设计与应用在实际工程中, 广泛存在这样的问题: 根据设计要求和具体的工程条件, 在初始设计阶段会勘测得到若干组该工程的控制参数, 但这些参数之间彼此离散、不够密集, 利用它们来施工则不能满足施工的精度要求. 为了解决这一问题, 需要对已知的参数数据进行分析处理, 进行必要的插值、拟合, 以达到施工所需要的数据精度.本文以工程实例为基础, 对实际工程中插值方法的选取、插值的实现和插值曲线的拟合加以讨论, 提出能得到较合乎实际的插值方法, 给出一般工程人员就能实现的计算方法以及能得到光滑曲线的拟合方法.1 工程应用实例表1 所示的为某双曲拱坝体形原始参数[ 1对于这一类工程列表参数有一个显著的特点:尽管不同工程的参数多寡不同, 但都是由n 行k列的离散的列表数据给出, 虽然同一行代表某工程特定位置的几个参数(或高程参数, 或上游半径参数⋯) , 但相邻两行由于位置距离太大, 两行各参数之间究竟存在什么数值关系, 对工程设计、施工有何影响, 这是工程技术人员需要弄清楚的[ 2 ].以双曲拱坝为例, 它沿整个高程的变化是一个连续光滑的空间曲面. 从施工需要来看, 这些数据太稀疏, 难以满足设计、施工放样与钢筋配置等要求, 如果照此施工, 则有可能达不到工程精度、降低工程效率; 从计算机图形模拟来看, 要生成这个曲面仅由这一列表函数是得不到光滑曲面的, 是不可取的. 所以, 为使计算精确, 满足工程施工过程中任何断面位置、任意水平位置、任意高程位置所必需的施工数据与设计图纸, 保证工程施工的高品质,就要求作精确的数据处理.进一步分析可知, 在这些参数表中, 各行的参数都随某一主要参数的变化而变化, 如上游半径参数随高程的变化而变化⋯, 它们的这种函数关系,在数值分析中有许多的方法可以求得. 但是哪种方法能更好、更合乎实际地给出平滑曲线呢? 下面所选的插值方法能够较好地满足这一要求.2 插值方法的选择在数值分析中, 这种插值过程可具体使用线性( 1inear ) 插值、三次样条( sp line ) 插值、立方(cub ic) 插值等方法, 在曲线插值法中最常用的是线性插值法, 它是估计两个主干点之间数值的最简单、最易实现的方法, 但采用线性插值法会有以下缺点:一是使得曲线不能显示连接主干点间的凸状弧线;二是使得从曲线导出远期曲线时会形成人为的“尖头”(sp ikes) [ 2 ].因此, 通常采用样条法来构造曲线. 样条法是用一平滑曲线来对各主干点进行拟合的方法. 它是通过构造多项式(一个或一组不同阶多项式) 来形成一条把所有主干点连接起来的平滑曲线. 一般常常选择三次曲线(根据三次插值样条函数所得的曲线) 进行拟合.通常, 在[a, b ]上的以x i ( i=0, 1, 2, ⋯, n) 为节点的三次插值样条函数[ 3 ] 定义如下: 给定区间[a, b ]的一个划分$: a= x 0< x 1< x 2< ⋯< x n = b和区间[a, b ]上的一个函数f (x ) , 若函数S (x ) 满足下列条件:(1) 一致通过n+ 1 个插值点(x i, y i) , 即S (x i) = f (x i) = y i ( i= 0, 1, 2, ⋯, n) ;(2) 二阶连续, 即S (x ) ∈C2 [a, b ];(3) 三次分段, 即在每一个小区间[ x i- 1, x i ]( i= 1, 2, ⋯, n) 上均为三次多项式.则称S (x ) 为函数f (x ) 的三次插值样条函数. 在构造三次插值样条函数时, 为确定S (x ) 应根据n+ 1个插值条件, 3n- 3 个连续条件以及给定的边界条件, 再利用节点处的一阶导数或二阶导数就可构造出三次插值样条函数. 在构造曲线过程中, 关键是估计三次多项式函数和确定样条函数形式.从以上理论分析可知, 三次活动曲线具有优良的数学特征, 而且用三次曲线去拟合时, 其结果要比线性插值估计更接近于工程实际情况[ 4 ]. 三次曲线法又可分为三次样条插值法和立方插值法. 在数值分析中有许多的方法, 限于篇幅, 本文仅以工程上用得较多的、具有优良效果的三次样条插值为例介绍插值方法.3 插值计算原理三次样条函数的数学原理及其子程序, 可见于多种数学著作[ 5 ]与算法手册. 这里作简单介绍.由于拱坝或其他工程曲面都是连续而光滑的空间曲面, 它的断面高程自坝底至坝顶均满足a= j 1< j 2< ⋯< j n= b,且每一位置(高程) 都对应有一组几何参数: y 1, y 2,⋯, y n. 如上游半径、下游半径、拱厚等(见表1 所列) , 因此对于一组高程插值点j 1= t1< t2< t3< ⋯< tm ≤j n ,可用三次自然样条函数S (x ) 求解它们在各插值点的函数值及其一阶导数S ′(x ) 和二阶导数S ″(x ).三次样条函数S (x ) 是用分段三次多项式逼近函数y = f (x ) , 且满足S (x ) 为区间[a, b ]上曲线y= f (x ) 的三次样条插值函数的三个条件.经两次积分, 可得三次样条插值函数S (x ) 的表达式为利用函数S (x ) 在样点x i 处具有连续二阶导数的条件, 再根据三次自然样条插值法, 增加自然边界条件得到如下方程组:解上述方程组, 求得M i ( i= 0, 1, 2, ⋯, n) 代入S (x ) 公式, 即可得每个子区间[ x i- 1, x i ] ( i= 1, 2,⋯, n) 上的三次样条函数.根据上述原理, 对工程原始列表数进行插值计算, 即可满足多种施工要4 插值方法的实现由以上可以看出, 三次样条插值的关键是寻找插值函数, 但插值函数寻找相当复杂, 对于一般的工程人员很难完成, 那么怎样才能使三次样条插值这一优秀的插值方法被人们所掌握呢?M athworks公司推出了功能强大的数学计算软件MA T2LAB[ 6 ] , 它不但使源程序编写简单、源程序代码简短(因为现成的三次样条插值函数可供使用) , 而且可以利用其强大的作图功能方便地拟合出光滑曲线. 因此, 本文选用MA TLAB 语言作为计算语言MA TLAB 程序设计原理:在以上参数表中, 各行的各参数都随高程这一主要参数的变化而变化, 根据它们变化的这种函数关系, 以高程为插值的已知节点(其中已知节点个数n = 6) , 为使插值结果一致通过这些节点, 以1. 36为步长调用插值函数进行插值.MA TLAB 程序设计算法:( 1) 写入原始参数矩阵, 以同一组参数为行,以同一种参数为列;(2) 产生插值的精度矩阵, 在最小值与最大值之间以1. 36 为步长, 产生矩阵;(3) 调用MA TLAB 中的三次样条插值函数,产生插值结果矩阵, 以对每一种参数的插值结果为行产生矩阵, 再转置.MA TLAB 程序设计:x 0= [470∶1. 36∶504 ];ou t= [x 0; sp line (x (1∶6) , x (7∶12) , x 0) ; sp line (x (1∶6) , x (13∶18) , x 0) ; sp line (x (1∶6) , x (19∶24) , x 0)sp line (x (1∶6) , x (25∶30) , x 0) ; sp line (x (1∶6) , x (31∶36) , x 0) ; sp line (x (1∶6) , x (37∶42) , x 0) ]′运算数据分析:(1) 这组运算数据一致通过已知节点, 而且偏差较小、数学处理和程序设计都大大简化(与文献[1 ]相比).(2) 经过以上的运算, 可以使原来仅有的6 组数据变为26 组, 而且还可以根据工程人员的需要对上述程序步长进行修改, 就可任意提高精度, 从而使工程人员能够更好地了解各种参数在各点的数据, 使工程精度大大提高5 插值曲线拟合当然, 无论以多么小的数为步长、无论给出多少组数据, 这些参数还是一些离散的数据, 在有些情况下, 工程人员要了解某些数据随某一主要参数的变化而变化的连续曲线, 这时, 可以在数据插值的基础上, 发挥MA TLAB 在图形处理上的强大功能, 对以上插值所得的数据进行曲线拟合, 以便更好地了解各参数随某一主要参数变化而变化的趋势.在以上插值数据的基础上,在上面程序的尾部编写MA TLAB 作图程序, 作图程序如下, 运行后得到图1 所示插值拟合曲线.p lo t (x 0, ou t (27∶52) ,‘- ’)ho ld onp lo t (x 0, ou t (53∶78) ,‘- + ’)p lo t (x 0, ou t (79∶104) ,‘∶’)p lo t (x 0, ou t (105∶130) ,‘- - ’)p lo t (x 0, ou t (131∶156) ,‘- 3 ’)p lo t (x 0, ou t (157∶182) ,‘- . ’)legend (‘上游半径’,‘下游半径’,‘拱厚’,‘半中心角’,‘圆心距’,‘淤沙高程’)ho ld offgrid on从图1 中, 可以看到各参数随高程的变化而变化的曲线, 从而更好地去了解各参数的变化规律,实现对工程各参数的整体把握, 这是一般数值处理方法所无法实现的.6 小结以上仅为三次样条插值及其实现方法的一个实例, 本文在插值方法的选择上选取了能够得到平滑曲线的、具有优良数学特征的三次样条插值法;在插值的实现上选取了具有强大计算功能的数学软件MA TLAB, 它能够以较少的编码, 较简单的语句实现这一复杂的计算, 并能得到较合理的结论; 在曲线的拟合上我们在插值的基础上同样选取具有强大图形处理功能的MA TLAB 软件, 从而形成较准确、较平滑、较合实际的曲线. 总之, 以上所提供的方法是三次样条插值和MA TLAB 科学计算语言在工程中应用的一个实例, 它能使计算较简便, 又能很好地满足光滑性要求, 使曲线也不失真.实现了工程数学、计算数学、程序设计的结合与简化.三次样条插值不仅在工程方面, 而且在测绘、勘察、预测等方面都有着十分广泛的应用参考文献:[ 1 ]彭荣利, 靳萍, 欧阳建国. 工程列表函数的数值拟合与应用[J ]. 武汉大学学报(工学版) , 2002, 35 (4) : 42～45.[ 2 ]王瑞华. 水利工程数据插值计算及图形处理[J ]. 农田水利与小水电, 1994 (8) : 15～19.[ 3 ]鞠时光, 郭伟刚. 实用三次样条插值函数[J ]. 小型微型计算机系统, 1992, 13 (9) : 20～23.[ 4 ]谢赤, 钟钻. 插值法在零息收益曲线构造中的实证研究[J ]. 数量经济技术经济研究, 2002 (4) : 31～34.[ 5 ]曾绍标, 韩秀芹. 工程数学基础[M ]. 北京: 科学出版社, 2001.[ 6 ]王沫然. MA TLAB 与科学计算(第2 版) [M ]. 北京: 电子工业出版社, 2003。
铁道工程中两种常用GNSS高程拟合方法的比较研究
铁道工程中两种常用GNSS高程拟合方法的比较研究余腾;胡伍生;吴杰;孙小荣;赵升峰【摘要】为了研究铁道工程中长测段情况下合适的高程拟合方法,简要介绍了几种高程系统,阐述了GNSS大地高转换为正常高的原理.针对铁道工程呈带状的特点,在充分考虑GNSS点的数量、密度和分布状况基础上,重点分析了多项式曲线拟合和三次样条曲线拟合两种高程拟合模型的原理和特点,依据具体的工程算例,采用数值模拟方法分析得知,二次多项式、三次多项式、三次样条曲线的最大拟合残差依次为:-0.071 m,-0.059 m,-0.042 m;残差均值依次为:-0.019 m,-0.015 m,-0.011 m;内符合精度依次为0.066 m,0.055 m,0.045 m;外符合精度依次为0.070 m,0.059 m,0.044 m.由此可见,两种GNSS高程拟合方法的点位拟合残差平均值都在0.02 m以内,而三次样务曲线对于中长距离的铁道工程拟合效果更优.【期刊名称】《铁道勘察》【年(卷),期】2018(044)004【总页数】6页(P44-49)【关键词】大地高;正常高;高程拟合;多项式拟合;三次样条曲线拟合【作者】余腾;胡伍生;吴杰;孙小荣;赵升峰【作者单位】宿迁学院建筑工程学院,江苏宿迁223800;东南大学交通学院,江苏南京210096;宿迁学院建筑工程学院,江苏宿迁223800;宿迁学院建筑工程学院,江苏宿迁223800;南京市测绘勘察研究院有限公司,江苏南京210019【正文语种】中文【中图分类】P228近年来，伴随GNSS(Global Navigation Satellite System)技术的快速发展和广泛应用，在铁道沿线建立GNSS带状控制网已成常态。
借用GNSS控制点与道路沿线部分水准点重合，采用GNSS技术获取道路沿线一定数量控制点的高程数据，并利用其几何水准测量高程资料，选择科学的数学方法进行拟合计算并对精度进行分析[1-2]。
三次样条和三次多项式
三次样条和三次多项式
【原创实用版】
目录
1.三次样条和三次多项式的定义
2.三次样条和三次多项式的性质
3.三次样条和三次多项式的应用
4.三次样条和三次多项式的比较
正文
三次样条和三次多项式是数学中的两个重要概念，它们分别具有独特的性质和应用。
首先，三次样条是指通过给定的一组控制点，用三次多项式来描述曲线的一种方法。
它具有自然光滑、易于控制和计算等优点，广泛应用于计算机图形学、数值分析和物理学等领域。
其次，三次多项式是指具有最高次项为三次的多项式函数。
它具有多项式函数的一般性质，如线性、齐次、单调等，同时也具有自己独特的性质，如具有三个实根或一个实根和一个复根等。
三次多项式在数学、物理和工程等领域有着广泛的应用。
然后，三次样条和三次多项式在应用上有一些相似之处，如都可以用来描述曲线或函数，但它们也有自己的特点和优劣。
三次样条更适合描述平滑的曲线，而三次多项式则更适合描述具有特定性质的函数。
总的来说，三次样条和三次多项式都是数学中的重要概念，它们在不同的领域有着广泛的应用。
第1页共1页。
三次b样线条曲线原理
三次b样线条曲线原理B样条曲线是一种广泛使用的光滑曲线，用于在计算机图形和机器人技术中。
这些曲线允许设计师以柔和的方式绘制这些曲线，而不会出现锐角或棱角。
这种曲线的特点是平滑，而且较易于计算，容易生成。
B样条曲线是由一组最小的有序点（称为控制点）插值产生的。
插值的目的是用一个式子来代表这些点并且提供平滑过渡。
B样条曲线基于控制折线的特性设计。
控制折线是连接控制点的连续线。
B样条曲线可以理解为对这条连接线的逐段分段进行插值之后，用一个整体较为平滑的曲线来代替控制折线。
整个过程需要选用适当的函数作为内插函数，但是通常我们选用Bezier函数或者B样条函数来完成求解过程。
B样条曲线的一般形式为：C(u) = Σi=0,n-1Wi,PiNi(u) 0≤u≤1其中，n为控制点的数量；Wi是权重，可以理解为控制点的强度；Pi是控制点，表示曲线通过该点；Ni(u)是基函数，控制曲线的形状。
B样条曲线的基函数选择很重要，常用的选择有三次B样条基函数。
三次B样条基函数是一种常用的基函数，它的形式如下：N1(u) = (3u³ - 6u² +4) / 6这个公式中，u的范围是0到1，表示曲线的参数。
在三次B样条基函数中，只有四个基函数，当n>4时，需要使用递推关系式计算。
B样条曲线是由若干条分段组成的，每条分段是一个三次B样条曲线，每个分段是由连续的四个控制点确定的。
第一个分段的第一个控制点，和最后一个分段的最后一个控制点，是每个分段共享的两个控制点。
这样，如果想要添加新的控制点，在已经创建的B样条曲线上添加就可以了，可以保证曲线的连续性和光滑性。
总之，三次B样条曲线具有平滑性和高精度特征，在3D建模、图形处理、CAD等领域中被广泛应用。
它使用控制点和权重向量，并通过插值和基函数确定曲线的形状，从而使曲线更具有自然的美感和现实感。
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式 中 ： ＝ｈ （ ｉ ｊ ） ｉ ／ ｈ＋ｈ 一 一
— ｌ一
Ｉ
Ｉ ｌ
ｄ 一６ （￣ｌ ｘ， １ Ｉ ｆｘ一 ，ｊ ＋ ）
线形光 滑、 良好 的 保 形 功 能 、 合 选 点 自 由 、 体 大挠 度 、 部 小挠 度 等优 点 ， 它的 应 用研 究 非 常 有价 值 。 拟 整 局 对
［ 关键 词 ］ 线 形 设 计 三 次样 条 曲 线 曲线 拟 舍 道 路
在 山 区公 路 或 立 交 匝道 路 线 布设 过 程 中 ， 一 方 面要 求线 形 满 足 技 术标 准 和严 格 的控 制 条 件 ， 并 且具 有 足够 的光 滑 性 和平 顺 性 ； 另一 方 面 线 形 布设 又要尽 量避 免 大填 大挖 ， 力求 降低 工程 造 价 ， 减 少对 自然环 境 的破 坏 。采 用 传 统设 计 方 法 ， 利 用导线 及其 交 点 布 设 线 形 时 ， 往往 难 以达 到 两 全 其 美 。究其 原 因 ， 要 在 于传 统 线 形 设 计 理 论 和 主 方 法存 在诸 多不 足 。为此 ， 们 首 先 想 到 在 地 形 人 图上用 万 能 曲线 尺 连 接路 线 各 控 制 点 的方 法 ， 并 在 此基 础上 提 出 了用样条 曲线拟合 道路 线形 的设 计 方法 。 目前 ， 条 曲线在 公 路 设 计 领 域 的应 用 样 还 不 十分广 泛 ， 术 人 员 还 只 是 在 山 区公 路 和 立 技 交 匝道 的线 形设 计 中运用 该方 法 。 随着研究 和应 用 的不 断深 入 ， 种 方 法 一定 会 在道 路 线 形 设 计 这 中发挥 更 大 的作 用 。
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三次 样条 曲 线 在 道 路 线 形 设 计 中 的应 用 张 晓 波
三 次 样 条 曲线在 道 路 线 形 设 计 中 的应 用
张 晓波
（ 道第 四勘 察 设 计 院公 路 处 武 汉 ４０ ６ ） 铁 ３ ０３
［ 摘
要 ］ 三 次 样 条 曲 线 是 公 路 平 面 线 形设 计 中 简单 实 用 的 样 条 曲线 拟合 工 具 ， 有 数 学表 达 式 简 单 统 一 、 具
②Ｓ ｘ） （—Ｏ １ … ， ） 即意 味 函数 代表 （ｊ 一 ｊ ， ， ｎ ， 的 曲线通 过所 有 的点 （ ｊＹ） Ｘ，Ｊ ； ③在 区 间［ ， ］ ａ ｂ 上一 阶和二 阶导数 存 在 ， 即保 证 曲线 的光滑 性 。则称 次样 条插 值 函数 。
由此 可见 ， 次 样 条插 值 函数 就 是全 部 通 过 三 样点 的二 阶连 续可 微 的分段 三次 多项 式 函数 。其 存在 性证 明从 略 ， 面介 绍 三 次 样 条 插值 函数 的 下 求解方 法 。 设 Ｓ ｘ 在节 点 Ｘ（一０ １ … ， ） （） ｊｊ ， ， ｎ 的二 阶 导数 为 Ｓ （ｊ 一Ｍｊ （ 为待 定参 数 ） 由于 Ｓ ｘ 是分 ， Ｘ） ，Ｍｉ ， （） 段三 次多 项式 ， 故其 二 阶导数 为 分段 线性 多项 式 ：
一 击＋
１ ５
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铁 道 勘 测 与 设 计
（ｊ Ｍｊ￣ｌ ｙ一下 ｈ
一
） 击
５
，
（ ｏ 一 ｙ０ Ｍ０ Ｘ） ”一
ｓ （（ 一 。 ） ） ０ 一Ｍ 且存在 ：
式 （） ６
一
一
２
血 ＋ （ｊ 一 噬 ＝ ＋ Ｊ 。ｙ ６）１ 。 Ｊ 一 － ｈ
三次 样 条 曲线定 义 及 解 法
三 次样 条 曲线 的数 学 定 义 ： 平 面 区 间 上 有 在 ｎ ＋１ 点 （ ｊＹ）ｊ ， … ． ｎ， 个 Ｘ，Ｊ ，一０ １ ， 假定 ａ １ ｘ —Ｘ ＜ ２ ＜ Ｘ …＜ ｘ 一ｂ 若 函数 Ｓ ｘ 满 足条 件 ： ３ ， （） ① Ｓ ｘ 在 每个 子 区间 Ｅ ｊ ｘ］（一１ ２ … ， （） ｘ ，ｊ ｊ ， ， 一
（ ＋ 一 Ｍ ｉ ｌｈ １ ＋ ￣
６
一
Ｍ。 ［ ＋Ｓ １ ０ ］ 一０ ＞ —０ ／－ １ （ ＋ｘ ） 。 ＝ Ｍ０
Ｍ Ｅ 十Ｓ １ ］ 一０ Ｍ ／ ｌ （ 十ｘ ） 一０
式 （） ３
式 （） ７
Ｓ （ｊ０ ｘ ＋
将 上述 边界 约束 条件 与 式 （ ） ４ 联立 ， 即可求 出
ｎ 上 是一 个 三次 多项式 ； ）
铁道勘测与设计
ｓ ㈦一
一
＋ ＋ ［
＋ Ｍｊ ｃ
］
式 （） ２
（ｊ１ ｘ ｘ） Ｘ ＜ ＜ ｊ 一
利用 三次样 条 函数 的一 阶导 数连 续性 ， 得
ｓＸ 一 一 － ｃ （ｏ ）
Ｒ ＩＷＡ Ｕ Ｖ Ｙ Ａ Ｄ Ｄ ＳＧ ０ ７ １ ＡＬ Ｙ Ｓ Ｒ Ｅ Ｎ Ｅ ＩＮ ２ ０ （ ）
Ｍｉ 一０ １ ２ ３ ． ｎ ， （ ｊ ， ， ， … ， ） 代人 式 （ ） ， 可得 到 ２中 即
整理 得 ： Ｍｊ１ Ｍｊ 一 ＋２ 十 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱｊ１ ｊ ＋ ＝ｄ 式 （） ４
整个 区 间［ ， ］ 的三 次样 条插值 分 段 函数 ： ａｂ 上
ｆ１ ｘ （ ｏ ｘ Ｘ ） Ｓ （ ） ｘ≤ ≤ １
Ｓ （ ）一 Ｍｊ１ Ｘ— Ｘ ） （ ｈ一 ）＋ Ｍｊ Ｘ— ，ｘ 一（ ｊ ／ 一 ｊ１ （
Ｘ １／ ｉ１ ｊ ） ｈ一 一
（ｊ１ ＜ｘ） Ｘ一 ＜ｘ ｉ
式 （） １
式 中 ：ｉ１ Ｘ— Ｘ １ ｈ 一 ｊ ｊ 一 一
两 次 积分 ， 并利 用插 值条 件 Ｓ Ｘ Ｊ ， （ｊ 一Ｙ 一 一 Ｓ ｘ） Ｊ作 为定解 条 件消 除积 分常数 ， 得 ： （ ｊ一Ｙ， 求