高中数学三角函数专题复习(内附类型题以及历年高考真题..

三角函数知识点与常见习题类型解法

1. 任意角的三角函数：

（1）弧长公式：R a l = R 为圆弧的半径，a 为圆心角弧度数，l 为弧长。（2）扇形的面积公式：lR S 2

R 为圆弧的半径，l 为弧长。（3）同角三角函数关系式：

①倒数关系： 1cot tan =a a ②商数关系：a a a cos sin tan =

， a

a sin cos cot = ③平方关系：1cos sin 22=+a a

（4）

2.（1）两角和与差公式：

βββαsin sin cos cos )cos(a a =±βββsin cos cos sin )sin(a a a ±=±

βtan tan 1tan tan )(tan a a a a ±=

± 注：公式的逆用或者变形．．．．．．．．．（2）二倍角公式：

a a a cos sin 22sin =1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a

a 2tan 1tan 22tan -=

从二倍角的余弦公式里面可得出

降幂公式：22cos 1cos 2a a += ， 2

2cos 1sin 2a

a -=

（3）半角公式（可由降幂公式推导出）：

2cos 12sin

a -±=，2cos 12cos a a +±= ，a

a a a a a a sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±= 3.

4.函数)sin(?ω+=x A y 的图像与性质：

（本节知识考察一般能化成形如)sin(?ω+=x A y 图像及性质）（1）函数)sin(?ω+=x A y 和)cos(?ω+=x A y 的周期都是ω

（2）函数)tan(?ω+=x A y 和)cot(?ω+=x A y 的周期都是ω

=T （3）五点法作)sin(?ω+=x A y 的简图，设?ω+=x t ，取0、

2π、π、2

3π、π2来求相应x 的值以及对应的y 值再描点作图。

（4）关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换，提倡先平移后伸缩。切记每一个变换总是对字

母x 而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。（附上函数平移伸缩变换）:

函数的平移变换：

①)0)(()(>±=→=a a x f y x f y 将)(x f y =图像沿x 轴向左（右）平移a 个单位（左加右减）

②)0()()(>±=→=b b x f y x f y 将)(x f y =图像沿y 轴向上（下）平移b 个单位（上加下减）函数的伸缩变换：

①)0)(()(>=→=w wx f y x f y 将)(x f y =图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的

倍（1>w 缩短，10<

②)0)(()(>=→=A x Af y x f y 将)(x f y =图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A 倍（1>A 伸长，

10<

函数的对称变换：

①)()(x f y x f y -=→=) 将)(x f y =图像绕y 轴翻折180°（整体翻折）

（对三角函数来说：图像关于x 轴对称）

②)()(x f y x f y -=→=将)(x f y =图像绕x 轴翻折180°（整体翻折）

（对三角函数来说：图像关于y 轴对称）

③)()(x f y x f y =→= 将)(x f y =图像在y 轴右侧保留，并把右侧图像绕y 轴翻折到左侧（偶函数局部翻折）

④)()(x f y x f y =→=保留)(x f y =在x 轴上方图像，x 轴下方图像绕x 轴翻折上去（局部翻动） 5、方法技巧——三角函数恒等变形的基本策略。

（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2

θ+sin 2

θ=tanx ·cotx=tan45°等。

（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2

（4）引入辅助角。asin θ+bcos θ=2

b a +sin(θ+?)，这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号确定，

?角的值由tan ?=a

确定。

1．已知tan x =2，求sin x ，cos x 的值．解：因为2cos sin tan ==

x ，又sin 2x ＋cos 2x =1，联立得???=+=，1

cos sin cos 2sin 2

2x x x

x 解这个方程组得.55cos 5

52sin ,55cos 552sin ???

330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(

----的值．

解：原式

)

30360cos()150sin()30720tan()

120360sin()30180cos()180120tan(o --+---++-=

.3330

cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=

3．若

,2cos sin cos sin =+-x

x x

x ，求sin x cos x 的值．

解：法一：因为

,2cos sin cos sin =+-x

x x

所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )，

得到sin x =－3cos x ，又sin 2x ＋cos 2

103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以?-

=103

cos sin x x 法二：因为,2cos sin cos sin =+-x

x x

所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )，

所以(sin x －cos x )2=4(sin x ＋cos x )2

，所以1－2sin x cos x =4＋8sin x cos x ，所以有?-

=10

3cos sin x x 4．求证：tan 2

证明：法一：右边＝tan 2x －sin 2x =tan 2x －(tan 2x ·cos 2x )=tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x ·sin 2

x ，问题得证．

法二：左边=tan 2x ·sin 2x =tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x －tan 2x ·cos 2x =tan 2x －sin 2

76π26π,π20≤+≤≤≤x x 由正弦函数的图象，得到],1,2

x －cos x +2；(2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )．

解：(1)y =sin 2x －cos x ＋2＝1－cos 2x －cos x ＋2=－(cos 2

x ＋cos x )＋3，

令t =cos x ，则,4

)21(413)21(3)(],1,1[2

++-=++-=++-=-∈t t t t y t

利用二次函数的图象得到].4

1[∈y (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )=(sin x ＋cos x )2

－1－(sin x ＋cos x )，令t =sin x ＋cos x 2=

，)4

sin(+x ，则

]2,2[-∈t 则，,12--=t t y 利用二次函数的图象得到].21,4

[+-∈y

7．若函数y =A sin(ωx +φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为)2,2(，它到其相邻的最低点之间的图

象与x 轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．

解：由最高点为)2,2(，得到2=A ，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x 轴交点的间隔是4

8．已知函数f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin 4

x ．

(Ⅰ)求f (x )的最小正周期；(Ⅱ)若],2

π,0[∈x 求f (x )的最大值、最小值．数x

y cos 3sin 1--=

的值域．

解：(Ⅰ)因为f (x )=cos 4

x －2sin x cos x －sin4x ＝(cos 2

2sin(2)24πsin(22sin 2cos 2sin )sin (cos 22--=-=-=--=x x x x x x x

所以最小正周期为π．

(Ⅱ)若]2π,0[∈x ，则]4π3,4π[)4π2(-∈-x ，所以当x =0时，f (x )取最大值为;1)4πsin(2=--当8

θsin cos sin cos -+；（2）θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.

解：（1）

2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-

=++θθθ

θθθθθθθ； (2) θ

+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ22222

2cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin

24122221cos sin 2cos sin cos sin 2

222-=++-=+θ

θ+θθ

-θθ=. 说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。

2．求函数2

1sin cos (sin cos )y x x x x =++++的值域。

时，max 3y =12t =-时，min 3

()4sin 2sin 22f x x x x R =+-∈，。

（1）求()f x 的最小正周期、()f x 的最大值及此时x 的集合；（2）证明：函数()f x 的图像关于直线8

x =-

对称。解：2

()4sin 2sin 222sin 2(12sin )f x x x x x =+-=--

2sin 22cos 2)4

x x x =-=-

(1)所以()f x 的最小正周期T π=，因为x R ∈，

所以，当2242ππx k π-=+，即38

x k π=+时，()f x 最大值为 (2)证明：欲证明函数()f x 的图像关于直线8

x =-对称，只要证明对任意x R ∈，有

f x x x x --=---=--=-，

())]2)28842ππππ

f x x x x -+=-+-=-+=-，

所以()()88ππf x f x --=-+成立，从而函数()f x 的图像关于直线8

x =-对称。

4．已知函数y=

1cos 2

x+23sinx ·cosx+1 （x ∈R ）,

（1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；

（2）该函数的图像可由y=sinx(x ∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？

解：（1）y=

21cos 2x+23sinx ·cosx+1=41 (2cos 2

x －1)+ 41+43（2sinx ·cosx ）+1

=41cos2x+43sin2x+45=21(cos2x ·sin 6π+sin2x ·cos 6π)+4

=21sin(2x+6π)+4

5 所以y 取最大值时，只需2x+6π=2π+2k π,（k ∈Z ），即 x=6

+k π,（k ∈Z ）。

所以当函数y 取最大值时，自变量x 的集合为{x|x=6

+k π,k ∈Z}

（2）将函数y=sinx 依次进行如下变换：

（i ）把函数y=sinx 的图像向左平移

6π，得到函数y=sin(x+6

)的图像；（ii ）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+6π

)的图像；

（iii ）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的21倍（横坐标不变），得到函数y=21sin(2x+6

)的图像；

（iv ）把得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数y=21sin(2x+6π)+4

(sin cos )1y x x =--是（） A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数

D ．最小正周期为π的奇函数

2.（08全国一9）为得到函数πcos 3y x ?

的图象，只需将函数sin y x =的图像（） A ．向左平移π

3.(08全国二1)若sin 0α<且tan 0α>是，则α是（）

4.（08全国二10）．函数x x x f cos sin )(-=的最大值为（） A ．1 B ．

6.（08福建卷7）函数y =cos x (x ∈R)的图象向左平移

个单位后，得到函数y=g(x )的图象，则g(x )的解析式为 ( ) A.-sin x B.sin x C.-cos x D.cos x

7.（08广东卷5）已知函数2

()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（）

A 、最小正周期为π的奇函数

B 、最小正周期为

2π

的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2

的偶函数

8.（08海南卷11）函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（）