空间几何体的结构
空间几何体的结构特征例题和知识点总结
空间几何体的结构特征例题和知识点总结在我们的日常生活中，各种各样的物体形状各异，而在数学的世界里，我们把这些物体抽象成空间几何体来进行研究。
接下来，让我们一起深入探讨空间几何体的结构特征，并通过一些例题来加深理解。
一、空间几何体的分类空间几何体主要分为多面体和旋转体两大类。
多面体是由若干个平面多边形围成的几何体。
常见的多面体有棱柱、棱锥、棱台等。
棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行。
棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形。
棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分。
旋转体是由一个平面图形绕着一条直线旋转所形成的几何体。
常见的旋转体有圆柱、圆锥、圆台、球等。
圆柱：以矩形的一边所在直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。
圆锥：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体。
圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分。
球：以半圆的直径所在直线为轴，半圆面旋转一周形成的几何体。
二、空间几何体的结构特征1、棱柱的结构特征侧棱都平行且相等。
两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形。
2、棱锥的结构特征侧面都是三角形。
只有一个顶点。
3、棱台的结构特征上下底面是相似多边形。
各侧棱延长后交于一点。
4、圆柱的结构特征母线平行且相等，都垂直于底面。
两个底面是全等的圆。
5、圆锥的结构特征母线交于顶点。
轴截面是等腰三角形。
6、圆台的结构特征母线延长后交于一点。
上下底面是两个半径不同的圆。
7、球的结构特征球面上任意一点到球心的距离都相等。
三、例题解析例 1：判断下列几何体是否为棱柱。
（1）一个长方体；（2）一个有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体。
解：（1）长方体符合棱柱的定义，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，所以是棱柱。
（2）不一定是棱柱。
空间几何体的结构_王素华.ppt
三棱柱
四棱柱
五棱柱
四、棱柱的表示
用底面各顶点的字母表示棱柱。
三棱柱ABC-A'B'C' 四棱柱ABCD-A'B'C'D'
六棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F
常见的棱柱
长方体：侧面和底面都是矩形的棱柱. 正方体：侧面和底面都是正方形的棱柱.
棱柱的结构特征
思考：你能举出关于棱柱的生活实例吗？
么四边形？
平行四边形
理论迁移
例1、过BC的截面截长方体的一角，使 EF∥B’C’所得的几何体是不是棱柱，为 什么？
D' F C'
D' D C
A' D
E
B' C
A
F
C'
B
A
B
A'
E
B'
思考：有两个面互相平行， 其余各面都是四边形的几何体是 棱柱吗？ 答：不一定是．如右图所 示，不是棱柱． 思考：有两个面互相平行， 其余各面都是平行四边形的几 何体是棱柱吗？ 答：不一定是．如右图所 示，不是棱柱．
底 面
E
侧棱 F
D
C
A
侧面
B
顶点
思考：棱柱上、下两个底面的形状大小 如何？各侧面的形状如何？
两底面是全等的多边形, 各侧面都是平行四边形
三、棱柱的分类
思考：各种各样的棱柱,主要有什么不 同?你认为棱柱的三 角形、四边形、五边形、 …… 我们把这 样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱 柱、……
二、棱柱的有关概念
两个互相平行的面 棱柱的底面：
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2023年新高考数学大一轮复习专题28 空间几何体的结构特征、表面积与体积(原卷版)
专题28空间几何体的结构特征、表面积与体积【考点预测】知识点一：构成空间几何体的基本元素—点、线、面（1）空间中，点动成线，线动成面，面动成体．（2）空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间图形或几何体（空间四边形、四面体或三棱锥）．知识点二：简单凸多面体—棱柱、棱锥、棱台1．棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；（5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；（7）正方体：棱长都相等的长方体．2．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥．3．棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示．知识点三：简单旋转体—圆柱、圆锥、圆台、球1．圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱．2．圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥．3．圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．4．球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）．知识点四：组合体由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体．知识点五：表面积与体积计算公式表面积公式体积公式1．斜二测画法斜二测画法的主要步骤如下：（1）建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox ，Oy ，建立直角坐标系． （2）画出斜坐标系．在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形．在已知图形平行于x 轴的线段，在直观图中画成平行于''O x ，''O y ，使45'''∠=x O y （或135），它们确定的平面表示水平平面．（3）画出对应图形．在已知图形平行于x 轴的线段，在直观图中画成平行于'x 轴的线段，且长度保持不变；在已知图形平行于y 轴的线段，在直观图中画成平行于'y 轴，且长度变为原来的一般．可简化为“横不变，纵减半”．（4）擦去辅助线．图画好后，要擦去'x 轴、'y 轴及为画图添加的辅助线（虚线）．被挡住的棱画虚线． 注：4． 2．平行投影与中心投影平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点．【题型归纳目录】题型一：空间几何体的结构特征 题型二：空间几何体的表面积与体积 题型三：直观图 题型四：最短路径问题 【典例例题】题型一：空间几何体的结构特征例1．（2022·全国·模拟预测）以下结论中错误的是（ ） A ．经过不共面的四点的球有且仅有一个 B ．平行六面体的每个面都是平行四边形 C ．正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直 D ．棱台的每条侧棱均与上下底面不垂直例2．（2022·全国·高三专题练习（文））下列说法正确的是（ ） A ．经过三点确定一个平面B ．各个面都是三角形的多面体一定是三棱锥C ．各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱D ．一个三棱锥的四个面可以都为直角三角形例3．（2022·海南·模拟预测）“三棱锥P ABC -是正三棱锥”的一个必要不充分条件是（ ） A ．三棱锥P ABC -是正四面体 B ．三棱锥P ABC -不是正四面体 C ．有一个面是正三角形 D ．ABC 是正三角形且PA PB PC ==例4．（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题:①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线; ②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥;③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥; ④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等. 其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3例5．（2022·山东省东明县第一中学高三阶段练习）下列说法正确的是（ ） A ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 B ．过空间内不同的三点，有且只有一个平面 C ．棱锥的所有侧面都是三角形D ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台例6．（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等. 其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3例7．（2022·全国·高三专题练习）莱昂哈德·欧拉，瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一，他的研究论著几乎涉及到所有数学分支，有许多公式､定理､解法､函数､方程､常数等是以欧拉名字命名的.欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V ､棱数E ､面数F 之间总满足数量关系2,V F E +-=，此式称为欧拉公式，已知某凸32面体，12个面是五边形，20个面是六边形，则该32面体的棱数为___________；顶点的个数为___________.例8．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））如图，正方体1AC 上、下底面中心分别为1O ，2O ，将正方体绕直线12O O 旋转360︒，下列四个选项中为线段1AB 旋转所得图形是（ ）A ．B ．C ．D ．例9．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）（多选）A ．①是棱台B ．②是圆台C ．③是棱锥D ．④是棱柱例10．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习（理））碳60（60C ）是一种非金属单质，它是由60个碳原子构成的分子，形似足球，又称为足球烯，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共32个面，且满足：顶点数－棱数＋面数＝2．则其六元环的个数为__________.【方法技巧与总结】 熟悉几何体的基本概念.题型二：空间几何体的表面积与体积例11．（多选题）（2022·湖北·高三阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧,DE AC 所在圆的半径分别是3和9，且120ABC ∠=，则该圆台的（ ）A ．高为BC ．表面积为34πD ．上底面积､下底面积和侧面积之比为1:9:22例12．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设一圆锥的侧面积是其底面积的3倍，则该圆锥的高与母线长的比值为（ ）A ．89B C D ．23例13．（2022·云南·二模（文））已知长方体1111ABCD A B C D -的表面积为62，所有棱长之和为40，则线段1AC 的长为（ ）A B C D例14．（2022·福建省福州第一中学三模）已知AB ，CD 分别是圆柱上､下底面圆的直径，且AB CD ⊥，.1O ，O 分别为上､下底面的圆心，若圆柱的底面圆半径与母线长相等，且三棱锥A BCD -的体积为18，则该圆柱的侧面积为（ ） A ．9π B ．12π C ．16π D ．18π例15．（2022·河南·模拟预测（文））在正四棱锥P ABCD -中，AB =P ABCD -的体积是8，则该四棱锥的侧面积是（ ）AB ．C ．D ．例16．（2022·全国·高三专题练习）《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭ABCD EFHG -，其中上底面与下底面的面积之比为1:4，方亭的高h EF =，BF =，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和 ）A ．24B ．643C ．563D ．16例17．（2022·湖南·高三阶段练习）如图，一种棱台形状的无盖容器（无上底面1111D C B A ）模型其上、下底面均为正方形，面积分别为24cm ，29cm ，且1111A A B B C C D D ===，若该容器模型的体积为319cm 3，则该容器模型的表面积为（ ）A ．()29cmB ．219cmC ．()29cmD ．()29cm例18．（2022·海南海口·二模）如图是一个圆台的侧面展开图，其面积为3π，两个圆弧所在的圆半径分别为2和4，则该圆台的体积为（ ）A B C D例19．（2022·全国·高三专题练习）圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的侧面积为（ ）A ．B ．C ．D ．例20．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知圆柱12O O 的底面半径为1，高为2，AB ，CD 分别为上、下底面圆的直径，AB CD ⊥，则四面体ABCD 的体积为（ ） A ．13B ．23C ．1D ．43例21．（2022·山东·烟台市教育科学研究院二模）鲁班锁是我国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中的榫卯结构，其内部的凹凸部分啮合十分精巧．图1是一种鲁班锁玩具，图2是其直观图．它的表面由八个正三角形和六个正八边形构成，其中每条棱长均为2．若该玩具可以在一个正方体内任意转动（忽略摩擦），则此正方体表面积的最小值为________．例22．（2022·湖北省天门中学模拟预测）已知一个圆柱的体积为2 ，底面直径与母线长相等，圆柱内有一个三棱柱，与圆柱等高，底面是顶点在圆周上的正三角形，则三棱柱的侧面积为__________.例23．（2022·上海闵行·二模）已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的4倍，则它的侧面积扩大为原来的___________倍.例24．（2022·浙江绍兴·模拟预测）有书记载等角半正多面体是以边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图，将正四面体沿相交于同一个顶点的三条梭上的3个点截去一个正三棱锥，如此共截去4个正三棱锥，若得到的几何体是一个由正三角形与正六边形围成的等角半正多面体，且正六边形的面积为2，则原正四面体的表面积为_________．例25．（2022·上海徐汇·三模）设圆锥底面圆周上两点A、B间的距离为2，圆锥顶点到直线ABAB和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥的侧面积为___________.例26．（2022·全国·高三专题练习）中国古代的“牟合方盖”可以看作是两个圆柱垂直相交的公共部分，计算其体积所用的“幂势即同，则积不容异”是中国古代数学的研究成果，根据此原理，取牟合方盖的一半，其体积等于与其同底等高的正四棱柱中，去掉一个同底等高的正四棱锥之后剩余部分的体积（如图1所示）．现将三个直径为4的圆柱放于同一水平面上，三个圆柱的轴所在的直线两两成角都相等，三个圆柱的公共部分为如图2，则该几何体的体积为___________．【方法技巧与总结】熟悉几何体的表面积、体积的基本公式，注意直角等特殊角. 题型三：直观图例27．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知用斜二测画法画出的ABC 的直观图是边长为a 的正三角形，原ABC 的面积为 __．例28．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）如图，梯形ABCD 是水平放置的一个平面图形的直观图，其中45ABC ∠=︒，1AB AD ==，DC BC ⊥，则原图形的面积为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．1例29．（2022·全国·高三专题练习）如图，△ABC 是水平放置的△ABC 的斜二测直观图，其中2O C O A O B ''''''==，则以下说法正确的是（ ）A ．△ABC 是钝角三角形B ．△ABC 是等边三角形C ．△ABC 是等腰直角三角形D ．△ABC 是等腰三角形，但不是直角三角形例30．（2022·全国·高三专题练习）如图，水平放置的四边形ABCD 的斜二测直观图为矩形A B C D ''''，已知2,2A O O B B C =='''''='，则四边形ABCD 的周长为（ ）A ．20B ．12C ．8+D ．8+例31．（2022·全国·高三专题练习（文））如图，已知等腰直角三角形O A B '''△，O A A B ''''=是一个平面图形的直观图，斜边2O B ''=，则这个平面图形的面积是（ ）A B ．1 C D ．例32．（2022·全国·高三专题练习）一个三角形的水平直观图在x O y '''是等腰三角形，底角为30，腰长为2，如图，那么它在原平面图形中，顶点B 到x 轴距离是（ ）A ．1B ．2CD ．【方法技巧与总结】斜二测法下的直观图与原图面积之间存在固定的比值关系：S 直原． 题型四：最短路径问题例33．（多选题）（2022·广东广州·三模）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台12O O ，在轴截面ABCD 中，2cm AB AD BC ===，且2CD AB =，则（ ）A ．该圆台的高为1cmB ．该圆台轴截面面积为2C 3D ．一只小虫从点C 沿着该圆台的侧面爬行到AD 的中点，所经过的最短路程为5cm例34．（2022·河南洛阳·三模（理））在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为1CC 上的动点，则1D E EB +的最小值为___________.例35．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（文））如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12,1,90AA AB BC ABC ===∠=︒，点E 是侧棱1BB 上的一个动点，则下列判断正确的有___________.（填序号）②存在点E ，使得1A EA ∠为钝角③截面1AEC 周长的最小值为例36．（2022·河南·二模（理））在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，P 是线段1BC 上的一动点，则1A P PC +的最小值为________.例37．（2022·陕西宝鸡·二模（文））如图，在正三棱锥P ABC -中，30APB BPC CPA ∠=∠=∠=，4PA PB PC ===，一只虫子从A 点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A 点，则虫子爬行的最短距离是___________.例38．（2022·安徽宣城·二模（理））已知正四面体ABCD 的棱长为2，P 为AC 的中点，E 为AB 中点，M 是DP 的动点，N 是平面ECD 内的动点，则||||AM MN +的最小值是_____________.例39．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））如图，圆柱的轴截面ABCD 是一个边长为4的正方形.一只蚂蚁从点A 出发绕圆柱表面爬到BC 的中点E ，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）A ．B ．C ．D例40．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））一竖立在水平地面上的圆锥形物体，一只蚂蚁从圆锥底面圆周上一点P 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到P 点，已知圆锥底面半径为1，母线长为3，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）A ．3B ．C ．πD ．2π【方法技巧与总结】此类最大路径问题：大胆展开，把问题变为平面两点间线段最短问题． 【过关测试】一、单选题1．（2022·河北·高三阶段练习）已知圆锥的高为1，则过此圆锥顶点的截面面积的最大值为（ ）A ．2B ．52C D ．32．（2022·全国·模拟预测（文））若过圆锥的轴SO 的截面为边长为4的等边三角形，正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，B ，C ，D 在圆锥底面上，1A ，1B ，1C ，1D 在圆锥侧面上，则该正方体的棱长为（ ）A ．B ．C ．(2D ．(23．（2022·全国·高三专题练习）已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且面积为4，则圆锥的体积为（ ） A ．43 B ．43πC ．83D ．83π4．（2022·广东深圳·高三阶段练习）通用技术老师指导学生制作统一规格的圆台形容器，用如图所示的圆环沿虚线剪开得到的一个半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是1cm 和4cm ）制作该容器的侧面，则该圆台形容器的高为（ ）AB ．1cmCD 5．（2022·全国·高三专题练习）已知一个直三棱柱的高为2，如图，其底面ABC 水平放置的直观图（斜二测画法）为A B C '''，其中1O A O B O C ''''''===，则此三棱柱的表面积为（ ）A．4+B ．8+C ．8+D ．8+6．（2022·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测）已知某圆锥的侧面积为的半径为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．67．（2022·山西大同·高三阶段练习）正四棱台的上､下底面的边长分别为2､4，侧棱长为2，则其体积为（ ）A ．56B C ．D ．5638．（2022·江西九江·三模（理））如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为r .若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为a ，则ra=（ ）A B ．34C ．2D ．)3129．（2022·浙江湖州·模拟预测）如图，已知四边形ABCD ，BCD △是以BD 为斜边的等腰直角三角形，ABD △为等边三角形，2BD =，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △在翻折的过程中，下列结论中不正确．．．的是（ ）A ．BD PC ⊥B ．DP 与BC 可能垂直C ．直线DP 与平面BCD 所成角的最大值是45︒D ．四面体PBCD 10．（2022·全国·高三专题练习）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m ．时，相应水面的面积为21400km ．；水位为海拔1575m ．时，相应水面的面积为21800km ．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m ．上升到1575m ．2.65≈）（ ） A ．931.010m ⨯ B ．931.210m ⨯C ．931.410m ⨯D ．931.610m ⨯二、多选题11．（2022·河北·高三阶段练习）如图，正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，P 是1A D 上的一个动点，下列结论中正确的是（ ）A ．BPB ．PA PC +C ．当P 在直线1AD 上运动时，三棱锥1B ACP -的体积不变D ．以点B 1AB C 12．（2022·全国·高三专题练习）如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，,2FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥E ACD -，F ABC -，F ACE -的体积分别为123,,V V V ，则（ ）A ．322V V =B ．31V V =C ．312V V V =+D ．3123V V =13．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测）棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为线段1A C 上的动点，点M ，N 分别为线段11A C ，1CC 的中点，则下列说法正确的是（ ） A ．11A P AB ⊥ B ．三棱锥1M B NP -的体积为定值 C ．[]160,120APD ∠∈︒︒D ．1AP D P +的最小值为2314．（2022·湖北·高三阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧,DE AC 所在圆的半径分别是3和9，且120ABC ∠=，则该圆台的（ ）A ．高为B ．体积为3C ．表面积为34πD ．上底面积､下底面积和侧面积之比为1:9:22三、填空题15．（2022·全国·高三专题练习）已知一三角形ABCA B C '''(如图)，则三角形ABC 中边长与正三角形A B C '''的边长相等的边上的高为______．16．（2022·上海·模拟预测）已知圆柱的高为4，底面积为9π，则圆柱的侧面积为___________；17．（2022·新疆·三模（理））已知一个棱长为a 的正方体木块可以在一个圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为1，母线长为2，则a 的最大值为______.18．（2022·吉林长春·高三阶段练习（理））中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的立体为“牟合方盖”，如图（1）（2）.刘徽未能求得牟合方盖的体积，直言“欲陋形措意，惧失正理”，不得不说“敢不阙疑，以俟能言者”.约200年后，祖冲之的儿子祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，后世称为祖暅原理，即：两等高立体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立体体积相等，如图（3）（4）.已知八分之一的正方体去掉八分之一的牟合方盖后的剩余几何体与长宽高皆为八分之一正方体棱长的倒四棱锥“等幂等积”，祖暅由此推算出牟合方盖的体积.据此可知，若正方体的棱长为1，则其牟合方盖的体积为______. 四、解答题19．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）如图，已知四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，且1,4,5AB DC AB DC PM PC ==∥.(1)求证：PA 平面MDB ；(2)当直线,PC PA 与底面ABCD 所成的角都为4π，且4,DC DA AB =⊥时，求出多面体MPABD 的体积.20．（2022·全国·南宁二中高三期末（文））图1是由矩形ABGF ，Rt ADE △和菱形ABCD 组成的一个平面图形，其中2AB =，1==AE AF ，60BAD ∠=︒，将该图形沿AB ，AD 折起使得AE 与AF 重合，连接CG ，如图2.(1)证明：图2中的C ，D ，E ，G 四点共面； (2)求图2中三棱锥C BDG -的体积.21．（2022·全国·高三专题练习）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，∠BCC 1＝60°．(1)求证：BC 1⊥平面ABC ；(2)E 是棱CC 1上的一点，若三棱锥E －ABC CE 的长．22．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））如图，在三棱柱111ABC A B C -中，112224AC AA AB AC BC =====，160BAA ∠=︒．(1)证明：平面ABC ⊥平面11AA B B ．(2)设P 是棱1CC 上一点，且12CP PC =，求三棱锥111A PB C -体积．。
课件3：空间几何体的结构特征及其直观图、三视图
侧视图，可以将 D 排除，故选 B.
[答案] (1)D (2)B
第七章 第1讲
第30页
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[奇思妙想] 已知某一几何体的正视图与侧视图均如图 2 所
示，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有
体都是圆锥；
第七章 第1讲
第23页
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④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．
其中正确命题的个数是( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
第七章 第1讲
第24页
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考点 3 空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用 斜二测 画法来画，基本步骤是：
1．画几何体的底面
在已知图形中取互相垂直的 x 轴、y 轴，两轴相交于点 O，
画直观图时，把它们画成对应的 x′轴、y′轴，两轴相交于点 O′，且使∠x′O′y′＝ 45°(或 135°) ，已知图形中平行于 x 轴 的线段，在直观图中长度 不变 ，平行于 y 轴的线段，长度 减半．
第七章 第1讲
第3页
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空间几何体结构
棱柱的分类
D’ E’ C’ F’ A’ B’
思考：倾斜后的几 何体还是棱柱吗？
E
D C B
F
A
按侧棱与底面是否垂直分： 直棱柱：侧棱垂直底面 斜棱柱：侧棱不垂直底面 按底面多边形的边数分： 三棱柱、四棱柱……
棱柱分类1：按底面边数
棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形…… 我们把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五 棱柱……
旋转体：一个平面图形绕它所在平面内的一条定直 线旋转所形成的封闭几何体。 旋转体的轴：这条定直线
空间几何体的结构
——柱、锥、台、球的结构特征
棱柱的概念
D’ E’ C’ F’ A’ B’
棱柱：一个多面体有两个面互 底 相平行，其余每相邻两个面的 侧棱 面 交线互相平行 E D 棱柱的底面：两个互相平行的 C F 面 A B 侧面 顶点 棱柱的侧面：其余各面 高 棱柱的侧棱：两侧面的公共边 棱柱的高：两个底面所在平面 的公垂线段（的长度） 命名：用表示底面各顶点的字 母表示棱柱 棱柱ABCDEF ABC DE F
圆锥的概念
顶点
S
以直角三角形的一条直角边 所在直线为旋转轴,其余两边 旋转形成的曲面所围成的旋 转体叫做圆锥
母 线
A O B
轴 侧 面 底面
棱锥与圆 锥统称为 锥体
圆锥SO
圆台的概念
上底面 母线
O’
O
用一个平行于圆锥底面的 平面去截圆锥,底面与截面 之间的部分是圆台. 如果从旋转的角度 去定义圆台，应该 怎样表述？
棱柱的分类2：按侧棱是否垂直底面
侧棱垂直 于底面
侧棱不 垂直于 底面
棱柱 斜棱柱
空间几何体的结构特征(上课)
想一想：用一个平面去截一个球,截面是什么?
用一个截面去截一 个球，截面是圆面。 O
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆。 球面被不过球心的截面截得的圆叫球的小圆。
点、直线、平面与球的位置关系： （1）点与球：球外、球上、球内； （2）线与球：相离、相切、相交； （3）面与球：相离、相切、相交； 球面距离： 在球面上两点间的最短距离，就是经 过这两点的大圆在这两点间的一段劣 弧的长度，这个弧长叫做两点的球面 距离。
棱锥的高
D
棱锥的侧面
E
A
O B
C
棱锥的底面
棱锥的分类
三棱锥 （四面体）
四棱锥
五棱锥
正棱锥
如果一个棱锥的底面是正多边 形，并且顶点在底面的射影是底 面的中心，这样的棱锥是正棱锥. 正棱锥的基本性质 E
S
D
O C
各侧棱相等，各侧面 是全等 的等腰三角形，各等腰 三角形底 边上的高相等（它叫做正棱锥的 斜高）。
圆柱
底面 以矩形的一边所在直线为 旋转轴，其余边旋转形成的曲 面所围成的几何体叫做圆柱．
旋转轴
A′
O′
（1）底面是平行且半径相等的圆 （2）侧面展开图是矩形 （3）母线平行且相等 （4）平行于底面的截面是与 底面平行且半径相等的圆 （5）轴截面是矩形 母线
A O
侧面
7、圆锥 如何描述右图的几何结构特征？
.
（1）
.
简单几何体
简单旋转体
简单多面体
球
圆 柱
圆 锥
圆 台
棱 柱
棱 锥
棱 台
3、棱柱
有两个面互相平行，其余各边都 是四边形，并且每相邻两个四边形 的公共边都互相平行，这些面围成 的几何体叫做棱柱。 两个互相平行的面叫做棱柱的底 面；其余各面叫做棱柱的侧面。
立体几何-8.1__空间几何体的结构及其三视图和直观图(教案)
214 §8.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图基础自测1.下列不正确的命题的序号是 . ①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 ②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 ③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 ④有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥答案 ①②③2.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是 . 答案 60°3.如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm ），则此几何体的表面积是 cm 2.答案 (20+42) 4.（2008·宁夏文，14）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为3，底面周长为3，那么这个球的体积为 .答案 34 5.已知正三角形ABC 的边长为a,那么△ABC 的直观图△A ′B ′C ′的面积为 .答案 166a 2 例题精讲例1 下列结论不正确的是 （填序号）.①各个面都是三角形的几何体是三棱锥②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 ③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线答案 ①②③解析 ①错误.如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不一定是棱锥.②错误.如下图，若△ABC 不是直角三角形或是直角三角形,但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥.215③错误.若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长.④正确.例2 已知△ABC 的直观图A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，求原三角形ABC 的面积.解 建立如图所示的xOy 坐标系，△ABC 的顶点C 在y 轴上，AB 边在x 轴上，OC 为△ABC 的高，把y 轴绕原点顺时针旋转45°得y ′轴，则点C 变为点C ′，且OC=2OC ′，A 、B 点即为A ′、 B ′点，AB=A ′B ，已知A ′B ′=A ′C ′=a ，在△OA ′C ′中， 由正弦定理得''sin C OA OC ∠=ο45sin ''C A ，所以OC ′=a οο45sin 120sin =a 26, 所以原三角形ABC 的高OC=6a ，所以S △ABC =21×a ×6a=a 262. 例3 一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体积.解 由三视图易知，该正三棱柱的形状如图所示：且AA ′=BB ′=CC ′=4cm,正三角形ABC 和正三角形A ′B ′C ′的高为23cm.∴正三角形ABC 的边长为|AB|=ο60sin 32=4.∴该三棱柱的表面积为S=3×4×4+2×21×42sin60°=48+83(cm 2). 体积为V=S 底·|AA ′|=21×42sin60°×4=163(cm 3). 故这个三棱柱的表面积为（48+83）cm 2,体积为163cm 3.例4 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示， 求图中三角形（正四面体的截面）的面积.解 如图所示，△ABE 为题中的三角形，由已知得AB=2，BE=2×23=3, BF=32BE=332,AF=22BF AB -=344-=38,∴△ABE 的面积为216 S=21×BE ×AF=21×3×38=2.∴所求的三角形的面积为2. 巩固练习1.如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中为真命题的是 （填序号）.①等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补③等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆④等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上答案 ①③④2.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形,则原平面四边形的面积等于 . 答案 22a 23.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等 腰三角形，左视图（或称侧视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.（1）求该几何体的体积V ；（2）求该几何体的侧面积S.解 （1）由该几何体的俯视图、正视图、左视图可知，该几何体是四棱锥，且四棱锥的底面ABCD 是边长为6和8的矩形，高VO=4，O 点是AC 与BD 的交点. ∴该几何体的体积V=31×8×6×4=64. （2）如图所示，侧面VAB 中，VE ⊥AB ，则VE=22OE VO +=2234+=5∴S △VAB =21×AB ×VE=21×8×5=20 侧面VBC 中，VF ⊥BC ，则VF=22OF VO +=2244+=42.∴S △VBC =21×BC ×VF=21×6×42=122∴该几何体的侧面积 S=2（S △VAB +S △VBC ）=40+242.4.（2007·全国Ⅱ文，15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm 的球面上.如果正四棱柱的底面边长为1 cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2.答案 2+42 回顾总结知识方法思想课后作业一、填空题1.利用斜二测画法可以得到：①三角形的直观图是三角形，②平行四边形的直观图是平行四边形，③正方形的直观图是正方形，④菱形的直观图是菱形，以上正确结论的序号是 .217答案 ①②2.如图所示，甲、乙、丙是三个几何体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号是 . ①长方体；②圆锥；③三棱锥；④圆柱. 答案④③②3.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 .答案 ②④4.用若干个大小相同，棱长为1的正方体摆成一个立体模型，其三视图如下：根据三视图回答此立体模型的体积为 .答案 55.棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的8个顶点都在球O 的表面上，E 、F 分别是棱AA 1、DD 1的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为 .答案 26.（2008·湖北理）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为 . 答案 328π 7.用小立方块搭一个几何体，使得它的正视图和俯视图如图所示，这样的几何体至少要 个小立方块.最多只能用 个小立方块.答案 9 148.如图所示，E 、F 分别是正方体的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的正投影可能是 .（把可能的图的序号都填上）218答案 ②③二、解答题9.正四棱台AC 1的高是17 cm ，两底面的边长分别是4 cm 和16 cm ，求这个棱台的侧棱长和斜高. 解 如图所示，设棱台的两底面的中心分别是O 1、O ，B 1C 1和BC 的中点分别是E 1和E ，连接O 1O 、E 1E 、O 1B 1、OB 、O 1E 1、OE ，则四边形OBB 1O 1和OEE 1O 1都是直角梯形.∵A 1B 1=4 cm ，AB=16 cm ， ∴O 1E 1=2 cm ，OE=8 cm ，O 1B 1=22 cm ，OB=82 cm ，∴B 1B 2=O 1O 2+（OB-O 1B 1)2=361 cm 2，E 1E 2=O 1O 2+（OE-O 1E 1)2=325 cm 2，∴B 1B=19 cm ，E 1E=513cm.答 这个棱台的侧棱长为19 cm ，斜高为513cm.10.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm 2,母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径.解 圆台的轴截面如图所示，设圆台上下底面半径分别为x cm,3x cm.延长AA 1交OO 1的延长线于S ， 在Rt △SOA 中，∠ASO=45°, 则∠SAO=45°，∴SO=AO=3x ，∴OO 1=2x ，又S 轴截面=21（6x+2x ）·2x=392，∴x=7. 故圆台的高OO 1=14 (cm)，母线长l=2O 1O=142 (cm)，两底面半径分别为7 cm,21 cm.11.正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求侧面上斜高（棱锥侧面三角形的高）为多少？解 如图所示，正棱锥S-ABCD 中高OS=3，侧棱SA=SB=SC=SD=7，在Rt △SOA 中， OA=22OS SA =2，∴AC=4.∴AB=BC=CD=DA=22.作OE ⊥AB 于E ，则E 为AB 中点.连接SE ，则SE 即为斜高，则SO ⊥OE.在Rt △SOE 中，∵OE=21BC=2，SO=3，∴SE=5，即侧面上的斜高为5.12. 如图所示的几何体中，四边形AA 1B 1B 是边长为3的正方形，CC 1=2，CC 1∥AA 1，这个几何体是棱柱吗？若是，指出是几棱柱.若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征，在立体图中画出截面.解 这个几何体不是棱柱；在四边形ABB 1A 1中，在AA 1上取点E ，使AE=2；在BB 1上取F 使BF=2；连接C 1E ，EF ，C 1F ，则过C 1EF 的截面将几何体分成两部分，其中一部分是棱柱ABC —EFC 1，其棱长为2；截去的部分是一个四棱锥C1—EA1B1F.219。
空间几何体结构(教案)
（2）已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画 成平行于 x′轴或 y′轴的线段。 （3）平面图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不 变；平行于 y 轴的线段，长度为原来的一半。 小结：“横同，竖半”
1、由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物 体的影子，这种现象叫做投影。（我们把光线叫做投影线，把留 下物体影子的屏幕叫做投影面） 2、我们把光由一点向外散形成的投影，叫做中心投影。（中心投 影的投影线交于一点）
3、我们把在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影 （平行投影的投影线是平行的，在平行投影中，投影线正对着投 影面时，叫正投影，否则叫斜投影）
多面体 旋转体
棱柱 圆柱 柱体
棱锥 圆锥 椎体
棱台 圆台 台体
球 球体
一、棱柱：一个多面体有两个面互相平行，其余各面 都是四边形，每相邻两个四边形的公共边都互相平行。 二、圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余边旋转形成的 曲面所围成的几何体叫做圆柱。 （1）圆柱的轴——旋转轴. （2）圆柱的底面——垂直于轴的边旋转而成的圆面。 （3）圆柱的侧面——平行于轴的边旋转而成的曲面。 （4）圆柱侧面的母线——无论旋转到什么位置，不垂直于轴的 边。 三、棱锥：如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一 个公共顶点的三角形。 四、圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余 两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。 五、球：以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成 的几何体. 球的基本属性：球面可看作与定点（球心）的距离等于定长（半 径）的所有点的集合.
三视图原则： 1、长对正（主视图与俯视图）,高平齐（主视图与左视图）,宽相 等（左视图与俯视图）。 2、虚实:在画图时,看得见部分的轮廓通常画成实线,看不见俯视图
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高中数学必修二
第一章空间几何体
1.1空间几何体的结构
※空间几何体的结构特征：面（侧面、上底面、下底面）、棱、顶点、轴
一、棱柱
1、什么叫棱柱？
2、以底面多边形的边数作为分类的标准，棱柱可以分为、、，底面是三
角形的棱柱叫
3、棱柱如何表示？如上图中的棱柱应该如何表示？
4、棱柱有哪些几何特征？
（1）
（2）
（3）
（4）
二、棱锥
1、什么叫棱锥？
2、分类：以底面多边形的边数作为分类的标准，分为、、。
3、棱锥如何表示？如上图棱锥应该如何表示？
4、棱锥有什么几何特征？
（1）
（2）
三、棱台
1、什么叫棱台？
2、分类：以底面多边形的边数作为分类的标准，分为、、等
3、棱台如何表示？如上图棱台应该如何表示？
4、棱台有什么几何特征？
（1）
（2）
（3）
四、圆柱
1、什么叫圆柱？上图圆柱应该如何表示？
2、圆柱有什么几何特征：（1）
（2）
（3）
（4）
五、圆锥
1、什么叫圆锥？
2、圆锥有什么几何特征？
（1）
（2）
（3）
六、圆台
1、什么叫圆台？
2、圆台有什么几何特征？
（1）
（2）
（3）
七、球体
1、什么叫球体？
2、球体有什么几何特征？
3、什么是球心？
基础练习：
完成书本8-10页习题A组和B组。
1.2空间几何体的三视图和直观图
一、什么是中心投影与平行投影？
二、三视图指的是：
正视图是从哪往哪看？
侧视图是从哪往哪看？
俯视图是从哪往哪看？
三、画三视图的原则是什么？
四、直观图：斜二测画法
斜二测画法的详细步骤是什么？
（1）
（2）
（3
基础练习：
1、用斜二测画法画水平方置的正六边形的直观图。
2、用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm,3cm,2cm的长方体ABCD-A’B’C’D的直观图。
3、画出下列特体表示的几何体的三视图（尺寸不作严格要求）
4．如图，已知几何体的三视图，想象对应的几何体的结构特征，并画出它的直观图。
5、
1.3空间几何体的表面积与体积 一、几何体的表面积应该如何求？
几何体各个面的面积的和。
不看书，尽量自己推算出公式。
二、特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'
h 为斜高，l 为母线）
=直棱柱侧面积S
=
圆柱侧S
=
正棱锥侧面积S
=
圆锥侧面积S
=正棱台侧面积S
=圆台侧面积S
=
圆柱表S
=圆锥表S
=
圆台表S
三、柱体、锥体、台体的体积公式
V 柱= V 圆柱= =
V 锥= V 圆锥= V 台=
V 圆台= = 四、 球体的表面积和体积公式：
V 球= ； S 球面=
基础练习：
一、已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面体S-ABC(图1.3-2)，求它的表面积。
二、如图1.3-6，一个圆台形花盆盆口直径为20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm，为了美化花盆的外观，需要涂油漆，已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少油漆（л取3.14,结果精确到1毫升,可用计算器）?
三、有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8g/cm3）六角螺帽（如图所示）共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12mm,内孔直径为10mm,高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（л取3.14, 可用计算器）？
四、右图是一种机器零件，零件下面是六棱柱（底面是正六边形，侧面是全等的矩形）形，上面是圆柱（尺寸如图，单位：mm）形，电镀这种零件需要用锌，已知每平方米用锌0.11kg,问电镀10000个零件需锌多少千克（结果精确到0.01kg）?
五、一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是a cm，求球的体积。
六、一个球的体积是100 cm3, 试计算它的表面积（л取3.14,结果精确到1cm2,可用计算器）.
七、如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比。
八、我国铁路路基是用碎石铺设的（如图），北京到上海的铁路长度约1320km，并估计所用碎石方数。
九、如图，圆柱内有一个三棱体，三棱体的底面在圆柱底面内，并且底面是正三角形，如果圆柱的体积是V，底面直径与母线长相等，那么三棱柱的体积是多少？
十、一个红色的棱长是4cm的立方体，将其适当分割成棱长为1cm的小正方体，问：（1）共得到多少个棱长为1cm的小正方体？
（2）三面涂色的小正方体有多少个？表面积之和为多少？
（3）二面涂色的小正方体有多少个？表面积之和为多少？
（4）一面涂色的小正方体有多少个？表面积之和为多少？
（5）六面涂色的小正方体有多少个？表面积之和为多少？。