初二数学菱形的判定作业练习题(含答案)
《作业推荐》人教版八年级数学下册同步练习：18.2.2菱形的判定
《作业推荐》02-菱形的判定一、单选题1.下列说法中，正确的是（ ）A.有两边相等的平行四边形是菱形B.两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形C.两条对角线相等且互相平分的四边形是菱形D.四个角相等的四边形是菱形【答案】B【解析】【分析】利用菱形的判定定理及性质即可求解．【详解】解：A. 有两边相等的平行四边形不是菱形，此选项错误；B. 两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，此选项正确；C. 两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形，此选项错误；D. 四个角相等的四边形是矩形，此选项错误．故选：B ．【点睛】本题考查的知识点是菱形的判定定理、平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质，掌握菱形的判定定理是解此题的关键．2.顺次连结一四边形各边的中点，若所得的四边形是一个菱形，则原四边形一定是（ ）． A.矩形B.对角线相互垂直的四边形C.平行四边形D.对角线相等的四边形【答案】D【解析】【分析】先画出图形，根据三角形的中位线定理可得出四边形EFGH 为平行四边形，要使四边形EFGH 为菱形，则需要一组邻边相等，据此可得到答案．【详解】解：如图，∵E ，F ，G ，H 分别是边AD ，AB ，BC ，CD 的中点，∴EH=12AC ，EH ∥AC ，FG=12AC ，FG ∥AC ，EF=12BD ， ∴EH ∥FG ，EH=FG ，∴四边形EFGH 是平行四边形，假设AC=BD ，∵EH=12AC ，EF=12BD ， 则EF=EH ，∴平行四边形EFGH 是菱形，即具备AC=BD 可推出四边形EFGH 是菱形，故选：D ．【点睛】本题主要考查菱形的判定，三角形的中位线定理等知识点，灵活运用性质进行推理是解此题的关键．3.如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，点E ，F 分别在线段AD 及其延长线上，DE ＝DF ．在下列条件中，使四边形BECF 是菱形的是（ ）A.EB⊥ECB.AB⊥ACC.AB＝ACD.BF∥CE【答案】C【解析】【分析】首先证明四边形BECF是平行四边形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形，即可判断．【详解】解：∵BD＝DC，DE＝DF，∴四边形BECF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），要使得四边形BECF是菱形，对角线必须垂直，只有AB＝AC时，∵BD＝CD，∴AD⊥BC，∴此时四边形BECF是菱形，故选：C．【点睛】本题主要考查了菱形的判定定理，熟练掌握对角线相互垂直的平行四边形是矩形是解题的关键，再解题的过程中还需要掌握平行四边形的判定定理．4.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接BD，AD，下列条件不能判定四边形ABCD是菱形的是（）A.△ABC=△ACBB.AB=ADC.△BAC=△DACD.AC△BD【答案】A【解析】【分析】由平移的性质得出AB平行且等于CD，得出四边形ABCD为平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，故添加条件AB=BC即可．【详解】解：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴AB平行且等于CD，∴四边形ABCD为平行四边形，∴当AB=AD时，四边形ABCD是菱形，故B正确，当∠BAC=∠DAC时，易证∠BAC=∠DAC=∠ACB，推出AB=BC，推出四边形ABCD是菱形，故C正确，当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形．故D正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了平移的性质、平行四边形的判定和菱形的判定，证得AB平行且等于CD是解题关键．5.已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的有（）△当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形；△当AC△BD时，四边形ABCD是菱形；△当△ABC＝90°时，四边形ABCD是菱形：△当AC＝BD时，四边形ABCD是菱形；A.3个B.4个C.1个D.2个【答案】D【解析】【分析】根据菱形的判定定理判断即可．【详解】解：△四边形ABCD是平行四边形，△△当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形；故符合题意；△当AC△BD时，四边形ABCD是菱形；故符合题意；△当△ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形；故不符合题意；△当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形；故不符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了菱形的判定定理，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．6.如图，四边形ABCD是平行四边形，以点A为圆心、AB的长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心、大于1BF的2长为半径画弧，两弧交于点M，作射线AM交BC于点E，连接EF．下列结论中不一定成立的是（）A.BE＝EFB.EF∥CDC.AE平分∠BEFD.AB＝AE【答案】D【解析】【分析】首先证明四边形ABEF是菱形，利用菱形的性质对各个选项进行判断即可．【详解】由尺规作图可知：AF＝AB，AE平分△BAD，△△BAE＝△DAE，△四边形ABCD是平行四边形，△AD△BC，△△DAE＝△BEA．△△BAE＝△BEA，△AB＝BE，△AF＝AB，△AF＝BE，△AF△BE，△四边形ABEF是平行四边形，△AF＝AB，△四边形ABEF是菱形，△AE平分△BEF，BE＝EF，EF△AB，故选项A、C正确，△CD△AB，△EF△CD，故选项B正确；故选D．【点睛】本题考查尺规作图，菱形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．二、填空题7.如图，在▱ABCD中，AB=10，AC=12，当BD=________时，四边形ABCD是菱形．【答案】16【解析】【分析】当四边形ABCD为菱形时，则有AC⊥BD，设AC、BD交于点O，结合平行四边形的性质可得AO＝6，AB＝10，利用勾股定理可求得BO，则可求得BD的长．【详解】解：如图，设AC、BD交于点O，当四边形ABCD为菱形时，则AC⊥BD，∵四边形ABCD为平行四边形，AC＝6，且AB＝10，∴AO＝12∴在Rt△AOB中，BO=√AB2−AO2=√102−62=8，∴BD＝2BO＝16，故答案为：16．【点睛】本题主要考查菱形的性质，掌握菱形的对角线互相垂直且平分是解题的关键．8.已知，如图，△ABC中，E为AB的中点，DC∥AB，且DC＝1AB，请对△ABC添加一个条件：_____，使得四边形BCDE成为2菱形．【答案】AB＝2BC．【解析】【分析】先由已知条件得出CD=BE，证出四边形BCDE是平行四边形，再证出BE=BC，根据邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形BCDE是菱形．【详解】解：添加一个条件：AB＝2BC，可使得四边形BCDE成为菱形．理由如下：AB，E为AB的中点，∵DC＝12∴CD＝BE＝AE．又∵DC∥AB，∴四边形BCDE是平行四边形，∵AB＝2BC，∴BE＝BC，∴四边形BCDE是菱形．故答案为：AB＝2BC．【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定；熟记平行四边形和菱形的判定方法是解决问题的关键．9.如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求．连结AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是__________．【答案】菱形【解析】【分析】根据垂直平分线的作法得出四边形ADBC的四边相等，最后根据菱形的判定进行求解．【详解】∵分别以A和B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，两弧相交于C、D，∴AC=AD=BD=BC，∴四边形ADBC一定是菱形，故答案为：菱形．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的作法，菱形的判定，由线段垂直平分线的作法得出四边形四边关系是解决问题的关键．10.如图，有下列几组条件：①AC⊥BD，OC＝OA；②∠1＝∠2＝∠3＝∠4；③OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD；④AB＝BC＝CD，AC⊥BD.其中一定能判定四边形ABCD为菱形的有_________________．(填序号)【答案】②③④【解析】【分析】根据菱形的判定方法有三种：①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形分别判定即可，【详解】证明：①当AC⊥BD、OC=OA，不能确定BO是否等于DO，故不能判定四边形ABCD为菱形，故此选项错误；②∵∠1=∠2=∠3=∠4∴AB=AD，BC=CD，在△ABD和△CBD中，∵{∠1=∠2 BD=BD ∠3=∠4，∴△ABD≌△CBD，∴AB=BC，AD=CD，∴AB=BC=AD=CD；故四边形ABCD为菱形，故此选项正确；③∵OA=OC、OB=OD，∴四边形ABCD为平行四边形，又∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD为菱形，故此选项正确；④∵AB=BC=CD，AC⊥BD，∴在Rt△BOC和Rt△DOC中，{CO=COBC=CD，∴Rt△BOC≌Rt△DOC（HL），∴BO=DO，∴在Rt△ABO和Rt△ADO中，{AO=AO∠AOB=∠AODBO=DO，∴△ABO≌△ADO（SAS），∴AB=AD，∴AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD为菱形，故此选项正确；故答案为②③④．【点睛】此题主要考查了菱形的判定和全等三角形的判定等知识，熟练应用菱形的判定方法是解决问题的关键．三、解答题11.如图，AD是△ABC的一条角平分线，DE∥AC交于点E，DF∥AC交于AC于点F，求证：四边形AEDF是菱形．【答案】见解析.【解析】【分析】先由题意得到AEDF是平行四边形，再由题意结合菱形的判定即可得到答案.【详解】连接EF，作图如下：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形，△2=△3．∵AD平分∠BAC∴∠1＝∠2，又∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝DE．∴▱AEDF为菱形．【点睛】本题考查平行四边形的判定、菱形的判定，解答本题的关键是掌握菱形的判定解答．12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，过点B、点C分别作BE∥CD，CE∥BD.（1）求证：四边形BECD是菱形；（2）若∠A=60°，AC=√3，求菱形BECD的面积.【答案】（1）见解析；（2）面积=3√32【解析】【分析】（1）先证明四边形BECD是平行四边形，再根据直角三角形中线的性质可得CD=BD，再根据菱形的判定即可求解；（2）根据图形可得菱形BECD的面积=直角三角形ACB的面积，根据三角函数可求BC，根据直角三角形面积公式求解即可．【详解】（1）证明：∵BE∥CD，CE∥BD，∴四边形BECD是平行四边形，∵Rt△ABC中点D是AB中点，∴CD=BD，∴四边形BECD是菱形；（2）解：∵Rt△ABC中，∠A=60°，AC=√3，∴BC=√3AC=3，，∴直角三角形ACB的面积为3×√3÷2=3√32∴菱形BECD 的面积是3√32. 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力． 13.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，分别连接BE 、DF 、BD ．（1）求证：△AEB ≌△CFD ；（2）当△ABD 满足什么条件时，四边形EBFD 是菱形，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）∠ABD=90°，见解析 【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和已知条件证明即可；（2）由菱形的性质逆推：BE=DE ，因为∠EBD+∠EDB+∠A+∠ABE=180°，所以∠ABD=∠ABE+∠EBD=12×180°=90°，从而可得答案．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A=∠C ，AD=BC ，AB=CD ．∵点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，∴AE=12AD ，FC=12BC ． ∴AE=CF ．在△AEB 与△CFD 中，{AE ＝CF∠A ＝∠C AB ＝CD，∴△AEB ≌△CFD （SAS ）．（2）解：∵∠ABD =90°, E 为AD 的中点，∴BE =DE =AE,∵▱EBFD,∴ 四边形EBFD 是菱形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质以及菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，题目的综合性较强，难度中等．14.如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的垂直平分线MN 与AD 相交于点M ，与BC 相交于点N ，连接BM ，DN ．（1）求证：四边形BMDN 是菱形；（2）若AB ＝4，AD ＝8，求菱形BMDN 的周长和对角线MN 的长．【答案】（1）见解析；（2）周长20，MN=2√5【解析】【分析】（1）根据矩形性质求出AD∥BC，推出∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，证△DMO≌△BNO，推出OM＝ON，得出平行四边形BMDN，推出菱形BMDN；（2）根据菱形性质求出DM＝BM，在Rt△AMB中，根据勾股定理得出BM2＝AM2+AB2，求出MD＝5，由勾股定理求出BD的长，得出OB的长，再由勾股定理求出OM，即可得出MN的长．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝90°，OB＝OD，∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO．∵MN是BD的垂直平分线∴OD＝OB，在△DMO和△BNO中，{∠MDO=∠NBO ∠DMO=∠BNOOD=OB，∴△DMO≌△BNO（AAS），∴OM＝ON．∵OB＝OD，∴四边形BMDN是平行四边形．∵MN⊥BD，∴四边形BMDN是菱形．（2）解：设MD＝MB＝x，则AM＝8﹣x．在Rt△AMB中，由勾股定理得：x2＝（8﹣x）2+42，解得：x＝5．即MB＝5，∴菱形BMDN的周长为5×4＝20．在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD＝√AB 2+AD2＝√42+82＝4√5，∴BO=2√5．在Rt△BOM中，由勾股定理得：OM＝√MB2−OB2＝√52−(2√5)2＝√5，由（1）得：OM＝ON，∴MN=2√5．【点睛】本题考查了矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键．。
2020-2021学年八年级下册冀教版数学22.5.2《菱形的判定》课后练习含答案
22.5.2《菱形的判定》课后练习一、单选题1．下列命题中，正确的是（ ）．A ．两邻边相等的四边形是菱形B ．一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C ．对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D ．对角线垂直的四边形是菱形2．已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中正确的有（ ）①当AB ＝BC 时，四边形ABCD 是菱形；①当AC ①BD 时，四边形ABCD 是菱形；①当①ABC ＝90°时，四边形ABCD 是菱形：①当AC ＝BD 时，四边形ABCD 是菱形；A ．3个B ．4个C ．1个D ．2个3．如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为（ ）①AC ①BD ；①①BAD ＝90°；①AB ＝BC ；①AC ＝BD ．A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①① 4．如图，AC 为矩形ABCD 的对角线，将边AB 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点M 处，将边CD 沿CF 折叠，使点D 落在AC 上的点N 处，易证四边形AECF 是平行四边形．当①BAE 为（ ）度时，四边形AECF 是菱形．A ．30°B ．40°C ．45°D ．50°5．如图，四边形ABCD 沿直线l 对折后重合，如果//AD BC ，则结论①AB //CD ；①AB =CD ；①AB BC ⊥；①AO OC =中正确的是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，在ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O ，从下列条件中添加一个条件，仍不能判定ABCD 是菱形的是（ ）A ．AC BD ⊥B ．AB BC = C ．12∠=∠D ．AB BD = 7．如图，在给定的一张平行四边形纸片上按如下操作：连结AC ，作AC 的垂直平分线MN 分别交AD 、AC 、BC 于M 、O 、N ，连结AN ，CM ，则四边形ANCM 是（ ）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．无法判断 8．如图，在①ABCD 中，用直尺和圆规作①BAD 的平分线AG 交BC 于点E ，以A 为圆心，AB 为半径的弧交AD 于点F ，连接EF ．若BF ＝6，AB ＝5，则四边形ABEF 面积是（ ）A ．12B ．24C ．36D ．489．如图，ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，下列条件：（1）190DBC ∠+∠=︒；（2）OA OB =；（3）12∠=∠，其中能判定ABCD 是菱形的条件有（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个10．如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于12AB同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（）A．AB平分①CAD B．CD平分①ACB C．AB①CD D．AB=CD二、填空题11．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．请你添加一个适当的条件：______________，使四边形ABCD成为菱形．12．如图，将两张长为18，宽为6的矩形纸条交叉，可知重叠部分是一个__________形（图形形状），那么该图形周长的最大值与最小值的差等于__________．13．如图，①以点A为圆心2cm长为半径画弧分别交①MAN的两边AM、AN于点B、D；①以点B为圆心，AD长为半径画弧，再以点D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C；①分别连结BC、CD、AC．若①MAN＝60°，则①ACB的大小为_____．14．如图所示，BEAC ⊥于点D ，且AB BC =，BD ED =，若54ABC ∠=，则E ∠=___．15．如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，BD 为AC 的中线，过点C 作CE BD ⊥于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG BD =，连接BG ，DF ．若13AG =，6CF =，则四边形BDFG 的周长为______．16．如图，①ABC 中，①BAC ＝60°，①B ＝45°，AB ＝2，点D 是BC 上的一个动点，D 点关于AB ，AC 的对称点分别是E 和F ，四边形AEGF 是平行四边形，则四边形AEGF 的面积的最小值是__．17．如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90D ∠=︒，4=AD ，3BC =，分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 长为半径作弧，两弧交于点E ，射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O ，若点O 恰好是AC 的中点，则CD 的长为________．三、解答题18．如图，AE①BF，BD平分①ABC交AE于点D，点C在BF上且BC＝AB，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．=．连19．如图，在ABCD中，对角线AC平分BAD∠，点E、F在AC上，且CE AF接BE、BF、DE、DF．求证：四边形BEDF是菱形．20．如图，在Rt①ABC中，①BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面积．21．如图，四边形ABCD为矩形，O是对角线AC的中点，过点O的直线分别交边BC，AD于点E，F，连接AE，CF．（1）求证：①AOF①①COE；（2）当CE ＝5，AO ＝4，OF ＝3时，求证：四边形AFCE 是菱形．22．如图，在Rt ①ABC 中，①ACB =90゜，D 为AB 的中点，AE //CD ，CE //AB ，连接DE 交AC 于点O ．（1）证明：四边形ADCE 为菱形；（2）若①B =60゜，BC =6，求菱形ADCE 的高．23．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过B 点作//BF AC ，过C 点作//CF BD ，BF 与CF 相交于点F ．（1）求证：四边形BFCO 是菱形；（2）连接OF 、DF ，若2AB =，2tan 3OFD ∠=，求AC 的长．24．已知，如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点D 与点B 重合，点C 落在点C '的位置上，连接DF ．（1）求证：四边形BFDE 是菱形；（2）当160∠=︒，2AE =时，求矩形ABCD 的纸片的面积S ．25．如图，在①ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F 分别在BD 和DB 的延长线上，且DE ＝BF ，连接AE ，CF ．（1）求证：①ADE ①①CBF ；（2）连接AF ，CE ．当BD 平分①ABC 时，四边形AFCE 是什么特殊四边形？请说明理由．参考答案1．B解：两邻边相等的平行四边形是菱形，故选项A不符合题意；一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形，故选项B符合题意；对角线垂直且一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项C不符合题意；对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项D不符合题意；2．D解：①四边形ABCD是平行四边形，①①当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形；故符合题意；①当AC①BD时，四边形ABCD是菱形；故符合题意；①当①ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形；故不符合题意；①当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形；故不符合题意；3．A解：①①ABCD中，AC①BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定①ABCD 是菱形；故①正确；①①ABCD中，①BAD＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定①ABCD 是矩形，而不能判定①ABCD是菱形；故①错误；①①ABCD中，AB＝BC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定①ABCD是菱形；故①正确；D、①ABCD中，AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定①ABCD是矩形，而不能判定①ABCD是菱形；故①错误．4．A解：当①BAE＝30°时，四边形AECF是菱形，理由：由折叠可知，①BAE＝①CAE＝30°，①①B＝90°，①①ACE＝90°﹣30°﹣30°＝30°，即①CAE＝①ACE，①EA＝EC，①四边形AECF是平行四边形，①四边形AECF是菱形，5．C解：如图所示：①直线l是四边形ABCD的对称轴，①AB=AD，BC=DC，①1=①2，①3=①4，又①AD①BC，①①2=①3，①①1=①4，①AB①CD，故①正确；①四边形ABCD是菱形；①AB=CD，故①正确；①四边形ABCD是菱形；①AO=OC，故①正确．①当四边形ABCD是菱形时，直线l是四边形ABCD的对称轴，但是AB与BC不一定垂直，故①错误；6．D解：A、对角线垂直的平行四边形是菱形，正确，此选项不符合题意；B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，此选项不符合题意；C、①四边形ABCD是平行四边形，①AD①BC，①①1=①ACB，又①1=①2，①①2=①ACB，①AB=BC，①四边形ABCD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形），正确，此选项不符合题意；D 、AB=BD 不能判断平行四边形一定是菱形，符合题意， 7．B解：①四边形ABCD 是平行四边形，①AD①BC ，①①DAC=①ACN ，①MN 是AC 的垂直平分线，①AO=CO ，在①AOM 和①CON 中MAO NCOAO CO AOM CON∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩＝＝，①①AOM①①CON （ASA ），①MO=NO ，①四边形ANCM 是平行四边形，①AC①MN ，①四边形ANCM 是菱形，8．B解：记AE 与BF 相交于O 点，如图，由作法得AB ＝AF ＝10，AE 平分①BAD ，①①BAE ＝①DAE ，①四边形ABCD 为平行四边形，①AD ①BC ，①①DAE ＝①BEA ，①①BAE ＝①BEA ，①BA ＝BE ，①AF ＝BE ，①AF ①BE ，①四边形ABEF 为平行四边形，①AB ＝AF ，①四边形ABEF 为菱形，①OA＝OE，OB＝OF＝12BF＝3，AE①BF，在Rt①AOB中，OA4==，①AE＝2AO＝8，①四边形ABEF面积116824 22AE BF=⋅=⨯⨯=．9．C解：①四边形ABCD是平行四边形，①OA=OC，OB=OD，AD①BC，①①1=①BCO，（1）若①1+①DBC=90°时，则①BCO+①DBC=90°，①①BOC=90°，①AC①BD，①四边形ABCD是菱形；（1）能判定平行四边形ABCD是菱形；（2）若OA=OB，则AC=BD，①四边形ABCD是矩形；（2）不能判定平行四边形ABCD是菱形；（3）若①1=①2，则①2=①BCO，①AB=CB，①四边形ABCD是菱形；（3）能判定平行四边形ABCD是菱形；10．D解：由作图知AC=AD=BC=BD，①四边形ACBD是菱形，①AB平分①CAD、CD平分①ACB、AB①CD，不能判断AB=CD，11．AB=AD.解：添加AB=AD，①OA=OC，OB=OD，①四边形ABCD为平行四边形，①AB=AD，①四边形ABCD是菱形，12．菱形16证明：过点A作AE①BC于E，AF①CD于F，①两条纸条宽度相同（对边平行），①AB①CD，AD①BC，AE=AF，①四边形ABCD是平行四边形，①S①ABCD=BC•AE=CD•AF，又①AE=AF，①BC=CD，①四边形ABCD是菱形；当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为x，由勾股定理：x2=（18-x）2+62，得：x=10，即菱形的最大周长为10×4=40．当两张纸条如图所示放置时，即是正方形时取得最小值为：6×4=24．则图形周长的最大值与最小值的差=40-24=16；13．30°解：由题意可得：AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝2cm ，①四边形ABCD 是菱形，①BC①DA ，①CAB ＝①CAD ＝12①MAN ＝30°， ①①ACB ＝①CAD ＝30°，14．27°解：如下图，连接AE①BE①AC ，①①ADB=①BDC=90°①①ABD 和①CBD 是直角三角形在Rt①ABD 和Rt①CBD 中AB BC BD BD =⎧⎨=⎩①Rt①ABD①Rt①CBD①AD=DC①BD=DE①在四边形ABCE 中，对角线垂直且平分①四边形ABCE 是菱形①①ABC=54°①①ABD=①CED=27°15．20解：①AG①BD ，BD=FG ，①四边形BGFD 是平行四边形，①CF①BD ，①CF①AG ，又①点D 是AC 中点， ①BD=DF= 12AC ， ①四边形BGFD 是菱形，设GF=x ，则AF=13-x ，AC=2x ，在Rt①AFC 中，由勾股定理可得：()()2236132x x +-=解得：5x =即GF=5①四边形BDFG 的周长=4GF=20．16解：由对称的性质得：AE=AD=AF ，①四边形AEGF 是平行四边形，①四边形AEGF 是菱形，①①EAF=2①BAC=120°，当AD①BC 最小时，AD 的值最小，即AE 的值最小，即菱形AEGF 面积最小， ①①ABC=45°，AB=2，①四边形AEGF 的面积的最小值=212⨯=．17．解：①AO OC =，//AD BC ， ①OAF OCB ∠=∠，OFA OBC ∠=∠，①易证AOF ①COB △，①AF BC =，又①//AD BC ，①四边形AFCB 为平行四边形．①AO=CO ，连接AE ，CE ，则AE=CE ，①OE①AC ，①平行四边形AFCB 为菱形，①3AF FC BC ===，①1DF =，①CD ==18．证明见解析①AE ①BF ，①①ADB ＝①DBC ，①BD 平分①ABC ，①①DBC ＝①ABD ，①①ADB ＝①ABD ，①AB ＝AD ，又①AB ＝BC ，①AD ＝BC ，①AE ①BF ，即AD ①BC ，①四边形ABCD 为平行四边形，又①AB ＝AD ，①四边形ABCD 为菱形．19．证明见详解．证明：连结BD交AC于O，①对角线AC平分BAD∠，①①BAC=①DAC，在ABCD中，AB①DC，AB=DC，BC①AD，BC=AD，①①BAC=①DCA，①BCA=①DAC，①BC=BA，DC=DA，①平行四边形ABCD为菱形，①AC①BD，OA=OC，OB=OD，①CE AF=，①OA-AF=OC-CE，即OE=OF，①四边形BEDF为平行四边形，AC①BD，点E、F在AC上，①EF①BD，①平行四边形BEDF为菱形．20．（1）见解析；（2）S菱形ADCF＝96．（1）证明：①E是AD的中点，①AE＝DE，①AF∥BC，①①AFE＝①DBE，在①AEF和①DEB中，①AFE DBEAEF DEBAE DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①AEF①①DEB（AAS），①D是BC的中点，①AF＝DB＝DC，①四边形ADCF是平行四边形，①①BAC＝90°，D是BC的中点，①AD＝CD＝12 BC，①四边形ADCF是菱形；（2）解：设AF到CD的距离为h，①AF∥BC，AF＝BD＝CD，①BAC＝90°，①S菱形ADCF＝CD•h＝12BC•h＝S①ABC＝12AB•AC＝12×12×16＝96．21．（1）见解析；（2）见解析（1）证明：①四边形ABCD为矩形，①AD①BC，①①F AC＝①ECA，①AFE＝①CEF，①O是对角线AC的中点，①OA＝OC，①①AOF①①COE（AAS）；（2）由（1）知①AOF①①COE，①AF＝CE＝5，①AO＝4，OF＝3，①222345+=，即222OF OA AF+=，①①AOF＝90°，①三角形AOF是直角三角形，①AF＝CE，AF①CE，①四边形AFCE是平行四边形，①EF①AC，①平行四边形AFCE是菱形．22．（1）见解析；（2）（1）证明：①AE//CD，CE//AB，①四边形ADCE是平行四边形，①①ACB=90°，D为AB的中点，①CD=12AB=AD，①四边形ADCE为菱形；（2）解：过点D作DF①CE，垂足为点F，如图所示：DF即为菱形ADCE的高，①①B=60°，CD=BD，①①BCD是等边三角形，①①BDC=①BCD=60°，CD=BC=6，①CE//AB，①①DCE=①BDC=60°，①①CDF=30°，又①CD=BC=6，①CF=3，①在Rt①CDF中，DF23．（1）见解析；（2）解：（1）//BF AC ，//CF BD ，∴四边形OBFC 是平行四边形，矩形ABCD ， ∴11,,22AC BD BO BD CO AC ===OB OC ∴=， ∴四边形OBFC 是菱形．（2）连接FO 并延长交AD 于H ，交BC 于K ，菱形OBFC ，90BKO ∴∠=︒，矩形ABCD ，90DAB ABC ∴∠=∠=︒，OA OD =， ∴四边形ABKH 是矩形，90DHF ∴∠=︒，2HK AB ==，H ∴是AD 中点， O 是BD 中点，112OH AB ∴==， 1FK OK OH ∴===，3HF ∴=，2tan 3OFD =， 2HD AH ∴==，4BC AD ∴==，①AC =24．（1）证明见解析；（2）ABCD S =矩形 （1）证明：①四边形ABCD 是矩形， ①AD①BC ，①①1=①2，①EF 为折痕，①BF=DF ，BE=DE ，①BEF=①2，①①BEF=①1，①BE=BF ，①BF=DF=BE=DE ，①四边形BEDF 是菱形；（2）解：由（1）知①2=①BEF=①1=60°， ①①3=180°-60°-60°=60°，①AE=2，①A=90°，①①ABE=30°，①BE=2AE=4，由勾股定理得：= ①四边形ABCD 是矩形，沿EF 折叠B 和D 重合， ①DE=BE=4，①AD=BC=2+4=6，AB=CD=①矩形ABCD 的面积S=6⨯= 25．（1）见解析；（2）菱形，见解析解：（1）证明：①四边形ABCD 是平行四边形， ①AD ＝CB ，①ADC ＝①CBA ，①①ADE ＝①CBF ，在①ADE 和①CBF 中，14 AD CB ADE CBF DE BF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，①①ADE ①①CBF （SAS ）；（2）当BD 平分①ABC 时，四边形AFCE 是菱形， 理由：如图，①BD 平分①ABC ，①①ABD ＝①CBD ，①四边形ABCD 是平行四边形，①OA ＝OC ，OB ＝OD ，AD ①BC ，①①ADB ＝①CBD ，①①ABD ＝①ADB ，①AB ＝AD ，①平行四边形ABCD 是菱形，①AC ①BD ，①AC ①EF ，①DE ＝BF ，①OE ＝OF ，又①OA ＝OC ，①四边形AFCE 是平行四边形，①AC ①EF ，①四边形AFCE 是菱形．。
八年级数学下册《菱形的性质与判定》练习题及答案解析
八年级数学下册《菱形的性质与判定》练习题及答案解析1．若菱形的两条对角线长分别是6和8，则它的周长为（）A．20B．24C．40D．482．菱形的面积为12cm2，一条对角线是6cm，那么菱形的另一条对角线长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm3．如图，在菱形ABCD中，AC＝AB，则∠ABC＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°4．在下列条件中，能够判定四边形是菱形的是（）A．两条对角线相等B．两条对角线相等且互相垂直C．两条对角线互相垂直D．两条对角线互相垂直平分5．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（）A．AB＝CD B．AD＝BC C．AC＝BD D．AB＝BC6．如图，要使平行四边形ABCD变为菱形，需要添加的条件是（）A．AC＝BD B．AD＝BC C．AB＝CD D．AB＝BC7．从下列条件中选择一个条件添加后，还不能判定平行四边形ABCD是菱形，则这个条件是（）A．AC⊥BD B．AC＝BD C．AB＝BC D．AD＝CD8．菱形的周长为52，一条对角线长为10，则此菱形的面积为．9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝24，BD＝10，DE⊥BC，垂足为点E，则DE＝．10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB于点H，则OH 的长为．11．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且∠BAE＝∠DAF．求证：AE＝AF．12．如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件使平行四边形ABCD是菱形．13．要使▱ABCD是菱形，你添加的条件是．（写出一种即可）14．如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件，使四边形ABCD是菱形．（只需添加一个即可）15．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD．（1）求∠AOD的度数；（2）求证：四边形ABCD是菱形．16．已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB．求证：四边形ABFE是菱形．17．如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，连接DE、BF、BD．（1）求证：四边形DEBF为平行四边形；（2）当∠ADB＝90°时，求证：四边形DEBF是菱形．18．如图，已知平行四边形ABCD，点E在AC的延长线上，连接BE、DE，过点D作DF∥EB交CA的延长线于点F，连接FB（1）求证：△DAF≌△BCE；（2）如果四边形ABCD是菱形，求证：四边形BEDF是菱形．19．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，CD＝6，求菱形BEDF的边长．20．如图，在菱形ABCD中∠ABC＝60°，E为对角线AC上一点，F是BC延长线上一点，连接BE，DE，AF，DF，∠EDF＝60°．（1）求证：AE＝CF；（2）若点G为BE的中点，连接AG，求证：AF＝2AG．21．如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O．已知BC＝2OC，BF＝EF，G为CE中点，连接FG，AG（1）若CE＝8，∠ACE＝∠ACB，求AB；（2）求证：FG＝AG．参考答案与解析1．解：如图所示，根据题意得AO＝×8＝4，BO＝×6＝3，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，∴△AOB是直角三角形，∴AB＝＝＝＝5，∴此菱形的周长为：5×4＝20．故选：A．2．解：设另一条对角线长为xcm，则×6•x＝12，解得x＝4．故选：B．3．解：在菱形ABCD中，AB＝BC，∵AC＝AB，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°．故选：C．4．解：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选D．5．解：需要添加的条件是AB＝BC；理由如下：∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；故选：D．6．解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，那么可添加的条件是：AB＝BC．故选：D．7．解：A、对角线垂直的平行四边形是菱形．不符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形．符合题意；C、邻边相等的平行四边形是菱形．不符合题意；D、邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意；故选：B．8．解：如图所示∵菱形的周长为52，即4AB＝52，∴AB＝13，∵AC＝10，∴AO＝AC＝5，∵AC⊥BD，在Rt△AOB中，由勾股定理得BO＝12，∴BD＝2BO＝24，∴菱形的面积＝×10×24＝120．故答案为：120．9．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AC⊥BD，AO＝OC，DO＝BO，∵AC＝24，BD＝10，∴AO＝12，OD＝5，由勾股定理得：AD＝13，∴BC＝13，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝BC×DE，∴×24×10＝13×DE，解得：DE＝，故答案为：．10．解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，∴BO＝3，AO＝4，AO⊥BO，∴AB＝＝＝5．∵OH⊥AB，∴AO•BO＝AB•OH，∴OH＝，故答案为：．11．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝AD，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（ASA），∴AE＝AF．12．解：当AB＝BC或AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形．故答案为AB＝BC或AC⊥BD．13．解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝AB，∴平行四边形ABCD是菱形，故答案为：AD＝AB（答案不唯一）．14．解：OA＝OC，∵OB＝OD，OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故答案为：OA＝OC．15．解：（1）∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，∵AE∥BF，∴∠DAB+∠CBA，＝180°，∴∠BAC+∠ABD＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°，∴∠AOD＝90°；（2）证明：∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，∴AB＝BC，AB＝AD∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形．16．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，又∵EF∥AB，∴四边形ABFE是平行四边形，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠FBE，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBF，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∴平行四边形ABFE是菱形．17．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵E、F分别为边AB、CD的中点，∴EB＝DF，EB∥DF，∴四边形DEBF为平行四边形；（2）证明：∵∠ADB＝90°，E为边AB的中点，∴DE＝AB＝EB，∵四边形DEBF为平行四边形，∴四边形DEBF为菱形．18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥CB，∴∠DAC＝∠BCA，∴∠DAF＝∠BCE，∵DF∥EB，∴∠DF A＝∠BEC，在△DAF和△BCE中，，∴△DAF≌△BCE（AAS）；（2）证明：连接BD，如图所示：由（1）得：△DAF≌△BCE，∴DF＝BE，又∵DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．19．证明：（1）∵DE∥BC，DF∥AB，∴四边形DEBF是平行四边形，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBF，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC，∴∠ABD＝∠EDB，∴DE＝BE，又∵四边形BEDF为平行四边形，∴四边形BEDF是菱形；（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，∵DF∥AB，∴∠ABC＝∠DFC＝60°，∵DH⊥BC，∴∠FDH＝30°，∴FH＝DF，DH＝FH＝DF，∵∠C＝45°，DH⊥BC，∴∠C＝∠HDC＝45°，∴DC＝DH＝DF＝6，∴DF＝2，∴菱形BEDF的边长为2．20．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝BC＝AD＝CD，∠ADC＝∠ABC＝60°，∴△ADC是等边三角形，∴AD＝AC＝AB＝BC，∴△ACB是等边三角形，∴∠ACB＝∠ACD＝60°，∴∠ACF＝120°，∵∠ADC＝∠EDF＝60°，∴∠ADE＝∠CDF，∵∠EDF+∠ECF+∠DEC+∠DFC＝360°，∴∠DEC+∠DFC＝180°，∵∠DEC+∠AED＝180°，∴∠AED＝∠DFC，在△ADE和△CDF中，∴△ADE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF；（2）如图，过点B作BH∥AC，交AG的延长线于点H，∵BH∥AC，∴∠H＝∠GAE，∠ABH+∠BAC＝180°，∴∠ABH＝120°＝∠ACF，∵点G为BE的中点，∴BG＝GE，在△AGE和△HGB中，，∴△AGE≌△HGB（AAS），∴AE＝BH＝CF，AG＝GH＝AH，在△ABH和△ACF中，，∴△ABH≌△ACF（SAS），∴AF＝AH，∴AF＝2AG．21．（1）解：延长EF与BC交于点K∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，∵BC＝2OC∠OBC＝30°，∴∠EBF＝30°，∴∠BEF＝30°，∠ABC＝60°，∠EKB＝90°，∠ACB＝60°∠ACE＝∠ACB＝×60°＝15°，∠ECK＝45°，在Rt△CKE中，EK＝CK＝CE＝，在Rt△EKB中，BK＝∴BC＝，即AB＝；（2）证明：延长FG至点H，使GH＝FG，连接CH，AH．∵G为CE中点，∴EG＝GC，在△EFG与△CHG中，，△EFG≌△CHG（SAS），∴EF＝CH，∠CHG＝∠EFG，∴CH＝BF，CH∥EF，由（1）可知∠EBC＝60°，∠EKB＝90°，∠BCD＝120°，∴∠HCB＝90°，∠ACH＝∠BCD﹣∠HCB＝120°﹣90°＝30°，∴∠ABF＝∠ACH，在△AFB与△AHC中，△AFB≌△AHC（SAS），∴AF＝AH，∠BAF＝∠CAH∵FG＝GH，∴AG⊥FG，∴∠F AG＝∠HAG∵∠BAC＝∠BAF+∠F AC＝60°，∴∠CAH+∠F AC＝60°，即∠F AH＝60°，∴∠F AG＝∠HAG＝30°，∴。
2020-2021学年湘教版数学八年级下册2.6.2《菱形的判定》同步练习(含答案)
湘教版数学八年级下册2.6.2《菱形的判定》同步练习一、选择题1.如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是( )A．AC⊥BD B．AB=AD C．AC=BD D．∠ABD=∠CBD2.如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（）①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．A.①③B.②③C.③④D.①②③3.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形,则四边形ABCD一定是（）A.菱形B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形4.如图所示,把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个钝角为120°的菱形,剪口与第二次折痕所成角的度数应为( )A.15°或30°B.30°或45°C.45°或60°D.30°或60°5.已知▱ABCD,给出下列条件:①AC=BD;②∠BAD=90°;③AB=BC;④AC⊥BD,添加其中之一能使▱ABCD成为菱形的条件是( )A.①③B.②③C.③④D.①②③6.用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是( )A. B. C. D.7.如图,将等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置,连接AD、BD,则下列结论:①AD=BC;②BD、AC互相平分;③四边形ACED是菱形.其中正确的个数是( )A.0B.1C.2D.38.平面直角坐标系中,四边形ABCD的顶点坐标分别是A(-3,0),B(0,2),C(3,0),D(0,-2),则四边形ABCD是( )A.矩形B.菱形C.正方形D.梯形二、填空题9.如图,将菱形ABCD折叠,使点A恰好落在菱形的对角线交点O处,折痕为EF.若菱形的边长为2cm,∠BAD=120°,则EF的长为 .10.如图,两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动.要使四边形CBFE为菱形,还需添加的一个条件是________(写出一个即可).11.如图，如果要使平行四边形ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是_________.12.如图，在▱ABCD中，AB=5，AC=6，当BD=____时，四边形ABCD是菱形.三、解答题13.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD.求证：四边形OCED是菱形.14.如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE 分别交于点O、点E，连接EC.（1）求证：AD=EC；（2）当∠BAC=90°时，求证：四边形ADCE是菱形.15.如图,△ABC≌△ABD,点E在边AB上,CE∥BD,连接DE.求证：（1）∠CEB=∠CBE；（2）四边形BCED是菱形．16.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.(1)求证：△AEF≌△DEB；(2)求证：四边形ADCF是菱形；(3)若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积.参考答案1.答案为：C.2.A3.答案为：D；4.B.5.C6.答案为：C.7.D8.B9.答案为：(cm)；10.答案为：C；B=BF或BE⊥CF或∠EBF=60°或BD=BF(答案不唯一)11.答案为：AB=AD或AC⊥BD；12.答案为：8；13.证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OC=OD，∴四边形OCED是菱形.14.证明：（1）∵DE∥AB，AE∥BC，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE∥BD，且AE=BD又∵AD是BC边的中线，∴BD=CD，∴AE=CD，∵AE∥CD，∴四边形ADCE是平行四边形，∴AD=EC；（2）∵∠BAC=90°，AD是斜边BC上的中线，∴AD=BD=CD，又∵四边形ADCE是平行四边形，∴四边形ADCE是菱形.15.证明：（1）∵△ABC≌△ABD，∴∠ABC=∠ABD，∵CE∥BD，∴∠CEB=∠DBE，∴∠CEB=∠CBE．（2））∵△ABC≌△ABD，∴BC=BD，∵∠CEB=∠CBE，∴CE=CB，∴CE=BD∵CE∥BD，∴四边形CEDB是平行四边形，∵BC=BD，∴四边形CEDB是菱形．16.解：(1)由AAS易证△AFE≌△DBE(2)由(1)知，△AEF≌△DEB，则AF=DB，∵DB=DC，∴AF=CD，∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC=90°，D 是BC 的中点，∴AD=DC=12BC ， ∴四边形ADCF 是菱形(3)连接DF ，由(2)知AF//==BD ， ∴四边形ABDF 是平行四边形， ∴DF=AB=5，∴S 菱形ADCF =12AC ·DF=12×4×5=10。
八年级下《菱形的性质与判定》练习题及答案
2017年八年级数学下册菱形性质与判定练习题一选择题：1.下列四边形中不一定为菱形的是（）A. 对角线相等的平行四边形B. 每条对角线平分一组对角的四边形C.对角线互相垂直的平行四边形D.用两个全等的等边三角形拼成的四边形2∙下列说法中正确的是（）A. 四边相等的四边形是菱形B. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是菱形C. 对角线互相垂直的四边形是菱形D. 对角线互相平分的四边形是菱形3∙若顺次连接四边形 ABCD 各边的中点所得四边形是菱形，则四边形4.菱形的周长为8cm,高为1cm,则菱形两邻角度数比为（ABCD- '定是A.菱形B.对角线互相垂直的四边形C. 矩形D. 对角线相等的四边形.5: 1.6: .7: 15.四个点A, B, C, D在同一平面内，从①AB// CD ②AB=CD③AC⊥ BD④AD=?BC⑤AD// BC.这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有).A.1 种B.2C.3D.46.如图，在菱形ABCD中, AB的垂直平分线EF交对角线AC于点F,垂足为点E,连接DF,若∠ CDF=24 ,则∠A . 100°B . 104°C . 105°.110°7.如图，在长方形ABCD中,AB=12,AD=14,E为AB的中点，点F,G分别在CD,AD上,若CF=4,且厶EFG为等腰直角三C.12D.12 √28∙用一条直线将一个菱形分割成两个多边形,若这两个多边形的内角和分别为M和N,则M+N直不可能是（A.360B.540C.630D.720))9.如图，在周长为12的菱形ABCD 中,AE=1,AF=2,若P 为对角线BD 上一动点，则EP+FP 的最小值为（）到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是11.如图,把长方形纸片 ABCD 折叠,使其对角顶点 C 与A 重合.若长方形的长BC 为8,宽AB 为4,则折痕EF 的长度 为（）A.5B.3C.2D.3 √212.如图，四边形ABCD,AD 与 BC 不平行,AB=CD.AC,BD 为四边形 ABCD 的对角线,E,F,G,H 分别是BD,BC,AC,AD 的中 点•下列结论：①EGL FH;②四边形EFGH 是矩形；③HF 平分∠ EHG ④EG =二（BC- AD :⑤四边形 EFGH 是菱形•其中正确的个数是（）A.1个B.2个C.3 个D.4 个填空题：13.如图，在菱形ABCD 中，∠ BAD=80 ,AB 的垂直平分线交对角线 AC 于点F,E 为垂足，连接DF,则∠ CDF 的度数=度.A.1B.2C.3D.410.如图，点 P 是矩形ABCD 的边AD 上的一动点，矩形的两条边AB 、 BC 的长分别是6和8,则点PB.5C.6D.7.2A.4.8GSFCC15.把一张矩形纸片 ABCD按如图方式折叠，使顶点 B和顶点D重合，折痕为EF.若BF=4, FC=2,则∠ DEF的度数是 .16∙如图，在?ABCD中 ,对角线AC BD相交于点O.如果AC=8,BD=14,AB=x,那么X取值范围是______________17. ______________________________________________________________________ 在菱形ABCD中, AE为BC边上的高，若 AB=5 AE=4,则线段CE的长为_______________________________________________18. 如图，？ABCD中，AB=2,BC=4, ∠ B=60°,点P是四边形上的一个动点，则当△PBC为直角三角形时，BP的三解答题:19. 如图，已知△ ABc中 ,D是BC⅛的中点,AE平分∠ BAC,BE1 AE于 E点，若 AB= 5,AC= 7,求ED.20. 如图，在平行四边形ABC中 ,用直尺和圆规作∠ BAD^分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了）,连EF.(2) AE, BF相交于点Q若BF=6, AB=5求AE的长. (22.21. 如图，在△ ABC 中，D E 分别是 AB AC 的中点，BE=2DE 过点C 作CF// BE 交DE 的延长线于 F,连接CD (1) 求证：四边形BCFE 是菱形； (2)在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中与△BEC 面积相等的所有三角形(不包括厶 BEC)22. 如图，已知在菱形ABCD^ ,F 为边BC 勺中点，DF 与对角线AC 交于M,过M 乍MELCDf E, ∠仁∠ 2.23. 如图，已知等腰 Rt△ ABC 和厶CDE AC=BC,CD=C,E 连接BE AD, P 为BD 中点，M 为AB 中点、N 为DE 中点, 连接 PM PN MN.(1) 试判断△ PMN 勺形状，并证明你的结论； (2) 若CD=5 AC=12求厶PMN 的周长.BE=3 CE=BC+BE=β当点E 在BC 边上时，如图 2所示. BE=3 CE=BC- BE=2 综上可知：CE 的长是2或8.故答案为：2或8.18. 【解答】解：分两种情况:(1)①当∠ BPC=90时，作 AML BC 于M 如图1所示,τ∠ B=60°,∙∙∙∠ BAM=30 ,二 BM=TAB=1,1.A2.A3.D4.B5.D6.B7.B8.C9.C 13. 答案为：60 . 14. 案为：80°. 15. 答案为：60 . 参考答案.10.A 11.C 12.C16. 答案为：3v X V 11. 17. 【解答】解：当点 E 在CB 的延长线上时，如图 1所示.■/ AB=5 AE=4, ■/ AB=5 AE=4, (2)求证：AM=DF+ME∙ AM= BM= , CM=BC- BM=4- 1=3, =2归，∙ A B+A 6=B 6 , •••△ ABC 是直角三角形，∠ BAC=90 ,•当点 P 与 A 重合时，∠ BPC=/ BAC=90 , ∙ BP=BA=2②当 ∠ BPC=90 ,点 P 在边 AD 上，CP=CD=AB=时，BP=J B C^ _ CP ^ =荷 (2)当 ∠ BCP=90 时，如图 3 所示：则 CP=AM 丹,∙ BPF JBC ?+C P ^=^^；V 四边形 ABC 是平行四边形，• AD// BC, ∙∠ FAE=∠ AEB ∙∠ BAE=Z AEB• AB=BE ∙ BE=FA •四边形ABEf 为平行四边形，V AB=AE •四边形ABEf 为菱形; (2)解：V 四边形 ABE 为菱形，∙ AE L BF, BO= FB=3, AE=2AQ 在 Rt△ AoB^ , AO=4 ∙ AE=2AO=8【解答】(1)证明：v D E 分别是AB AC 的中点，∙ DE// BC BC=2DE v CF// BE,∙∙∙四边形BCFE 是平行四边形.V BE=2DE BC=2DE ∙ BE=BC • ?BCFE 是菱形；(2)解：① v 由(1)知，四变形 BCFE 是菱形，∙ BC=FE BCll EF,• △ FEC 与厶BEC 是等底等高的两个三角形，• ②厶AEB 与厶BEC 是等底同高的两个三角形，贝U S A BE C F Q S A ABC 则它 S A ADC =S A BEC.【解答】(1)解：I 四边形ABC 是菱形，∙ AB// CD ∙∠ 1 = ∠ACDτ∠ 1 = ∠ 2 ,∙∠ ACD=/ 2 ,∙ MC=M P v MEL CD ∙ CD=2CE∙∙∙ CE=I ∙ CD=2 ∙ BC=CD=2(2)证明：如图，∙∙∙ F 为边 BC 的中点，∙∙∙ BF=CF= BC,二 CF=CE综上所述：当△ PBC 为直角三角形时, DBP 的长为2或2 或 ∣.∙ AC =2- 22=W3 ；21. S A FEC =S ABEC.S △ AEB F S Δ③ S A AD(FQ S A ABC FEC △ AEB △ ADC △ BDC△ ④ S A BD (= Q SS A BEC =G S A ABC 则它 S A BDC F S A BEC.在菱形 ABC中，AC平分∠ BCD ∙∙∙∠ACB=∠ ACD 22.CE=CF在厶CEM^n△ CFM中，∙∙∙二J ZAeD ,•••△CEM^△ CFM（ SAS ,I Cl=CM• ME=MF 延长 AB交 DF的延长线于点 G,τ AB// CD, ∙∠ G=∠ 2,ΓZG≈Z2∙∙∙∠1 = ∠ 2,∙∙∙∠仁∠ G • AM=MG在厶 CD和△ BGFφ,∙∙∙d朗SZOTK对顶角招等）,BFWF•••△CDF^△ BGF（ AAS , ∙ GF=DF 由图形可知， GM=GF+MF∙ AM=DF+MEG 5JRP T S-Il ■ «ri!!r-BrB!rBT9B B -CST23.略。
人教版八年级数学下册《菱形的判定》150例题及解析
初二数学下册知识点《菱形的判定》150例题及解析副标题题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共65小题，共195.0分）1.如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：①若AC=BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】解：因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，故④选项正确，故选：A．因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形．2.如图，在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（）A. 若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B. 若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C. 若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形D. 若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形【答案】D【解析】解：若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误；若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；选项B错误；若BD=CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；故选：D．由矩形的判定和菱形的判定即可得出结论．本题考查了矩形的判定、菱形的判定；熟记菱形和矩形的判定方法是解决问题的关键．3.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有（）A. AC⊥BDB. AB=BCC. AC=BDD. ∠1=∠2【答案】C【解析】解：A.正确．对角线垂直的平行四边形的菱形．B.正确．邻边相等的平行四边形是菱形．C.错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形．D.正确．可以证明平行四边形ABCD的邻边相等，即可判定是菱形．故选：C．根据平行四边形的性质．菱形的判定方法即可一一判断．本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．4.下列判断错误的是（）A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形B. 四个内角都相等的四边形是矩形C. 四条边都相等的四边形是菱形D. 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形【答案】D【解析】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，故本选项错误；B、四个内角都相等的四边形是矩形，正确，故本选项错误；C、四条边都相等的四边形是菱形，正确，故本选项错误；D、两条对角线垂直且平分的四边形是正方形，错误，应该是菱形，故本选项正确．故选：D．根据平行四边形的判定、矩形的判定，菱形的判定以及正方形的判定对各选项分析判断即可得解．本题考查了正方形的判定，平行四边形、矩形和菱形的判定，熟练掌握各四边形的判定方法是解题的关键．5.下列说法正确的是（）A. 对角线互相垂直的四边形是菱形B. 矩形的对角线互相垂直C. 一组对边平行的四边形是平行四边形D. 四边相等的四边形是菱形【答案】D【解析】解：A、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；故本选项错误；B、矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直；故本选项错误；C、两组对边分别平行的四边形是平行四边形；故本选项错误；D、四边相等的四边形是菱形；故本选项正确．故选：D．直接利用菱形的判定定理、矩形的性质与平行四边形的判定定理求解即可求得答案．此题考查了矩形的性质、菱形的判定以及平行四边形的判定．注意掌握各特殊平行四边形对角线的性质是解此题的关键．6.如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是A. 当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形B. 当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形C. 当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形D. 当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形【答案】D【解析】解：A．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC=BD时，存在EF=FG=GH=HE，故四边形EFGH为菱形，故A正确；B．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC⊥BD时，存在∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°，故四边形EFGH为矩形，故B正确；C．如图所示，若EF∥HG，EF=HG，则四边形EFGH为平行四边形，此时E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点，故C正确；D．如图所示，若EF=FG=GH=HE，则四边形EFGH为菱形，此时E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点，故D错误；故选：D．连接四边形各边中点所得的四边形必为平行四边形，根据中点四边形的性质进行判断即可．本题主要考查了中点四边形的运用，解题时注意：中点四边形的形状与原四边形的对角线有关．7.下列命题中，真命题是( )A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形【答案】C【解析】【分析】本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系．A、根据矩形的定义作出判断；B、根据菱形的性质作出判断；C、根据平行四边形的判定定理作出判断；D、根据正方形的判定定理作出判断．【解答】解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形，故本选项错误；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确；D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项错误，故选：C．8.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO=CO，BO=DO．添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是（）A. AB=ADB. AC=BDC. AC⊥BDD. ∠ABO=∠CBO 【答案】B【解析】解：∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形，当AB=AD或AC⊥BD时，均可判定四边形ABCD是菱形；当∠ABO=∠CBO时，由AD∥BC知∠CBO=∠ADO，∴∠ABO=∠ADO，∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形；当AC=BD时，可判定四边形ABCD是矩形；故选：B．根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得．本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义和各判定及矩形的判定．9.下列命题中正确的是（）A. 对角线相等的四边形是菱形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 对角线相等的平行四边形是菱形D. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形【答案】D【解析】解：对角线互相垂直平分的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故选：D．根据菱形对角线互相垂直平分的判定方法进行解答．此题主要考查的是菱形的判定方法：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形．10.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（）A. AB=ADB. AC⊥BDC. AC=BDD. ∠BAC=∠DAC 【答案】C【解析】解：A、根据菱形的定义可得，当AB=AD时▱ABCD是菱形；B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断，▱ABCD是菱形；C、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，命题错误；D、∠BAC=∠DAC时，∵▱ABCD中，AD∥BC，∴∠ACB=∠DAC，∴∠BAC=∠ACB，∴AB=BC，∴▱ABCD是菱形．∴∠BAC=∠DAC．故命题正确．故选：C．根据菱形的定义和判定定理即可作出判断．本题考查了菱形的判定定理，正确记忆定义和判定定理是关键．11.如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：①AD=BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】解：△ABC、△DCE是等边三角形，∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=CD，∴∠ACD=180°-∠ACB-∠DCE=60°，∴△ACD是等边三角形，∴AD=AC=BC，故①正确；由①可得AD=BC，∵AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BD、AC互相平分，故②正确；由①可得AD=AC=CE=DE，故四边形ACED是菱形，即③正确．综上可得①②③正确，共3个．故选：D．先求出∠ACD=60°，继而可判断△ACD是等边三角形，从而可判断①是正确的；根据①的结论，可判断四边形ABCD是平行四边形，从而可判断②是正确的；根据①的结论，可判断④正确．本题考查了平移的性质、等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质及菱形的判定，解答本题的关键是先判断出△ACD是等边三角形，难度一般．12.如图，在▱ABCD中，AM，CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AMCN为菱形的是（）A. AM=ANB. MN⊥ACC. MN是∠AMC的平分线D. ∠BAD=120°【答案】D【解析】解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，∠DAB=∠DCB，AB=CD，AD=BC，∵AM，CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，∴∠DCN=∠DCB，∠BAM=∠BAD，∴∠BAM=∠DCN，在△ABM和△CDN中，∴△ABM≌△CDN（ASA），∴AM=CN，BM=DN，∵AD=BC，∴AN=CM，∴四边形AMCN是平行四边形，A、∵四边形AMCN是平行四边形，AM=AN，∴平行四边形AMCN是菱形，故本选项错误；B、∵MN⊥AC，四边形AMCN是平行四边形，∴平行四边形AMCN是菱形，故本选项错误；C、∵四边形AMCN是平行四边形，∴AN∥BC，∴∠MNA=∠CMN，∵MN是∠AMC的平分线，∴∠NMA=∠NMC，∴∠MNA=∠MAC，∴∠MAC=∠NMA，∴AM=AN，∵四边形AMCN是平行四边形，∴四边形AMCN是菱形，故本选项错误；D、根据∠BAD=120°和平行四边形AMCN不能推出四边形是菱形，故本选项正确；故选：D．根据平行四边形性质推出∠B=∠D，∠DAB=∠DCB，AB=CD，AD=BC，求出∠BAM=∠DCN，证△ABM≌△CDN，推出AM=CN，BE=DN，求出AN=CM，得出四边形AMCN是平行四边形，再根据菱形的判定判断即可．本题考查了平行四边形的性质和判定、菱形的判定、全等三角形的性质和判定、平行线的性质等知识点；证明三角形全等是解决问题的关键．13.如图，要判定▱ABCD是菱形，需要添加的条件是（）A. AB＝ACB. BC＝BDC. AC＝BDD. AB＝BC【答案】D【解析】【分析】本题考查菱形的判定，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.根据菱形的判定方法即可解决问题.【解答】解：根据邻边相等的平行四边形是菱形，可知选项D正确，故选：D．14.如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法.其中正确的个数是( )①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形．因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，【解答】解：因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，故④选项正确.故选A．15.已知四边形ABCD是等对角线四边形，图①中四边形EFGH的四个顶点分别是四边形ABCD四条边的中点，图②中四边形KLMN满足KL//MN//AC，ML//NK//BD，则（）①②A. 四边形EFGH、KLMN都是等对角线四边形B. 四边形EFGH、KLMN都不是等对角线四边形C. 四边形EFGH是等对角线四边形，四边形KLMN不是等对角线四边形D. 四边形EFGH不是等对角线四边形，四边形KLMN是等对角线四边形【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定以及新定义问题等知识，熟练掌握这些知识是解决本题的关键.【解答】解：∵四边形ABCD是等对角线四边形，∴AC=BD，∵题图①中四边形EFGH的四个顶点分别是是四边形ABCD四条边的中点，∴EH//BD，EH=BD，GF//BD，GF=BD，HG//AC，HG=AC，EF//AC，EF=AC，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC=BD，∴EH=HG，∴EFGH是菱形，∴四边形EFGH不是等对角线四边形.∵题图②中四边形KLMN满足KL//MN//AC，ML//NK//BD，∴四边形ACLK、四边形KBDN、四边形KLMN是平行四边形，∴AC=KL，KN=BD，∵AC=BD，∴KL=KN，∴KLMN是菱形，∴四边形KLMN不是等对角线四边形.故选B.16.如图，四边形ABCD中，AB∥CD．则下列说法中，不正确的是( )A. 当AB＝CD，AO＝DO时，四边形ABCD为矩形B. 当AB＝AD，AO＝CO时，四边形ABCD为菱形C. 当AD∥BC，AC＝BD时，四边形ABCD为正方形D. 当AB＝CD时，四边形ABCD为平行四边形【答案】C【解析】【分析】本题考查了矩形，菱形，正方形和平行四边形的判定，注意：对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形.根据对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断即可.【解答】A.∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AO=DO，∴AC=BD，∴四边形ABCD为矩形，故A正确；B.∵AB∥CD，∴∠BAO=∠DCO，又∵AO=CO，∠AOB=∠COD，∴△AOB≌△COD，∴AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB=AD，∴四边形ABCD为菱形，故B正确；C.∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AC=BD，∴四边形ABCD为矩形，故C错误；D.∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，故D正确.故选C.17.若顺次连接四边形各边中点所构成的四边形是菱形，则原四边形一定是（）A. 矩形B. 菱形C. 平行四边形D. 对角线相等的四边形【答案】D【解析】【分析】此题考查了菱形的性质与三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．首先根据题意画出图形，由四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，利用三角形中位线的性质与菱形的性质，即可判定原四边形一定是对角线相等的四边形．【解答】解：如图，根据题意得：四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，∴EF=FG=GH=EH，BD=2EF，AC=2FG，∴BD=AC．∴原四边形一定是对角线相等的四边形．故选D．18.若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（）A. 矩形B. 等腰梯形C. 对角线相等的四边形D. 对角线互相垂直的四边形【答案】C【解析】解：如图，根据题意得：四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，∴EF=FG=GH=EH，BD=2EF，AC=2FG，∴BD=AC．∴原四边形一定是对角线相等的四边形．故选：C．首先根据题意画出图形，由四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，利用三角形中位线的性质与菱形的性质，即可判定原四边形一定是对角线相等的四边形．此题考查了菱形的性质与三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．19.顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是（）A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 梯形【答案】B【解析】解：连接AC、BD，在△ABD中，∵AH=HD，AE=EB，∴EH=BD，同理FG=BD，HG=AC，EF=AC，又∵在矩形ABCD中，AC=BD，∴EH=HG=GF=FE，∴四边形EFGH为菱形．故选：B．因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．20.如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，连接AF，BE，CE，DF分别交于点M，N，四边形EMFN是( )A. 正方形B. 菱形C. 矩形D. 无法确定【答案】B【解析】【分析】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的判定，平行四边形的性质和判定的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较好，综合性比较强．求出四边形ABFE为平行四边形，四边形BFDE为平行四边形，根据平行四边形的性质得出BE∥FD，即ME∥FN，同理可证EN∥MF，得出四边形EMFN为平行四边形，求出ME=MF，根据菱形的判定得出即可．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AD=BC，又∵E，F分别为AD，BC中点，∴AE∥BF，AE=BF，ED∥CF，DE=CF，∴四边形ABFE为平行四边形，四边形BFDE为平行四边形，∴BE∥FD，即ME∥FN，同理可证EN∥MF，∴四边形EMFN为平行四边形，∵四边形ABFE为平行四边形，∠ABC为直角，∴ABFE为矩形，∴AF，BE互相平分于M点，∴ME=MF，∴四边形EMFN为菱形．故选B．21.对角线互相平分且相等的四边形是（）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形【答案】B【解析】解：对角线互相平分且相等的四边形是矩形．故选：B．根据对角线相等的平行四边形是矩形，以及平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得出结论．此题主要考查矩形的判定：对角线相等的平行四边形是矩形．以及平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，较为简单．22.下列说法正确的是（）A. 对角线相等的平行四边形是菱形B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形C. 对角线相互垂直的四边形是菱形D. 有一个角是直角的平行四边形是菱形【答案】B【解析】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故A选项错误；B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故B选项正确；C、对角线相互垂直的平行四边形是菱形，故C选项错误；D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故D选项错误，故选：B．利用菱形的判定定理对各个选项逐一判断后即可确定正确的选项．本题考查了菱形的判定，牢记菱形的判定定理是解答本题的关键，难度不大．23.已知下列命题：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②等腰梯形的对角线相等；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④内错角相等．其中假命题有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，故①是真命题．②等腰梯形的对角线相等．故②是真命题．③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．故③是假命题．④两直线平行，内错角相等．故④是假命题．故选B．命题是判断事情的语句，若是判断的事情是正确的就是真命题，如果是错误的就是假命题，平行四边形的对角线互相平分，等腰梯形的对角线相等，对角线互相垂直的不一定是菱形，两直线平行，内错角才相等．本题考查真假命题的概念，以及平行四边形的判定．菱形的判定，等腰梯形的判定定理，以及内错角等知识点．24.下列说法：①四边相等的四边形一定是菱形②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形③对角线相等的四边形一定是矩形④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分.其中正确的有（）个．A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】C【解析】解：∵四边相等的四边形一定是菱形，∴①正确；∵顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是菱形，∴②错误；∵对角线相等的平行四边形才是矩形，∴③错误；∵经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分，∴④正确；其中正确的有2个．故选：C．根据三角形的中位线性质、平行四边形的性质、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定逐个判断即可．本题考查了三角形的中位线性质、平行四边形的性质、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定等知识点，能熟记定理的内容是解此题的关键．25.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（）A. AB=ACB. AD=BDC. BE⊥ACD. BE平分∠ABC 【答案】D【解析】【分析】当BE平分∠ABC时，四边形DBFE是菱形，可知先证明四边形BDEF是平行四边形，再证明BD=DE即可解决问题．本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【解答】解：当BE平分∠ABC时，四边形DBFE是菱形，理由：∵DE∥BC，∴∠DEB=∠EBC，∵∠EBC=∠EBD，∴∠EBD=∠DEB，∴BD=DE，∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形，∵BD=DE，∴四边形DBFE是菱形．其余选项均无法判断四边形DBFE是菱形，故选：D．26.如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（）A. 四边形AEDF是平行四边形B. 如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形C. 如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形D. 如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是正方形【答案】D【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，和正方形的判定定理等知识点．两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一个角是90°的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四个角都是直角，且四个边都相等的是正方形．【解答】解：A、因为DE∥CA，DF∥BA所以四边形AEDF是平行四边形．故A选项正确．B、∠BAC=90°，四边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是矩形．故B选项正确．C、因为AD平分∠BAC，所以AE=DE，又因为四边形AEDF是平行四边形，所以是菱形．故C选项正确．D、如果AD⊥BC且AB=BC不能判定四边形AEDF是正方形，故D选项错误．故选：D．27.下列说法正确的是（）A. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形C. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形【答案】D【解析】解：对角线相等且互相垂直的四边形不一定是平行四边形，更不一定是菱形，故A不正确；对角线互相垂直平分的四边形为菱形，但不一定是正方形，故B不正确；对角线互相垂直的四边形，其对角线不一定会平分，故不一定是平行四边形，故C不正确；对角线互相平分说明四边形为平行四边形，又对角线相等，可知其为矩形，故D正确；故选：D．分别根据菱形、正方形、平行四边形和矩形的判定逐项判断即可．本题主要考查平行四边形及特殊平行四边形的判定，掌握平行四边形及特殊平行四边形的对角线所满足的条件是解题的关键．28.如图，在▱ABCD中，对角线，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E，交BC于F，连结AF、CE，现在添加一个适当的条件，使四边形AFCE是菱形，下列条件：；；平分；为AD中点。
八年级数学菱形的性质和判定(人教版)(基础)(含答案)
对角线相等的平行四边形是矩形，故D选项不能判断．
故选D
试题难度：三颗星知识点：略
7.如图，已知E是菱形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80°，则∠CDE的度数为( )
A.30° B.25°
C.20° D.35°
答案：A
解题思路：
在菱形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠B=∠ADC
∴∠DAE=∠AEB
∵∠DAE=∠B=80°
∴∠B=∠AEB，∠ADC=80°
∴AB=AE
∴AE=AD
在等腰三角形ADE中，
∵∠DAE=80°
∴∠ADE=50°
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=30°
故选A
试题难度：三颗星知识点：略
8.如图，在菱形ABCD中，∠ADC=50°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数为( )
答案：B
解题思路：
选项A：
对角线相等的平行四边形是矩形，故A选项错误；
选项B：
有一组邻边相等的平行四边形是菱形，是菱形的定义，
故B选项正确；
选项C：
角是直角的平行四边形是矩形，故D选项错误．
故选B
试题难度：三颗星知识点：略
4.如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6，8，AE⊥BC于点E，则AE的长是( )
菱形的对角线：互相垂直、平分，每一条对角线平分一组对角，C错，D对．
故选C
试题难度：三颗星知识点：略
2.菱形具有而平行四边形不具有的性质是( )
A.对角线互相平分B.邻角互补
C.每条对角线平分一组对角D.对角相等
答案：C
解题思路：
概念辨析，考查平行四边形和菱形的性质，需要对比菱形和
初中数学菱形的判定及性质练习题(附答案)
初中数学菱形的判定及性质练习题 一、单选题 1.如图,正方形ABCD 的边长为4,点E 在对角线BD 上,且22.5BAE ∠=︒,EF AB ⊥,垂足为F ,则EF 的长为( )A. 1B. 2C. 422-D. 324-2.如图,点P 是矩形ABCD 的边AD 上的一个动点,矩形的两条边AB 、BC 的长分别为3和4,那么点P 到矩形的两条对角线AC 、BD 的距离之和是( )A. 125B. 245C. 65D.不确定3.如图,下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为( )①AC⊥BD ②∠BAD=90° ③AB=BC ④AC=BDA.①③B.②③C.③④D.①②③4.如图,在菱形ABCD 中, 2AB =,60?BAD ∠=,E 是AB 的中点, P 是对角线AC 上的一个动点,则PE PB +的最小值为( )A. 1B.3C. 2D.55.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )A.对边相等B.对角相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直6.如图,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它成为矩形,那么需要添加的条件是( )=A.AB CD=B.AD BC=C.AB BC=D.AC BD=；②7.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB BC⊥中选两个作为补充条件，使ABCD为正方形(如=；④AC BDABC90∠=︒；③AC BD图)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是( )A.①②B.②③C.①③D.②④AC BD相交于点,O H为AD边的中点，菱形ABCD的周长8.如图，在菱形ABCD中，对角线,为28，则OH的长等于( )A.3.5B. 4C. 7D. 149.下列说法中正确的是( )A.两条对角线垂直的四边形是菱形B.对角线垂直且相等的四边形是正方形C.两条对角线相等的四边形是矩形D.两条对角线相等的平行四边形是矩形10.如图,在△ABC中,点D、E、F 分别在BC、AB、CA上,且DE//CA,DF//BA,则下列三种说法:①如果∠BAC=90°,那么四边形AEDF是矩形;②如果AD 平分∠BAC,那么四边形AEDF 是菱形;③如果AD⊥BC 且AB=AC,那么四边形AEDF 是菱形。
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初二数学菱形的判定作业练习题一．选择题（共5小题）1．下列说法不正确的是()A．四边都相等的四边形是菱形B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．对角线互相平分且相等的四边形是菱形2．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的有()①当AB BC⊥时，四边形ABCD是菱形；=时，四边形ABCD是菱形；②当AC BD③当90=时，四边形ABCD是菱形；∠=︒时，四边形ABCD是菱形；④当AC BDABCA．3个B．4个C．1个D．2个3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA OC=，=．若要使四边形ABCD为菱形，则可以添加的条件是()OB ODA．AC BD∠=︒D．AC BD⊥⊥C．60=B．AB BCAOB4．已知四边形ABCD中，AC BD⊥，再补充一个条件使四边形ABCD为菱形，这个条件可以是() A．AC BD==B．AB BCC．AC与BD互相平分D．90∠=︒ABC5．在平面直角坐标系内，点O是原点，点A的坐标是(3,4)，点B的坐标是(3,4)-，要使四边形AOBC 是菱形，则满足条件的点C的坐标是()A．(3,0)-B．(3,0)C．(6,0)D．(5,0)二．填空题（共5小题）6．如果一个四边形的两条对角线互相平分，互相垂直，那么这个四边形是．7．如图，两张等宽的长方形纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是．8．四边形ABCD中，已知//AD BC，添加一个条件，即可判定该四边AB CD，//形是菱形．9．如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB OD=，请你添加一个适当的条件，使四边形ABCD是菱形．（只需添加一个即可）10．四边形ABCD为平行四边形，对角线AC，BD交于点O，请你添加一个合适的条件使其成为菱形．（只需添加一个即可）三．解答题（共4小题）11．如图，在ABCD=．⊥，垂足分别为点E、F，且BE DFY中，AE BC⊥，AF CD求证：ABCDY是菱形．12．已知如图ABCDY中，EF垂直平分对角线BD，交点为O，求证：四边形BFDE是菱形．13．如图，//∠交AE于点D，AC BD⊥于点O，交BF于点C，连接CD．求AE BF，BD平分ABC证：四边形ABCD是菱形．14．如图，在ABCAF BC交BE的延长∠=︒，AD是中线，E是AD的中点，过点A作//∆中，90BAC线于F，连接CF，求证：四边形ADCF是菱形．答案与解析一．选择题（共5小题）1．下列说法不正确的是()A．四边都相等的四边形是菱形B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．对角线互相平分且相等的四边形是菱形【分析】由菱形的判定定理和矩形的判定定理分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：Q四边都相等的四边形是菱形，∴选项A不符合题意；Q有一组邻边相等的平行四边形是菱形，∴选项B不符合题意；Q对角线互相垂直平分的四边形是菱形，∴选项C不符合题意；Q对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴选项D符合题意；故选：D．2．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的有()①当AB BC=时，四边形ABCD是菱形；②当AC BD⊥时，四边形ABCD是菱形；③当90∠=︒时，四边形ABCD是菱形：ABC④当AC BD=时，四边形ABCD是菱形；A．3个B．4个C．1个D．2个【分析】根据菱形的判定定理判断即可．【解答】解：Q四边形ABCD是平行四边形，=时，四边形ABCD是菱形；故符合题意；∴①当AB BC②当AC BD⊥时，四边形ABCD是菱形；故符合题意；③当90∠=︒时，四边形ABCD是长方形；故不符合题意；ABC④当AC BD=时，四边形ABCD是长方形；故不符合题意；故选：D．3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA OC=．若要使四边形ABCD=，OB OD为菱形，则可以添加的条件是()A．AC BD⊥=B．AB BC∠=︒D．AC BD⊥C．60AOB【分析】由条件OA OC=根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD为平=，OB OD行四边形，再由矩形和菱形的判定定理即可得出结论．【解答】解：OA OCQ，OB OD=，=∴四边形ABCD为平行四边形，A、AC BDQ，=∴四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B、AB BCQ，⊥∴四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；Q，∠=︒AOBC、60不能得出四边形ABCD是菱形；选项C不符合题意；D、AC BDQ，⊥∴四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；故选：D．4．已知四边形ABCD中，AC BD⊥，再补充一个条件使四边形ABCD为菱形，这个条件可以是() A．AC BD=B．AB BC=C．AC与BD互相平分D．90∠=︒ABC【分析】由在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，可得四边形ABCD是平行四边形，又由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可求得答案．【解答】解：Q在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，⊥Q，AC BD∴四边形ABCD是菱形．故选：C．5．在平面直角坐标系内，点O是原点，点A的坐标是(3,4)，点B的坐标是(3,4)-，要使四边形AOBC 是菱形，则满足条件的点C的坐标是()A．(3,0)-B．(3,0)C．(6,0)D．(5,0)【分析】如图，连接AB交OC于D，根据菱形的性质即可得到结论．【解答】解：如图，连接AB交OC于D，Q四边形AOBC是菱形，=，AD OC∴⊥，OD CD-，Q点A的坐标是(3,4)，点B的坐标是(3,4)OD∴=，3∴=，OC6∴，(6,0)C故选：C．二．填空题（共5小题）6．如果一个四边形的两条对角线互相平分，互相垂直，那么这个四边形是菱形．【分析】由一个四边形的两条对角线互相平分，互相垂直，根据菱形的判定定理可得这个四边形是菱形．【解答】解：Q一个四边形的两条对角线互相平分，∴此四边形是平行四边形，Q两条对角线互相垂直，∴这个四边形是菱形．故答案为：菱形．7．如图，两张等宽的长方形纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形．【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．【解答】解：过点A 作AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F ，如图，Q 两条纸条宽度相同，AE AF ∴=．//AB CD Q ，//AD BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．ABCD S BC AE CD AF =⋅=⋅Y Q ．又AE AF =Q ．BC CD ∴=，∴四边形ABCD 是菱形；故答案为：菱形．8．四边形ABCD 中，已知//AB CD ，//AD BC ，添加一个条件 AB BC =或AC BD ⊥ ，即可判定该四边形是菱形．【分析】根据平行四边形的判定证出四边形ABCD 是平行四边形，根据菱形的判定证出即可．【解答】解：添加的条件是AB BC =，或AC BD ⊥；理由如下：//AB CD Q ，//AD BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，若AB BC =，则平行四边形ABCD 是菱形；若AC BD ⊥，则平行四边形ABCD 是菱形；故答案为：AB BC =或AC BD ⊥．9．如图，四边形ABCD 是对角线互相垂直的四边形，且OB OD =，请你添加一个适当的条件OA OC = ，使四边形ABCD 是菱形．（只需添加一个即可） 【分析】可以添加条件OA OC =，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形可判定出结论．【解答】解：OA OC =，OB OD =Q ，OA OC =，∴四边形ABCD 是平行四边形，AC BD ⊥Q ，∴平行四边形ABCD 是菱形，故答案为：OA OC =．10．如图，四边形ABCD 为平行四边形，请你添加一个合适的条件 ()AB BC AC BD =⊥ 使其成为菱形．（只需添加一个即可）【分析】根据菱形的判定可得．【解答】解：AB BC =Q （一组邻边即可），且四边形ABCD 为平行四边形∴四边形ABCD 是菱形AC BD ⊥Q ，且四边形ABCD 为平行四边形∴四边形ABCD 是菱形．故答案为()AB BC AC BD =⊥三．解答题（共4小题）11．如图，在ABCD Y 中，AE BC ⊥，AF CD ⊥，垂足分别为点E 、F ，且BE DF =． 求证：ABCD Y 是菱形．【分析】由平行四边形的性质可得B D ∠=∠，由“ASA ”可证ABE ADF ∆≅∆，可得AB AD =，即可得结论．【解答】证明：Q 四边形ABCD 是平行四边形B D ∴∠=∠，且BE DF =，90AEB ADF ∠=∠=︒()ABE ADF ASA ∴∆≅∆AB AD ∴=，且四边形ABCD 是平行四边形∴四边形ABCD 是菱形12．已知如图ABCD Y 中，EF 垂直平分对角线BD ，交点为O ，求证：四边形BFDE 是菱形．【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法证明出DOE BOF ∆≅∆，得到OE OF =，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形EBFD 是平行四边形，进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四边形BFDE 为菱形．【解答】证明：Q 在ABCD Y 中，O 为对角线BD 的中点，BO DO ∴=，EDB FBO ∠=∠，在DOE ∆和BOF ∆中，EDO FBO OD OBEOD FOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()DOE BOF ASA ∴∆≅∆；OE OF ∴=，又OB OD =Q ，∴四边形EBFD 是平行四边形，EF BD ⊥Q ，∴四边形BFDE 为菱形．13．如图，//AE BF ，BD 平分ABC ∠交AE 于点D ，AC BD ⊥于点O ，交BF 于点C ，连接CD ．求证：四边形ABCD 是菱形．【分析】直接利用平行线的性质结合角平分线的定义得出对应角的关系，进而得出()ADO CBO ASA ∆≅∆，进而证明即可．【解答】证明：//AE BF Q ，ADB CBD ∴∠=∠，BD Q 平分ABC ∠交AE 于点D ，ABD DBC ∴∠=∠，ABD ADB ∴∠=∠，AB AD ∴=，AC BD ⊥Q ，BO DO ∴=，在ADO ∆和CBO ∆中ADO CBO DO BOAOD BOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ADO CBO ASA ∴∆≅∆，AD BC ∴=，又∵AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，AB AD =Q ，∴四边形ABCD 是菱形．14．如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD 是中线，E 是AD 的中点，过点A 作//AF BC 交BE 的延长线于F ，连接CF ，求证：四边形ADCF 是菱形．【分析】根据AAS 证AFE DBE ∆≅∆，推出AF BD =．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF 是菱形．【解答】证明：//AF BC Q ，AFE DBE ∴∠=∠，E Q 是AD 的中点，AD 是BC 边上的中线，AE DE ∴=，BD CD =，在AFE ∆和DBE ∆中，AFE DBE FEA BED AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AFE DBE AAS ∴∆≅∆；AF DB ∴=．DB DC =Q ，AF CD ∴=．//AF BC Q ，∴四边形ADCF 是平行四边形，90BAC ∠=︒Q ，D 是BC 的中点， 12AD DC BC ∴==， ∴四边形ADCF 是菱形．。