一元二次方程两个相等的根的解释
二次函数判断根的个数公式
二次函数判断根的个数公式二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c是实数且a≠0。
一元二次方程的一般形式可以表示为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c是已知的实数，求解方程主要是求出方程的根。
我们知道，一元二次方程的根可能有三种情况：1.有两个不相等的实数根；2.有两个相等的实数根；3.没有实数根，但有两个共轭复根。
下面我们来详细介绍一元二次方程的根的个数的判断公式和证明。
首先，要判断一元二次方程是否有实根，我们可以计算判别式Δ=b^2-4ac的值。
判别式可以判断方程的根的性质：1.如果Δ>0，则方程有两个不相等的实数根；2.如果Δ=0，则方程有两个相等的实数根；3.如果Δ<0，则方程无实数根，但有两个共轭复根。
接下来具体推导一下判别式的证明：首先，如果一元二次方程有实数根，设方程的两个实数根为x1和x2，则根据因式定理，可得ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)将上式展开，得到：ax^2+bx+c=ax^2-a(x1+x2)x+ax1x2根据一元二次方程的系数与根的关系可得：a(x1+x2)=-bax1x2=c将上述两个等式相加得：a^2(x1+x2)^2+b^2=ab由于a≠0，所以可以将上面的等式继续化简得：(x1+x2)^2=b^2/a^2-4ac/a^2移项得：(x1+x2)^2=b^2-4ac/a^2上式右边的根为判别式Δ=b^2-4ac。
由于(x1+x2)^2≥0，所以当b^2-4ac≥0时方程有实数根。
接下来我们来证明根的情况：1.当Δ>0时根据以上推导可知，方程的两个实数根为：x1=(-b+√Δ)/2ax2=(-b-√Δ)/2a即方程有两个不相等的实数根。
2.当Δ=0时根据以上推导可知，方程的两个实数根为：x1=x2=-b/2a即方程有两个相等的实数根。
3.当Δ<0时根据以上推导可知，方程的两个实数根为：x1=(-b+√(-Δ)i)/2ax2=(-b-√(-Δ)i)/2a其中i为虚数单位，(-Δ)i为共轭复数。
九年级数学一元二次方程根与系数的关系
根与系数关系1、一元二次方程根与系数关系的推导及应用；2、熟练应用根与系数的关系.结论：【知识梳理】1、 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为)04(2422≥--±-=ac b aac b b x 。
2、 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式为：ac b 42-=∆（1）有两个实数根。
（2）有两个正实数根。
（3）有一个正数根和一个负数根。
（4）两个根都小于2。
答案：(1) 253k ≤;(2) 2503k ≤＜; (3) 0k ＜;(4) 无解。
变式训练1、已知关于x 的方程022=+-a ax x 。
（1）求证：方程必有两个不相等的实数根； （2）a 取何值时，方程有两个正根；（3）a 取何值时，方程有两异号根，且负根绝对值较大； （4）a 取何值时，方程到少有一根为零？ 答案：(1) 证240b ac -＞;(2) 0a ＞; (3) 0a ＜;(4) 0a = 知识点四：已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值．例4、已知关于x 的方程05)2(222=-+++m x m x 有两个实数根，并且这两个根的平方和比两个根的积大16，求m 的值。
变式训练1、已知关于x 的方程03)1(222=-++-m x m x （1）当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设1x 、2x 是方程的两根，且012)()(21221=-+-+x x x x ，求m 的值。
知识点五：综合运用例5、方程x 2-6x-k=1与x 2-kx-7=0有相同的根，求k 值及相同的根．例6、已知α、β是方程0522=-+x x 的两个实数根，则ααβα22++的值为_0__例7、求作一个一元二次方程使它的两根分别是1－ 5 和1＋ 5 。
答案：2240x x --=例8、已知两个数的和等于８，积等于7，求这两个数． 答案：1、7变式训练1．求一个一元二次方程使它的两个根是1、5． 答案：2650x x -+=2．已知αβ≠，则2370αα+-=，2370ββ+-=，试求11αβ+的值．答案：37。
一元二次方程中的△=0
一元二次方程中的△=0
一元二次方程中的△=0表示该二次方程的判别式为0。
一元二次方程一般写作ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数，x为未知数。
判别式△=b^2-4ac，它决定了方程的根的性质。
当△=0时，代入判别式得到0=b^2-4ac，解得b^2=4ac。
这意味着方程有两个相等的实根或者有一个重根。
换句话说，当判别式△=0时，方程的解为两个相等的实数根或者一个重根。
这种情况下，方程图像与x轴相切，且切点的横坐标就是方程的根。
在几何上，这意味着抛物线与x轴只有一个交点，或者与x轴相切。
这些是关于一元二次方程中判别式为0的多个方面的全面回答。
一元二次方程根的判别式-
3. 已知关于x的方程(m 2) x 2(m 1) x 1 0
2 2
有实数根，求 m的取值范围
解： （1）当m 2 2 0, 即m 2时, 原方程为：
2( 2 1) x 1 0这时方程为两个一元一次 方程, 有解。
一元二次方程根的判别式
2 ax 一元二次方程 bx c 0
的根有三 种情况：①有两个不相等的实数根； ②有两个相等的实数根；③没有实数 2 b 4ac 的值来 根．而根的情况，由 确定．因此 b 2 4ac 叫做一元二 次方程的根的判别式． △>0方程有两个不相等的实根． △＝0方程有两个相等的实数根． △<0方程没有实数根．
(1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参数系数的性质确定根 的范围； (3)解与根有关的证明题．
不解方程，判别下列方程的根的 情况： (1)；2x 2 3x 4 0
(2)； (3)．
16y 9 24y
2
5(x 1) 7x 0
2
(1)∵a＝2，b＝3，c＝－4， 2 2 ∴． b 4ac 3 4 2 (4) 41 0 ∴方程有两个不相等的实数根．
相等的实数根，则k＝ ______． 2 4．如果关于x的方程x 5x c 0 没有实数根，则c的取值范围是 _____．
当堂训练 2
2 kx 1.关于x的一元二次方程 6x 1 0
有两个不相等的实数根，则k的取 值范围是( ) A．k>9 B．k<9 C．k≤9，且k≠0 D．k<9，且k≠0
2．下列关于x的方程中，没有 实数根的是( ) 2 2 2 x 5 6 x A． B ． 3x 4x 2 0 2 2 2x mx 1 0 C． 3x 2 6x 2 0 D．
第13讲一元二次方程根的判别式-尖子班
（2）当 b2 4ac 0 时,方程有两个相等的实数根.
（3）当 b2 4ac 0 时,方程没有实数根.
说明: （1）用判别式去判定方程的根时,要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反过来使
用,当方程有两个不相等的实数根时, 0 ;有两个相等的实数根时, 0 ;没有 实数根时, 0 . （2）在解一元二次方程时,一般情况下,首先要运用根的判别式 b2 4ac 判定方程
的值.
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(m 1)x2 2mx m 2 0 （ ）．
A．没有实数根 C．有 2 个相等的实数根
B．有 2 个不同的实数根 D．实数根的个数不能确定
【题 3】如果关于 x 的一元二次方程 kx2 6x 9 0 有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范
围是（ ）
A． k 1
B． k 0
C． k 1且k 0
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六、应用
【例 9】（1） 某学校准备修建一个面积为 200 平方米的矩形花圃，它的长比宽多 10 米，
设花圃的宽为 x 米，则可列方程为( )
A． x(x－10)＝200
B． 2x＋2(x－10)＝200
C． x(x＋10)＝200
D． 2x＋2(x＋10)＝200
（2）如图，在长为 100 米，宽为 80 米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，
赛，则参赛球队的个数是（ ）
A. 5 个
B. 6 个
C. 7 个
D. 8 个
【题 1】不解方程，判别一元二次方程 2x2 6x 1 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根
B．没有实数根 D．无法确定
【 题 2 】 若 方 程 (m 2)x2 2(m 1)x m 0 只 有 一 个 实 数 根 ， 那 么 方 程
一元二次方程韦达定理的内容
一元二次方程韦达定理的内容
韦达定理，又称二次方程求根公式，是解一元二次方程的重要工具。
它能帮助我们快速找到方程的根，并且在实际问题中有广泛的应用。
本文将介绍一元二次方程韦达定理的基本概念和应用。
一元二次方程的一般形式为：ax²+bx+c=0，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
我们的目标是求出方程的根，即满足方程的x 值。
根据韦达定理，一元二次方程的根可以通过以下公式求得：
x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)
公式中的±表示两个根的取值情况，√表示平方根。
当b²-4ac大于0时，方程有两个不相等的实数根；当b²-4ac等于0时，方程有两个相等的实数根；当b²-4ac小于0时，方程没有实数根，但可以有复数根。
通过韦达定理，我们可以解决许多与一元二次方程相关的问题。
例如，可以利用韦达定理求解物理学中的抛物线运动问题，或者计算图形的顶点、焦点等重要参数。
然而，在使用韦达定理时，我们需要注意以下几点。
首先，要确保方程是一元二次方程，即次数为2，且系数a不等于0。
其次，要仔细计算方程中的系数，确保不出现计算错误。
最后，要注意方程是否有实数根或复数根，在实际问题中需要对结果进行合理的解释和应用。
总之，一元二次方程韦达定理是解决二次方程的重要方法，具有广泛的应用价值。
通过理解和掌握韦达定理，我们能够更加轻松地解决与一元二次方程相关的问题，并在实际应用中发挥其作用。
一元二次方程的根
初中数学竞赛专题选讲(初三.1)一元二次方程的根一 、内容提要1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的.根公式是：x=aac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0) 2. 根的判别式① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是：b 2－4ac ≥0.② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是：b 2－4ac 是完全平方式⇔方程有有理数根.③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根⇔p 2－4q 是整数的平方数.3. 设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么① ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)；② x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=aac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)； ③ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=ac (a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4. 方程整数根的其他条件整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数.特殊的例子有：C=0⇔x 1=0 ， a+b+c=0⇔x 1=1 ， a －b+c=0⇔x 1=－1.二、例题例1. 已知：a, b, c 是实数，且a=b+c+1.求证：两个方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.（1990年泉州市初二数学双基赛题）证明 （用反证法）设 两个方程都没有两个不相等的实数根，那么△1≤0和△2≤0.即⎪⎩⎪⎨⎧++=≤-≤ ③ ② ①－1040412c b a c a b由①得b ≥41，b+1 ≥45代入③，得 a －c=b+1≥45， 4c ≤4a －5 ④ ②＋④：a 2－4a+5≤0，即（a －2）2+1≤0，这是不能成立的.既然△1≤0和△2≤0不能成立的，那么必有一个是大于0.∴方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.本题也可用直接证法：当△1＋△2＞0时，则△1和△2中至少有一个是正数.例2. 已知首项系数不相等的两个方程：（a －1）x 2－(a 2+2)x+(a 2+2a)=0和 (b －1)x 2－(b 2+2)x+(b 2+2b)=0 (其中a,b 为正整数)有一个公共根. 求a, b 的值.（1989年全国初中数学联赛题）解：用因式分解法求得：方程①的两个根是 a 和12-+a a ； 方程②两根是b 和12-+b b . 由已知a>1, b>1且a ≠b.∴公共根是a=12-+b b 或b=12-+a a . 两个等式去分母后的结果是一样的.即ab －a=b+2, ab －a －b+1=3, (a －1)(b －1)=3.∵a,b 都是正整数， ∴ ⎩⎨⎧=-3111b a ＝－； 或⎩⎨⎧=-1131b a ＝－. 解得⎩⎨⎧=42b a ＝； 或⎩⎨⎧==24b a . 又解： 设公共根为x 0那⎪⎩⎪⎨⎧=+++--=+++-- ②（ ①0)2()2()10)2()2()1(22202220b b x b x b a a x a x a 先消去二次项： ①×（b －1）－②×（a －1） 得［－（a 2+2）(b －1)+(b 2+2)(a －1)］x 0+(a 2+2a)(b －1)－(b 2+2b)(a －1)=0.整理得 （a －b ）(ab －a －b －2)(x 0－1)=0.∵a ≠b∴x 0＝1； 或 (ab －a －b －2)＝0.当x 0＝1时，由方程①得 a=1,∴a －1=0，∴方程①不是二次方程.∴x 0不是公共根.当(ab －a －b －2)＝0时， 得(a －1)(b －1)=3 ……解法同上.例3. 已知：m, n 是不相等的实数，方程x 2+mx+n=0的两根差与方程y 2+ny+m=0的两根差相等.求：m+n 的值. （1986年泉州市初二数学双基赛题）解：方程①两根差是21x x -＝221)x x -（＝212214)(x x x x -+＝n m 42-同理方程②两根差是21y y -＝m n 42-依题意，得n m 42-＝m n 42-.两边平方得：m 2－4n=n 2－4m.∴（m －n ）(m+n+4)=0∵m ≠n ，∴ m+n+4＝0， m+n ＝－4.例4. 若a, b, c 都是奇数，则二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.证明：设方程有一个有理数根n m （m, n 是互质的整数）. 那么a(n m )2+b(nm )+c=0, 即an 2+bmn+cm 2=0. 把m, n 按奇数、偶数分类讨论，∵m, n 互质，∴不可能同为偶数.① 当m, n 同为奇数时，则an 2+bmn+cm 2是奇数＋奇数＋奇数＝奇数≠0；② 当m 为奇数, n 为偶数时，an 2+bmn+cm 2是偶数＋偶数＋奇数＝奇数≠0；③ 当m 为偶数, n 为奇数时，an 2+bmn+cm 2是奇数＋偶数＋偶数＝奇数≠0.综上所述不论m, n 取什么整数，方程a(n m )2+b(nm )+c=0都不成立. 即 假设方程有一个有理数根是不成立的.∴当a, b, c 都是奇数时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.例5. 求证：对于任意一个矩形A ，总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k (k ≥1). （1983年福建省初中数学竞赛题）证明：设矩形A 的长为a, 宽为b ，矩形B 的长为c, 宽为d.根据题意，得 k abcd b a d c ==++. ∴c+d=(a+b)k, cd=abk.由韦达定理的逆定理，得c, d 是方程z 2－(a+b)kz+abk=0 的两个根.△ ＝［－（a+b ）k ］2－4abk＝（a 2+2ab+b 2）k 2－4abk=k ［(a 2+2ab+b 2)k －4ab ］∵k ≥1，a 2+b 2≥2ab,∴a 2+2ab+b 2≥4ab ，(a 2+2ab+b 2)k ≥4ab.∴△≥0.∴一定有c, d 值满足题设的条件.即总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k (k ≥1).例6. k 取什么整数值时，下列方程有两个整数解？①（k 2－1）x 2－6(3k －1)x+72=0 ； ②kx 2+(k 2－2)x －(k+2)=0.解：①用因式分解法求得两个根是：x 1=112+k ， x 2=16－k . 由x 1是整数，得k+1=±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.由x 2是整数，得k －1=±1, ±2, ±3, ±6.它们的公共解是：得k=0, 2, －2, 3, －5.答：当k=0, 2, －2, 3, －5时，方程①有两个整数解.②根据韦达定理⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=+-=--=+k k k k x x k k k k x x 222221221 ∵x 1, x 2, k 都是整数，∴k=±1，±2. （这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要进行检验.） 把k=1,－1, 2, －2， 分别代入原方程检验，只有当k=2和k=－2 时适合.答：当k 取2和－2时，方程②有两个整数解.三、练习1. 写出下列方程的整数解：① 5x 2－3x=0的一个整数根是＿＿＿.② 3x 2+(2－3)x －2=0的一个整数根是＿＿＿.③ x 2+(5+1)x+5=0的一个整数根是＿＿＿.2. 方程（1－m ）x 2－x －1=0 有两个不相等的实数根，那么整数m 的最大值是＿＿＿＿.3. 已知方程x 2－(2m －1)x －4m+2=0 的两个实数根的平方和等于5，则m=＿＿＿.4. 若x ≠y ，且满足等式x 2+2x －5=0 和y 2+2y －5=0. 那么yx 11+＝＿＿＿.（提示：x, y 是方程z 2+5z －5=0 的两个根.） 5. 如果方程x 2+px+q=0 的一个实数根是另一个实数根的2倍，那么p, q 应满足的关系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （1986年全国初中数学联赛题）6. 若方程ax 2+bx+c=0中a>0, b>0, c<0. 那么两实数根的符号必是＿＿＿＿＿＿.（1987年泉州市初二数学双基赛题）7. 如果方程mx 2－2(m+2)x+m+5=0 没有实数根，那么方程（m －5）x 2－2mx+m=0实数根的个数是（ ）.(A)2 （B ）1 （ C ）0 （D ）不能确定 （1989年全国初中数学联赛题）8. 当a, b 为何值时，方程x 2+2(1+a)x+(3a 2+4ab+4b 2+2)=0 有实数根？（1987年全国初中数学联赛题）9. 两个方程x 2+kx －1=0和x 2－x －k=0有一个相同的实数根，则这个根是（ ）(A)2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－1 （1990年泉州市初二数学双基赛题）10. 已知：方程x 2+ax+b=0与x 2+bx+a=0仅有一个公共根，那么a, b 应满足的关系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.11. 已知：方程x 2+bx+1=0与x 2－x －b=0有一个公共根为m ，求：m ，b 的值.12. 已知：方程x 2+ax+b=0的两个实数根各加上1，就是方程x 2－a 2x+ab=0的两个实数根.试求a, b 的值或取值范围. （1997年泉州市初二数学双基赛题）13. 已知：方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根和等于s 1，两根的平方和等于s 2, 两根的立方和等于s 3.求证：as 3+bs 2+cs 1=0.14. 求证：方程x 2－2(m+1)x+2(m －1)=0 的两个实数根，不能同时为负.（可用反证法）15. 已知：a, b 是方程x 2+mx+p=0的两个实数根；c, d 是方程x 2+nx+q=0的两个实数根.求证：（a －c ）(b －c)(a －d)(b －d)=(p －q)2.16. 如果一元二次方程的两个实数根的平方和等于5，两实数根的积是2，那么这个方程是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （1990年泉州市初二数学双基赛题）17. 如果方程（x －1）(x 2－2x+m)=0的三个根，可作为一个三角形的三边长，那么实数m的取值范围是 （ ）（A ） 0≤m ≤1 （B ）m ≥43 （C ）43<m ≤1 （D ）43≤m ≤1 （1995年全国初中数学联赛题）18. 方程7x 2－(k+13)x+k 2－k －2=0 (k 是整数)的两个实数根为α，β且0＜α＜1，1＜β＜2，那么k 的取值范围是( )（A ）3<k<4 (B)-2<k<-1 (C) 3<k<4 或-2<k<-1 （D ）无解（1990年全国初中数学联赛题）练习题参考答案1. ①0， ②1， ③－12. 03. 1（舍去－2）4. 52 5. 9q=2p 2 6. 一正一负 7. D 8. a=1,b=－0.5 9. C10. a+b+1=0, a ≠b 11. m=－1，b=2 12.⎩⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧≤=.1,241,1b a b a ： 13. 左边＝a(x 13+x 23)+b(x 12+x 22)+c(x 1+x 2)=……14. 用反证法，设x 1<0,x 2<0,由韦达定理推出矛盾（m<－1, m>1）15. 由韦达定理,把左边化为 p, q16. x 2±3x+2=0 17. C 18. C。
一元二次方程必须满足的三个条件
一元二次方程必须满足的三个条件一元二次方程必须满足的三个条件引言一元二次方程是数学中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
在解一元二次方程之前，我们需要了解一元二次方程需要满足的三个条件。
本文将对这三个条件进行介绍和解释。
条件一：一元二次方程的形式一元二次方程一般写作ax2+bx+c=0的形式，其中a、b、c均为已知常数，且a不等于0。
这是一元二次方程必须满足的第一个条件。
方程中的二次项（ax2）是方程的最高次项，一元指的是方程中只有一个未知数x。
条件二：方程的根一元二次方程的根即方程的解。
对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以通过求解方程的根来得到方程的解。
方程有可能有两个实根、两个虚根或一个重根，这取决于方程的判别式。
条件二.1：判别式大于0当一元二次方程的判别式b^2-4ac大于0时，方程有两个不相等的实根。
判别式大于0表示方程的图像与x轴有两个交点，即根为实数。
条件二.2：判别式等于0当一元二次方程的判别式b^2-4ac等于0时，方程有两个相等的实根，也被称为重根或二重根。
判别式等于0表示方程的图像与x轴有一个交点，即根为实数。
条件二.3：判别式小于0当一元二次方程的判别式b^2-4ac小于0时，方程没有实根。
判别式小于0表示方程的图像与x轴没有交点，即根为虚数。
条件三：求解根的方法一元二次方程的求解有多种方法，常见的有配方法、公式法和图解法。
条件三.1：配方法配方法是一种通过将一元二次方程化简成完全平方的方式来求解的方法。
通过变换未知数x，配方后可以直接得到方程的根。
条件三.2：公式法公式法是一种直接使用一元二次方程的求根公式来求解的方法。
一元二次方程的求根公式为x=(-b±√(b^2-4ac))/2a。
条件三.3：图解法图解法是一种通过绘制一元二次方程的图像来求解方程的根的方法。
通过观察图像与x轴的交点，可以确定方程的根的数量和类型。
总结一元二次方程必须满足的三个条件分别是方程的形式、方程的根以及求解根的方法。
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一元二次方程两个相等的根的解释
一元二次方程是一个二次函数，表示为ax² + bx + c = 0，其
中a、b和c是实数常数，并且a≠0。
如果一个一元二次方程的解中，存在两个相等的根，那么这个方程的解叫做"两个相等的根"。
简单来说，一元二次方程的两个相等的根是指该方程在坐标平面
上的图像与x轴相交于同一个点，即方程的解重复出现。
这种情况下，方程对应的二次函数的图像会与x轴相切，并且该点就是方程的根。
例如，对于方程x² - 4x + 4 = 0来说，它的两个根都是2。
这意味着该方程所表示的二次函数的图像与x轴在点(2,0)处相切。
两个相等的根在数学和实际情况中都有重要意义。
在数学上，它
可以帮助我们解决一元二次方程的问题。
在实际中，比如物理学和工
程学中的问题建模，找到方程的两个相等的根可以提供有关问题的特
定信息，例如某个过程发生的时间点或某个系统的平衡点。