高考文科数学导数专题复习

(2) 函数 f ( x) 的导函数 f ′ ( x) ＝ x 0
Δx
为 f ( x) 的导函数 .
2. 导数的几何意义函数 y＝ f ( x) 在点 x0 处的导数的几何意义， 就是曲线 y＝f ( x) 在点 P( x0， f ( x0)) 处的切线的
斜率， 过点 P 的切线方程为 y－ y0＝ f ′( x0)( x－ x0).
ln x
1 ＋x
ex.(2)
因为
y＝ x3＋ 1＋
1 ，
x2
所以
y′＝ ( x3) ′＋ (1) ′＋
1 x2
′＝
3x
2－
2 x3.
【训练 1】 (1) 已知函数 f ( x) 的导函数为 f ′ ( x) ， 且满足 f ( x) ＝2x· f ′ (1) ＋ ln x， 则 f ′(1) 等于 ( )
a>0 时， 由 f ′ ( x) ＝ 0 有 x＝ 1 ， 当 x∈ 0， 1
时， f ′( x)<0 ， f ( x) 单调递减；当 x∈
1 ，＋∞ 时，
2a
2a
2a
f ′ ( x)>0 ， f ( x) 单调递增 .(2) 证明
令
s(
x)
＝
x
e
－
1－
x，
则 s′ ( x) ＝ex－1－ 1. 当 x>1 时，
解 f ′ ( x) ＝ ex( ax2＋ x＋ 1) ＋ ex(2 ax＋ 1) ＝ex[ ax2＋ (2 a＋ 1) x＋ 2] ＝ex( ax＋ 1)( x＋ 2)
＝ aex
1 x＋a
( x＋ 2) ①当
1 a＝ 2时，
f
′
(
x)
＝
1 2e
x(
x＋2)
2≥
来自百度文库
0
恒成立，
∴函数 f ( x) 在 R上单调递增；
故
曲线 y＝ x2－ ln x 上和直线 y＝ x－ 2 平行的切线经过的切点坐标为 (1 ， 1) ， 点(1 ， 1) 到直线 y＝x－ 2 的距离
等于 2， ∴点 P到直线 y＝ x－ 2 的最小距离为 2. 答案 D
第 2 讲 导数在研究函数中的应用
知识梳理
函数的单调性与导数的关系函数 y＝ f ( x) 在某个区间内可导， 则： (1) 若 f ′ ( x)>0 ， 则 f ( x) 在这个区间内单调
1
1
1
1
＝ x＋ a， 即x＋ a 在 (0 ， ＋∞ ) 上有解， a＝ 2－ x， 因为 a＞ 0， 所以 2－ x＜2， 所以 a 的取值范围是 ( －∞，
2). 答案 (2)( －∞， 2)
2. 点 P 是曲线 x2－ y－ln x＝ 0 上的任意一点， 则点 P到直线 y＝ x－ 2 的最小距离为 (
【训练
1】 (2020 ·四川卷节选
) 设函数
f ( x) ＝ ax2－ a－ ln x，
1e g( x) ＝x－ ex，
其中
a∈ R， e ＝ 2.718 …为自然对
数的底数 .(1) 讨论 f ( x) 的单调性； (2) 证明：当 x>1 时， g( x)>0.
1 2ax2－1 (1) 解 由题意得 f ′ ( x) ＝2ax－ x＝ x ( x>0). 当 a≤ 0 时， f ′ ( x)<0 ， f ( x) 在 (0 ， ＋∞ ) 内单调递减 . 当
A. － e B. － 1 C.1 D.e 1
解析 由 f ( x) ＝ 2xf ′ (1) ＋ ln x， 得 f ′ ( x) ＝ 2f ′(1) ＋ x， ∴ f ′ (1) ＝ 2f ′ (1) ＋ 1， 则 f ′ (1) ＝－ 1. 答案 B
(2)(2020 ·天津卷 ) 已知函数 f ( x) ＝axln x，x∈ (0 ，＋∞ ) ， 其中 a为实数， f ′ ( x) 为 f ( x) 的导函数 . 若 f ′ (1)
解
(1) 对 f ( x) 求导得
f ′ ( x) ＝ 3ax2＋ 2x，
因为
4 f ( x) 在 x＝－ 处取得极值，
3
4
16
所以 f ′ －3 ＝ 0， 即 3a· 9 ＋
4 16a 8
1
2·
－3 ＝
3
－ 3＝ 0，
解得
a＝
. 2
(2) 由 (1) 得
g( x) ＝
1 2x3＋x2
ex
故
g′ ( x) ＝
)
3 A.1 B.
2
5
C.
D.
2
2
解析 点 P是曲线 y＝ x2－ ln x 上任意一点， 当过点 P 的切线和直线 y＝ x－ 2 平行时， 点 P 到直线 y＝ x－2 的
距离最小，
直线 y＝ x－ 2 的斜率为
1， 令 y＝ x2－ ln
x，
1 得 y′＝ 2x－ x＝ 1，
1 解得 x＝ 1 或 x＝－ 2( 舍去 ) ，
y0＝x0ln x0 ，
∴
解得 x0＝1， y0＝ 0. ∴切点为 (1 ， 0) ， ∴ f ′ (1) ＝ 1＋ln 1 ＝ 1. ∴直线 l 的方程
y0＋1＝（1＋ln x0 ）x0，
为 y＝ x－ 1， 即 x－y－ 1＝ 0. 答案 B
命题角度二 求切点坐标
【例 3】 (2020 ·西安调研 ) 设曲线 y＝ ex 在点 (0 ， 1) 处的切线与曲线
高考文科数学导数专题复习
1. 导数的概念
第 1 讲 变化率与导数、导数的计算
知 识梳 理
lim f （x0＋Δ x）－ f （x0）
(1) 函数 y＝ f ( x) 在 x＝ x0 处的导数 f ′ ( x0) 或 y′ | x＝ x0， 即 f ′ ( x0) ＝ x 0
Δx
.
lim f （x＋Δ x）－f （x）
1 ②当 0＜ a＜ 2时，
1 有a＞ 2，
x
令 f ′ ( x) ＝ ae
1 x＋a ( x＋ 2) ＞0，
1 有 x＞－ 2 或 x＜－ a，
令 f ′ ( x) ＝ aex
1 x＋a ( x＋ 2) ＜ 0，
1 有－ a＜ x＜－ 2， ∴函数
f ( x) 在
1 －∞，－ a
和 ( －2，
＋∞ ) 上单调递增，
＝ f ( x) 在点 (1 ， 2) 处的切线的斜率为 f ′ (1) ＝ 2， 所以切线方程为 y－2＝ 2( x－ 1) ， 即 2x－ y＝ 0. 答案 2x
－y＝0
【训练 2】(2020 ·威海质检 ) 已知函数 f ( x) ＝ xln x， 若直线 l 过点 (0 ， － 1) ， 并且与曲线 y＝ f ( x) 相切， 则
3
【训练 2】 已知函数 f ( x) ＝ 4＋ x－ln x－ 2， 其中 a∈ R， 且曲线 y＝f ( x) 在点 (1 ， f (1)) 处的切线垂直于直线
1 y＝ 2x.(1) 求 a 的值； (2) 求函数 f ( x) 的单调区间 .
1a1
1
3
解 (1) 对 f ( x) 求导得 f ′ ( x) ＝ 4－ x2－ x， 由 f ( x) 在点 (1 ， f (1)) 处的切线垂直于直线 y＝ 2x 知 f ′(1) ＝－ 4－
递增； (2) 若 f ′ ( x)<0 ， 则 f ( x) 在这个区间内单调递减； (3) 若 f ′( x) ＝ 0， 则 f ( x) 在这个区间内是常数函数 .
考点一 利用导数研究函数的单调性
【例 1】 设 f ( x) ＝ ex( ax2＋x＋ 1)( a＞ 0) ， 试讨论 f ( x) 的单调性 .
1 y＝ ( x>0) 上点 P 处的切线垂直，
则 P的
x
坐标为 ________.
解析
由 y′＝ ex， 知曲线 y＝ ex 在点 (0 ， 1) 处的切线斜率
k1＝ e0＝ 1. 设 P( m，
n) ，
1
又
y
＝
( x
x>0) 的导数
y′
1
1
1
＝－ x2， 曲线 y＝ x( x>0) 在点 P处的切线斜率 k2＝－ m2. 依题意 k1k2＝－ 1， 所以 m＝ 1， 从而 n＝ 1.
3 2x2＋2x
ex＋
1 2x3＋x2
ex＝
15 2x3＋2x2＋2x
e
x＝
1 2x
(
x＋
1)(
x＋4)e x.
令 g′ ( x)<0 ， 得 x( x＋ 1)( x＋ 4)<0. 解之得－ 1<x<0 或 x<－4. 所以 g( x) 的单调减区间为 ( － 1， 0) ， ( －∞， －
4).
xa
5
x5
a＝－ 2， 解得 a＝ 4.(2) 由 (1) 知 f ( x) ＝ 4＋ 4x－ ln
直线 l 的方程为 ( )A. x＋y－ 1＝ 0 B. x－y－ 1＝ 0 C. x＋ y＋ 1＝ 0 D. x－ y＋ 1＝ 0
(2) ∵ 点 (0 ， － 1) 不 在 曲 线 f ( x) ＝ xln x 上 ， ∴ 设 切 点 为 ( x0 ， y0). 又 ∵ f ′ ( x) ＝ 1 ＋ ln x ，
命题角度三 求与切线有关的参数值 ( 或范围 ) 【例 4】 (2020 ·全国Ⅱ卷 ) 已知曲线 y＝ x＋ ln x 在点 (1 ， 1) 处的切线与曲线 y＝ ax2＋( a＋ 2) x＋1 相切， 则 a
＝ ________. 1
解析 由 y＝ x＋ ln x， 得 y′＝ 1＋ x， 得曲线在点 (1 ， 1) 处的切线的斜率为 k＝ y′ | ＝ x＝1 2， 所以切线方程 为 y－ 1＝ 2( x－ 1) ， 即 y＝ 2x－1. 又该切线与 y＝ax2＋ ( a＋ 2) x＋ 1 相切， 消去 y， 得 ax2＋ ax＋ 2＝ 0， ∴ a≠ 0 且 Δ＝ a2－8a＝ 0， 解得 a＝8. 答案 8
＝ 3， 则 a 的值为 ________. 1
(2) f ′ ( x) ＝ a ln x ＋ x·x ＝ a(1 ＋ ln x). 由于 f ′ (1) ＝ a(1 ＋ ln 1) ＝ a， 又 f ′(1) ＝ 3， 所以 a＝ 3. 答案 (2)3
考点二 导数的几何意义
命题角度一 求切线方程
【例 2】 (2020 ·全国Ⅲ卷 ) 已知 f ( x) 为偶函数， 当 x≤ 0 时， f ( x) ＝e－ － x－1 x， 则曲线 y＝ f ( x) 在点 (1 ， 2)
3. 基本初等函数的导数公式
4. 导数的运算法则若 f ′ ( x) ， g′ ( x) 存在， 则有：
考点一 导数的计算
【例 1】 求下列函数的导数：
(1)
y＝
x
e ln
11 x； (2) y＝ x x2＋x＋x3 ；
解
(1) y′＝ (e x) ′ln x＋ ex(ln
x) ′＝ exln
x＋ ex1＝ x
在
1 －a，－ 2
上单调递减；
③当
1 a＞2时，
1 有a＜ 2，
令 f ′ ( x) ＝ aex
1 x＋a
( x＋ 2) ＞ 0 时，
有
1 x＞－ a或
x＜－ 2， 令
f ′ ( x) ＝ aex
1 x＋a
( x＋ 2) ＜ 0 时，
1 有－ 2＜x＜－ a，
1
1
∴函数 f ( x) 在 ( －∞， － 2) 和 －a，＋∞ 上单调递增；在 －2，－ a 上单调递减 .
【训练 4】 1. 函数 f ( x) ＝ ln x＋ ax 的图象存在与直线 2x－ y＝0 平行的切线， 则实数 a 的取值范围是 ________.
函数 f ( x) ＝ ln x＋ ax 的图象存在与直线 2x－ y＝ 0 平行的切线， 即 f ′ ( x) ＝ 2 在(0 ， ＋∞ ) 上有解， 而 f ′ ( x)
则点 P 的坐标为 (1 ， 1). 答案 (1 ， 1)
【训练 3】 若曲线 y＝ xln x 上点 P 处的切线平行于直线 2x－ y＋ 1＝ 0， 则点 P 的坐标是 ________. 解析 (1) 由 1
题意得 y′＝ ln x＋ x· x＝ 1＋ ln x， 直线 2x－ y＋ 1＝ 0 的斜率为 2. 设 P( m， n) ， 则 1＋ ln m＝2， 解得 m＝ e， 所以 n＝ eln e ＝ e， 即点 P的坐标为 (e ， e). 答案 (1)(e ， e)
处的切线方程是 ________. 解析
(1) 设
x>0，
则－ x<0，
f
(
－x)
x －1
＝e ＋
x.
又
f
(
x)
为偶函数，
f ( x) ＝ f ( － x) ＝
ex－ 1＋ x， 所以当 x>0 时， f ( x) ＝ ex－ 1＋x. 因此， 当 x>0 时， f ′( x) ＝ ex－1＋ 1， f ′ (1) ＝ e0＋ 1＝ 2. 则曲线 y
s′( x)>0 ，
所以 ex－
1 >x ，
从而
1 g( x) ＝ －
1
>0.
x ex－1
考点二 求函数的单调区间
【例
2】 (2020 ·重庆卷改编
) 已知函数
f
(
x)
＝
ax3＋ x 2(
a∈
R)
在
x＝－
4 处取得极值
.
3
(1) 确定 a 的值； (2) 若 g( x) ＝ f ( x)e x， 求函数 g( x) 的单调减区间 .