对数函数的图像与性质
专题9 对数函数的图像与性质
考点1 对数函数的概念
1．函数()()
2
5log a f x a a x =+- 为对数函数，则18f ?? ???
等于( )
A ．3
B ． 3-
C ．3log 6-
D ．3log 8-
2．下列函数是对数函数的是（ ） A ．log (2)a y x = B ．2log 2x
y =
C ．2log 1y x =+
D ．lg y x =
考点2 对数函数的定义域与值域 3．函数(
)x
y lg 42=-的定义域是(
)
A ．()2,4
B ．()2,∞+
C ．()0,2
D ．(),2∞-
4．函数1log 82x x y
的定义域是（ ）
A ．()1,3-
B ．()0,30
C ．()3,1-
D ．()()1,00,3-
5．函数y = ）
A ．3,4?
?-∞ ???
B ．3,14??
???
C ．(,1]-∞
D ．3,14??
???
6．已知集合}{
13≤<-=x x A ，集合(
){
}2
|lg 2B x y x ==-，则A
B =（ ）
A ．[
B ．(
C ．[-
D ．(-
7．下列函数中，与函数y
=( )
A ．()ln f x x =
B ．()1f x x
=
C ．()||f x x =
D ．() x
f x e =
考点3 反函数
8.函数()()21log 1f x x x =+≥的反函数________.
9．函数1()2x f x +=的反函数______
考点4 对数函数的图像
10．函数()ln(1)f x x =-向右平移1个单位，再向上平移2个单位的大致图像为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
11．函数()()()log 201a g x x a =+<<的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．若函数||x y a =（0a >，且1a ≠）的值域为(]0,1，则函数log ||a y x =的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
13．图中曲线分别表示log a
y x =，log b y x =，log c y x =，log d y x =的图象，a b c d ,,,的关系是（ ）
A ．a
B ．b C ．d D ．c 考点5 对数函数的性质 14．下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ） A ．2log y x = B ．3y x x =+ C ．3x y = D ．1y x =- 15．若实数0.2log 0.3a =，0.3log 0.2b =，0.3log 2c =，则（ ） A ．c b a << B ．c a b << C ．a b c << D ．b a c << 易错专攻 易错点1 （易错点提醒：忽略对底数的讨论而致错） 16.若，则a 的取值范围是________． 易错点2 （易错点提醒：忽略复合函数中函数的定义域而致错） 17.若函数y ＝log a （2﹣ax ）在区间（0，1）上单调递减，则a 的取值范围为_____. 易错点3 （易错点提醒：忽略符合函数中的值域而致错） 18.已知函数?? ? ?????? ??=x x x f 4log 2log )(5.02 ，(x ∈，求： （1）求x 2log 的取值范围；（2）求)(x f 的值域． 19.已知函数f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．[2，＋∞) C ．1[,2]2- D ．1 (,2]2 - 易错点4 （易错点提醒：忽略分段函数的定义域分界点而致错） 20．设函数()()21 2 log ,0 {log ,0x x f x x x >=-<，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．∪ B ．∪ C ．∪ D ． ∪ 21．3(21),1 ()2 log ,1 a a x a x f x x x ? -- C ．11,73 ?????? D ．1,17?? ???? 22．已知函数()()211,1log 1,1 a a x x f x x x ?--≤=?+>?，若函数()f x 在定义域R 上单调递增，则实数a 的取值范围为 （ ） A ．312 a << B ．312 a <≤ C ．32 a > D ．32 a ≥ 专题9 对数函数的图像与性质 考点1 对数函数的概念 1．函数()() 2 5log a f x a a x =+- 为对数函数，则18f ?? ??? 等于( ) A ．3 B ． 3- C ．3log 6- D ．3log 8- 【答案】B 【解析】 【分析】 可以先根据对数函数的性质来确定a 的取值范围，再带入1 8 得出结果． 【详解】 因为函数()f x 为对数函数， 所以函数()f x 系数为1，即251a a +-=，即2a =或3-， 因为对数函数底数大于0， 所以2a =，()2log f x x =， 所以138f ?? =- ??? ． 【点睛】 对数函数的系数等于一、真数大于0、底数大于0且不等于1． 2．下列函数是对数函数的是（ ） A ．log (2)a y x = B ．2log 2x y = C ．2log 1y x =+ D ．lg y x = 【答案】D 【解析】 【分析】 根据对数函数的定义即可判断. 【详解】 由对数函数的定义：形如log (0a y x a =>且1)a ≠的形式，则函数为对数函数，只有D 符合. 故选D 【点睛】 本题考查对数函数的定义，需掌握对数函数的定义. 考点2 对数函数的定义域与值域 3．函数( )x y lg 42=-的定义域是( ) A ．()2,4 B ．()2,∞+ C ．()0,2 D ．(),2∞- 【答案】D 【解析】 【分析】 由对数函数的定义域以及指数函数的性质可得函数( )x y lg 42=-的定义域． 【详解】 由函数( )x y lg 42 =-， 得到x 420->，即x 2242<=， 解得x 2<，则函数的定义域是(),2∞-， 故选D ． 【点睛】 本题考查了对数函数的定义域以及指数函数的性质，是基础题目．定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()() f g x 的定义域由不等式 ()a g x b ≤≤求出. 4．函数1log 82x x y 的定义域是（ ） A ．()1,3- B ．()0,30 C ．()3,1- D ．()()1,00,3- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据对数底以及真数限制条件列不等式，解得结果 【详解】 3820(1,0)(0,3)1,0 10,11x x x x x x x ?∴∴∈-??? >-≠+>+≠??，选D. 【点睛】 本题考查对数函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题。 5．函数 y = ） A ．3, 4??-∞ ??? B ．3,14?? ??? C ．(,1]-∞ D ．3,14?? ??? 【答案】B 【解析】 【分析】 根据偶次方根的被开方数为非负数、对数的真数大于零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域. 【详解】 由题意得到：12log (43)0 0431430 x x x -≥?? ?<-≤??->?， 解得314x <≤，所以函数的定义域为3,14?? ??? ． 故选：B 【点睛】 本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题. 6．已知集合{|31}A x x =-<，集合( ){ }2 |lg 2B x y x ==-，则A B =（ ） A ．[ B ．( C ．[- D ．(- 【答案】D 【解析】 【分析】 先化简集合B,再求A B 得解. 【详解】 由题得(B =， 因为{|31}A x x =-<， 所以(A B =-. 故选：D 【点睛】 本题主要考查对数函数的定义域的求法，考查集合的并集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7．下列函数中，与函数y =( ) A ．()ln f x x = B ．()1f x x = C ．()||f x x = D ．() x f x e = 【答案】D 【解析】 【分析】 求出y =. 【详解】 y =(0,)+∞， 0,0y >= >， y =(0,)+∞， ()ln f x x =值域为R ，选项A 不正确； ()1 f x x = 值域为(,0)(0,)-∞+∞，选项B 不正确； ()||f x x =值域为[0,)+∞，选项C 不正确； () x f x e =值域为(0,)+∞，选项D 正确. 故选:D. 【点睛】 本题考查函数的值域，要熟练掌握简单初等函数的值域，属于基础题. 考点3 反函数 8.函数()()21log 1f x x x =+≥的反函数()1 f x -=________. 【答案】()1 21x x -≥ 【解析】 【分析】 先求得()f x 的值域,再利用反函数的求法求解即可. 【详解】 ∪1x ≥,∪21log 1y x =+≥, 由21log y x =+,解得12y x -=, 故()()11 21x f x x --=≥. 故答案为：()1 21x x -≥. 【点睛】 本题主要考查了反函数的求解方法,属于基础题型. 9．函数1()2x f x +=的反函数1 ()f x -=______ 【答案】2log 1(0)x x -> 【解析】 【分析】 由1 2 0x y +=>可得2log 1(0)x y y =->，x 、y 互换，即可求得反函数. 【详解】 因为1 2 0x y +=>，所以2log 1(0)x y y =->， 交换x 、y 的位置可得函数1 2x y +=的反函数1 ()f x -=2log 1(0)x x ->， 故答案为：2log 1(0)x x ->. 【点睛】 本题考查指数函数的反函数的求法，属于基础题，解题时注意对数函数和指数函数的相互转化，反函数的 定义域是原函数的值域. 考点4 对数函数的图像 10．函数()ln(1)f x x =-向右平移1个单位，再向上平移2个单位的大致图像为( ) A ． B ． C ． D ． 【答案】C 【解析】 【分析】 先作出函数()()ln 1f x x =-的图像，再向右平移1个单位，再向上平移2个单位得解. 【详解】 先作出函数()()ln 1f x x =-的图像，再向右平移1个单位，再向上平移2个单位得解. 如图所示： 故答案为C 【点睛】 本题主要考查函数图像的作法和函数图像的变换，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析图像能力. 11．函数()()()log 201a g x x a =+<<的图象是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据对数函数的图象和性质分别进行排除即可. 【详解】 解：当01a <<时，函数()g x 为减函数，排除B ，D ， 由20x +>得2x >-， 即函数的定义域为(2,)-+∞，排除C ， 故选：A. 【点睛】 本题主要考查函数图象的识别和判断，利用对数函数的图象和性质是解决本题的关键，比较基础. 12．若函数||x y a =（0a >，且1a ≠）的值域为(]0,1，则函数log ||a y x =的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 【分析】 由函数|| x y a =（0a >，且1a ≠）的值域为(]0,1得到a 的取值范围，当0x >时，log a y x =，由函数的 单调性即可判断正确答案. 【详解】 由函数|| x y a =（0a >，且1a ≠）的值域为(]0,1，得01a <<， 所以当0x >时，log a y x =单调递减，排除A ，C ，D. 故选：B 【点睛】 本题主要考查含绝对值的指数函数和对数函数的图象及其性质，属于基础题. 13．图中曲线分别表示log a y x =，log b y x =，log c y x =，log d y x =的图象，a b c d ,,,的关系是（ ） A ．a B ．b C ．d D ．c 【答案】D 【解析】 【分析】 利用在第一象限中，随着底数的增大，函数的图象向x 轴靠近，即可得解 【详解】 如图所示，在第一象限中，随着底数的增大，函数的图象向x 轴靠近， 可知0＜c ＜d ＜1＜a ＜b ， 故选：D ． 【点睛】 本题主要考查对数函数的图象是如何受底数影响的． 考点5 对数函数的性质 14．下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ） A ．2log y x = B ．3y x x =+ C ．3x y = D ．1 y x =- 【答案】B 【解析】 【分析】 逐一判断各选项中函数的奇偶性及单调性，可得出结论. 【详解】 对于A 选项，令()2log f x x =，定义域为{} 0x x ≠，()()22log log f x x x f x -=-==，该函数为偶 函数，当0x >时，()2log f x x =， 所以，函数()2log f x x =在区间()0,∞+上为增函数，在区间(),0-∞上为减函数； 对于B 选项，令()3 g x x x =+，定义域为R ，()()()()3 3g x x x x x g x -=-+-=--=-， 该函数为奇函数，由于函数31y x =和2y x =均为R 上的增函数， 所以，函数()3 g x x x =+为R 上的增函数； 对于C 选项，函数3x y =为非奇非偶函数，且在R 上为增函数； 对于D 选项，函数1 y x =-是定义域为{}0x x ≠，该函数为奇函数，且在定义域上不单调. 故选：B. 【点睛】 本题考查函数单调性与奇偶性的判断，熟悉一些常见的基本初等函数的单调性和奇偶性是判断的关键，考查推理能力，属于基础题. 15．若实数0.2log 0.3a =，0.3log 0.2b =，0.3log 2c =，则（ ） A ．c b a << B ．c a b << C ．a b c << D ．b a c << 【答案】B 【解析】 【分析】 与中间值 0和1比较后可得． 【详解】 因为对数函数0.2log y x =是单调递减的，所以0.20.2log 0.3log 0.21a =<=，同理， 0.30.3log 0.2log 0.31b =>=，所以01a b <<<，而0.30.3log 2log 10c =<=，所以c a b <<. 故选：B. 【点睛】 本题考查比较对数的大小，对于同底数的对数，可以利用对数函数的单调性比较，不同底数的对数可以与中间值0，1等比较后得出结论． 易错专攻 易错点1 （易错点提醒：忽略对底数的讨论而致错） 16.若，则a 的取值范围是________． 【答案】),1()3 2,0(+∞ 【解析】 试题分析：当1>a 时，032log 恒成立，当10< 2 0< 2 ,0(+∞ ． 考点：对数函数