高等数学：高数第三章自测题答案

第三章单元自测题答案

一、填空题：

1．满足，2=ξ； 2． 满足,

34

15=ξ； 3． 3； 4． 1-=a ，4-=b ． 二、选择题:

1. B ；

2.A ；

3.C ；

4.A ；

5.B .

三、计算下列各题: 1.解 ∞→x lim 1lim 1lim 11lim )1(0011==-=-=-→→∞→u u u u x x x e u

e x

e e x . 2.解 2000)1ln(lim )1ln()1ln(lim )1)1ln(1(lim x

x x x x x x x x x x x +-=++-=-+→→→

21)1(2lim 2111lim 00=+=+-

=→→x x x x x x x . 3.解 设21

)(cos x x y =，取对数有2cos ln ln x

x y = 因为2

12tan lim cos ln lim 020-=-=→→x x x x x x ，所以2

1cos ln 01022lim )(cos lim -→→==e e x x x

x x x . 四、应用题:

1.解 函数的定义域为),(+∞-∞，因为 x x x e x x e x xe y ----=-=')24(2422,

令0='y ，解得2,021==x x .

当,0,0<''<y x

因此,]2,0[为单调增加区间，]0,(-∞)和),2[+∞为单调减少区间.

2.解 函数的定义域为),(+∞-∞，因为

2

22

2)1(22,12x x y x x y +-=''+=', 令0=''y ，解得1,121=-=x x .

当,0,1<''-''y ,当0,1<''>y x 时，

故曲线的凹区间为]1,1[-，凸区间为]1,(--∞和),1[+∞.

拐点为)2ln ,1(-，)2ln ,1(.

3.解 )5,0(2,2,01232

∈=±==-='x x x y 解得, 70)5(,5)0(,11)2(==-=f f f ,故,70max =f 11min -=f .

4.解 ,26,232b ax y bx ax y +=''+='

由已知得0)2(=''y ，即6,0212b a b a -

==+. 又)5,2(为曲线23bx ax y +=上的点,因此有

8

15,42653=+⋅-=b b b .于是16581561-=⋅-=a . 5.解 由已知得x y 2=，且72=xyh ，于是有236x

h =， 长方体带盖箱子的表面积

)362362(2)(2)(222x x x x x yh xh xy x S S ⋅+⋅

+=++== )0(,21642>+

=x x x 因为2

2168)(x x x S -='，令0)(='x S ，解得唯一驻点3=x ， 由问题实际意义知，当长3=x m 时，箱子的用料最省，此时宽m y 6=，高m h 4=.

五、证明题:

1.证明 令x x f ln )(=，显然)(x f 在],[b a 上满足拉格朗日中值定理条件，于是有 ))(()()(a b f a f b f -'=-ξ,)(b a <<ξ,

即 ξ

a b a b a b -==-ln ln ln ，)(b a <<ξ， 因为b a <<<ξ0，所以a

a b a b b a b -<-<-ξ，因此

a

a b a b b a b -<<-ln . 2.证明 令221)1ln()(x x x x f +-+=，则)(x f 在],0[x 上连续，且

x

x x x x f +=+-+='1111)(2

， 当0>x 时，0)(>'x f ，所以)(x f 在),0[+∞上单调增加，又0)0(=f ， 从而，当0>x 时有)0()(f x f >，即当0>x 时，221)1ln(x x x -

>+. 3.证明 令1)(5-+=x x x f ，则)(x f 在区间]2,0[上连续,且

0122)2(,01)0(5>-+=<-=f f ，

由零点定理知方程015

=-+x x 在区间)2,0(内有一正根.

又在),(+∞-∞内，,015)(4>+='x x f 故)(x f 在),(+∞-∞上单调增加, 因此正根唯一，即方程015=-+x x 只有一个正根.