上海高三数学模拟试卷

高三数学模拟试卷班级学号姓名得分

注意：本试卷共有道试题，满分分，考试时间分钟

一、填空题（本大题共有小题，满分分）只要求直接填写结果，题每个空格填对得分，题每个空格填对得分，否则一律得零分

．设a R ∈，若复数(1)()i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a = ．集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且A B R ?=，则实数a 的取值范围是．二项式6)1

x -的展开式中，系数最大的项为第项

．从名志愿者中选出名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有种．

．直线()2x t t y =+???

=??为参数被双曲线221x y -=截得的弦长为

．若函数2log ,0

()(),0

x x f x g x x >?=?

半圆直径为，则该几何体的体积．

．已知数列{}n a 的通项公式为1

2n n a -=则01n a C 12n a C 2

3n a C + 1n

n n a C +

．若等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，前n 项的和为n S ，则数列{}n

S n

为等差数列，且通项为

1(1)2

n S d

a n n =+-?．类似地，若各项均为正数的等比数列{}n

b 的首项为1b ，

公比为q ，前n 项的积为n T ，则数列{}n n T 为等比数列，且通项为．

．设,x y 满足约束条件112210

x y x x y ≥???

≥??+≤??，向量(2,),(1,1)a y x m b =-=-，且

//a b

则实数m 的最小值为

．已知实数,,a b c 成等差数列，点()3,0P -在动直线0ax by c ++=（,a b 不同时为零）上的射影点为M ，若点N 的坐标为()2,3，则MN 的取值范围是．

．函数()421421

x x x x k f x +?+=

++，若对于任意的实数123,,x x x 均存在以

()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，则实数k 的取值范围是．

二、选择题本大题共有小题，满分分每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得分，否则一律得零分

．若a 与b c -都是非零向量，则“a b a c ?=?”是“()a b c ⊥-”的（）充分而不必要条件（）必要而不充分条件（）充分必要条件

（）既不充分也不必要条件

．将函数sin(2)3y x π

图象上的点(,)4

P t π

向左平移s （0s >）个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（）

（）12t =

，s 的最小值为6π （）3t = ，s 的最小值为6π

（）12t =

，s 的最小值为3π （）32t =，s 的最小值为3

．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，当动点M 在底面

ABCD 内运动时，

总有11DD A DD M ∠=∠，则动点M 在底面ABCD 内的轨迹是

（）椭圆的一部分（）双曲线的一部分（）抛物线的一部分（）圆的一部分

．如图，在的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的内接格点三角形．以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB 的两个交点之间的距离为32，且这两个

交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y 轴的抛物线条数是

（）条（）条（）条（）无数条

三、解答题（本大题共有小题，满分分）解答下列各题必须写出必要的步骤．．（本题满分分，第小题满分分，第小题满分分）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且cos cos sin A B C

a b c

（）证明：sin sin sin A B C =；（）若2226

b c a bc +-=，求tan B

．（本题满分分，第小题满分分，第小题满分分）

如图，已知直角梯形ACDE 所在的平面垂直于平面ABC ，90BAC ACD ∠=∠=?，60EAC ∠=?，AB AC AE ==．

（）在直线BC 上是否存在一点P ，使得//DP 平面EAB ？请证明你的结论；

（）求平面EBD 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值

．（本题满分分，第小题满分分，第小题满分分）

椭圆E ：122

22=+b y a x ，)0(>>b a 的短轴长等于焦距，

)1,0(P 在短轴CD 上，且1PC PD ?=-．

（）求椭圆E 的方程；

（）

O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆相交于B A ,两点，是否存在常数λ，使得OA OB PA PB λ?+?为定值？若存在，求λ的值．

（本题满分分，第小题满分分，第小题满分分，第小题满分分）

已知数列{}n a 中，13a =，132n n n a a ++=?，*

n N ∈

（）证明数列{}

2n n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（）求数列{}n a 的前n 项的和n S ；

（）若1r s <<且r ，*

s N ∈，求证：使得1a ，r a ，s a 成等差数列的点列(),r s 在

某一直线上

．（本题满分分，第小题满分分，第小题满分分，第小题满分分）

对于函数()y f x =与常数a 、b ，若()()2f x af x b =+对()f x 的定义域内的任意x 都成立，则称(),a b 为函数()f x 的一个 P 数对．设函数()y f x =的定义域为+R ，且

()13f =．

（）若()1,1是()f x 的一个 P 数对，求()()*

f n ∈N ；

（）若()2,0-是()f x 的一个 P 数对，且当[)1,2x ∈时()23f x k x =--，求()

f x 在区间)()*

1,2n

n ?∈?

N 上的最大值与最小值；

（）若()f x 是增函数，且()2,2-是()f x 的一个 P 数对，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由

①()

2n f -与22n -+()*n ∈N ； ②()f x 与22x +(()

12,2,*n n x n N --?∈∈?．

高三数学练习卷

班级学号姓名得分

注意：本试卷共有道试题，满分分，考试时间分钟

一、填空题（本大题共有小题，满分分）只要求直接填写结果，题每个空格填对得分，题每个空格填对得分，否则一律得零分

．设a R ∈，若复数(1)()i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a = 1- ．集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且A B R ?=，则实数a 的取值范围是 1a ≤

．二项式6)1

x -的展开式中，系数最大的项为第或项

．从名志愿者中选出名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有种．

．直线()2x t t y =+???

=??为参数被双曲线221x y -=截得的弦长为

．若函数2log ,0

()(),0

x x f x g x x >?=?

【解析】()f x 为奇函数，所以2(8)(8)(8)log 83f g f -=-=-=-=-，即(8)3g -=-．已知某几何体的三视图如图，其中主视图中半圆直径为，则该几何体的体积

．已知数列{}n a 的通项公式为1

21n n a -=+则01n a C 12n a C 3

3n a C + 1n n n a C + 2n

．若等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，前n 项的和为n S ，则数列{}n

S n

为等差数列，且通项为

1(1)2

n S d

a n n =+-?．类似地，若各项均为正数的等比数列{}n

b 的首项为1b ，公比为q ，前n 项的积为n T ，则数列为等比数列，且通项为1

21n a q

-= ．

．设,x y 满足约束条件112210

x y x x y ≥???

≥??+≤??，向量(2,),(1,1)a y x m b =-=-，且//a b 则

实数m 的最小值为 6-

【解析】不等式对应的可行域是顶点为)2,4(),2

,1(),8,1(C B A 的三角形及其内部，由

//a b ，得2m x y =-，可知在)8,1(A 处2m x y =-有最小值6-．

．已知实数,,a b c 成等差数列，点()3,0P -在动直线0ax by c ++=（,a b 不同时为零）上的射影点为M ，若点N 的坐标为()2,3，则MN 的取值范围是 55,55??-+??

．【解析】因为实数,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，方程0ax by c ++=变形为2()20ax a c y c +++=，整理为()2(2)0a x y c y +++=

所以2020x y y +=??

+=?，即1

x y =??=-?，因此直线0ax by c ++=过定点()1,2Q -

画出图象可得90PMQ ∠=，25PQ =

点M 在以PQ 为直径的圆上运动，线段MN 的长度满足55FN MN FN -≤≤+

即5555MN -≤≤+

．函数()421421

x x x

k f x +?+=

++，若对于任意的实数123,,x x x 均存在以

()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，则实数k 的取值范围是．

解：()421111

421

x x x x x x k k f x +?+-=

++++ 令()110,13212x x g x ??

∈ ???++ 当1k ≥时，()2

k f x +<≤

，其中当且仅当0x =时取得等号所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，只需2

k +≥

，所以14k ≤≤ 当1k <时，

()2

k f x +≤<，其中当且仅当0x =时取得等号所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，只需

213

k +?

≥，所以112k -≤<

综上可得，142

k -≤≤

二、选择题本大题共有小题，满分分每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得分，否则一律得零分

．若a 与b c -都是非零向量，则“a b a c ?=?”是“()a b c ⊥-”的（）充分而不必要条件（）必要而不充分条件（）充分必要条件

（）既不充分也不必要条件

．将函数sin(2)3y x π

图象上的点(,)4

P t π

向左平移s （0s >）个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（）

（）12t =

，s 的最小值为6π （）32t = ，s 的最小值为6π

（）12t =

，s 的最小值为3π （）32t =，s 的最小值为3

【解析】点π

P t ?? ???在函数πsin 23y x ??=- ???上，所以πππ1

sin 2sin 4362

t ????=?-== ? ?????，

然后

πsin 23y x ??=- ???向左平移s 个单位，即πsin 2()sin 23y x s x ?

?=+-= ??

?，所以

π+π,6s k k =∈Z ，所以s 的最小值为π6

．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，当动点M 在底面

ABCD 内运动时，

总有11DD A DD M ∠=∠，则动点M 在底面ABCD 内的轨迹是

（）椭圆的一部分（）双曲线的一部分（）抛物线的一部分（）圆的一部分

解：因为满足条件的动点在底面ABCD 内运动时，动点的轨迹是以1D D 为轴线，以1D A 为母线的圆锥，与底面ABCD 的交线即圆的一部分．

．如图，在的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的内接格点三角

形．以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB 的两个交点之间的距离为32，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y 轴的抛物线条数是

（）条（）条（）条（）无数条【解析】如图，开口向下，经过点（，），（，），（，）的抛物线的解析式为 ﹣ ，

然后向右平移个单位，向上平移个单位一次得到一条抛物线，

可平移次，所以，一共有条抛物线，同理可得开口向上的抛物线也有条，所以，满足上述条件且对称轴平行于轴的抛物线条数是：．

a b c

（）证明：sin sin sin A B C =；（）若2226

b c a bc +-=

，求tan B 【解析】（）证明：由正弦定理

sin sin sin a b c

A B C

==可知原式可以化解为

cos cos sin 1sin sin sin A B C

A B C

+== ∵A 和B 为三角形内角 ∴sin sin 0A B ≠

则，两边同时乘以sin sin A B ，可得sin cos sin cos sin sin B A A B A B += 由和角公式可知，()()sin cos sin cos sin sin sin B A A B A B C C π+=+=-= 原式得证。

（）由题222

65b c a bc +-= 根据余弦定理可知，2223cos 25

b c a A bc +-=

= ∵A 为为三角形内角，()0,A π∈，sin 0A >

则2

sin 155A ??=-= ???

，即cos 3sin 4A A = 由（）可知cos cos sin 1sin sin sin A B C A B C +==，∴cos 11

sin tan 4

B B B ==

∴tan 4B =

．（本题满分分，第小题满分分，第小题满分分）

如图，已知直角梯形ACDE 所在的平面垂直于平面ABC ，90BAC ACD ∠=∠=?，60EAC ∠=?，AB AC AE ==．

（）在直线BC 上是否存在一点P ，使得//DP 平面EAB ？请证明你的结论；（）求平面EBD 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值

解（）线段BC 的中点就是满足条件的点P ．证明如下：

取AB 的中点F 连结DP FP EF 、、，则

1//,2

FP AC FP AC =

取AC 的中点M ，连结EM EC 、， ∵AE AC =且60EAC ?∠=， ∴EAC ?是正三角形，∴EM AC ⊥． ∴四边形EMCD 为矩形，

∴

ED MC AC ==

又∵//ED AC ，

∴//ED FP 且ED FP =，EFPD 是平行四边形． ∴//DP EF ，而EF

平面EAB ，DP

平面EAB ，∴//DP 平面EAB ．

（）（法）过B 作AC 的平行线l ，过C 作l 的垂线交l 于G ，连结DG ，∵

//ED AC ，∴//ED l ，l 是平面EBD 与平面ABC 所成二面角的棱．

∵平面EAC ⊥平面ABC ，DC AC ⊥，∴DC ⊥平面ABC ，又∵l ?平面ABC ， DC l ∴⊥ ∴l ⊥平面DGC ，∴l DG ⊥， ∴DGC ∠是所求二面角的平面角．

E P

设2AB AC AE a ===，则3,2CD a GC a ==， ∴2

7GD GC CD a =+=， ∴27cos cos GC DGC GD θ=∠==

（法）∵90BAC ?∠=，平面EACD ⊥平面ABC ，

∴以点A 为原点，直线AB 为x 轴，直线AC 为y 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，则z 轴在平面EACD 内（如图）．

设2AB AC AE a ===，由已知，得(2,0,0),(0,,3),(0,2,3)B a E a a D a a ． ∴(2,,3),(0,,0)EB a a a ED a =--=，设平面EBD 的法向量为(,,)n x y z =，则n EB ⊥且

n ED ⊥，

00n EB n ED ??=?∴??=??2300ax ay az ay ?--=?∴?=?

解之得3

20x z y ?=

?=?

取2z =，得平面EBD 的一个法向量为(3,0,2)n = 又∵平面ABC 的一个法向量为'

(0,0,1)n =．

'222222

30002127cos cos ,7

(3)02001n n θ?+?+?=<>=

++?++

．（本题满分分，第小题满分分，第小题满分分）

椭圆E ：122

22=+b

y a x ，)0(>>b a 的短轴长等于焦距，)1,0(P 在

短轴CD 上，且1PC PD ?=-．

（）求椭圆E 的方程；

（）O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆相交于B A ,两点，

A B

E P

M F

是否存在常数λ，使得OA OB PA PB λ?+?为定值？若存在，求λ的值．解：（）由已知，点，的坐标分别为，－，，

又点的坐标为，，且PC PD ?＝－于是222211

22b c

a a

c ?-=-?

?=??

?-=?，解得＝，＝2

所以椭圆方程为22

142

x y +=

当直线斜率存在时，设直线的方程为＝＋

，的坐标分别为，，，联立22

142

1x y y kx ?+

=???=+?

，得＋＋－＝

其判别式△＝＋＋＞所以121222

,2121

k x x x x k k +=-

=-++ 从而OA OB PA PB λ?+?＝＋＋＋－－

＝＋＋

＋＋＋＝22

(24)(21)

k k λλ--+--+＝－21

221

k λλ---+

所以，当＝时，－2

221

k λλ---+＝－，此时，OA OB PA PB λ?+?＝－为定

值

当直线斜率不存在时，直线即为直线

此时OA OB PA PB OC OD PC PD λ?+?=?+?＝－－＝－故存在常数＝－，使得OA OB PA PB λ?+?为定值－

（本题满分分，第小题满分分，第小题满分分，第小题满分分）

已知数列{}n a 中，13a =，132n n n a a ++=?，*

n N ∈

（）证明数列{}

2n n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（）求数列{}n a 的前n 项的和n S ；

（）若1r s <<且r ，*s N ∈，求证：使得1a ，r a ，s a 成等差数列的点列(),r s 在某一直线上

解：（）将已知条件132n n n a a ++=?变形为()

1122n n n n a a ++-=--

由于123210a -=-=≠，则12

211-=--++n

n n n a a （常数）即数列{}

2n n a -是以1为首项，公比为1-的等比数列

所以1

)1(12--?=-n n n a 1

)

1(--=n ，即n

n a 2=1

)

1(--+n （*N n ∈）．

（）11

22,2,*21,21

n n n n k S k N n k ++?-=?

=∈?-=-?? （）若1a ，r a ，s a 成等差数列，则12r s a a a =+ 即11

)1(23])

1(2[2---++=-+s s r r

，变形得3)1()1(222111----?=---+s r r s

由于若r ，*

s N ∈且1r s <<，下面对r 、s 进行讨论：

① 若r ，s 均为偶数，则0221<-+r s ，解得1+

③ 若r 为偶数，s 为奇数，则0221<-+r s ，解得1+

件点列(),r s 落在直线1+=x y （其中x 为正奇数）上．（不写出直线方程扣分）．（本题满分分，第小题满分分，第小题满分分，第小题满分分）

对于函数()y f x =与常数a 、b ，若()()2f x af x b =+对()f x 的定义域内的任意x 都成立，则称(),a b 为函数()f x 的一个 P 数对．设函数()y f x =的定义域为+R ，且

()13f =．

（）若()1,1是()f x 的一个 P 数对，求()()*

f n ∈N ；

（）若()2,0-是()f x 的一个 P 数对，且当[)1,2x ∈时()23f x k x =--，求()

f x 在区间)()*

1,2

n ?∈?N 上的最大值与最小值；

（）若()f x 是增函数，且()2,2-是()f x 的一个 P 数对，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由

①()

2n f -与22n -+()*n ∈N ； ②()f x 与22x +(()

12,2,*n n x n N --?∈∈?．

（）由()2,2-是()f x 的一个 P 数对，可知()()222f x f x =-恒成立，

即()()1212f x f x =

+恒成立，令()1

*2k x k N =∈，可得11

111222k k f f -????

=+ ? ?????

，即111122222k

k f f

-??

??-=- ? ?????????，又()0121212f f ??

-=-= ???

所以1122k f

-??

??-?? ?????是等比数列，1121,22n

n f ????

-=?∴ ? ?????

()2n f -22n -=+ 分若(12,2,*n n x n N --?∈∈?，()f x 是增函数，故()()

112

2222222n

n n f x f x ---≤=+=?+<+，故有()22f x x <+．分