[例6] 直线：1+=kx y 与双曲线C ：
1222=-y x 的右支交于不同的两点A 、B 。求实数k 的取值范围。 分析：直线与双曲线右支有两个不同的交点，则不仅仅是0>?的问题，还需要追加制约条件。 解：
（1）将直线l 的方程1+=kx y 代入双曲线C 的方程
122
2=-y x 后，整理得 022)2(22=++-kx x k ①
依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故
?????
????>->-->--=?≠-022
0220)2(8)2(0
22
22
22k k k k k k
解得22-<<-k
[例7] 已知椭圆122
22=+b y a x （0>>b a ），A 、B 是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于P （0,0x ）。证明：
a b a x a b a 22022-<<--。 解：设A （11,y x ），B （22,y x ） ∵ P （
,0x ）是中垂线上的点
∴ PA=PB 则2
2
22021210)()(y x x y x x +-=+-
∴
2
2
22021210)()(y x x y x x +-=+-
解出0x ，得)(2)()(2
12
22122210x x y y x x x --+-= ①
又 ∵ A 、B 在椭圆上
∴ ?????=+=+2222222222212212b a y a x b b a y a x b
∴
0)()(2221222212=-+-y y a x x b )
(22212222
2
1
x x a b y y --=- ②
②代入①得)(2212
2
20x x a b a x +-=
∵ a x x a 2221<+<-
∴
a b a x a b a 2
2022-<
<--
[例8] 如图P 是抛物线C ：
2
21x
y =
上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q 。若直线l 不过原
点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求
SQ
ST SP
ST
+
的取值范围。
解：
设P （11,y x ），Q （22,y x ），M （
0,y x ），依题意01≠x ，01>y ，02>y
设直线l ：b kx y +=，依题意0≠k ，0≠b ，则T （b ,0）分别过P ，Q 作⊥'P P x 轴，x
Q Q ⊥'轴，垂足分别为P '、Q '
，则
2
1y b
y b Q Q OT P P OT SQ ST
SP ST
+='+'=+
由????
?
+==b kx y x
y 221消去x ，得
0)(2222=++-b y b k y （1） 则?????=+=+2212
21)(2b y y b k y y
方法1：
21
212)1
1(
22121==≥+=+
b
b y y b y y b SQ
ST SP
ST
因为21,y y 可取一切不相等的正数
所以
SQ
ST SP
ST
+
的取值范围是（2，∞+）
方法2：SQ ST
SP ST +222121)
(2b b k b y y y y b +=+=
当0>b 时，
SQ
ST SP
ST
+
222)(2)(2222
2>+=+=+=b k b b k b b k b
当0
SQ ST
SP
ST
+
b b k b b k b -+=+-=)
(2)(2222
又由方程（1）有两个相异实根，得0)2(44)(42
2222>+=-+=?b k k b b k 于是022>+b k ，即b k 22
->
所以
SQ ST SP ST
+
2
)
2(2=-+->
b b b
SQ
ST SP
ST +
的取值范围是（2，∞+）
【模拟试题】（答题时间：60分钟）
1. 设P 是椭圆122
22=+b y a x （0>>b a ）上一点，F1，F2是其焦点，且?=∠9021PF F ，求椭圆离心
率的最小值。
2. 已知直线)210(<<+=b b x y 与抛物线
x y 22
=相交于A 、B 两点，求使ABO ?的面积最大时的直线方程。
3. 已知：直线l ：)0(≠=k kx y 和顶点为A 的抛物线C ：
)1(3)1(2
-=+x y 有公共点，点P （0,a ）关于直线l 的对称点为Q ，若AQ 垂直于抛物线的对称轴，求a 的取值范围。
4. 已知：椭圆1
322
=+y x 的一个顶点A （0，1-），是否存在斜率为k （0≠k ）的直线l ，使l 与已知
椭圆交于两个不同的点M 、N ，且使AN
AM =？若存在，求出k 的范围；若不存在，说明理由。
【试题答案】
1. 思路：由
a
PF PF 221=+和
2
2
2
12
2
214c F F PF PF ==+，得到
2
1PF PF ?
=)(22
2c a -，进而构造关于21PF PF 、的一元二次方程，在解有关焦点三角形的最值问题时常常运用这
种方法。
解：由椭圆的定义得：
a
PF PF 221=+ ①
∵ 在21PF F ?中，?=∠9021PF F ∴
2
212
2
21F F PF PF =+2
4c = ②
①2－②，得
)(22221c a PF PF -=? ③
由①、③可知，
1
PF 、
2
PF 是方程0)(222
2
2
=-+-c a az z 的两根
从而
0)(842
22≥--=?c a a ∴ 21
)(2≥
a
c ，即22≥=a c e 所以离心率的最小值为22
2. 思路：建立ABO ?的面积关于变数b 的目标函数，求使目标函数取最大值时b 的值。 解：设ABO ?的面积为S ，点O 到AB 的距离为d ，A （11,y x ），B （22,y x ）联立
???=+=x y b x y 22，得到0)22(2
2=+-+b x b x
b x x 2221-=+，221b x x =?
∴ 212x x AB -=212214)(2x x x x -+==b 842-?
而
2b d =
，于是
284221b
b S ?-??=
b b 21-=
∵ b b b b b 2121-??=-
)21(b b b -??=
93
)321(
3=-++≤b b b 当且仅当b b 21-=，即
31
=
b 时等号成立
故ABO ?的面积最大时的直线方程为31+
=x y
3. 解：联立直线l 与抛物线C 方程，
整理得04)32(22=+-+x k x k
由l 与C 有公共点，得
016)32(2
2≥--=?k k 解得21
2
3≤
≤-
k ，且0≠k 如图所示，抛物线顶点A （1,1-），而AQ 垂直于抛物线的对称轴，故可设Q （0
,1y ）
∵ P 和Q 关于直线l 对称
∴ ??????
?-=-+?=k a
y a k y 1121200
消去0y ，得112+-=a a k
由2123≤≤-k ，且0≠k ，得4902≤
49110≤+-<
a a
解得
513-
≤a ，或1>a 故a 的取值范围是)
,1(]513
,(+∞?--∞
4. 解：由
AN
AM =可得A 与MN 中点T 的连线AT ⊥MN ，出现了弦的中点且可用斜率的乘积为1-，
所以可用点差法。
设M （11,y x ）、N （22,y x ），MN 中点T （0
0,y x ）
则
2
102102,2y y y x x x +=+=
由
33,332
2222121=+=+y x y x 得 0))((3))((21212121=-++-+y y y y x x x x
∴
)
(3212
1
2121y y x x x x y y k ++-=--=
1
1
300
00+-=-=-
=y x k y x AT
∴
k x y 23,2100-==
由T （21,23k -）在已知椭圆内，得343492<+k ，解得12∵ 0≠k ∴ )1,0()0,1(?-∈k 故存在满足题意的实数k
