完整三角函数图像与性质知识点与题型归纳解读,文档.docx

●高考明方向

1.能画出 y＝ sinx， y＝cosx， y＝ tanx 的图象，

了解三角函数的周期性．

2.理解正弦函数、余弦函数在 [0,2 π]上的性质 (如单调性、

最大值和最小值，图象与 x 轴的交点等 )，理解正切函数π π

在区间－2，2内的单调性．

★备考知考情

三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的热点，题型既有选择题、填空题、又有解答题，难度属中低档，如2014 课标全国Ⅱ 14、北京 14 等；常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数方程、转化化归等思想方法 .

一、知识梳理《名师一号》 P55

知识点

1

二、例题分析：

（一）三角函数的定义域和值域

例 1．（ 1）《名师一号》 P56对点自测3

函数 y＝lg(sinx)＋cosx－1

2的定义域为 ____________

sinx>0，

解析要使函数有意义必须有1

cosx－2≥0，

sinx>0，2kπ

即1解得ππ

cosx≥，－＋ 2kπ≤x≤＋2kπ

233

(k∈Z) ．

π

∴2kπ

π

∴函数的定义域为 {x|2kπ

例 1．（ 2）《名师一号》 P56高频考点例1(1)函数 y＝sinx－cosx的定义域为 ________．

2

解 :(1) 要使函数有意义，必须有 sinx － cosx ≥0，即

sinx ≥cosx ，同一坐标系中作出 y ＝ sinx ，y ＝ cosx ，x ∈ [0,2 π] 的图象如图所示．

结合图象及正、余弦函数的周期是

2π知，

π

π＋ 5

π，k ∈Z . 函数的定义域为 x 2k π＋

≤x ≤2k 4

4

注意：《名师一号》 P56 高频考点 例 1 规律方法

(1) 求三角函数的定义域实质就是解三角不等式

（组） ．一般可用 三角函数的图象或三角函数线 确定

三角不等式的解．

例 2．（ 1）《名师一号》 P56 对点自测 4

πx π 函数 y ＝ 2sin 6 －3 (0≤ x ≤ 9)的最大值与最小值之

和为( )

A ．2－ 3

B ．0

C ．－1

D ．－ 1－ 3

3

π π

π 7π

解: ∵ 0≤x ≤9，∴－ 3≤ 6x －3≤ 6 .

π π ∈ － 3，1 .

∴sin x －

3 6 2 ＋y ＝2－ 3.

∴y ∈[ － 3， 2]，∴ y

min max

注意：《名师一号》 P56 高频考点 例 1 规律方法 2 求三角函数的值域的常用方法之一：

利用 sinx 和 cosx 的值域 (图像 )直接求；

例 2．（ 2） 8 月月考第 17 题(1)

17．（ 分 12 分）已知函数

f (x) 3cos 2 x 2cos x sin x sin 2 x ．

（ I ）当

x [0,

] ，求 f (x) 的 域；

2

f (x)

3cos 2

x

2cos xsin x

sin 2

x

1 2cos 2

x

sin 2x

2 cos2 x sin 2x

⋯⋯⋯ 2分

2( 2 sin 2 x 2

cos 2 x)

2 2

2

4

2 sin(2 x

4 )

2

⋯⋯⋯⋯ 3 分

,5

]，⋯⋯4分

x [0,

] ， 2x

4 [

2

4

4

sin(2 x

) [

2

,1]， ⋯⋯5分

4 2

f (x) [1, 2

2] ，

即 f ( x) 的 域 [1, 2 2] . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分

注意：《名师一号》

P56

高频考点 例 1

规律方法

2

求三角函数的值域的常用方法之二：

化为求 y Asin( x

) b 的值域

如：① y a sin x b cos x

合一变换

y A sin( x)

② y

a sin 2 x

b sin x cos x

c cos 2

x

降幂 y d sin 2 x

ecos2 x

f

合一变换 y A sin(2 x ) b

注意弦函数的有界性！

变式 : 《名师一号》 P58 特色专题

典例 1

5

π

若函数 f(x)＝ asinx －bcosx 在 x ＝ 3处有最小值－ 2，

则常数 a ， b 的值是 ( A ．a ＝－ 1， b ＝ 3

C ．a ＝ 3，b ＝－ 1

)

B ． a ＝ 1， b ＝－

3

D ． a ＝－

3，b ＝1

解: 函数 f(x)＝asinx －bcosx 的最小值为－

a 2 ＋

b 2.

f(x)＝ a 2＋

b 2 －φ

sin(x )

其中 cos φ＝ a 2，sin φ＝ b

2 2 2 ，

a ＋

b a ＋b

－ a 2＋b 2＝－ 2，

a ＝－ 3，

则 π 3 1

解得

f 3 ＝ 2 a －2b ＝－ 2，

b ＝1.

【名师点评】 解答本题的两个关键：①引进辅助角，将原式化为三角函数的基本形式；②利用正弦函数取最值的方法建立方程组．

例 2．(3) 《名师一号》 P56 高频考点 例 1(2)

π 7π

当 x ∈ 6， 6 时，函数 y ＝3－sinx － 2cos 2x 的最小值是 ________，最大值是 ________．

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