专题：利用平行线构造相似形证线段比

.....(1)BP BF c AO AF a c ==+......(2)BP BE BE OC EC b BE

==-BP BP AO OC = 即BF BE c BE AF EC a c b BE ===+-2bc BE a c =+专题：利用平行线构造相似形证线段比

方法指导：添加平行线是常用的辅助线，可以构造“A”型图或“X”型图.

例：如图所示，平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，OE 交BC 于E ，交AB 的延长线于F.若AB=a,BC=b,BF=c.

求：BE 的长.

解：过点B 作BP ∥AC 交OF 于点P.

在△FOA 中 ∵ BP ∥AC

∴△BEF ∽△AFO ，∠COE=∠BPE

∴ 又∠OEC=∠BPE （对顶角相等）

∴△OCE ∽△PEB

∴ 在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O

有OC=OA （3）

由（1）（2）（3）得

解得：

1. 如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线.

证明：AB:AC=BD:CD.

（分析：要证明线段成比例，必须出现相似三角形，而图中的

三角形却没有相似的，因此要添加辅助线构造相似三角

形.可以过点D 或C 作AB 的平行线；也可过点D 或B

作AC 的平行线.）

EF AF FC FD 2. 如图，已知△ABC 中，AE:EB=1:3,BD:DC=2:1，AD 与CE 相交于F.

求： 的值.

3. (1) 如图，在△ABC （AC>AB ）的边AB 、AC 上分别取点E 、D ，使BE=CD ，连接ED 并延长交BC 的延长线于点F.

求证：AB:AC=FD:EF .

(2) 若BE 在AB 的延长线上，同样有BE=CD ，，连接ED 交BC 于点F ，如下图.那么

（1）题中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

22CA AE BC CE =22CA AD BC BD

=AD BD AE CE =AD AE BD BD =22CA AE BC CE =直角三角形中的相似问题

方法指导：斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.

射影定理：

CD²=AD·BD ，

AC²=AD·AB ，

BC²=BD·BA

（它们在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用）.

例. 如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥AC ，垂足为E. 求证： .

证明：在Rt △ABC 中，CD ⊥AB

由射影定理可知：CA²=AD·AB ，BC²=BD·AB

则有 ∵DE ⊥AC ，BC ⊥AC

∴DE ∥BC （垂直于同一直线的两直线互相平行）

∴ ∴ 即

1. 如图，CE 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，∠ACB=90°，在EC 的延长线上任取一点

P,连结AP ，过点B 作BG ⊥AP 于D.

求证：CE²=ED·EP .

60132. 如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点M ，且AC ⊥CD ，过点A 作AE ⊥BC ，

垂足为E ，交BD 于点F.

（1） 求证：AB²=BF·BD ；

（2） 若AB=AD ，BE=1，AE=2，求线段EF 的长.

3. 如图，矩形ABCD 中，CH ⊥BD ，垂足为H ，P 点是AD 上的一个动点（P 与A 、D 不重

合），CP 与BD 交于E 点.已知CH= ，DH:CD=5:13，设AP=x ，四边形ABEP 的面积为y.

（1）求BD 的长；

（2）用含x 的代数式表示y.