高中数学《直接证明与间接证明——综合法和分析法》导学案
2.2.1综合法和分析法
1．直接证明
从题目的条件或结论出发，根据已知的定义、定理、公理等，通过推理直接推导出所要证明的结论，这种证明方法称为直接证明．常用的直接证明方法有综合法和分析法．
2．综合法
(1)定义：一般地，利用□01已知条件和某些数学□02定义、□03定理、□04公理等，经过一系列的□05推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
(2)框图表示：用P表示已知条件，已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：
P⇒Q1Q1⇒Q2Q2⇒Q3…Q n⇒Q
3．分析法
定义：一般地，从要证明的□06结论出发，逐步寻求使它成立的□07充分条
件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(□08已知条件、□09定理、□10定义、□11公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．
框图表示：用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：
Q⇐P1P1⇐P2P2⇐P3…得到一个明显成立的条件
综合法与分析法的比较
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)综合法是执果索因的逆推证法．()
(2)分析法的推理过程要比综合法优越．()
(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件．()
答案(1)×(2)×(3)√
2．做一做
(1)证明不等式a＋1－a (2)在不等式“a2＋b2≥2ab”的证明中：因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0所以a2＋b2≥2ab，该证明用的方法是________． (3)角A，B为△ABC内角，A>B是sin A>sin B的________条件(填“充分”“必要”“充要”或“既不充分又不必要”)． 答案(1)分析法(2)综合法(3)充要 探究1 综合法的应用 例1 已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：1a ＋1 b ≥4. [证明] 证法一：∵a ，b 是正数，且a ＋b ＝1， ∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤1 2， ∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1 ab ≥4. 证法二：∵a ，b 是正数，∴a ＋b ≥2ab >0，1a ＋1 b ≥21 ab >0， ∴(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1a ＋1b ≥4.又a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ≥4. 证法三：1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝1＋b a ＋a b ＋1≥2＋2b a ·a b ＝4. 当且仅当a ＝b 时，取“＝”号． [结论探究] 本例已知条件不变，求证：⎝ ⎛ ⎭⎪⎫a ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥254. [证明] ∵a ＋b ＝1，a >0，b >0， ∴a ＋b ≥2ab ，∴0 4， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ b ＋1b －254＝a 2＋1a ·b 2＋1b －254 ＝4a 2b 2－33ab ＋84ab ＝(1－4ab )(8－ab ) 4ab ≥0. ∴⎝ ⎛ ⎭⎪⎫a ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥254. 拓展提升 利用综合法证明问题的步骤 (1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等． (2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程． 特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程． 【跟踪训练1】 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ π4＋B ＝a .求证：B －C ＝π2. 证明 由b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a 及正弦定理得sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ π4＋C － sin C sin ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ π4＋B ＝sin A ， 即sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22si nC ＋22cos C －sin C ⎝ ⎛⎭⎪⎫22si nB ＋2 2cos B ＝22，整理得 sin B cos C －cos B sin C ＝1，即sin(B －C )＝1.又0 2. 探究2 分析法的应用 例2 设a ，b 为实数，求证： a 2＋ b 2≥2 2(a ＋b )． [证明] (1)当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0， ∴ a 2＋ b 2≥2 2(a ＋b )． (2)当a ＋b >0时，用分析法证明如下： 要证a 2＋b 2≥2 2(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 22(a ＋b )2， 即证a 2＋b 2≥1 2(a 2＋b 2＋2ab )， 即证a 2＋b 2≥2ab ， ∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴ a 2＋ b 2≥2 2(a ＋b )成立． 综上所述，不等式得证． 拓展提升 (1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论． (2)分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式． (3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”“只需证”“即证”等词语． 【跟踪训练2】 在锐角三角形ABC 中，用分析法证明：t anA ·t anB ＞1. 证明 要证明t anA ·t anB ＞1，只需证明si nA ·si nB cos A · cos B ＞1. 因为A ，B 为锐角，所以cos A ＞0，cos B ＞0. 只需证明cos A ·cos B ＜si nA ·si nB ，只需证明cos A ·cos B －si nA ·si nB ＜0，即cos(A ＋B )＜0. 因为C 为锐角，且A ＋B ＝π－C ，所以A ＋B 为钝角， 所以cos(A ＋B )＜0成立，所以t anA ·t anB ＞1. 探究3 综合法与分析法的综合应用 例3 已知a ，b 是正实数，求证：a b ＋b a ≥ a ＋ b . [证明] 证法一：(分析法) 要证 a b ＋b a ≥a ＋b ， 只要证a a ＋b b ≥ab (a ＋b )， 即证(a ＋b －ab )(a ＋b )≥ab (a ＋b )， 即证a ＋b －ab ≥ab . 也就是要证a ＋b ≥2ab . 显然a ＋b ≥2ab 成立，故 a b ＋b a ≥ a ＋b . 证法二：(综合法，因为左边是分式型，利用基本不等式x ＋1 x ≥2(x >0)使左边向整式型过渡) 方法一：∵ a b ＋b ＋b a ＋a ≥2a b ·b ＋2b a ·a ＝2a ＋2b ，当且仅当a ＝b 时取等号，∴ a b ＋b a ≥ a ＋b . 方法二：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a (a ＋b )＝a ＋b ＋a a b ＋b b a ≥a ＋b ＋2 a a b ·b b a ＝a ＋b ＋2ab ＝ ( ) a ＋ b 2，当且仅当a ＝b 时取等号，∴ a b ＋b a ≥a ＋b . 拓展提升 实际解题时，用分析法思考问题，寻找解题途径，用综合法书写解题过程， 或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“已知”(分析)，从“已知”推“可知”(综合)，双管齐下，两面夹击，找到沟通已知条件和结论的途径． 【跟踪训练3】 已知a ，b ，c 是互不相等的正实数，求证：b ＋c －a a ＋ a ＋c － b b ＋a ＋b －c c >3. 证明 证法一：(分析法) 要证b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋ a ＋ b － c c >3， 只需证明b a ＋c a －1＋c b ＋a b －1＋a c ＋b c －1>3， 即证b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c >6， 而事实上，由a ，b ，c 是互不相等的正实数， ∴b a ＋a b >2，c a ＋a c >2，c b ＋b c >2， ∴b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c >6， ∴b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c >3得证． 证法二：(综合法) ∵a ，b ，c 不相等， ∴b a 与a b ，c a 与a c ，c b 与b c 不相等． ∴b a ＋a b >2，c a ＋a c >2，c b ＋b c >2. 三式相加得b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c >6， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c a －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋a b －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ a c ＋ b c －1>3， 即b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋ a ＋ b － c c >3. 1.综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列 的中间推理，最后导出所要求证的命题．综合法是一种“由因到果”的证明方法. 2.分析法是指从需证的问题出发，分析出使这个问题成立的充分条件，使问题转化为判断条件是否具备，其特点可以描述为“执果索因”，即从未知看需知，逐步靠拢已知．分析法的书写形式一般为“因为……，为了证明……，只需证明……，即……，因此，只需证明……，因为……成立，所以……结论成立”. 3.有些不等式的证明，需一边分析一边综合，称之为分析综合法．分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系．分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点. 1．设a＝3－2，b＝6－5，c＝7－6，则a，b，c的大小顺序是() A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．a>c>b 答案 A 解析a＝ 1 3＋2 ，b＝1 6＋5 ，c＝1 7＋6 ，∵0<3＋2<6＋5<7＋ 6，∴ 1 3＋2 > 1 6＋5 > 1 7＋6 ， ∴a>b>c. 2．若a>1,0 A．b a>1 B．a b<1 C．log b a>0 D．log a b<0 答案 D 解析∵a>1,0 3．当a∈________时，函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋3在[5，＋∞)上是增函数．答案(－∞，6] 解析因为f(x)＝x2－2(a－1)x＋3在[5，＋∞)上是增函数，所以a－1≤5，解得a≤6. 4．设a>0，b>0，c>0，若a＋b＋c＝1，则1 a＋ 1 b＋ 1 c的最小值为________． 答案9 解析根据条件可知，欲求1 a ＋1 b ＋1 c 的最小值．只需求(a＋b＋c) ⎝ ⎛ ⎭ ⎪ ⎫ 1 a ＋1 b ＋1 c 的 最小值，因为(a ＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9(当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”)． 5．设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1 ab ≥8. 证明 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1＝a ＋b ≥2ab ，∴1 ab ≥4. ∴1a ＋1b ＋1ab ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1 ab ≥2ab ·2·1ab ＋4＝8(当且仅当a ＝b 时取 “＝”号)． ∴1a ＋1b ＋1 ab ≥8. A 级：基础巩固练 一、选择题 1．设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b ＝⎩⎨⎧ a ，a ≤ b ， b ，a >b ， a ∨ b ＝⎩⎨⎧ b ，a ≤b ， a ，a > b .若正数a ，b ， c ， d 满足ab ≥4，c ＋d ≤4，则( ) A ．a ∧b ≥2，c ∧d ≤2 B ．a ∨b ≥2，c ∧d ≤2 C ．a ∧b ≥2，c ∨d ≥2 D ．a ∨b ≥2，c ∨d ≥2 答案 B 解析 ∵a ∧b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ∨b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ b ，a ≤b ， a ，a > b ，正数a ，b ， c ， d 满足ab ≥4， c ＋ d ≤4，∴不妨令a ＝1，b ＝4，则a ∧b ≥2错误，故可排除A ，C ，再令c ＝1，d ＝1满足c ＋d ≤4，但不满足c ∨d ≥2，故可排除D ，选B. 2．已知a ，b 为非零实数，则使不等式：a b ＋b a ≤－2成立的一个充分而不必要条件是( ) A ．a ·b >0 B ．a ·b <0 C ．a >0，b <0 D ．a >0，b >0 答案 C 解析 ∵a b 与b a 同号，由a b ＋b a ≤－2知a b <0，b a <0，即a b <0. ∴a b ＋b a ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ≤－2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b ·⎝ ⎛⎭ ⎪⎫－b a ＝－2. ∴ab <0是a b ＋b a ≤－2的充要条件． ∴a >0，b <0是a b ＋b a ≤－2成立的一个充分而不必要条件．故选C. 3．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是( ) A ．P >Q B ．P ＝Q C ．P D ．由a 的取值确定 答案 C 解析 假设P ＋7＋2 (a ＋3)(a ＋4)，只要证：a 2＋7a 成立，所以P 4．设a >0，b >0，且a ≠b ，则a a b b 与a b b a 的大小关系是( ) A ．a a b b >a b b a B ．a a b b ≥a b b a C ．a a b b 答案 A 解析 a a b b a b b a ＝a a －b b b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b .①当a >b >0时，a b >1，a －b >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫ a b a －b >1，所 以a a b b >a b b a .②当b >a >0时，0 a b a －b >1，所以a a b b >a b b a .综合① ②可知，总有a a b b >a b b a . 5．已知直线l ，m ，平面α，β，且l ⊥α，m ⊂β，给出下列四个命题： ①若α∥β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则α∥β；③若α⊥β，则l ⊥m ；④若l ∥m ，则α⊥β. 其中正确的命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B 解析 若l ⊥α，m ⊂β，α∥β，则l ⊥β，所以l ⊥m ，①正确；若l ⊥α，m ⊂β，l ⊥m ，α与β可能相交，②不正确；若l ⊥α，m ⊂β，α⊥β，l 与m 可能平行，③ 不正确；若l ⊥α，m ⊂β，l ∥m ，则m ⊥α，所以α⊥β，④正确． 6．设f (x )＝x 3＋bx ＋c 在[－1,1]上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 12<0，则方程f (x )＝0 在[－1,1]内( ) A ．可能有3个实根 B ．可能有2个实根 C ．有唯一实根 D ．没有实根 答案 C 解析 由于f (x )＝x 3＋bx ＋c 是[－1,1]上的增函数， 且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·f ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫12<0， 所以f (x )在⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤ －12，12上有唯一零点， 即f (x )＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤ －12，12上有唯一实根，从而在[－1,1]上有唯一实根． 二、填空题 7．用分析法证明不等式n ＋n ＋4<2n ＋2(n >0)时，最后推得的显然成立的最简不等式是________． 答案 0<4 解析 要证明n ＋ n ＋4<2 n ＋2(n >0)， 只要证明n ＋n ＋4＋2n n ＋4<4(n ＋2)， 只要证明n n ＋4 只要证明n 2＋4n 8．设e 1，e 2是两个不共线向量，则向量e 1＋λe 2(λ∈R )与向量2e 1－e 2共线的充要条件是________． 答案 λ＝－1 2 解析 依题意得e 1＋λe 2＝k (2e 1－e 2)， 整理得(2k －1)e 1＋(－λ－k )e 2＝0. 由于e 1与e 2不共线，则必有2k －1＝0且－λ－k ＝0， 解得k ＝12，λ＝－k ＝－1 2. 若λ＝－12，则e 1＋λe 2＝e 1－12e 2＝12() 2e 1－e 2， 即e 1＋λe 2与2e 1－e 2共线， 故λ＝－12为所求． 9．一个矩形的周长为l ，面积为S ，给出：①(4,1)；②(8,6)；③(10,8)；④⎝ ⎛⎭ ⎪⎫3，12，其中可作为(l ，S )取得的实数对的序号是________． 答案 ①④ 解析 设矩形的长、宽分别为a ，b ，则a ＋b ＝l 2，S ＝ab ，因为a ＋ b ≥2ab ，所以l 2≥2S ，所以l 2≥16S .因为四 组实数对：①(4,1)；②(8,6)；③(10,8)；④⎝ ⎛⎭ ⎪⎫3，12，所以代入验证，可知可作为(l ，S )取得的实数对的序号是①④. 三、解答题 10．已知n ∈N *，且n ≥2，求证：1n >n －n －1. 证明 要证1n >n －n －1，即证1>n －n (n －1)， 只需证n (n －1)>n －1， 因为n ≥2，所以只需证n (n －1)>(n －1)2， 只需证n >n －1，只需证0>－1， 0>－1显然成立，故原结论成立． B 级：能力提升练 11．△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边．求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c . 证明 要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ， 只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3， 即证c a＋b ＋a b＋c ＝1， 即证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， 只需证c2＋a2＝ac＋b2. ∵△ABC三个内角A，B，C成等差数列，∴B＝60°. 由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2ca cos60°，即b2＝c2＋a2－ac. ∴c2＋a2＝ac＋b2.命题得证． 12．如图，A是△BCD所在平面外一点，∠ABD＝∠ACD＝90°，AB＝AC，E是BC的中点．求证： (1)AD⊥BC； (2)△AED是钝角三角形． 证明(1)∵AB＝AC，E是BC的中点，∴BC⊥AE. ∵在△ABD和△ACD中， ∠ABD＝∠ACD＝90°，AB＝AC，AD＝AD， ∴△ABD≌△ACD，∴BD＝DC. ∵E是BC的中点，∴BC⊥ED. ∵BC⊥AE，AE∩ED＝E，∴BC⊥平面AED. ∵AD⊂平面ADE，∴AD⊥BC. (2)∵AE2＝AB2－1 4BC 2，ED2＝BD2－14BC2，AD2＝AB2＋BD2， ∴cos∠AED＝AE2＋ED2－AD2 2AE·ED ＝－BC2 4AE·ED<0. ∴∠AED是钝角，故△AED是钝角三角形． 第十五讲 直接证明与间接证明 教学目标：1、了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特 点． 2、了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点. 3、.了解数学归纳法的原理．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 一、知识回顾 课前热身 知识点1、直接证明 (1)综合法 ①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法． ②框图表示：P ?Q 1―→Q 1?Q 2―→Q 2?Q 3―→…―→Q n ?Q (其中P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论)． (2)分析法 ①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法． ②框图表示：Q ?P 1―→P 1?P 2―→P 2?P 3―→…―→得到一个明显成立的条件. 知识点2、间接证明 反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法． 知识点3、数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立； (2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立． 二、例题辨析 推陈出新 例1、 设a 、b 、c ＞0，证明a 2b ＋b 2c ＋c 2 a ≥a ＋b ＋c . [解答] ∵a 、b 、c ＞0，根据基本不等式，有a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2 a ＋a ≥2c . 2.1.1直接证明与间接证明 1．直接证明 (1)综合法是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法． (2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判断一个明显成立的条件(已知条件、定义、公理、定理等)为止的证明方法． 2．间接证明 反证法是假设命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，由此说明假设错误，从而证明了原命题成立的证明方法，它是一种间接的证明方法，用这种方法证明一个命题的一般步骤： ①假设命题的结论不成立； ②根据假设进行推理，直到推理中导出矛盾为止； ③断言假设不成立； ④肯定原命题的结论成立． 例题1、若10<>b a ，则b a 1+ a b 1+(用“>”、“<”、“=”填空) 一、综合法证明： 例题6、已知c b a ，，为正实数，1=++c b a . 求证：(1)3 1222≥ ++c b a ；(2)6232323≤+++++c b a 5．2.1 直接证明：分析法与综合法 [读教材·填要点] 综合法和分析法 综合法 分析法 定义 从数学题的已知条件出发，经过逐步的 逻辑推理，最后达到待证结论或需求的问题，称为综合法 从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件，称为分析法 特点 从“已知”看“可知”，由因导果，寻 找必要条件 从“未知”看“需知”，执果索因，寻 找充分条件 [小问题·大思维] 1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？ 提示：综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”． 2．综合法与分析法有什么区别？ 提示：综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件． 综合法的应用 已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：1a ＋1 b ≥4. [自主解答] 法一：∵a ，b ∈R ＋ 且a ＋b ＝1， ∴a ＋b ≥2ab . ∴ab ≤1 2 . ∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4. 当且仅当a ＝b ＝1 2时，取“＝”号． 法二：∵a ，b ∈R ＋ ， ∴a ＋b ≥2ab ＞0，1a ＋1 b ≥2 1ab ＞0. ∴(a ＋b )⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1a ＋1b ≥4. 又因为a ＋b ＝1， ∴1a ＋1 b ≥4. 当且仅当a ＝b ＝1 2时，取“＝”号． 法三：∵a ，b ∈R ＋ ，且a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝1＋b a ＋a b ＋1≥2＋2 a b ·b a ＝4. 当且仅当a ＝b ＝1 2 时，取“＝”号． 保持例题条件不变，求证：4a ＋1 b ≥9. 证明：法一：∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1. ∴4a ＋1b ＝ 4a ＋b a ＋a ＋b b ＝4＋4b a ＋a b ＋1 ≥5＋2 4b a ·a b ＝5＋4＝9. 当且仅当4b a ＝a b ，即a ＝2b ＝2 3时等号成立． 法二：∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1. ∴4a ＋1b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭ ⎪⎫4a ＋1b ＝4＋4b a ＋a b ＋1 ≥5＋2 4b a ·a b ＝5＋4＝9. 当且仅当4b a ＝a b ，即a ＝2b ＝2 3 时等号成立． 学案38 直接证明与间接证明 导学目标： 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程及特点.2.了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程及特点． 自主梳理 1．直接证明 (1)综合法 ①定义：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的________，最后推导出所要证明的结论________，这种证明方法叫做综合法． ②框图表示：P ?Q 1→Q 1?Q 2→Q 2?Q 3→…→Q n ?Q (其中P 表示已知条件，Q 表示要证的结论)． (2)分析法 ①定义：从________________出发，逐步寻求使它成立的__________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)．这种证明的方法叫做分析法． ②框图表示：Q ?P 1→P 1?P 2→P 2?P 3→…→得到一个明显成立的条件. 2．间接证明 反证法：假设原命题__________(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出________，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法． 自我检测 1．分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的( ) A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 2．(2011·揭阳模拟)用反证法证明“如果a >b ，那么3a >3b ”的假设内容应是( ) A.3a ＝3 b B.3a <3b C.3a ＝3b 且3a <3b D.3a ＝3b 或3a <3b 3．设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是( ) A ．|a －c |≤|a －b |＋|c －b | B ．a 2＋1a 2≥a ＋1 a C.a ＋3－a ＋1 第三章 推理与证明 §3综合法与分析法 基础自主预习 1.综合法：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近证明的结论，直到完成命题的证明，这样的思维方法称为综合法。 若P 表明命题的条件，已有的定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法可以用以下的框图表示： 它是从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，由因导果，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件。 2.分析法：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前个结论成立的充分条件。直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这样的思维方法称为分析法。 若用Q 表示要证明的结论，则分析法可以用以下的框图表示： 它是综合法的逆过程，即从“未知”看“需知”。执果索因，逐步靠拢“已知”。 3.综合法与分析法的区别与联系：①综合法证明是“由因索果”，分析法证明是“执果索因”；②分析法便于寻找解题思路，而综合法便于叙述；③分析法的缺点是表述易错（注意分析法独特的表述！）综合法缺点是探路艰难，易生枝节；④对于难题，常把二者交互使用，互补优缺，形成了分析综合法. 练习：设R b a ∈,，且b a >，则（ ） A.22b a > B.1-b a D.b a ?? ? ?? tan( A 分析法由要证明的结论Q思考，一步步 知能达标训练 1.命题“如果数列}{n a 的前n 项和n n S n -=2，那么数列}{n a 一定是等差数列”是否成立（ ） A.不成立 B.成立 C.不能判定 D 能判定. 【答案】Ｂ 【解析】当2≥n 时，221-=-=-n S S a n n n ，当1=n 时，011211=-==S a 也满足上式，故)1(21≥=--n a a n n ，所以}{n a 是等差数列. 2.（2010—2011学年度上学期中山市镇区高中高三联考文，3）已知a R ∈，则“2a >”是“22a a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】a a a 222>?> ，但222 >?>a a a 或0”是“22a a >”的 充分不必要条件. 3.已知函数x x x f +-=11lg )(，若b a f =)(，则)(a f -等于（ ） A.a B.b - C.b 1 D. b 1 - 【答案】Ｂ 【解析】易证x x x f +-=11lg )(为奇函数，.)()(b a f a f -=-=-∴ 4．已知平面αβ，和直线m ，给出条件：①m α∥；②m α⊥；③m α?；④αβ⊥；⑤αβ∥．（1）当满足条件_____时，有m β∥，（2）当满足条件_____时，有m β⊥．（填所选条件的序号） 【答案】③⑤，②⑤ 【解析】对于（1），是据面面平行来证线面平行而得出的；对于（2），是据“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则其与另一个平面也垂直”这个结论来得的. 5．已知a b c +∈R ，，，且1a b c ++=，求证：.8)11 )(11)(11(≥---c b a 证明过程如下： ∵a b c +∈R ，，，且1a b c ++=， 110b c a a +-=>∴，110a c b b +-=>，110a b c c +-=>， 2.2.1 综合法和分析法 问题导学 一、用综合法证明问题 活动与探究1 1．已知a ，b ＞0，且a ＋b ＝1，求证：114a b +≥． 2．如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 分别是A P ，AD 的中点．求证： (1)直线EF ∥平面PCD ； (2)平面BEF ⊥平面PAD ． 迁移与应用 设a ≥b ＞0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2． (1)综合法的证明步骤：①分析条件，选择方向．确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等．②转化条件，组织过程．将条件合理转化，书写出严密的证明过程． (2)综合法的适用范围：①定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，立体几何中的证明，不等式的证明等问题．②已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件能逐步逼近结论的题型． 二、用分析法证明问题 活动与探究2 当a ，b 满足什么条件时，a b a b --＜成立． 迁移与应用 当a ＋b ＞0时，求证：222()2 a b a b +≥＋． 在分析法证明中，从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件，最后一步归结到一个明显成立的条件．因此，从最后一步可以倒推回去，得到结论，但这个倒推过程可以省略． 三、综合法和分析法的综合应用 活动与探究3 求证：当x ≥0时，sin x ≤x ． 迁移与应用 已知a ，b ，c 是不全相等的正数，且0＜x ＜1． 求证：log log log 222 x x x a b b c a c +++++＜log x a ＋log x b ＋log x c ． 2.2.1综合法和分析法 1．直接证明 从题目的条件或结论出发，根据已知的定义、定理、公理等，通过推理直接推导出所要证明的结论，这种证明方法称为直接证明．常用的直接证明方法有综合法和分析法． 2．综合法 (1)定义：一般地，利用□01已知条件和某些数学□02定义、□03定理、□04公理等，经过一系列的□05推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法． (2)框图表示：用P表示已知条件，已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为： P⇒Q1Q1⇒Q2Q2⇒Q3…Q n⇒Q 3．分析法 定义：一般地，从要证明的□06结论出发，逐步寻求使它成立的□07充分条 件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(□08已知条件、□09定理、□10定义、□11公理等)为止，这种证明方法叫做分析法． 框图表示：用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为： Q⇐P1P1⇐P2P2⇐P3…得到一个明显成立的条件 综合法与分析法的比较 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)综合法是执果索因的逆推证法．() (2)分析法的推理过程要比综合法优越．() (3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件．() 答案(1)×(2)×(3)√ 2．做一做 (1)证明不等式a＋1－a 直接证明与间接证明 一、直接证明 综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证法，也是证明数学问题时最常用的思维方式，历年高考中都考察证明，常以考察综合法为主，有时也考察到分析法与反证法。合情推理和演绎推理都是根据某些已知判断来确定一个新的判断的思维过程，其中演绎推理在大前提小前提都正确的情况下所得的结论一定正确，而合情推理（归纳、类比等）所猜测得到的结论不一定正确，必须通过逻辑（演绎）推理的方式加以证明. 1、综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结 论成立的证明方法.又叫顺推证法或由因导果法，其推理方式可用框图表示为： 其中P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论，12Q Q ，，表示中间结论． 综合法常用的表达格式为：P ∵，1Q ∴； 又∵，2Q ∴； ； n Q ∴； 又∵，Q ∴． 2．分析法： 分析法是从结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件，直到找到一个明显成立的条件，这个条件可以是已知条件、公理、定理、定义等；分析法又叫逆推证法或执果索因法，其推理方式可用框图表示为： 其中Q 表示要证明的结论，1230Q Q Q Q ，，，，分别表示使12n Q Q Q Q ，，，，成立的充分条件，0 Q 表示最后寻求到的一个明显成立的条件．分析法常用的表达格式为： 要证Q ，只需证1Q ， 只需证2Q ，， 只需证0Q ， 由于0Q 显然成立，所以Q 成立． 综合法、分析法都是直接利用已知条件或定义、公理、定理等与所要证明的结论之间的关系推导出所要证明的结论或寻求出使它成立的充分条件，故均属于直接证法。综合法的每一步都是三段论（或其简略形式），大前提一定要正确，否则证明易出错；使用分析法时一定要注意对所要证明的结论是以“分析”的语气对待的，因而证明格式上应体现出“分析”探讨性（“要证…，只需证…”），而非直接肯定结论. 二、间接证明 反证法是间接证明的一种基本方法，反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常出现。一般用于直接证明条件较少，关系不明确，问题形式较抽象，而其反面较具体、较容易发现入手点等，正所谓“正难则反”，这也是转化思想的体现。 1． 反证法证题的基本步骤 （1）反设：假设原命题的结论不成立，即其反面成立； （2）归谬：以命题的条件和所作的假设出发，经过推理，得出矛盾； （3）否定假设得出欲证结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确。 注：这里所说的矛盾常常有以下四种情形：与已知条件矛盾；与假设矛盾；与已知的定义、定理、 公理矛盾；自相矛盾。 反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的， §2.2 直接证明与间接证明 2．2.1 综合法和分析法 学习目标 1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点.2.会用综合法、分析法解决问题． 知识点一 综合法 思考 阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？ 已知a ，b >0，求证：a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc . 证明：因为b 2＋c 2≥2bc ，a >0，所以a (b 2＋c 2)≥2abc . 又因为c 2＋a 2≥2ac ，b >0，所以b (c 2＋a 2)≥2abc . 因此a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc . 答案 利用已知条件a >0，b >0和重要不等式，最后推导出所要证明的结论． 梳理 (1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法． (2)综合法的框图表示 P ?Q 1―→Q 1?Q 2―→Q 2?Q 3―→…―→Q n ?Q (P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论) 知识点二 分析法 思考 阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？ 已知a ，b >0，求证：a ＋b 2≥ab . 证明：要证a ＋b 2≥ab ， 只需证a ＋b ≥2ab ， 只需证a ＋b －2ab ≥0， 只需证(a －b )2≥0， 因为(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立． 答案 从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一 个明显成立的条件． 梳理 (1)定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法． (2)分析法的框图表示 Q ?P 1―→P 1?P 2―→P 2?P 3―→…―→得到一个明显成立的条件 1．综合法是执果索因的逆推证法．( × ) 2．分析法就是从结论推向已知．( × ) 3．分析法与综合法证明同一问题时，一般思路恰好相反，过程相逆．( √ ) 类型一 综合法的应用 例1 在△ABC 中，三边a ，b ，c 成等比数列．求证：a cos 2C 2＋c cos 2A 2≥32b . 考点 综合法及应用 题点 利用综合法解决不等式问题 证明 因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac . 因为左边＝a (1＋cos C )2＋c (1＋cos A ) 2 ＝12(a ＋c )＋1 2 (a cos C ＋c cos A ) ＝12(a ＋c )＋12? ????a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝12(a ＋c )＋12b ≥ac ＋b 2 ＝b ＋b 2＝3 2b ＝右边， 所以a cos 2C 2＋c cos 2A 2≥3 2 b . 2021年高中数学 2.2 证明不等式的基本方法-分析法与综合法教案 新人教A 版选修4-5 ●教学目标：1、理解综合法与分析法证明不等式的原理和思维特点. 2、理解综合法与分析法的实质，熟练掌握分析法证明不等式的方法与步骤. ●教学重点：综合法与分析法证明不等式的方法与步骤 ●教学难点：综合法与分析法证明不等式基本原理的理解 ●教学过程： 一、复习引入： 1、复习比较法证明不等式的依据和步骤？ 2、今天学习证明不等式的基本方法——分析法与综合法 二、讲授新课： 1、综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法 综合法又叫顺推证法或由因导果法。 用综合法证明不等式的逻辑关系是：12n A B B B B ⇒⇒⇒⇒⇒ 例1、已知a ,b ,c 是不全相等的正数，求证： abc b a c a c b c b a 6)()()(222222>+++++. 分析：观察题目，不等式左边含有“a 2+b 2”的形式，我们可以创设运用基本不等式：a 2+b 2≥2ab ; 还可以这样思考：不等式左边出现有三次因式：a 2b ,b 2c ,c 2a ,ab 2,bc 2,ca 2的“和”，右边有三正数a ,b ,c 的“积”，我们可以创设运用重要不等式：a 3+b 3+c 3≥3abc .(教师引导学生，完成证明） 解：∵a >0,b 2+c 2≥2bc ∴由不等式的性质定理4，得a (b 2+c 2)≥2abc . ① 同理b (c 2+a 2)≥2abc , ② c (a 2+b 2)≥2abc . ③ 因为a ,b ,c 为不全相等的正数，所以以上三式不能全取“=”号，从而①,②,③三式也不能全取“=”号. 由不等式的性质定理3的推论，①,②,③三式相加得：a (b 2+c 2)+b (c 2+a 2)+c (a 2+b 2)>6abc . 点评：（1）综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。基本不等式以及一些已经得证的不等式往往与待证的不等式有着这样或那样的联系,作由此及彼的联想往往能启发我们证明的方向.尝试时贵在联想，浮想联翩，思潮如涌。 （2）在利用综合法进行不等式证明时，要善于直接运用或创设条件运用基本不等式，其中拆项、并项、分解、组合是变形的重要技巧. .3 )5()0(2);0(2;2:)0,0(2) 4(;2)3(;0)2(;0)1(: 32222abc c b a ab a b b a ab a b b a b a ab b a ab b a ab b a a a ≥++<-≤+>≥+⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤>>≥+≥+≥≥它的变形式有有利用综合法常用不等式 变式训练：已知a ,b , c 是不全相等的正数，求证：ca bc ab c b a ++>++222 例2、已知且，求证：12(1)(1)(1)2n n a a a +++≥ 分析：观察要证明的结论，左边是个因式的乘积，右边是2的次方，再结合，发现如果能将左边转化为的乘积，问题就能得到解决。 2、分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方 广东省肇庆市高中数学第二章推理与证明2.2.1 直接证明与间接证明教案理新人教A版选修2-2 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（广东省肇庆市高中数学第二章推理与证明2.2.1 直接证明与间接证明教案理新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为广东省肇庆市高中数学第二章推理与证明2.2.1 直接证明与间接证明教案理新人教A版选修2-2的全部内容。 综合法和分析法 一、教学目标： （一）知识与技能： 结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合 法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。 （二）过程与方法: 培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力； （三)情感、态度与价值观： 通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 二、教学重点： 了解分析法和综合法的思考过程、特点 三、教学难点: 分析法和综合法的思考过程、特点 四、教学过程： (一）导入新课: 合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的。数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。本节我们将学习两类基本的证明方法:直接证明与间接证明。（二）推进新课： 1。综合法 在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发,通过推理推导出所要的结论。例如： 已知a，b>0,求证2222 +++≥ ()()4 a b c b c a abc 教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明,引导学生应用不等式证明。教师最 35直接证明与间接证明（五篇材料） 第一篇：35 直接证明与间接证明 【2012高考数学理科苏教版课时精品练】作业35第五节直接证明与间接证明 1．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a 的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.解析：由log2x≤2，得04，所以c＝4.答案： 4x2．(2010年高考山东卷)若对任意x>0a恒成立，则a的取值范围是________． x＋3x＋ 1xx解析：若对任意x＞0≤a恒成立，只需求得a≥的最大值即可． x＋3x＋1x＋3x＋1 x因为x>0，设y，x＋3x＋1 x111所以y＝ 15x＋3x＋11x＋＋32 x＋3xx 1当且仅当x＝ x 1所以a的取值范围是[∞)． 51答案：[)5 1113．设a、b、c都是正数，则ab＋，c＋三个数_______． bca ①都大于 2②至少有一个大于2 ③至少有一个不大于2 ④至少有一个不小于2 111111解析：假设三个数都小于2，则a＋＋b＋c，而a＋＋b＋＋c2＋2＋2bcabca ＝6，与假设矛盾．故④正确． 答案：④ 1－x4．(2011年盐城质检)已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝b，则f(－a)等于________． 1＋x 1－x解析：易证f(x)＝是奇函数，1＋x ∴f(－a)＝－f(a)＝－b.答案：－b 5．p＝ab＋cd，q＝ma＋nc小关系为________． 解析：q＝ab＋＋cd≥ab＋abcd＋cd nm＋m、n、a、b、c、d 均为正数)，则p、q的大mn abcd＝p.答案：q≥p 6．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，若f(x)在区间[1，a](a＞ 2)上单调递增且f(x)＞0，则以下不等式不一定成立的是________． ①f(a)＞f(0) 1－3a⎛③f ＞f(－a)⎝1＋a⎭a＋1⎝2⎭＞f(a)1－3a④f(＞f(－2)1＋a②f⎛ 解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，又由已知a＞2，∴f(a)＞f(1)＞0＝f(0)，①成立； 1＋a∵a，∴②成立； 2当a＞2时，1－3a＜0，又f(x)为奇函数，⎛1－3a＝－f⎛3a－1，f(－a)＝－f(a)，∴f 1＋a⎝1＋a⎭⎝⎭ 3a－1⎛3a－1＜f(a)⇔3a－1＜a 且1，∴③即f 1＋a1＋a⎝1＋a⎭ 23a－1－(a－1)⇔a0，∴③成立； 1＋a1＋a ⎛3a－1＜f(2)⇔3a－1－2a－3<0，对于④，有f 1＋a1＋a⎝1＋a⎭a－3由于a>2时a－3的符号不确定，∴＜0未必成立． 1＋a 答案：④ a2b 27．设0＜x＜1，a＞0，b＞0，a、b为常数，则________． x1－x 2a2b2b2x⎛2a(1－x)解析：x＋1－x(x＋1－x)＝a＋＋b2 x⎝⎭1－x ≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.答案：(a＋b) 28．(2011年南通调研)如果aa＋bb＞ab＋ba，则a、b应满足的条件是________．解析：aa＋bb＞ab＋a⇔(a－b)2(a＋b)＞0⇔a≥0，b≥0且a≠b.答案：a≥0，b≥0且a≠b x－y9．若|x|＜1，|y|＜1，试用分析法证明：||＜1.1－xy 证明：因为|x|＜1，|y|＜1，∴|1－xy|≠0，x－y要证|＜1，1－xy x－y2只需证|＜1.1－xy ⇐|x－y|2＜|1－xy|2 ⇐x2＋y2－2xy＜1－2xy＋x2y2 高中数学第一章推理与证明2综合法和分析法教材基础北师大 选修2-2讲解 第一篇：高中数学第一章推理与证明2综合法和分析法教材基础北师大选修2-2讲解 §2 综合法和分析法 在数学中,常用推理和证明来证明一个命题,证明是引用一些真实的命题来确定某一命题真实性的思维形式,在过去的学习中,我们曾经用直接证明或间接证明两类方法证明过许多命题.本节的内容就是学习直接证明的两种方法:综合法和分析法.高手支招1细品教材 一、演绎推理 1.概念:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理称为演绎推理. 2.演绎推理的特点 (1)演绎的前提是一般性原理,演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完全蕴涵于前提之中.(2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系.只要前提是真实的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的.因而演绎推理是数学中严格证明的工具.(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法,它缺少创造性,但却具有条理清晰、令人信服的论证作用,有助于科学的理论化和系统化.状元笔记 演绎推理是由一般到特殊的推理;演绎推理的特征是:当前提为真时,结论必然为真.【示例】判断下列推理,哪些为合情推理,哪些不是合情推理。 (1)a//b,b//c,则a//c;（2)a⊥b,b⊥c,则a⊥c;（3)三角形的内角和为180°,四边形的内角和为360°,五边形的内角和为540°, ……,所以n边形的内角和为(n-2)×180°;(4)今天是星期日,7天之后也是星期日.思路分析：根据实际问题中推理所得问题的真假来判断是否为合情推理.答案：合情推理为(1)(3)(4),不是合情推理的是(2).二、直接证明 1.概念直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接证明.2.答案：直接证明的一般形式 本题条件⎫⎪已知定义⎪⎬⇒Λ本题结论 高中数学直接证明-分析法 第一篇：高中数学直接证明-分析法 高二数学选修2-2导学案姓名：班级： 编制人：审核：时间： 2.2 直接证明与间接证明 第2课时分析法 学习目标：了解分析法的思维过程和特点，掌握分析法的解题步骤； 会用分析法证明一些简单的命题。 证明数学命题时，还经常从要证的结论Q出发，反退回去寻求保证Q成立的条件，即使Q成立的充分条件P1，为了证明P1成立，再去寻找P1成立的充分条件P2；为了保证P2成立，再去寻找P2成立的充分条件P3……知道找到一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。 例证明基本不等式 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做＿＿＿＿，又叫＿＿＿＿。 用Q表示所要证明的结论.则分析法用框图表示为 : a+b≥ab(a>0,b>0).2合作探究： 例1 求证+7<25.例2.已知α,β≠kπ+π 2(k∈Z)，且 sinθ+cosθ=2sinα,sinθ⋅cosθ=sin2β.1-tan2α1-tan2β=.求证221+tanα2(1+tanβ) 巩固、提高： 1．已知a,b∈R+，且2c>a+b.求证：c-c-ab 1.综合法是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论；而分析法是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实. 2.综合法是从原因推导到结果的思维方法，综合法又叫做由因导果法；分析法则是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法，分析法又叫做执果索因法.配餐练习： 1.求证6+7>22+5.2233 2.设x>0,y>0,求证；x+y>x+y. 3.已知a,b,c,d∈R,x>0,y>0,x=a+b,y=c+d.求证：xy≥ac+bd.222222 (a-b)2a+b(a-b)2 4.已知a>b>0,求证：<-ab<.8a28b 第二篇：高中数学直接证明-分析法 高二数学选修2-2导学案 姓名： 班级： 编制人： 审核： 时间： 2.2 直接证明与间接证明 第2课时 分析法 学习目标：了解分析法的思维过程和特点，掌握分析法的解题步骤； 会用分析法证明一些简单的命题。 证明数学命题时，还经常从要证的结论Q出发，反退回去寻求保证Q成立的条件，即使Q成立的充分条件P1，为了证明P1成立，再去寻找P1成立的充分条件P2；为了保证P2成立，再去寻找P2成立的充分条件P3……知道找到一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。 例证明基本不等式 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步 2.2 直接证明与间接证明 1．直接证明是相对于间接证明说的，综合法和分析法是两种常见的直接证明。综合法 一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法（或顺推证法、由因导果法）。分析法 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法。 2．间接证明是相对于直接证明说的，反证法是间接证明常用的方法。 3．反证法 假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫做反证法。 1．用直接证法和反证法分别证明：如果a >b >0，那么； 【解析】 （1）假设 不大于，则或者< ,或者 = ．∵a >0，b>0，∴ < <， < ， a b >0矛盾，∴ . 证法二（直接证法），∵a >b>0,∴a - b >0 即 ，∴ ，∴ ． 2．设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且方程x 2 －a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1，2，3，…． （Ⅰ）求a 1，a 2；（Ⅱ）猜想｛a n ｝的通项公式． 【解析】 (Ⅰ)当n ＝1时，x 2 －a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1，于是(a 1－1)2 －a 1(a 1－1)－a 1 ＝0，解得a 1＝12 ． 当n ＝2时，x 2 －a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 2－12，于是(a 2－12)2－a 2(a 2－12)－a 2＝0， 解得a 1＝1 6 ． (Ⅱ)由题设(S n －1)2 －a n (S n －1)－a n ＝0，S n 2 －2S n ＋1－a n S n ＝0．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ，代入上式得S n －1S n －2S n ＋1＝0 ，①由(Ⅰ)知S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝2 3 ． 3． 已知0,,≠∈b a R b a 且，则在① ab b a ≥+2 22；②2≥+b a a b ； ③2 )2(b a ab +≤；④2 )2(222b a b a +≤+ 这四个式子中，恒成立的个数是 （ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 答案：C 。解析：①③④恒成立。 4．利用数学归纳法证明 “*),12(312)()2)(1(N n n n n n n n ∈-⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=+⋅⋅⋅++ ”时，从“k n =”变到 “1+=k n ”时，左边应增乘的因式是 （ ） A 12+k B 112++k k C 1)22)(12(+++k k k D 1 32++k k 答案：C 。 5．命题“关于x 的方程)0(0≠=a ax 的解是唯一的”的结论的否定是 （ ） A 、无解 B 、两解 C 、至少两解 D 、无解或至少两解 答案：D 。解析：“否定”必须包括所有的反面情形。 6．定义运算 () ()a a b a b b a b ≤⎧*=⎨ >⎩ ，例如，121*=，则函数 2()(1)f x x x =*-的最大值为 _________________． 答案： 2 。 7．若c b a >>，* N n ∈，且 c a n c b b a -≥-+-11恒成立，则n 的最大值是 。 答案：4。 【解析】 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1综合法和分析法 学习目标核心素养1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、 分析法的思维特点．(重点、易混点) 2．会用综合法、分析法解决问题．(重点、难点)通过综合法、分析法的学习和应用，培养学生的逻辑推理的核心素养. 1．综合法 定义推证过程特点 利用条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法 P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3 →…→Q n⇒Q(P表示条件、已有的定 义、公理、定理等，Q表示所要证明 的结论) 顺推证法 或由因导 果法 定义框图表示特点 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法逆推证法或执果索因法 思考1：综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？ [提示]综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想〞．思考2: 综合法与分析法有什么区别？ [提示]综合法是从条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因． 1．用分析法证明：欲使①A >B ，只需②C 直接证明与间接证明 考纲要求 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点； 2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点． 知识梳理 1．直接证明 内容综合法分析法 定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定 理等，经过一系列的推理论证，最后推导 出所要证明的结论成立 从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立 的充分条件，直到最后把要证明的结论归 结为判定一个明显成立的条件(已知条 件、定理、定义、公理等)为止 实质由因导果执果索因框图 表示P⇒Q1→Q1⇒Q2→…→Q n⇒Q Q⇐P1→P1⇐P2→…→ 得到一个明显 成立的条件 文字语言因为……所以…… 或由……得…… 要证……只需证…… 即证…… 2.间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法． (1)反证法的定义：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立的证明方法． (2)用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立． 1．分析法是执果索因，实际上是寻找使结论成立的充分条件；综合法是由因导果，就是寻找已知的必要条件． 2．综合法与分析法都是直接证明的方法，反证法是间接证明的方法． 3．用反证法证题时，首先否定结论，否定结论就是找出结论的反面的情况，然后推出矛盾，矛盾可以与已知、公理、定理、事实或者假设等相矛盾． 诊断自测 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( ) (2)用反证法证明结论“a >b ”时，应假设“a Q B ．P ＝Q C ．P 直接证明与间接证明
2.2.1推理与证明：直接证明与间接证明
高中数学 第5章 推理与证明 5.2 直接证明与间接证明 5.2.1 直接证明：分析法与综合法讲义(
第七章 学案38 直接证明与间接证明
1-2-3-3综合法与分析法导学案
高中数学 第二章2.2.1 综合法和分析法讲解与例题 新人教A版选修1-2
高中数学《直接证明与间接证明——综合法和分析法》导学案
直接证明与间接证明
直接证明与间接证明 综合法和分析法
2021年高中数学 . 证明不等式的基本方法分析法与综合法教案 新人教A版选修45
高中数学第二章推理与证明2.2.1直接证明与间接证明教案理新人教A版选修2-2(2021年整理)
35直接证明与间接证明（五篇材料）
高中数学第一章推理与证明2综合法和分析法教材基础北师大选修2-2讲解
高中数学直接证明-分析法
高中数学知识点精讲精析 直接证明与间接证明
高中数学 第2章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法(教师用书)教案
高考数学一轮复习专题训练—直接证明与间接证明
Q ，只需P 2>Q 2，即2a ＋13＋2a ＋6 a ＋7 >2a ＋13＋ 2 a ＋8 a ＋5，只需a 2＋13a ＋42>a 2＋13a ＋40.因为42>40成立，所以P >Q 成立．故 选A. 3．实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，abc >0，则1a ＋1b ＋1 c 的值( ) A ．一定是正数 B ．一定是负数 C ．可能是0 D ．正、负不确定 答案 B 解析 由a ＋b ＋c ＝0，abc >0得a ，b ，c 中必有两负一正，不妨设a <0，b <0，c >0，且|a |<|c |，则1|a |>1|c |，从而－1a >1c ，而1b <0，所以1a ＋1b ＋1c <0.