中考数学几何证明压轴题

中考专题训练

1、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan ∠ADC=2.

(1) 求证：DC=BC;

(2) E 是梯形一点，F 是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC ，DE=BF ，试判断△ECF 的形状，并

证明你的结论；

(3) 在（2）的条件下，当BE ：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin ∠BFE 的值.

2、已知：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ．

（1）求证：△ADE ≌△CBF ；

（2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论．

3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转．

（1）如图13－2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，

FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；

（2）若三角尺GEF 旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线

相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

4、如图，已知⊙O 的直径AB 垂直于弦CD 于E ，连结AD 、BD 、OC 、OD ，且OD ＝5。 （1）若sin ∠BAD =

3

5

，求CD 的长； （2）若∠ADO ：∠EDO ＝4：1，求扇形OAC （阴影部分）的面积（结果保留π）。

图13－2

图13－3

图13－1 A ( B ( E )

5、如图，已知：C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，CH ⊥AB 于点H ，直线AC 与过B 点的切线相交于点D ，E 为CH 中点，连接AE 并延长交BD 于点F ，直线CF 交直线AB 于点G.

（1）求证：点F 是BD 中点； （2）求证：CG 是⊙O 的切线； （3）若FB=FE=2，求⊙O 的半径．

6、如图，已知O 为原点，点A 的坐标为（4，3）， ⊙A 的半径为2．过A 作直线l 平行于x 轴，点P 在直线l 上运动． （１）当点P 在⊙O 上时，请你直接写出它的坐标；

（２）设点P 的横坐标为12，试判断直线OP 与⊙A 的位置关系，并说明理由.

7、如图，延长⊙O 的半径OA 到B ，使OA=AB ，

DE 是圆的一条切线，E 是切点，过点B 作DE 的垂线， 垂足为点C .

求证：∠ACB=3

1

∠OAC .

8、如图１，一架长4米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON 上，梯子与地面的倾斜角α为

60．

⑴求AO 与BO 的长；

⑵若梯子顶端A 沿NO 下滑，同时底端B 沿OM 向右滑行.

①如图2，设A 点下滑到C 点，B 点向右滑行到D 点，并且AC:BD=2:3，试计算梯子顶

C A

B

D

O

E

端A 沿NO 下滑多少米；

②如图３，当A 点下滑到A ’点，B 点向右滑行到B ’点时，梯子AB 的中点P 也随之运动到P ’点．若∠POP ’＝

15，试求AA ’的长． [解析]

⑴AOB Rt ?中,∠O=90,∠α=

60 ∴,∠OAB=

30，又ＡＢ＝4米，

中考数学经典几何证明题（一）

1.（1）如图1所示，在四边形ABCD 中，AC =BD ，AC 与

BD 相交于点O ，E F 、分别是AD BC 、的中点，联结EF ，

分别交AC 、BD 于点M N 、，试判断OMN △的形状，并加以证明；

（2）如图2，在四边形ABCD 中，若AB CD =，E F 、分别是AD BC 、的中点，联结FE 并延长，分别与BA CD 、的延长线交于点M N 、，请在图2中画图并观察，图中是否有相等的角，若有，请直接写出结论：；

（3）如图3，在ABC △中，AC AB >，点D 在AC 上，AB CD =，E F 、分别是

AD BC 、的中点，联结FE 并延长，与BA 的延长线交于点M ，若45FEC ∠=?，判

断点M 与以AD 为直径的圆的位置关系，并简要说明理由．

图 1 图2 图3

E

D

F E

D

A

A

B

A

C

D E

F

M

N

O

B

G

A

F

D

E

C

H

2．（1）如图1，已知矩形ABCD 中，点E 是BC 上的一动点，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥A C

于点G ，CH ⊥BD 于点H ，试证明CH=EF+EG;

图1

D

(2)若点E 在ＢＣ的延长线上，如图2，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥A C 的延长线于点G ，CH ⊥BD 于点H ，则EF 、EG 、ＣH 三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； (3)如图3，BD 是正方形ABCD 的对角线,L 在BD 上，且BL=BC, 连结CL ，点E 是CL 上任一

点, EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥BC 于点G ，猜想EF 、EG 、BD 之间具…有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； (4)观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有EF 、EG 、

ＣH 这样的线段，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论.

3. 如图，△ABC 是等边三角形，F 是AC 的中点，D 在线段BC 上，连接DF ，以DF 为边在DF 的右侧作等边△DFE ，ED 的延长线交AB 于H ，连接EC ，则以下结论：①∠AHE+∠AFD=180°；

②AF=

21BC ；③当D 在线段BC 上（不与B ，C 重合）运动，其他条件不变时BD

BH 是定值；④当D 在线段BC 上（不与B ，C 重合）运动，其他条件不变时DC

EC BC 21

是定值；

（1）其中正确的是-------------------； （2）对于（1）中的结论加以说明；

4. 在ABC △中，AC=BC ，90ACB ∠=?，点D 为AC 的中点．

（1）如图1，E 为线段DC 上任意一点，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DF ，连结

CF ，过点F 作FH FC ⊥，交直线AB 于点H ．判断FH 与FC 的数量关系并加以证明． （2）如图2，若E 为线段DC 的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中

得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．

5. 如图12，在△ABC 中，D 为BC 的中点，点E 、F 分别在边AC 、AB 上，并且∠ABE =∠ACF ，BE 、CF 交于点O ．过点O 作OP ⊥AC ，OQ ⊥AB ，P 、Q 为垂足．求证：DP=DQ ．

6. 如图。，BD 是△ABC 的角平分线，CE 是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD ，AG ⊥CE ，垂足分别为F 、G 。

探究：线段FG 的长与△ABC 三边的关系，并加以证明。

说明：⑴如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写3步)；⑵在你经历说明⑴的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。

注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得7分。 ①可画出将△ADF 沿BD 折叠后的图形； ②将CE 变为△ABC 的角平分线。(如图2)

附加题：探究BD 、CE 满足什么条件时，线段FG 的长与△ABC 的周长存在一定的数量关系，并给出证明。

H F

图2图1H

F

E B

C D

A

E D

B

C

A

7. 在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB．

(1)如图①，当∠DAB＝120°，∠B＝∠D＝90°时，求证：AB＋AD＝AC．

(2)如图②，当∠DAB＝120°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?

写出你的猜想，并给予证明．

(3)如图③，当∠DAB＝90°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想，并给予证明．

8. 设点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，F是BC边上一点，线段DE和AF相交于点P，

点Q在线段DE上，且AQ∥PC．

(1)证明：PC＝2AQ．

(2)当点F为BC的中点时，试比较△PFC和梯形APCQ面积的大小关系，并对你的结论加以证明．

9. 两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放，其中∠ACB =∠DCE =90°，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点．

（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为_______和位置关系为______；

（2）如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；

（2）如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明.

D

E

C

H

F

G

D

E

C

H

F

G

D

E

C

H

F

G

10. 已知△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝90°，点D为BC上一点，把一个足够大的直角三角

板的直角顶点放在D处．

(1)如图①，若BD＝CD，将三角板绕点D逆时针旋转，两条直角边分别交AB、AC于点E、

点F，求出重叠部分AEDF的面积(直接写出结果)．

(2)如图②，若BD＝CD，将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AB于点E、另一

条直角边交AB的延长线于点F，设AE＝x，重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值围．

(3)若BD＝2CD，将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AC于点F、另一条直角

边交射线AB于点E．设CF＝x(x＞1)，重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值围．