高等数学二重积分总结

第九章二重积分

【本章逻辑框架】

【本章学习目标】

⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。

⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。

⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。

9.1 二重积分的概念与性质

【学习方法导引】

1．二重积分定义

为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。

在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ∆∆∆的分法要任意，二是在每个小区域i σ∆上的点(,)i i i ξησ∈∆的取法也要任意。有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。

2．明确二重积分的几何意义。

(1) 若在D 上(,)f x y ≥0，则(,)d D

f x y σ⎰⎰表示以区域D 为底，以

(,)f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地，当(,)f x y ＝1时，(,)d D

f x y σ

⎰⎰表示平面区域D 的面积。

(2) 若在D 上(,)f x y ≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分(,)d D

f x y σ⎰⎰的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积

(3)若(,)f x y 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(,)d D

f x y σ⎰⎰表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和

(即在Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积).

3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围，在用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数

(,)f x y 在闭区域D 上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小

值，再应用估值不等式得到取值范围。

【主要概念梳理】

1.二重积分的定义 设二元函数f(x,y)在闭区域D 上有定义且有界.

分割 用任意两组曲线分割D 成n 个小区域12,,,n σσσ∆∆∆，同时用i σ∆表示它们的面积，1,2,,.i n =其中任意两小块i σ∆和()j i j σ∆≠除边界外无公共点。i σ∆既表示第i 小块,又表示第i 小块的面积. 近似、求和 对任意点(,)i i i ξησ∈∆ ,作和式1(,).n

i i i i f ξησ=∆∑

取极限 若i λ为i σ∆的直径，记12max{,,,}n λλλλ=,若极限

1lim (,)n

i i i i f λξησ→=∆∑

存在，且它不依赖于区域D 的分法，也不依赖于点(,)i i ξη的取法，称此极限为f (x,y )在D 上的二重积分. 记为

1

(,)d lim (,).n

i

i

i D

f x y f λ

σξη→==∑⎰⎰ 称f (x,y )为被积函数，D 为积分区域，x 、y 为积分变元，d σ为面积微元(或面积元素).

2.二重积分

(,)d D

f x y σ⎰⎰的几何意义

(1) 若在D 上f (x,y )≥0，则(,)d D

f x y σ⎰⎰表示以区域D 为底，以f (x,y )

为曲顶的曲顶柱体的体积.

(2) 若在D 上f (x,y )≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重

积分(,)d D

f x y σ⎰⎰ 的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积

(3)若f (x,y )在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(,)d D

f x y σ⎰⎰表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即

在Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积).

3．二重积分的存在定理

3.1若f (x,y )在有界闭区域D 上连续，则f (x,y)在D 上的二重积分必存在(即f (x,y )在D 上必可积).

3.2若有界函数f (x,y )在有界闭区域D 上除去有限个点或有限个光滑曲线外都连续，则f (x,y )在D 可积.

4．二重积分的性质

二重积分有与定积分类似的性质.假设下面各性质中所涉及的函数f (x ,y )，g(x,y)在区域 D 上都是可积的.

性质1 有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即

[(,)(,)]d (,)d (,)d .D

D

D

f x y

g x y f x y g x y σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰

性质2 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即

(,)d (,)d ().D

D

kf x y k f x y k σσ=⎰⎰⎰⎰为常数

性质3 若D 可以分为两个区域D 1,D 2，它们除边界外无公共点，则

1

2

(,)d (,)d (,)d .D

D D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰

性质4 若在积分区域D 上有f (x ,y )=1，且用S (D )表示区域D 的面积，则

d ().D

S D σ=⎰⎰

性质5 若在D 上处处有f (x ,y )≤g (x ,y )，则有

(,)d (,)d .D

D

f x y

g x y σσ≤⎰⎰⎰⎰

推论

(,)d (,)d .D

D

f x y f x y σσ≤⎰⎰⎰⎰

性质6(估值定理) 若在D 上处处有m ≤f (x ,y )≤M ，且S (D )为区域D 的面积，则

()(,)d ().D

mS D f x y MS D σ≤≤⎰⎰

性质7(二重积分中值定理) 设f (x ,y )在有界闭区域D 上连续，则在D 上存在一点(,)ξη,使

(,)d (,)().D

f x y f S D σξη=⎰⎰

【基本问题导引】

根据二重积分的几何意义或性质求解下列各题：

1．2d D

a xdy =⎰⎰ ，其中222{(,)|}D x y x y a =+≤

2．设D 是由x 轴，y 轴与直线1x y +=所围成的区域，则

21(),D

I x y d σ=+⎰⎰32()D

I x y d σ=+⎰⎰的大小关系

是 .

【巩固拓展提高】

1．若f (x ,y )在有界闭区域D 上连续，且在D 的任一子区域D *上有*

(,)d 0D f x y σ=⎰⎰，试证明在D 内恒有f (x ,y )＝0

2．估计22(y )d D

I x xy x xdy =+--⎰⎰的值，其中{(,)|02,01}.D x y x y =≤≤≤≤

3．设f (x ,y )是有界闭区域D ：222x y a +≤上的连续函数，则

2

01lim (,)a D

f x y dxdy a π→⎰⎰的值为多少？

【数学思想方法】

二重积分是一元函数定积分的推广与发展，它们都是某种形式的和的极限，即分割求和、取极限，故可用微元法的思想来理解二重积分的概念与性质。

9.2 在直角坐标系中二重积分的计算

【学习方法导引】

本章的重点是二重积分的计算问题，而直角坐标系中二重积分的 计算问题关键是如何确定积分区域及确定X 型区域还是Y 型区域，这也是本章的难点。

直角坐标系中二重积分计算的基本技巧：

(1)在定积分计算中，如果D 的形状不能简单地用类似

12()()x y x a x b ϕϕ≤≤⎧⎨

≤≤⎩或12()()

y x y c y d

φφ≤≤⎧⎨≤≤⎩的形式来表示，则我们可以将D 分成若干块，并由积分性质

1

2

(,)d (,)d (,)d .

D

D D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰

对右端各式进行计算。

(2)交换积分次序不仅要考虑到区域D 的形状，还要考虑被积函数 的特点。如果按照某一积分次序的积分比较困难，若交换积分次序后，由于累次积分的积分函数(一元积分)形式发生变化，可能会使新的积分次序下的积分容易计算，从而完成积分的求解。但是无论是先对x

积分，再对y 积分，还是先对y 积分，再对x 积分最终计算的结果应该是相同的。一般的处理方法是由积分限确定积分区域D ，并按照新的积分次序将二重积分化成二次积分。具体步骤如下：①确定D 的边界曲线，画出D 的草图；

②求出D 边界曲线的交点坐标；

③将D 的边界曲线表示为x 或y 的单值函数； ④考虑是否要将D 分成几块； ⑤用x ,y 的不等式表示D .

注：在积分次序选择时，应考虑以下几个方面的内容：(ⅰ)保证各层积分的原函数能够求出；(ⅱ)若D 为X 型(Y 型),先对x (y )积分；(ⅲ)若D 既为X 型又为Y 型，且满足(ⅰ)时，要使对D 的分块最少。

(3) 利用对称性等公式简化计算 设f (x ,y )在区域D 上连续，则 ①当区域D 关于x 轴对称

若(,)(,)f x y f x y -=-，则(,)d D

f x y σ⎰⎰＝0；

若(,)(,)f x y f x y -=，则(,)d D

f x y σ⎰⎰＝21

(,)d D f x y σ⎰⎰，其中D 1为D 在

x 轴上方部分。

②当区域D 关于y 轴对称

若(,)(,)f x y f x y -=-，则(,)d D

f x y σ⎰⎰＝0；

若(,)(,)f x y f x y -=，则(,)d D

f x y σ⎰⎰＝22

(,)d D f x y σ⎰⎰，其中D 2为D 在

y 轴右侧部分。

③当区域D 关于x 轴和y 轴都对称

若(,)(,)f x y f x y -=-或(,)(,)f x y f x y -=-，则(,)d D

f x y σ⎰⎰＝0；

若(,)(,)(,)f x y f x y f x y -=-=，则(,)d D

f x y σ⎰⎰＝41

(,)d D f x y σ⎰⎰，其中D 1为

D 在第一象限部分。

④轮换对称式

设D 关于直线y x =对称，则(,)d D

f x y σ⎰⎰＝(,)d D

f y x σ⎰⎰.

【基本问题导引】

一．判断题

1．dxdy=D

xy ⎰⎰41

22221dxdy,:4;:4,0,0D xy D x y D x y x y +≤+≤≥≥⎰⎰ ( )

2. 若f 为连续函数，则

2

1

2210

1

2(,)(,)(,)x x

y

dx f x y dy dx f x y dy dy f x y dx

--+=⎰⎰

⎰⎰

⎰ ( )

【主要概念梳理】

直角坐标系中二重积分计算

当被积函数f (x ,y )≥0且在D 上连续时,

若D 为 X - 型区域 12()()

:x y x D a x b ϕϕ≤≤⎧⎨≤≤⎩

则

21()

()

(,)d d d (,)d b

x D

a

x f x y x y x f x y y ϕϕ=⎰⎰

⎰⎰

若D 为Y –型区域12()()

:y x y D c y d ψψ≤≤⎧⎨≤≤⎩

,

则21()

()

(,)d d d (,)d d

y D c y f x y x y y f x y x ψψ

=⎰⎰⎰⎰

说明:若积分区域既是X –型区域又是Y –

2211()

()

()

()

(,)d d d (,)d d (,)d b

x d

y D

a

x c

y f x y x y x f x y y y f x y x

ϕψϕψ==⎰⎰

⎰⎰

⎰⎰

【巩固拓展提高】

1.(1992)计算1121112

2

4

.y y x

x

y I dy e dx dy e dx =+⎰⎰⎰

2.设1()x x

y

f x e dy =⎰，计算1

0()f x dx ⎰.

9.3 在极坐标系中二重积分的计算

【学习方法导引】

极坐标系中二重积分计算的基本技巧：

(1)一般地，如果积分区域是圆域、扇形域或圆环形域，且被积函

数为22(),f x y +

(),y

f x

()x f y 等形式时，计算二重积分时，往往采用极坐标系来计算。

【基本问题导引】

1.若二重积分的积分区域D 是2214,x y ≤+≤则D

dxdy ⎰⎰＝ 。

2．设222:,0,(0).D x y a x a +≤≥>将二重积分(,)d D I f x y σ=⎰⎰化为极坐标形式的二次积分，则=I . 3．设2222:,0.D a x y b a b ≤+≤<<将二重积分(,)d D I f x y σ=⎰⎰化为极坐标形式的二次积分，则=I .

【主要概念梳理】

利用极坐标系计算二重积分

在极坐标系下, 用同心圆r =常数及射线θ =常数, 分划区域D 为

(1,2,

,)k k n σ∆=。则(,)d (cos ,sin )d d D

D

f x y f r r r r σθθθ=⎰⎰⎰⎰

特别地

若12()():,r D ϕθϕθαθβ≤≤⎧⎨≤≤⎩

则有21

()

()(cos ,sin )d d d (cos ,sin )d D f r r r r f r r r

β

ϕθαϕθθθθθθθ=⎰⎰⎰⎰α

β

D o

)

(1θϕ=r )

(2θϕ=r

若0()

:r D ϕθαθβ

≤≤⎧⎨

≤≤⎩

则有()

(cos ,sin )d d d (cos ,sin )

D f r r r r f r r β

ϕθαθθθθθθ=⎰⎰⎰⎰若0():02r D ϕθθπ≤≤⎧⎨≤≤⎩

则有2()

00

(cos ,sin )d d d (cos ,sin )D f r r r r f r r π

ϕθθθθθθθ=⎰⎰⎰⎰【巩固拓展提高】

1．计算二重积分：22|1|d ,D

x y σ--⎰⎰其中22: 4.D x y +≤

2．设22:1,0,0.D x y x y +≤≥≥计算二重积分：22ln(1)d .D

x y σ++⎰⎰

9.4 二重积分的应用

【学习方法导引】

二重积分的应用主要在几何方面和物理方面。几何应用之一是求曲线所围成的面积，应用之二是求曲面所围成的立体的体积；物理应用主要是平面薄片的质量。

【主要概念梳理】

(1) 空间立体的体积V

设空间立体Ω由曲面1:(,)z f x y ∑=与2:(,)z g x y ∑=所围成， Ω在xoy 面投影为平面区域D ，并且(,)(,)f x y g x y ≥.则

[(,)(,)]d D

V f x y g x y σ=-⎰⎰或V dv Ω

=⎰⎰⎰.

(2)曲面面积S

设光滑曲面∑为:(,)z z x y ∑=，则xy

D S =，其中xy D 为∑

在xoy 面上的投影区域。

同理可得：设光滑曲面∑为:(,)x x y z ∑=，则yz

D S =⎰⎰，

其中yz D 为∑在yoz 面上的投影区域。

设光滑曲面∑为:(,)y y x z ∑=，则xz

D S =⎰⎰，其中xz D 为∑

在xoz 面上的投影区域。

(3) 平面薄片的质量 设平面薄片的面密度为(,)x y ρ，物体所占区域为D ，则它的质量为(,)D

m x y d ρσ=⎰⎰，其中(,),dm x y d ρσ=称为质量元素。